Primitiva funktioner och differentialekvationer

Primitiva funktioner och differentialekvationer

Analys360 (Grundkurs) Blandade uppgifter

När du har löst dessa övningar, ta dig tid att gå igenom vad du gjort.

Tänk igenom att dina argument inte bara är rätt, utan att du tydligt har skrivit ner dem, så att en oberoende person kan förstå hur du resonerat (även om de inte förstår själva lösningen). Det är lätt att slarva med den delen, men den är nästan mer lärorik än att lösa talet.

Diskutera gärna med en kamrat om hur man bör skriva ner lösningen!

Lösningar till dessa uppgifter ska inte massproduceras eller läggas ut på internet!

Övning 1 Bestäm den funktion f som uppfyller a) f⁰(x) =x sin(x²), f(0) =0,

b) f⁰(x) = ¹

(1+x²)arctan x, lim

x→_∞f(x) =0.

Övning 2 Bestäm alla primitiva funktioner till

a) e^xsin e^x, b) x(x+1)⁹, c) ^x cos²x Övning 3 Bestäm samtliga primitiver till

a) ^5x

2−_7x+13

x³−_6x²+11x−₆^{, b}) ^x

5+1

x⁴+x³+x², c) ^x+1 x²+4x+6 Övning 4 Bestäm den funktion f som uppfyller

f⁰(x) = ^2x

2+6

(x−₁)²(x²+2x+5)^{, xlim→}∞f(x) =0.

Övning 5 Bestäm alla primitiver till

√

x²+₂−x

√

x²+2+x.

Övning 6 Finn en primitiv funktion till funktionen

f(x) = ^2x

2−_4x+₃₄ (x²+2x+5)(x²+2x−₃)^.

Övning 7 För vilka värden på konstanterna a och b gäller det att

Z ax+b

(x−₁)(x+1)^2dx är en rationell funktion?

Övning 8 Bestäm primitiva funktioner till de två funktionerna arctan x och arcsin x.

Övning 9 Bestäm alla primitiva funktioner till

a) sin(5x)cos(x), b) sin⁴(x)cos²(x), c) e^2xsin(3x). Övning 10 Bestäm en primitiv till var och en av följande funktioner:

a) ^sin(2x)

cos³x , b) ^{cos x}

sin x+_sin²x, c) ¹ sin²x+_{2 cos}²x. Övning 11 Låt In(x)vara den primitiva funktion till cosⁿx som är noll då x=0. Visa att det gäller att

In(x) = ¹

n(sin x cosⁿ⁻¹x+ (n−1)I_n−₂(x).

Använd sedan detta till att beräkna Z

cosⁿx dx

för n=2, 3, 4, 5. Vilken formel får vi om vi byter cosⁿx mot sinⁿx?

Övning 12 Beräkna integralen

Z dx

cos x

genom att göra variabelbytet t=sin x. Ett annat sätt att beräkna den är genom att börja med variabelbytet t= ^π₂ −x och sedan använda formeln för dubbla vinkeln för sinusfunktionen. Gör det också. Ser svaren likadana ut? Hur kan du se att det faktiskt är samma svar?

Övning 13 Beräkna integralen

Z dx

√ x²+1

genom att man gör varibelbytet x = tan t. Vilken viktig trigonomet- risk formel är det du behöver använda? Du kan använda resultatet i föregående övning.

Övning 14 a) Visa att om t=tan^x₂, |x| <π, så följer att

x=2 arctan t, sin x= ^2t

1+t² och cos x= ¹−t² 1+t². b) Använd variabelbytet i a) till att beräknar

Z dx

cos x c) Använd variabelbytet i a) till att beräkna

Z 3dx

4+5 sin x.

Anmärkning Detta variabelbyte, som kallas Weierstrass’ substitution, överför en rationell funktion i cos x och sin x på en rationell funktion i t, vilket gör att sådana i princip alltid kan integreras.

