Kreativt matematiskt grundat resonerande
och effekter av arbetsminne, flytande
intelligens och Need for cognition
Josefin Stålnacke och Marianne Warme
Ht 2016
Examensarbete, 30 hp Psykologprogrammet, 300 hp Handledare: Bert Jonsson
Ett stort tack till vår handledare Bert Jonsson som tålmodigt
väglett oss genom examensarbetet. Vi vill även tacka
forskningsgruppen för inspiration och möjlighet att delta vid
KREATIVT MATEMATISKT GRUNDAT RESONERANDE OCH EFFEKTER AV ARBETSMINNE, FLYTANDE INTELLIGENS OCH NEED FOR COGNITION
Josefin Stålnacke & Marianne Warme
Tidigare forskning har visat att kreativt matematiskt grundat resonerande (CMR) är en mer effektiv metod än algoritmiskt resonerande (AR) för att lära sig matematik. Kognitiv förmåga samt personlighet har också visats påverka inlärningen. Syftet med denna studie var att jämföra effekten av två olika matematiska inlärningsmetoder och undersöka deras förhållande till kognitiv förmåga samt personlighetsdraget Need for cognition (viljan att kognitivt elaborera). Två grupper bestående av gymnasieelever (N = 132) fick öva med två olika metoder, AR eller CMR.. En vecka senare genomförde båda grupperna samma matematiktest. Resultaten visade att de som övat med CMR presterade signifikant bättre än de som övat med AR. Kognitiv förmåga predicerade resultat på matematiktestet i båda grupperna. Resultaten är linje med tidigare forskning. Need for cognition predicerade enbart testresultat i CMR-‐‑gruppen.
Previous studies have shown that creative mathematical grounded reasoning (CMR) is a more effective method than algoritmic reasoning (AR) when it comes to learning mathematics. Moreover cognitive ability and personality have been shown to impact on learning. The aim of the present study is to replicate previous studies where CMR, and the relation to cognitive ability, have been investigated, and to examine the impact of the personality trait Need for cognition (an individual’s tendency to engage in and enjoy effortful thinking) for learning. Two groups of upper secondary school pupils (N = 132) practiced with two different methods, CMR and AR. One week later both groups took the same mathematical test. The results showed that the CMR-‐‑group performed significantly better than the AR-‐‑group. Cognitive ability predicted results on the mathematical test in both groups. The results is in line with previous studies. Need for cognition only predicted test results in the CMR-‐‑group.
Sedan 2003 har svenska elevers matematikresultat i PISA-‐‑mätningar sjunkit. Från att ha legat i det övre skiktet, befinner sig numera de svenska prestationerna på en nivå som är signifikant lägre än genomsnittet för övriga OECD-‐‑länder (Skolverket, 2013). PISA-‐‑resultatet har väckt stor uppståndelse i media och lett till att eventuella orsaker till nedgången har diskuterats. En fråga som är aktuell är huruvida det sätt matematik undervisas på idag är det sätt som bäst bidrar till matematisk förståelse.
En fördjupad studie av PISA-‐‑resultatet från 2012 visar att en mer krävande matematikundervisning leder till förbättrade prestationer (OECD, 2016). Svenska elever upplever i lägre utsträckning än elever från andra OECD-‐‑länder att de får krävande undervisning. Målet med matematikundervisning är att eleven ska utveckla en matematisk kompetens, det vill säga att eleven ska förstå och kunna använda sig av matematik för att lösa olika sorters problem (Niss, 2007). Eleven ska lära sig matematiska koncept och strategier, kunna resonera sig fram till och konstruera lösningsmetoder samt använda dessa vid den matematiska problemlösningen (Hiebert, 2003). Matematisk förståelse under skoltiden har visat sig vara associerat med senare framgångar i livet (Ritchie & Bates, 2013) samtidigt som bristande matematiska förmågor kan ha negativa konsekvenser för individen (Parsons & Bynner, 1997; Rivera-‐‑Batiz, 1992). Tidigare forskning har visat att matematikuppgifters design och hur eleven resonerar sig fram till lösningar på matematiska uppgifter har betydelse för matematisk inlärning (Lithner, 2008). Det är därför viktigt att undersöka hur matematikundervisning sker i Sverige idag samt
om det finns alternativa metoder för att främja matematisk inlärning. Studier har också visat att kognitiva förmågor (Alloway, 2009) samt olika personlighetsdrag kan påverka inlärning (Chamorro-‐‑Premuzic & Furnham, 2003). Om kognitiva förmågor och personlighetsdrag påverkar inlärning blir det också viktigt att ta hänsyn till deras betydelse vid utformning av matematikundervisningen.
Granskningar av den svenska matematikundervisningen har visat att det typiska sättet att lära ut matematik i skolböcker och på lektioner är genom att presentera ett problem tillsammans med ett förslag på en lösning (Boesen, Helenius, Lithner, Bergqvist, Bergqvist, Palm & Palmberg, 2014; Lithner, 2004). Lösningsförslaget ges ofta i form av algoritmer såsom regler, formler, metoder eller exempeluppgifter som sedan ska kunna användas för att lösa de uppgifter som presenteras (Lithner, 2008).
