Komplexa tal

Komplexa tal

Christian Karlsson Uppdaterad: 150923

Har jag använt någon bild som jag inte får använda så låt mig veta så tar jag bort den.

christian.karlsson@ckfysik.se

Tal

!!

€

N = 0,1,2,3,…

{ }

!!!!

€

x +3= 0!!!!!!!!!!x = ?

Hela tal !!

€

Z =

{

}

€

N

!!!!

€

4x = 1!!!!!!!!!!!!x = ? Rationella tal

!!!!

€

Q = a

b:!!a,b ∈ Z,!b ≠ 0

$ %

&

' ( )

€

Q

!!!!

€

x² = 2!!!!!!!!!!!!x = ?

Reella tal !!

€

R = alla!rationella!och!irrationella!tal

{ }

!!!!

€

x² = –1!!!!!!!!!!!!x = ? Komplexa tal

!!!!

€

C = a+ib : !a,b ∈ R

{ }

Inför imaginära enheten i sådan att i² = –1

€

Z

€

R

€

C Naturliga tal

z = a + bi Räkning med komplexa tal fungerar som vanligt (men i² = –1)

i² = –1 i³ = –i i⁴ = +1

iⁿ = +1 om n delbart med 4 Div. med komplext tal: förläng med konj.

i:s potenstabell:

i² = –1

Realdelen av z: Re z = a

Imaginärdelen av z: Im z = b Absolutbeloppet av z:

Konjugatet till z:

z = a² + b² z = a – bi

Re z = 4 + 3i

Im z = 3

Re z = 4 Im

1i z = 5

z = 4 – 3i -1i

-5i 5i

–5 5

z = a + bi i² = –1

Realdelen av z: Re z = a

Imaginärdelen av z: Im z = b Absolutbeloppet av z:

Konjugatet till z:

z = a² + b² z = a – bi

Re z = 4 + 3i

Im z = 3

Re z = 4 Im

1i z = 5

z = 4 – 3i -1i

-5i 5i

–5 5

En metod för ekvationslösning:

1) Ansätt z = a + bi 2) Förenkla VL och HL till

A + Bi = C + Di

3) Jämför realdelar och imaginärdelar (A = C, B = D)

(ger ekvationssytem med x och y som kan lösas).

(Två komplexa tal är lika om 1) realdelarna lika

2) imaginärdelarna lika.)

Komplexa tal kan representeras av punkter eller vektorer i komplexa talplanet.

z – w kan tolkas som

“avståndet mellan (punkterna som representerar) z och w”

Re

z = 4 + 3i z = 4 + 3i

Im

5 1

Re Im

1i -1i 5i

1i -1i 5i

5 1

z = 5 (cos 36,87° + i sin 36,87°)

v = 36,87° Re

Im

1i r = z = 5 -1i

-5i

-10i

-15i 5i 10i 15i

–5 –10

–15 5 10 15

280° 290° 300°

310°

320°

330°

340°

350°

190°

200°

210°

220°

230°

240°

250° 260°

10°

80° 70°

60°

50°

40°

30°

20°

100°

170°

160°

150°

140°

130°

120°

110°

z = a + bi

40°

50°

60°

70°

80°

I polär form:

(vanligtvis: 0° < v < 360°)

z = r (cos v + i sin v) där r = z = a² + b² v = arg z

z = 5 (cos 36,87° + i sin 36,87°)

v = 36,87° Re

Im

1i r = z = 5 -1i

-5i

-10i

-15i 5i 10i 15i

–5 –10

–15 5 10 15

280° 290° 300°

310°

320°

330°

340°

350°

190°

200°

210°

220°

230°

240°

250° 260°

10°

80° 70°

60°

50°

40°

30°

20°

100°

170°

160°

150°

140°

130°

120°

110°

z = a + bi

40°

50°

60°

70°

80°

I polär form:

(vanligtvis: 0° < v < 360°)

z = r (cos v + i sin v) där r = z = a² + b² v = arg z

Multiplikation av komplexa tal i polär form:

Multiplicera beloppen, addera argumenten!

z u = z u , arg(z u) = arg(z) + arg(u) Division av komplexa tal i polär form:

Dividera beloppen, subtrahera argumenten!

