Sammanfattning om placeringar av n objekt i k lådor så att ingen låda blir tom

1 av 9

Partitioner av en mängd.

Stirlingtal (av andra slaget) S(m,n) Partitioner av en mängd.

Om vi delar en mängd A i k disjunkta icke tomma delar säger vi att vi har gjort en partition av mängden A i k delmängder.

Vi antar att

1) delmängder är icke tomma 2) delmängder är parvis disjukta

3) Unionen av delmängder är hela A dvs

1 2 3 4

A ∪A ∪A ∪A = A

Definition 1. En indelning av en mängd A i disjunkta och icke-tomma delmängder

1, , _k

A  A där A A= ₁∪ ∪ A_k kallas för en partition av mängden A i k delmängder.

Mer precis:

Vi säger att P={A₁, , A_k} är en partition av mängden A i k delmängder om följande gäller 1) A ≠ ∅ , för alla i=1,…k (delmängder är inte tomma) _i

2) A_i∩A_j = ∅ om i j≠ (delmängder är parvis disjukta) 3) A₁∪ ∪ A_k = A unionen av delmängder är hela A dvs

Anmärkning 1: Ordningen mellan delmängderna i en partition A₁, , A_k är inte viktigt.

Därför anvender vi mängd parenteser {} i beskrivningen P={A₁, , A_k}.

Två partitioner av mängden A är lika om de innehåller samma delmängder i vilken ordning som helst.

Exempelvis P1={ {a,b,d}, {c,e}} och P2={{c,e},{a,b,d}} är två lika partitioner (i två delmängder) av mängden A={a,b,c,d,e}.

medan P1={ {a,b,d}, {c,e}} och P3 = { {a,b,e}, {c,d}} är två olika partitioner av A.

2 av 9

Exempel 1. a)Ange alla partitioner av mängden A= {a,b,c,d} i 3 delmängder.

b) Hur många sådana partitioner finns?

Lösning:

a) P1={ {a}{b}, {c,d}}, P2={ {a}{b,c}, { d}}, P3={ {a}{c}, { b,d}}

P4={ {a,b}{c}, {d}}, P5={ {a,c}{b }, { d}}, P6={ {a,d}{b}, { c}}

b) Det finns 6 partitioner av mängden A= {a,b,c,d} i 3 delmängder.

Anmärkning 2: Antalet partitioner av mängden A, som har n element, i k stycken delmängden

betecknar vi S(n,k) och kallar för Stirlingtal av andra slaget (andra ordningen). I ovanstående exempel har vi S(4,3)=6.

Stirlingtal av andra slaget, S(n,k)

Definition 2. Antalet partitioner av mängden A, som har n element, i k stycken delmängden betecknar vi S(n,k) och kallar för Stirlingtal av andra slaget (andra ordningen).

Anmärkning 3: Vi upprepar att (enligt definitionen) en partition består av icke-tomma, disjunkta delmängder vars union är A. Ordningen mellan delmängderna ignoreras.

Exempel 2. Ange alla möjliga sätt att dela A={a,b,c,d} i 2 icke-tumma disjunkta delar.

Ordningen mellan delar är oviktigt. Vad är S(4,2) Lösning:

1. {a}, {b,c,d} 2. {b}, {a,c,d}, 3. {c}, {a,b,d} 4. {d}, {a,b,c}

5. {a,b}, {c,d} 6. {a,c}, {b,d} 7. {a,d}, {b,c}

Vi har 7 sätt att dela A i två icke-tumma delar (utan hänsyn till ordning mellan delarna).

Därmed är S(4,2)=7.

Anmärkning 4: Vi kan uttrycka ovanstående definition på flera sätt.

i) Ekvivalent definition (se kursboken):

Stirlingtal S(n,k) är antalet sätt att dela n olika objekt i k disjunkta, icke-tomma, oetiketterade högar .

