Spridning mot potentialbarriär.Potentialmodell (idealiserad): U = 0U = U

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Förra gången: Spridning mot potentialbarriär.

Potentialmodell (idealiserad):

U = 0 U = U _B

0 L x

infallande transmitterade

reflekterade

 

  

 0 , för övrigt L 0

, ) U

( ^B x

x U

ikx

ikx

B

A

x )  e  e ^ (

ψ

Inuti barriären 0 < x < L: (2 fall) 1)

2)

x i x

i D

C

E m E

α α

B 2 2 B

e e

ψ

2 U , α

κψ ' ' ψ U

 













 

x

x D

C

E m E

α α

B 2 2 B

e e

ψ

2 U , α

κψ ' ' ψ U



















 Föreläsning 9.

F ikx

x ) e (

ψ 

Transmissionskoefficienten Reflektionskoefficienten T + R = 1

2 2

A

T  F ₂

2

A R  B

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Tunnling.

Kontinuitet hos ψ(x) och ψ’(x) ger

U = 0 U = U _B

0 L x

U = 0 E Intressanta fallet: E < U _B

) 2 ( κ

κ i

i

) 1 ( 0

D C kB kA

D C B A x



















) 4 ( e

i e α e α

) 3 ( e

e e

i α

α

i α

α

kL L

L

kL L

L

kF D

C

F D

C L x



















Ur dessa ekvationer vill vi nu få ett förhållande mellan F och A för att beräkna transmissioskoefficienten Eliminera B ur (1) & (2): 2 i kA ^{ } ( α ^ i k ) C ^ ( α ^ i k ) D ( 5 )

Eliminera D ur (3) & (4): 2 α C e ^{ α L } ( α ^ i k ) F e ^{i kL} ( 6 ) Eliminera F ur (3) & (4):  

) 7 ( i e

α i α

0 e ) i α ( e i α

α 2

α α

L L L

k C D k

D k C

k







 











Insättning av 6 & 7 i 5 ger: ^{2 i( α ) 2} e ^{i( α )}

α 2

) i α e (

α 2

) i α ) ( i α ( ) i α ( i

2 kA    k C   k D   k F ^{kL  L}  ^ k F ^{kL  L}

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Vi kan nu beräkna  

 ^{2 2}  ²

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

α 4 α ) α ( sinh

α 4 α

 

 



k L k

k k A

T F

 ^{2 2}  ²

2 2 2

2 2

2

α 4 α ) α ( sinh

) α ( 1 sinh

 









k L k T L

A R B

Om vi istället tar fram en approximativ lösning som gäller för en bred barriär: L >> 1/α

 

  ^L

kL L

k A F k

C k kA

C D

α i

α 2

i e α

α i e 4

) 6 (

i α i

2 ) 5 (

) 7 ( enl 1

e





 





















 k  ^L

k A

T F ₂ ² ₂ ² ₂ ² ₂ e ^{2 α} α α

16 

 

 med ²  2 ₂ och α ²  2  ₂   _





E U mE m

k ^B   _L

B

U B

E U

T  16 E ₂  e  ^{2 α}

Approximativt giltig då e ^{ 2 α L}  1

Det exponetiella beroendet på inträngningsparameter α och bärriärvidden L är viktiga egenskaperna hos tunnling

Elektrontunnling

Fotoelektriska effekten: ur studier av denna fick vi att minsta energin för att slå ut elektroner från metallyta ≈ några eV. Ytan fungerar som en energibarriär vilken ligger några eV ovanför energin E hos metallens mest energetiska elektroner ( E = Fermienergin, se senare i kursen).

metall U _B

0 L x

metall Tunnlingssannolikhet: E

 

 E U T ^ e ^{ 2 α L} där α ^{ 2} m ^{B }

Liten ändring i L ger en ändring i T: L

T T L

L L

T T Δ 2 α e ^L Δ Δ 2 α Δ

Δ   ^{2 α}   



  ^

T

Typisk energi för att slå ut en elektron från metallytan ( U - E ) ≈ 4 eV   _{10 1}

m 2 10

α   ^



 m U _B E

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Används i Scanning Tunneling Microscope (STM).

