Institutionen för pedagogik, didaktik
och utbildningsstudier
Examensarbete i utbildningsvetenskap
inom allmänt utbildningsområde,
15 hp
”Ska det va vad som helst?”
En kvalitativ studie av elevers resonemang i matematik
Emil Ekman
Handledare: Lovisa Sumpter
Examinator: Anna Danielsson
Rapport nr: 2012vt00001
2
Sammanfattning
Tidigare studier inom elevers matematiska resonemang visar att de imitativa resonemangen dominerar inom matematisk problemlösning. Syftet med denna kvalitativa studie är att se vad för matematiska resonemang elever i årskurs 4 för inom området ”likheter” och ”lika med”.
Undersökningen visade att eleverna använde kreativa matematiska resonemang i 19 problemsituationer av totalt 32. Det uppkom ett resonemang som inte finns med i det ramverk som studien utgår ifrån. De resterande 12 problemsituationerna var rent imitativa resonemang.
Det visade sig att elever använde sig av kreativt matematiska resonemang i större utsträckning än de imitativa resonemangen. Vid de problemsituationer som var av kreativt resonerande löste eleverna problemsituationerna på ett korrekt sätt medan de situationer som eleverna löste uppgifterna med ett imitativt resonemang blev samtliga slutsatser felaktiga.
Nyckelord: grundskolans tidigare år, kvalitativ observationsstudie, lika med, matematiska resonemang
3
Innehållsförteckning
Inledning ...5
Bakgrund ...6
Litteraturöversikt ...7
Tidigare forskning ...7
Teoretiskt ramverk för matematiska resonemang ...9
Kategorisering av resonemang ...9
Likhetstecknet ...8
Syfte och frågeställningar ... 13
Metod ... 14
Urval och avgränsningar ... 14
Datainsamling ... 14
Metod för dataanalys ... 17
Kritiska reflektioner angående metoden ... 17
Etiska aspekter ... 18
Resultat & analys ... 20
Kreativt matematiska resonemang (KMR) ... 20
Exempel ... 20
Exempel 2 ... 21
Kreativt begränsat resonemang (KBR) ... 22
Exempel ... 23
Familjärt algoritmiskt resonemang (FAR) ... 24
Exempel ... 24
Begränsat matematiska resonemang (BAR) ... 25
Problemsituation 1... 25
Problemsituation 2... 25
Problemsituation 3... 26
Sammanfattning av resultat & analys ... 27
Diskussion ... 28
4
Konklusion ... 30
Referenslista ... 31
Bilagor ... 33
1. Informationsbrev till vårdnadshavare ... 33
2. Matematiska uppgifter vid observation ... 34
5
Inledning
Jag har under hela min skolgång haft matematik som mitt favoritämne. Kreativiteten och logiken i matematiken har bidragit till att jag nu är på väg till ett yrkesliv som matematiklärare. Jag har alltid förundrats över de lärare som handlett mig under mina skolår och deras passion till att dela med sig av sina kunskaper till sina elever och detta har lett mig till att själv vilja dela med mig av mina kunskaper och glädje för ämnet.
Under en kurs i början av min lärarutbildning så introducerades jag av elevers resonerande kring matematik och då jag själv hade ett stort intresse inom detta område kändes det självklart att detta skulle bli mitt val av område för det avslutande examensarbetet. Så med detta arbete var min tanke att få en ökad förståelse för elevers resonerande och även lära mig att analysera deras argument och reflektioner kring de problem som de ställs inför. Genom detta hoppas jag att min blivande roll som lärare stärks och att jag kan ta lärdom av de problemsituationer som uppstår hos eleverna. Denna studie ger även en bredare bild över elevers resonemang då jag följer ett erkänt forskningsfält som syftar till att ge en ökad bild av elevers resonemang.
Problematiken i matematik som ämne menar skolverket i sin senaste upplaga av TIMMS att svenska elever presterar allt sämre inom området i jämförelse till de andra länder som deltar i studien (Skolverket, 2008, s. 8). Med detta utsago samt mitt intresse för matematiken kommer denna studie att undersöka elevers resonerande kring matematiska uppgifter.
6
Bakgrund
TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) undersöker elevers kunskaper inom naturvetenskap och matematik i årskurserna fyra och åtta. Denna undersökning görs vart fjärde år och studien görs med hjälp av enkäter från flera olika länder som jämförs länderna emellan. Den senaste undersökningen visar att svenska elever i årskurs fyra presterar genomsnittligt sämre av de 59 länder som ingår i EU/OECD. Den matematiska studien i denna rapport riktade in sig på elevers förståelse för centrala matematiska begrepp samt hur de tillämpar olika beräkningsprocedurer (Skolverket, 2008, s. 8).
Enligt den senaste undersökningen som gjorts av Skolinspektionen, där de gjorde en granskning av undervisningen i matematik, ges inte eleverna tillfälle att utveckla sina förmågor i problemlösning. Inspektionens resultat var att få lärare har tillräckliga kunskaper i matematik som ämne samt om läroplanen och kursplanen. Skolinspektionen menar även att de svenska skolorna har en ojämn kvalitet på matematikundervisningen i förhållande till de nationella riktlinjer och mål. De menar då att denna lucka som finns mellan undervisningen och de mål som finns i kursplanen skapas genom att elever inte får möjligheten till att använda sig av matematik i en verbal mening, utan den främsta färdighetsträningen de får är det traditionella arbetet av enskilt arbete med läroböcker. (Skolinspektionen, 2009, s. 8, 22).
Trots brist i elevers matematiska förståelse och många år av forskning använder sig många elever av procedurer och tillämpningar som de har lärt sig utantill (Lithner, 2008, s.255). Lithner (ibid.) menar att man ska fokusera mer på kreativt tänkande i form av problemlösning och föra matematiska resonemang. Utifrån ett teoretiskt ramverk som Lithner har utformat finns det olika kategorier för matematiska resonemang. De två huvudkategorierna är imitativt resonemang och kreativt matematiska resonemang. Lithner menar då att det sker för mycket av det imitativa resonemanget hos elever, då de ”kopierar” matematiska procedurer och formler istället för att fokusera mer på den kreativa matematiken i form av problemlösning och föra resonemang som de kan stödja sig på.
Skott et al. (2010) diskuterar den framryckning som skett med argumenterande matematik som präglar dagens skola där betoning på hur man kan stödja eller motverka att eleverna utvecklar förståelse för resonemang och bevisning spelar för roll i matematikundervisningen. I denna sorts undervisning är det väsentliga att elever fångas i att sträva mot att förklara, underbygga eller motivera för sina lösningar och observationer. Fokus ligger på att eleverna ska kunna förklara, men detta bygger också på att de kan underbygga sina förklaringar och resonerande i en matematisk grund (2010, s. 135).
7
Litteraturöversikt
Tidigare forskning
I detta avsnitt kommer ett antal tidigare studier att sammanfattas för att nämna ett antal studier som gjorts med anknytning till Lithners teoretiska ramverk samt några av dessa kommer att redogöras lite närmare för att visa på de olika områden som undersökts. Därefter kommer en kategorisering och beskrivning av de olika resonemangen som ingår i Lithners teoretiska ramverk.