Övning 15 Bestäm alla primitiva funktioner till 1+√

x+₁ 1−√

x+1, x> −1, genom att först göra variabelbytet t=√

x+1.

Övning 16 Bestäm alla primitiva funktioner till 3

(x+1)² r x−1

x+1, x>1 genom att göra variabelbytet t=^p(x−₁)/(x+1). Övning 17 a) Visa genom derivation att

Z dx

√

x²+1 =ln(x+^px²+1) +C.

b) Visa att om t−x=√

x²+1 så följer att x= (t²−₁)/2t.

c) Bestäm primitiven i a) genom att göra variabelbytet i b).

Övning 18 Bestäm

Z dx

(4x+3)√ x²+1 genom att göra variabelbytet t=x+√

x²+1.

Övning 19 Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen y⁰=x²−e^−x.

Bestäm också den lösning som uppfyller begynnelsevillkoret y(0) = 1.

Övning 20 Lös ekvationerna

a) y⁰+2xy=0, b) xy⁰+10y=ln x, x>0,

c) y⁰+y cot x=tan²x, 0<x< ^π 2 Övning 21 Lös ekvationerna

a) y⁰+x²y=x², y(0) =2

b) (1−x²)y⁰+xy=x, y(0) =3,|x| <₁ c) (₁+x²)y⁰−_2xy= (₁+x²)_{arctan x,} y(₁) =₂ d) (x+1)(x+2)y⁰−y=1, y(0) =2, x> −1 Övning 22 a) Beräkna derivatan av ln(x+√

x²+1). b) Visa genom partialintegration att

Z p

x²+1 dx=¹ 2(xp

x²+1+ln|x+^px²+1|) +C

c) Lös begynnelsevärdesproblemet

p1+x²y⁰+y=^p1+x², y(0) =7.

Övning 23 Lös ekvationerna

a) y⁰= (y²−₁)x, y(0) =0, b) xy⁰=y²−_{2y, y}(1) =1, x≥₀ Övning 24 Lös följande differentialekvationer:

a) y⁰=1+x+y+xy, b) (1+x)y⁰+1+y=0.

Övning 25 Bestäm en relation f(x, y) =C som gäller om y är en lös- ning till ekvationen

a) y⁰= ^y

x+y, b) y⁰= ^x+y x−y. Övning 26 Lös begynnelsevärdesproblemet

y⁰⁰+6y⁰+9y=0, y(0) = −1, y⁰(0) =1.

Övning 27 Bestäm alla reella tal λ för vilka randvärdesproblemet y⁰⁰+λy=0, y(0) =y(`) =0, ` >0

har en icke-trivial lösning, alltså en lösning som inte är identiskt noll.

Ange också motsvarande lösningar.

Övning 28 Bestäm alla reella tal λ för vilka randvärdesproblemet y⁰⁰+λy=0, y⁰(0) =y⁰(`) =0, ` >0

har en icke-trivial lösning, alltså en lösning som inte är identiskt noll.

Ange också motsvarande lösningar.

Övning 29 Lös följande differentialekvationer

a) y⁰⁰+3y⁰+2y= (x+1)e^−3x, b) y⁰⁰−_3y⁰−_4y=5e^−x+4x

Övning 30 För vilka r har ekvationen y⁰⁰−_3y⁰+2y=e^rxen lösning på formen Ae^rx? Ange också en partikulärlösning för de r för vilka det inte finns en sådan lösning.

Övning 31 Lös ekvationen y⁰⁰(x) +4y(x) =h(x)för följande höger- led:

a) h(x) =sin(2x), b) h(x) =1+cos(2x), c) h(x) =2 sin²x.

Övning 32 Vilken är den linjära differentialekvation med konstanta koefficienter som har den allmänna lösningen

y= (^x

3

6 +Ax+B)e^−x+1 Övning 33 Bestäm den funktion y(x)som löser

xy⁰⁰−_2xy⁰+xy=e^x, y(1) =y⁰(1) =0.

