Affekters inverkan vid problemlösning

Examensarbete

Affekters inverkan vid problemlösning

The affective aspects in problem-solving.

Michael Larsson

Joakim Rydgren

Lärarexamen 270hp Handledare: Ange handledare Matematik och lärande

2012-11-06

Examinator: Per-Eskil Persson Handledare: Anders Jakobsson Lärarutbildningen

3

Sammanfattning

Denna uppsats tar sitt ursprung i den utbredda och erkända forskningen om att affekter har en betydande roll för inlärning och prestation. Pehkonen (2001) konstaterar att uppfattningar om matematik verkar som en dold faktor i undervisningen och Debbelis et al. (2006) studerar betydelsen av affekter och fastslår att hur elever förhåller sig till sina affekter spelar en avgörande roll vid problemlösning.

Vi genomförde intervjuer med fyra gymnasieelever som tillsammans läste matematikkurs C. Eleverna fick fyra problemlösningsuppgifter som konstruerades för att utmana de föreställningar Pehkonen (2001) beskriver som ogynnsamma vid problemlösning: Att en matematisk lösning alltid ska innehålla tal och att matematik färdigheter mestadels består av att man skall veta och komma ihåg vad som ska göras. Under intervjuerna såg vi återkommande tendenser till att dessa föreställningar förekommer och påverkade elevernas tillvägagångssätt och förmågor vid problemlösning. Utöver detta kunde vi även urskilja ett flertal exempel på vilket sätt elevernas förhållande till affekter hade för inverkan på deras prestationer och på olika sätt bilda så kallade affektiva vägar.

Nyckelord: affekter, affektiva vägar, algoritmer, didaktik, föreställningar, känslor, matematik, problemlösning.

5

Förord

Vi vill först och främst rikta ett tack till Orkanen, som med öppna armar tagit hand om oss tidiga morgnar och sena kvällar.

Uppsatsens texter är skrivna och genomarbetade i samråd. Michael var intervjuledare för intervjuerna med Linnéa och Anna. Joakim var intervjuledare för Kim och Niklas. Vi har båda lyssnat igenom och analyserat materialet för de fyra intervjuerna, emellertid delade vi upp analyserna så att man arbetade mer djupgående med de intervjuer vi var intervjuledare för.

Vi vill även tacka Linn för värdefulla råd, Rehn, JBR1 och Godarve för korrrektur läsning och vår handledare Anders för tips och vägledning.

6 .

7

Innehållsförteckning

2.1 Problemlösning och motivation. ... 12

2.1.1 Intresse ... 12

2.1.2 Self-efficacy ... 13

2.1.3 Attribut ... 14

2.2 Motivation och affekter ... 14

2.3 Affekter ... 15

2.3.1 Föreställningar ... 16

2.3.2 Undersökningar om föreställningar ... 17

2.3.3 Meta-affekter ... 18

2.3.4 Affektiva vägar ... 19

2.3.5 Produktiva och improduktiva affekter ... 20

2.4 Problemlösning ... 21

3 Metod ... 23

3.1 Enkät: Föreställningar kring problemlösning ... 23

3.1.1 Genomförande av enkätundersökningen ... 25

3.1.2 Analys av enkäten ... 25

3.2 Intervjubaserad problemlösning ... 26

3.2.1 Genomförande av intervjuerna ... 27

3.2.2 Analys av intervjuerna ... 28

3.3 Analys av affektiva vägar ... 29

3.4 Validitet och reliabilitet ... 29

3.4.1 Enkäten ... 29

3.4.2 intervjuerna ... 30

8

4 Resultat ... 32

4.1 Enkätundersökningen ... 32

4.2 Linnéa uppgift 1: Produktiva affekter ... 33

4.3 Sammanfattande modell av Linnéas affektiva väg ... 34

4.4 Linnéa uppgift 2: Sifferlöshet/algoritmer ... 37

4.5 Kim uppgift 2 ... 39

4.5.1 Sifferlöshet/algoritmer ... 39

4.5.2 Produktiva affekter ... 40

4.6 Kim uppgift 1 ... 41

4.6.1 Kontextens betydelse ... 41

4.6.2 Dålig men bra ... 42

4.7 Niklas uppgift 1: Self-efficacy ... 43

4.8 Niklas uppgift 4: Sifferlöshet/algoritmer ... 44

4.9 Niklas känslor följer med ... 46

4.10 Anna uppgift 1: En ogynnsam affektiv väg ... 47

5 Diskussion ... 49 6 Referenslista ... 53 Bilagor ... 58 Polyas frågor ... 58 Enkätundersökning ... 59 Intervjuguide ... 60 Känsloschema ... 61 Problemlösningsuppgifterna ... 62 Kategorier för analysschemat ... 64 Analysschema ... 65

9

1 Inledning

Antag att en elev har lärt sig olika matematiska färdigheter, som exempelvis att lösa ekvationssystem och på lektionerna aktivt jobbar med uppgifter där hon/han applicerar dessa på ett sätt som hon/han har lärt sig. Vad händer då om eleven istället får en uppgift som hon/han inte känner igen, där det inte är tydligt vilken metod eller algoritm som skall användas? Hur kommer hon/han reagera och vad får det för konsekvenser i lösningsprocessen? Ett möjligt scenario är att eleven blir förvirrad och blockerad för att den inte vet vilken metod den ska använda och därigenom väljer att inte slutföra uppgiften. Om det skulle vara på detta vis är en möjlig förklaring att eleven ifråga inte är van vid att jobba med problemlösning och att den igenom sina känslor väljer att ge upp.

Mayer (1998) problematiserar skolans förmåga att både ge elever färdigheter som krävs för att klara av rutinuppgifter och samtidigt vad vi brukar kalla problemuppgifter. Problemuppgifter definierar Mayer som icke – rutinbaserade uppgifter som oftast innebär att eleven inte har lärt sig en tydlig lösningsstrategi för att klara av uppgiften ifråga. Den kanske rent utav inte innehåller en lösning med hjälp av en algoritm, som elever är vana vid? Sedermera talar Mayer om att lärare i allmänhet är varse problematiken mellan rutin – och problemuppgifter, men att de trots detta jobbar väldigt lite med de färdigheter som problemuppgifter kräver. Om det nu skulle vara så som Mayer påstår, skulle detta motsätta sig de riktlinjer Skolverket har satt upp i den nya läroplanen från 2011, där det bland annat står att skolan ansvarar för att stimulera elever att omsätta sina idéer i handling för att kunna lösa problemuppgifter, vilket även återfinns i det centrala innehållet och bland de sju förmågorna (Skolverket, 2012). Skolverkets riktlinjer och den problematik Mayer talar om, motiverar därför att studera hur man kan jobba för ett arbetssätt som i högre grad inkluderar de förmågor som problemlösning i skolan kräver.

Det är numera i forskningssammanhang välkänt att kognition inte enbart är avgörande för hur väl elever lyckas jobba med problemlösning i skolan. Utan forskning visar även att affekter har stor betydelse (Furinghetti et al, 2008; Mason, 2003; McLeod, 1992). Exempelvis beskriver Pehkonen (2001) den del av affekter som utgör uppfattningar, som en dold faktor i undervisningen och som har betydande inverkan vid problemlösning. Han talar om att elever kan ha en slags algoritmbaserad syn på matematik som hämmar dem vid problemlösningsprocessen. Exempelvis genom att elever kan ha en föreställning om att en

10

lösningsmetod måste utföras på ett speciellt sätt som de blivit lärda, eller att svaret alltid utgör ett tal. Man kan då fråga sig vad som händer då elever har en sådan uppfattning och hur det yttrar sig vid problemlösning. Varför vill man då veta detta? Ett argument som talar för att undersöka elevers uppfattningar vid problemlösning är, att man då som lärare kan urskilja möjliga orsaker till varför det går dåligt eller bra, för att utifrån denna kunskap stärka elevernas förmågor. En annan faktor som även den inte innefattar kognition och möjligen påverkar elevers problemlösningsförmåga är motivation. Enligt Mayer (1998) är detta en viktig del av elevers problemlösningsförmåga och är enligt Hannula (2006) observerbart genom att studera elevernas affekter. Därför anser vi att man genom att studera affekter även kunna öka förståelsen om motivation och hur man genom denna kunskap kan motivera elever mer, vilket vi anser ha stor betydelse vid inlärning.

