Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

STOCKHOLMS UNIVERSITET

FYSIKUM K.H

Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 12p, f¨or kandidatprogrammet i fysik, 9/6 2015, 9-14.

Inf¨orda beteckningar skall f¨orklaras och uppst¨allda ekvationer motiveras. Resonemang, ekvationsl¨os- ningar och utr¨akningar f˚ar inte vara s˚a knapph¨andiga att de blir sv˚ara att f¨olja. F¨or varje problem skall tydligt framg˚a vilket svar som ges. N¨ar s˚a ¨ar m¨ojligt skall svaret best˚a av siffror med r¨att enheter.

Antalet v¨ardesiffror skall st˚a i rimlig proportion till i texten angivna v¨ardesiffror. Avdrag g¨ors om l¨osningar eller svar inte utformas i enlighet med ovanst˚aende.

F¨or godk¨anda betyg kr¨avs minst 5 po¨ang p˚a del A, samt ett sammanlagt antal po¨ang som ¨ar olika f¨or olika betyg. F¨or betyg E kr¨avs minst 15 po¨ang sammanlagt.

Hj¨alpmedel : UTDELAD R ¨AKNEDOSA, PHYSICS HANDBOOK, BIFOGAD FORMELSAMLING MED TABELLER.

Del A: Begrepp och grundl¨aggande f¨orst˚aelse

1. F¨or att unders¨oka om det finns ett samband mellan surfning och h¨orselproblem gjordes ett slumpm¨assigt urval av 100 surfare i ˚aldern 25-30 ˚ar. Dessa fick ange hur m˚anga timmar i veckan de ¨agnade ˚at surfning, samt genomg˚a ett test f¨or att fastst¨alla det l¨agsta ljud de kunde uppfatta. Den linj¨ara korrelationskoefficienten mellan surftid och h¨orseltr¨oskel ber¨aknades till −0,14. Kan man p˚a fem procents signifikansniv˚a s¨aga att det finns ett samband mellan surftid och h¨orseltr¨oskel? (2p) 2. F¨or att best¨amma bakgrunden i ett s¨onderfallsexperiment m¨ater man antalet bakgrunds- pulser i femsekundersintervall under en timme och konstaterar att bakgrunden ¨ar stabil.

Totala antalet pulser som registrerats ¨ar 3096. Uppskatta hur m˚anga av femsekunders-

intervallen som inte gav n˚agra pulser alls. (2p)

3. En andragradsfunktion anpassas till ett antal m¨atpunkter med fel. F¨or att unders¨oka anpassningens kvalitet ber¨aknar man chikvadratsumman, som blir 10,5. Figuren nedan visar chikvadratf¨ordelningen f¨or det aktuella antalet frihetsgrader. Hur stor blir chi-

kvadratsannolikheten? (2p)

4. Antag att l¨angden av danska m¨an ¨ar normalf¨ordelad med ett medelv¨arde av 175 cm och en standardavvikelse om 8,4 cm. Antag att m¨an utg¨or h¨alften av Danmarks befolkning om 5,6 miljoner. Hur stor ¨ar sannolikheten f¨or att av tv˚a slump¨assigt valda danska m¨an

¨

ar den ene 20cm eller mer l¨angre ¨an den andre. (2p) 5 F¨or att best¨amma elasticitetsmodulen E f¨or en legering kan man best¨amma egenfrekvensen

f₀ hos ett r¨atblock tillverkat av den. Om l¨angden ¨ar L, bredden b och tjockleken t ges elasticitetsmodulen av uttrycket

E = Amf₀²L³ bt³



1 + Bt² L²



d¨ar A = 0,9465 och B = 6,858 ¨ar numeriska konstanter. Vid en s˚adan best¨amning uppm¨attes L = (21,2 ± 0,5)cm, b = (51,1 ± 0,6)mm, t = (3,21 ± 0,08)mm, m = (24,0 ± 0,8)g, och f0 = (845 ± 80)Hz. M¨atningarna ¨ar oberoende. H¨arur best¨amdes genom felfortplantning v¨ardet p˚a elasticitetsmodulen till

E = (9,3 ± 2,0) · 10¹⁰ N m² .