Övning 34 Bestäm lösningen på problemet

y⁰⁰(t) +11y(t) +30y(t) =

(1 0<t<₁

0 t>1 , y(0) =y⁰(0) =0,

för t>1.

Övning 35 Lös differentialekvationen

y⁰⁰+y= ¹ cos x genom att skriva y(x) =z(x)cos x.

Övning 36 Betrakta differentialekvationen

(x²−_2x)y⁰⁰− (x²−₂)y⁰+2(x−₁)y= (x²−_4x+2)e^x.

a) Visa att den homogena ekvationen har lösningen yh(x) =e^x. Bestäm sedan den allmänna homogena lösningen.

b) Lös själva ekvationen.

Övning 37 Någon gång mitt på dagen på lillejulafton började det snöa. En plogbil började ploga på en längre motorväg klockan 12⁰⁰. Efter en timme hade den kört 2 mil, efter ytterligare en timme hade den kört ytterligare 1 mil. När exakt började det snöa om plogens has- tighet är omvänt proportionell mot snötäckets tjocklek och detta i sin tur är proportionellt mot den tid det har snöat?

Övning 38 En klotformig doftkula har som ny diametern 8 cm. Doft- kulans volym minska i varje ögonblick (p.g.a. avdunstning) med en hastighet som är proportionell mot kulans area. Efter en månad har diametern minskat till 6 cm. Vad är kulans diameter efter 3 månader?

Övning 39 I en tank finns 1000`rent vatten. Vid en viss tidpunkt börjar saltlösning, som innehåller 0.1 kg salt per liter, strömma in i tanken med ett volymflöde av 2`/min. I tanken antas det ske en full- ständig blandning. Den homogena blandningen pumpas ut ur tanken med volymflödet 4`/min.

a) Hur många kg salt finns det i tanken efter 50 minuter?

b) Hur många kg salt innehåller tanken som mest?

c) Skissera mängden salt i tanken som funktion av tiden under de första 10 timmarna.

Övning 40 En population fiskar som lever i en lagun växer exponen- tiellt med en relativ tillväxthastighet av 0.3% per dag. Vid en viss tid- punkt upptäcks populationen av en grupp delfiner i området som bör- jar äta av dem. Per dag äter de upp 0.001·N²fiskar per m³, där N är antalet fiskar per m³. Sedan delfinerna kommit lämnar 0.002 fiskar per m³och dag lagunen. Om det när delfinerna kom till platsen fanns 20 fiskar/m³, bestäm ett uttryck för koncentrationen fiskar t dagar senare.

Övning 41 Hastigheten med vilken trypsiongen (A) omlagras till trypsin (B) påverkas av koncentrationen av trypsin. Detta s.k. auto- katalytiska förlopp följer hastighetsekvationen

−^d[A]

dt =k[A][B]

där hakparanteserna betecknar “koncentration av”. Omlagringen sker troligtvis endast då trypsinogenet från början är förorenat av trypsin. Antag att ett preparat ursprungliden innehåll 7.2·₁₀⁻²_T.U.

trypsinogen och 3·₁₀⁻⁴T.U. trypsin (T.U. är en speciell biokemisk enhet). Beräkna koncentrationen av trypsin efter en timme om omlag- ringsreaktionens hastighetskonstant k är 14.6 per T.U. och timme.

Övning 42 Den lilla mellanvästerstaden Trumptown i USA har haft en länge haft en befolkningstillväxt som styrts av differentialekvatio- nen

N⁰=_0.04N(₁−N/10⁶)_,

där tid mäts i år. År 2010 hade staden 750 000 invånare. Samma år etablerade sig maffian i staden, vilket ledde till att 6000 personer val- de att flytta ifrån staden per år samtidigt som 4000 människor mör- das per år i maffiarelaterade våldshandlingar. Om detta fortsätter, hur många invånare har Trumptown år 2030?

