Koaxialkablen och RC-konstant
Syfte
Förberedelser
Om avbildning
Du behöver läsa på inför labben så att du kan
Resistans – vad är det? Kan man beräkna resistansen hos en cylindrisk ledare?
Kapacitans – vad är det? Kan man beräkna kapacitansen hos en cylinderkondensator?
RC-konstant – vad är det? Hur påverkar den en RC-krets beteende?
Koaxialkabel – hur är den uppbyggd? Varför kan man betrakta en koaxial-kabel som en RC- krets? Vilken RC-konstant får den?
Vad gäller den sista frågan finns en intuitiv förklaring i slutet av labpeket. Fundera gärna själv en stund innan du läser den.
Om mätfel
Du behöver läsa på om mätfel. Instruktionerna finns i dokumentet ”Om mätfel i allmänhet” som ligger på samma hemsida som labinstruktionerna. Du behöver kunna
Beräkna medelvärdet av en serie mätningar.
Välja och använda en vettig metod för att uppskatta felen i dina uppmätta och beräknade värden.
Om inget annat anges i instruktionerna, ska alla värden ni tar fram ha en feluppskatting. Det innebär nästan alltid att en mätning i själva verket består av flera mätningar, från vilka medelvärde och fel kan beräknas.
Om laborationen
Du behöver läsa igenom labinstruktionen, så att du kan förbereda dig. Om någon i labgruppen har en bärbar dator, ta med den till labben. Då kan du direkt föra in dina värden i filer på datorn. Observera att datorskrivna tabeller och grafer krävs både vid rapportskrivning och munta.
Utrustning
Lång koaxialkabel (längden varierar mellan labgrupperna)
Multimeter
Oscilloskop
Funktionsgenerator
Diverse kablar
Labbens syfte är dels att praktiskt hantera begreppen resistans, kapacitans och RC-konstant, men även till stor del att lära sig hantera multimeter och oscilloskop.
Laborationen
A. Mät resistansen 𝑅 i koaxialkabelns ytterledare och innerledare med multimetern. Gör så många mätningar att du kan uppskatta felen. Koppla bort probarna mellan mätningarna.
Uppskatta (inklusive fel) mittledarens tvärsnittsradie om du får veta längden på kabeln, och att denna är gjord av koppar med resistivitet 0,017 Ωmm²/m.
B. Mät på samma sätt kapacitansen 𝐶. Detta kan göras på två sätt: bägge probarna i samma ände av kabeln respektive i var sin ände. Blir det någon skillnad mellan de två mätningarna? I så fall varför?
C. Koppla nu funktionsgeneratorn till oscilloskopet med en kort kabel. Vad visas på skärmen?
Testa de olika funktionstyper som funktionsgeneratorn kan ge. Framför allt, vad händer om man tar en fyrkantsvåg och gradvis ökar frekvensen? Vad beror detta på?
D. Koppla nu in den långa koaxialkabeln mellan funktionsgeneratorn och oscilloskopet. Räkna ut den förväntade RC-konstanten för kabeln och ställ in en frekvens som är såpass låg att RC- konstanten inte har märkbar inverkan på fyrkantsvågformen. Öka sedan frekvensen gradvis och rita av eller fotografera kurvformen för frekvens = 0,1/RC, 0,2/RC... upp till 0,5/RC. Mät tidskonstanten i ritningarna (eller direkt på skärmen). Avviker kurvans form från den förväntade? På vilket sätt? Påverkar det dina mätningar av RC-konstanten?
Var noga med skalan - ställ in ”Volt/ div” och framför allt ”Sekunder /div” så att du kan läsa av värdena så bra som möjligt. Uppskatta felet i denna mätning och jämför med den tidskonstant du kan beräkna från dina värden på resistansen och kapacitansen (från del A och B).
E. Diskussionsuppgift: Det finns två tänkbara begränsningar för hur snabbt man kan ladda en kondensator. Dels kan aldrig spänningen utbreda sig med högre hastighet än ljushastigheten i materialet. För mittledaren är denna ungefär 2 x 108 m/s. Dels bestäms laddningstiden av RC-konstanten (som denna lab i stort handlar om). Jämför de tider du får från dessa begränsningar och diskutera vilken som är viktigast.