Om man nu vill studera affekter och hur de inverkar vid problemlösning, vad finns då för bakomliggande faktorer som påverkar dess natur? En variant av affekter är meta-affekter vilket enligt Debbelis et al. (2006) definieras som affekter till affekter, exempelvis ilska över en känsla av uppgivenhet eller en känsla till en föreställning som man har. Dessa meta-affekter måste man enligt Debbelis ta hänsyn till då man ska studera meta-affekter för att förstå dess påverkan vid problemlösning. Det går alltså inte att studera affekter utan att studera meta-affekter. Vidare betonas att meta-affekter har stor inverkan vid problemlösning då dessa svarar för hur affekterna bildar så kallade affektiva vägar, vilket Debbelis definierar som en sekvens av känslomässiga tillstånd som interagerar med kognition. Med denna kunskap anser vi det är relevant att studera meta-affekter i samanhanget för att finna hur icke -kognitiva processer påverkar elevers arbete med problemlösning, inte desto mindre är det av intresse att studera affektiva vägar då dessa interagerar med kognition och påverkar elevers tänkande.

Det finns en hel del forskning om affektiva vägar vid problemlösning, däribland Gerald A. Goldin (2009) som delar in affektiva vägar i en gynnsam och en ogynnsam väg. Här talas det om att vissa vägar exempelvis kan leda till att eleverna kan känna sig blockerade, eller att en känsla som eleven har kan leda den framåt i problemlösningsprocessen. Vidare betonar Gerald vilken betydelse affektiva vägar har vid problemlösning och att mer forskning inom området är nödvändigt för att kunna studera hur affekter inverkar. Detta för att genom denna kunskap stärka kvalitén på undervisningen beträffande problemlösning. För att tydliggöra vad som menas kan vi återgå till det inledande exemplet och fråga oss om man som lärare skulle kunna motverka att eleven i exemplet blir blockerad. Här skulle kunskaper om affekter och affektiva vägar möjligen kunna bidra till att man som lärare kunde motverka sådana känslor genom att

11

exempelvis jobba mer med olika problemlösningsstrategier. En möjlig tanke är att man även kanske skulle kunna motverka föreställningar som påverkar eleven negativt genom att jobba mer med problemlösning. Det verkar ju som om eleven i exemplet har en föreställning om att uppgifter har en given lösningsstrategi!

1.2 Syfte

Vår tes är att om man har en algoritmbaserad syn på matematiken blir steget långt till att ta sig an matematisk problemlösning på det sätt som Polya (1970) beskriver att ett problem bör lösas.

Arbetet kommer fokusera mycket på olika affekter. Vår studie har som mål att undersöka om man kan se ett samband mellan elevers affekter, meta-affekter och hur eleven arbetar med problemlösning. Målet är även att studera om man kan urskilja några speciella affektiva vägar i dessa situationer.

Syftet är att klargöra hur elever tänker och påverkas av affekter och meta-affekter under problemlösningsprocessen så att man kan få en förståelse över hur olika affektiva vägar kan ta sig uttryck under problemlösning. Får man kunskap om detta är man bättre rustad som lärare att möta svårigheter i att undervisa i problemlösning.

1.1 Frågeställning

 Hur påverkas en gymnasieelevs problemlösningsförmåga av affekter och meta-affekter?

12

2 Teori

2.1 Problemlösning och motivation.

För att kunna genomföra denna undersökning behöver vi fundera kring vilka olika färdigheter som elever behöver när de arbetar med problemlösning och vi har redan nämnt att även icke -kognitiva processer har stor inverkar. Mayer (1998) delar upp problemlösningsförmåga i tre olika färdigheter. Han pratar om kognitiva, meta-kognitiva och om motiverande förmågor. Kognitiva förmågor handlar om att behärska algoritmer och att kunna utföra instruktioner. I problemlösning behövs sådana färdigheter men är inte tillräckliga, förutom dessa behöver man styra sina färdigheter. Detta kallar Mayer för meta-kognitiva färdigheter och menar är en viktig komponent i problemlösning. Meta-kognitionsfärdigheter innefattar kunskap om när man skall använda, hur man samordnar och hur man granskar olika färdigheter i problemlösning. Förutom dessa kognitiva förmågor pekar Mayer på hur viktig roll motivationen har i problemlösning och delar in detta i tre viktiga aspekter: Intresse, vad man tror man klarar av (self-efficacy), och personliga attribut. Då vårt arbete till största delen handlar om hur affekter kan påverka problemlösning så är vi mest intresserade av Mayers studier om motivation. Hade studien varit inriktad på problemlösningsprocesser, de matematiska processerna hade vi varit mer intresserade av de kognitiva och de meta-kognitiva färdigheterna.

2.1.1 Intresse

Vi har under vår verksamhets förlagda tid (VFT), kunnat se att elever som är mer motiverade att jobba med problemlösning ofta tar sig an uppgiften bättre än de elever som är ointresserade. Detta kan tyckas självklart men vad säger egentligen forskning om detta? Schiefele (1992) visade i sin studie att elever som tyckte att en text de läste var intressant kunde svara bättre på utmanande frågor än de elever som bedömde texten som mer ointressant. Vi bedömer därför att det även kan finnas ett samband mellan elevers intresse till problemlösning och deras förmågor att jobba med just problemlösning. Detta kan även styrkas av Schiefele, Krapp och Winteler (1992) som gick igenom 121 studier inom området och fann ett ihållande samband mellan elevers intresse till ett ämne och hur väl de presterade inom dessa.

13

Då vi anser det vara intressant att studera elevers motivation till problemlösning, som en del av eller ett samspel av elevernas affekter, kan det även vara intressant att fråga sig hur motivation hänger samman med intresse. Empiriska studier om motivation har urskilt två olika typer av motivation: individuell- och situationsbaserad motivation. Den individuella motivationen syftar till personliga intressen och aktiviteter som man föredrar, alltså den personliga karaktären. Den situationsbaserade motivationen avser en uppgifts möjlighet att engagera. I båda fallen bestäms intresset av interaktionen mellan individuell- och situationsbaserad motivationen (Renninger, Hidi & Krapp, 1992). Utifrån denna kunskap inser vi att elevers intresse är sammanlänkat med motivation och därmed kan vara avgörande vid problemlösning. Att motivation dessutom kan komma från både eleven själv samt vara bunden till kontext anser vi måste beaktas om man ska studera detta närmare.

2.1.2 Self-efficacy

motivation som Mayer (1998) talar om är self-efficacy och användes först som begreppet av Bandura (1986). Detta innebär i en matematisk kontext en individs bedömning av sin egen kapacitet att framgångsrikt kunna lösa en uppgift. Det finns ingen spridd och accepterad översättning av self-efficacy så vi väljer att inte införa en egen översättning av ordet. Det finns massvis av forskning som hittar en positiv korrelation mellan tron på sin förmåga att klara av en uppgift och En annan del av prestation (Hacket, 1985; Pajares, 1994). Det är kanske inte så anmärkningsvärt att det som en individ tror att den kan klara av hänger ihop med vad den kan egentligen lyckas med. Dock pekar forskning på att detta begrepp är mer komplext och viktigare än så. Pajares (1994) fann i en studie att elevers self-efficacy bättre förutspådde elevers förmåga att lösa problem än andra vanliga faktorer som forskning tidigare pekat på, bland annat tidigare erfarenheter av matematik. Att begreppet står för en individs egenbedömning av sin egen kapacitet, tänker vi oss höra samman med elevers förmåga att även kunna framhärda motgångar. Om det är på detta vis bör vi beakta detta i vår undersökning eftersom vi tänker oss att detta kan påverka de affektiva utgångarna som eleverna tar vid problemlösning. Schunk (1991) och Collins (1982) bekräftar vår tes och hittar en positiv korrelation mellan self-efficacy och elevers envishet när de stöter på problem, men även Schunk och Hanson (1985) vidhåller i detta då de i sin forskning finner att om en elev förhöjer sin self-efficacy så kommer det förbättra deras framgångar i problemlösning. Med detta sagt inser vi att begreppet self-efficacy måste beaktas i vår forskning.

14

2.1.3 Attribut

Den återstående beståndsdelen i motivation som Mayer talar om är de personliga attributen. Dessa handlar om vilka känslor som en elev är benägen att få i en viss situation, på vilket sätt eleven hanterar dessa och hur detta påverkar eleven. Exempelvis att vissa elever slutar att försöka vid misslyckande medan andra elever fortsätter att försöka. Vi har sett exempel på detta under vår VFT och finner att personliga attribut är en del av de faktorer som inverkar vid problemlösning som inte avser elevernas direkt kognitiva processer. Därför anser vi att detta begrepp är värt att väga in i en studie som denna. Vidare kommer vi behandla detta område mer ingående i avsnitt 2.3.3 Meta-affekter och 2.3.4 Affektiva vägar.