Det har gjorts ett antal undersökningar på elevers resonerande inom matematik; de flesta av dessa har varit inriktade på högstadiet, gymnasiet och universitetselever. Dessa studier visar på att kreativa matematiska resonemang har varit till viss del frånvarande och att majoriteten av resonemang som förts har varit av imitativ kategori (Bergqvist, 2006; Lithner, 2000; Perner, 2010;
Sumpter, 2009; Øystein, 2011).
Johan Lithner gjorde i sin studie en undersökning på fyra studenter som gick sitt första år på universitet, där studien syftar till att undersöka vad det fanns för underliggande problem vid studenternas matematiska uträkningar. Han såg att studenterna fokuserade på att identifiera det familjära eller de ihågkomna egenskaper som kunde finnas till de problem dem ställdes inför, istället för att se till de matematiska egenskaper som problemet byggdes på (Lithner, 2000).
I Ewa Bergqvist avhandling undersöks vad det är för resonemang som krävs när studenter på universitetsnivå gör tentamensuppgifter inom matematik. Resultatet indikerar att i nästan alla tentorna kunde studenterna bli godkända genom att endast använda sig av imitativt resonemang.
Detta undersökte Bergqvist vidare genom intervjuer med sex av de lärare som utformade tentorna med syftet var varför det räckte med att studenterna använde sig av imitativt resonemang för att bli godkända och varför utformningen av tentorna såg ut som de gjorde.
Hennes resultat var att lärarna ansåg att uppgifter som innehöll kreativt matematiska resonemang var svårare att lösa än de som innehöll imitativa resonemang. Lärarna menade också att utifrån studenternas försämrade förkunskaper kunde de inte kräva mera kreativt resonerande vid tentamenstillfällena (Bergqvist, 2006)
Förra året gjordes det två examensarbeten där undersökningarna var inriktade på årskurs två.
Dessa studier är av intresse för denna studie på grund av sina närliggande undersökningar av årskurser och denna studie syftar till att vara som en brygga mellan de två studier som gjorts för de lägre åldrarna och studierna som gjort i högstadiet och gymnasiet. Den ena studien gjordes utifrån Lithners teoretiska ramverk och fokuserade på problemlösning med ”lika med”. Det resultat som kom fram i denna studie var att eleverna som utförde problemlösningarna hade i större grad kreativt matematiska resonemang (KMR) (Haegermark Lundin, 2011).
8
Det andra examensarbetet gjordes även det utifrån Lithners teoretiska ramverk och studien var inriktad på årskurs två inom området ”positionssystemet”. Resultaten indikerade att de observerade eleverna i störst utsträckning använde sig av familjär aritmetiskt resonemang (FAR) som då är en underkategori av imitativt resonemang (IR) (Davidsson & Hidefält, 2011).
Likhetstecknet
Matematikundervisningen ska enligt kursplanen innehålla ”matematiska likheter och likhetstecknets betydelse” och även ”obekanta tal och deras egenskaper samt situationer där det finns behov av att beteckna ett obekant tal med en symbol” inom området om algebra (Skolverket, 2010, s. 63f).
Likhetstecknet symboliseras med tecknet = och används för att ange att två uttryck betecknar samma värde. Det kan utläsas som två olika beteenden, ”är lika med” eller ”är”. Detta matematiska tecken har en betydelse av två storheters lika stora, det menas att höger och vänsterledet av likhetstecknet har en vänster – höger – ekvivalens, alltså är talet ett uttryck för en symmetrisk relation. Ett problem inom matematiken är att till exempel sex plus fem blir elva, då detta blir missvisande för det blir ingen förändring av talen, då skulle sex plus fem vara ett värde som sedan ändrades till något annat (Kiselman & Mouwitz, 2008, s. 16; Skott et al., 2010, s. 680).
Detta är även något som Bergsten, Häggström och Lindberg (1997, s. 51f) ser som ett problem i de tidiga skolåren då eleven räknar från vänster till höger i de matematiska uppgifterna.
Elever ser likhetstecknet som en uppmaning att genomföra beräkningen och sedan skriva talet på höger sida av likhetstecknet. Detta kallas för ett statiskt sätt att se på likhetstecknet. Elever kommer tidigt i kontakt med denna typ av synsätt och räknar tusentals uppgifter av just denna sort. Detta dynamiska, operationella sätt menas med att den högra sidan finns och genom att räkna ut vad det blir så skapas den högra sidan av likhetstecknet. Ett exempel på detta är 4+7=, då elever som inte använder ”är lika med” tänker att de först ska göra en uträkning på talet som sedan ger svaret vad det ”blir” i den högra delen. Ett annat sätt att se på likhetstecknet är det statiska som är strukturellt. Om man har detta statiska synsätt så kan man med se att båda delarna är lika mycket värda men att det kan stå olika operationer i de båda rutorna. Ett exempel på dessa olika synsätt är: 6 + 3 =__ och 6 + 3 = __ + __. I den högra uppgiften så ges det ett större utbud av lösningar för personen eftersom det inte finns ett givet svar. Det är även detta sätt som är det statiska, då man ska veta att talets båda sidor är lika mycket. Det är på detta sätt som eleven kommer ifrån tankesättet att det ska ”bli” och går till att se likheten som ”är lika mycket”.
Genom att man tolkar likhetstecknet endast på ett dynamiskt sätt ger svårigheter när man senare ska arbeta med ekvationer. Forskning visar på att en bredare kunskap av likhetstecknets betydelse ger goda förutsättningar att klara av att tolka ekvationer. Det är då oftast det statiska sättet som fattas hos elever då de endast ser det vänstra ledet som en operation och den högra som en summa av ett tal (Bergsten et al., 1997, s. 51f; Skolverket, 2008, s. 29).
9 Teoretiskt ramverk för matematiska resonemang
I detta avsnitt kommer en redogörelse av vad det teoretiska ramverket (Lithner, 2008) innehåller samt de olika kriterierna för kategorierna.
Med kreativt matematiska resonemang menas att problemlösaren kan grunda sina resonemang i problemets matematiska komponenter och kan ta till olika strategier för att nå en slutsats. I resonemangsstrukturen som Lithner (2008, s. 257) beskriver innehåller fyra steg i hur man löser ett problem:
1. En problemsituation (PS) uppstår där problemlösaren som för denne inte är helt självklar hur den ska lösas.
2. Ett strategival (SV) görs, där ”strategi” kan variera från lokala procedurer till generella tillvägagångssätt och ”val” kan tolkas i en vid bemärkelse så som välja, komma ihåg, konstruera, upptäcka, gissa o.s.v.
3. Strategin implementeras (SI), vilket kan stödjas i verifierande argumentation som kan visa varför strategin löste uppgiften.