Hädanefter kommer olika typer av lösningsförslag benämnas algoritmer. Att öva och lära matematik med givna algoritmer har fördelen att det snabbar på lösandet av en uppgift samt att risken för felberäkningar minskar när det finns ett fördefinierat sätt på hur uppgiften kan lösas (Haavold, 2011). Huruvida inlärning med givna algoritmer kan ge en djupare förståelse för matematik har diskuterats. En invändning är att uppgifter presenterade på detta sätt gör att problem blir lösta, men utan djupare reflektion eller förståelse för de matematiska koncepten i uppgiften (Boesen, 2006; Hiebert, 2003; Haavold, 2011; Lithner, 2008). Lithner (2008) menar att det gängse undervisningssättet idag, där algoritmer ges, bidrar till utantillärande, det vill säga att eleven upprepar tills den kommer ihåg, snarare än förstår meningen i det som görs. Utantillärande kan vara bra när det gäller att lära sig fakta såsom multiplikationstabellen (Caron, 2007) men när det gäller att få en djupare förståelse för matematiska koncept och egenskaper visar forskning att det är ineffektivt (Hiebert, 2003). När fakta bara lärs in utan djupare reflektion resulterar det i att eleven inte klarar av att lösa problem som avviker. Enligt Brousseau (1997) måste elever för att lära sig matematik uppmuntras till att anstränga sig för att själva komma fram till lösningar på matematiska problem. Han menar att elever oftast löser uppgifter med metoder de känner till. Om eleven får en given lösningsmetod så kommer eleven mest troligt att lösa problemet genom att kopiera och använda den givna lösningsmetoden. Risken blir då att eleven inte behöver anstränga sig för att förstå de matematiska koncepten eller egenskaperna i uppgiften och därför inte heller lär sig dessa.
Ramverk för matematiskt resonerande
Lithner (2008) har skapat ett ramverk för matematiskt resonerande där han, baserat på empiriska studier, definierar två olika typer av matematiska resonemang: imitativt resonerande respektive kreativt resonerande. Imitativt resonerande innebär ett resonerande där eleven försöker lösa uppgifter genom att kopiera lösningsexempel från textböcker, använda sig av tidigare lösningar eller genom att memorera algoritmer. Det är ett sådant resonerande som han menar är det som främjas av hur matematikundervisning sker idag och ofta leder till att eleven inte når någon djupare förståelse för matematiska koncept och egenskaper.
Lithner gör skillnad på olika sorters imitativt resonerande och det som är intressant för föreliggande studie är algoritmiskt resonerande (AR). Motsatsen till det imitativa resonerandet är det kreativa resonerandet som benämns kreativt matematiskt
grundat resonerande (CMR), som han menar är mindre förekommande i undervisning men mer gynnande för inlärning. Lithner menar vidare att utformning på uppgift har betydelse för både vilket resonerande eleven kommer att använda sig av och i förlängningen för vilken inlärning som kommer att ske. I denna studie kommer vi att kalla uppgifter som är tänkta att främja algoritmiska resonemang, det vill säga där algoritmer finns givna i uppgiften, för AR-‐‑uppgifter och uppgifter som främjar kreativt matematiskt grundade resonemang, där ingen algoritm finns given, för CMR-‐‑uppgifter.
Algoritmiskt resonerande
Det algoritmiska resonerandet (AR) liknar det vid utantillärande och kännetecknas av att eleven tar hjälp av algoritmer för att lösa ett problem. Eleven använder sig i ett sådant resonerande av en ihågkommen eller given algoritm och behöver inte reflektera över de matematiska egenskaperna i uppgiften. Att eleven enbart behöver plocka fram en tidigare känd eller inövad algoritm för att få fram rätt svar gör att det endast är ett slarvfel som kan leda till ett inkorrekt svar. AR är i sig en pålitlig metod för att lösa problem men det förutsätter att eleven vet exakt vad som ska göras och varför algoritmen är lämplig att använda för att lösa problemet. En algoritm har som tidigare nämnts fördelarna att den sparar tid och minskar risk för felberäkningar. Lithner menar dock att AR ofta grundar sig i en bristande förståelse för varför en uppgift löses på ett visst sätt och sällan leder till försök till förståelse för de matematiska egenskaperna i uppgiften. Om en elev bara behöver memorera och återge en algoritm för att lösa en uppgift är det just det som eleven kommer göra. Han menar alltså, på samma sätt som Brousseau (1997) och Hiebert (2003), att elever har en tendens att endast lära sig det som de behöver lära sig, vilket här blir att memorera eller kopiera.
Kreativt matematiskt grundat resonerande
Ett kreativt matematiskt grundat resonerande (CMR) innebär att eleven själv konstruerar en lösning och antas leda till en större förståelse för grundläggande matematiska koncept. CMR främjas då inget lösningsförslag eller formel ges i uppgiften eller har kunnat memoreras då problemet som presenteras är nytt för eleven. Eleven behöver med andra ord konstruera en ny lösningssekvens alternativt rekonstruera en gammal. Konstruerandet ska bygga på rimliga argument och tillämpandet av vald strategi ska motivera varför slutsatsen som dras är rimlig.
Eleven måste basera sitt resonerande på befintlig kunskap om matematiska koncept och sedan fortsätta utveckla sitt resonerande utifrån sina tidigare matematiska kunskaper för att själv formulera en ny regel eller formel för att lösa det nya problemet.
