Jung-van der Kulks sats

(1)

INOM

EXAMENSARBETE TEKNIK, GRUNDNIVÅ, 15 HP

STOCKHOLM SVERIGE 2021,

Jung-van der Kulks sats

THEO BROLIN

KTH

(2)

8 juni 2021

Abstract

A group is a set with a binary operator that satisfies three properties. The set of invertible polynomial maps f : C²→ C²form a group under composition which is called the automorphism group. The automorphism group has two subgroups named the affine subgroup and the de Jonquières subgroup respectively and the result is that we prove that the automorphism group is generated by the affine subgroup and the de Jonquières subgroup. In other words can every invertible polynomial map f : C² → C² be written as a composition of maps from the affine and the de Jonquières subgroups.

Sammanfattning

En grupp är en mängd med en binär operator som uppfyller tre egenskaper.

Mängden med inverterbara polynomiella avbildningar f : C² → C² utgör en grupp under sammansättning som kallas för automorfigruppen. Automorfigrup- pen har tv˚a delgrupper som är den affina respektive den triangulära delgruppen och resultatet blir att vi bevisar att automorfigruppen genereras av den affina och den triangulära delgruppen. Allts˚a att varje inverterbar polynomiell avbildning f : C²→ C²kan skrivas som en sammansättning av affina och triangulära avbildningar.

(3)

Tack

Jag skulle vilja tacka min handledare Isac Hedén för bra handledning av det här kandidatexamensarbetet.

(4)

Inneh˚ all

1 Introduktion 5

2 Inledande definitioner om grupper och

partiella derivatan 6

3 Jakobianen och homogena komponenter 6

4 Jacobianen och Automorfigruppen 8

5 Affina och triangul¨ara delgrupperna 11

6 Sammans¨attningar och Jung-van der Kulks sats 14

(5)

1 Introduktion

I den här rapporten kommer vi lägga stort fokus p˚a polynomiella avbildningar fr˚an C²till C². Det är funktioner p˚a formen f = (u, v), där u och v är polynom i tv˚a variabler med komplexa koefficienter. Vi kommer specifikt att kolla p˚a gruppen av de inverterbara polynomiella avbildningarna fr˚an C² till C². Den gruppen kallas för

automorfigruppen som betecknas Aut(C²) och kommer vara central i den här rapporten. Vi kommer även stöta p˚a tv˚a delgrupper av Aut(C²). Dels den affina delgruppen best˚aende av polynomiella avbildningar p˚a formen F = (F1, F2) = (ax + by + e, cx + dy + f ), där ad − bc 6= 0, samt den triangulära delgruppen best˚aende av polynomiella avbildningar p˚a formen F = (ax + p(y), by + c), där a 6= 0 och b 6= 0 och p(y) är ett polynom i variabeln y med komplexa koefficienter. Rapporten kommer resultera i att vi bevisar en sats som heter Jung-van der Kulks sats som lyder:

Sats 1.1 (Jung-van der Kulks sats). Aut(C²) = hAff2, Ti.

Den satsen bevisades 1942 och vi kommer bland annat anv¨anda Abhyankar- Mohs sats f¨or att bevisa Jung-van der Kulks sats. Abhyankar-Mohs sats bevisades 1975. Abhyankar-Mohs sats lyder:

Sats 1.2 (Abhyankar-Mohs sats). L˚at f (x), g(x) ∈ K[x] för n˚agon kropp K med karakteristik 0 och kalla deg f (x) = n och deg g(x) = n. Antag vidare att f (x) och g(x) är s˚adana att K[f (x), g(x)] = K[x]. D˚a gäller det att m|n eller n|m.

F¨or att bevisa Jung-van der Kulks sats kommer vi l¨ara oss om grupper.

Definition 1.3 (Grupp). En grupp är en mängd G med en binär operation

∗ : G × G → G som uppfyller f¨oljande tre villkor:

1) (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), f¨or alla a, b, c ∈ G (Associativa lagen)

2) Det finns ett element e ∈ G s˚adant att e ∗ g = g ∗ e = g, f¨or alla element g ∈ G. Elementet e kallas f¨or identitetselementet.

3) F¨or varje element g ∈ G, existerar ett element h ∈ G s˚adant att g ∗ h = h ∗ g = e. Detta elementet kallas f¨or elementets g:s invers och brukar betecknas g⁻¹.

(6)

2 Inledande definitioner om grupper och partiella derivatan

Definition 2.1 (Grupp). (Judson och Beezer 2020, 33-34) En grupp är en mängd G med en binär operation ∗ : G × G → G som uppfyller följande tre villkor:

1) (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), f¨or alla a, b, c ∈ G. (Associativa lagen)

2) Det finns ett element e ∈ G s˚adant att e ∗ g = g ∗ e = g, f¨or alla element g ∈ G. Elementet e kallas f¨or identitetselementet.

3) F¨or varje element g ∈ G, existerar ett element h ∈ G s˚adant att g ∗ h = h ∗ g = e. Detta elementet kallas f¨or elementets g:s invers och brukar betecknas g⁻¹.