4. En slutsats (S) erhålls.
I Lithners mening så är ett matematiskt resonemang inte nödvändigtvis formellt logiskt, inte heller behöver det vara ett ”rätt” svar utan det handlar om att personen kan lyfta fram sina beslut som görs och argumentation som förankras i matematiska resonemang (Lithner, 2008, s. 257).
Kategorisering av resonemang
Syftet med Lithners teoretiska ramverk är att se till elevers matematiska resonemang som delas upp i två huvudkategorier, imitativt resonemang (IR) och kreativt matematiska resonemang (KMR).
Matematiska resonemang
Imitativt (IR) Kreativt matematiska resonemang (KRM)
Memorerat (MR) Algoritmiskt (AR)
Familjärt AR (FAR)
Begränsat AR (BAR) Guidat AR (GAR)
Text-guidat Person-guidat
10
Imitativa resonemang (IR) syftar till att problemlösaren använder sig av en tidigare lösningsprocedur som denna kommer ihåg vid tidigare tillfälle eller imiterar en tidigare löst uppgift och detta resonemang saknar de underbyggda argument som problemlösaren kan stödja sig på som man finner i kreativt matematiska resonemang. Detta imitativa resonemang delas in i ytterligare två undergrupper, memorerat och algoritmiskt resonemang.
Memorerat resonemang (MR) saknar helt argument för sin slutsats och ger ingen förklarning till lösningen av problemet. MR definieras av två punkter:
1. Val av strategi grundas i att komma ihåg ett färdigt svar.
2. Strategins genomförande består endast av att skriva ner det.
Ett exempel är: Hur många deciliter går det på en liter?
Algoritmiskt resonemang (AR) består av en given problemlösning. Problemlösaren behöver inte komma på en lösning, snarare behöver problemlösaren endast en algoritm för att lösa problemet (Lithner, 2008, s. 259). Detta resonemang preciseras av två punkter:
1. Strategivalet utgörs av en memorerad algoritm som kan tillämpas på problemet. Det finns ingen anledning att skapa en ny lösning.
2. Vidare resonemang är obetydlig för lösningen, endast ett slarvigt misstag kan förhindra ett rätt svar.
Ett exempel på detta resonemang är en uppställning av en aritmetisk uppgift: 35+26.
Algoritmiskt resonemang delas in i ytterligare tre undergrupper; Familjärt algoritmiskt resonemang, begränsat algoritmiskt resonemang och guidat algoritmiskt resonemang.
Familjärt algoritmiskt resonemang (FAR) menas med att problemlösaren känner igen problemsituationen och använder sig av en bekant algoritm som definieras genom två punkter (Lithner, 2008, s. 262):
1. Strategivalet görs med anledning av ett bekant slag av algoritm som överensstämmer med tidigare genomförd algoritm.
2. Algoritmen genomförs.
Ett resonemang kan identifieras genom att problemlösaren känner igen typen av uppgift på grund av innehållet i texten, grafiskt eller symbolisk liknelse av tidigare löst uppgift.
Begränsat algoritmiskt resonemang (BAR) menas med att problemlösaren testar sig fram till en för honom/henne accepterad lösning eller svar utifrån ett begränsat antal algoritmer som problemlösaren känner till och om en korrekt lösning inte fås så prövar problemlösaren en annan algoritm utan vidare reflektion. Detta resonemang definieras av två punkter (Lithner, 2008, s.
263):
1. En algoritm väljs utifrån ett begränsat förråd av problemlösaren genom algoritmens ytliga relation till uppgiften och resultatet är inte givet.
2. Argumenten är baserade på en ytlig hänsyn som endast är relaterad till problemlösarens förväntningar av lösning eller svar.
11
Guidat algoritmiskt resonemang (GAR) är uppdelad i två kategorier; text-guidat och person- guidat resonemang.
Text-guidat resonemang är en av de vanligast förekommande resonemang eleverna för när de resonerar individuellt och i grupp. Här finns det två villkor för detta resonemang (Lithner, 2008, s. 263):
1. Strategivalet görs utifrån ytliga likheter mellan uppgiften och ett exempel, definition, regel eller någon annan situation tagen från en textkälla.
2. Algoritmen genomförs utan argumentation.
Person-guidat resonemang menas med att en mer kunnig till exempel en lärare guidar eleven i rätt riktning vid lösandet av en matematisk uppgift. Här följer en definition på resonemanget (Lithner, 2008, s. 264):
1. Alla strategival som visar sig vara problematiska för problemlösaren blir genomförda av en guide som inte ger någon argumentation för valet av strategi.
2. Genomförandet av strategin görs genom vägledning av guiden och den fortsatta rutinmässiga transformationen utan vidare argument.
Kreativt matematiska resonemang (KMR) som är en separat kategori från matematiskt resonemang uppfylls genom följande kriterier (Lithner, 2008, s. 266):
1. Nyhet. En ny resonemangssekvens skapas hos problemlösaren eller en gammal blir återskapad.
2. Rimlighet. Det finns argument som stödjer strategivalet och/eller strategins genomförande motiverar varför slutsatsen är sann eller möjlig.
3. Matematisk grund. Argumenten är förankrade i inre matematiska egenskaper hos komponenterna som ingår i resonemanget.
KMR behöver inte vara en utmaning som problemlösnig utan kan även inkludera elementära resonemang. Enligt Lithner så är majoriteten av resonemang av AR karaktär och KMR är sällsynta.
Nyare studier på elever i yngre åldrarna (Davidsson & Hidefält, 2011; Haegermark Lundin, 2011) visar dock på att det finns varianter av kreativa resonemang som inte täcks in i Lithners ramverk.
Kreativt algoritmiskt resonemang (KAR) förs genom att problemlösaren inte har en matematisk argumentation i sitt resonerande då personen inte har tillräckliga förkunskaper inom området. Personen resonerar istället utifrån individuella definitioner av begrepp som kan vara helt irrelevanta och inte kan argumentera utifrån korrekta matematiska grunder (Davidsson &
Hidefält, 2011, s. 44).
Under en annan studie förekommer resonemanget kreativt begränsat resonemang (KBR) som har en grund i KMR då problemet är en nyhet för problemlösaren men i KBR så finns det begränsningar i problemlösarens rimlighet och argumentation utifrån en matematisk grund.
(Haegermark Lundin, 2011, s. 32).
12
Detta ramverk har valts till denna studie på grund av dess breda användningsområde samt att den är ett beprövat verktyg som används inom matematik. Svagheten med ramverket är att det gjorts på ett fåtal studier som haft inriktning mot de lägre åldrarna som kan bli missvisande i förhållande till de studier som gjorts mot de högre åldrarna. Vidare forskning behövs för diskussion av elevers resonemang och resonemangens grund i förhållande till varandra.
13
Syfte och frågeställningar
Syftet med denna studie är att, utifrån Lithners forskningsramverk studera elever i årskurs 4 matematiska resonemang i lösning av uppgifter som innehåller begreppet ”lika med”
Mina frågeställningar är:
Vilka av de resonemang som förekommer i Lithners ramverk använder sig eleverna av?
Vad förankrar eleverna sina kreativt matematiska resonemang (KMR) i?