Skillnader mellan algoritmiskt-‐‑ och kreativt matematiskt grundat resonerande Tidigare studier som studerat skillnader mellan matematikuppgifter som är tänkta att främja AR eller CMR har visat att de som övat med CMR-‐‑uppgifter erhåller högre resultat i testsituationer än de som övat med AR-‐‑uppgifter oavsett testuppgifternas utformning (Jonsson et al., 2014; Jonsson et al., 2016; Karlsson Wirebring, Lithner, Jonsson, Liljekvist, Norqvist & Nyberg, 2015). Jonsson et al. (2014) kunde i sin studie se att de elever som övade med CMR-‐‑uppgifter hade det svårare under övningen
men att de presterade bättre på test medan det motsatta gällde för AR-‐‑gruppen, som presterade bättre under övning än vid senare test. Samma studie gav stöd för att elever vid test, oavsett kognitiv förmåga, gynnas av att ha övat med CMR-‐‑uppgifter.
Att övning med CMR-‐‑uppgifter predicerar högre resultat på test har även setts i en studie av Karlsson Wirebring et al. (2015). De kunde även genom hjärnavbildning via funktionell magnetkamera visa att de som övat med CMR-‐‑uppgifter hade lägre grad av aktivering i frontalloben såväl som angular gyrus än de som övat med AR-‐‑
uppgifter. Frontalloben är ett område förknippat med högre kognitiva funktioner.
Angular gyrus är placerad i parietalloben och förknippas med minnesframplockning av matematiska fakta (Zamarian, Ischebeck, & Delazer, 2009), exempelvis en väl inövad gångertabell. Karlsson Wirebring et al. (2015) argumenterade att de som övat med AR-‐‑uppgifter dels behövde anstränga sig mer för att hämta information från minnet samt använde sig av arbetsminnet i högre grad än gruppen som övat med CMR-‐‑uppgifter vid testningen. Dessa resultat är i linje med Niss (2007) argument att det är viktigt att elever måste kämpa för att lösa matematiska uppgifter för att lära sig. Idén om att eleven själv måste vara delaktig i delar av problemlösningen för att lära sig matematik har även lyfts fram av andra (Hiebert &
Grouws, 2007; Jonsson, Norqvist, Liljekvist & Lithner, 2014; Jonsson, Kulakzis, Lithner, 2016; Lithner, 2008). Jonsson et al. (2014) argumenterade att elever som själva behövt anstränga sig för att hitta en lösningsmetod redan vid övning, presterade bättre vid uppföljande test en vecka senare, än elever som fått använda en föreslagen metod eller formel vid övningen. Resultatet analyserades vidare i en senare studie där Jonsson et al. (2016) undersökte om resultatet från Jonsson et al.
(2014) huvudsakligen berodde på den kognitiva ansträngning som CMR-‐‑uppgifter kräver, eller om en orsak kunde vara att övnings-‐‑ och testuppgifterna liknade varandra. Studien visade att ansträngningskomponenten i högre grad förklarade resultatet och det oavsett om övningsuppgifter och testuppgifter liknade varandra.
Även andra typer av studier har visat att inlärning ökar om eleven fått anstränga sig.
Pyc och Rawson (2009) kunde i en studie om minnesprocesser se att elever lärde sig bättre om det var tvungna att anstränga sig för att hämta information i minnet än när informationen fanns lättillgänglig. Björk och Björk (2011) menade vidare att övning med krävande uppgifter förbättrar förmåga till senare återgivning från minnet samt överföring av färdigheter. Resultaten skulle kunna tolkas som att en inlärningssituation som kräver mer ansträngning av eleven leder till djupare inkodning och i förlängningen en bättre inlärning och förståelse. Se Björk och Björk (2011) för liknande argument.
Kognitiv förmåga -‐‑ arbetsminne och flytande intelligens
Neurovetenskapliga studier har visat ett samband mellan kognitiv förmåga och akademiska framgångar (Alloway, 2009; Primi, Ferrão, & Almeida, 2010; Swanson
& Alloway, 2012). De kognitiva förmågor som framförallt har studerats i förhållande till matematik är arbetsminne och flytande intelligens. Arbetsminnet är en kognitiv förmåga som enligt en studie av Alloway och Alloway (2010) var den variabel som i högst utsträckning predicerade framtida skolresultat. Elever med uttalade svårigheter i matematik presterar överlag sämre på arbetsminnestester än elever utan samma problematik (Andersson & Lyxell, 2006; Swanson & Sachse-‐‑Lee, 2001;
Passolunghi & Siegel, 2004). I en studie av Gathercole, Woolgar, Kievit, Astle, Manly
och Holmes (2016), där en grupp barn i åldrarna 5-‐‑15 med uppmärksamhets-‐‑, minnes-‐‑ och inlärningssvårigheter ingick, framkom det att 75 % av barnen som fick låga poäng på matematiska tester även presterade motsvarande klart under genomsnittet eller lägre på arbetsminnestester. Arbetsminne kan beskrivas som förmågan att simultant bearbeta och lagra information och är av stor betydelse för inlärning, resonerande och språkförståelse (Baddeley, 2010). Arbetsminnet består av fyra enheter: den centrala exekutiven, det visuospatiala skissblocket, den fonologiska loopen och den episodiska bufferten, se Figur 1. Den centrala exekutivens huvudsakliga uppgift är att kontrollera de övriga, underställda enheterna samt att styra vår uppmärksamhet. Den fonologiska loopen bearbetar auditiv information och det visuospatiala skissblocket bearbetar visuella stimuli. Den episodiska buffertens uppgift är att integrera information från de underställda arbetsminnesenheterna till långtidsminnet. Informationen bildar sedermera en unik episodisk representation.
