5 10 15 20 25
20 10 10 20
Tillämpad Matematik III Övning ODE
Allmänt
Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller “snåla” sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta exempel.
Uppgifter
Typuppgifter i första hand Läsvecka 1
1. Verifiera allmänna lösningen a) 1 x y' y y C1 x 1 b) y'' y 0 y C1 t C2 t
c) 2 y' y x 1 y C1
1
2x x 3 d) y' 1 xyy2 ln y xy C1 e) 2x y2 2xyy' 0 x2 xy2 C1
2. Visa att y 14x4 2cos x 1 är en partikulärlösning till BVP y' x3 2sin x ODE
y 0 3 BV .
3. Visa att y 2 13x3 är en partikulärlösning till BVP y' x2y ODE
y 0 2 BV .
4. Integrera direkt a) y' 3x2 6x 5 b) y' 5x2 4x c) y' 4 x d) y' 1 2x2 e) y' tan x1 f) x g
5. Integrera direkt (BVP) a) y' x2 5 ODE
y 0 2 BV b) y' x2 x52 ODE
y 1 1 BV c) y' 3 2x3 ODE
y 1 2 BV
d) y' 4 x 2x ODE
y 0 3 BV e) x 2t sin t ODE
x 0 1 BV f) x tan t ODE
x 0 2 BV
6. Separabla a) y' xy b) y' xy c) y' yx d) y' 2x xy e) y' 2x x2 0 f) yy' x y'
7. Separabla a) y' 1 y2 x b) y' 1 x 1 y c) y' yx 14 1 d) xy' y2 1 e) y2x3 2y' f) y' 1 y2 x Läsvecka 2
8. Separabla a) x2y x2y' y2x y2 b) xyy' x1 y2 1 c) xy' y xy d) yy' tan x cos4 y22x e) xy'cos y sin y 0 f) y' x x y
9. Linjära a) y' 5 y x b) y' 3 y 0 c) xy' 5 y xy d) xy' 5 y x2 e) y' 2x xy f) sin x y' cos x y 12cos 2x 10. Linjära a) y'x y x3 b) 1 x y' y 1 x2 c) xy' 5 y x7 d) y' 2 y 5x
e) 1 x2y' xy 1 x2 f) y' y tan x sin x
11. Blandat a) y'x 1 1 y' b) y' xy x c) y' 1xy x12 d) x y 3 y' 4 y e) xy' y x3 3x2 2x f) y' x22y 0
12. Blandat a) y' 2 y 3x b) y' tan y tan x tan y c) y' 7 y x d) x3 1 y2y' 0 e) y' 2xy 23x4 f) y' 10 2x2 y 4
13. (BVP) a) y' xy x ODE
y 0 3 BV b) y' y cos y4x2 ODE
y 1 Π BV c) x 2x 22t 1 ODE
x 0 1 BV
Läsvecka 3
14. Lös (ODE) a) y'' 4 y' 3 y 0 b) y'' 4 y' 4 y 0 c) y'' 4 y' 5 y 0
15. Lös (ODE) a) y'' 4 y' 5 y x b) y'' 4 y' 5 y x2 c) y'' 4 y' 4 y sin x d) y'' 2 y' y x
16. Lös (BVP) med (BV) y 0 1
y' 0 0 a) y'' 2 y' 5 y x b) y'' 2 y' 3 y x2
17. Lös (BVP) med (BV) y 0 0
y' 0 1 a) y'' 2 y' 3 y 1 x b) y'' 2 y' y 1 c) y'' 2 y' 5 y x 18. Bestäm a och b så att ax bx x cos4t får partikulärlösningen a) 5sin4t b) a cos4t.
19. Bestäm x x samt x t då a 0 och a) x ax b) x ax c) x ax2 Läsvecka 4-5
20.För tillväxten av skogsmöss m t i Storskogen har man funnit modellen
BVP m' t 0.4m t ODE
m 0 100 BV
a Lös BVP . b Bestäm m 5 .
c Rita m t , t 0, 10 , i grått med Plot. Pynta axlarna.
21.Den klotformade magen på en snögubbe smälter så att hastigheten av volymändringen är proportionell mot dess area. Man observerade att diametern var 50 cm från början och att den efter 72 timmar var 40 cm.
a Formulera och lös BVP som bestämmer diametern d t . b När har snögubbens mage smält bort?