Vad är det eleverna ersätter den matematiska grunden vid sina imitativa resonemang (IR)?
Finns det resonemang som inte går att kategorisera utifrån ramverket?
Dessa frågeställningar kommer att besvaras genom att studeras elevernas matematiska resonemang genom videoobservation som metodval.
14
Metod
Urval och avgränsningar
Observationerna gjordes i en årskurs 4 på en liten skola i mellersta Sverige. Dessa observationer gjordes på fyra olika elever som låg på en kunskapsnivå steget över medel för att säkerställa att eleverna hade tillräckliga kunskaper för uppgifterna och denna bedömning av kunskapsnivå har elevernas lärare tagit. Valet av elevernas kunskapsnivå bestämdes för att stämma överrens med tidigare forskning inom området samt att eleverna skulle finna utmaning i de uppgifter som tagits ut för studien. Dessa elever har jag haft under min sista VFU-period på lärarutbildningen och med detta vill poängteras att eleverna känner observatören sedan innan och detta kan medföra att de kände sig mer bekväma i situationen. Det kan även medföra att de går in i en lärare - elev roll istället för att se mig som en observatör. Genom observationer av klassens matematiklektioner gjorde jag ett medvetet urval baserat på vad de har för kunskapsnivå samt hur gärna eleverna ville kommunicera matematik, både skriftligt och verbalt. Med detta menas att eleven inte skulle känna sig förnärmad eller känna obehag när jag ställde frågor om hur de tänkte kring uppgifterna. Då matematik läraren plockade ut elever utifrån kunskapsnivå, gjorde jag därefter ett urval med åtanke av elevernas kommunikativa och skriftliga förmåga för ämnet.
Utifrån mitt syfte och frågeställningar om hur elever i årskurs fyra använder sig av matematiska resonemang valde jag att göra en kvalitativ observation av två pojkar och två flickor för att kunna neutralisera eventuella könsskillnader. Elevernas föräldrar har fått hemskickat ett skriftligt dokument om godkännande av studien och har då gjort detta i samråd med respektive elev.
Det förbestämda området ”likheter” var ett val som gjordes utifrån vad eleverna jobbade med under observationsperioden, och som då var olika slags algoritmer för de fyra räknesätten. Därför valdes ”likheter”, med en utformning av problemlösande karaktär, för att det låg nära det område de arbetade med för tillfället och uppgifterna vid observationstillfället utformades i samråd med min handledare för att skapa möjligheter för problematiska situationer.
En problemuppgift karaktäriseras genom att problemet inte har en given mall för problemlösaren att följa och att det ska vara ett nytt problem för lösaren samt att det kräver en ansträngning av problemlösaren för att utföra problemet (Haglund, Hedrén & Taflin, 2005, s.
27).
Datainsamling
Esaiasson et al. (2007, s 344) menar att observationer lämpar sig till undersökningar om processer eller strukturer som är svåra att beskriva med ord. Termen observation är, enligt etnologer,
15
missvisande då det framstår som att observation endast tas upp genom synen, men då även till exempel ljud, lukt och smak kan vara minst lika viktiga i en studie. Observationen gjordes med hjälp av videoinspelning med tillhörande stativ som var positionerad bakom eleven med fokus på pappret som eleven gjorde sina matematiska uträkningar på. Fördelarna med att använda ett kamerastativ är att kameran ”sköter sig själv” och att bildkvaliteten oftast blir bättre med ett stativ. Denna form av kameraanvändning lämpar sig bra till denna studies syfte då eleven utförde sina problemlösningar sittandes still vid ett bord (Heikkilä & Sahlström, 2003, s. 37).
Fokus i denna metod ligger på att se till de matematiska resonemang eleverna för och därför hade jag en relativt aktiv roll i observationen. Med detta menas att jag som observatör satt bredvid eleven när problemlösningen gjordes och ställde frågor om hur eleven tänkte kring uppgiften, vilka resonemang som förts och försökte få fram argumentation för deras slutsatser.
Merriam (1994, s. 106) har gjort kategoriseringar av observatörens roll i en observation. Där identifieras denna studies roll som ”deltagare - observatör” då rollen som observatör är känd för gruppen men det observatören gör är av sekundär betydelse för undersökningen.
Med hjälp av videoinspelning så kunde jag efter avslutad observation gå tillbaka för en djupare och detaljrik analys av materialet. Esaiasson et al. (2007, s. 353) menar att videoinspelning har en fördel mot vanliga anteckningar vid observationstillfället då vanliga anteckningar på papper medför att observatören inte hinner med att anteckna allt som sker. Därför valdes videoobservation till denna kvalitativa studie för att få ut så mycket av tillfället som möjligt i avseende av ljudupptagning, då olika röstlägen och pauser kan analyseras samt det som eventuellt skrevs.
Denna typ av observation av elevers matematiska resonemang har gjorts vid tidigare tillfällen (ex Haegermark Lundin, 2011; Davidsson & Hidefält, 2011) där även de observationerna var öppna för eleverna, alltså eleven själv var medveten om att han/hon blev filmad och eleven visste innan observationen startade att syftet inte var att se hur många rätt som gavs utan hur eleven kom fram till sina resonemang.
Eleven satt enskilt med mig och blev tilldelad ett förberett material med bestämda matematiska problem som jag och min handledare bestämde i förväg. Detta material utgick eleven från när denne skulle göra de matematiska problemlösningarna, samtidigt som jag som observatör ställde frågor om hur eleven tänkte och om eleven kunde förklara hur han/hon tänkte vid val av strategi. Detta gjordes vid de tillfällen då oklarheter uppstod eller när jag ansåg att eleven inte hade redogjort tillräckligt hur de tänkte. Som observatör är man aldrig helt passiv (Merriam, 1994, s. 106). Eleven fick en max tid på 20 minuter för samtliga uppgifter och skulle göra så mycket som möjligt på den tiden, med det menas att eleven skulle föra så mycket resonemang som möjligt. Dock var det några av eleverna som var klara med uppgifterna efter 15 minuter. Eleven blev tilldelad en uppgift i taget för att öka koncentrationen vid varje enskild uppgift. Under observationstillfällena så var observatören samt eleven placerade enskilt i ett mindre klassrum där de kunde utföra studien ostört.
16 1. Vad ska det stå för tal i påsen?
a)
b)
2. Vad ska det vara för tal i alla påsarna?
(Taget ur Alseth, Nordberg & Røsseland, (2008). Pixel Matematik 5 Övningsbok, s. 72-73)
3. Vad är x?
a) x – 50 = 650
b) + 100 = 400
c) x + x + x = 55 + 35
(Taget ur Olsson & Forsbäck (2011). Matte Eldorado 4A, s. 146-147)
I den första uppgiften illustreras likhetstecknet med en våg som visar på att det måste finnas lika mycket på båda sidorna för att det ska väga jämnt. Detta ska då stärka eller påminna elevens uppfattning av likhetstecknets mening. Då eleverna inte har arbetat inom ekvationer med x så användes denna våg i första uppgiften för att tydligöra jämvikten som ska finnas mellan två tal. I uppgift 1 b så valdes en uppgift där uträkningen skedde i den vänstra delen av vågen för att se till att just lika och likhetstecknet har en betydelse av ”är lika med” och inte ”det blir” som nämnt i sektionen om likhetstecknet.