Definition 2.2 (Delgrupp). L˚at G vara en grupp med en binär operation ∗ och l˚at H ⊆ G. D˚a sägs H vara en delgrupp om H i sig är en grupp under operationen ∗ när vi l˚ater operationen ∗ verka p˚a bara element i H. (Judson och Beezer 2020, 38)

Definition 2.3 (Genereras av). En grupp G sägs genereras av tv˚a delgrupper H och I om varje element ∈ G kan skrivas som g = h₁i₁. . . h_ki_k för n˚agot positivt heltal k, där h1, . . . , hk H och i1, . . . , ik I. Att gruppen G genereras av delgrupperna H och I skrivs: G = hH, Ii.

Definition 2.4 (Partiella derivatorna). L˚at f ∈ C[x, y], d¨ar f (x, y) =Pn

m=0

Pm

k=0amkx^ky^m−k D˚a definierar vi de partiella derivatorna av f med avseende p˚a x respektive y enligt:Pn−1

m=0

Pm

k=1kamkx^k−1y^m−k fx och f_y=Pn

m=1

Pm−1

k=0 ka_mkx^ky^m−k−1.

3 Jakobianen och homogena komponenter

Definition 3.1 (Jakobianen). L˚at u, v ∈ C[x, y]. D˚a definierar vi Jacobianen av (u, v) som betecknas Jac(u, v) till att vara: Jac(u, v) =

u_x u_y v_x v_y . Lemma 3.2. Jakobianen Jac(u, v) är bilinjär över C.

Bevis. Vi visar att jakobianen är linjär i b˚ada termerna. Allts˚a visar vi följande 4 p˚ast˚aenden för alla polynom u, v och alla tal a ∈ C.

1) J ac(u + v, w) = J ac(u, w) + J ac(v, w) 2) J ac(au, v) = a · J ac(u, v)

3) J ac(u, v + w) = J ac(u, v) + J ac(u, w) 4) J ac(u, av) = a · J ac(u, v)

(7)

Vi bevisar f¨orst egenskap 1:

Jac(u + v, w) =

ux+ vx uy+ vy

wx wy

= uxwy+ vxwy− uywx− vywx

= uxwy− uywx+ vxwy− vywx

= Jac(u, w) + Jac(v, w) vilket visar 1).

Vi bevisar egenskap 2:

Jac(ku, v) =

ku_x ku_y v_x v_y

= k

u_x u_y v_x v_y

= k ∗ Jac(u, v) vilket visar 2).

Egenskaperna 3 och 4 f¨oljer fr˚an 1 egenskaperna 1 och 2 med hj¨alp av att Jac(u, v) = − Jac(v, u).

Därmed har vi visat att Jacobianen är bilinjär.

Definition 3.3 (Homogent polynom). Ett nollskilt polynom p(x, y) ∈ C[x, y]

sägs vara homogent av grad n ≥ 0 om p(x, y) är en summa av termer där varje term har grad n. Vidare definieras nollpolynomet, p(x) = 0 till att vara homogent av alla grader n ≥ 0.

Lemma 3.4. Om u = u1+ u2+ ... + ud1 = Pd₁

i=0ui och v = v1+ v2+ ... + v_d₂ = Pd2

j=0v_j ¨ar uppdelningar av u och v i homogena komponenter, s˚a ¨ar Jac(u, v) =Pd1

i=0

Pd2

j=0Jac(ui, vj).

Bevis. Vi f˚ar:

Jac(u, v) = Jac(

d1

X

i=0

ui,

d2

X

j=0

vj)

=

d1

X

i=0

Jac(u_i,

d2

X

j=0

v_j)

=

d₁

X

i=0 d₂

X

j=0

Jac(u_i, v_j)

Vilket visar p˚ast˚aendet som följer direkt ur att Jacobianen är bilinjär.

(8)

Lemma 3.5. Om u och v ¨ar homogena av grad m ≥ 1 och n ≥ 1 s˚a ¨ar Jac(u, v) homogen av grad m + n − 2.

Bevis. Vi har att Jac(u, v) = uxvy− vxuy. Vi f˚ar tv˚a fall p˚a Jacobianen. Fall 1: Jac(u, v) = 0 och fall 2: Jac(u, v) 6= 0. I fall 1, ¨ar Jac(u, v) homogen av grad m+n−2, eftersom nollpolynomet ¨ar homogent av alla grader, s˚a det intressanta

är när Jac(u, v) 6= 0. Enligt definition 3.3 är u en summa av termer av grad m och v en summa av termer av grad n. Vi f˚ar allts˚a: u =Pm

i=0a_ixⁱy^m−ioch v = Pn

j=0b_jx^jy^n−j. De första termerna i respektive summa beror inte av x och blir 0 när vi deriverar med avseende p˚a x och de övriga termerna sjunker en grad när de deriveras med avseende p˚a x, s˚a uxkommer vara ett homogent polynom av grad m − 1 och vx kommer vara ett homogent polynom av grad n − 1, s˚alänge u och v beror p˚a x respektive. P˚a samma sätt kommer uyoch vy vara homogena polynom av grad m − 1 respektive n − 1, s˚alänge uy och vy beror av y. Därmed blir termerna i Jacobianen, uxvyoch vxuy antingen 0, eller ett homogent polynom av grad (m − 1) + (n − 1) = m + n − 2, och detsamma gäller d˚a för Jac(u, v) = uxvy− vxuy. Enligt antagandet var Jacobianen nollskild i det fallet i betraktade, s˚a Jacobianen är homogen av grad m + n − 2, vilket visar lemmat.