Figur 1. Modell av arbetsminnet.
Flytande intelligens (gf) avser bland annat förmågan att kunna hantera och lösa nya problem oberoende av tidigare inlärd kunskap. Precis som arbetsminnet predicerar flytande intelligens matematiska framgångar i skolan (Primi et al., 2010; Taub, Keith, Floyd, & McGrew, 2008). I en studie där den kognitiva förmågans betydelse för matematisk inlärning undersöktes (Jonsson et al., 2014), predicerade arbetsminne och flytande intelligens signifikant deltagarnas testresultat på matematiska uppgifter. Det råder delade meningar om förhållandet mellan flytande intelligens och arbetsminne; enligt studier som ingick i en metaanalys utförd av Ackerman et al. (2005) finns det ett samband mellan konstrukten, men korrelationen dem emellan varierar i de olika studierna och är inte är tillräckligt stark för att konstrukten ska kunna ses som identiska.
Personlighet -‐‑ Need for cognition
Akademiska framgångar är inte enbart beroende av kognitiva förmågor;
personlighetsdrag har även lyfts fram som en avgörande faktor för studieresultat (Chamorro-‐‑Premuzic & Furnham, 2003). Need for cognition (NFC) är ett stabilt personlighetsdrag som innebär viljan att kognitivt elaborera och njuta av kognitivt krävande aktiviteter. NFC har en predicerande effekt på akademiskt utfall även efter kontroll av variabeln kognitiv förmåga (Cacioppo, Petty, Feinstein & Jarvis, 1996).
Individer med högt NFC anpassar sin prestation i högre utsträckning till uppgifters svårighetsgrad än individer med lågt NFC (Steinhart & Wyer, 2009). Utmärkande för individer med högt NFC är intellektuell nyfikenhet och en tendens att aktivt söka efter kunskap och reflektera över information för att förstå samband och skeenden i omvärlden. De med lågt NFC förlitar sig i högre utsträckning på kognitiv heuristik eller kända personer för att begripliggöra sin omgivning (Cacioppo et al., 1996).
Flera studier visar ett signifikant samband mellan NFC och nyfikenhet samt nyfikenhetsdelen av Big Five-‐‑dimensionen Öppenhet (Sadowski & Cogburn, 1997;
Olson, Camp & Fuller, 1984; Fleischhauer, Enge, Brocke, Ullrich, Strobel & Strobel, 2010).
Syfte
Om elever lär sig bättre genom att själva få konstruera lösningar är det av vikt att detta inslag integreras i dagens matematikundervisning. Det är också nödvändigt att använda en metod som är effektiv oavsett kognitiv förmåga. Syftet med föreliggande studie är att jämföra effekten av inlärningsmetoderna CMR och AR, samt undersöka vilken betydelse kognitiva förmågor såsom arbetsminne och flytande intelligens har för respektive övningsmetod. Vi vill också undersöka om NFC påverkar inlärning. Det finns inga tidigare studier på samband mellan CMR och NFC.
Utifrån resultat från tidigare studier har följande hypoteser formulerats:
(1)Deltagare i CMR-‐‑gruppen förväntas erhålla högre resultat på de matematiska testerna än deltagare från AR-‐‑gruppen.
(2) Deltagare med högre resultat på test av arbetsminne och flytande intelligens förväntas få bättre resultat på de matematiska testerna, oberoende av metod.
(3) Deltagare med högt NFC förväntas prestera bättre på de matematiska testerna, oberoende av metod.
Metod Design
Studien har använt en mellangruppsdesign där deltagande gymnasieelever randomiserades i två oberoende grupper. Vid prövning av hypotes 2 och 3 har en korrelationsdesign använts.
Deltagare
Deltagarna rekryterades i samråd med rektorn på den deltagande gymnasieskolan.
Sju gymnasieklasser deltog (tre naturvetenskapliga klasser, tre klasser från teknikprogrammet och en klass från barn-‐‑ och fritidsprogrammet), samtliga gick i årskurs ett och medelåldern var 16,7 år med en standardavvikelse på 0,75 år.
Deltagande var frivilligt och belönades med tre biobiljetter. I projektet som helhet deltog 72 kvinnor och 116 män. Endast de deltagare som hade genomfört Raven’s Advanced Progressive Matrices (Ravens), Operation span (Ospan), Mental Effort Tolerance Questionnaire (METQ) och samtliga matematiktester, inkluderades i
föreliggande studie (utförligare beskrivning av testerna nedan). Totalt uppfyllde 132 elever, 54 kvinnor och 78 män, inklusionskriterierna.
Procedur och material
Data samlades in under en period av tre månader under hösten 2015. För att försäkra att deltagarna hade jämförbara matematiska förkunskaper påbörjades datainsamlingen så nära terminsstart som möjligt. Bakgrundsvariabler såsom kön och ålder samlades in och kognitiva förmågor såsom exekutiva funktioner, arbetsminneskapacitet, flytande intelligens och episodiskt minne mättes. Även data som skulle fånga personlighetsdragen NFC och Grit insamlades. Tabell 1 ger en översikt av de psykometriska instrument, utöver matematikuppgifterna, som användes vid insamlandet.
Tabell 1. Översikt av använda psykometriska instrument vid datainsamling.