22.En iskub som glömts på stranden smälter så att volymändringen per tidsenhet är proportionell mot dess area. Antag att sidan var 3 cm från början och att den smält till 2 cm på 5 min.
a Formulera och lös BVP som bestämmer sidan s t . b Hur länge dröjer det innan den har smält bort?
23.En bakteriekultur dubbleras på 30 min. Antag att tillväxten vid varje tidpunkt är proportionell mot antalet bakterier.
a Formulera och lös BVP som bestämmer antalet bakterier b t . b Hur lång tid tar det innan bakteriekulturen har tiodubblats?
24.Den radioaktiva isotopen Thorium 234 sönderfaller med en hastighet som är proportionell mot kvarvarande mängd. Antag att 200 g reduceras till 164 g på 7 dagar.
a Formulera och lös BVP som bestämmer mängden m t . b Vilken halveringstid har isotopen?
c Hur lång tid tar det tills det finns endast10001 kvar av den ursprungliga mängden?
25.Kaffet i en kopp har temperaturen 90 C. Temperaturen sjunker från 90 C till 75 C på 5 min då rumstemperaturen är 20 C. Antag att Newtons avsvalningslag gäller.
a Formulera och lös BVP som bestämmer temperaturen T t . b Vad är temperaturen efter 15 min?
c Hur lång tid tar det tills kaffet är 50 C?
26.Ett järn placeras för avsvalning under rinnande vatten med temperaturen 10 C. Efter 15 s var temperaturen i järnet 120 C och 90 C efter 25 s. Antag att Newtons avsvalningslag gäller.
a Formulera och lös BVP som bestämmer temperaturen T t . b Hur varmt var järnet då avsvalningen inleddes?
27.Blod som medför ett ämne strömmar med flödet 3 cm3 s genom ett organ med volymen 125 cm3. Antag perfekt omrörning i organet, och att ämnets koncentration i det inkommande blodet är 0.4 g cm3. a Formulera och lös BVP som bestämmer koncentrationen c t i organet om koncentrationen var 0.1 g cm3från början.
b När når koncentrationen i organet 0.2 g cm3?
28.En sjö har volymen 105m3. Från en å rinner det in rent vatten med flödet 2 m3h. Vid en tidpunkt uppmättes koncentrationen kvicksilver i sjön till 4 mg m3. Anta perfekt omrörning samt att det finns ett utlopp från sjön så att dess volym är konstant över tiden.
a Formulera och lös BVP som bestämmer koncentrationen kvicksilver c t efter uppmätningen.
b Hur länge dröjer det innan koncentrationen har sjunkit till hälften?
29.En sjö har volymen 103m3. Från en å rinner det in rent vatten med flödet 2 m3 h och från en annan å med flödet 3 m3h vatten förorenat med kvicksilver 10 mg m3. Låt sjön vara helt ren från början. Anta perfekt omrörning samt att det finns ett utlopp från sjön så att dess volym är konstant över tiden. Låt Pb t mg m3vara mängden kvicksilver i sjön vid tiden t.
a Rita för hand en bild över situationen med sjö och åar vid godtycklig tidpunkt t.
b Formulera med hjälp ava BVP som bestämmer Pb t mg m3. c Lös BVP med DSolve.
d Rita Pb t , t 0, 1000 h i brunt med Plot. Pynta axlarna med lämplig text.
e Sök Pb t efter lång tid.
f När är koncentrationen Pb t lika med 3 mg m3i sjön? Använd NSolve.
30.En tank i form av en stående cylinder är helt fylld med vatten. Så öppnas en kran i botten så att vattnet strömmar ut med en hastighet som i varje ögonblick är proportionell mot kvadratroten ur vattendjupet , Torricellis lag.
a Formulera och lös BVP som bestämmer vattendjupet h t .
b Hur lång tid tar det att tömma tanken om den efter T s är tömd till hälften?
31.En tank i form av en rak cirkulär kon med spetsen vänd nedåt är helt fylld med vatten.
En kran i spetsen öppnas så att vattnet strömmar ut med en hastighet som i varje ögonblick är proportionell mot vattendjupet.Ledning:Vkon 1
3Πr2h.
a Formulera och lös BVP som bestämmer vattendjupet h t .
b Hur lång tid tar det att tömma tanken om den efter T s är tömd till halva höjden?