(Oetiketterade delar betyder att ordningen mellan delar inte är viktigt.).

ii) Ekvivalent definition: Stirlingtal S(n,k) är antalet sätt att placera n olika objekt i k oetiketterade påsar, så att ingen påse är tom .

3 av 9

Exempel 3. Antalet sätt att dela en klass med 10 studenter i 4 olika arbetsgrupper (utan hänsyn till ordning mellan grupperna) är S(10,4). Här är naturligt antagande att varje student tillhör exakt en arbetsgrupp och att arbetsgrupperna inte är tomma.

(Vi visar nedan hur vi beräknar S(10,4).)

Exempel 4. Antalet sätt att dela 8 olika objekt i 2 icke-tomma högar är S(8,2). (Ordning mellan högarna ignoreras.)

Exempel 5. Antalet sätt att placera 20 olika objekt i 4 lika oetiketterade påsar, så att ingen påse är tom är S(20,4).

Beräkning av Stirlingtal S(n,k)

Enklast sätt att beräkna Stirlingtal är med hjälp av nedanstående rekursiva formel.

Först notererar vi att två speciella fall kan beräknas enkelt:

Fall 1: Om k=1 så är S(n,1)=1 (för alla n)

Förklaring: Det finns endast ett sätt att bilda en hög av n element (alla ligger i samma hög) Fall 2: Om k=n så är S(n,n)=1 (för alla n)

Förklaring: Varje element bildar en hög . Allmänt fall

Om 1 k n< < använder vi följande rekursiva formel:

( , ) ( 1, 1) ( 1, )

S n k =S n− k− + ⋅k S n− k , 1 k n< < .

Alltså, För att beräkna föregående S n k , använder vi två värden ( , )

( 1, 1)

S n− k− och S n( −1, )k (den sista multiplicerad med k) från föregående rad . Förklaring:

Om vi ska dela n olika objekt i k högar kan vi

i) dela första (n-1) i (k-1) högar och låta den sista stå ensam i en hög eller

ii) dela första (n-1)element i k högar och placera den sista element i en av k redan formerade högar.

Första delen (i-delen) kan vi göra på S n( −1,k− medan andra delen ( ii-delen) 1) kan vi göra på k S n⋅ ( −1, )k .

Därmed S n k( , )=S n( −1,k− + ⋅1) k S n( −1, )k . Vi har därmed bevisat följande sats om Stirlingtal:

4 av 9 Sats 1.( Rekursiva formeln för beräkning av Stirlingtal )

Låt S n k vara antalet sätt att dela n distinkta (olika) objekt i k icke-tomma, ej etiketterade ( , ) högar. Då gäller

( ,1) 1, ( , ) 1

( , ) ( 1, 1) ( 1, ), för 1 S n

S n n

S n k S n k k S n k k n

=

=

= − − + ⋅ − < <

Anmärkning: Det är naturligt att definiera ( , ) 0 för S n k = k n>

Exempel 6. Med hjälp av ovanstående rekursiva formel kan vi beräkna Stirlingtalen för n=1,2,3….. och skriva resultat i en triangulär tabell .

Notera först att S(1,1)=1,

S(2,1) =1, S(2,2)= 1 samt att S n( ,1) 1 och ( , ) 1= S n n = . För n=3 har vi S(3,1) =1, S(3,3)= 1 samt S(3,2)=S(2,1) 2 (2,2) 1 2 1 3+ ⋅S = + ⋅ = För n= 4 har vi S(4,1) =1, S(4,4)= 1 ,

(4,2) (3,1) 2 (3,2) 1 2 3 7

S =S + ⋅S = + ⋅ =

(4,3) (3,2) 3 (3,3) 3 3 1 6

S =S + ⋅S = + ⋅ =

Flera resultat har vi i nedanstående tabell:

k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8

n=1 1

n=2 1 1

n=3 1 3 1

n=4 1 7 6 1

n=5 1 15 25 10 1

n=6 1 31 90 65 15 1

n=7 1 63 301 350 140 21 1

n=8 1 127 966 1701 1050 266 28 1

Anmärkning: Förutom S(n,1)=1 och S(n,n)=1 kan vi enkelt och direkt beräkna ( ,S n n − . 1)

Sats 2. ( , 1) 2 S n n  n

− =  

 

Bevis. För att bilda n-1 högar från n element måste vi placera två element i en hög, medan andra element bildar sina egna högar. Två element bland n kan vi välja på

2 n

  

 sätt.