Hur mycket skulle felet i E minska om man skaffade en utrustning som m¨ater frekvensen med dubbelt s˚a stor precision (allts˚a med en h¨alften s˚a stor os¨akerhet)? Ledning: Du

beh¨over inte g¨ora om hela felpropageringen. (2p)

Del B: F¨ordjupande uppgifter

6. I samband med en trafikoml¨aggning vill man kontrollera om trafiken minskat p˚a en gata. Man r¨aknar bilar under en timme (15-16) p˚a onsdag eftermiddag f¨ore och efter oml¨aggningen. Antalet bilar blir 512 respektive 430. Antag poissonstatistik och testa nollhypotesen att trafiken ¨ar of¨or¨andrad mot l¨amplig alternativ hypotes. (5p) 7. Best¨am standardavvikelsen f¨or den triangul¨ara sannolikhetsf¨ordelningen (sannolikhetst¨atheten)

f i figuren nedan. (5p)

8. Ett linj¨art funktionssamband y = f (x) r˚ader mellan x och y. F¨or att best¨amma funk- tionen f g¨ors en serie oberoende m¨atningar av sammanh¨orande v¨arden p˚a x och y. De uppm¨atta v¨ardena med fel finns angivna i tabellen nedan.

x y

11,1 ± 0,8 2,7 ± 0,8 12,5 ± 0,4 1,9 ± 0,8 13,7 ± 0,3 4,0 ± 0,8 14,6 ± 0,6 3,4 ± 0,9 15,7 ± 0,4 4,0 ± 1,1 16,4 ± 0,3 6,1 ± 1,2 18,6 ± 0,3 7,5 ± 1,6

Best¨am f (0) med fel! (5p)

9. P˚a en avl¨agsen fj¨allstation tycker man att v¨adret ¨ar ovanligt kallt, och man vill m¨ata temperaturen. Dessv¨arre har termometern g˚att s¨onder, och n¨ar man skickade efter en ny skedde en felleverans: Man fick en manometer ist¨allet, som kan m¨ata tryckskillnader. Man vill nu utnyttja manometern, tillsammans med en glaskolv, f¨or att m¨ata temperaturen.

Med hj¨alp av en aneroidbarometer m¨ater man f¨orst atmosf¨arstrycket. Barometern har en kalibreringsskruv som kan anv¨andas f¨or att ¨andra utslaget. Man misst¨anker att den inte ¨ar ordentligt kalibrerad, st¨aller in skruven i mittl¨aget och antar att detta ger en os¨akerhet p˚a 3 hPa. Resultatet blir att lufttrycket ¨ar (841 ± 3) hPa.

D¨arefter ansluter man glaskolven till manometern via en slang, placerar kolven i kokande vatten och uppm¨ater skillnaden i tryck mellan luften i kolven och atmosf¨arstrycket, till 229 hPa. Motsvarande m¨atning med kolven i en is-vattenblandning ger −57 hPa. Dessa

b˚ada m¨atningar var ganska besv¨arliga eftersom manometerutslaget varierade en hel del, och man uppskattar att felen ¨ar ±4hPa och oberoende f¨or de tv˚a m¨atningarna. Man tar inte h¨ansyn till felen i temperaturerna, som ¨ar 0^◦C f¨or isblandningen och 94,8^◦C f¨or kokande vatten. (Detta g¨aller f¨or det uppm¨atta lufttrycket. Os¨akerheten i lufttrycket ger en f¨orsumbar os¨akerhet i kokpunkten.)

Slutligen uppm¨ater man tryckskillnaden n¨ar kolven placeras utomhus till (−183 ± 2) hPa (h¨ar varierade manometerutslaget inte lika mycket). ¨Aven felet i denna tryckskillnad anses oberoende av de ¨ovriga.

Best¨am utetemperaturen med fel! Utnyttja att absoluta nollpunkten ¨ar −273,15^◦C.

Ledning: Utnyttja att trycket i kolven ¨ar proportionellt mot absoluta temperaturen, och best¨am proportionalitetskonstanten.

(5p)

Uppgift 1, l¨osning: Enligt tabell C ¨ar sannolikheten f¨or att f˚a |r| ≥ 0,14 f¨or 100 v¨ardepar n˚agot st¨orre ¨an 14% (vilket ¨ar sannolikheten f¨or |r| ≥ 0,15). Detta ¨ar st¨orre ¨an 5%, s˚a p˚a fem procents signifikansniv˚a finns inget st¨od f¨or n˚agot samband. (Det negativa v¨ardet inneb¨ar ju dessutom att h¨orseltr¨osklarna tenderade att vara l¨agre f¨or dem som surfade mycket, vilket absolut inte tyder p˚a att surfning skulle leda till h¨orselproblem. Skulle vi testa den hypotesen blir p-v¨ardet ungef¨ar 90%.)

