Hur framställs subtraktion med tiotalsövergång i läromedel för elever i skolår 1-3
- en läromedelsanalys
Författare: Rebecka Sternisa Bellander
Examensarbete 2
Abstrakt
Denna studie innefattar en läromedelsanalys där strategier som förespråkas i läromedel för elever i skolår 1-3 i subtraktion med tiotalsövergång undersökts. Under tidigare VFU tillfällen uppmärksammades elevernas svårigheter för subtraktion vilket därmed väckte en nyfikenhet. Fyra frågeställningar tas till hjälp för att undersöka ämnet; När i skolår 1-3 introducerar de olika läromedlen tiotalsövergång i subtraktion? Vilka olika strategier för tiotalsövergång i subtraktion förespråkas i de olika läromedlen för matematik? Hur representeras subtraktion med tiotalsövergång i de olika läromedlen? Hur motiveras de strategier och representationer som förespråkas i de olika läromedlen?
Resultatet visar att subtraktion med tiotalsövergång oftast inleds i skolår 2 samt att flera av strategierna är desamma i de olika läromedlen. Däribland subtrahera till 10 och uppställning som strategi. I samtliga läromedel framhålls även vikten av relationen mellan addition och subtraktion. I lärarhandledningarna framhålls användandet av konkret material samt att lära tillsammans som viktigt.
Nyckelord
tiotalsövergång, läromedel, subtraktion, lärarhandledning, strategi, skolår 1-3
Tack
Jag vill rikta ett stort tack till min handledare Hanna Palmér som visat mycket stort engagemang under min studie.
Innehållsförteckning
Inledning 1
1
Syfte och frågeställningar 2
2
Subtraktion och representationsformer 3
3
3.1 Subtraktion 3
3.2 Subtraktion i läroplanen för skolår 1-3 3
3.3 Beräkningsstrategier 4
3.4 Representationsformer 5
Tidigare forskning 6
4
4.1 Svårigheter inom subtraktion generellt 6
4.2 Svårigheter med tiotalsövergång 7
4.3 Förståelse för samband mellan addition och subtraktion 7
4.4 Matematikundervisning med läromedel 9
Teoriavsnitt 10
5
5.1 Heddens modell för konkreta och abstrakta representationer 10
5.2 Konstruktivistisk teori 12
5.3 Sociokulturell teori 14
Metod 15
6
6.1 Val av metod och studiens tillförlitlighet 15
6.2 Urval 15
6.3 Analysverktyg och tillvägagångssätt 16
6.4 Etiska aspekter 17
Resultat 18
7
7.1 När i skolår 1-3 introducerar de olika läromedlen tiotalsövergång? 18 7.2 Likheter och skillnader mellan läromedlen avseende när subtraktion med
tiotalsövergång introduceras 19
7.3 Vilka olika strategier för tiotalsövergång förespråkas i olika läromedel för
matematik? 19
7.4 Likheter och skillnader för vilka olika strategier för tiotalsövergång i subtraktion som förespråkas i olika läromedel för matematik 22 7.5 Hur representeras subtraktion med tiotalsövergång i olika läromedel i matematik samt hur motiveras dessa strategier och representationsformer? 23 7.6 Likheter och skillnader för hur subtraktion med tiotalsövergång
representeras i olika läromedel 25
Analys 26
8
Diskussion 30
9
9.1 Metoddiskussion 30
9.2 Resultatdiskussion 30
9.3 Vidare forskning 32
Referenser 33
10 Bilaga
Inledning 1
I kursplanen för matematik (Skolverket 2018) beskrivs det att eleverna ska utveckla förmågan att behärska och välja lämplig metod för sina beräkningar.
Organisationen för ekonomiskt samarbete och utveckling (OECD) visar i en rapport att svenska elevers matematikkunskaper sjunker i jämförelse med elever i andra länder. Beräkningar inom subtraktion är ett av de största problemområden som identifierats (Skolverket, 2013).
Enligt Engvall (2013) är subtraktion ett kritiskt område inom matematiken för många elever i skolår 1-3 men även för lärare, eftersom de vet att elever har en mer negativ inställning till subtraktion än addition. Frisk (2009) skriver att många elever anser att subtraktion är svårare än addition. Hon förklarar att det beror på att subtraktionsuppgifter kan lösas på flera olika sätt och att det förekommer i flera olika situationer i vardagen. Det är därför viktigt att eleverna tidigt får se olika situationer där subtraktion finns så att de bekantar sig med dessa. Till exempel att: a=b-c är samma sak som c=b-a.
Malmer (2002) förklarar att många elever då de räknar subtraktion med tiotalsövergång kan tänka talet 12-7 så här: 12-2-5 för att 7=2+5. Detta blir dock för elever med bristande arbetsminne oerhört svårt och för dyslektiker i princip omöjligt. Istället skriver Malmer att eleverna bör arbeta med talen 11- 19 i talblock, även så kallade talfamiljer. Låt oss ta “12-familjen” som exempel. Detta innebär att man använder sig av talkombinationer vilket betyder uppdelningar av talet. Här görs talkombinationer i både subtraktion och addition med utgångspunkt i talet 12. T.ex. 8+4=12, 12-4=_, 12-_=_.
Detta för att eleverna ska se sambandet enklare. Det allra viktigaste enligt Malmer är att eleverna förstår att deras kunskap för addition hjälper dem att lösa även subtraktionsuppgifter.
I ett tidigare självständigt arbete undersöktes hur elever i skolår 1-3 löser subtraktionsuppgifter. Olika strategier för att lösa subtraktionsuppgifter undersöktes då ur elevers perspektiv. Resultatet visade att talsortsvis beräkning samt uppställning var de vanligaste strategierna bland eleverna. Ett intresse väcktes inom området subtraktion och därför valdes att studera ämnet vidare. I denna studie undersöks vilka strategier olika läromedel i matematik för skolår 1-3 förespråkar för subtraktion med tiotalsövergång samt hur detta motiveras i tillhörande lärarhandledningar.
Läromedelsgranskningen kan bidra med vidare förståelse för hur subtraktion med tiotalsövergång vanligen behandlas i svenska läromedel.
Syfte och frågeställningar 2
Studiens syfte är att undersöka när subtraktion med tiotalsövergång introduceras i svenska läromedel samt vilka strategier och representationer som förespråkas i olika läromedel med tillhörande lärarhandledningar.
De läromedel som studeras är Favoritmatematik, Koll på matematik och Mattegruvan, de är samtliga avsedda för skolår 1-3.
● När i skolår 1-3 introducerar de olika läromedlen tiotalsövergång i subtraktion?
● Vilka olika strategier för tiotalsövergång i subtraktion förespråkas i de olika läromedlen?
● Hur representeras subtraktion med tiotalsövergång i de olika läromedlen?
● Hur motiveras de strategier och representationer som förespråkas i de olika läromedlen?
Subtraktion och representationsformer 3
I detta avsnitt presenteras subtraktion och representationsformer utifrån kursplanen i matematik och litteratur. I nästa avsnitt presenteras forskning om lärande och undervisning av subtraktion.
3.1 Subtraktion
Termerna i subtraktion har specifika benämningar, 12 i detta exempel benämns som minuend och talet 5 som subtrahend (bild 1). Tiotalsövergång betyder att minuenden ändrar tiotal, antingen blir det ett nytt tiotal eller så blir det enbart ental kvar. I figur 1 är entalen i subtrahenden fler än entalen i minuenden och därför måste vi ”låna” från tiotalet (Larsson 2012).
Bild 1: Tiotalsövergång
3.2 Subtraktion i läroplanen för skolår 1-3
Enligt kursplanen i matematik i läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet (2018) ska eleverna utveckla kunskaper som hjälper dem att använda matematik i vardagen samt inom olika ämnesområden. De ska utveckla ett intresse för ämnet och en tilltro till sin förmåga att kunna använda matematik i olika sammanhang. Matematikundervisningen bör bidra till att eleverna ska kunna formulera och lösa problem samt reflektera över sina val av metoder, strategier, modeller och resultat. Kopplat till just subtraktion bör eleverna utveckla förståelse för samband mellan begrepp såsom addition och subtraktion. Eleverna ska behärska de fyra räknesättens egenskaper och samband samt kunna använda de i olika situationer. De ska kunna använda sig av centrala metoder för beräkning samt metodernas användning i olika situationer. Eleverna ska även kunna använda och analysera matematiska begrepp och sambanden mellan begreppen. De bör kunna välja och använda lämpliga matematiska metoder/strategier för att göra beräkningar.