Exempel 6. a) På hur många sätt kan vi bilda 3 icke tomma högar från fyra objekt {a,b,c, d}

så att varje objekt ligger i exakt en hög? Vi ignorerar ordning mellan högarna.

b) Ange alla möjliga partitioner av mängden {a,b,c, d} i tre icke tomma delmängder .

5 av 9

Lösning: a) 4

(4,3) 6

S =  2 =

  .

b) {{a,b},c, d}, {{a,c},b, d}, {{a,d},b,c}, {{b,c},a, d}, {{b,d},a, c}, {{c,d},a, b}

(totalt 6 partitioner}.

Exempel 7. Vi har 6 olika objekt a,b,c,d ,e, f som vi ska placera i 3 oetiketterade påsar så att ingen påse ska vara tom.

i) På hur många sätt kan vi göra detta?

ii) I hur många placeringar är b och c i samma påse?

iii) Bestäm antalet placeringar som är sådana att b och c inte ligger i samma påse.

Lösning:

1) S(6,3)= 90

2) Vi kan lösa problemet genom att ” klistra ihop” b och c i ett objekt ”bc” som vi ska beteckna O . Nu betraktar vi antalet placeringar av {O,c,d,e,f } i 3 oetiketterade påsar . Antalet sådana placeringar är S(5,3)=25

3) Vi subtraherar resultat i 1) och 2) och får A3 = S(6,3) – S(5,3)= 65

Antalet partitioner om ordningen mellan delmängder är viktig.

I några problem är ordning mellan delmängder (mellan ”högar” ) viktig.

Att beräkna antalet indelningar där vi tar hänsyn till ordning mellan ”högar”

kan vi först beräkna antalet sätt att dela n distinkta objekt i k högar dvs S(n,k) och därefter multiplicera med antalet permutationer av de k högarna.

Alltså gäller följande:

Antalet sätt att dela n distinkta (olika) objekt i k numrerade (=etiketterade) icke tomma högar är A k S n k=( !) ( , )⋅

Alternativ:

Antalet sätt att placera n distinkta (olika) objekt i k numrerade (=etiketterade) lådor så att ingen låda är tom är

A k S n k=( !) ( , )⋅

Exempel 7. Bestäm antalet sätt att placera 5 olika böcker i 4 etiketterade (numrerade) påsar, så att ingen påse är tom.

Lösning: Vi kan i första steg dela böcker i högar utan hänsyn till ordning.

Detta kan vi göra på S(5,4) 10= sätt.

6 av 9

Därefter vi placerar högarna i numrerade påsar. Med information att påsarna är etiketterade (numrerade) menar vi att ordningen mellan högarna är viktig. Antalet sådana ordningar av 4 högar är 4!.

Därmed är A=(4!) (5,4) 24 10 240⋅S = ⋅ = . Svar: 240

Exempel 8. Bestäm antalet sätt dela 8 olika leksaker till 3 barn så at varje barn får minst en leksak.

Lösning: Vi kan först dela leksaker i 3 högar. Detta kan vi göra på (8,3)S = 966 sätt.

Därefter väljer vi en ordning mellan högar och gör till barn. Vi har 3!=6 966*6= möjliga ordningar.

Därför är antalet sätt att göra detta A =966*6=5796 . Svar: 5796

Sammanfattning om placeringar av n objekt i k lådor så att ingen låda blir tom

Antalet placeringar beror på:

1) om vi har lika eller olika objekt,

och 2) om vi betraktar lika (ej numrerade, oetiketterade) lådor, dvs ordning mellan lådorna ignoreras

eller olika(numrerade, etiketterade) lådor.