4 Jacobianen och Automorfigruppen

Definition 4.1 (Automorfigruppen). Betrakta tv˚a polynom u1och u2∈ C[x, y].

D˚a sägs F = (u1, u2) vara en automorfi av C² om det finns en avbildning G = (v1, v2), där v1och v2 ∈ C[x, y], s˚adana att F ◦ G = G ◦ F = id, där id är identitetsavbildningen. Mängden av alla automorfier F : C² → C² kallas automorfigruppen och vi betecknar den Aut(C²).

Lemma 4.2. Om (u, v) ∈ Aut(C²), s˚a gäller Jac(u, v) ∈ C^∗, där C^∗är mängden med nollskilda komplexa tal.

Bevis. Kalla G = (G1, G2), där (G1, G2) = (u, v) ∈ Aut(C²). Vi ska bevisa att Jac(G) = Jac(u, v) ∈ C^∗. Eftersom G ∈ Aut(C²), finns en avbildning F = (F1, F2) ∈ Aut(C²) s˚adan att F ◦G = id, där id är identitetsavbildningen. Allts˚a

¨ar F , inversen av G. Vi f˚ar att:

F ◦ G = F (G1, G2)

= (F₁(G₁, G₂), F₂(G₁, G₂))

(9)

Vi f˚ar d˚a att:

Jac(F ◦ G) =

∂(F1(G1,G2))

∂x

∂(F1(G1,G2))

∂y

∂(F2(G1,G2))

∂x

∂(F2(G1,G2))

∂y

=

∂F₁

∂G₁ ·^∂G_∂x¹ +_∂G^∂F¹

2 ·^∂G_∂x² _∂G^∂F¹

1 · ^∂G_∂x¹ +_∂G^∂F¹

2 ·^∂G_∂x²

∂F₂

∂G₁ ·^∂G_∂x¹ +_∂G^∂F²

2 ·^∂G_∂x² _∂G^∂F²

1 · ^∂G_∂x¹ +_∂G^∂F²

2 ·^∂G_∂x²

=

"_∂F

1

∂G₁

∂F1

∂G₂

∂F2

∂G₁

∂F2

∂G₂

#

·

"_∂G

1

∂x

∂G₁

∂y

∂G2

∂x

∂G2

∂y

#

=

∂F1

∂G₁

∂F1

∂G₂

∂F2

∂G₁

∂F2

∂G₂

·

∂G₁

∂x

∂G₁

∂y

∂G2

∂x

∂G2

∂y

= G^∗Jac(F ) · Jac(G)

= 1

eftersom F ◦G = id, där vi även använde att determinanten respekterar produkt.

Här är G^∗Jac(F ), Jacobianen av F evaluerad i G = (G1, G2) istället för (x, y).

Vi vet även att b˚ade G^∗Jac(F ) och Jac(G) är polynom i C[x, y], samt att G^∗ Jac(F )·Jac(G) = 1. Den enda möjligheten att produkten av tv˚a polynom blir 1

¨

ar att b˚ada polynomen ¨ar nollskilda och konstanta. Vi f˚ar allts˚a att Jac(G) ∈ C^∗ och vi ¨ar klara.

Lemma 4.3. Om f ∈ C[x, y] ¨ar ett homogent polynom av grad d ≥ 1, s˚a g¨aller formeln d · f = xfx+ yfy.

Bevis. Enligt definition 3.3 g¨aller att:

f (x, y) =

d

X

i=0

aixⁱy^d−i Vilket ger att:

fx=

d

X

i=1

iaixⁱ⁻¹y^d−i S˚a att:

xf_x=

d

X

i=1

ia_ixⁱy^d−i

P˚a samma s¨att blir:

fy=

d−1

X

i=0

(d − i)aixⁱ⁻¹y^d−i−1

(10)

S˚a att:

yfy=

d

X

i=1

(d − i)aixⁱy^d−i

Sammantaget f˚ar vi:

xf_x+ yf_y=

d

X

i=1

ia_ixⁱy^d−i+

d

X

i=1

(d − i)a_ixⁱy^d−i

= a0dx⁰y^d−0+

d−1

X

i=1

((d − i) + i)aixⁱy^d−i+ dadx^dy^d−d

= d

d

X

i=0

a_ixⁱy^d−i

= d · f

Sammantaget har vi visat formeln d · f = xfx+ yfy och vi ¨ar klara.

