FÖDELSE – DÖDSPROCESSER
En födelse-dödsprocess är en kontinuerlig Markovkedja som karakteriseras av att endast övergångar mellan närmaste tillstånd är tillåtna som i nedanstående figur.
Motsvarande Q-matrisen är
+
− +
− +
−
−
=
....
) (
0 0
0 )
( 0
0 0
) (
0 0
0
3 3
3 3
2 2
2 2
1 1
1 1
0 0
λ λ
µ µ
λ λ
µ µ
λ λ
µ µ
λ λ
Q
Konstanter λ0,λ1,λ2, kallas födelseintensiteter medan µ1,µ2,µ3, är dödsintensiteter.
En födelse-dödsprocess kan ha ändligt eller oändligt antal tillstånd.
--- Den stationära sannolikhetsvektorn p =(p0,p1,p2,p3,...)
får vi ur systemet 0
Q=
p , (ekv a)
3 1
2 1
0 + p + p + p +=
p (ekv b)
Från (ekv a) har vi
1 0
1 0
0 + =
−λ p µ p , (ekv 1) 0
)
( 1 1 1 2 2
0
0p − µ +λ p +µ p =
λ , (ekv 2) 0
)
( 2 2 2 3 3
1
1p − µ +λ p +µ p =
λ (ekv 3) 0
)
( 3 3 3 4 4
2
2p − µ +λ p +µ p =
λ (ekv 4)
……
Ovanstående system är ekvivalent med följande system:
1 av 6
1 0
1 0
0 + =
−λ p µ p , ekv A (=ekv 1)
2 0
2 1
1 + =
−λ p µ p , ekv B (= ekv A+ ekv 2)
3 0
3 2
2 + =
−λ p µ p ekv C (=ekv B+ ekv 3)
4 0
4 3
3 + =
−λ p µ p ekv D (=ekv C+ ekv 3) ---
Från ekv A, B, C, D… kan vi uttrycka sannolikheterna p , 1 p , 2 p ,... med hjälp av 3 p0
0 1 0
1 p
p µ
= λ ,
0 2 1
1 0 1 2 1
2 p p
p µµ
λ λ µ
λ =
= ,
0 3 2 1
2 1 0 2 3 2
3 p p
p µ µ µ
λ λ λ µ
λ =
=
….
0 3
2 1
) 1 ( 2 1 0 1
1 p p
p
n n n
n n
n µ µ µ µ
λ λ λ λ µ
λ
−
− − =
=
Alltså 0
3 2 1
) 1 ( 2 1
0 p
p
n n
n µµ µ µ
λ λ λ λ
−
=
Vi substituerar 0
3 2 1
) 1 ( 2 1
0 p
p
n n
n µ µ µ µ
λ λ λ λ
−
= , n=0, 1, 2, 3…i ekvationen
3 1
2 1
0 + p + p + p +=
p ,
och får p0.
2 av 6
ÖVNINGAR
Uppgift 1. En ändlig födelse-dödsprocess definieras nedan.
a) Bestäm p , 0 p , 1 p , 2 p 3 Lösning:
Först uttrycker vi p , 1 p , 2 p som funktioner av 3 p : 0
0 0
0 1 0
1 1.25
4
5 p p
p
p = = =
µ
λ (*)
0 0 0
2 1
1 0
2 1
5 4
4
5 p p
p
p =
⋅
= ⋅
= µ µ λ
λ
0 0
0 3 2 1
2 1 0
3 0.2
10 5 4
2 4
5 p p
p
p =
⋅
⋅
⋅
= ⋅
= µ µ µ λ λ λ
För att bestämmap substituerar vi (*) i villkoret 0 p0+ p1+ p2+ p3 =1. Vi får p0+1.25p0+1p0 +0.2p0 =1 .
Härav 3.45p0 =1 och därför = = 45 . 3
1
p0 0.2898550725.
Vi har beräknat p0 =0.2898550725. Med hjälp av (*) är det nu enkelt att beräkna alla andra sannolikheterp : k
0 1 1.25p
p = =0.3623188406
0
2 1p
p = =0.2898550725
0 3 0 p.2
p = =0.05797101449
0 1 2 3
5 4 2
4 5 10
3 av 6
Svar: (p , 0 p , 1 p , 2 p )=( 0.2898550725, 0.3623188406 ,0.2898550725, 0.05797101449) 3
Uppgift 2. Ett kösystem med max 3 kunder kan modelleras som en födelse-dödsprocess vars diagram är
a) Beräkna p , 0 p , 1 p , 2 p 3
b)Beräkna medelantal kunder i systemet.
Tips: Medelantal kunder i systemet N= 0⋅p0 +1⋅p1+2⋅p2+3⋅p3. Svar:
a) ( p , 0 p , 1 p , 2 p )=( 0.1453488372, 0.4360465116, 0.3488372093, 0.06976744186) 3 b) N= 1.343023256
Uppgift 3. Betrakta en födelse- dödsprocess med oändligt många tillstånd.
Födelseintensiteter λ och dödsintensiteter i µ är definierade enligt nedan. i i) Bestäm den stationära sannolikhetsvektorn.
ii) Bestäm (den stationära) sannolikheten att processen är i tillstånd 3
a) 20, 0,1, 2, 3,...
25, 1, 2, 3,...
i i
i i λ
µ
= =
= = b) 6, 0,1, 2, 3,...
8, 1, 2, 3,...
i i
i i λ
µ
= =
= =
c) 10, 0,1, 2, 3,...
40, 1, 2, 3,...
i i
i i λ
µ
= =
= =
0 1 2 3
6 4 2
2 5 10
4 av 6
Tips. Använd formeln för den oändliga geometriska summan
x x x
x+ + + = −
+ 1
... 1
1 2 3 som gäller om |x|<1.
Lösning a:
Först uttrycker vi p , 1 p , 2 p ,... som funktioner av 3 p : 0
0 0 0
1 0
1 5
4 25
20 p p
p
p = = =
µ
λ (*)
0 2 0
0 2 1
1 0
2 5
4 25
25 20
20 p p
p
p
=
⋅
= ⋅
= µ µ λ
λ
0 3 0
0 3 2 1
2 1 0
3 5
4 25
25 25
20 20
20 p p
p
p
=
⋅
⋅
⋅
= ⋅
= µ µ µ λ λ λ
För att bestämmap substituerar vi (*) i villkoret 0
3 1
2 1
0 +p + p + p +=
p och får
5 1 4 5
4 5
4
0 3 0
2 0
0 + =
+
+
+ p p p
p .
Vi bryter ut p 0
5 1 4 5
4 5 1 4
3 2
0 =
+
+
+
+
p
och använder formeln för den oändliga geometriska summan
x x x
x+ + + = −
+ 1
... 1
1 2 3 med
5
=4
x (notera att |x|<1).
Vi får 1
5 1 4
1
0 =
−
p och därmed p =0
5 1 5 1−4 = .
Med hjälp av (*) beräknar vi några p : k
5 1 5 4 5 4
0
1 = p = ⋅
p =
25 4
5 av 6
125 16 5 1 25 16 5
4
0 2
2 = ⋅ =
= p
p
=
= 0
3
3 5
4 p
p 625
64
....
Svar:
a) i) ,...)
625 , 64 125 ,16 25 , 4 5 (1
= P
ii)
625 64
3 = p
b) i) ,...)
256 , 27 64 , 9 16 , 3 4 (1
= P
ii)
256 27
3 = p
c) i) ,...)
256 , 3 64 , 3 16 , 3 4 (3
= P
ii)
256 3
3 = p
6 av 6
