UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin

T.fn. 471 3207

Prov i matematik

Datavetenskapligt program Introduktionskurs i matematik Ovningstenta ¨

Skrivtid: Valfri.

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Manuella skrivdon.

Den maximala po¨ angen f¨ or varje uppgift st˚ ar inom parentes. F¨ or full po¨ ang p˚ a en uppgift ska l¨ osningen vara v¨ al motiverad och l¨ asligt skriven. Maximal po¨ ang p˚ a tentan ¨ ar 32, f¨ or godk¨ ant kr¨ avs minst 15 po¨ ang.

1. L˚ at A = (

1, ( √

3 − 1)

√ 3 − 1

,

1 3

+ √

3 2

)

⊂ R. Avg¨or om √ 3 − 1

6 tillh¨ or A. [3p]

2. L˚ at z och w vara tv˚ a nollskilda komplexa tal. Beskriv deras geometriska f¨ orh˚ allande i det komplexa talplanet (och rita figur!) om: a) |z − w| = 5 [2p] b) w = iz [2p]

3. L˚ at A och B vara tv˚ a m¨ angder. Definiera operationerna a) A ∩ B och b) A × B och ge exempel i b˚ ada fallen. [4p]

4. L˚ at z = (1 − i)

. Best¨ am arg z (i radianer) och |z|. Skriv z p˚ a formen a + bi. [3p]

5. L˚ at L: N r {0} → N definieras rekursivt genom

L =

( 0 om n = 1

1 + L(

j n 2 k

) annars.

Ber¨ akna L(84) och (L ◦ L)(400). [3p]

6. Skriv det decimala talet 739 p˚ a a) bin¨ ar form [2p] b) hexadecimal form [1p]

7. Ange alla m¨ ojliga v¨ arden p˚ a cos v om sin v = 4 5 . [3p]

8. L¨ os ekvationen 4 sin 5x = √

4. (Svara i radianer) [3p]

9. L¨ os ekvationen sin x cos x

√ 2 = 1

4 . (Svara i radianer) [3p]

10. Skriv upp m¨ angden av j¨ amna naturliga tal och m¨ angden av naturliga tal som ¨ ar delbara med tre. Konstruera en bijektiv funktion mellan m¨ angderna.

Lycka till!

Svar till tentamen i Introduktionskurs i matematik Ovningstenta ¨

4. z = 1/16.

7. cos v = ±3/5.

9. x = π/8 + πn eller x = 3π/8 + πn, n ∈ Z.

2