Instrument Syfte för användning
Operation span (Ospan) Mätning av arbetsminne
Raven’s Advanced Progressive Matrices (Ravens)
Mätning av flytande intelligens (icke – verbalt resonerande)
Modified associative learning Mätning av episodiskt minne
Rutan Mätning av visuospatialt spann
Siffrorna Mätning av fonologiskt spann
Stroop, Flanker Mätning av responsinhibition
Bokstaven, Håll kollen Mätning av uppdatering
Plus och minus Mätning av skiftning
Grit short scale Självskattning av personlighetsdraget Grit
(uthållighet)
Mental Effort Tolerance Questionaire (METQ) Självskattning av personlighetsdraget Need for cognition (NFC)
Då föreliggande studie enbart inkluderade Ospan (arbetsminne), Ravens (flytande intelligens) och METQ (NFC) beskrivs endast dessa instrument utförligare nedan.
Operation span
Ospan (Unsworth, Heitz, Schrock & Engle, 2005) är ett komplext arbetsminnesmått med god test-‐‑retest-‐‑reliabilitet ( .88) (Klein & Fiss, 1999), god intern konsistens (medelvärde på Cronbachs α = .75) och som korrelerar med andra arbetsminnesmått (Conway, Cowan, Bunting, Therriault, & Minkoff, 2002). Testet är datoriserat och innebär att deltagarna ska lösa enkla matematiska uppgifter samtidigt som de ska försöka att komma ihåg en bokstav som dyker upp efter att en matematisk uppgift har besvarats. Direkt efter att bokstaven presenterats följer ytterligare en matematisk uppgift. De matematiska uppgifterna och de följande bokstäverna presenteras i en serie bestående av två till sju items. Efter varje serie ska deltagaren återge vilka bokstäver de sett samt i vilken ordning de visades. I studien har antalet korrekt återgivna bokstäver poängsatts.
Ravens matriser
Ravens är ett mått på icke-‐‑verbal problemlösning eller så kallad flytande intelligens (gf) (Raven & Raven, 1991). Raven’s Advanced Progressive Matrices omfattar 36
frågor med stigande svårighetsgrad. Varje fråga innehåller en matris bestående av 3
× 3 rutor med geometriska mönster. Rutan längst ned till höger är tom och deltagarens uppgift är att färdigställa mönstret genom att välja ett av åtta möjliga alternativ. I denna studie har deltagarna fått 24 minuter på sig att besvara sex övningsuppgifter och 18 ordinarie uppgifter.
Mental Effort Tolerance Questionnaire
Mätning av NFC genomfördes med den korta versionen av självskattningsformuläret Mental Effort Tolerance Questionnaire (METQ). METQ skapades av Dornic, Ekehammar och Laaksonen (1991) och är en omarbetad och svensköversatt version av självskattningsformuläret Need for cognition Scale (NCS).
NCS konstruerades av Cacioppo, Petty och Kao, vilka sedermera reviderade samma instrument (Cacioppo, Petty & Kao, 1984). Syftet med METQ var att mäta viljan att kognitivt elaborera samt nivån av tolerans för mental ansträngning (Dornic et al, 1991). I en faktoranalys av den ursprungliga versionen av METQ framträdde en dominant faktor som samtliga påståenden laddade högt på, något som även framkom i Cacioppos & Pettys (1982) studie. Instrumentets split-‐‑half-‐‑reliabilitet ( .79) och interna konsistens (Cronbachs α = .89) var hög. För att öka den interna konsistensen, stärka faktorladdningen och minska antalet frågor, exkluderades 10 påståenden vars korrelation med totalpoängen var lägre än .40. De kvarvarande 30 påståendena hade en fortsatt hög intern konsistens (Cronbachs α = .90). Formuläret består av 30 påståenden som besvaras med en femgradig Likertskala, från 1 = instämmer absolut inte, till 5 = instämmer helt. 12 av påståendena fångar positiv inställning till tänkande och de resterande 18 påståendena fångar negativ inställning till samma fenomen. En studie av Stenlund och Jonsson (2016) visade att det förkortade instrumentet har god test-‐‑retest-‐‑reliabilitet med en genomsnittlig intraklasskorrelation om .88 ( .83 – .92) och ett Cronbachs α på .88 (George &
Mallery, 2003). Sammantaget visar Stenlund och Jonsson (2016) att den korta versionen av METQ har godtagbar reliabilitet och validitet.
Matematikuppgifter
Matematikuppgifterna som användes i studien var utformade så att eleverna, oavsett övning med AR-‐‑uppgifter eller CMR-‐‑uppgifter, skulle (1) nå samma kunskap, (2) lösningsmetoderna skulle vara nya för eleverna, (3) inte vara för svåra att lösa med CMR och (4) inte heller vara för enkla så de inte krävde någon ansträngning (Norqvist, 2016). Övning skedde vid ett tillfälle och eleverna, randomiserade i två grupper, fick öva på matematiska uppgifter som antingen skulle leda till AR respektive CMR. Övningarna genomfördes med elevernas egna datorer som var uppkopplade mot en server vilken presenterade uppgifterna i ett webbaserat gränssnitt. Tid för genomförande av respektive uppgift och antal rätt sparades på servern. Målet för båda övningsgrupperna var att lära sig lösningsmetoder för 24 olika matematiska uppgiftsuppsättningar. För varje uppgiftsuppsättning fanns tio deluppgifter och deltagarna hade fem minuter på sig att lösa så många som möjligt.