Uppgift två bygger på att ta successivt ta bort vågen och det konkreta med att det ska ”väga jämt” och istället fokusera mer på att eleven ska röra sig i begreppet ”är lika med”. Detta görs genom att påsarna är markerade med x och de ska väga lika mycket. Progressionen från uppgift 1 till 2 består av övergången från ett konkret material till en mer abstrakt matematisk struktur där x har en mer betydande roll i problemlösningen.
I uppgift 3 har progressionen gått till att bli helt matematiskt abstrakt och det finns inget medel av konkret bildstöd. Det sker en progression av svårighetsgrad även i de olika
x 2
17
deluppgifterna där första uppgiften handlar om subtraktion av ett okänt tal. Vidare följer division och addition då eleven ska med hjälp av de kunskaper denne har kunna lösa problemet med hjälp av olika tankesätt. I den sista deluppgiften så ska problemlösaren ha en förståelse till hur likhetstecknets mening, då fokus ligger på att förstå att det ska bli samma summa på de båda sidorna av likhetstecknet samt kunna dela upp den totala summan över tre x som ska vara lika mycket värda sinsemellan.
Metod för dataanalys
Av de fyra videoobservationer som utfördes transkriberades samtliga. Fokus låg på dialoger mellan elev och observatör samt relevanta pauser som lyftes fram. Med detta menas att det som sades av elever och observatör transkriberades tillsammans med andra ljud så som suckar och mummel. Det förekom en hel del tysta stunder som även dessa antecknades för eventuell vidare analys. Därefter gjordes en grovanalys av transkriberingen.
Under grovanalysen kategoriserades uppgifterna antingen som rutinuppgifter, som då inte analyserades djupare, eller som en problemsituation som då analyserades vidare. Observationerna sorterades i problemsituationer (PS) utifrån Lithners definition av ett problem (2008, s. 257). Det kunde förekomma fler än en PS i varje uppgift och dessa analyserades individuellt. Efter att problemet blev kategoriserat som en PS så identifierades det strategival (SV) som förts och därefter om eleven gjorde en strategiimplementering (SI) samt eventuell slutsats (S) erhålls.
När uppdelningen av rutinuppgifter och problemsituationer var gjorda analyserades problemsituationer ytterligare för att behandla frågeställningen om vad det var för resonemang eleverna använde utifrån Lithners ramverk av resonemang (2008). I denna del av analysen låg fokus på att identifiera kategorierna utifrån de beslut eleverna tog utifrån sina argument och vad för matematiska grunder dessa förankrades i. Utifrån vad dessa argument och besluts förankrades i, avgjordes vilket resonemang eleven förde i respektive PS.
Kritiska reflektioner angående metoden
En fördel med att använda sig av direktobservationer är att man som observatör själv gör de iakttagelser som behövs för studien och man behöver inte förlita sig på andra forskares återberättanden. Denna metod kommer väl till hands när det handlar om att studera processer som är svåra att omformulera till ord, då i detta fall när det gäller barn som har en lägre förmåga att formulera sig verbalt (Esaiasson et al., 2007, s. 343f). En nackdel med att använda sig av videoobservation är att det inledningsvis kan dra till sig uppmärksamhet och att detta då kan påverka resultatet av studien (Heikkilä & Sahlström, 2003, s. 38; Merriam, 1994, s. 110).
I denna typ av observation är videokamera en av de mest precisa instrument man kan använda sig av. Under observationen finns det ingen tid till att föra fältanteckningar för man måste som observatör ha totalt fokus på att följa problemlösarens resonerande och med hjälp av
18
videokameran så fångas uträkningar, argument och andra detaljer upp på ett så tillfredställande sätt som möjligt. En negativ faktor med att använda sig av videokamera var att en del elever kan ha känt en påfrestning och blivit nervösa inför utförandet av problemen då detta kan ha påverkat resultatet av observationen.
Esaiasson et al. (2007, s. 70, 355) diskuterar hur man ska handskas med validitet och reliabilitet som kan finnas vid observation. De menar att problematiken kan vara att man som observatör gör en undersökning att ett flertal faktorer kan ha en avgörande roll i studien, så som observatörens val av utrustning, genomförande och de faktorer som påverkar elevens prestation.
I denna undersökning har de faktorer om utrustning tagits i åtanke då videokameran fångar upp allt som sker under observationen och utelämnar inget i frågan om det man höra och ser. Att använda sig av kamera har då en högre reliabilitet på grund av att eventuella slarvfel elimineras på grund av att kameran kan ta upp all information som sägs och ses.
Etiska aspekter
På Vetenskapsrådets hemsida står det att man som forskare har stora krav på sig att under arbetet bedriva en god forskningsetik. De data och material man samlar in får inte spridas vidare till andra parter. Vetenskapsrådet har konkretiserat individskyddskravet till fyra generella huvudkrav:
Informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (vr.se).
Informationskravet menas med att man som forskare ska informera de berörda personerna om forskningens syfte. Man ska även som forskare redogöra för vilka metoder man kommer att genomföra och även redogöra för eventuella risker som personen i fråga kan utsättas för.
Samtyckeskravet kräver att deltagarna i studien har själv rätt till att bestämma över medverkan.
Man ska inte som forskare försöka göra otillbörlig påtryckning eller påverkan på deltagaren. Om deltagaren inte är myndig, det vill säga under 18 år, så ska man ha målsmans samtycke.
Konfidentialitetskravet poängterar att forskaren ska visa stor respekt för det material som har samlats in. Detta får inte spridas vidare eller utnyttjas på andra sätt än vad parterna har kommit överens om.
Med nyttjandekravet menas att forskaren inte får använda materialet till något annat ändamål än vad denne har informerat deltagaren om. Forskaren ska under lämpligt tillfälle ge deltagaren, vid intresse, resultatet av forskningen samt var den kommer att publiceras (vr.se)
I denna studie beaktas samtliga av dessa krav. Informationskravet tillfredsställer jag genom att jag har skaffat ett muntligt godkännande från den berörda rektorn samt lärare och dessutom skicka hem ett missivibrev till föräldrarna där jag informerat om min studie samt bett om en signatur för godkännande av observationerna (se bilaga 1). Jag har även informerat de berörda elever som jag har observera.
Samtyckeskravet uppfyllde jag genom att dels har fått ett samtycke från föräldrarna men även informerat eleverna innan observationen att de kan lämna när de vill. De skulle inte behöva
19
känna sig tvingade till deltagandet. Jag har även informerat eleverna om vad det var jag tänkte observera och min delaktighet i studien.
Konfidentialitetskravet uppfylldes genom att endast jag ser datainsamlingen och efter forskningen är klar makulerar jag den insamlade data. Eftersom jag inte filmade elevernas ansikten blev det en ökad anonymitet av eleverna.