2.2 Motivation och affekter

Vi har hittills uttryckt ett intresse av att studera elevers motivation, eftersom vi genom tidigare forskning har sett att det är en del av de icke-kognitiva processer som inverkar vid problemlösning. Man kan då fråga sig hur detta hänger samman med elevers affekter eftersom arbetet avser att undersöka just detta. Ett samband kan möjligen finnas i den definition av motivation som Hannula (2006, s. 175) föreslår: ”en potential för ett direkt beteende genom de mekanismer som kontrollerar känslorna”. Vidare nämner han att denna potential är strukturerad genom behov och mål. Med Hannulas definition ser vi ett tydligt samband mellan elevers affekter och motivation. Frågan är då om vi i den här undersökningen kan studera elevers motivation och hur den inverkar vid problemlösning genom att undersöka elevers affekter?

Enligt Hannula är motivation inte direkt observerbar, utan är bara observerbar när den manifesterar sig själv som affekter, kognitioner och beteende. Känslor är däremot förhållandevis lätta att observera när elever arbetar med matematik, och i intervjuer eller andra sammanhang där eleven pratar om sin relation till matematik kan man få djupare information om deras affekter. Däremot att tolka hur känslor påverkar motivationen är en väldigt komplex process. Det är därför i dessa samanhang viktigt att kombinera observationer av känslor med den sociala och matematiska kontexten där känslorna är observerade. Det är även viktigt att väga in den tolkning som ges av eleverna själva (Hannula, 2006). Så om vi vill besvara frågan i slutet av föregående stycke så är svaret ja, vi kan undersöka elevernas motivation samtidigt som vi undersöker deras affekter vid problemlösning men att lägga tyngdpunkten på att tolka hur elevernas känslor påverkar motivationen ligger utanför ramarna

15

för detta examensarbete. Vi finner därför att det är mer lämpligt att fokusera på affekter i och med att det är enklare att observera och inte lika komplext som en studie om motivation. Utifrån dessa studier om affekters inverkan vid problemlösning kan vi sen försöka tolka och dra några slutsatser om elevers motivation. Vi väljer därför istället att gå djupare in på definitionerna av de olika aspekterna av affekter, även om många forskare trycker på betydelsen av motivation vid problemlösning.

2.3 Affekter

När man studerar affekter inom matematikdidaktisk forskning delar man vanligvis in affekter i känslor, attityder och föreställningar. Debilles et al. (2006, s.135) förslår en fjärde kategori, nämligen värden. Vi väljer att utgå från Debillis definition då vi anser värden är väsentlig i sammanhanget eftersom den avser en persons egna rotade och högst personliga sanningar, vilket vi föreställer oss påverka elever i hög grad vid problemlösning. Vidare är det viktigt för oss att tydliggöra de olika aspekterna av affekter som vi väljer att ha som utgångspunkt för att kunna studera och analyser dessa i vår undersökning. Därför följer de definitioner av affekter nedan som Debillis et al. har tagit fram och som vi väljer att utgå ifrån.

Känslor: De kan förändras snabbt och förnimmas antingen medvetet eller uppträder i det

undermedvetna under matematisk (eller annan) aktivitet. Känslor kan vara allt från svaga till intensiva och är situationsbundna.

Attityder: En benägenhet att förnimma vissa emotionella tillstånd i en speciell kontext.

Attityder är tämligen stabila och innehåller både kognitiva och affektiva aspekter

Föreställningar: Handlar om att externalisera sanning och validitet. Att tro på en fast grund

utanför och oberoende av en själv. Föreställningar är oftast väldigt stabila, mycket kognitiva och välstrukturerade, med affekter inbakade i sig – vilket bidrar till föreställningarnas stabilitet.

Värden: Innehåller en persons etik och moral. Djupt rotade ”personliga sanningar”. De

motiverar till långsiktigt tänkande och kortsiktiga prioriteringar. Dessa är oftast välstrukturerade och bildar ett konsekvent värdesystem. Dessa olika aspekter samverkar hela tiden med varandra inom en person. Samtidigt som man påverkas starkt av sin kulturella omgivning.

16

2.3.1 Föreställningar

Då vi inledningsvis redogjorde för vår tes om att elevers föreställningar om problemlösning kan ha en ogynnsam inverkan vid problemlösning, finner vi det av värde att ge en djupare redogörelse av detta begrepp och vad det har för betydelse vid problemlösning. Pehkonen (2001) definierar uppfattningar som subjektiva känslor till en viss företeelse som inte alltid bottnar i en hållbar och objektiv grund, och påminner i hög grad om den definition Debellis et al. (2006) använder för föreställningar. Debellis et al. (2006) definition av föreställningar passar vårt arbete bättre då det tydligare poängteras att föreställningar handlar om en åsikt om något som finns utanför och oberoende av en själv. Men vi betraktar deras definitioner i övrigt som synonyma.

Pehkonen (2001) förklarar att uppfattningar finns hos elever och kan fungera som en dold faktor som styr kvalitén på undervisningen. Pehkonen hänvisar sedermera till konstruktivismen som betonar att den lärandes egna engagemang att forma sitt eget lärande, samt tidigare erfarenheter är grunden för själva lärandet. Man uppfattar således inte sin omvärld som den verkligen är, utan genom att man konstruerar sin egen veklighetsuppfattning genom att knyta an till tidigare kunskaper och tolkningar av situationen (Ahtee och Pehkonen, 1994). Vidare förklarar Pehkonen (2001) att uppfattningar har stort inflytande över hur eleverna lär sig och använder sig av matematik. Därför kan mindre önskvärda uppfattningar utgöra ett hinder vid inlärningen. Han skriver att följande uppfattningar är vanliga bland elever i detta samanhang: Ett svar på en matematisk fråga utgörs vanligtvis av ett tal, varje kontext (problemformulering) är förknippad med en unik procedur för att få eller ”komma fram till” ett svar, nyckeln till en framgångsrik problemlösning är att man vet och kommer ihåg vad som ska göras. Vad kan dessa föreställningar då få för konsekvenser vid problemlösning?

Pehkonen exemplifierar att elevers ovan nämnda uppfattningar kan leda till att elever blir mer passiva och fäster mindre vikt vid förståelse samt riktar mer fokus på inlärning av utantillkunskap. Detta får stora konekvenser enligt Pehkonen då elever ska lösa icke rutinbaserade tal så som problemuppgifter. Hannula (2005) instämmer med Pehkonen och nämner att det beteende elever har som inte innefattar rationellt tänkande, kan förklaras med vilka föreställningar eleven har till problemen som kan påverka dem negativt i processen.

17

McLeod (1992) åskådliggör detta genom att ge ett exempel på en situation där en elev har en föreställning om att en problemuppgift högst skall ta fem minuter att lösa. Vad händer då om eleven stöter på en icke rutinbaserad uppgift som kräver längre tid? McLeod menar att detta då kommer innebära komplikationer för eleven eftersom uppgiften inte ligger i linje med dess föreställningar. Dessa exempel visar på vikten av gynnsamma föreställningar i en klasrumsundervisning för att stärka elevernas förmågor vid problemlösning vilket motiverar betydelsen av vidare forskning inom området. Därför är denna kunskap av betydande roll för detta arbete då vi avser att stärka vår förtrogenhet med de aspekter som inverkar vid problemlösning.

2.3.2 Undersökningar om föreställningar

Det finns en hel del forskning som studerar elevers föreställningar kring matematik och problemuppgifter. Dessa bygger ofta på kvalitativa undersökningar genom intervjuer med elever och/eller klassrumsobservationer. Inte förrän Kloosterman och Stage (1992) föreslog en metod för att undersöka föreställningar kunde detta studeras och befästas genom en kvantitativ undersökningsmetod (McLeod, 1992). Denna metod går ut på att låta en grupp elever svara på ett frågeformulär avsedd att undersöka sex olika föreställningar elever kan tänkas ha till problemuppgifter. Eleven tillfrågas för vart och ett av påståendena hur väl de instämmer och svarar utifrån en femgradig skala (Kloosterman & Stage, 1992).

Ovanstående metod har bland annat används vid större undersökningar som exempelvis i Italien för att kartlägga grundskole-och gymnasieelevers föreställningar till problemlösning och hur detta kan kopplas till deras prestation i ämnet. Resultatet av denna undersökning där 599 elever tillfrågades, var att desto större tilltro eleverna hade till sin egen förmåga att lösa svåra problem desto högre betyg hade de. Det observerades även att de elever som ansåg att djupare förståelse bakom procedurer är viktiga, hade bättre betyg än de som fokuserade på att memorera utantillkunskap (Mason, 2003).