Övning 43 En kula slår med hastigheten v0in i en mjuk vägg av ett material, som kan antas ge kulan en retardation som är proportionell mot hastigheten. Sök sambandet mellan hastigheten v0, väggens tjock- lek b och proportionalitetskonstanten k om kulan nätt och jämnt skall kunna tränga genom väggen.

Övning 44 Under vissa omständigheter dimeriseras butadien (C4H₆) enligt formeln 2C₄H₆→ C₈H₁₂i en process som följer massverkans lag. Bestäm ett uttryck för hur koncentrationen av butadien varierar med tiden.

Övning 45 En viss kemikalie löses upp i vatten med en hastighet som är proportionell mot produkten av den oupplösta mängden och diffe- rensen mellan koncentrationen i en mättad lösning och den aktuella koncentrationen. Man vet att i 100 ml mättad lösning är 50 g av ke- mikalien löst. Om 30 g av kemikalien rörs ner i 100 ml rent vatten så löses 10 g på 2 timmar. Hur mycket har lösts upp efter 5 timmar?

Övning 46 En sluten behållare med 100 liter av en lättflyktig vätska springer läck varvid vätskan rinner ut på golvet där behållaren står.

Hastigheten med vilken vätskan rinner ut ur behållaren antas vara proportionell mot kvadratroten ur volymen av vätskan i behållaren och 10% av den utrunna vätskan avdunstar per timme. Efter en tim- me återstår 64 liter i behållaren. Efter hur lång tid, från det att den sprang läck, är behållaren tom och hur mycket vätska finns då kvar på golvet?

Övning 47 En vattentank i form av en rak cirkulär cylinder som rym- mer 16 m³läcker genom ett hål i botten. Den hastighet med vilken vattnet läcker ut är proportionell mot kvadratroten av höjden av vat- tenpelaren (avståndet från vattenytan till botten). När tanken innehöll 9 m³vatten konstaterade man att vattnet läckte ut med en hastighet av 3 m³/h.

a) Bestäm en differentialekvation för volymen V(t)av vatten i tanken vid tid t och lös denna om vi hade en full tank när t= 0. Hur lång tid tog det för vattenvolymen att reduceras till 9 m³?

b) Man fyllde nu upp tanken igen och monterade en slang som tillförde vatten med den jämna hastigheten av 2 m³/h (hålet är kvar). Hur lång tid tar det nu för vattenvolymen att bli 9 m³?

c) Vilket vattenflöde skulle man ha haft i slangen för att tanken hela tiden skulle vara full?

Övning 48 Två stycken sjöar ligger längs ett vattendrag. Rent vatten flödar till den första sjön. Samtidigt flödar vatten från den första sjön till den andra sjön, och vatten från den andra sjön flödar vidare ner längs vattendraget. Både in- och utflöde för vardera sjön är 500 m³per timme. Den första sjön innehåller 100·₁₀³_m³vatten och den andra sjön 200·₁₀³_m³_.

Vid en viss tidpunkt kraschar en lastbil med 8 ton giftigt material i den första sjön. Vi kan anta att allt giftigt material omedelbart hamnar i sjön, och att volymen i sjön inte påverkas av detta. Vidare kan vi anta att allt vatten kontinuerligt hålls perfekt blandat av vattendraget.

a) Bestäm mängden giftig material i den första sjön som funktion av tiden.

b) Bestäm mängden giftig material i den andra sjön som funktion av tiden.

c) Vid vilken tidpunkt blir mängden giftigt material i den andra sjön som störst?

Övning 49 En tillväxtmodell som är ett alternativ till den logistiska modellen och som ofta används av tumörbiologer är Gompertz modell.

Den kan skrivas

N⁰(t) =r(t)N(t), r⁰(t) = −αr(t).

a) Lös ekvationen. Lösningen ska uttryckas i α, N(0)samt K=lim

t→_∞N(t).

b) Visa att man kan skriva ekvationen på formen N⁰(t) = f(N(t))N(t).