Koaxialkabeln
Koaxialkabeln uppfanns av den engelske ingenjören och
matematikern Oliver Heaviside år 1880. I princip är det en vanlig kabel, med två ledare. Skillnaden är att den ena ledaren lagts inuti den andra, för att förhindra störningar från
elektromagnetiska fält i omgivningen. Kabeln består alltså av en ledande kärna, normalt gjord av koppar. Runt den ligger ett isolerande lager, och sedan den yttre ledaren. Utanpå detta ligger ytterligare ett isolerande lager.
Varje ledare kommer att ha en viss resistans. (Den är betydligt större för en av dem – gissa vilken, och se sen om din gissning stämmer med mätvärdena). Men eftersom ledarna ligger nära varandra, uppstår också en kapacitans mellan dem. Fig. 1 visar en bild som ligger ganska nära verkligeheten, med många små resistanser och kapacitanser, som tillsammans får koaxialkabeln att fungera som en RC-krets.
Det går att räkna ut den här RC-kretsens tidskonstant, genom att integrera över infinitesimalt små resistanser och kapacitanser. Då kommer man fram till att kretsens tisdkonstant är 𝜏 = 𝑅𝐶/2. Men detta går en god bit utanför kursen, så vi kommer inte att bevisa det. Däremot finns det en enkel motivering, som gör det enklare att förstå (se nedan). Observera dock att detta är en enkel
Fig. 1. I figuren ovan skissas resistans och kapacitans i en koaxialkabel. Den övre ledaren är innerledaren, den undre är ytterledaren. I vårt fall är kabelns vänstra sida kopplad till funktionsgeneratorn, som lägger spänningen Vin mellan de två ledarna. Den högra sidan är kopplad till oscilloskopet, som visar
spänningen Vut mellan dem. Mellan ledarna uppstår en kapacitans, på samma sätt som i en cylinderkondensator. Ledarna har dessutom resistans.
Om vi lägger ihop alla resistanser, och alla kapacitanser, kan vi förenklat representera koaxialkabeln som den förenklade kretsen i Fig. 2. När oscilloskopet mäter spänning, lägger det en mycket stor resistans mellan kabelns högra ändar. Vi kan betrakta den högra änden av kretsen som öppen, medan den vänstra änden sluts av funktionsgeneratorn. Därmed är det bara den vänstra halvan som är sluten, och därför ”ser” kretesn bara halva resistansen. Därmed har vi motiverat att uttrycket för tidskonstanten, 𝜏 = 𝑅𝐶/2, är rimligt.
Fig. 2. En förenklad version av resistans och kapacitans i en koaxialkabel. När oscilloskopet mäter spänning, lägger det en mycket stor resistans mellan ändpunkterna på kretsen. Då kan vi i princip betrakta denna ände av kretsen som öppen, dvs RC-kretsen består bara av den vänstra halvan. Då ”används”
bara halva resistansen, vilket motiverar faktorn ½ i uttrycket för tidskonstanten.
Om du har labmunta...
... ska du tänka på följande allmänna regler:
Ta med dig allt material du vill visa upp i datorutskriven form (utom vissa diagram).
Figurer ska vara ritade på dator (i valfritt ritprogram).
Tabeller med mätvärden ska vara utskrivna på papper, med tabellhuvud och enheter.
Diagram ska vara datorritade, och axlarna ska vara graderade med enheter angivna.
Felanalys av mätvärden ska finnas med för alla numeriska svar på frågor (om inte annat explicit sagts i labpeket).
Nu har du redan det mesta på dator. Överväg att skriva en kort rapport – ett enkelt sätt att få med det viktiga till muntan.
... samt på följande specifika instruktioner för RC-labben:
Redovisa hur ni kopplade multimetern för att mäta kabelns resistans respektive kapacitans.
Redovisa, inklusive felanalys, värden på inre och yttre resistansen samt kapacitansen.
Motivera faktorn 1/2 i uttrycket för tidskonstanten.
Ta med avritade eller fotograferade kurvor från oscilloskopet. Handritat eller mobilkamera är OK! Skalan på axlarna ska framgå.
Beskriv hur ni bestämde tidskonstanten ur lämplig oscilloskop-kurva, inklusive enkel felanalys.
Jämför det värde på tidskonstanten ni kan beräkna från mätningarna i A och B, med värdet på tidskonstanten som ni mätte i D. Kommentera eventuella avvikelser!
Tag med en datorskriven text som svar på diskussionsuppgiften (E).
Om du ska skriva labrapport...
... följ instruktioner på kursens hemsida.