Till varje uppgiftsuppsättning fick AR-‐‑gruppen en algebraisk formel samt ett exempel på hur den kunde användas. Se Figur 2 för exempel på AR-‐‑ (a) respektive CMR-‐‑uppgifter (b). CMR-‐‑gruppen fick ingen hjälp med att lösa uppgifterna, det vill säga varken algebraiska formler eller exempel var givna i de olika uppgifterna. CMR-‐‑
gruppen behövde skapa en egen lösningsmetod för varje uppgiftsuppsättning. De behövde reflektera kring om och hur deras lösning var rimlig samt ta ställning till om deras resonerande byggde på matematiska egenskaper av komponenterna i uppgiften. Eleverna i CMR-‐‑gruppen blev också ombedda att själv konstruera en matematisk formel. En vecka efter övningssessionen testades eleverna i båda grupperna på 24 uppgiftsuppsättningar. Av testuppgifterna var 18 sådana eleverna tidigare övat på, men med andra tal. Övriga sex uppgifter var av transferkaraktär, det vill säga uppgifter ingen av grupperna övat på innan. Vid testningen fick de två grupperna identiska uppgifter och ingen algebraisk formel eller exempel gavs till någon av grupperna. Vid testningen skulle eleverna på 30 sekunder skriva ner vilken formel som hörde ihop med uppgiften (formeluppgift) samt på fyra minuter räkna ut uppgiften (numerisk uppgift). Även under testsessionen sparades tid för lösning och svar i datorprogrammet. Maxpoäng på matematiktestet var 42.
a b
Figur 2. Exempel på (a) AR-‐‑uppgift och (b) CMR-‐‑uppgift.
Etiska överväganden
Examensarbetet utgår från tidigare insamlad data och är en del av projektet “Den lärande hjärnan”. Projektet har granskats och godkänts av regionala etikprövningskommittén (2015/238-‐‑31Ö). Deltagande i projektet var frivilligt och deltagarna blev informerade om att data kunde komma att användas vid framtida projekt. Deltagarnas identitet har skyddats genom kodning innan statistisk behandling och deras data behandlas endast av författarna av denna uppsats samt behöriga för projektet.
Statistiska analyser
Statistiska analyser genomfördes med hjälp av IBM SPSS Statistics 23. Ett Chi-‐‑två-‐‑
test visade att det inte fanns någon signifikant skillnad mellan andelen kvinnor och män i CMR-‐‑ och AR-‐‑gruppen. Oberoende t-‐‑tester visade att det inte förelåg några signifikanta skillnader i medelvärden på Ravens, Ospan eller METQ mellan CMR-‐‑ och AR-‐‑gruppen. Bivariata korrelationsanalyser (Pearsons r) undersökte sambanden mellan formeluppgifter och numeriska uppgifter för tränade uppgifter respektive transferuppgifter. Analyserna visade på statistiskt signifikanta samband mellan formeluppgifter och numeriska uppgifter på både tränade uppgifter, r(130) = .699, p < .001 och transferuppgifter, r(130) = .707, p < .001. Utifrån denna information slogs formel-‐‑ och numeriska uppgifter ihop till två kompositmått, ett för antal
procent rätt på tränade uppgifter (TU) och ett för antal procent rätt på transferuppgifter (TrU). Korrelationsanalysen av Ospan och Ravens visade på ett statistiskt signifikant samband r(130) = .349, p < .001. De två måtten z-‐‑
transformerades och slogs ihop till ett ”Cognitive Proficiency Index” (CPI). CPI var relativt normalfördelat i gruppen som helhet (skewness = -‐‑0.098, kurtosis = -‐‑0.321) samt i grupperna för sig, CMR-‐‑gruppen (skewness = -‐‑0.005, kurtosis = -‐‑0.165) och AR-‐‑gruppen (skewness = -‐‑ 0.203, kurtosis = -‐‑0.385). Resultat på METQ var även de relativt normalfördelade i gruppen som helhet (skewness = -‐‑0.385 och kurtosis = 0.003) såväl som i CMR-‐‑gruppen (skewness = -‐‑0.370, kurtosis = 0.088) och AR-‐‑
gruppen (skewness = -‐‑0.483, kurtosis = -‐‑0.166). Ett oberoende t-‐‑test visade att det fanns en signifikant skillnad vad gäller resultat på CPI mellan kvinnor och män, t(30)
= -‐‑1.99, p < .05, d = 0.35, (Tabell 2). För att statistiskt kontrollera för könsskillnader avseende CPI användes CPI som ett kovariat. En 2 (grupp) × 2 (kön) MANOVA med kompositmåtten TU och TrU som beroende variabler samt kompositmåttet CPI som kovariat undersökte gruppskillnader (CMR och AR) och könsskillnader.
Regressionsanalyser genomfördes därefter med CPI, METQ och CPI×METQ som prediktorer för att undersöka om CPI och NFC var associerade till testresultaten. I regressionsanalyserna användes adjusted R2 vid rapportering av förklarad varians.
I studien valdes signifikansnivån p = .05.
Resultat Skillnad i prestation mellan grupp och kön
Tabell 2 visar medelvärden och standardavvikelser på TU, TrU och CPI för CMR-‐‑ och AR-‐‑gruppen samt mellan kvinnor och män. En 2 (grupp) × 2 (kön) MANOVA med TU och TrU som beroende variabler och CPI som kovariat visade att det fanns signifikanta skillnader med avseende på grupp (Pillai’s Trace = .12, F = 8.26, df = (2.