Lemma 4.4. Om u och v ∈ C[x, y]\{0} är homogena av samma grad d s˚a är Jac(u, v) = 0 om och endast om u = λv för n˚agot nollskilt λ ∈ C.

Bevis. Vi falluppelar i tv˚a fall.

Fall 1: Graden av u och v ¨ar 0.

Fall 2: Graden av u och v är större än 0.

I fall 1 är u och v nollskilda konstanta polynom och d˚a är alla partiella derivatorna lika med 0, s˚a Jac(u, v) = 0. Samtidigt är u = λv för n˚agot nollskilt λ ∈ C och u och v är nollskilda konstanta polynom, s˚a d˚a gäller det att Jac(u, v) = 0 om och endast om u = λv för n˚agot nollskilt λ ∈ C.

Vi betraktar nu fall 2. Vi visar ⇐=: Antag att u = λv f¨or n˚agot nollskilt λ ∈ C. D˚a ¨ar ux= λvxoch uy = λvy. D˚a blir:

Jac(u, v) =

u_x u_y v_x v_y

=

λv_x λv_y vx vy

= λ

vx vy

= λ(vxvy− vxvy)

= λ · 0

= 0

Allts˚a ¨ar Jac(u, v) = 0 om u = λv, vilket visar ena implikationen.

(11)

Nu ska vi visa =⇒: Allts˚a ska vi visa att Jac(u, v) = 0 =⇒ u = λv. Om Jac(u, v) = 0, s˚a ¨ar uxvy− uyvx= 0 ⇒ uxvy = uyvx. Enligt Lemma 4.3 f˚ar vi att: d · u = xux+ yuyoch d · v = xvx+ yvy. Vi f˚ar d˚a att:

d · u · v_x= xu_xv_x+ yu_yv_x

= xuxvx+ yuxvy

= u_x(xv_x+ yv_y)

= d · ux· v Vilket ger att uvx= uxv s˚a att uxv − uvx= 0.

P˚a exakt samma s¨att f˚ar vi att uvy= uyv s˚a att uyv − uvy = 0.

Vi ska nu visa att u = λv. Vi gör detta genom att visa att^∂(_∂xû^v⁾ = 0 och^∂(_∂yû^v⁾ = 0. Vi f˚ar:

∂(^u_v)

∂x = uxv − uvx

v²

= 0 v²

= 0 Och p˚a samma s¨att:

∂(^u_v)

∂y =uyv − uvy

v²

= 0 v²

= 0

Vi f˚ar d˚a att û_v varken beror av x eller y, s˚a û_v = λ ∈ C^∗, en konstant. Detta ger att u = λv för n˚agon konstant λ ∈ C^∗och vi är klara med andra implikationen, s˚a sammantaget har vi visat att Jac(u, v) = 0 om och endast om u = λv för n˚agot nollskilt λ ∈ C, vilket avslutar beviset.

5 Affina och triangul¨ ara delgrupperna

Definition 5.1 (Affin). (Van den Essen 2000, 85) L˚at F = (F₁, F₂) vara en automorfi, F : C² → C², där F1, F2 ∈ C[x, y]. D˚a sägs F vara affin om F är p˚a formen F = (F1, F2) = (ax + by + e, cx + dy + f ), där a, b, c, d, e, f ∈ C och ad − bc 6= 0. Den affina delgruppen av avbildningar F : C² → C² betecknas Aff2 (C, 2), men för att förkorta notationen kommer vi att beteckna den med Aff2.

Definition 5.2 (Triangulär). (Van den Essen 2000, 85) L˚at F = (F1, F2) vara en automorfi, F : C² → C², där F1, F2 ∈ C[x, y]. D˚a sägs F vara triangulär om F är p˚a formen F = (F1, F2) = (ax + p(y), by + c), där a, b, c ∈ C och

(12)

a 6= 0 och b 6= 0. Den triangul¨ara delgruppen av avbildningar F : C²→ C² betecknar vi med T.

Vi ska nu visa att Aff2 och T är delgrupper av Aut(C²). För att visa att dessa är delgrupper kommer vi använda att H är en delgrupp av G om följande tre villkor är uppfyllda:

1) H × H → H ⊆ G (Sluten under opetationen) 2) e ∈ H (G:s neutrala element ligger i H.

3) h ∈ H ⇒ h⁻¹∈ H (Varje element i H har sin invers i H.

(Judson och Beezer 2020, 39)

Lemma 5.3. Aff2 och T ¨ar delgrupper av Aut(C²).

I det här beviset nedan kommer vi använda notationen med element i C² som kolonnvektorer istället för radvektorer som i övriga rapporten när vi bevisar att Aff2 är en delgrupp. Detta eftersom det är lättare att se vad som händer om man skriver som kolonnvektorer.