32.En vattenho avsedd för djurhållning är avbildad till höger. Plötsligt springer den läck i botten så att vattnet strömmar ut med ett flöde som i varje ögonblick är proportionellt mot kvadratroten ur vattendjupet, Torricellis lag. I detta fall visar sig proportionalitetskonstanten vara 0.6 m5 2 h.
a Formulera och lös BVP som bestämmer vattendjupet h t . b Hur lång tid tar det för en full vattenho att tömmas?
33.En vattentank har formen av en stående cylinder med radien 1 m och höjden 3 m. Tanken fylls på genom en i locket placerad ventil, som är så konstruerad att volymflödet genom den är proportionellt mot avståndet ner till vattenytan. Proportionalitetskonstanten ärΠm2min.
a Formulera och lös BVP som bestämmer vattendjupet h t . b Hur lång tid tar det att fylla en tom tank till hälften?
34.Grus forslas på ett transportband med hastigheten 4 m3 h. När gruset faller av bildas på marken en grushög i form av en rak cirkulär kon, där höjden är dubbelt så stor som basens diameter.Ledning:Vkon 1
3Πr2h.
a Formulera och lös BVP som bestämmer konens höjd h t . b Hur länge dröjer det innan konens höjd är 3 m?
35.I en verkstad droppar det olja på golvet så en pöl bildas. Det droppar med jämnt flöde 2 liter h. Avdunstningen antas vara proportionell mot oljemängden i pölen. Om pölen innehöll 3 liter skulle avdunstningen vara 0.4 liter h.
a Formulera och lös BVP som bestämmer oljepölens volym V t . b Hur mycket olja finns i pölen 4 h efter det att det började droppa?
c Hur mycket olja finns efter mycket lång tid?
36.Klockan 12.00 en kall vinterdag går strömmen i Svenssons eluppvärmda villa.
Temperaturen inomhus sjunker då från 20 C till 15 C på 9 h. Antag att temperaturen ute är konstant –12 C och att avsvalningen följer Newtons avsvalningslag.
a Formulera och lös BVP som bestämmer T t i villan.
b Är det risk att vattenledningarna fryser om strömmen inte kommer tillbaka förrän klockan 12.00 nästa dag?
37.En patient tillförs glukos blodsocker till blodet genom så kallat dropp med flödet 12 g h. Glukosen omsätts ut i kroppen med en hastighet som är proportionell mot aktuell mängd glukos i blodet med proportionalitetskonstanten 3 h 1. Läkaren är intresserad av mängden glukos s t i blodet.
a Låt mängden glukos vara 2 g från början och formulera modellen som ett BVP . b Lös BVP .
c Hur länge dröjer det innan glukosmängden har ökat till 3 g?
d Vilken är den högsta mängd glukos patienten kan ha i blodet enligt denna modell?
38.Vid början av år 2000 var världens folkmängd till 6.1 106. För att uppskatta folkmängden under början av det nya seklet antog man att tillväxthastigheten är proportionell mot aktuell folkmängd. Proportionalitetskonstanten var då 1.3 per år, men förväntades avta linjärt till 1.1 år 2010.
a Formulera och lös BVP som bestämmer folkmängden f t . b Bestäm med denna modell folkmängden vid början av 2010.
39.Enligt en viss teori skulle det vid universums skapelse funnits lika stora mängder av de två uranisotoperna U235och U238. Sönderfallshastigheten för dessa är vid varje tidpunkt proportionell mot kvarvarande mängd och halveringstiderna ärΤ235 0.75 miljarder år respektiveΤ238 4.5 miljarder år. Vid en uppmätning idag finner man att det finns 140 gånger så många U238 atomer som U235atomer. Hur gammalt är universum enligt denna teori?
Läsvecka 6-8
40.En boll släpps från 20 m. Försumma luftmotståndet och använd Newton.
a Formulera och lös BVP som bestämmer bollens läge y t . b Bestäm bollens hastighet som funktion av tiden t.
c När når den marken? Med vilken hastighet?
41.En boll nickas iväg rakt upp med farten 10 m s. Försumma luftmotståndet och använd Newton.
a Formulera och lös BVP som bestämmer bollens läge y t . b Bestäm bollens hastighet som funktion av tiden t.
c Hur högt når den, så kallad stighöjd?
d Hur mycket är klockan då, så kallad stigtid?
e När kommer den tillbaka och med vilken hastighet?