Ett annat sätt att mäta elevers föreställningar kring problemlösning är på liknande sätt som Csaba et al. (2009) har gjort i sitt arbete. Metoden som användes i studien gick ut på att femte-klasselever tilldelades fem problemuppgifter varpå de skulle ange ett av tre möjliga svarsalternativ, utan att lösa uppgiften. Dessa undersökte hur eleverna såg på själva lösningsstrategin och problemet i sig. Resultatet visade att eleverna hade en föreställning om att problemen hade rutinbaserade lösningar med numeriskt svar och entydig uträkning. Vidare

18

drogs slutsatsen att eleverna systematiskt uppvisade samma angreppssätt vid problemlösning som vid andra former av matematikuppgifter.

Utifrån de två exempel vi sett angående hur man kan mäta elevers föreställningar kring problemlösning, kan man fråga sig vilken metod som lämpar sig bäst inom ramen för detta examensarbete. Csaba et al. (2009) metod anser vi inte gå in på djupet i samma utsträckning som den metod Kloosterman och Stage (1992) tagit fram, utan denna ger ett mer kvantitativt underlag. Kloosterman och Stage (1992) undersökning ger däremot ett något mer kvalitativt resultat av de föreställningar som tillsammans utgör en viss uppfattning och berättar för oss mer om elevernas specifika ståndpunkter. Därför passar denna metod bättre in vår undersökning då vi avser att ha ett kvalitativt angripssätt.

2.3.3 Meta-affekter

Vi har hitintills talat en hel del om affekter och hur de kan göra sig uttryck. Det skulle nu vara intressant att se hur dessa interagera då vi misstänker att vissa affekter kan uppträda parallellt och inverka på varandra. Debbelis et al. (2006) talar om en typ av affekter som kallas meta-affekter vilket definieras som meta-affekter till meta-affekter. Annorlunda förklarat kan man säga att dessa handlar om hur man tänker och känner inför ens omedelbara tankar och känslor, tillexempel ilska över känslor av uppgivenhet inför en uppgift, eller reflektioner kring ens känslor och kognitioner (Debbelis et al., 2006, s. 136). Med denna definition anser vi det är viktigt att inkludera detta område vid undersökningar om affekters inverkan vi problemlösning. Vi tänker oss här att elevers meta-affekter kan vara avgörande för hur affekterna tar sig i uttryck och påverkar problemlösningen. Furinghetti et al (2009 s. 87) bekräftar detta påstående genom att hävda att meta-affekter tillåter självrannsakan och kan hjälpa elever att övervinna men också förstärka negativa affekter.

Meta-affekter kan existera i långa kedjor och många nivåer, och komplexitetgraden är betydlig. Man kan till exempel ha kognitioner om känslor men även känslor om kognitioner och känslor om känslor eller kognitioner om kognitioner. Man kan även separera olika grader av medvetenhet och kontroll gällande de olika aspekterna av meta-affekter (Hannula, 2007). Så som Hannula beskriver meta-affekter tolkar vi det som att man i viss mån kan styra över sina affekter på ett medvetet plan vilket skulle innebära att man som lärare skulle kunna jobba för att stärka elevernas förmågor inom problemlösning. Därför är meta-affekter högst relevant att behandla i denna undersökning.

19

2.3.4 Affektiva vägar

I detta arbete som avser att studera de faktorer som inverkar vid elevers problemlösningsprocess som inte avser de kognitiva processerna, skulle det vara intressant att behandla affekters påverkan på varandra. Vi har hittills tagit upp begreppet meta-affekter, men på vilka vis kan affekter bidra till varandras utveckling? Debbelis et al., (2006, s. 134) talar om en sekvens av känslomässiga tillstånd (eller affekter) som interagerar med kognitionen, där affekterna påverkar varandra och bildar så kallade affektiva vägar. Dessa affektiva vägar kan enligt Goldin (2009) delas in i två kategorier: en som är gynnsam och en som är ogynnsam (se Fig. 1). Goldins påstående bygger på en syntes av observationer och elevers återberättelse och det sammanfattande resultatet behandlas i följande stycke. Man kan se det som att affektiva vägar är den sekvens av affekter som skapas av meta-affekter.

I den idealiserade modellen av affektiva vägar är de första känslorna nyfikenhet (curiosity). Om problemet har betydande djup för läsaren följer en känsla av konfundersamhet (puzzlement), eftersom det visar sig omöjligt att tillfredsställa nyfikenhet snabbt. Konfundersamhet i sig har inte obehagliga nyanser till skillnad från förvirring (bewilderment) som är nästa tillstånd i sekvensen. Den senare kan innefatta desorientering eller en känsla av att ha "tappat tråden.” Ibland fastnar elever där och läraren ingriper för att ge instruktioner. Om eleven får fortsätta själv kan eleven bli frustrerade i brist av känslan att ha gjort framsteg, då blir de negativa affekterna mer kraftfulla och påträngande. Detta är associerat med förekomsten av ett dödläge. Det finns dock fortfarande en möjlighet att ett nytt tillvägagångssätt i problemlösningen kommer att förflytta eleven tillbaka till en sekvens av övervägande positiva affekter;uppmuntran (encouragment) kan följas av glädje (pleasure) när problemet börjar ge utbyte, upprymdhet (elation) när stora insikter uppstår och genom tillfredsställelse (satisfaction) med känslan av att problemet väl är löst.

Till det mer gynnsamma utfallet av affektiva vägar, kan förvirringen alternativt leda till frustration. Då frustrationen inte fått utlopp kan detta leda till ångest (anxiety), särskilt om kontexten antyder att ett misslyckande i problemlösningen får negativa konsekvenser för eleven. De negativa konsekvenserna i fråga kan vara av externt ursprung, såsom lärarens ogillande eller en låg provpoäng. När de negativa affekterna utvecklas, möter vi rädsla och förtvivlan (fear/despair). Dessa sekvenser av lokala övergående affektiva tillstånd får till konsekvens att eleven gillar eller ogillar problemet alternativt tycka om eller tycka illa om sig själv i relation till problemlösning. De lokala affekterna kan sedermera överföras till globala

20

affekter som är mer permanenta så att de påverkar eleverna vid andra tillfällen av problemlösning Goldin (2009, s 213).

(Fig 1). Schema över affektiva vägar. Heldragna linjer beskriver förändring av affekt

medan streckad linje anger några av de möjliga sätt på vilka dessa affektiva tillstånd kan framkalla heuristiska problemlöningsstrategier (Goldin, 2009, s 213).

2.3.5 Produktiva och improduktiva affekter

Vi kommer hädanefter tala om produktiva respektive improduktiva affekter och vill därför definiera vad vi menar med dessa begrepp. Grunden för våra definitioner har sitt ursprung i Debellis arbete där han, som vi precis har sett, delar in affektiva vägar i en gynnsam och en

21

ogynnsamt affektiv väg. Det som avgör om en affekt är produktiv eller improduktiv i ett matematiskt sammanhang, är om eleven har möjlighet att skapa en affektiv väg som resulterar i en positiv respektive negativ problemlösningsprocess. Produktiva affekter ger eleven kraft att stå emot motgångar, ta risker, ifrågasätta, fördjupa sig i uppgiften eller skaffa sig information och att överge en bristfällig plan. Improduktiva affekter däremot försvårar istället en bra problemlösningsprocess, blockerar förståelse eller gör att eleven inte kan plocka fram sina egna färdigheter. Exempel på detta kan vara förmågan att tolka frustration som en signal för att byta strategi eller att man blir blockerad av ens föreställning om att man inte kan lösa uppgiften (Debellis et al., 2006 s. 134).