Bevis. Vi börjar med att bevisa att Aff2 uppfyller de tre villkoren ovan och börjar med 1) Tag F, G ∈ Aff2s˚adan att F (x) = Ax + b och G(x) = A⁰x + b⁰, för n˚agra inverterbara 2 × 2-matriser A och A⁰ och vektorer b och b⁰ ∈ C². D˚a gäller:

(F ◦ G)(x) = A(A⁰(x) + b⁰) + b

= AA⁰x + (Ab⁰+ b) ∈ Aff2

Eftersom produkten av tv˚a inverterbara matriser ¨ar inverterbar och (Ab⁰+ b) ∈ C² ¨ar en vektor. Detta visar villkor 1).

Villkor 2) är uppfyllt, eftersom identitetsavbildningen är affin, när matrisen A väljs till I₂och vektorn b väljs till 0.

Nu visar vi villkor 3) Tag F ∈ Aff₂s˚adan att F (x) = Ax + b = y för n˚agon inverterbar 2 × 2-matris A och vektor b ∈ C². D˚a gäller: y = Ax + b ⇐⇒ x = A⁻¹(y − b) = A⁻¹y − A⁻¹b. Vi f˚ar d˚a att F⁻¹(x) = A⁻¹x + (−A⁻¹b) ∈ Aff₂, eftersom A⁻¹b ∈ C² är en vektor. Därmed är inversen affin. Nu har vi visat att alla villkor 1-3 är uppfyllda för Aff2, vilket visar at det är en delgrupp.

Vi visar nu p˚a samma sätt att T är en delgrupp. Villkor 1) Tag de triangulära avbildningarna f (x, y) = (ax + p1(y), by + c) och g(x, y) = (a⁰x + p2(y), b⁰y + c⁰) där a, a⁰, b, b⁰6= 0. D˚a f˚ar vi att:

(f ◦ g)(x, y) = (a(a⁰x + p2(y)) + p1(b⁰y + c⁰), b(b⁰y + c⁰) + c)

= (aa⁰x + (ap₂(y)) + p₁(b⁰y + c⁰), bb⁰y + (bc⁰+ c)) ∈ T Vilket visar 1).

Villkor 2) g¨aller, eftersom vi f˚ar identitetsavbildningen om vi v¨aljer a = b = 1, p1(y) = 0 och c = 0, s˚a identitetsavbildningen ligger i T, vilket visar 2).

Slutligen visar vi villkor 3) att varje avbildning i T har sin invers i T. L˚at f ∈ T, d¨ar f (x, y) = (ax + p(y), by + c) = (X, Y ), d¨ar a, b 6= 0. Vi ska nu

(13)

l¨osa f¨oljande ekvationssystem:

(X = ax + p(y)

Y = by + c Vi löser ut y fr˚an den andra ekvationen och f˚ar: y = ^{Y −c}_b . Vi löser ut x ur första ekvationen och sätter in värdet p˚a y fr˚an andra ekvationen och f˚ar:

x = X − p(y) a

=X − p(^{Y −c}_b ) a Vi f˚ar d˚a att:

f⁻¹(x, y) = x − p(^y−c_b ) a ,y − c

b

!

= 1

ax + (−p(^y−c_b ) a ),1

by + (−c b)

!

∈ T

Detta visar att inversen till varje triangulär avbildning är triangulär, vilket visar villkor 3). Därmed har vi visat att T är en delgrupp av Aut(C²).

(14)

6 Sammans¨ attningar och Jung-van der Kulks sats

Definition 6.1 (deg, bideg och tdeg). (Van den Essen 2000, 86) L˚at F = (F₁, F₂). D˚a definieras degF := max(degF₁, degF₂), bideg F := (degF₁, degF₂) och tdeg F := degF₁+ degF₂.

Lemma 6.2. L˚at l ≥ 1 vara ett heltal. Antag att vi har funktionerna τ_i och λ_i, f¨or alla heltal i som uppfyller att 1 ≤ i ≤ l. Antag vidare att τ_i∈ T \ Aff2 och att λ_i∈ Aff₂\ T. D˚a har vi att

bideg(τ_iλ_i. . . τ_lλ_l) = (Ql

j=ideg τ_j,Ql

j=i+1deg τ_j). f¨or alla 1 ≤ i ≤ l, d¨ar den andra produkten definieras till att vara 1 i fallet d˚a i = l. (Van den Essen 2000, 87)

Bevis. Antag att vi har en mängd med avbildningar τ₁, . . . , τ_l och λ₁, . . . λ_l enligt villkoren ovan. Vi vet att alla avbildningarna λ_i är p˚a formen λ_i = (a_ix + b_iy + e_i, c_ix + d_iy + f_i) där a_id_i− b_ic_i 6= 0, eftersom den ska vara inverterbar, d˚a den är en automorfi. Avbildningarna λ_i är inte triangulära, vilket innebär att ci 6= 0. Eftersom ad − bc 6= 0, kan b˚ade a och b inte vara lika med 0, s˚a minst ett av dessa tal m˚aste vara nollskilda. Vi f˚ar d˚a att b˚ada komponenterna i avbildningarna λi m˚aste vara av exakt grad 1 och att det finns en förstagradsterm i variabeln x i andra komponenten.