Nyttjandekravet tog jag hänsyn till genom att det endast var jag som handskades med materialet och det kommer endast att användas i denna studie.
20
Resultat & analys
I detta avsnitt kommer resultaten och analyserna från de fyra videoobservationerna att presenteras. Både resultatet och analysen av elevernas prestationer kommer att kategoriseras och sammanställas utifrån Lithners teoretiska ramverk av resonemang (2008). Av de totala 28 deluppgifter som eleverna gjorde sammanlagt så framkom det 32 problemsituationer (PS) som har identifieras utifrån ramverket. Av de 32 PS som analyserades identifierades 19 resonemang som rent KMR. En PS kunde identifieras till underkategorin KBR som då inte finns med i Lithners ramverk utan användes först i ett examensarbete (Haegermark Lundin, 2011, s. 21). De återstående 12 PS var av rent imitativt resonemang vara 5 FAR och 7 BAR.
Resultatet kommer att presenteras tillsammans med analysen, ett resonemang i taget.
Inledningsvis kommer en kort beskrivning av respektive resonemang att redogöras, varpå illustration av uppgiften och dialogen som fördes redogörs. Därefter presenteras analysen i form av en resonemangsstruktur där de olika delarna av en problemsituation sammanställs och slutligen en analys av resonemanget.
Kreativt matematiska resonemang (KMR)
KMR uppfylls och kännetecknas av tre kriterier. Det första är att problemet ska vara en ”nyhet”
för problemlösaren eller att en glömd sekvens återskapas. Det andra är ”rimlighet”, då det finns argument för strategival och/eller strategiimplementering genomförande motiverar varför slutsatsen är sann eller möjlig. Det tredje kriteriet är att det ska finnas en matematisk grund för resonemanget, argumenten ska vara förankrade i matematiska egenskaper hos komponenter som ingår i resonemanget. KMR behöver inte vara en vidare stor utmaning i frågan om problemlösning utan kan finnas i de mest elementära resonemang. Under analysen så uppkom det 19 PS som var KMR. Nedan följer två olika exempel av detta resonemang.
Exempel 1
Analysen som görs i detta exempel är gjort av Saga som ska lösa uppgift 1, deluppgift a. Viss dialog mellan Saga och observatören har redigerats bort på grund av irrelevans för analysen. Saga förkortas med S och observatören med O.
(Taget ur Alseth et al., 2008, s. 72)
21 Dialog
S: Jag fattar inte riktigt vad det är för någonting. Det är 150 och där är det 100.
S: Det ska vara lika mycket på varje sida.
O: mmm, ok.
Saga skriver 50 i påsen O: ok, hur tänker du där då?
S: Eftersom det där är 150 (pekar på påsarna på högra sidan av vågen).
O: mmm.
S: Och det där är 200 (pekar på de två påsarna på vänster sida) så behöver 150 50 för att bli 200.
O: mmm, ok.
Resonemangsstruktur
När Saga löste denna deluppgift framkom denna resonemangsstruktur: problemsituation (PS), strategival (SV), strategiimplementering (SI) och sist slutsats (S).
PS: Vad är x?
SV: Adderar högerledet och sedan vänsterledet. Ser sedan vad som fattas i högerledet.
SI: Rakt på.
S: x = 50 Resonemang
Detta resonemang klassificeras som KMR, dels för att det är ett nytt problem för Saga genom orden ” Jag fattar inte riktigt vad det är för någonting.” Detta visar att uppgiften innehåller ett problem som Saga inte har stött på tidigare. Man kan se att hon finner de matematiska egenskaperna i uppgiften med orden ”det ska vara lika mycket på varje sida” då detta visar att hon förstår att det ska vara jämvikt mellan höger – och vänsterledet. Hon förankrar sina argument i korrekta matematiska grunder, det vill säga högerled är lika med vänsterled, med sin implementering av att addera respektive led för att få ut mellanskillnaden.
Exempel 2
Detta exempel är tagen från när Erik ska lösa uppgift 1, deluppgift a. Resterande deluppgifter har redigerats bort på grund av irrelevans för analysen. Erik förkortas med E och observatören med O.
(Taget ur Alseth et al., 2008, s. 72)
22 Dialog
O: Hur ska du tänka där?
E: Jag tänker typ 100 plus 100 sen plus… (pekar på den vänstra delen av vågen). Och sen kan man tänka 100 plus 50 (syftar till den vänstra delen av vågen).
O: Vad sa du? 100?
E: plus 50, för det är ju… (pekar på hela vågen).
E: aha! Hur… så att det ska bli jämvikt… eller?
O: mmm.
E: ah men då ska det stå 50 (skriver 50 på pappret och som syftar till x: ets värde).
O: Och hur tänker du där då?
E: Jag tänker… 100 plus 100 det är 200 och sen 50 plus 50 plus 50 det är 150.
O: mmm.
E: Då behöver man 50 för att det ska bli 200, då blir det jämvikt.
O: Ah ok.
Resonemangsstruktur PS: Vad är x?
SV: Förankras i jämvikt. Separat addition av båda leden och se mellanskillnaden.
SI: Rakt på, S: x = 50 Resonemang
Detta är för Erik en ”nyhet” då hans ord var ”aha! Hur… så att det ska bli jämvikt… eller?”.
Detta visar att uppgiften med stor sannolikhet inte är en rutinuppgift utan innehåller ps. Han förankrar sitt argument av jämvikt i korrekta matematiska grunder när han adderar höger – och vänsterledet separat för att få ut mellanskillnaden av de olika leden. Erik har då uppnått båda de andra kraven för KMR då han dels argumenterar på ett rimligt sätt och kopplar dessa till en matematisk grund, som i detta fall är addition och mellanskillnaden de olika leden.
Kreativt begränsat resonemang (KBR)
Detta resonemang ingår inte i Lithners teoretiska ramverk utan har identifieras vid andra studier av elevers matematiska resonemang. Kreativt begränsat resonemang (KBR) har sin grund i KMR då kriteriet för att problemet ska vara en nyhet eller att en gammal återskapas ska finnas med.
Det som skiljer KBR från KMR är att det inte finns någon rimlighet i argumentationen och i den matematiska grunden. Vid observationerna så uppkom det endast ett fall av KBR i de PS som analyserades.
23 Exempel
Denna analys är ifrån Eriks resonerande av uppgift tre, deluppgift b. Det skedde två olika PS i denna uppgift, då Erik använder sig av ett annat resonemang i den första PS så redigerades den delen bort. I detta exempel så är det Erik som är problemlösaren, Erik förkortas med E och Observatören med O. Här nedan illustreras den deluppgift som är relevant för denna analys.
b) + 100 = 400
(Taget ur Olsson et al., 2011, s. 147)
Dialog
Tyst i 17 sek samt ohörbart mummel.
E: Om det är 300 delat på 2, då är det 150, 150… (ohörbart mummel) O: Vad sa du nu? Om… vad är x sa du?