2.4 Problemlösning

För att kunna strukturera analysen av problemlösning behöver vi ett ramverk som beskriver och förklarar problemlösningsprocessen. Polyas (1970) klassiska bok om problemlösning lägger fram en strategi för problemlösning som består av fyra steg. Polyas problemlösningsschema:

1. Att förstå problemet 2. Att göra upp en plan 3. Att genomföra planen

4. Att se tillbaka och kontrollera lösning och resultat.

Det som är intressant är själva metoden, eller processen när man skapar sitt lösningsförfarande. ”Den speciella lösningen på ett speciellt problem är i detta sammanhang av mindre betydelse” som det står på baksidan av boken. Det är det som problemlösning handlar om; att möta ett problem som man inte har en färdig metod till. Det räcker inte att avläsa information i uppgiften och stoppa in den i en algoritm och sedan beräkna svaret. Man måste uppfinna sin egen algoritm. Polya definierar det på följande sätt:

”Helt allmänt är ett problem ett rutinproblem om det kan lösas antingen genom insättning av vissa värden i ett tidigare löst allmänt problem eller genom att man steg för steg utan spår av originalitet följer något slitet mönsterexempel”(Polya, 1970, s 173)

”Rutinproblem, t.o.m. många rutinproblem, kan vara nödvändiga att använda i matematikundervisning, men att inte låta eleverna lösa några andra problem vore oförlåtligt. Att lära ut hur matematiska rutinoperationer rent mekaniskt skall utföras och ingenting annat ligger långt under kokboksnivå, ty kokboksreceptet överlåter åtminstone något till kockens fantasi och omdöme, men det gör inte matematiska recept” (Polya, 1970, s 174)

22

Vi studerar elevernas problemlösningsprocess genom att ställa den i relation till hur Polya beskriver en problemlösningsprocess. Han förklarar utförligt hur en kognitiv metod eller process till ett problem bör eftersträvas och menar att metoden är avgörande för en effektiv problemlösning. Han gör följande experimentella jämförelse: En hund, en höna och en schimpans står på en gård med stängslet omkring sig som ett u, och har en bit mat på andra sidan av stängslets kortsida. För att nå maten måste de alltså börja med att röra sig åt motsatt håll än maten och runda staketet, Schimpansen inser då genast att han kan göra på detta sätt. Hunden följer först sin instinkt att springa rakt mot maten men efter ett tag kommer även hunden runda staketet. Hönan rör sig också rakt mot maten men lyckas inte komma på idén att den kan runda och nå maten på det sättet. De gånger hönan lyckas komma åt maten är det mer slumpartat på grund av att den planlöst springer omkring. På samma sätt menar Polya att problemlösningsprocessen är för oss. Man kan lyckas lösa ett problem med lite tur ibland, men en god problemlösare urskiljer sig genom en effektiv och målmedveten strategi. Polya beskriver en mängd frågor inom varje steg i hans metod som leder problemlösaren vidare i problemet. Vi har sammanställt dessa frågor i bilaga: Polyas frågor. Alla frågor är inte givande i alla problem, men med hjälp av dessa frågor kan vi kategorisera elevens försök och analysera om det var ett försök som visar på god problemlösningsstrategi även om eleven misslyckas med problemet. Vi kan även urskilja vilken fas som eleven arbetar genom att observera vilka frågor de ställer sig.

23

3 Metod

Metoden i detta arbete har dels bestått av en enkätundersökning och dels av uppgiftsbaserade intervjuer som båda ägde rum i en och samma gymnasieklass i Lund. Denna klass studerade tillsammans matematikkurs C och gick tredje och sista året på gymnasiet. De uppgiftsbaserade intervjuerna kan ses som det huvudsakliga verktyget vi använde oss av för att studera affekter/ affektiva vägar och gjordes på fyra elever som valts ut utifrån enkäten. Intervjuerna föreföll som öppna dialoger med eleverna under tiden de fick lösa fyra olika problemlösningsuppgifter. De fick då tala öppet om vilka känslor de hade under själva processen och hur dessa påverkade dem. Med dessa intervjuer avsågs att undersöka följande forskningsfrågor:

 Hur påverkas en gymnasieelevs problemlösningsförmåga av affekter och meta-affekter?

 Vilka specifika affektiva vägar kan urskiljas vid elevers problemlösning.

Enkäten undersökte föreställningar kring problemlösning som klassen hade, och syftade huvudsakligen till att ge oss ett urval av fyra elever som kunde tänkas intressanta för intervjuerna. Med intressanta menar vi elever som antingen har de föreställningar som utmanar dem vid problemlösning så som Pehkonen (2001) beskriver, eller förställningar som är mer till elevernas fördel. Utifrån de föreställningar som enkäten kom att förtälja, kunde vi även söka förklaring till elevernas handlande eller upplevelser under intervjuerna, vilket hjälpte oss i analysen att förklara vissa affekter och affektiva vägar.

3.1 Enkät: Föreställningar kring problemlösning

Då vi avsåg att genomföra intervjuerna med elever som har speciella föreställningar om matematik och problemlösning, föll det naturligt att genomföra enkätundersökningen först, för att hitta ett urval av elever som lämpade sig för intervjuerna. Enligt Schoenfeld (1983, 1987, 1992) är föreställningar den viktigaste faktorn av affekter, det som påverkar en students förmåga mest bland affekter. Detta gav oss ytterligare argument att studera elevernas föreställningar då detta ansågs fungera som komplement till affekterna vi komma att finna vid

24 intervjuerna.

Anledning till valet av enkätundersökning var att, en redan standardiserad enkät finns, som mäter elevers föreställningar på ett enkelt sätt utan att man behöver genomföra tidskrävande intervjuer (Kloosterman & Stage, 1992). Denna enkät skulle komma att ge oss en jämförbar bild av elevernas föreställningar på ett genomförbart sätt. Att använda en redan beprövad enkät har även fördel att resultatet är jämförbart med andra studier, men även att frågorna är kvalitetstestade (Ejlertsson, 2010).

För att undersöka elevernas föreställningar konstruerades en enkät utifrån den välanvända och erkända ”Indiana Mathematics Beliefs Scales” som Kloosterman och Stage (1992) utarbetat. Enkäten mäter fem olika kategorier av föreställningar om matematik och problemlösning. Dessa är följande:

a) Jag behärskar tidskrävande problemlösningsuppgifter

b) Det finns problemuppgifter som inte kan lösas med enkel steg-för–stegmetoder/ algoritmer

c) Att förstå begrepp är viktigt i matematik

d) Problemuppgifter är viktigt att jobba med i matematikundervisningen e) Större engagemang kan öka den matematiska förmågan.

Kategorierna b och d mäter epistemologiska föreställningar om matematik (se bilaga: Enkätundersökning), medan kategorierna: a, c och e mer mäter föreställningar hur individen lär sig matematik (Kloosterman & Stage, 1992, s. 112). Enkäten innehåller 30 påståenden, 6 för varje föreställning. För varje föreställning finns det 3 påståenden som instämmer med föreställningen och 3 påståenden som motsäger sig föreställningen. Enkäten är uppbyggd av en femgradig Likertskala: Instämmer helt, Instämmer delvis, Osäker, Tar delvis avstånd och Tar helt avstånd. Om påståendet instämmer med föreställningen ges 5 poäng för ”Instämmer helt”, om påståendet däremot motsäger sig föreställningen ges 5 poäng för ”Tar helt avstånd”. Varje föreställning kan få mellan 6-30 poäng: 6 poäng kan ses som att respondenten inte alls innehar den föreställning man testat, medan 30 poäng står för att respondenten innehar den testade föreställningen.

Dock måste man vara försiktig med vilka slutsatser man kan dra av en enkätundersökning. Det är svårt att vete hur respondenterna tolkar frågan. Föreställningar och affekter är speciellt

25

känsliga för detta då de är väldigt beroende på kontexten (Bandura, 1986). Bandura betonar vikten av att en undersökning av affekter behöver vara direkt kopplat till den kontext där affekterna förekommer. Han menar att man genom att ställa globala frågor om affekter kan få svar som kan vara väldigt missvisande. Då vi även kommer göra en intervju kommer vi ha tillfälle att studera och ha möjlighet att diskutera elevens affekter på plats där de uppkommer. Denna information är förmodligen mer tillförlitlig än när de på enkäten, innan situationen uppkommer ska försöka gissa hur de kommer agera. Därför kommer kärnan i undersökningen ligga i analysen av intervjuerna. Vi kommer även få möjligheter att diskutera enkätens tillförlitlighet när vi sammanställer resultatet och kan då ta ställning huruvida vi kan dra några slutsatser utifrån de föreställningar enkäten ger oss information om.

3.1.1 Genomförande av enkätundersökningen

Klassen som valdes ut till enkätundersökningen bestod av 20 elever som alla hade olika gymnasiala inriktningar, men som hade gemensamt att de tillsammans studerade matematik C i samma grupp, tredje årskurs på gymnasiet. Vid genomförandet av undersökningen presenterade vi oss först och vad enkäten hade för syfte. Eleverna fick då information om att resultatet inte skulle visas upp för någon annan mer än oss och därmed inte kunna användas för betygssättning, samt att vi avsåg att komma tillbaka efter några dagar och genomför intervjuer med fyra elever från klassen. Vi bad dem därför att skriva sina namn på enkäten.