Gällande de triangulära avbildningarna τisom är p˚a formen τi = (gix+pi(y), hiy+

ki), vet vi, ut¨over att gi6= 0 och hi 6= 0 att deg pi(y) ≥ 2, eftersom det annars skulle vara en affin avbildning, vilket det inte fick vara. Vi drar allts˚a slutsatsen att deg τi≥ 2 och att deg τi = deg pi(y).

Vi utför nu beviset med hjälp av avtagande induktion. Vi börjar med att bevisa basfallet d˚a i = l. Vi har att τ_l= (g_lx + p_l(y), h_ly + k_l), där g_l6= 0 och hl6= 0, samt att deg τ_l = deg p_l(y) ≥ 2 och att λ_l = (a_lx + b_ly + e_l, c_lx + d_ly + f_l) där a_id_i− b_ic_i 6= 0, samt att c_l 6= 0. Vi f˚ar d˚a att: τ_l◦ λ_l = (g_l(a_lx + b_ly + el) + pl(clx + dly + fl), hl(clx + dly + fl) + kl). Vi vet att deg(alx + bly + el= deg(clx + dly + fl) = 1, s˚a att första komponenten i sammansättningen f˚ar samma grad som pl(y). deg pl(y) = deg τl ger att första komponenten f˚ar samma grad som τl. D˚a deg(clx + dly + f ) = 1, f˚ar vi att andra komponenten i sam- mansättningen blir grad 1. Därmed f˚ar vi att: bideg(τl◦ λl) = (deg τl, 1), vilket bevisar basfallet.

Vi g¨or nu v˚art induktionsantagande och antar att bideg(τiλi. . . τlλl) = (

l

Y

j=i

deg τj,

l

Y

j=i+1

deg τj)

Allts˚a att

τ_iλ_i. . . τ_lλ_l= (f (x, y), g(x, y))

(15)

d¨ar

deg f (x, y) =

l

Y

j=i

deg τj

och

deg g(x, y) =

l

Y

j=i+1

deg τj< deg f (x, y)

eftersom deg τ_i ≥ 2. Vi s¨atter samman p˚a samma s¨att som i basfallet och f˚ar:

τi−1λi−1= (gi−1(ai−1x + bi−1y + ei−1) + pi−1(ci−1x + di−1y + fi−1), hi−1(ci−1x + di−1y + fi−1) + ki−1) Vi f˚ar d˚a att: τ_i−1λ_i−1◦τ_iλ_i. . . τ_lλ_l= (g_i−1(a_i−1f (x, y)+b_i−1g(x, y)+e_i−1)+

pi−1(ci−1f (x, y) + di−1g(x, y) + fi−1), hi−1(ci−1f (x, y) + di−1g(x, y) + ki−1). D˚a deg f (x, y) > deg g(x, y), f˚ar vi att

bideg(τi−1λi−1◦ τiλi. . . τlλl) = (deg pi−1(y) · deg f (x, y), deg f (x, y))

= (deg τi−1◦

l

Y

j=i

deg τj,

l

Y

j=i

deg τj)

=

l

Y

j=i−1

deg τ_j,

l

Y

j=i

deg τ_j

H¨ar har vi anv¨ant att deg f (x, y) > deg g(x, y) och deg f (x, y) =Ql

j=ideg τjoch att ci−16= 0, s˚a att deg(ci−1f (x, y) + di−1g(x, y) + fi−1) = deg f (x, y), s˚a att

deg pi−1(ci−1f (x, y) + di−1g(x, y) + fi−1) = deg pi−1· deg f (x, y)

= deg τi−1· deg f (x, y) Vi har nu anv¨ant induktionsantagandet f¨or att bevisa att

bideg(τiλi. . . τlλl) = (Ql

j=ideg τj,Ql

j=i+1deg τj) för i − 1, givet att det gäller för n˚agot tal i. Enligt induktionsprincipen gäller det d˚a för alla heltal i som uppfyller att 1 ≤ i ≤ l, vilket bevisar lemmat.

Anmärkning 6.3. Det här lemmat används inte till n˚agonting i just den här texten, men är väldigt intressant änd˚a. Det används senare för att bevisa att Aut(C²) är en amalgamerad produkt av Aff2 och T. Vi kommer inte g˚a in p˚a det i den här rapporten.