E. Om x är 300 och så delar man det på två då får man 150 och 150, och 150 och 150 i var, det är 300 sen så plussar man det med 100 så blir det 400.
O: Ok, tror du det? Du får skriva det du…
E: kan man bara skriva 300 här?
O: Jag vill ha reda på vad x är.
Erik skriver 300 på pappret.
Resonemangsstruktur PS 2: Vad är x?
SV 2: Testar x = 300
SI 2: Felaktig uträkning 300/2 = 150 + 150 + 100 = 400 S: x = 300
Resonemang
Att Erik är tyst under de första 17 sekunderna tyder på att detta är för honom en PS som är ett av kriterierna för att vara KBR. Han för sedan ett argument som är förankrat till viss del i en matematisk grund men dock fallerar detta när han senare gör en felaktig division. Detta är vad som skiljer detta resonemang från att bli ett KMR. Han saknar grunden för en korrekt division och detta visar på ett begränsat val av algoritm. Erik gör resterande uträkningar på ett korrekt sätt och visar då att han har argumenterat för sin slutsats även om den är felaktig.
x 2
24 Familjärt algoritmiskt resonemang (FAR)
Familjärt algoritmiskt resonemang (FAR) kännetecknas av att strategivalet görs utifrån en tidigare utförd algoritm som överrensstämmer med det nya problemet och problemlösaren utgår ifrån den bekanta algoritmen och applicerar denna. Implementeringen av algoritmen görs utan vidare argumentation från problemlösaren då detta inte krävs. Under denna studiens analys så uppkom det 5 FAR av totalt 12 PS av rent imitativt resonemang.
Exempel
I detta exempel ska Elin lösa uppgift 2, deluppgift a. Eftersom analysen syftar till deluppgift a så har resterande deluppgifter redigerats bort på grund av irrelevans som illustreras nedan. Elin förkortas med E och observatören med O.
(Taget ur Alseth et al., 2008, s. 73)
Dialog
E: Vad ska det vara för tal i alla påsarna.
O: mmm. Hur tänker du här nu då?
E: hmm 100 där (drar med pennan över alla påsarna).
O: 100 i varje?
E: mmm.
O: Varför då?
E: För 100 gånger 3 är 300.
O: Ah, ok.
Resonemangsstruktur PS: Vad är x?
SV: Multiplicerar alla påsarna med etthundra.
SI: Rakt på, 100*3 S: x = 100
Resonemang
Elins säkerhet i uppgiften visas genom att hon utan tvekan utför en algoritm som hon är väl bekant med. Detta visar att hon med stor sannolikhet har utfört en liknande uppgift tidigare och använder sig av en algoritm som hon är väl bekant med. Genom valet av algoritm så behövs ingen vidare argumentation av varför hennes implementering är korrekt och en slutsats erhålls.
25 Begränsat matematiska resonemang (BAR)
Begränsat matematiskt resonemang (BAR) bygger på att problemlösaren använder sig av ett begränsat förråd av algoritmer och problemlösaren testar sig fram utifrån de få algoritmer som är till förfogande. Valet av algoritm bygger även på vad problemlösaren förväntar sig ska vara rätt eller sant. Om en tillfredsställande lösning inte erhålls, prövar problemlösaren en ny algoritm utan vidare reflektion. Utifrån de observationer som gjordes så identifierades 7 BAR av de totalt 12 PS som var av rent imitativt resonemang. Under denna sekvens uppkom tre olika PS där alla hade inslag av BAR, så dessa tre kommer att presenteras nedan. Detta görs för att kunna se helheten i de olika resonemang som Victor för. Victor förkortas med V och observatör med O. Nedan följer en analys av Victor som ska lösa uppgift 3, deluppgift b.
b) + 100 = 400
(Taget ur Olsson et al., 2011, s. 147)
Problemsituation 1
Dialog 1 (Tyst i 9 sek)
V: Två gånger två, här ska det vara två tror jag (pekar på x).
O: Hur tänker du då?
V: Nej… Men jag tror att det ska vara…
Resonemangsstruktur 1 PS 1: Vad är x?
SV 1: Multiplikation 2*2
SI 1: Ingen, Victor ser att det inte stämmer.
S 1: Ingen slutsats erhålls. Ny strategi väljs.
Resonemang 1
Victor börjar med att använda sig av en felaktig division som han inte förankrar i någon matematisk grund. Han ser själv att det inte stämmer och släpper den valda algoritmen utan att reflektera över varför den inte fungerade.
Problemsituation 2
Dialog 2
V: Nej det kan det inte va de, men 3/2 då hur mycket är det? (tyst i 22 sek).
O: Hur tänker du nu? Vad har vi här?
V: Det är ju någonting. Och det (pekar på 2:an) ska bli 300. Ska det väl?
x 2
26 Resonemangsstruktur 2
PS 2: Vad är x?
SV 2: Dividerar 3/2.
SI 2: Ingen görs, Victor är osäker och ser att det är något som inte stämmer.
S 2: Ingen slutsats. Ny strategi väljs.
Resonemang 2
Victor testar ytterligare en algoritm som inte förankras i de matematiska komponenter som hör till uppgiften. Victor är osäker och ser att det är något som inte stämmer och väljer att släppa algoritmen utan vidare reflektion.
Problemsituation 3
Dialog 3
V: De och de ska bli 300 (Pekar på divisionstalet). Och det är…
V: För två delat på två, det är ju ett. Men om man tar 5 delat på två… (tyst i 10 sek). Ska det bara stå ett sånt här tal? (Pekar på ekvationen)
O: Vadå?
V: Ett sånt här tal, ska det bara stå ett eller kan det typ stå 600?
O: mm ja de kan stå precis som du gjorde här uppe. (Visar på att eleven löste föregående uppgift med mer än ett ental i x). Så kan det ju va, som du sa 700 (alltså svaret i föregående tal).
V: mmm. (Tyst i 13 sek).
(Victor räknar mumlande).
V: 60 delat på 2 tror jag. Nej…
O: Vad blir de då?
V: 60 delat på 2, det är ju typ som 6 gånger 2 ju… 60 gånger 2... Eller? Det blir ju 120.
Resonemangsstruktur 3 PS 3: Vad är x?
SV 3: Victor ser 60/2 som 60*2 SI 3: Valet implementeras 60*2=120 S 3: x = 120
Resonemang 3
Här visar det att Victor är osäker på begreppet x så han frågar vad det betyder och får ett svar av observatören. Detta leder till att han använder sig av högre tal än bara ental vid sin division.
Men när han senare ska utföra sitt strategival så visar det att han inte har en korrekt matematisk grund i sitt genomförande då han ser division och multiplikation som lika sätt att utföra en algoritm. Allt detta tyder på att resonemanget klassificeras som BAR.