Uppgift 2, l¨osning: Antalet pulser per fem sekunder ¨ar poissonf¨ordelat, och vi uppskattar medelv¨ardet till µ = ³⁰⁹⁶₇₂₀ (totala antalet femskundersintervall ¨ar 720). Poissonsannolikheten att f˚a noll h¨andelser ¨ar e^−µ. En uppskattning av antalet intervall med noll h¨andelser blir e^−µ· 720 = 9,8. Svar: Ungef¨ar tio.

Uppgift 3, l¨osning: Chikvadratsannolikheten ¨ar sannolikheten att, vid ett upprepat f¨ors¨ok, f˚a ett lika stort eller st¨orre v¨arde p˚a chikvadratsannolikheten ¨an den faktiska. Denna sannolikhet

¨

ar integralen av sannolikhetst¨atheten fr˚an det observerade v¨ardet (10,5) till o¨andligheten.

Genom att r¨akna rutor under kurvan ovanf¨or 10,5 p˚a x-axeln kan denna uppskattas. Antalet rutor ¨ar ungef¨ar sex, vilket betyder att sannolikheten ¨ar ungef¨ar 6 × 0,5 × 0,01 = 3%.

L¨agg m¨arke till att detta bygger p˚a att integralen f¨or x > 20 ¨ar f¨orsumbar. Detta ¨ar naturligt eftersom chikvadratf¨ordelningen ¨ar relaterad till normalf¨ordelningen, som g˚ar mot noll mycket snabbt. Men f¨or att vara s¨aker p˚a att inte missa bidrag f¨or x > 20 kan man ist¨allet r¨akna rutor f¨or x < 10,5. Jag fick 193 rutor, vilket ger en chikvadratsannolikhet p˚a 1 − 193 × 0,5 × 0,01 = 3,5%. (Chikvadratf¨ordelningen i figuren har fyra frihetsgrader, och den korrekta chikvadratsannolikheten ¨ar 3,3%.) Figuren nedan visar rutr¨akningen.

Uppgift 4, l¨osning: Den s¨okta sannolikheten ¨ar sannolikheten f¨or att skillnaden i l¨angd mellan tv˚a slumpm¨assigt valda m¨an ¨ar st¨orre ¨an 20 cm. Skillnaden blir normalf¨ordelad med standardavvikelsen√

2 · 8,4 cm = 11,9 cm. (Skillnaden ¨ar summan av tv˚a normalf¨ordelade vari-

abler och d¨arf¨or normalf¨ordelad. Enkel felpropagering ger standardavvikelsen.) Vi s¨oker allts˚a sannolikheten att en normalf¨ordelad variabel hamnar mer ¨an _11,9²⁰ σ = 1,68σ fr˚an medelv¨ardet.

Tabell A ger att denna sannolikhet ¨ar 100% − 90,7% = 9,3%. (L¨agg m¨arke till att antalet m¨an inte kommer in. Den uppgiften hade kommit med av misstag.)

Uppgift 5, l¨osning: Vi kan skriva felfortplantningsformeln f¨or E som σ²_E = ∆²+ ∂E

∂f0

2

σ_f²₀

d¨ar ∆² ¨ar det sammanlagda bidraget till σ_E² fr˚an de andra storheterna. Den partiella derivatan ovan blir

∂E

∂f0

= 2Amf0L³ bt³



1 + Bt² L²



= 2 f0

E . och vi f˚ar

σ_E² = ∆²+4E² f₀² σ²_f0 . Om σ_f0 ¨andras fr˚an 80 Hz till 40 Hz ¨andras σ_E² med ^4E_f2²

0

(40Hz)²− (80Hz)²
= −2,33·10^{20 N}_m²₄. Det nya v¨ardet p˚a σ²_E blir allts˚a



2 · 10¹⁰
2

− 2,33 · 10²⁰

N²

m⁴ = 1,67 · 10^{20 N}_m²4 vilket betyder att felet σE minskar fr˚an 2,0 · 10^{10 N}_m2 till 1,3 · 10¹⁰ _m^N2.

Uppgift 6, l¨osning: Den alternativa hypotesen ¨ar att trafiken minskat. F¨or att testa detta bildar vi skillnaden mellan antalet bilar som r¨aknades f¨ore oml¨aggningen och antalet bilar som r¨aknade s efter: x = 512 − 430 = 82. Vi vill testa om ett s˚a stort v¨arde ¨ar f¨orenligt med en och samma poissonf¨ordelning f¨ore och efter. Vi antar allts˚a en s˚adan f¨ordelning och uppskattar medelv¨ardet till ^512+430₂ = 471. Eftersom medelv¨ardet ¨ar s˚a stort kan vi ap- proximera poissonf¨ordelningen med en normalf¨ordelning med standardavvikelsen √