3.3 Beräkningsstrategier
Larsson (2012) ger exempel på olika strategier i subtraktion vid tiotalsövergång. Strategierna är lodrät algoritm, talsortsvis beräkning, stegvis beräkning, kompensationsberäkning och härledda talfakta. En lodrät algoritm är en uppställning där termerna ställs under varandra. Till exempel.
14 - 8 =
Talsortsvis beräkning innebär att ental och tiotal räknas för sig. Till exempel:
55−37= (50−30)+(5−7)=20−2=18
Stegvis beräkning görs bakåt i steg, subtrahenden delas upp och subtraheras stegvis från minuenden. Beräkningen kan också göras framåt, d.v.s. från subtrahenden till minuenden för att på så sätt få fram differensen. Vi utgår från talet 55-37. 55−30→ 25; −7→18. Beräkningen görs här bakåt, först subtraheras enbart 30 från minuenden då är differensen 25. Sedan subtraheras resten av subtrahenden där då endast 7 kvarstår. Då får vi fram differensen på beräkningen som är 18.
En stegvis beräkning kan också göras framåt, till exempel 52-48: 48+2=
50 → 50+2=52 →2+2=4. Vi har gått 4 steg från 48 till 52. Differensen är 4.
Kompensationsberäkning innebär att ena eller båda termerna ändras för att enklare kunna räkna talet. Exempel: 55-37
37→ 40; 55−40=15; 15+3=18 (37 ändras tillfälligt till 40). Sedan adderas 3 till 15 eftersom vi egentligen subtraherat 3 för mycket. Differensen blir då 18. I följande exempel ändras båda termerna: 55-37
37→ 40; 55→ 58; 58−40=18 (37 ändras till 40 och 55 ändras till 58) Här är det viktigt att båda termerna ändras lika mycket.
Härledda talfakta är den sista strategi som Larsson (2012) beskriver och den bygger på tidigare relationer till ett tal och att talen kan relateras till varandra.
Till exempel 52-26. Eleven vet sedan tidigare att 25+25=50, därför måste 26+26 vara 52. Därför dras slutsatsen att 52-26=26. Om en elev inte förstår sambandet mellan addition och subtraktion kan detta leda till svårigheter.
Genom att arbeta med detta samband kan elevernas erfarenheter för tal utvecklas överlag (McIntosh, 2008). Även Larsson (2012) menar att subtraktion och addition är oskiljaktiga och att eleverna alltid ska arbeta med dessa räknesätt parallellt.
3.4 Representationsformer
Matematik uttrycks genom hur den representeras med hjälp av representationsformer. Ainsworth (2006) ger exempel på representationsformer som används specifikt inom matematiken. De är till exempel siffror, ekvationer, grafer, bilder och symboler.
Representationsformerna används som verktyg för att beskriva ett matematiskt begrepp och för att lösa uppgifter (Duval, 2006). Symboler, konkret modell, bildmodell, verklighet samt språk är fem generella kategorier av representationsformer som brukar användas (Häggström &
Lindberg, 2001). För att få en förståelse för representationsformerna och hur de kopplas till varandra kan ett tal först visas med enbart symboler, exempelvis 13-4=9 (Bergsten, Häggström & Lindberg, 2001). Det symboliska språket i matematiken är bland annat siffror, algebraiska symboler och olika tecken för räknesätt. Enligt Bergsten m.fl. (2001) är motsatsen till denna abstrakta representationsform en konkret modell. På det sättet gör man det abstrakta konkret och i de flesta fall mer begripligt för eleverna. En konkret modell är ofta något material eller föremål såsom tiotalsstavar, tallinjen eller pengar (Bergsten, Häggström och Lindberg 2001). Bildmodellen är ett exempel på en representationsform som också är relativt konkret. Bilden kan göra att det blir tydligt för eleverna eftersom bilden representerar symbolerna. En bildmodell till talet ovan kan vara 13 katter där 4 springer iväg. Eleven ska då räkna hur många katter som finns kvar (Ahlberg 1995). Häggblom (2013) förklarar att verklighetsrepresentationen innebär att situationen/uppgiften sätts i relation till en verklig händelse. Till exempel, att gå och handla i affären för en viss summa och få pengarna att räcka. Representationsformen språk innebär hur väl eleven uttrycker sin matematiska kunskap i tal och skrift. En elev som har en utvecklad förståelse inom denna representationsform har goda kunskaper om den matematiska terminologin och kan uttrycka sig både skriftligt och muntligt. Ainsworth (2006) skriver att när elever kan använda sig av en representationsform förbättras deras prestationsförmåga och om eleven kan använda sig utav mer än en representation kommer det att gynna deras matematiklärande. En annan typ av representationsform är den så kallade öppna tallinjen. Den består av en linje utan några utsatta tal. Meningen är att eleverna vid uppgifter som exempelvis subtraktion med tiotalsövergång själva sätter ut talen på linjen och sedan räknar stegen emellan. Till exempel talet 14-6, talen mellan 14 och 6 sätts ut på linjen och därefter räknas hur många steg det är mellan talen (Fosnot och Dolk, 2001).
Tidigare forskning 4
I detta kapitel kommer tidigare forskning med koppling till subtraktion generellt och subtraktion med tiotalsövergång specifikt presenteras. Det kommer även att göras koppling till hur läromedel används i matematikundervisning.
4.1 Svårigheter inom subtraktion generellt
Enligt Selter (2001) upplever elever i Tyskland subtraktion svårare än addition. Ca 300 elever i skolår fyra fick lösa ett antal additions- och subtraktionsuppgifter. Resultatet visar att 61,6% av additionsuppgifterna var korrekt lösta medan endast 41,2% av subtraktionsuppgifterna var korrekt lösta. Uppgifterna som gav flest fel kunde till exempel se ut såhär: 40-17 och 33-28. Strategierna eleverna valde till dessa subtraktionsuppgifter som gav flest fel var kompensationsberäkning där ena termen ändras samt stegvis beräkning framåt, alltså när termerna är väldigt nära varandra och eleverna enklast bör räkna stegen uppåt. Enligt Mundia (2012) kan elevers svårigheter inom subtraktion bero på lärarens kompetens, speciellt om det gäller en lärare som inte har den utbildning som krävs.
En studie av Ostad (1999) har gjorts med elever som har svårigheter inom matematik och elever som har fallenhet för matematik. Det visar sig att elever med svårigheter ligger betydligt efter i utvecklingen att tänka strategiskt. Studien visar också att dessa elever utvecklar sina strategier för beräkningar betydligt långsammare. I studien fick elever lösa ett antal subtraktionsuppgifter samt bli intervjuade kring hur de löst uppgifterna. Först gjordes två huvudkategorier för dela in elevernas svar, dessa var att “räkna uppåt” alltså från subtrahenden till minuenden och “ta bort” att subtrahera från minuenden. Det visade sig att eleverna använde sig av strategier som tidigare nämnts i subtraktionsavsnittet, bland annat härledda talfakta. Utöver detta använde sig eleverna av fingrarna för att göra uträkningarna, de ritade och de räknade högt. Det som blev tydligt i studien gällande skillnaden mellan elever med fallenhet respektive svårighet är att elever med svårigheter från skolår ett till sju enbart har en strategi de använder sig av för att lösa alla typer av subtraktionsuppgifter. Elever med fallenhet har redan i skolår ett, två strategier att välja emellan beroende på uppgift och detta ökar sedan för varje skolår. I skolår sju har de flesta av eleverna med fallenhet fler än fyra strategier de behärskar (Ostad, 1999). Fuson (2003) beskriver tre
”vardagliga” situationer för subtraktion som ofta förekommer i läromedel för matematik. Dessa är ta bort, kombinera och jämföra. Elever bör enligt Peltenburg, Van den Heuvel-Panhuizen och Robitzsch (2012) lära sig att använda så många strategier för att räkna som möjligt. Detta gäller dock inte alla elever då det har visat sig att elever som ligger efter i sina matematiska kunskaper inte kan välja en strategi på samma flexibla sätt som andra elever.