(16)

Lemma 6.4. L˚at u, v ∈ C[x, y] vara s˚adana att C[x, y] = C[u, v]. D˚a finns det ett α ∈ C som uppfyller f¨oljande villkor:

i) C[u(x, αx), v(x, αx)] = C[x]

ii) deg u(x, y) = deg u(x, αx) iii) deg v(x, y) = deg v(x, αx)

Bevis. Enligt förutsättningarna gäller: C[u(x, y), v(x, y)] = C[x, y]. Vi sätter y = αx och f˚ar: C[u(x, αx), v(x, αx)] = C[x, αx]. Det sista är alla polynom i x och αx, vilket uppenbareligen är alla polynom i x, dvs C[x]. Vi f˚ar allts˚a att C[u(x, αx), v(x, αx)] = C[x], vilket visar att alla α ∈ C uppfyller i)

Vi visar att det finns ett α som uppfyller 2. ii) Kalla deg u = du. Vi kollar p˚a den homogena komponenten av högst grad, dvs av grad du. Det är i sig ett polynom som är en summa av termer där alla termer är av grad duL˚at oss kalla det polynomet för uh. De termerna best˚ar av x och y och är p˚a formen cix^dû⁻ⁱyⁱ, där i = 0, 1, . . . , du och ci∈ C är en konstant. Vi sätter y = αx och f˚ar att varje term blir p˚a formen cx^dû⁻ⁱ(αx)ⁱ= cαⁱx^dû för i = 0, 1, . . . , du. Vi kan nu skriva uh(x, αx) som en summa av s˚adana termer: uh(x, αx) =Pd_u

i=0ciαⁱx^dû. Vi noterar att varje term inneh˚aller en faktor x^dû som inte beror av summationsindexet i som vi kan bryta ut. D˚a f˚as: u_h(x, αx) = x^dûPd_u

i=0c_iαⁱ. Vi noterar att deg u_h(x, αx) = d_u = deg u(x, y) om och endast omPdu

i=0c_iαⁱ6= 0.

Vi visar d¨arf¨or att det finns ett α ∈ C s˚adant att Pdu

i=0ciαⁱ 6= 0. Vi noterar att detta ¨ar f (α) f¨or polynomet f (x) =Pd_u

i=0ciαⁱ. Detta är ett polynom av högst grad ud som har högst ud stycken komplexa nollställen. Det räcker allts˚a att välja ett α ∈ C som inte är ett nollställe till f . Det är uppenbart att det finns ett s˚adant, eftersom de komplexa talen är en oändlig mängd och att det

är ett ändligt antal värden p˚a α som inte fungerar. Därför finns ett s˚adant α och det följer att deg u(x, y) = deg u(x, αx) för v˚art valda α och vi har visar att det finns ett α som uppfyller ii).

När vi ska hitta ett α som uppfyller iii) gör vi precis p˚a samma sätt som när vi sökte ett α som uppfyllde ii), fast för polynomet v(x, y). Vi noterar även att v har ändlig grad och vi kommer även där att f˚a ändligt antal värden p˚a α som vi inte kan välja. Sammantaget f˚ar vi ändligt antal värden p˚a α som vi inte kan välja som fungerar för b˚ade u och v, s˚a vi kan välja ett α som fungerar s˚a att b˚ade ii) och iii) uppfylls. Därför finns det ett α som uppfyller b˚ade ii) och iii) och eftersom alla α uppfyllde i), finns det ettt α ∈ C som uppfyller alla tre villkoren, vilket avslutar beviset.

(17)

Sats 6.5 (Abhyankar-Mohs sats). (Van den Essen 2000, 100) L˚at f (x), g(x) ∈ K[x] för n˚agon kropp K med karakteristik 0 och kalla deg f (x) = m och deg g(x) = n. Antag vidare att f (x) och g(x) är s˚adana att K[f (x), g(x)] = K[x]. D˚a gäller det att m|n eller n|m.

Anmärkning 6.6. Vi kommer inte bevisa Abhyankar-Mohs sats här, men ett bevis finns att läsa i kapitel 5.4 i boken Polynomial Automorphisms av Van den Essen.

Sats 6.7 (Jung-van der Kulks sats). Aut(C²) = hAff₂, Ti.

(Van den Essen 2000, 89)

Bevis. Tag (u, v) ∈ Aut(C²). Om (u, v) ∈ Aff2, är den redan affin, s˚a d˚a är p˚ast˚aendet självklart. Antag att (u, v) inte är affin. Vi ska nu visa att den kan skriva som en sammansättning av affina och triangulära avbildningar. Enligt lemma 6.4 finns det ett α ∈ C som uppfyller följande tre p˚ast˚aenden:

i) C[u(x, αx), v(x, αx)] = C[x]

ii) deg u(x, y) = deg u(x, αx) iii) deg v(x, y) = deg v(x, αx).