Övning 50 Beräkna y(π)om y(x)är den kontinuerligt deriverbara funktion som är sådan att

y⁰⁰(x) +y(x) =

(1 då x< ^π₂

2 då x> ^π₂ ^{, y}(0) =y⁰(0) =0.

Övning 51 En fabrik ligger vid en mindre sjö. En dag går en tank med ett kemiskt ämne sönder och innehållet läcker ut i sjön. Efter ett febrilt arbete lyckas man stoppa läckan en timme senare, men under den timmen har ämnet läckt ut med en hastighet av 1−t kg/timme, där t är tid (timmar) sedan läckaget startade. Lyckligtvis finns i sjön mikroorganismer som bryter ner ämnet till ofarliga produkter, och detta sker med en hastighet av 10% per timme.

a) Hur mycket ämne fanns i sjön när läckan tätades?

b) Hur lång tid tar det för mikroorganismerna att reducera den- na mängd till en tredjedel?

Övning 52 En 100 m³tank med rent dricksvatten i Lund fick ett kon- stant inflöde av koliforma bakterier som motsvarar en ökning av bak- teriekoloni i tanken med hastigheten 0.1 cfu/l per timme (cfu/l =co- lony forming units per liter). I ett prov 500 timmar senare upptäckte VA Syd att vattnet var otjänligt. De lyckades inte hitta felet och börja- de omedelbart filtrera vattnet samt utfärdade en kokningsrekommen- dation, eftersom halten av bakterier var högre än Livsmedelsverkets norm på max 10 cfu/l. Vattnet passerar ett filter som har flödeskapa- citeten 5 m³ per timme och 100% reningseffekt, och pumpas sedan tillbaka till tanken. Efter hur lång tid kan kokningsrekommendatio- nen hävas? Vattnet kan antas vara välblandat i varje ögonblick.

Övning 53 A limnology class is presented with a laboratory exercise concerning continuous culture of algae in a chemostat. The apparatus consists of a culture vessel (with a constant level outflow tube to keep the volume at 8 liters) into which a fresh culture medium is continu- ously fed by a constant metered gas flow. A page of instructions is haded to the students. It contains physical and numerical data for the experiment and concludes with the following paragraph:

Whith the pumping of a fresh culture medium into the cul- ture chamger, it is possible to calculate the theoretical per- centage concentration of the medium created in the culture chamger after any given number of hours. The following mathematical relationships are used for the calculations

C_T=C₀+ (C_i−C₀)(₁−e^{−(T−T0)R/V} where

CT = outflow concentration at an arbitrary moment C₀ = concentration at T=T₀

Ci = conentration of inflow R = flow rate (mL/h) V = volume of chamber (mL) T = time at arbitrary moment T₀ = starting time

Show that you can rather easily justify this somewhat horrendous

’out-of-the-magic-hat’ formula.

Svar och anvisningar

Övning 1 a) f(x) = (1−_cos²x)/2, b) f(x) = ln|_{arctan x}| − ln^π₂.

Övning 2 a) −_cos(e^x) +C b) ₁₀¹x(x+1)¹⁰− ¹

110(x+1)¹¹+C c) x tan x+ln|_{cos x}| +C

Övning 3 a) ¹¹₂ ln|x−₁| −_{19 ln}|x−₂| +³⁷

2 ln|x−₃| +C b) ^x₂²−x−¹_x−_ln|x| +¹_2ln(x²+x+1) +^√1

3arctan^2x√+1

3 +C c) ¹₂ln(x²+4x+6) −^√1

2arctan^x√+2

2 +C Övning 4 1

1−x+¹

2arctanx+₁

2 −^π

4 Övning 5 ¹₃x³+x−¹

3(x²+2)^3/2+C

Övning 6 ln|x−₁| −_{2 ln}|x+3| +₂¹ln(x²+2x+5) −2 arctan^x+₂¹ Övning 7 Alla a, b sådana att a+b=0.