4.2 Svårigheter med tiotalsövergång
Över hela västvärlden finns problemet för beräkning av subtraktion med växling. En tredjedel av amerikanska elever kunde exempelvis inte lösa tvåsiffriga subtraktionsuppgifter som krävde växling (Fuson, 1992). Strategin att “låna” i subtraktion med hjälp av en algoritm har visat sig vara en svårighet för flera elever i grundskolans tidiga år. Det visar sig att denna strategi blir lättare med stigande ålder och mer erfarenhet (Artemenko, Pixner, Moeller, Nuerk, 2018).
Det visar sig vara mer framgångsrikt att förklara en algoritm som att ändra om i ett tal utan att förändra talets värde. Det vill säga att förklara för eleverna att ett tiotal blir lika mycket även om det görs om till tio ental. Detta förutsätter att eleverna är medvetna om positionssystemet och att siffrornas placering i ett tal avgör värdet, det är först när de förstår detta som uppställning med växling kan beräknas (Ma, 2010). Undersökningen som gjorde av Ma (2010) visar dock att flera lärare, speciellt amerikanska, inte förklarar uppställning med växling på ett framgångsrikt sätt för eleverna. När flera lärare förklarade ”växlingen” för elever använde de uttrycket ”det går inte att subtrahera därför måste vi låna från tiotalet”. Detta kan skapa förvirring hos eleverna eftersom exempelvis 3-6 inte fungerar att subtrahera med hjälp av den här strategin men längre fram i deras matematikundervisning kommer de att arbeta med att subtrahera sådana uppgifter och då få ett negativt tal. En annan del som kan skapa förvirring hos eleverna är huruvida läraren säger ”låna” eller ”växla”. Strävan enligt Ma är att använda ordet ”växling” då det bäst beskriver vad som händer i algoritmen. Det som görs är att man förändrar talet utan att förändra dess värde, alltså växlar och inte lånar (Ma, 2010).
4.3 Förståelse för samband mellan addition och subtraktion
Enligt Baroody (1999) är det viktigt att eleverna förstår sambandet mellan addition och subtraktion. I en engelsk studie med 40 barn i åldrarna fyra-sju år visade endast 17 % att de förstod sambandet. Ett gemensamt mål för skolår ett i Storbritannien är att eleverna ska förstå “subtraction-as-addition strategy”. En subtraktionsuppgift beskrivs därför som en olöst additionsuppgift. Exempel uppgiften 20-14: Här uppmanas eleverna att tänka: Vad adderat med 14 är 20? Eleverna kommer inte att förstå sambandet mellan addition och subtraktion genom att endast se och räkna tal som exempelvis 5+3=8 och 8-3=5. En aspekt som eleverna bör känna till för att förstå sambandet mellan addition och subtraktion är operationen
(a + b – b = a eller a – b + b = a) (Baroody, Purpura, Eiland & Reid, 2014).
Baroody m.fl. (2014) har även gjort en studie där de tagit fram ett datorprogram som ska hjälpa elever att förstå sambandet mellan addition och subtraktion. Programmet består av fem interaktiva funktioner som ska göra det tydligt och förståeligt samt belysa relationerna mellan addition och
subtraktionskombinationer. En övning på programmet var att exempelvis addera 5 till 3 och därefter direkt svara på 8-5. Throndsen (2011) skriver att forskning visar att elever beroende på ålder använder antingen en strategi eller fler för att göra beräkningar i addition och subtraktion. Elevernas strategianvändning ingår i ett komplext system där flera kognitiva, metakognitiva och motivationskomponenter interagerar. Throndsen beskriver två komponenter av metakognition, dessa är ”knowledge and regulation” på svenska, kunskap och reglering. Kunskapskomponenten innebär individens medvetenhet om den kunskap eller förståelse hen har medan regleringskomponenten innebär aktiviteter som ska hjälpa eleven att styra sin inlärning och lösa problem. Framgångsrika elever har och använder metakognitiv kunskap till att kontrollera sin inlärning, de har kunskap om vad de vet, hur de tänker och varför de tillämpar olika strategier. De flesta elever är medvetna om att vissa strategier tar längre tid och kräver mer arbete. De elever med god metakognitiv förmåga väljer ofta rätt strategi till uppgifterna medan elever med mindre god metakognitiv förmåga inte gör det. Det finns också elever som är medvetna om att förmåga är ett resultat av ansträngning. Dessa elever kommer enligt Throndsen säkerligen att ha en bredare repertoar av strategier än andra elever som istället riskerar att hamna efter då de inte utvecklar fler strategier. Det som behövs för att utvecklas matematiskt är strategier, metakognitiv förmåga och motivation till att lära sig.
Enligt Peltenburg m.fl. (2012) bör elever nödvändigtvis kunna fler än en strategi för att räkna subtraktion med tiotalsövergång eftersom vissa uppgifter har en högre risk att få fel svar. Till exempel: Uppgiften 62-58:
Genom att här addera från subtrahenden till minuenden minimeras riskerna att få fel svar än om eleven använder strategin att först subtrahera 50, sedan 2 och därefter 6. Att här addera ger färre steg och lättare att hålla reda på sin uträkning. Elever med svårigheter inom matematik kan ofta inte använda sig av flera olika strategier och speciellt inte de som kräver många led av uträkningar. Talet 63-47 lär sig de flesta elever att dela upp och subtrahera del för del. En strategi som inte alla elever behärskar (Peltenburg mfl, 2012).
4.4 Matematikundervisning med läromedel
Enligt Skott, Krog Skott, Jess och Hansen (2018) skriver Visnovska, Cobb och Dean (2012) att läroplanen och läromedel är betydelsefulla resurser i undervisningen. Trots detta är ändå läraren den viktigaste resursen då det är den som tolkar läroplanen och väljer vad hen vill fokusera undervisningen på (a.a.). Lärare har en viktig roll i att se till att verktyg såsom läromedel används effektivt för att stödja eleverna. Genom att eleverna får använda flera olika verktyg såsom datorer, böcker och laborativt material utvecklar de sig begreppsligt och beräkningsmässigt (Anthony & Walshaw, 2009). Hur de olika matematiska områdena framställs i läromedel och i didaktiska handböcker såsom lärarhandledningar har stor betydelse för hur eleverna kommer att prestera i områdena samt hur deras inställning till matematik kommer att vara (Selter, 2001).
Fuson (1992) skriver att många läroböcker i skolår ett i England endast beskriver en typ av subtraktionsstrategier. Det är ofta den så kallade “att ha a och ta bort b”. I början av boken finns ofta bilder, det kan vara till exempel fyra fåglar, där tre av dem flyger iväg. Sedan följer endast siffror där eleverna ska tänka på samma sätt (4-3) och slutligen textuppgifter.
Teoriavsnitt 5
I studien kommer samtliga tre lärandeteorier att återkopplas till det resultat som framförs senare. Heddens teori med abstrakta och konkreta representationsformer kopplas till den tredje frågeställningen: Hur representeras subtraktion med tiotalsövergång i de olika läromedlen? Den konstruktivistiska teorin ska användas för att besvara frågan: Vilka olika strategier för tiotalsövergång i subtraktion förespråkas i de olika läromedlen?
Den sociokulturella teorin kommer att hjälpa till att besvara den sista frågeställningen: Hur motiveras de strategier och representationer som förespråkas i de olika läromedlen?