3.1.2 Analys av enkäten

Analys av enkäten görs genom poäng för varje föreställning. Förutom antal poäng används cronbach’s alpha för att analysera svarens interna konsistens. För att välja ut elever som antas inneha den algoritmbaserade syn som Pehkonen (2001) beskriver används enkäten. De föreställningar enkäten mäter stämmer relativt bra in på den synen, bortsett ifrån kategori e: Större engagemang kan öka den matematiska förmågan. Därför räknas ett gemensamt medelvärde på de övriga fyra kategorierna fram, med kategori e borttaget, och används för att välja ut fyra elever. Två elever med höga medelvärden och två elever med låga medelvärden. Vi vill dock poängtera att vi inte drar några slutsatser om att eleverna innehar dessa förställningar utifrån enkäten, utan enkäten är enbart ett verktyg för att förhoppningsvis få ett urval av elever med olika föreställningar.

26

3.2 Intervjubaserad problemlösning

En metod som undersöker elevers affektiva vägar under problemlösning är den som Furinghetti et al (2008) använder sig av i sitt arbete. Den går ut på att undersöka hur kognition och affekt sammanflätas under en problemlösningsprocess genom att låta två högskolestudenter anteckna ord och metaforer kring hur de tänker under en problemlösningsprocess. Observera att detta inte avser att studenterna skall reflektera över sina känslor eller andra affekter utan snarare hur de förhåller sig till själva processen. Exempel på nedtecknade kommentarer kunde vara:

 Help! I’m not ‘familiar’ with prime numbers!

 My head is full of ideas, I wonder whether there is the right one!

Av kommentarer som dessa analyserades sedan elevernas affektiva vägar i relation till deras kognitiva process. (Furinghetti et al 2008).

Utifrån den beprövade metoden som Furinghetti et al (2008) använde sig av i sin undersökning, har en strategi utarbetats för att studera gymnasieelevers affektiva vägar under detta examensarbete. Den skiljer sig dock i ett viktigt avseende, eftersom vi genomförde intervjuer istället för att studera elevernas skriftliga kommentarer. Ett argument för att använda intervju som metod är att gymnasisterna i denna undersökning förmodligen inte har lika lätt att uttrycka sina tankegångar skriftligen som universitetsstudenterna i Furinghettis undersökning. Detta är förstås inget givet konstaterande men ett antagande vi väljer att utgå ifrån i valet av metod.

En kvalitativ intervju som metod inbegriper att vi som forskare har möjlighet att studera intervjupersonernas egna föreställningar och synsätt, men även vilka känslor och beteenden som uppvisas under intervjun (Allan Bryman, 2008). Utifrån en muntlig intervju finns även möjlighet att observera gester och ansiktsuttryck som kan vägas i analysen Ryen (2004). För ett naturalistiskt perspektiv, som vi eftersträvade i undersökningen, rekommenderas även intervjuer som metod då forskaren är intresserad av intervjupersonens egen verklighet i en autentisk situation (Ryen, 2004).

Intervjuerna föreföll som öppna dialogoger med respondenterna. Detta för att det skulle lämnas utrymme för eleverna att associera fritt och utveckla sina kommentarer på ett flexibelt sätt så som litteratur beskriver semistrukturerade intervjuer (Bryman, 2008). Som stöd

27

användes en intervjuguide (se bilaga: Intervjuguide), över de områden som skulle beröras. För att besvara vår forskningsfråga behövde vi information om dess tre olika element; elevernas affekter, meta-affekter och deras problemlösningsprocess. För att kunna fokusera på de problemlösningsmoment som är mest kritiska utgick vi från Furinghetti et al´s (2008) resultat och förberedde frågor för att få information om dessa kritiska situationer. Exempelvis ”Vad saknar du för att komma vidare?” Affekter delade vi i enighet med Debellis et al´s. (2006, s. 135) definitioner in i fyra kategorier: känslor, föreställningar, värden och attityder. Inom varje kategori iordningställde vi relevanta frågor för att få information om respektive affekt. Exempelvis ”Beskriv tre känslor du har just nu”. För att kunna få information om elevens meta-affekter skapade vi frågor vars svar gav oss information om hur olika typer av affekter interagerade med varandra. Exempelvis ”Varför har du dessa känslor?” För att ge eleverna ett stöd i att uttrycka vilka känslor de upplevde användes PANAS, positive and negative affect

scale (Watson et al., 1988). Vi tog bort de känslor vi fann oväsentliga för sammanhanget och

la till de känslor Gerald A. Goldin (2009) skriver om i sina idealiserade affektiva vägar (Se bilaga: Känsloschema).

Det ska nämnas att en guide som denna användes som hjälp i semistrukturerade intervjuer för att rikta fokus mot tydliga forskningsfrågor men samtidigt ge utrymme för flexibilitet. Detta betyder nödvändigtvis inte att den formulerades/ användes med samma ord och kronologi som guiden beskriver (Allan Bryman, 2008).

De fyra eleverna intervjuades var för sig i ett elevrum på skolans bibliotek. Tanken med valet av denna plats var att eleverna inte skulle relatera rummet till en lärande miljö, som exempelvis ett klassrum, där intervjuledaren inte skulle upplevas som en lärare eller aktoritetet. Intervjuerna tog mellan 20 och 50 minuter beroende på hur utförligt eleverna delgav oss sina tankar men även hur snabbt de arbetade med uppgifterna.

3.2.1 Genomförande av intervjuerna

Uppgifterna bestod av fyra problem (se bilaga: Problemlösningsuppgifterna) som tagits fram för att utmana elevernas syn på matematik så som Pehkonen (2001) beskriver som vanliga hos vissa elever. Första problemet var inom avsnittet algebra och valdes för att eleverna arbetade med algebra den givna tidpunkten för intervjun. Den algebra som krävdes finns i kursplanen för matematik B och bedömdes vara en bit under den nivå de arbetade med. Tanken var att undvika att eleverna skulle misslyckas på grund av bristande kunskaper om algoritmer. Det

28

andra problemet var en uppgift som kunde lösas helt utan algoritmer och som inte innehöll några siffror som eleverna kan börja räkna på. Detta för att studera elevernas reaktion när de helt saknade algoritmer att arbeta med. Det tredje problemet var en mönsteruppgift av klassisk problemlösningskaraktär, dock med väldigt lite text, och med inslag av matematisk bevisning. Den valdes för att se hur de arbetade när de ställdes stora krav på matematisk förstålse och problemlösning. Det fjärde problemets karaktär liknade mer en gåta. Tanken var att eleverna inte skulle kunna förledas att leta efter matematiska algoritmer då det uppenbart inte fanns några sådana.

Eleverna fick självständigt försöka lösa uppgifterna med hjälp av miniräknare, papper och penna så att deras resonemang kunde följas utifrån vad de skrev på pappret. Under tiden fick de reflektera över själva problemlösningsprocessen och tala öppet om den.

3.2.2 Analys av intervjuerna

Analys av intervjuerna gjordes utifrån inspelat och transkriberat material. Men även av de ansiktsuttryck och gestikuleringar som ansågs av värde för beskrivningen av elevernas affekter. En metod för att behandla stora mängder data är att utifrån kritiska aspekter reducera materialet.

Utifrån forskningsfrågan väljer man aspekter som belyser det som är intressant för undersökningen, och plockar ur dessa och sammanställer (Kvale, 2009). Vid bearbetningen av rådata i form av transkriberat material från en kvalitativ intervju föreslås att materialet ska brytas ner till dess beståndsdelar i form av ord och meningar för att utgöra enheter. Dessa enheter kategoriseras därefter utifrån forskarens tolkning av kontext, där även ansiktsuttryck och gestikuleringar ingår. På så vis reduceras datamaterialet till att vara mer hanterbart (Allan Bryman, 2008). Exempelvis kan meningen: ”jag känner mig glad över att jag har en idé men vet inte hur jag ska vidare med den” brytas ner till ”jag känner mig glad över att jag har en idé” och ”vet inte hur jag ska vidare.” Dessa bildar enheter som senare kodas till olika kategoriserier. Exempelvis till ”känsla” och ”process” Utifrån dessa kategorier kan vi sedan studera hur de följer varandra och bilda oss en uppfattning om elevernas affektiva vägar under problemlösningsprocessen. Genom Polyas (1970) kategoriserande av olika angripssätt vid problemlösning fanns ett stöd där det enklare gick att se var i processen eleven befann sig och vilken som var elevens strategi(se bilaga: Polyas frågor).

29

början till slut på varje uppgift. Försökte man dra slutsatser ur ett avsnitt av problemlösningsprocessen fanns risken att vi missade avgörande information om varifrån affekter hade skapats och/eller vad som hade påverkat elevens problemlösningsprocess.

