1
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Homogena ekvationssystem
HOMOGENA EKVATIONSSYSTEM
Följande linjära ekvationssystem kallas homogent.
=
=
=
=
+ + +
+ +
+ +
+ +
0 0 0
...
...
...
...
2 1
2 2 1
1
2 22 1
21
2 12 1
11
n mn
n n
n n
m
m a x
x a
x a
x a x
a
x a x
a
x a x
a
(sys1)
Ett homogent ekvationssystem har alltid minst en lösning 0
,..., 0 , 0 2
1 = x = xn =
x
som kallas trivial lösning.
Därför är ett homogent system alltid lösbart.
ANTALET LÖSNINGAR TILL ETT HOMOGENT SYSTEM.
För ett linjärt homogent ekvationssystem gäller precis en av följande alternativ:
1. Systemet har precis en lösning (den triviala lösningen) 2. Systemet har oändligt många lösningar
==================================================
1. Lös systemet
= + +
= + +
= + +
0 4 3 2
0 2 2
0
z y x
z y x
z y x
1. Lösning:
= +
= +
= + +
−
−
⇒
= + +
= + +
= + +
0 2
0 0
) 1 2 3 (
) 1 2 ( 0 4 3 2
0 2 2
0
z y
z y
z y x
ekv ek
ekv ek
z y x
z y x
z y x
=
= +
= + +
−
⇒
0 0 0
) 2 3
( z
z y
z y x
ekv ek
trappstegsform
Vi har fått trappstegs form med tre ledande variabler och ingen fri variabel.
Därför har systemet precis en lösning. Vi löser ut de ledande variablerna, börjar med den sista ekvationen och får självklart den triviala lösningen z=0, y=0, x=0
Svar: Precis en lösning: x=0, y=0, z=0 (den triviala lösningen ) 2. Lös systemet
= + +
= + +
= + +
0 3 3 2
0 2 2
0
z y x
z y x
z y x
1
2
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Homogena ekvationssystem
2. Lösning:
= +
= +
= + +
−
−
⇒
= + +
= + +
= + +
0 0 0
) 1 2 3 (
) 1 2 ( 0 3 3 2
0 2 2
0
z y
z y
z y x
ekv ek
ekv ek
z y x
z y x
z y x
=
= +
= + +
−
⇒
0 0
0 0
) 2 3
(
z y
z y x
ekv ek
trappstegsform
Vi har fått trappstegs form med två ledande variabler och en fri variabel.
Därför har det här homogena systemet oändligt många lösningar. Vi betecknar z=t och löser ut ledande variabler y och z.
Från den andra ekv har viy+t=0⇒ y =−t
Slutligen från den första ekvationenx+ y+z=0⇒x−t+t =0⇒ x=0 Svar: Oändligt många lösningar: x=0 , y = – t, z =t
3. Lös systemet med avseende på x, y och z för olika värden på parametern a.
= + +
= + +
= + +
0 4
3
0 4 3 2
0
az y x
z y x
z y x
3. Lösning:
=
− +
= +
= + +
−
−
⇒
= + +
= + +
= + +
0 ) 3 (
0 2
0
) 1 2 3 (
) 1 2 2 ( 0 4
3
0 4 3 2
0
z a y
z y
z y x
ekv ek
ekv ek
az y x
z y x
z y x
=
−
= +
= + +
−
⇒
0 ) 5 (
0 2
0
) 2 3
( a z
z y
z y x
ekv ek
trappstegsform
Som vi ser beror trappstegsformen av parametern a.
i) Om 𝑎𝑎 ≠ 5 , delar vi den sista ekv med a-5 och får
=
= +
= + +
0 0 2
0
z z y
z y x
( ingen fri variabel)
Alltså har det homogena systemet precis en lösning om 𝑎𝑎 ≠ 5.
ii) Om 𝑎𝑎 = 5 får vi följande trappstegsform
=
= +
= + +
0 0
0 2
0 z y
z y x
( Två ledande variabler x och y och en fri variabel z=t)
Systemet har oändligt många lösningar i det här fallet.
x=t , y = – 2t, z =t z=t Svar:
i) Precis en lösning om 𝑎𝑎 ≠ 5
ii) Oändligt många lösningar om 𝑎𝑎 = 5
2
3
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Homogena ekvationssystem
Ett homogent linjärt ekvationssystem med fler obekanta än ekvationer har alltid en icke- trivial lösning.
Exempelvis systemet
= + + +
= + + +
0 3 5 3 2
0 w z y x
w z y
x med avseende på x, y, z och w
har oändligt många lösningar:
= + +
= + + +
= + + +
= + + +
0 3
~ 0 0 3 5 3 2
0
w z y
w z y x w
z y x
w z y
x
Två ledande variabler x och y och två fria variabler z=s och w=t.
Från sista ekv. får vi y+3z+w=0⇒ y=−3s−t.
Därefter x+y+z+w=0⇒x=−y−z−w=0=3s+t−s−t=2s Svar: x=2s, y= 3− s−t, z= , s w= t
3