5.1 Heddens modell för konkreta och abstrakta representationer Många elever har enligt Heddens (1986) svårigheter att förstå matematiken så länge de inte kan göra kopplingen mellan abstrakta och konkreta representationer. Med abstrakta representationer avser Heddens till exempel siffrersymboler och som konkreta representationer klossar eller stavar. I en modell bygger Heddens två steg för att sammanfoga konkret och abstrakt, semiabstrakt och semikonkret. Det semiabstrakta steget innefattas av en symbolisk representation av det konkreta till exempel streck i en tabell. I det semikonkreta steget används bilder eller material av det konkreta, det representerar alltså den riktiga situationen. En viktig del i att få eleverna att förstå sambandet mellan konkret och abstrakt är enligt Heddens att matematikundervisningen innehåller bilder på material/objekt, bilder från elevernas läromedel och olika representationer. Det är också viktigt att läraren ställer frågor som ger utrymme för tankeverksamhet hos eleverna och inte bara syftar på svaret på frågan. Eleverna bör även få kommunicera sina tankegångar eftersom det kan hjälpa dem att förstå sina tankegångar på ett djupare plan. Ett exempel på hur eleverna kan arbeta från det konkreta till det abstrakta enligt Heddens (1986) är att de i det första konkreta stadiet jobbar med material såsom klossar eller tiotalsstavar och entalskuber. Dessa kan se ut som på bilden här nedan. I det konkreta stadiet kan de vid en uppgift som 11-7 använda tiotalsstavarna och entalskuberna för att se att det inte räcker med att subtrahera entalet utan att tiotalet behöver växlas.
Bild 2. Tiotalsstav och entalskuber, konkret stadie.
I det semikonkreta stadiet arbetar eleverna med bilder av tiotalsstavarna och entalskuberna de använt. De kan då exempelvis dra streck över så många de ska subtrahera, i detta fall dra streck över 7 av 11 ental.
Bild 3. Bild på tiotalsstavar, semikonkret stadie.
Sedan går det från bilder till tallinjer och tabeller som eleverna kan räkna i det semiabstrakta stadiet. Eleverna kan använda sig av tallinjen, antingen genom att räkna stegen eller så kan det räcka med att se talen framför sig.
Det abstrakta stadiet innehåller endast siffror. Eleverna har då en god taluppfattning och de använder sig endast av siffrorna 11-7 för att beräkna uppgiften (Heddens, 1986).
Bild 4. Tallinje, semiabstrakt stadie.
Heddens förklarar att arbetet med de olika stadierna är en undervisningsmodell och eleverna kan använda sig av dessa olika stadier när de arbetar med subtraktion med tiotalsövergång beroende på var de är i sin matematikutveckling.
5.2 Konstruktivistisk teori
Piaget brukar ses som konstruktivismens fader, hans inflytande är mycket tydligt och starkt kopplat till studier om barns tankeutveckling i olika stadier (Björklund, 2007). Hans teori ligger som grund i biologin, mer bestämt hur en organism adapterar sig, med andra ord anpassar sig till sin omgivning (Skott, Jess, Hansen & Lundin, 2010). Ernest (1998) beskriver konstruktivismens lärande som det man “äger” och hur väl man gjort det inlärda till sitt. Lärande innebär att man individuellt bygger upp ny kunskap av sin förförståelse baserad på egna erfarenheter. Lärande handlar med andra ord om att organisera sina erfarenheter. Ur ett konstruktivistiskt perspektiv vill man beskriva det individuella lärandet. Assimilation och ackommodation är två begrepp som är viktiga inom konstruktivismen. Skott, Jess, Hansen och Lundin (2010) förklarar begreppen som följande, assimilation innebär att vi arbetar in nya erfarenheter i den förståelse vi redan har. I ackommodation reviderar personen sin förförståelse när hen ställs inför nya erfarenheter eller situationer. Piaget menar enligt Lundin (2010) att det finns en likhet mellan biologisk anpassning och kunskapsutveckling. En människa anpassar och utvecklar sin förståelse av en situation genom att arbeta in nya erfarenheter i den förförståelse hen har när hen går in i en situation.
Ernest (1998) beskriver konstruktivismen som att människans mentala strukturer byggs upp av redan existerande delar som begreppsligt omstruktureras, det vill säga ackommoderas. Den konstruktivistiska teorins syn på lärande kan också beskrivas som en syn som bygger på att barn utvecklar kunskap genom sina egna erfarenheter. Engström (1998) gör en koppling mellan konstruktivism och läroplanen där likheten syftar på att
eleven är aktivt involverad i sin lärandeprocess och läraren uppmuntrar till samtal, diskussioner och samarbete för att lösa problem. Enligt Skott, Jess, Hansen & Lundin (2010) är det betydelsefullt hur lärare ställer frågor och använder material som kan bidra till elevernas matematiska förståelse.
Socialkonstruktivismen är en del av konstruktivismen, den handlar om den enskilda elevens uppbyggnad av matematiska begrepp och metoder. Cobb och Yackel (1996) skriver att matematikinlärning både är en process där den enskilda individen konstruerar kunskap samt en assimilation av matematik i samhället, det vill säga att man kan förstå och använda matematiken på ett bredare plan och inte bara i undervisningen i skolan. En förutsättning för detta menar man är interaktionen med lärare samt material som används i undervisningen. Skott, Jess, Hansen och Lundin (2010) skriver att Cobb, som var den som började forska inom socialkonstruktivismen, tillsammans med Yackel har gjort en modell där både psykologiska och sociala perspektiv finns med. Modellen handlar om de normer och föreställningar som har betydelse för vad som händer under en matematiklektion.
Det sociala perspektivet Det psykologiska perspektivet 1. 1. Sociala normer i
klassrummet
2. Föreställningar om ens egen och andras roll i klassrummet och om den allmänna karaktären hos matematisk aktivitet
3. Sociomatematiska normer
4. Föreställningar om och värden förbundna med matematik och matematisk aktivitet
5. Klassrummets matematiska praxis
6. Matematiska begrepp och aktiviteter
Tabell 1. Cobbs och Yackels modell för matematikklassrummet (Cobb &
Yackel 1996, s. 211). Ur Skott, Jess, Hansen & Lundin, 2010 s. 124).
Sociomatematiska normer är något som finns i alla klassrum, det kan exempelvis innebära vilken roll läraren har i klassrummet. Läraren bör enligt Cobb och Yackel (1996) ses som en representationsform som finns till som stöd för eleverna. De skriver dock att flera lärare menar att de är förväntade av eleverna att ha en mer passiv roll. Analysen i deras studie av sociomatematiska normer tyder på att lärare spelar en central roll i att skapa ett bra matematisk klimat som ger eleverna möjlighet till bra matematisk aktivitet.
5.3 Sociokulturell teori
Vygotsky var en pedagogisk teoretiker vars verk blev kända i västvärlden under 1960-talet. Han formulerade en egen syn på relationen mellan lärande och utveckling. Han menade att det inte är åtskilda processer men heller inte något identiskt. Detta kallade Vygotsky för “den proximala utvecklingszonen”. Denna zon innebär att lärande ska bana väg för utveckling. Ett exempel på detta är en elev som tillsammans med en lärare arbetar mot ett abstrakt tänkande. Med tiden kommer eleven utveckla sin förmåga att tänka abstrakt, förutsatt att läraren erbjuder eleven aktiviteter som kräver sådant tänkande (Skott, Jess, Hansen & Lundin, 2010). Enligt Vygotsky (2001) är omgivningen avgörande för individens utveckling och prestation. Lärande inom den sociokulturella teorin skapas i ett samspel och samarbete mellan människor. Det sociokulturella sammanhanget anses vara av stor betydelse för individens utveckling. Vygotsky skriver att det sociala samspelet mellan människor är den viktigaste drivkraften i barns lärande. De yttre processer som sker när människan är i samspel med andra har stor inverkan på de inre processer som sker hos varje människa. Vygotsky (1978) skriver att höga mentala processer hos en person är att kunna tänka, resonera och lösa problem. Vygotsky gjorde en benämning som han kallade för kulturella artefakter eller kulturella verktyg. Dessa används bland annat inom matematiken och får sin innebörd när de sätts i relation till människan.
Siffror är exempel på kulturella tecken medan laborativt material och bilder är exempel på kulturella verktyg. När människan binder samman dessa med kunskaper de redan har för att förstå sin omvärld kallas det för mediering, vilket är en del av den så kallade internaliseringsprocessen. Det kan till exempel handla om att en elev behöver använda sig av konkret material eller en bild för att förstå ett matematiskt uttryck, mediering. Kan eleven sedan förstå det matematiska uttrycket utan kulturella verktyg med endast siffror så har det skett en internalisering (Vygotsky 1978). En som utvecklat den sociokulturella teorin i Sverige är Roger Säljö. Han menar att lärandet sker i interaktion mellan individer och att man i ett sociokulturellt perspektiv är intresserad av hur individer och grupper tillägnar sig och använder fysiska och kognitiva resurser. Den sociala omgivningen och kulturen är det mest avgörande för individens lärande och utveckling (Säljö, 2000).
