Några uppgifter på materialet från vecka 4-8.
(1) Lös olikheten x2+ 5x − 6 > 0.
(2) Lös ekvationen |2x − 3| = |3x − 2|.
(3) Definitionsmängderna till följande funktioner är delmängder av R. Bestäm dessa defintionsmängder.
a) f (x) = ln x2. b) g(x) = 2 ln x.
c) h(x) = x21−3.
(4) Bestäm med hjälp av kvadratkomplettering var f (x) = x2− 8x + 23 har sin vertex.
Några uppgifter på materialet från vecka 9-15.
(5) Lös ekvationerna a) sin(2x + π3) = 12
b) 2 ln x − ln 4 = ln(3x + 16)
(6) Lör ekvationen z4+ 16 = 0 för z ∈ C.
(7) Lös ekvationen Px
j=03j = 3280.
(8) Avgör om följande serier konvergerar eller divergerar. Om de antar ett värde, beräkna då detta värde.
a) P∞
k=0 −75k
b) P∞
j=2 −13j
(9) För polynomet p(x) = x4− x3− 4x2− 2x − 12 gäller att p(i√
2) = 0.
Lös ekvationen p(x) = 0 fullständigt.
1
(10) Skriv summan 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + · · · + 29 med hjälp av Σ-notation.
Några uppgifter på materialet från vecka 16-19.
(11) Låt f (x) = x2− 3x + 5. Antag att g(x) har en graf som ser ut precis som grafen till f (x), fast translaterad 3 steg till höger i x-led och 2 steg upp i y-led. Bestäm g(x).
(12) Låt f (x) =√
x och g(x) = x2− 1.
a) Bestäm f ◦ g(x) med definitionsmängd och värdemängd.
b) Bestäm g ◦ f (x) med definitionsmängd och värdemängd.
(13) Låt f : R → R vara den surjektiva funktionen f (x) = x3− 4x.
Visa att f inte är inverterbar.
(14) Låt g : R → R vara funktionen
g(x) = x3− 1.
a) Visa att g är inverterbar.
b) Bestäm g:s invers.
(15) Ange definitionsmängd och värdemängd för a) f (x) = sin−1(x),
b) f (x) = cos−1(x), b) f (x) = tan−1(x).
(16) Bestäm om möjligt gränsvärdet
x→2lim
x2+ 3x − 10 x − 2 . (17) Bestäm om möjligt gränsvärdet
x→∞lim
x2 − 2 x − x2.
(18) Bestäm om möjligt gränsvärdet
x→9lim
√x − 3 x − 9 .
(19) Använd standardgränsvärdet lim
x→0 sin x
x = 1 för att beräkna
x→0lim
sin(2x) 5x . (20) Låt
f (x) = (x2−9
x−3 om x 6= 3;
a om x = 3.
Bestäm a så att f (x) är kontinuerlig i x = 3.
(21) Antag att f (x) är kontinuelig på intervallet [a, b] och att f (a) = −2, f (b) = 1. Vad kan vi då säga om ekvationen f (x) = 0?
(22) Använd instängningssatsen för att beräkna
x→0limx2sin2 x.
Svar vecka 4-8.
(1) x < −6 eller x > 1. (Faktorisera, dvs (x + 6)(x − 1) > 0 och studera tecken för faktorerna).
(2) x = ±1. (Använd definitionen för |x| och sätt upp ekvationen för de tre olika intervallen).
(3) a) R \ {0}.
b) R+
c) R \ {−√ 3,√
3}.
(4) (4, 7). (Ty vi får (x − 4)2+ 7).
Svar vecka 9-15.
(5) a) x = −12π + nπ; x = π4 + nπ b) x = 16
(6) För n = 0, 1, 2, 3 zn= 2 cos π4 + nπ2 + i sin π4 + nπ2.
(7) x = 7.
(8) a) Divergerar, ty −75
> 1.
b) Konvergerar till 121 .
∞
X
j=2
−1 3
j
=
∞
X
j=0
−1 3
j
−
−1 3
0
−
−1 3
1
= 1
1 − −13 − 1 + 1 3 = 1
12.
(9) x1 = i√
2; x2 = −i√
2; x3 = −2; x4 = 3.
(10) Till exempel P8
j=0(5 + 3j).
Svar vecka 16-19.
(11) g(x) = x2− 9x + 25.
(12) a) f ◦ g(x) =√
x2− 1, Df ◦g = (−∞, −1] ∪ [1, ∞), Rf ◦g = [0, ∞).
b) g ◦ f (x) = |x| − 1, Dg◦f = R, Rg◦f = [−1, ∞).
(13) f (−2) = 0 och f (2) = 0, men −2 6= 2, så f är inte injektiv.
(14) a) Ekvationen x3− 1 = k har lösning (k + 1)1/3, ∀k ∈ R, alltså är g sur- jektiv. Att g är injektiv ser vi genom att först anta x31− 1 = x32− 1, och sedan förenkla detta till x1 = x2.
b) g−1(x) = (x + 1)13.
(15) a) Dsin−1 = [−1, 1], Rsin−1 = [−π2,π2];
b) Dcos−1 = [−1, 1], Rcos−1 = [0, π];
c) Dtan−1 = R, Rtan−1 = [−π2,π2].
(16) lim
x→2
x2+3x−10 x−2 = 7.
(17) lim
x→∞
x2−2
x−x2 = −1.
(18) lim
x→9
√x−3
x−9 = lim
x→9 (√
x−3)(√ x+3) (x−9)(√
x+3) = lim
x→9
x−9 (x−9)(√
x+3) = lim
x→9
√1
x+3 = 16. (19) lim
x→0 sin(2x)
5x = 22lim
x→0 sin(2x)
5x = 25lim
x→0 sin(2x)
2x = 25 · 1 = 25. (20) lim
x→3 x2−9
x−3 = lim
x→3
(x−3)(x+3)
x−3 = lim
x→3(x + 3) = 6. Så vi definierar f (x) =
(x2−9
x−3 om x 6= 3;
6 om x = 3.
(21) Ekvationen har minst en lösning. Eftersom f (a) < 0 < f (b) så ger sat- sen om mellanliggande värden att det finns något c ∈ [a, b] sådant att f (c) = 0.
(22) Se motsvarande lösning för x sinx1 i föreläsningsanteckningarna 110511.