Kombination av 1) och 2) gör 4 möjliga fall:

F1) olika objekt, lika lådor F2) olika objekt, olika lådor F3) lika objekt, olika lådor F4) lika objekt, lika lådor

(Anmärkning: F4 finns i kursboken FD (partitioner av heltal) men ingår inte i kursen.

Här sammanfattar vi F1, F2 och F3 med kravet ”icke tomma lådor”.

I alla nedanstående fall betraktar vi att ordning inuti en låda är oviktigt!

Fall 1.

Antalet sätt att placera n olika objekt i k lika lådor, (dvs. utan hänsyn till ordning mellan lådorna) så att ingen låda blir tom, är

A1= S(n,k)

Anmärkning: Om vi tillåter tomma lådor i Fall 1 , då blir antalet placeringar följande summa av Stirlingtal:

7 av 9 B1=

S(n,1)+ S(n,2)+…+S(n,k)

---

Fall 2.

Antalet sätt att placera n olika objekt i k etiketterade (numrerade, olika) lådor, (dvs. med hänsyn till ordning mellan lådorna) , så att ingen låda blir tom, är

A2= S(n,k) ∙ (k!)

Anmärkning: Om vi tillåter tomma lådor i Fall 2 , då blir antalet placeringar lika med antalet funktioner från en definitionsmängd med n element till en mängd med k element. (vi kan beskriva en placering genom att rita en pil från varje element i definitionsmängden till målmängden):

B₂ =kⁿ

---

Fall 3.

Tidigare har vi betraktat placering av n identiska objekt i k lådor, där n ≥ k, så att ingen låda blir tom.

Vi placerar först en objekt i varje låda. Därefter betraktar vi problemet med placering av resterande M=n–k identiska objekt i k lådor. Detta kan vi göra på

3

1 1 1 1

(eller )

1 1 1

M k n k k n n

A k k k n k

+ − − + − − −

       

= −   = −   = −  = − 

Antalet sätt att placera n lika objekt i k etiketterade (numrerade, olika) lådor, (dvs. med hänsyn till ordning mellan lådorna) , så att ingen låda blir tom, är

₃ 1 1 A n

k

 − 

=  −  eller ₃ 1 (eller n )

A n k

 − 

=  − 

Anmärkning: Om vi tillåter tomma lådor i Fall 3, då blir antalet placeringar

3

1 1 B n k

k

 + − 

=  −  ( eller ₃ n k 1

B n

 + − 

=  

 

---

8 av 9

Exempel 8. Bestäm antalet sätt att placera 8 objekt i 5 lådor, så att ingen låda blir tom, om vi har

a) olika objekt, lika lådor (oetiketterade, ej numrerade lådor, dvs. ordning mellan lådorna är oviktigt)

b) olika objekt, olika lådor (etiketterade, numrerade lådor, dvs. ordning mellan lådorna är viktigt)

c) lika objekt, olika lådor (etiketterade, numrerade lådor, dvs. ordning mellan lådorna är viktigt)

Lösning: Se ovanstående sammanfattning.

Svar: a) S(8,5)= 1050

b) (5!)*S(8,5)=120*1050=126000 c) ₃ 1 7

1 4

A n k

 −   

= −     = = 35

Exempel 9. Bestäm antalet sätt att placera 8 objekt i 5 lådor, (tomma lådor är tillåtna) ,om vi har

a) olika objekt, lika lådor (oetiketterade, ej numrerade lådor, dvs. ordning mellan lådorna är oviktigt)

b) olika objekt, olika lådor (etiketterade, numrerade lådor, dvs. ordning mellan lådorna är viktigt)

c) lika objekt, olika lådor (etiketterade, numrerade lådor, dvs. ordning mellan lådorna är viktigt)

Lösning: Se ovanstående sammanfattning.