471. Om b˚ade v¨ardet innan, x1, och v¨ardet efter, x2, kommer fr˚an en s˚adan f¨ordelning blir skill- naden mellan dem, x = x₁− x₂ normalf¨ordelat med medelv¨ardet noll och standardavvikelsen σ = √

471 + 471 = √

942 = 30,7. Vi f¨orkastar nollhypotesen om v˚art observerade x ¨ar h¨ogt nog (den alternativa hypotesen tenderar att ge stora x). Det observerade x-v¨ardet ligger

82

30,7σ = 2,67σ ovanf¨or medelv¨ardet, och avl¨asning i tabell B ger att sannolikheten f¨or att f˚a ett lika stort eller st¨orre v¨arde p˚a x ¨ar p = 50% − 49,62% = 0,38%. Detta tyder p˚a att en minskning verkligen ¨agt rum; ett hypotestest med signifikansniv˚an 0,5% f¨orkastar nollhypote- sen att trafiken ¨ar of¨or¨andrad.

Uppgift 7, l¨osning: Medelv¨ardet ¨ar µ = 0 av symmetrisk¨al. Normeringsvillkoret f¨or san- nolikhetst¨atheten (att triangelns area skall vara ett) inneb¨ar att f (0) = 1/a, s˚a att f (x) =

1 a− ¹

a²|x| f¨or |x| ≤ a och noll f¨or |x| > a. Variansen ¨ar V =R (x − µ)²f (x) dx. Eftersom inter- granden ¨ar en j¨amn funktion (symmetrisk runt 0 = µ) kan vi begr¨ansa integralen till positiva x och multiplicera med tv˚a:

V = 2 a

Z a 0

x²

 1 −x

a



dx = 2 a

 a³ 3 − a⁴

4a



= 24a²− 3a² 12 = a²

6 Standardavvikelsen ¨ar σ =√

V = ^√a₆.

Uppgift 8, l¨osning: Funktionen har formen f (x) = a + bx. Det som s¨oks ¨ar f (0) = a. Vi b¨orjar med att rita in punkterna (utan fel fr enkelhets skull) i ett diagram:

Den r¨ata linjen ¨ar dragen p˚a fri hand. Ur den kan vi uppskatta a till −6 och lutningen b till 14/20 = 0,7. Vi skulle kunna anv¨anda detta v¨arde p˚a b f¨or att ta h¨ansyn till felen i x som ekvivalenta fel i y n¨ar vi g¨or en anpassning f¨or att f˚a fram a. Men vi g¨or ist¨allet f¨orst en viktad anpassning med felen i y f¨or att f˚a fram en lite b¨attre initial uppskattning av b.

Vi anpassar allts˚a en r¨at linje till punkterna xi±σ_x,ioch yi±σ_y,i. Vi inf¨or vikterna wi= _σ¹2 y,i

och ber¨aknar f¨oljande summor:

P

iw_i = 7,834, P

iw_ix_i = 107,936, P

iw_iy_i = 28,107, P

iw_ix²_i = 1518,712, P

iw_ix_iy_i = 406,712.

D¨arefter anv¨ander vi formeln f¨or en viktad anpassning till en r¨at linje f¨or att best¨amma lutningen som

b = [Σw Σwxy − Σwx Σwy] /∆

d¨ar

∆ = Σw Σwx²− (Σwx)²= 246,847 . Detta ger b = 0,617.

N¨ar vi nu har lutningen (vi hade som sagt ocks˚a kunnat anv¨ande uppskattningen ur figuren) inkluderar vi felen i x som ekvivalenta fel i vikterna enligt

w_i = 1

σ_y,i² + b²σ²_x,i . Vi ber¨aknar summorna igen, med de nya vikterna:

P

iwi = 6,948, P

iwixi = 96,778, P

iwiyi = 25,465, P

iwix²_i = 1375,542, P

iwixiyi = 372,53.

Nu blir ∆ = 191,372, och vi f˚ar b = 0,65. Slutligen ber¨aknar vi a =Σwx²Σwxy − Σwx Σwxy /∆ = −5,356 och felet i a,

σa=

rΣwx²

∆ = 2,681 .

Resultatet blir allts˚a att f (0) = −5,4 ± 2,7. (Som kontroll kan vi konstatera att detta st¨ammer v¨al med v˚ar handgjorda anpassning i figuren. Om vi ist¨llet f¨or den f¨orsta anpassningen anv¨ant b = 0,7 hade vi f˚att f (0) = −5,5 ± 2,7. Givet felets storlek ¨ar skillnaden betydelsel¨os.)