Övning 8 xarctan x−¹_2ln(1+x²)respektive x arcsin x+√ 1−x² Övning 9 Ett förslag är att använda Eulers formler.

a) −₁₂¹ _cos(6x) − ¹₈cos(4x) + C eller −₂₄¹ _sin(x)sin(5x) −

5

24cos(x)cos(5x) +C.

b) ₃₂¹(¹_6sin(_6x) − ¹_2sin(_4x) − ¹_2sin(_2x) + _2x) + C eller

1

6sin⁵(x)cos(x) +¹₆(−¹₄sin³(x)cos(x) +³₄(^x₂−¹

4sin(2x))) + C

c) ^e₁₃^2x(2 sin(3x) −3 cos(3x)) +C Övning 10 a) _{cos x}² +C

b) ln ₁₊^{sin x}_{sin x}

 +C c) ^√1

2arctan(^{tan x√}

2) +C

Övning 11 Rekursionsformeln ger att

I₂(x) =¹

2(sin x cos x+I₀(x)) = ^sin(2x)

4 +^x

2,

I₃(x) = ¹

3(sin x cos²x+2I₁(x) =sin x−^sin

3x 3

I₄(x) = ¹

4(sin x cos³x+3I2(x)) =¹

4(sin x cos³x+³

4sin(2x) +³ 2x)

I₅(x) =¹

5(sin x cos⁴x+4I3(x)) =¹

5(sin x cos⁴x+4 sin x−^{4 sin3x}

3 )

Övning 12 Variabelbytet t=sin x ger svaret 1

2ln    

1+sin x 1−_{sin x}    

+C=ln    

1

cos x+tan x    

+C

medan den andra ansatsen ger svaret

−_ln|_tan(^x 2−^π

4)| +C=ln|_tan(^x 2+^π

4)| +C.

Deriverar vi uttrycken ser vi att de har samma derivata 1/ cos x.

Övning 13 Formeln är att 1+tan²x = 1/ cos²x. Variabelbytet ger integralenR

dt/ cos t som vi använder formeln ln|_{1/ cos t}+tan t| +C på. Svaret blir

ln|x+^px²+1| +_C.

Övning 14 a)

b) ln    

tan^x₂+1 tan^x₂−₁    

+C

c) ln     

tan^x₂+¹₂ tan^x₂+2     

+C

Övning 15 −x−₄√

x+1−_{4 ln}|√

x+1−₁| +C

Övning 16 x−1 x+1

r x−1 x+1+C Övning 17

Övning 18 1 5ln

x+√

x²+1−¹₂ x+√

x²+1+2     

+C

Övning 19 y= ^x₃^3−x+C respektive y= ^x₃³+e^−x. Övning 20 a) y=Ce^−x2, b) y= ₁₀¹ ln x−₁₀₀¹ +Cx⁻¹⁰, c) y= ²

sin(2x)+cot(x) + ^C sin(x) Övning 21 a) y=1+e^−x3/3

b) y=1+2√ 1−x²

c) y= (1+x²)(¹₂(arctan x)²+1−^π₃₂²) d) y=^5x_x+⁺₂⁴

Övning 22 a) 1/√ x²+1 c) y= ₂^x+¹₂(√

1+x²−x)(ln(x+√

1+x²) +14)

Övning 23 a) y= ¹−e^x2

1+e^x2, b) y= ² 1+x²

Övning 24 a) y=Ce^x+x2/2−_{1, b)} y= ₁^C_+x−1. Notera att dessa är både linjära och separabla differentialekvationer!

Övning 25 Tricket här är att skriva y=xz.

a) ln y−^x_y=C

b) ln(x²+y²) −2 arctan^y_x=C, Övning 26 y= −(2x+1)e^−3x

Övning 27 λ = n²π²/`<sup>2</sup>, n = 1, 2, . . .. Lösningarna är y = C sin(<sup>nπx</sup><sub>`</sub> ).

Övning 28 λ = n²π²/`<sup>2</sup>, n = 0, 1, 2, . . .. Lösningarna är y = C cos(<sup>nπx</sup><sub>`</sub> ).