27 Sammanfattning av resultat & analys
Denna undersökning syftar till att se hur elever i årskurs 4 för sina resonemang i matematik inom det allmänna begreppet ”lika med”. Det har visat att de finns en spridning av de resonemang som eleverna gjort i sina individuella resonemang. Av de 32 resonemang som identifierades så var det 19 resonemang som var rena KMR, alltså majoriteten av resonemangen. 12 av de resonemang som analyserades var av imitativ karaktär där de placerades som fem FAR och sju BAR. Ett resonemang som presenterades i resultat och analysdelen var inte med i Lithners ramverk (2008).
Detta resonemang kategoriseras som KBR då detta har funnits i ett tidigare examensarbete där denna hamnar i en annan kategori än IR eller KMR. (Haegermark Lundin, 2011).
Vid de imitativa resonemangen så ersattes den matematiska grunderna i BAR med att eleverna testade sig fram med de algoritmer som de kände till och vid samtliga fall så resulterade det i felaktiga slutsatser. I många av fallen reflekterade inte eleverna över varför algoritmen inte stämde överrens med den slutsats som de antog att de skulle få utan de började antingen om på en ny algoritm eller gav upp om de inte hade några fler algoritmer som de kunde utnyttja. I de resonemang som kategoriserades som FAR använde sig eleverna av en familjär algoritm som de har använt vid ett tidigare tillfälle som de implementerar utan vidare reflektion eller argumentation. I det fallet då en elev använde sig av KBR fanns det indikationer av att problemet var en ”nyhet” för problemlösaren, som är ett kriterium i KBR likaväl som i KMR. Dock fanns det lite rimlighet i argumentation för lösningen av uppgiften, då implementeringen skulle genomföras, vilket är skillnaden mellan KBR och KMR. I de fallen som KMR förekom så synliggjordes den matematiska grunden fullt ut i elevernas resonerande då de skulle räkna ut jämvikt som då är kopplat till likheter. Även de argument eleverna visade för sina matematiska grunder var rimliga i relation till uppgifterna då ekvivalensen mellan de båda leden var lika stora.
28
Diskussion
Tidigare studier som har gjorts inom matematiskt resonerande har visat spridda resultat. I årskurs 2 har det gjorts två olika studier där det visade två helt skilda resultat. Ena undersökningen visade att eleverna använder sig i högre grad av IR (Davidsson & Hidefält, 2011) och i andra undersökningen så framkom KMR som det mest frekventa resonemanget (Haegermark Lundin, 2011). Haegermark Lundin (2011) gjorde sin studie med begreppen ”likheter” och ”lika med”
som användes i denna studie som då kan jämföras och belysas att elever använder sig av ett mer kreativt resonerande i jämförelse med andra undersökningar som skett inom andra matematiska områden.
I jämförelse till annan tidigare forskning som varit mer inriktat på de högre årskurserna så visade de sig att de eleverna använde sig i högsta grad av olika kategorier av IR. (Bergqvist, 2006;
Lithner, 2000; Perner, 2010; Sumpter, 2009; Øystein, 2011).
Denna studie hade som initialt tanke att fungera som en brygga mellan de tidigare åren och de senare åren för att se om det fanns någon distinkt övergång från KMR till IR. Resultaten visar att eleverna i större utsträckning använder sig av KMR vilket kan tyda på att övergången till IR sker vid en högre ålder. En bidragande faktor till att denna studie fick ett resultat av så mycket KMR kan vara att uppgifterna som eleverna löste innehöll mer visuellt stöd än andra studier som har gjorts inom området. Då de flesta studier är gjorda på elever som har studerat matematik i en högre utsträckning och har då fått ett större förråd av algoritmer som kan medföra till ett mer imitativt resonerande då de har haft en större utbredning av olika matematiska uppgifter. De IR som identifierades i denna studie var i högsta grad BAR som kan visa att eleverna har ett begränsat förråd av algoritmer för att lösa uppgifter. En faktor till detta resonerande kan vara att eleverna i denna studie är yngre än i de andra studier som har gjorts på äldre elever. MR var helt uteslutet i denna studie, som kan vara en indikator på att uppgifterna inom området lika med inte producerar faktakunskaper som behövs memoreras (Davidsson & Hidefält, 2011; Bergqvist, 2006; Lithner, 2000; Perner, 2010; Sumpter, 2009; Øystein, 2011).
Kopplat till bakgrunden i denna studie talar Lithner (2008) om hur vi strävar efter att eleverna ska föra ett mer kreativt resonerande i ämnet matematik och att vi strävar bakåt och att elever fortfarande använder sig av procedurer som är inlärda och görs utantill utan att de använder sig av någon argumentation. Detta är av intresse då denna studie visar på att elever använder sig i fler än hälften av fallen av KMR då de förankrar sina argument i matematiska grunder och visar på en hög rimlighet. Dock kan en av fallgroparna i detta antagande vara att de Lithner skriver om handlar om äldre elever och att det inte går att överföra till de lägre åldrarna. Men vart är det då övergången sker från att elever använder sig av KMR till att de använder sig av IR i högre grad?
Detta är något som inte kan besvaras utifrån denna studie utan vidare forskning behövs för att se vart denna övergång sker.
29
Hur väl passar detta ramverk på denna åldersgrupp? Utifrån de tidigare studier som gjorts om elevers resonerande i de tidigare åldrarna har det varit skilda resultat. I studien gjord av Davidsson & Hidefält (2011) visa det sig att majoriteten av resonemangen var av imitativ karaktär då de gjorde sin studie av positionssystemet. Intressant att notera är att Haegermark Lundins (2011) studie samt denna visade på högre grad av kreativt resonerande hos eleverna och hur ställer sig dessa två till den föregående studien? Anledningen till detta skilda resultat av studierna kan bero på upplägget då eleverna skulle utföra uppgifterna då Davidssons & Hidefälts (2011) studie kan ha varit mer abstrakt och att Haegermark Lundins (2011) studie samt denna innehöll mer konkreta illustrationer av uppgifterna som eleverna kunde reflektera mera kring. Detta leder oss då till frågan om Lithners teoretiska ramverk (2008) verkligen är anpassat för de lägre åldrarna? Eftersom elever i de yngre åldrarna är relativt nya inom matematiken och behöver mer konkret stöd i sin undervisning så kan detta ramverk vara missvisande då det är utformat för elever och studenter på en högre nivå inom matematik. Dock finns det en koppling mellan de yngre åldrarna och ramverket men det skulle behövas mer forskning inom området då ramverkets olika kategorier ständigt utökas för att tillfredställa de nya fenomen som upptäcks i de lägre åldrarna.
I bakgrunden redogjordes lärarnas brist på problemlösning i undervisningen samt deras brist på kunskap inom området. Detta ses som ett problem då eleverna inte får tillräckliga kunskaper inom området (Skolinspektionen, 2009). Denna studie är av vikt för lärare då detta visar på de olika resonemang som nu granskar av skolinspektionen i en högre grad och dess relevans har växt sig större. Denna studie kan ge verksamma lärare en inblick i de olika resonemangsstrukturer elever för samt att denna studie kan vara en hjälp i att särskilja en del av kategorierna och på så vis ge eleverna en rikare undervisning och samtidigt vara som ett stöd för lärare.