Metod 6
I följande avsnitt behandlas studiens metod. Avsnittet består av följande delar; metod och tillförlitlighet, urval av läromedel, en beskrivning av studiens analysverktyg samt tillvägagångssätt och sist etisk hänsyn.
6.1 Val av metod och studiens tillförlitlighet
En läromedelsanalys innebär att ta itu med specifika forskningsfrågor och att identifiera och skapa en förståelse för innehållet (Fan, 2013). I denna läromedelsgranskning kommer tre olika läromedel med dess tillhörande lärarhandledning att ingå. Bryman (2013) skriver att en studie är komparativ om två läromedel eller fler analyseras. Bryman skriver också att en innehållsanalys är av fördel vid läromedelsgranskning då det är en konkret forskningsdesign som ger ett resultat som är enkel för läsaren att tolka och förstå. Det kan däremot vara svårt att göra en objektiv innehållsanalys då individer alltid tolkar ett innehåll utifrån tidigare erfarenheter och kunskaper (Bryman, 2013). En innehållsanalys går att genomföra på alla typer av texter.
Innehållsanalys innebär att innehållet systematiseras och mycket “dolt” kan komma fram. Texten innehåller ofta ett budskap som författaren kommunicerar fram. Styrkan i denna analysmetod ligger i att den fastställer innehållet i en text. Genom att författaren beskriver sitt tillvägagångssätt tydligt kan analysen upprepas av andra forskare (Denscombe, 2016).
6.2 Urval
Som nämnts krävs enligt Bryman (2013) minst två olika läromedel i en studie för att få en komparativ forskningsdesign. I denna studie analyseras tre vanligt förekommande matematikböcker för grundskolans tidigare år. De tre som valts är Favoritmatematik, Koll på matematik och Mattegruvan. De är utgivna av olika förlag; Favotitmatematik av Studentlitteratur, Koll på matematik av Sanoma utbildning och Mattegruvan av Gleerups. Läromedlen valdes utifrån ett bekvämlighetsurval som Bryman (2013) skriver är ett val efter vad som är tillgängligt. Författaren hade tillgång till böckerna för skolår 1-2 med tillhörande lärarhandledningar, vilket fastställde urvalet.
Favoritmatematik
Favoritmatematik är ursprungligen ett finskt läromedel som översatts till svenska. Materialet består av tre elevböcker för skolår ett, 1A och 1B samt Mera favoritmatematik 1B som innehåller mer fördjupade uppgifter. För skolår två finns tre elevböcker, 2A, 2B och Mera favoritmatematik 2B. Till varje skolår finns också tillhörande lärarhandledning. Eleverna får enligt förlagets hemsida med hjälp av materialet lära sig att använda ett matematiskt språk och viktiga regler och räknelagar. Materialet utgår ifrån ett “fyrsidessystem” som gör att eleverna är samlade kring ett gemensamt matematiskt moment samtidigt som de får möjlighet till olika uppgifter för att utmana den matematiska utvecklingen (www.studentlitteratur.se).
Koll på matematik
Koll på matematik ges ut av Sanoma utbildning och består av tre elevböcker för varje skolår, A, B och en läxbok. Till elevböckerna A och B finns lärarhandledningar. På Sanoma utbildning förlags hemsida beskrivs att Koll på matematik lyfter fram matematiska begrepp och stödjer elevernas lärande genom ett formativt förhållningssätt. Arbetssättet i läroboken gör enligt förlagets presentation att eleverna kommer att lära sig prata och kommunicera matematik (www.sanoma.se).
Mattegruvan
Mattegruvan är utgiven av Gleerups, till detta läromedel finns en elevbok för varje skolår, för skolår ett heter den Koppargruvan och för skolår två Silvergruvan. Det finns också en läxbok för tillhörande skolår samt lärarhandledningar till varje elevbok. På förlagets hemsida gleerups.se skrivs att Mattegruvan är ett material som ger eleverna möjlighet att bygga upp begrepp som är nödvändiga i matematiken. Läromedlet betonar kommunikation, laboration, matematiska strategier och god taluppfattning (gleerups.se).
6.3 Analysverktyg och tillvägagångssätt
Analysen har utgått från frågeställningarna i studien. Först undersöktes i vilket skolår respektive läromedel introducerar tiotalsövergång. Då granskades innehållsförteckningarna till varje läromedel för skolår 1-2 för att där finna ”subtraktion med tiotalsövergång”. Efter detta granskades också kapitlen innan tiotalsövergång för att få en inblick i vad eleverna övar innan dess. De andra kapitlen med subtraktion granskades också för att inte missa något innehåll. Därefter fokuserades strategier för subtraktion med tiotalsövergång både i läromedlen och lärarhandledningarna. Först undersöktes läroböckerna, de strategier som hittades för tiotalsövergång antecknades och därefter undersöktes tillhörande lärarhandledning för att se om och i så fall hur strategierna motiverades i dem. I ett tredje steg fokuserades de representationsformer som finns i läromedlen. Då studerades de sidor där strategierna tidigare hittats för att se vilka representationsformer som fanns kopplade till dessa strategier. I analysen kopplas representationsformerna till Heddens (1986). Slutligen kopplades de analyser som gjorts i de olika stegen till de två teorier om lärande som tidigare presenterats, det vill säga konstruktivistisk teori och sociokulturell teori.
6.4 Etiska aspekter
En amerikansk sociolog vid namn Robert Merton formulerade på 1940-talet fyra ståndpunkter som han menade utgjorde ett moraliskt samförstånd för vetenskapen. Detta kallade han för CUDOS-kraven. Dessa kan kopplas till min läromedelsanalys där det första Communism innebär att forskarsamhället och samhället i sig har rätt att ta del av forskningsresultatet. Nya kunskaper bör inte döljas eller hemlighållas. Universalism innebär att vetenskapligt arbete enbart ska bedömas utifrån vetenskapliga kriterier. Forskarens ursprung, kön etc. är ointressant gällande resultatets hållbarhet.
Disinterestedness betyder att forskaren, det vill säga jag endast ska ha motivet att bidra med nya kunskaper genom min forskning. Det sista kravet organized scepticism innebär att man ska forskare hela tiden ska ifrågasätta och granska men en bedömning kan göras först när man har tillräckligt mycket grund att stå på (God forskningssed 2017).
Vetenskapsrådet (2017) lyfter fram nyttjandekravet vilket innebär att det insamlade materialet i en studie endast får användas för forskningsändamål.
Jag har varit i kontakt med samtliga förlag till läromedlen och fått tillstånd att presentera bilder ur deras material. Bilderna kommer enbart att användas till studien. Vetenskapsrådet skriver också om informationskravet som innebär att forskaren måste lämna information till berörda om den aktuella forskningsuppgiftens syfte. I detta fall gäller det de olika läromedelsförlagen då författaren använde sig av bilder ur deras böcker. Samtliga förlag blev informerade om detta. Författaren till studien var således tvungen att ta hänsyn till samtyckeskravet som innebär att förlagen måste godkänna sin medverkan i studien, i detta fall att deras bilder användes som exempel i studien vilket samtliga godkände. Ett mail skickades ut till samtliga förlag för läromedlen för att få tillstånd att använda bilder ur dem i studien.
(Bilaga).
Resultat 7
Resultatet presenteras först läromedelsvis för respektive frågeställning, fråga tre och fyra vävs dock samman. Därefter följer en sammanfattning med fokus på likheter och skillnader mellan läromedlen.