13), p < .001, ηp2 = .12) och kön (Pillai’s Trace = .076, F = 5.15, df = (2. 13), p < .01, ηp2 = .076). Signifikant skillnad fanns även för CPI (Pillai’s Trace = .15, F = 11.2, df = (2. 13), p < .001, ηp2 = .15). En ANOVA avseende TU och TrU (Tabell 3) visar på statistiskt signifikanta skillnader vad gäller medelvärden för kön och grupp. Det fanns ingen interaktion mellan grupp och kön vad gäller resultaten på TU och TrU.
Sammantaget visar Tabell 2 och 3 att CMR-‐‑gruppen presterade bättre än AR-‐‑
gruppen på både TU och TrU, vilket går i linje med hypotes 1. Vidare visade analyserna att män presterar bättre än kvinnor på TU och TrU, oberoende av om de övat med CMR eller AR.
Tabell 2. Medelvärden och standardavvikelser på TU och TrU (beräknat på proportion rätta svar) samt CPI (beräknat i z-‐poäng) för grupperna CMR, AR, kvinnor och män.
Grupp
N TU
M SD TrU
M SD CPI
M SD
CMR 69 .33 .23 .30 .23 0.06 1.67
AR 63 .22 .19 .24 .23 0.19 1.67
Kvinna 54 .21 .19 .20 .18 -0.22 1.70
Man 78 .32 .22 .32 .24 0.36 1.61
Notering. CMR = Kreativt matematiskt grundat resonerande, AR = Algoritmiskt resonerande, TU = Tränade uppgifter, TrU = Transferuppgifter, CPI = Cognitive Proficiency Index.
Tabell 3. Resultat från ANOVA med beroende variablerna TU och TrU och de oberoende variablerna grupp, kön samt grupp x kön, med Frihetsgrader (df), F-‐värde (F), Effektstorlek (ηp2) samt Signifikansnivåer (p).
Variabler df F ηp2 p
TU
CPI 1 21.8 .15 < .001
Grupp 1 15 .11 < .001
Kön 1 9.88 .072 < .01
Grupp x kön 1 0.23 .02 = .636
Error 127
TrU
CPI 1 17.6 .12 < .001
Grupp 1 4.78 .036 < .05
Kön 1 8.31 .061 < .01
Grupp x kön 1 0.023 0 = .88
Error 127
Notering. TU = Tränade uppgifter, TrU = Transferuppgifter.
Samband mellan prestation, kognitiv förmåga och personlighet
En inledande bivariat korrelationsanalys visade ett måttligt signifikant samband mellan antal poäng på kompositmåttet CPI och METQ, r(130) = .303, p < .001. För att undersöka eventuella modererande effekter av CPI och METQ konstruerades interaktionsvariabeln CPI×METQ vilken tillsammans med METQ och CPI användes som prediktor.
En multivariat regressionsanalys genomfördes för att se om CPI, METQ och interaktionsvariabeln (CPI×METQ) signifikant predicerade prestation på TU och TrU för CMR-‐‑ respektive AR-‐‑gruppen. Resultaten av regressionsanalyserna indikerade att de tre prediktorerna tillsammans i CMR-‐‑gruppen förklarade 26% av variansen på TU, F(3, 65) = 8.960, p < .001, och 16.8% av variansen på TrU, F(3, 65)
= 5.563, p < .01. I AR-‐‑gruppen indikerade regressionen att de tre prediktorerna tillsammans förklarade 14.4% av variansen på TU, F(3, 59) = 4.489, p < .01 och 14.8% av variansen i TrU, F(3, 59) = 4.58, p <.01. En kontroll av multikollinearitet
visade på ett Variance Inflation Factor-‐‑värde om 1.04, vilket innebär en liten risk för multikollinearitet.
Betavärden, standardiserade betavärden, t-‐‑värden och p-‐‑värden visas i Tabell 4 och 5. CPI predicerar signifikant resultat på TU och TrU i både CMR-‐‑ och AR-‐‑gruppen, vilket är i linje med hypotes 2. METQ predicerar signifikant resultat på TU och TrU i CMR-‐‑gruppen men inte i AR-‐‑gruppen. Interaktionsvariabeln CPI×METQ predicerar inte signifikant resultat på TU eller TrU i CMR-‐‑ eller AR-‐‑gruppen.
Tabell 4. Regressionsanalys med prediktor-‐‑specificerade beta-‐‑värden(B), standardfel (SE(B)), standardiserade beta-‐‑värden (β), t-‐‑värden (t) samt signifikansnivå (p) för CMR-‐‑ och AR-‐‑grupperna med METQ, CPI och interaktionsmåttet CPI×METQ som prediktorer samt resultat på TU som beroende variabel.
Grupp Prediktorer B SE (B) β t p
CMR
METQ 0.076 0.024 0.359 3.223 .002
CPI 0.045 0.015 0.335 3.046 .003
CPI×METQ 0.019 0.015 0.135 1.248 .216
AR METQ 0.004 0.025 0.020 0.159 .874
CPI 0.050 0.015 0.438 3.420 .001
CPI×METQ 0.014 0.015 0.112 0.920 .361
Notering. CMR = Kreativt matematiskt grundat resonerande, AR = Algoritmiskt resonerande, METQ = Mental Effort Tolerance Questionnaire, CPI = Cognitive Proficiency Index, CPI×METQ = interaktionsvariabel av CPI och METQ.