Svar: a) S(8,1)+ S(8,2)+ S(8,3)+ S(8,4)+ S(8,5)= 3845 b) 5 =390625 ⁸

c) ₃ 1 12 4 A n k

k

 + −   

=   =

   = 495

==========================================

Några uppgifter från gamla KS och tentor

(Uppgift 5.KS2 2013)

Bestäm antalet sätt att fördela sju olika böcker bland tre barn så att inget barn blir utan bok.

Lösning. Vi delar först in böckerna i tre icke tomma högar vilket kan ske på S(7, 3) olika sätt.

Som andra operation låter vi de tre barnen i tur och ordning välja en hög med böcker, som inte redan är vald. Detta kan ske på 3! olika sätt.

Multiplikationsprincipen ger då SVAR: 3! · S(7, 3).

(Uppgift 5.KS2 2014)

Bestäm antalet ord av längd 6 som man kan bilda med hjälp av bokstäverna a, b, c och d och som är sådana att var och en av de fyra bokstäverna a, b, c och d förekommer minst en gång i ordet, varvid bokstaven a förekommer precis en gång.

9 av 9

Lösning. Vi väljer först position åt a:et vilket kan ske på 6 olika sätt. övriga fem positioner skall sen fördelas bland de tre återstående bokstäverna vilket kan ske på S(5, 3) · 3! olika sätt, eftersom varje bokstav skall uppträda i minst en position.

Multiplikationsprincipen ger då 6 · S(5, 3) · 3! = 6 · 25 · 6 = 900 SVAR: 900

(Uppgift 5.KS2 2015)

De sex barnen A, B, C, D, E och F skall delas in i den röda, blå och gula gruppen. På hur många sätt kan detta ske om ingen grupp får vara tom. OBS. En komplett lösning med fullständiga motiveringar skall ges och svaret skall ges i formen av ett heltal.

Lösning.

Vi delar först in böckerna i tre icke tomma grupper. Detta kan vi göra på S(6, 3) sätt. Därefter markerar vi de tre grupperna med röd, blå eller gul. Detta kan vi ordna på 3! sätt.

Multiplikationsprincipen ger då SVAR: 3! * S(6, 3)= 6*90 = 540.

(Uppgift 5.KS2 2016)

Bestäm antalet sätt att dela ut 5 olika böcker bland barnen Agnes, Bertil och Cecilia så att varje barn får åtminstone en bok.

Lösning: Enligt definitionen av Stirlingtalen av den andra ordningen finns det S(5, 3) sätt att dela upp de 5 böckerna i 3 icke-tomma högar. För varje av dessa sätt kan vi sedan ordna de tre högarna på 3! sätt bland barnen.

Enligt multiplikationsprincipen blir då det totala antalet sätt 3! · S(5, 3) = 6 · 25 = 150.

SVAR: 150.

Anmärkning: I nedanstående uppgift menar man att kakorna är i början identiska, innan vi använder smaksättningar.

(Uppgift 5.KS2 2017) Vi har 6 olika smaksättningar — vanilj, choklad och så vidare — som vi vill använda för att baka 3 kakor. Vi vill använda varje smaksättning precis en gång, och varje kaka måste få åtminstone en smaksättning (men kan få flera). Utöver detta så får vanilj och choklad inte förekomma i samma kaka. På hur många olika sätt kan vi smaksätta våra 3 kakor?

Lösning: Enligt definitionen av Stirlingtalen av den andra ordningen finns det S(6, 3) sätt att dela upp de 6 smaksättningarna i 3 icke-tomma grupper. Bland dessa finns det S(5, 3) sätt där vanilj och choklad förekommer i samma grupp: vi kan tänka på dem som en enda ingrediens vanilj-choklad tillsammans med de övriga fyra.

Alltså är svaret S(6, 3) − S(5, 3) =90–25=65.