Vi anv¨ander p˚ast˚aende i) och ser att b˚ada polynomen u(x, αx) och v(x, αx)

är polynom i en variabel x. Kalla de polynomen för f (x) och g(x). Eftersom C[f (x), g(x)] = C[x], kan vi med hjälp av Abhyankar Mohs sats säga att deg f delar deg g eller deg f delar deg g. Upp till att byta plats p˚a f och g kan vi anta att deg g | deg f , allts˚a att deg f = k·deg g för n˚agot positivt heltal k. P˚ast˚aende ii) respektive iii) ger att deg u = deg f respektive deg v = deg g. D˚a deg f = k·deg g f˚ar vi att deg u = k·deg v ⇒ deg u > deg v. Det är uppenbart att u och v inte kan vara konstanta polynom, eftersom om ett polynom hade varit konstant, hade C[x, y] behövt genereras av ett enda polynom vilket uppenbareligen är omöjligt. Därför m˚aste u och v minst ha grad 1. Enligt antagandet var (u, v) inte affin s˚a m˚aste det polynom av u och v som har högst grad ha grad minst 2. D˚a deg u > deg v drar vi slutsatsen att deg u ≥ 2. Därför har vi att deg u + deg v ≥ 3.

L˚at nu U och V vara de homogena komponenterna av u och v av högst grad respektive och betrakta Jac(u, v). Enligt Lemma 1.2 är den jakobianen en summa av jakobianerna Jac(u_i, v_j) där u_i och v_j är uppdelningen i homogena komponenterna av u och v. Enligt Lemma 1.4 är Jac(u_i, v_j) homogen av grad deg u_i + deg v_j− 2. Eftersom U och V var de homogena komponenterna av högst grad, kommer Jac(U, V ) vara den termen i summan som är homogen av allra högst grad och dessutom av grad minst 3 − 2 = 1, eftersom deg u + deg v ≥ 3. Kalla den graden för d. Eftersom den termen är homogen av grad d, vet vi att den termen är av grad d, eller är noll. Eftersom det är den enda homogena termen av grad minst d, kan den inte vara av grad d, eftersom Jac(u, v) ∈ C^∗ enligt Lemma 1.5 och om den termen hade varit ett polynom av grad d, hade Jakobi- anen varit av grad d, vilket inte kunnat varit en nollskild konstant. Därför drar vi slutsatsen att Jac(U, V ) = 0.

(18)

Vi ska nu visa att Jac(U, V^k) = 0.

Jac(u, v) =

∂U

∂x

∂U

∂y

∂V^k

∂x

∂V^k

∂y

=

∂U

∂x

∂U

∂y

∂V^k

∂V · ^∂V_∂X ^∂V_∂V^k^∂V_∂y

=

∂U

∂x

∂U

∂y

kV^k−1· ^∂V_∂x kV^k−1· ^∂V_∂y

= kV^k−1

∂U

∂x

∂U

∂y

∂V

∂x

∂V

∂y

= kV^k−1· J ac(U, V )

= kV^k−1· 0

= 0

Eftersom deg u = k deg v, är U och V^k homogena av samma grad. Dess- utom är Jac(U, V^k) = 0, s˚a Lemma 1.6 ger att U = λV^k för n˚agot λ ∈ C^∗. Dvs de homogena komponenterna av högst grad av U och V^k är proportionella.

Därmed finns det ett λ ∈ C s˚adant att tdeg (u − λv^k, v) < tdeg (u, v). Vi har nu att (u − λv^k, v) = F ◦ (u, v), där F = F (x, y) = (x − λy^k, y), där F ∈ T per definition. Vi använder att T är en delgrupp och f˚ar: (u − λv^k, v) = F ◦ (u, v) ⇒ (u, v) = F⁻¹◦ (u − λv^k, v).

Vi utför nu stark induktion och ska visa att alla avbildningar i Aut(C²), oavsett tdeg kan skrivas som en sammansättning av affina och triangulära avbildningar. Basfallen där tdeg(u, v) ≤ 1 är triviala, d˚a (u, v) är affin d˚a. Vi antar att alla avbildningar i Aut(C²) med tdeg upp till tdeg = d kan skrivas som en sammansättning av affina och triangulära avbildningar. Tidigare s˚ag vi att alla avbilningar (u, v) = F⁻¹◦ (u − λv^k, v) och att tdeg (u − λv^k, v) < tdeg (u, v).

Vi kan anta att tdeg (u − λv^k, v) = d. Men enligt induktionsantagandet kan d˚a skriva (u − λv^k, v) skrivas som en sammansättning av affina och triangulära avbildningar och d˚a kan även (u, v) skrivas som en s˚adan sammansättning, eftersom F⁻¹ ocks˚a är en triangulär avbildning, eftersom F var det och T är en delgrupp. D˚a tdeg (u−λv^k, v) < tdeg (u, v), har vi nu visat att alla avbildningar i Aut(C²) med minst tdeg lika med d + 1 kan skrivas som en sammansättning av affina och triangulära avbildningar och d˚a följer det av induktionsprincipen att alla automorfier i Aut(C²) av godtycklig tdeg kan göra det. Därmed följer att Aut(C²) = hAff2, Ti, och vi är klara.

(19)

Referenser

Beezer, Robert A; Judson, Thomas W. 2020. Abstract Algebra Theory and Applications. ˚Arlig upplaga 2020. Tacoma: Orthogonal Publishing L3C

Van den Essen, Arno. 2000. Polynomial Automorphisms and the Jacobian conjecture. Nijmegen: Springer Basel AG.

(20)