Uppgift 9, l¨osning: Trycket i kolven ¨ar proportionellt mot absoluta temperaturen, dvs p = bT

d¨ar b ¨ar konstant. Vi har tv˚a fixtemperaturer, n¨amligen f¨or kokande vatten (T₁ = 94,8^◦C = 367,95 K) och is-vattenblandningen (T2 = 0^◦C = 273,15 K). Genom att best¨amma motsvarande v¨arden p˚a trycket p kan vi ta fram tv˚a v¨arden p˚a b, som vi kan bilda medelv¨ardet av. N¨ar vi p˚a s˚a s¨att best¨amt b kan vi utnyttja det f¨or att best¨amma temperaturen T = p/b f¨or trycket som uppm¨attes n¨ar kolven var utomhus. Felet i atmosf¨arstrycket kommer in p˚a flera st¨allen.

Men det kommer bara att p˚averka resultatet lite grann eftersom alla tryckm¨atningarna, ¨aven n¨ar kolven ¨ar utomhus, p˚averkas. En m¨ojlighet ¨ar att d¨arf¨or ignorera felet i atmosf¨arstrycket helt och h˚allet.

H¨ar inkluderar vi felet i atmosf¨arstrycket, och vill vi anv¨anda felfortplantningsformeln m˚aste vi d˚a antingen best¨amma de korrelationer detta ger upphov till eller st¨alla upp ett slutet uttryck f¨or utetemperaturen som en funktion av samtliga (oberoende) m¨atv¨arden.

Vi v¨aljer ist¨allet att f¨orst bortse fr˚an felet i atmosf¨arstrycket s˚a att felfortplantningen kan g¨oras med oberoende fel. F¨or att ta h¨ansyn till felet i atmosf¨arstrycket anv¨ander vi sedan st¨orningsr¨akning, dvs vi ser hur mycket resultatet ¨andras n¨ar vi g¨or om ber¨akningen med ett annat atmosf¨arstryck.

Trycket i kolven f˚ar vi som summan av atmosf¨arstrycket (p_atm = (841 ± 3) hPa) och den av manometern uppm¨atta tryckskillnaden. F¨or kokande vatten f˚ar vi p₁ = 841 hPa + (229 ± 4) hPa = (1070 ± 4) hPa och f¨or is-vattenblandningen p2 = 841 hPa − (57 ± 4) hPa = (784 ± 4) hPa. H¨ar har vi allts˚a inte tagit h¨ansyn till felet i atmosf¨arstrycket som p˚averkar b˚ada tryckv¨ardena. Fr˚an p₁ och p₂ kan vi best¨amma b₁ = _T^p1

1 = 2,908 ± 0,011 och b₂ = _T^p2

2 =

2,870 ± 0,015. Ett viktat medelv¨arde blir b = 2,895 ± 0,009. Trycket i kolven n¨ar den ¨ar utomhus ¨ar p₃ = 841 hPa − 183 hPa = 659 hPa med ett fel p˚a 2 hPa (om vi bortser fr˚an felet i atmosf¨arstrycket), och vi f˚ar utetemperaturen till T₃ = p₃/b = (658 ± 2)/(2,895 ± 0,009) = (227,32 ± 0,97)K = (−45,83 ± 0,97)^◦C.

Om vi ist¨allet anv¨ander p_atm = 844 hPa (allts˚a ¨okar v¨ardet med den angivna os¨akerheten) f˚ar vi T₃ = 227,64 K, dvs os¨akerheten som svarar mot felet i atmosf¨arstrycket ¨ar 227,64 K − 227,32 K = 0,32 K. Totala felet i slutresultatet blir p(0,97K)²+ (0,32K)²= 1,02 K.

Resultatet f¨or utetemperaturen ¨ar allts˚a (−45,8 ± 1,0)^◦C.

En alternativ (kr˚angligare) l¨osningsmetod, ist¨allet f¨or att bilda det viktade medelv¨ardet,

¨

ar att anpassa en r¨at linje p = a + bT med hj¨alp av formlerna i formelsamlingen. Man m˚aste d˚a l¨agga till en tredje punkt, T = 0, p = 0, med mycket litet fel (h¨og vikt), s˚a att anpassningen g˚ar mycket n¨ara origo. L˚ater man den tredje vikten g˚a mot o¨andligheten g˚ar a mot noll och f¨or b blir resultatet just ett viktat medelv¨arde av p/T f¨or de tv˚a punkterna. (Om man k¨anner matrisuttrycket f¨or en linj¨ar minsta kvadratanpassning kan man direkt anpassa p = bT till tv˚a punkter, vilket ger samma resultat.)