42.En bil med hastigheten 20 m s 72 km h accelererar plötsligt med konstant acceleration14m s2under 200 m. Försumma luftmotståndet.
a Formulera och lös BVP som bestämmer bilens läge x t . b Ta hjälp av kedjeregeln för att skriva om BVP så att x x . c Lös BVP .
d Bestäm hastigheten efter accelerationen. Rita e Gör omc–d genom att lösaa .
43.En sportbilstillverkare begränsar prestandan för en av sina modeller genom att vid full gas styra bränsletillförseln så att accelerationen i varje ögonblick är proportionell mot skillnaden mellan önskad toppfart 80 m s 288 km h och aktuell fart med proportionalitetskonstanten 0.1 s 1. Försumma luftmotståndet och starta från stillastående med gasen i botten.
a Formulera och lös BVP som bestämmer bilens läge x t . b Vilken fart har bilen efter 20 s?
c Hur långt har den kört då ?
d Hur lång tid tar det till 50 m s 180 km h och hur långt har den då kört?
44.För att utreda vilken skidvalla som är bäst genomför många skidåkare så kallade glidprov. Med känd utgångshastighet mäts då sträckan till stillastående. Vid ett försök gav en utgångshastighet på 6 m s en glidsträcka på 30 m. Sök friktionskoefficienten Μom vi antar att den enda kraften som verkar på åkaren i rörelseriktningen är den bromsande friktionskraften som är proportionell mot såvälΜsom ekipagets tyngd. Använd Newtons accelerationslag mx F.
45.Under en fotbollsmatch sparkas bollen iväg med farten v0 25 m s och vinkelnΘ 30 . Låt g 10 m s2och försumma luftmotståndet. Hur långt och högt når bollen,
samt hur mycket klockan är då? Rita banan x
y
v0
Θ
46.Under samma match kom två spelare att prata om farten på bollen vid en inspark. De uppskattar längden 60 m och restiden 3 s till nedslagsplatsen. Hjälp dem att bestämma utgångsfarten v0och elevationsvinkelnΘ. Låt
g 10 m s2och försumma luftmotståndet. 102468 10 20 30 40 50 60 x
y
v0
Θ
47.En boll som väger 0.4 kg sparkas iväg med farten v0 25 m s och vinkelnΘ 45 . Låt g 10 m s2 och luftmotståndet vara proportionell med c mot farten i både x– och y–riktningen. Låt c variera enligt figur.
a Formulera och lös BVP med DSolve.
b Bestäm restiden till dess bollen tar mark. Rita banan.
0 10 20 30 40 50 60 x t
0 5 10 15 20 y t
c 0 c 0.05 c 0.1 c 0.2
48.Visa att om en boll sparkas iväg med fartan v0så är avståndet till nedslagsplatsen maximal omΘ 45 .
xmax
x y
v0
Θ
49.Om man sparkar iväg en boll med fartan v0
och optimal elevationsvinkelΘlandar bollen vid x L. Hur långt når bollen om man sparkar iväg den med samma fart i en hall med takhöjden L8?
L x
y
v0
Θ
50.Studera läget för en komet då t 0
BVP
x' t x t y t 0 ODE
y' t x t y t 2t 7sin 2t ODE
x 0 y 0 1 BV
a Lös BVP med DSolve.
b Rita banan, för t 0, 10 . c Var stannar den?
d Resan består av accelerationer och retardationer.
I vilket tidsintervall sker den första accelerationen?
Rita och studera kometens fart 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x t 0.2
0.4 0.6 0.8 1.0 y t
Fördjupningsuppgifter i andra hand eller inte alls
51. Om y1 x och y2x är lösningar till en linjär (ODE) så är även y1x y2x en lösning. Detta gäller inte för olinjära differentialek- vationer, exempelvis y'' x y' x y x 0.
a) Vad gör den olinjär?
b) Låt y1x och y2x vara lösningar och sätt in y1 x y2 x och visa att det inte är en lösning. Förenkla så långt som möjligt, utnyttja att y1x och y2x är lösningar. Vad blir kvar i vänsterledet?
c) Visa att y1x 2tan x och y2x 2 är lösningar.
d) Visa att y x y1 x y2 x 2tan x 2 inte är en lösning, och att det som blir kvar efter förenkling stämmer precis med det du fann under b).