Detta ställde krav på att banta ner transkriberingen till en hanterbar datamängd så att vi kunde genomföra analysen av intervjuerna, vilket vi gjorde med hjälp av en syntes av Kvales (2009) och Brymans (2008) metod; något vi kallar analysschema. Först markerades var i transkriberingen vi fann de kritiska aspekter som ansågs intressanta för undersökningen: elevernas affekter, meta -affekter och deras problemlösningsstrategi. När detta arbete var klart sorterade vi in alla kritiska aspekter i kategorier (se bilaga: Kategorier för analysschema). Sen förde vi kronologiskt in tidpunkt, kategori, en kort förklarande text och vilken källa informationen kom ifrån för varje kritisk aspekt. Genom detta förfarande reducerades datamaterialet till 18 sidors analysschema.

3.3 Analys av affektiva vägar

Det vi vill få svar på är frågor som: vad skapar problemlösarens process? vad orsakar att eleven kör fast? Varför saknas det vissa steg? Varför valdes just det sättet? Våra data analyseras för att kunna upptäcka affektiva vägar som kan ge svar på våra frågor.

Elevernas affektiva vägar studerades genom att först analysera och urskilja affekterna var för sig, för att sedan bilda möjliga affektiva vägar som kan svara på våra frågor. Som utgångspunkt har vi att skapa en modell som liknar den modell Gerald A. Goldin (2009) skissat över en idealiserad affektiv väg. Dock är vi medvetna om att affektiva vägar är ett komplext samspel mellan affekter och kognition (Hannula, 2007).

3.4 Validitet och reliabilitet

3.4.1 Enkäten

Enligt Bryman (2008) är reliabiliteten ett mått på mätningens stringens och pålitlighet. Han talar om två viktiga faktorer vid enkätundersökningar som man bör tar ställning till för att avgöra reliabiliteten av en mätning: stabiliteten och den interna reliabiliteten. Stabiliteten menas med i vilken skala måttet fluktuerar för ett givet urval av respondenter om man upprepar mätningen. I detta avseende kan vi inte utesluta att stabiliteten är låg i

30

enkätundersökningen eftersom vi inte har upprepat den som Bryman rekommenderar. Vi har dessutom sett tendenser utifrån intervjuernas resultat att korrelationen mellan enkätresultatet och intervjuerna är låga bland vissa föreställningar. Detta kan tyda på att stabiliteten är låg i enkätundersökningen. Som Bryman (2008) beskriver, svarar den interna reliabiliteten mot hur pålitliga och följdriktiga de indikatorer är som senare utgör resultatet av en kvantitativ undersökning. Detta kan översättas med hur väl frågorna i vår enkätundersökning mäter det de är avsedda att mäta. I detta avseende är frågorna kvalitetstestade då enkäten är väl beprövad (Kloosterman & Stage, 1992), vilket vittnar om en hög intern korrelation. Emellertid kan översättningen av enkäten från svenska till engelska gjort att den interna korrelationen försämrats. Det finns andra exempel på studier där enkäten vi använt oss av, har fått lägre intern korrelationen på grund av översättning Mason (2003), vilket inte utesluter att så även var fallet i detta arbete. Vad beträffar validiteten är detta ett mått på huruvida en indikator mäter det den avser att mäta (Bryman, 2008). Detta kan översättas med huruvida enkäten vi använder oss av verkligen mäter elevers föreställningar. Utifrån detta anser vi att validiteten är hög då enkäten är väl beprövad och kvalitetstestad i tidigare studier.

3.4.2 intervjuerna

Vad beträffar reliabiliteten vid kvalitativ forskning, så som intervjuerna i detta arbete, definierar Kvale (2009) detta som resultatets tillförlitlighet och egenskaper att kunna återupprepas vid liknande forskning med samma metod.

Bryman (2008) delar vid kvalitativ forskning in begreppet i intern och extern reliabilitet. Den externa reliabiliteten är ett mått på i vilken utstreckning undersökningen kan återupprepas och är enligt honom låg vid kvalitativ forskning. Detta eftersom han menar att det är omöjligt att återupprepa de sociala betingelser som påverkar resultatet och inverkar vid exempelvis intervjuer. Den externa reliabiliteten svarar mot i vilken grad medlemmarna i ett forskarlag har kommit överrens om hur de ska tolka datamaterialet. I vårt fall har det handlat om att bestämma oss för vilka kritiska aspekter som har lyft fram från det transkriberade materialet och tillsammans tolka det. Detta i sin tur kan peka på hög intern reliabilitet.

Kvale (2009) definierar validitet som hålbarheten i ett uttalande, som vanligen beskriver i vilken grad en metod undersöker vad som avses att studera. Bryman (2008) delar in validiteten vid kvalitativ forskning i två begrepp: Intern och extern validitet. I dessa sammanhang menar han att den interna validiteten betyder, i vilken utsträckning forskarens

31

observationer stämmer överrens med de teoretiska idéer han/hon har utvecklat utifrån sin forskning. Den externa validiteten svarar för i vilken grad resultatet kan generaliseras till andra sociala kontexter eller miljöer. Vidare problematiserar Bryman detta då han menar att kvalitativ forskning oftast använder sig av ett begränsat urval av respondenter och att de därför är svårt är svårt att översätta resultatet så det passar in i andra kontexter. Utifrån Brymans definitioner av validitet så har vi valt att belysa detta mer i diskussionsdelen, där vi kontrastera intervjuresultatet med den metod som användes.

3.5 Etiska överväganden

Utifrån vetenskapsrådets allmänna riktlinjer över vilka etiska överväganden som skall beaktas vid samhällsvetenskaplig forskning, har vi i detta arbete aktivt agerat utifrån dessa punkter (Vetenskapsrådet). Utifrån Informationskravet har vi varit noga med att informera informanterna om vårt syfte med undersökningen, både i enkät – och intervjudelen. Vi har även på förhand, utifrån att beakta samtyckeskravet, tillfrågat respondenterna om de velat medverka i undersökningen. Exempel på hur vi även förhållit oss till detta krav, är att vi har informerat respondenterna om att de när som helst under intervjun kunde avbryta. Vidare har vi utifrån konfidentialitetskravet behandlat datamaterialet med omsorg för att dölja elevernas identiteter. Exempel på detta är att vi i resultatdelen har valt att inte nämna elevernas egentliga namn. Slutligen har vi tagit hänsyn till nyttjandekravet, genom att endast använda insamlat datamaterial i forskningsändamål.

32

4 Resultat

4.1 Enkätundersökningen

Enkäten undersöker fem olika kategorier av föreställningar. Vi kommer använda följande förkortningar för de olika kategorierna.

Tid = Jag behärskar tidskrävande problemlösnings uppgifter

Steg = Det finns problemuppgifter som inte kan lösas med enkel steg-för–stegmetoder/Algoritmer

Begrepp = Att förstå begrepp är viktigt i matematik

Problem = Problemuppgifter är viktigt att jobba med i matematikundervisningen Ansträngning = Större engagemang kan öka den matematiska förmågan.

För att granska enkätens interna reliabilitet analyserade vi cronbach’s alpha. Analysen av resultatet ifrån enkäten gav att cronbach’s alpha var under 0,5 för kategorierna steg, begrepp och text. Enligt Ejlertsson (2010) är ett cronbach’s alpha mellan 0,6 och 0,7 ett tvivelaktigt resultat, det bör vara över 0,7 för att kunna ses som godtagbart och över 0,8 för att ses som bra. Efter att exkluderat fyra frågor ifrån kategori steg, två frågor ifrån begrepp och tre frågor ifrån text uppnåddes i stort sett godtagbara cronbach’s alpha. I tabellen nedanför redovisas medelvärde och cronbach’s alpha för respektive kategori. Medelvärdet kan variera mellan ett (tar helt avstånd) och fem (instämmer helt).

Tabell 1. Medelvärde och cronbach’s alpha för hela gruppen elever.

Den interna reliabiliteten för kategorin steg är fortfarande tvivelaktigt men vi väljer att behålla den, då vi endast kommer använda den för att göra ett urval och inte dra några slutsatser eller analyser utifrån den.

Vi gjorde sen ett urval utifrån deras medelvärde. Nedan i tabell 2 presenteras elevernas medelvärde på respektive kategori.

Föreställning Medel Cronbach's α

Tid 3,25 0,82

Steg 2 0,63

Begrepp 4,14 0,75 Problem 3,46 0,79 Ansträngning 4,51 0,82

33

Tabell 2. De utvalda elevernas medelvärden.