7.1 När i skolår 1-3 introducerar de olika läromedlen tiotalsövergång?
I Favoritmatematik introduceras subtraktion med tiotalsövergång i skolår 1 i kapitel tre. I kapitel ett och två jobbar eleverna med talen 0-20 och tiotalsövergång i addition. Eleverna arbetar i dessa föregående två kapitel både med strategin att addera till 10 samt att använda tallinjen. De arbetar också med uppdelningen av tal. I subtraktion med tiotalsövergång arbetar eleverna i talområdet 0-18. Lärarhandledning 1B kopplar tiotalsövergång till det centrala innehållet i läroplanen där de skriver att eleverna övar på att repetera subtraktioner där differensen är 10 och rita en subtraktion som illustrerar tiotalsövergång på tallinjen. Lärarhandledningen motiverar inte när och varför subtraktion med tiotalsövergång ska introduceras i skolår 1 utan visar endast exempel på hur elever samt lärare tillsammans med elever ska jobba med det.
I Koll på matematik introduceras tiotalsövergång i subtraktion i skolår 2.
Tiotalsövergång introduceras i kapitel två och innan dess har eleverna jobbat med talen 0-100. Fokus i de tidigare kapitlen ligger på att se sambandet mellan addition och subtraktion men även sambandet mellan tal som 16-4, 26-2, 36-3 etc. Eleverna får lära sig att göra om tal och addera upp till 10, exempelvis 8+6=10+4. Lärarguiden till detta läromedel motiverar inte varför subtraktion med tiotalsövergång introduceras i skolår 2. I lärarhandledningen står att strategier som använts i skolår 1 även kommer att användas vid tiotalsövergång, till exempel att subtrahera alla ental, subtrahera 10 och subtrahera nästan alla ental.
I Mattegruvan introduceras subtraktion med tiotalsövergång i skolår 2 i kapitel 6. Innan dess har eleverna jobbat med addition och subtraktion upp till 100 samt subtraktion med hela tiotal. Strategin som förespråkas i läromedlet är där att tänka 10 först och på så sätt dela upp tal. I lärarhandledningen beskrivs att eleverna i kapitel 6 ska räkna tiotalsövergång inom talområdet 0-13. Eleverna ska lära sig att strukturera talen så att de enkelt kan lösas. Det motiveras inte när och varför tiotalsövergång ska introduceras i skolår 2 eller varför inom talområdet 0-13.
7.2 Likheter och skillnader mellan läromedlen avseende när subtraktion med tiotalsövergång introduceras
Subtraktion med tiotalsövergång introduceras i Koll på matematik och Mattegruvan i skolår 2. I Koll på matematik kommer det tidigt i läroboken för skolår 2 medan det i Mattegruvan kommer lite senare. Dessa båda läromedlen har gemensamt att de innan tiotalsövergång i subtraktion har jobbat med talen 0-100 i både addition och subtraktion samt subtraktion med hela tiotal. Det syns också en tydlig likhet i de båda läromedlen vad gäller sambandet mellan addition och subtraktion. I Koll på matematik är en av överskrifterna i kapitel 1; addition, subtraktion - se samband medan det i Mattegruvan på ena sidan av ett uppslag är addition och den andra sidan på uppslaget subtraktion så att eleverna kan se sambandet. En annan likhet är att eleverna arbetar med att addera upp till 10. Favoritmatematik är det enda av läromedlen som introducerar tiotalsövergång i subtraktion i skolår 1.
Eleverna har innan dess enbart jobbat med talen 0-20 till skillnad från de andra läromedlen som arbetat med tal upp till 100. Den likhet Favoritmatematik har med de andra två läromedlen är att de alla först introducerar tiotalsövergång i addition och tränar på att dela upp tal för att enklare räkna. En annan likhet mellan de olika läromedlen är att det i lärarhandledningarna inte motiveras varför de introducerar subtraktion med tiotalsövergång när de väljer att göra det.
7.3 Vilka olika strategier för tiotalsövergång förespråkas i olika läromedel för matematik?
Favoritmatematik
Den första strategin som presenteras i detta läromedel är att subtrahera till 10 och därefter subtrahera resten. Därefter introduceras strategin att subtrahera och kontrollera med addition. Eleverna får då räkna en uppgift som 12-5=7 och ska sedan kontrollera sitt svar genom att räkna 7+5=12.
Bild 5. Mera Favoritmatematik 1B. Illustratör: Maisa Rajamäki. s. 122.
I läromedlet visas även strategin subtraktion med uppställning och växling som strategi. I samtliga läroböcker finns faktarutor för strategierna och beskrivningar på hur eleven ska gå till väga.
Lärarhandledningen ger exempel på en arbetsgång för subtraktion med tiotalsövergång där tallinjen används som exempel. Läraren kan börja undervisningen med att endast skriva talen 11,12,13,14 och 15 på tavlan och sedan låta eleverna fundera på hur mycket de måste subtrahera för att få 10.
Exempelvis 14-_=10. Att låta eleverna använda sig av laborativt material som tallinje, linjal eller klossar förespråkas också för att eleverna ska bli så säkra som möjligt på tiotalsövergång.
Koll på matematik
I läromedlet visas först strategin att subtrahera till 10 och därefter subtrahera resten. Exempel: 13-5. Tre ental tas bort från 13 för att få 10. Då kvarstår två ental som vi måste subtrahera från 10.
Bild 6: Koll på matematik 2A. Sanoma utbildning. Illustratör: Filippa Widlund. s. 34.
Därefter introduceras strategin “subtrahera 10 och se samband” det vill säga att eleven först får lösa uppgifter som 14-10 och ska därefter vara hjälpt av det när hen löser 14-9 och 14-8.
I läromedlet visas även senare strategierna att se sambandet mellan dubbelt och hälften. Eleverna ska utifrån additioner som 8+8, kunna beräkna 16-8.
Strategin uppställning introduceras i detta läromedel i skolår 2. Strategin att förändra termerna introduceras också i skolår 2. Exempel: 212-198 ändras till 214-200 för beräkning. Likaså introduceras att jämföra tal som är nära varandra på en tallinje för att räkna stegen uppåt vid tal som exempelvis 203- 199. Läromedlet har till varje ny strategi en faktaruta som beskriver hur eleven ska göra.
I lärarhandledningen skrivs att eleverna ska ta hjälp av bildstöden för att lösa uppgifterna samt att de ska få erfara flera olika sätt att tänka kring subtraktioner för att de ska kunna välja det eller de sätten de förstår bäst.
Eleverna måste enligt lärarhandledningen först förstå sambandet “Subtrahera med 10” för att kunna subtrahera 9 och 8.
Mattegruvan
I läromedlet introduceras först strategin att subtrahera till 10 och därefter subtrahera resten. Exempel på uppgifter är: 11-6 och 12-4. På bilden nedan (Bild 7) visas hur eleverna ombeds att tänka.
Bild 7: Silverspiran Grundbok 2006. Illustratör: Eva Lindén. s. 88.
Därefter introduceras strategin uppställning. Dessa är de strategier som introduceras i läromedlet.
Detta läromedel lägger tydligt fokus vid tallinjen för att eleverna på detta sätt ska bemästra tiotalsövergångar. Att vara helt säker på talen före och efter ett tiotal är enligt lärarhandledningen avgörande för hur bra eleverna kommer att klara av beräkningar med tiotalsövergång. I lärarhandledningen uppmanas eleverna att skriva ner mellanledet när de använder strategin att först räkna ner till 10 och sedan resten. Exempelvis: 11-3=11-1-2=8. För att klara detta skriver lärarhandledningen att eleverna måste vara säkra på tiokamraterna och talkamraterna mellan 1 och 9. Lärarhandledningen motiverar också att eleverna bör träna talkamraterna till exempel 30-1, 30-2 etc. och likheter inom tiotalsområden 10-3, 20-3, 30-3. Det är enbart i lärarhandledningen förklaringar ges till strategierna om hur eleverna ska tänka.
7.4 Likheter och skillnader för vilka olika strategier för
tiotalsövergång i subtraktion som förespråkas i olika läromedel för matematik
Gemensamt för de tre läromedlen är att alla börjar med strategin att subtrahera till 10 och sedan subtrahera resten. Läromedlen presenterar också uppställning som en strategi, detta i skolår 2. De har också gemensamt att vid höga tal som är nära varandra som till exempel 201-199 förespråkas att eleverna ska räkna stegen uppåt med hjälp av en tallinje. Tallinjen är viktig enligt samtliga läromedel. En annan likhet är den vikt läromedlen framskriver gällande sambandet och förståelsen mellan olika tal såsom 16-8 och 160-80. Några skillnader är att det endast är Mattegruvan som motiverar att eleverna ska skriva ner mellanledet med siffror när de använder strategin att räkna ner till 10 först. Det står i lärarhandledningarna att vissa moment
ska göras tillsammans på tavlan och vad läraren ska fråga eleverna. Till exempel till uppgiften 13-10, “visa hur man skriver ut denna uppgift med ett mellanled genom att först räkna ner till 10” eller om läraren skriver 13-10, 12-10, 11-10 “vad ser ni för mönster?” I Mattegruvans grundböcker förklaras inte olika strategier och hur eleverna bör tänka med hjälp av faktarutor som det gör i de andra läromedlen. Det är endast i dess lärarhandledning som detta beskrivs.