Tabell 5. Regressionsanalys med prediktor-‐‑specificerade beta-‐‑värden(B), standardfel (SE(B)), standardiserade beta-‐‑värden (β), t-‐‑värden (t) samt signifikansnivå (p) för CMR-‐‑ och AR-‐‑grupperna med METQ, CPI och interaktionsmåttet CPI×METQ som prediktorer samt resultat på TrU som beroende variabel.
Grupp Prediktorer B SE (B) β t p
CMR
METQ 0.068 0.025 0.316 2.670 .010
CPI 0.036 0.016 0.264 2.257 .027
CPI×METQ 0.014 0.016 0.100 0.875 .385
AR METQ -0.013 0.030 -0.052 -0.423 .674
CPI 0.058 0.017 0.428 3.353 .001
CPI×METQ -0.009 0.018 -0.063 -0.521 .604
Notering. CMR = Kreativt matematiskt grundat resonerande, AR = Algoritmiskt resonerande, METQ = Mental Effort Tolerance Questionnaire, CPI = Cognitive Proficiency Index, CPI×METQ = interaktionsvariabel av CPI och METQ.
Diskussion
Syftet med denna studie var att jämföra effekterna av två olika matematiska inlärningsmetoder, CMR och AR, och undersöka förhållandet till kognitiv förmåga
samt Need for cognition. Hypotes 1 var att de elever som övat med CMR-‐‑uppgifter skulle prestera bättre än de som övat med AR-‐‑uppgifter vid test en vecka efter övningstillfället. Utifrån tidigare studier förväntades ett högre CPI predicera högre testresultat (hypotes 2). Ett högre värde på NFC antogs även det predicera högre resultat på matematikuppgifterna (hypotes 3). Resultaten visade att elever som övat med CMR-‐‑uppgifter presterade signifikant bättre än elever som övat med AR-‐‑
uppgifter. CPI predicerade signifikant prestation i båda grupperna, där ett högre värde på CPI predicerade högre resultat på matematikuppgifterna i båda grupperna.
NFC var enbart signifikant i CMR-‐‑gruppen, vilket innebär att ett högre NFC-‐‑värde enbart predicerade högre resultat på matematikuppgifterna i CMR-‐‑gruppen. Vi fann även skillnader mellan kvinnor och män med avseende på prestation på CPI samt matematikuppgifter. De manliga deltagarna erhöll högre resultat på CPI såväl som på matematikuppgifterna. Skillnader i prestation på matematikuppgifter var signifikant mellan könen även efter kontroll av CPI.
Resultatet att de elever som övat med CMR-‐‑uppgifter presterade bättre än de som övat med AR-‐‑uppgifter var förväntat då tidigare forskning visat liknande resultat (Jonsson et al., 2014; Jonsson et al., 2016; Karlsson Wirebring et al., 2015). Att CMR-‐‑
gruppen presterade bättre än AR-‐‑gruppen även på de sex transferuppgifterna, uppgifter som ingen av grupperna övat på, stärker argumentet att egen konstruktion av lösningar gynnar lärandet och även kan generaliseras till andra uppgifter. Att transferuppgifter inkluderades vid testsessionen reducerade även möjligheten för Transfer Appropriate Processing (TAP) hos CMR-‐‑gruppen, det vill säga att gruppen skulle gynnas av att övningsuppgifter och testuppgifter är lika i sin utformning. Resultatet att CMR-‐‑gruppen även på transferuppgifterna presterade bättre än AR-‐‑gruppen går i linje med Jonsson et al. (2016) som såg att CMR-‐‑
gruppens bättre prestation vid test inte primärt berodde på TAP. Jonsson et al.
(2016) visade att de som övat med CMR-‐‑uppgifter presterade bättre både på testuppgifter som var utformade som CMR-‐‑uppgifter och testuppgifter utformade som AR-‐‑uppgifter. En förklaring till CMR-‐‑gruppens högre resultat, med stöd av tidigare forskning (bl.a. Hiebert & Grouws, 2007; Jonsson et al., 2014; Lithner, 2008;
Niss, 2007), skulle kunna vara att de som övat med CMR-‐‑uppgifter redan under övning behöver anstränga sig mer än de som övar med AR-‐‑uppgifter för att lösa uppgifter. Detta antagande går även i linje med Brousseau (1997) som menade att elever behöver stå för en del av uppgiftlösandet själva för att djupare inlärning ska ske. Enligt tidigare forskning tenderar elever att, när de får givna algoritmer eller exempel till uppgifter, lösa dessa utan djupare reflektion eller förståelse för matematiska koncept och egenskaper (Boesen, 2006; Hiebert, 2003; Haavold, 2011;
Lithner, 2008). Hiebert (2003) menade vidare att detta ofta resulterar i att eleverna inte senare klarar av att lösa problem som avviker. Resultatet från vår studie skulle kunna vara en effekt av att de i AR-‐‑gruppen inte reflekterat över varför en uppgift löses på ett visst sätt utan bara avverkat uppgifter under övningen snabbt och systematiskt med hjälp av de algoritmer och exempel som varit givna och därför haft svårare att under senare test, utan algoritmer och exempel som hjälp, lösa uppgifter.
Hiebert (2003) menade också att elever enbart lär sig det som krävs av dem. Om det enda eleverna i AR-‐‑gruppen behöver göra för att lösa en uppgift under övning är att kopiera eller memorera en algoritm för att lösa en uppgift så är det just detta de