Övning 29 a) y=e^−3x(^x₂+⁵₄) +Ae^−x+Be^−2x b) y= −x(1+e^−x) +³₄+Ae^4x+Be^−x

Övning 30 En lösning på formen Ae^rxfinns om r6=1, 2. För r=1, 2 ges en partikulärlösning istället av xe^rx/(2r−₃).

Övning 31 a) y= −¹₄x cos(2x) +A cos(2x) +B sin(2x) b) y=¹₄(1+x sin(2x)) +A cos(2x) +B sin(2x) c) y=¹₄(1−x sin(2x)) +A cos(2x) +B sin(2x) Övning 32 y⁰⁰+2y⁰+1=xe^−x+1

Övning 33 y=e^x(x ln x−x+1) Övning 34 y(t) = ^e5₅⁻¹e^−5x−^e6−1

6 e^−6x. Det gäller att först lösa ekva- tionen i 0<t<1 för att få y(1).

Övning 35 y=A cos x+B sin x+x sin x+cos x ln(cos x).

Övning 36 a) Summan av koefficienterna är noll och y⁰⁰=y⁰= y då y=e^x. Med y=ze^xska w=z⁰lösa ekvationen

(x²−_2x)w⁰+ (x²−_4x+2)w=0

som har lösningen w = A(x²−_2x)e^−x. Från detta fås z =

−Ax²e^−x+B och alltså

y_h(x) =Be^x−Ax². b) Samma variabelbyte ger nu ekvationen

(x²−_2x)w⁰+ (x²−_4x+2)w= (x²−_4x+2) ⇔ (x²−_2x)w⁰+ (x²−_4x+2)(w−₁) =0

för w. Ur a) får vi därför att w−₁ = A(x²−_2x)e^−x vilket visar att

y=Be^x−Ax²+xe^x. Övning 37 kl 11.23

Övning 38 Efter 3 månader är doftkulans diameter 2 cm.

Övning 39 a) 9, b) 25, c) Se figuren nedan

0 100 200 300 400 500 600

0 10 20 30

t (min)

mängdsalt(kg)

Övning 40 N(t) =1+ ¹⁹ 19−18e^−0.01t Övning 41 8.6·₁₀⁻⁴_T.U.

Övning 42 Den nya differentialekvationen blir

N⁰(t) = −0.04·10⁻⁶(N−10⁶/2)², N(0) =750000, vars lösning är

N(t) = (¹

2+ ¹

0.04t+4)₁₀⁶_.

Vi får att N(20) = ¹⁷₂₄10⁶ ≈ 708 300. Asymptotiskt kommer den att nå nivån 500 000 invånare. Notera att under samma tid har 120 000 flyttat ifrån staden och 80 000 mördats!

Övning 43 v₀=bk.

Övning 44 1/c(t) =_1/c(₀) +kt

Övning 45 150(6⁵²−₅⁵2) 5·₆⁵2−₃·₅⁵2

≈_{18 g.}

Övning 46 Behållaren är tom då 10−_4t/2=0, alltså t=5 h, och då finns det 1200(1−_1/√

e) −400≈27 L vatten på golvet.

Övning 47 a) 2 h, b) t=2(1+2 ln 2) ≈3.2 h. c) 4 m³/h Övning 48 a) 8e^−t/200

b) 16(e^−t/400−e^−t/200)

c) Mängden giftigt material är som störst 400 ln 2 timmar efter att det börjat anlända till sjö 2.

Övning 49 a) N(t) =Keβe^−αtdär β=ln(N(0)/K). b) N⁰= −αln(^N_K)N.

Övning 50 y(π) =3

Övning 51 a) 100(1−_1.1e^−0.1) ≈0.45 kg.

b) 10 ln 3 timmar.

Övning 52 20 ln 6≈_{36 timmar.}

Övning 53 Härled ekvationen(VCT)⁰=RC_i−RCT.