z = 5 (cos 36,87° + i sin 36,87°)

v = 36,87° Re

Im

1i r = z = 5 -1i

-5i

-10i

-15i 5i 10i 15i

–5 –10

–15 5 10 15

280° 290° 300°

310°

320°

330°

340°

350°

190°

200°

210°

220°

230°

240°

250° 260°

10°

80° 70°

60°

50°

40°

30°

20°

100°

170°

160°

150°

140°

130°

120°

110°

z = a + bi

40°

50°

60°

70°

80°

I polär form:

(vanligtvis: 0° < v < 360°)

z = r (cos v + i sin v) där r = z = a² + b² v = arg z

Eftersom i = cos 90° + i sin 90°

innebär multiplikation med i vridning 90° i positiv riktning...

... och division med i

vridning 90° i negativ riktning.

Re –z

i z

z

zi 1i Im

1

de Moivres formel

(cos v + i sin v)ⁿ = cos nv + i sin nv, n heltal

En metod för att lösa ekvationer av typen zⁿ = w:

1) Skriv w i HL i polär form.

2) Ansätt z = r (cos v + i sin v) och använd de Moivres formel i VL.

3) Jämför belopp och argument.

(Två komplexa tal på polär form är lika om 1) beloppen lika

2) argumenten lika sånär som på n 2π, där n heltal.)

Rötterna till zⁿ = w i komplexa talplanet utgör hörn i en regelbunden n-hörning med medelpunkten i origo.

z⁴ = –16

Re z₁ z₂

z₃ z₄

2 Im

[1]

de Moivres formel

(cos v + i sin v)ⁿ = cos nv + i sin nv, n heltal

En metod för att lösa ekvationer av typen zⁿ = w:

1) Skriv w i HL i polär form.

2) Ansätt z = r (cos v + i sin v) och använd de Moivres formel i VL.

3) Jämför belopp och argument.

(Två komplexa tal på polär form är lika om 1) beloppen lika

2) argumenten lika sånär som på n 2π, där n heltal.)

Rötterna till zⁿ = w i komplexa talplanet utgör hörn i en regelbunden n-hörning med medelpunkten i origo.

z³ = –1

Re z₁

z₂

z₃ 1 Im

[1]

z² + pz + q = 0 (där q reellt) har lösningen

Om p, q reella så är rötterna konjugerade tal!

z = – – q ^{p2 – +}

( )

Re z₁

z₂ 2 Im

8

859 = 6 100 + 6 40 + 6 3 + 1 = 6 (100 + 40 + 3) + 1 = 6 143 + 1

859 = 6 143 + 1 859 = ?

6

Kvot Rest

5 9 1 4 3 6 0

0 00

0 2 5 09 2 41 9 1 81

6 8 5 9

1 4 3

62 5 2 41 9

1 81

6

x² - 5x + 6 = (x - 3) (x - 2) + 0

Resten vid divisionen är f (a).

f (x) polynom.

Kan läsas "resten vid division med x - a är noll"

"x = a är nollställe till f (x)"

"x = a är rot till ekv. f (x) = 0"

(Restsatsen)

(Faktorsatsen)

f (a) = 0 f (x) har faktorn (x - a).

f (x) har faktorn (x - a) f (a) = 0.

f (x) x - a x² - 5x + 6 = ?

x - 3

Kvot Rest x² - 5 x + 6

2 x + 6 x² -

- 2 x + 6 - 0

3 x )

( x - 3

x - 2

) (

x² - 5x + 6 = (x - 3) (x - 2) + 0

Resten vid divisionen är f (a). Varje polynomekvation av grad n med komplexa koefficienter har exakt n komplexa rötter.

f (x) polynom.

(Restsatsen)

(Faktorsatsen)

f (a) = 0 f (x) har faktorn (x - a).

f (x) har faktorn (x - a) f (a) = 0.

f (x) x - a x² - 5x + 6 = ?

x - 3

Kvot Rest x² - 5 x + 6

2 x + 6 x² -

- 2 x + 6 - 0

3 x )

( x - 3

x - 2

)

( Icke-reella rötter till polynomekvationer med reella koefficienter

förekommer i konjugerade par.

Kan läsas "resten vid division med x - a är noll"

"x = a är nollställe till f (x)"

"x = a är rot till ekv. f (x) = 0"

Källor

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Abraham_de_moivre.jpg