4.2 Linnéa uppgift 1: Produktiva affekter

Nedan följer ett utdrag från en intervju med en elev vi väljer kalla Linnéa. Ut ifrån detta kan man tolka det som att hon vänder känslan av förvirring till något positivt.

[27:10] Intervjuledare: Beskriv, beskriv själva förloppet, hur dina känslor ledde till andra känslor och inställningar under själva processen

[27:17] Linnéa: Alltså du menar att först i början var jag lite förvirrad eftersom jag inte visste hur jag skulle lösa det…

[27:25] Intervjuledare: [Mmm] och det ledde till något annat

[27:26] Linnéa: Och det ledde till att jag helt enkelt [eemm]... blev mer på något sätt nyfiken, mer engagerad till att vad kan egentligen va rätt lösning på problemet och det fick mig att fundera för att först gjorde jag några uträkningar som helt enkelt inte var rätt

[27:44] Intervjuledare: Och hur kände du då då?

[27:45] Linnéa: Och då kände jag att då måste jag helt enkelt börja om för att man kan inte bara sluta där för att det går dåligt utan att då kände jag då måste jag sudda allt det och gå till baks till ruta ett

Ovanstående excerpt handlar om hur Linnéa omvandlar sin förvirring till något positivt. Hon beskriver att hon i början var förvirrad eftersom hon inte viste hur hon skulle göra [27:17] och att den känslan ledde henne till att bli mer nyfiken och engagerad, vilket i sin tur fick henne att fundera [27:26]. Vidare ansåg hon att man inte ska sluta försöka bara för att det går dåligt utan att man istället ska gå tillbaka och försöka igen [27:45]. Detta står i direkt motsatts till den modell (Gerald A. Goldin, 2009) har målat upp, där det talas om att förvirring kan ha obehagliga övertoner och leda till frustration och dödläge. Här tycks Linnéa istället vänt känslan av förvirring till något positivt.

Direkt följt av ovanstående citat säger Linnéa att hon återigen gick tillbaka till att vara förvirrad när hon provade en annan tankegång. Hon uttrycker inte att hon blev speciellt irriterad eller besviken utan snarare att hon från att vara glad sjönk ner lite, som hon beskriver det. Vidare resonerar hon i nedanstående excerpt hur hon förhåller sig till en misslyckad

Tid Steg Begrepp Problem

Anna 4,17 2 5 4,33

Kim 1,67 3 2,5 4,00

Linnea 3,00 1,5 4,75 2,33

34 lösning av problemet:

[29:46] Intervjuledare: Du blir lite, Blir det svårare att ta sig an problemet igen när man har misslyckats?

[29:51] Linnéa: Så det kan man ju se på olika sätt, jag ser det mer som att då vet jag att den lösningen fungerar inte... Då är det bara att, då har jag ju en mindre lösning att oroa mig över, så nu vet jag ju nu har jag liksom... Då går inte den lösningen, då får jag pröva en annan det finns ju inte så jätte många lösningar till denna

[30:08] Intervjuledare: Så du verkar inte så påverkad av… Av att [eee] [30:13] Linnéa: Nä alltså inte så jätte påverkad faktiskt

[30:14] Intervjuledare: Ja! På ny kula tycker du va?

[30:10] Linnéa: Ja precis, det är inte lönt att bli irriterad för att jag inte klarar denna uppgiften, för de kommer liksom bara vara sämre för mig själv på slutändan, för jag vill ju ta mig igenom denna uppgiften och klara uppgiften.

Linnéa beskriver hur hon förhåller sig till en misslyckad lösning av problemet genom att hon inte ser det som ett misslyckande utan snarare att hon har en mindre lösning att oroa sig över [29:51] Hon säger att hon inte känner sig så påverkad [30:13] och uttrycker att irritation bara skulle påverka henne negativt [30:10]. I samma mening säger hon även att hon vill klara av uppgiften, vilket kan tolkas som att Linnéa aktivt reflekterar över sina känslor och på ett medvetet plan försöker utesluta känslor som kan påverka henne negativt. Att reflektera över sina känslor beskriver Hannula (2007) som emotionella kognitioner och som av stor vikt vid problemlösning. Debellis et al. (2006 s. 134) beskriver emotionella kognitioner som avgörande för vilka affektiva vägar eleverna tar, då de hanterar sina känslor på olika sätt. Detta genom att eleven är medveten om vilka känslor som kan visas vid olika situationer och på ett medvetet plan kunna kontrollera dess. En möjlig förklaring till att Linnéa inte påvekades negativt av förvirringen så som (Gerald A. Goldin, 2009) beskriver, är att hennes emotionella kognitioner har lett henne en annan väg.

4.3 Sammanfattande modell av Linnéas affektiva väg

Vi hänvisar i texten till var i analysschemat analysen är gjort utifrån (se bilaga: Analysschema). L1:3 står för analys schemat för Linnéa uppgift 1, tredje kommentaren.

Linnéa läser uppgiften och utrycker att hon känner igen den sedan tidigare (Ll:4). Hon försöker minnas hur hon tidigare löste uppgiften (L1:1) men känner sig förvirrad eftersom hon har glömt bort hur man gör (L1:3). Efter att Linnéa satt sig in i uppgiften ytterligare har hon ritat upp en figur och tecknat ner något som liknar en ansats till problemet (L1:8) men som kommer visa sig leda henne fel (L1:42). Den felaktiga beräkningen förklarar hon med:

35

lönt att bli irriterad på sig själv och att hon nu har en lösning mindre att oroa sig över (L1:45). Hon säger sig fortfarande vara förvirrad (L1:13) och vidare förklarar Linnéa att hon även känner sig en hel del nyfiken på slutresultatet (L1:14). Hon tillägger i slutet av intervjun att förvirringen som fanns i början av processen inte bara har lett henne till nyfikenhet utan även att hon blev mer engagerad. Detta fick henne i sint tur att börja fundera och senare testa en

annan lösning (L1:42). Linnéa räknar på en stund i tystnad och har vid det här laget utfört

diverse uträkningar som kom att visa sig leda henne till ett korrekt svar (L1:15). Hon redogör sen för sina tankegångar varpå hon nämner att hon hittat en eventuell lösning som inte är helt rätt men något som kan leda henne dit (L1:18). I samband med detta säger hon att hon blir

glad (L1:19). Hon nämner även: känner mig fortfarande aktiv och alltså lite mer tillfredsställd men inte helt tillfredsställd eftersom jag inte har kommit i mål än (L1:23). Men även att hon

nu känner sig en hel del intresserad eftersom hon vid här laget upplever sig vara nära en lösning (L1:24). Slutligen presenterar Linnéa ett korrekt svar och utrycker glädje: Det känns

perfekt [ler] (L1:32). I samband med detta nämner hon även: Nyfiken måttligt, inför vad som ska komma nästa liksom (…) Eftersom man klarar en uppgift så är det större chans att man klarar nästa också kanske? (L1:35). Hon känner sig mycket aktiv och tycker det är viktigt: Det krävs liksom att jag är aktiv, flitig och att jag engagerar mig i det jag, för komma någon vart (L1:36) Hon känner sig mycket tillfredställd och säger: Alltså jag är tillfredstält på grund av att jag klarade uppgiften (L1:38). Hon känner utöver detta även att hon är mycket stolt

(L1:40).

För att tydliggöra förloppet över de affektiva vägarna presenteras ett flödesschema i figur 1 nedan. Modellen utgår utifrån det flödesschema Gerald A. Goldin (2009) gjorde. I vår analys hade vi stor nytta av Polyas (1970) arbete med att strukturera upp problemlösningens olika faser och har därför infört dessa i modellen. Det är dock sällan man följer de olika faserna ifrån fas ett till fas fyra, snarare arbetar man med många faser parallellt och hoppar mellan dem (Polya, 1970). Man skall beakta att våra flödesscheman är en del av analysen och ofta samverkar olika faktorer, syftet med dessa är att tydliggöra och illustrera våra resultat.

36

Flödesschema 1: Flödesschema över de affektiva vägarna för Linnéa under uppgift 1. Boxar

med kantiga hörn redogör för händelser som sammankopplas med själva problemlösningsprocesen, boxar med runda hörn beskriver affektiva tillstånd. Heldragna linjer beskriver förändring av affekt medan streckad linje anger några av de möjliga sätt på vilka dessa affektiva tillstånd kan framkalla heuristiska problemlöningsstrategier. På vänster sida om processboxarna placeras de produktiva affekterna och på högersida de improduktiva.