7.5 Hur representeras subtraktion med tiotalsövergång i olika läromedel i matematik samt hur motiveras dessa strategier och representationsformer?
Favoritmatematik
Tallinjen är den första och den dominerande representationsformen i detta läromedel. Eleverna uppmanas också i skolår 1 att använda sig av 20- rutsystemet där de kan dra streck över hur mycket de subtraherar. Se bilden här nedan (Bild 8).
.
Bild 8. Mera Favoritmatematik 1B. Illustratör: Maisa Rajamäki. s. 98.
Ett annat exempel är talet 100-5, eleverna ska här med hjälp av tallinjen direkt kunna se att svaret är 95 utan att egentligen behöva räkna. Förutom användandet av vanliga siffersymboler använder eleverna andra symboliska representationsformer genom att sätta ut tecknen < , = och >.
Bild 9. Mera Favoritmatematik 1B. Illustratör: Maisa Rajamäki. s. 101.
Lärarhandledningen ger exempel på att eleverna ska använda sig av representationsformen 20-rutsystemet samt knappar att lägga på rutorna för att sedan ta bort dessa när de subtraherar. Eleverna kan också få ta hjälp av pengar från det laborativa materialet som tillhör läromedlet.
Koll på matematik
I läromedlet representeras subtraktion med tiotalsövergång först genom bilder på tiotalsstavar och entalskuber (se bild 3 s.13 i arbetet). Därefter används tallinjen som representationsform.
Bild 10. Koll på matematik 2A. Illustratör: Filippa Widlund. s. 36.
Ytterligare en representationsform som beskrivs i lärarhandledningen är att leka affär för att eleverna ska få erfara olika sätt att tänka kring subtraktion med tiotalsövergång. Eleverna ska få mellan 11-17 kronor och det de köper ska kosta 9 eller 8 kr. Eleverna får enligt lärarhandledningen då konkret se att deras ental i detta fall enkronor inte räcker till och att de måste använda sig av tiokronor.
Mattegruvan
De två mest förekommande representationsformer till subtraktion med tiotalsövergång är i detta läromedel tiotalsstavar och entalskuber samt pengar.
Bild 11. Silvergruvan Grundbok. Illustratör: Eva Lindén. s. 94.
Tallinjen används endast lite grann till subtraktion med tiotalsövergång.
Lärarhandledningen motiverar att elever som är i behov av stöd bland annat kan använda tiotalsstavar, entalskuber och talblock.
7.6 Likheter och skillnader för hur subtraktion med tiotalsövergång representeras i olika läromedel
Koll på matematik och Favoritmatematik använder båda tallinjen som representationsform i stor utsträckning. Favoritmatematik är det enda läromedel som använder tallinjen som första representationsform. De andra två läromedlen inleder med att visa tiotalsstavar och entalskuber för eleverna.
Favoritmatematik är det enda läromedel som förespråkar 20-rutsystemet där eleverna kan dra streck över så många de subtraherar. Mattegruvan använder inte tallinjen mycket utan förespråkar istället användandet av pengar.
Analys 8
Detta avsnitt är uppbyggt tematiskt där olika teman ur studien analyseras med hjälp av de olika teorierna. Först kommer en analys av representationsformer i läromedlen kopplat till Heddens och därefter en analys där de olika teorierna som beskrivits tidigare kopplas till följande delar från resultatet av läromedelsgranskningen: representationer i läromedlen, laborativt material i läromedlen, arbete i grupp, stegvis uppbyggda läromedel och lärande genom lek.
Representationer i läromedlen
I resultatet framgår att samtliga läromedel använder sig av liknande representationsformer, bilder av en tallinje eller tiotalsstavar och entalskuber.
Arbetet med dessa representationsformer är några utav de som Heddens (1986) skriver om i sin teori. Favoritmatematik är det enda läromedel som börjar med att introducera en semiabstrakt representationsform istället för en konkret representationsform som de andra läromedlen gör. Den semiabstrakta representationsformen utgörs av tallinjen som är en bild av ett abstrakt tal. Sedan följer utvecklingen till det abstrakta med uppställning som representationsform. I slutet av skolår 2 är det mycket abstrakta representationsformer som används, främst symboler och siffror i samtliga läromedel. Att börja med att introducera en semiabstrakt representationsform bör vara av fördel då någon elev inte riskerar att få för lätta uppgifter medan om det för någon är för svårt blir lättare att anpassa. Heddens (1986) skriver att lärarens sätt att fråga och prata med eleverna kan bidra till att de förstår och tar till sig innehållet bättre. Bilder av en tallinje, tiotalsstavar och entalskuber är vanligt förekommande i läromedlen. Dessa är utifrån Heddens (1986) semikonkreta representationer i form av bilder av det konkreta materialet eller den verkliga situationen. Om en elev enbart arbetat med dessa som bilder och inte sett materialet i “verkligheten” kan de dock inte räknas som semikonkreta. Det krävs att eleverna först fått erfara det konkreta för att bilderna ska kunna vara semikonkret. 20-rutsystemet och tallinjen är semiabstrakta representationer då de inte avbildar en konkret situation (Heddens, 1986). Det förekommer både semikonkreta och semiabstrakta representationsformer i läroböckerna, men mest är det bilder utav “något verkligt” som används, alltså semikonkreta representationsformer.
Laborativt material i läromedlen
Samtliga lärarhandledningar skriver att elever som är i behov av konkret stöd ska få använda laborativt material. Det står också att vissa moment ska göras tillsammans på tavlan samt konkret vad läraren ska fråga eleverna. Utifrån ett konstruktivistiskt synsätt på lärande kan laborativt material anses bidra till elevernas konstruktion av en mer avancerad matematisk förståelse. Utifrån ett sociokulturellt synsätt på lärande kan laborativt material förstås som en artefakt som i en undervisningssituation kan bli ett medierande verktyg vilket innebär att de kulturella tecken (siffror) och kulturella verktyg (konkret material) som eleverna använder sig av binds samman med kunskaper de redan har. Detta bidrar därigenom till en djupare matematisk förståelse.
Arbete i grupp
Samtliga lärarhandledningarna uppmanar till gemensamt arbete där läraren ska aktivera eleverna genom samtal och aktivitet. De har exempel på övningar, lekar och spel som eleverna ska göra tillsammans för att utveckla sina kunskaper. Detta tankesätt kan kopplas till den sociokulturella teorin som förespråkar att eleverna lär tillsammans. Lärande sker enligt Vygotsky (2001) och den sociokulturella teorin i ett samspel och samarbete mellan människor. En sociokulturell individ utvecklar sina grundläggande kognitiva färdigheter, det vill säga sin uppfattning om sig själv och andra människor tillsammans. Engström (1998) skriver att även den konstruktivistiska teorin uppmuntrar till samtal, diskussioner och samarbete för att lösa problem.
Läromedel stegvis uppbyggda
De tre läromedlen belyser hur viktigt det är med elevernas enskilda arbete, stegvisa instruktioner och repetition av tidigare uppgifter och speciellt i lärarhandledningarna förespråkas det gemensamma arbetet mellan elever. I lärarhandledningarna till Koll på matematik och Mattegruvan beskrivs en grundsyn för ett effektivt lärande vilket kan sammanfattas enligt följande:
nya kunskaper måste kopplas till tidigare kunskaper, eleven måste vara aktiv i sin lärprocess, eleven bör förstå syftet med det som ska läras och ha en uppfattning av vad hen kan i förhållande till kunskapskraven, eleven bör få tala om sitt lärande för att utveckla det matematiska språket samt få återkoppling av läraren så att eventuella svagheter kan förbättras. Detta kan kopplas till både den konstruktivistiska teorin och den sociokulturella eftersom eleverna bygger upp ny kunskap på det de redan kan samtidigt som de måste jobba tillsammans, dels med andra elever och i dialog med sin lärare. I läromedlet Favoritmatematik börjar varje kapitel med grunduppgifter som eleven ska göra enskilt. Efter detta får eleven utifrån sina individuella kunskaper antingen öva mer med uppgifter på samma nivå eller med uppgifter på svårare nivå. Går eleven på en svårare nivå använder hen sin förförståelse för att bygga vidare på ny kunskap. I samtliga läromedel är progressionen mellan uppgifterna uppbyggd så att uppgifterna i små steg
bygger vidare på elevernas tidigare kunskaper. I konstruktivistiska ord innebär det att eleverna ska assimilera nya erfarenheter till sin egen förståelse för subtraktion med tiotalsövergång då de till exempel möter nya strategier.
En utmaning i detta är att inte alla elever har samma erfarenheter. Skott, Jess, Hansen och Lundin (2010) skriver att assimilation innebär att vi arbetar in nya erfarenheter i den förståelse vi redan har. I ackommodation reviderar personen sin förförståelse när hen ställs inför nya erfarenheter eller situationer. Detta kan eleven behöva göra då hen efter att ha gjort enskilda uppgifter i läroboken ska göra uppgifter tillsammans med andra. Eleven måste då anpassa sin förförståelse efter hur mycket de andra eleverna kan.
Lära genom lek
Enligt Cobb och Yackel (1996) bör matematikundervisningen syfta till att förmedla kunskaper som eleverna kan använda sig av i flera olika sammanhang i livet. Lärarhandledningarna skriver att de flesta elever har erfarenheter av en affär och de kan därför utgå från detta för att lära matematik. Genom att eleverna får leka affär kommer de att få kunskaper med sig som inte enbart är förknippade med skolans värld. Den modell Cobb och Yackel (1996) konstruerat om normer och föreställningar av betydelse för vad som händer under en matematiklektion både ur ett socialt perspektiv och ur ett psykologiskt perspektiv kan användas för att ytterligare förstå exemplet där lärarhandledningen uppmanar läraren att låta eleverna lek affär för att träna på subtraktion med tiotalsövergång.
Sociala normer i klassrummet är en del av det sociala perspektivet. Det handlar om vilka sociala regler som finns i klassrummet, till exempel om eleverna tillåts att prata om annat än matematik då de “handlar”.
Föreställningar om ens egen och andras roll i klassrummet och om den allmänna karaktären hos matematisk aktivitet innefattas av det psykologiska perspektivet. Det kan handla om vilken uppfattning eleven har av sin roll under “leken”, vad som förväntas av en själv och de andra.
Sociomatematiska normer innebär vilka normer som funnits tidigare i klassrummet vid lekar i matematik. Vad var tillåtet då, får eleverna göra något annorlunda nu och hur förklarar läraren detta för eleverna?
Föreställningar om och värden förbundna med matematik och matematisk aktivitet kan kopplas till att eleven har en viss föreställning av vad pengar används till och vad till exempel en tiokrona har för värde.
Klassrummets matematiska praxis handlar om ämnesinnehållet. Vissa strategier behöver argumenteras för eleverna för att de ska förstå att det är den enklaste strategin för en uppgift. Till exempel att addera uppåt vid en subtraktion med tiotalsövergång där talen är nära varandra. Många elever vill
möjligen subtrahera talet då det är en subtraktionsuppgift men de måste förstå att strategin att addera uppåt i vissa fall underlättar beräkningen.
Matematiska begrepp och aktiviteter innebär att eleverna kan använda begreppet kronor. De förstår innebörden av att köpa någonting och få en mindre summa pengar tillbaka.
Sammanfattning
Nedan följer en sammanfattning av hur resultatet tolkats genom teorierna.
Samtliga läromedel använder sig alla av liknande representationsformer, bilder av en tallinje eller tiotalsstavar och entalskuber. Detta är vad Heddens (1986) beskriver som semikonkreta representationer i form av bilder av det konkreta materialet eller den verkliga situationen. Den konstruktivistiska lärandeteorin syns tydligast i lärarhandledningen till Koll på matematik som explicit skriver att lärandet behöver starta där eleven befinner sig och att nya kunskaper måste kopplas till tidigare kunskaper. Lärarhandledningen till Favoritmatematik är inte lika tydlig med vilken teoretisk utgångspunkt den har. Däremot är läroboken i Favoritmatematik uppbyggd enligt den konstruktivistiska lärandeteorin. Eleven möter ett innehåll för att sedan utveckla ny kunskap anpassad efter sin nivå. I lärarhandledningen till Mattegruvan beskrivs grundtankarna för lärande mer ur ett sociokulturellt perspektiv. De skriver att de i enlighet med läroplanen som också bygger på en sociokulturell teori ska ge eleverna förutsättningar att utveckla sina förmågor. Mattegruvan bygger mycket på det kommunikativa och språket.
De lägger även stort fokus vid kulturella tecken och är medvetna om att elever från andra kulturer kan vara bekanta med andra siffror än de vi använder i Sverige. I de olika läroböckerna är det betydligt svårare att se någon teoretisk utgångspunkt. De alla är uppbyggda på liknande sätt med enskilda uppgifter samt uppgifter att göra tillsammans.
Diskussion 9
9.1 Metoddiskussion
Urvalet av läromedel gjordes ur ett bekvämlighetsperspektiv. Läromedlen som valdes är dessutom några av de vanligast förekommande i grundskolans år 1-3. Eftersom subtraktion med tiotalsövergång skulle undersökas studerades läroböckerna för år 1-2 då tiotalsövergång introduceras under de skolåren.
För att ge en rättvis bild av läromedlen studerades de i sin kontext, det vill säga varje förlags bok studeras enskilt och därefter gjorde jämförelsen.
Elever kan utifrån sin motivation och inställning till matematik tillägna sig det matematiska innehållet på olika sätt. På samma sätt kan kompetenta lärare undvika och kompensera för en matematikläroboks brister (Fan, 2013).
Hade observationer genomförts i klassrum där dessa läromedel används hade en inblick i läromedlens användningssätt varit möjlig. En innehållsanalys gjordes utifrån de tre läromedlen, där innehållet systematiserades.
Strategierna för tiotalsövergång radades upp för att enklast se likheter och skillnader. Hade enbart två läromedel analyserats hade resultatet troligen blivit mindre varierat samtidigt som fler läromedel kunde ha givit ett ännu mer varierat resultat. Resultatet är beroende av vilka läromedel som analyseras och vilken teoretisk utgångspunkt dessa läromedel har. Resultatet kan också skilja sig om samma läromedel analyseras av olika personer, eftersom analysen bygger på författarens tolkning.
9.2 Resultatdiskussion
I resultatet framgår att två av de tre läromedlen introducerar subtraktion med tiotalsövergång i skolår 2 medan ett gör det i skolår 1. Enligt Fuson (2003) finns det tre olika vardagssituationer där subtraktion kan användas. Dessa är att ta bort, kombinera och jämföra. I innehållsanalysen av de olika läromedlen framgår att eleverna får bekanta sig med dessa tre “situationer”
innan de bekantas med tiotalsövergång i subtraktion. Exempel på situationen
“ta bort” i läromedlen är uppgifter som 5-2 och 6-3 där eleverna ska ta bort från minuenden. “Kombinera” kan vara en uppgift likt: Anna har 10 godisbitar, 7 är choklad. Hur många är sura godisar? “Jämföra” uppgifter är till exempel: Lisa har 12 kulor och Sten har 8 kulor. Hur många fler kulor har Lisa än Sten?
Ostad (1999) beskriver i sin studie att elevernas strategier delades in i två huvudkategorier, dessa var att “räkna uppåt” alltså från subtrahenden till minuenden och “ta bort” att subtrahera från minuenden. Det är också dessa strategier som är mest vanliga i läromedlen från denna studie. De tre läromedlen introducerar först “subtrahera ner till 10” och det är också den