Uppfanns av Binning och Rohrer 1981, Nobelpris 1986 (delat med elektronmikroskopets fader Ruska).

STM använder skarp spets. Spetsen

positioneras vid metallyta. När den förs i sidled ger den atomära ytstrukturen upphov till mätbara ändringar i en tunnelström av

elektroner mellan spetsen och ytan. STM kan rita en karta över enstaka atomers position på ytan.

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Kvantoscillatorn (harmoniska oscillatorn)

Prototypmodell för små svängningar.

• Planck (1900) antog att atomer uppträder som harmoniska oscillatorer när de emitterar och absorberar strålning: svartkroppsstrålning

• Einstein (1905) antog att elektromagnetisk strålning uppträder som harmonisk oscillator med kvantiserad energi: fotoelektrisk effekt

• Einstein (1907) antog att elastiska vibratorer i fasta kroppar uppträder som harmoniska oscillatorer med kvantiserad energi: temperatorberoendet hos värmekapacitet

• Harmoniska oscillatorn viktig i molekylfysik, fasta tillståndets fysik, kärnfysik, kvantfältteori mm.

• Harmoniska oscillatorn studeras systematiskt i högre kurser i kvantmekanik. Här kommer vi bara

att bekanta oss med dess grundläggande egenskaper.

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Kvantoscillatorn forts.

Tänk en partikel med jämviktsläge x = a.

Om partikelns läge ändras förs den tillbaka med kraft F = - K ( x - a ) (t.ex. fjäder eller gummisnodd).

Potentiella energin ges då som U ( x ) = U ( a ) + ½ K ( x - a ) ²

Eftersom vi alltid kan välja nollnivå för potentiell energi liksom var vi sätter origo i ett koordinatsystem väljer vi att sätta a =0 och U ( a ) = 0.

Schrödingerekvationen blir då: ( ) ( )

2 ) 1

2 ² ( ²

2

2 ψ x Kx ψ x E ψ x

m _ x ^{ }

  

För att få en lösning så att är på formen måste vågfunktionen vara av typen

där C är en konstant eller ett polynom )

2 (

2 ψ x x



 x ² ψ ( x )

) 2

( x Ce ^{α x}

ψ  ^

Sätter vi in i Schrödingerekvationen får vi: ^{2 2} ₂ ^{2 2 2 2} 2

1

2 Ce ^{α x} Kx Ce ^{α x} ECe ^{α x}

m  x ^{    }

  

Vi deriverar: ^{2 2 2 2 2}

2 2 1

2 C α xe ^{α x} Kx Ce ^{α x} ECe ^{α x} x

m  ^{    }

 

2 2

2 2

2 2

2 ) 1

2 1 (

2 ^ m 2 α ^ α x Ce ^{ α x } Kx Ce ^{ α x } ECe ^{ α x}



 

 ^{2 2}  ^{2 2 2 2}

2 2 α 2 bx  c  4 α x ( bx  c )  2 b α x e ^{ α x}  1 Kx Ce ^{ α x}  ECe ^{ α x}

 

För att få en lösning där E är ett egenvärde (och ej bero av x ) måste x ² -termer ta ut varandra.

Detta ger att: dvs ^{2 2 2 2} 2

4 1

2 α x Kx

m ^

 α Km

2 

 1

Från mekaniken vet vi att vinkelfrekvensen för den här typen av svängning är ω = √( K / m ) Vilket ger att

2  ω α  m

De termer som nu finns kvar i Schrödingerekvationen ger då 2 ^{2 2} 2

2 α Ce α x ECe α x

m ^{  }

 dvs egenvärdet E blir då: m ω ω

E m _



 2

1 2 2

2

2 



Hade vi istället ansatt att C = bx + c och satt in i Schrödingerekvationen och deriverat får vi

  ^{2 2 2 2}

2

2 ) 1

(

2 2 α x bx c b e ^{α x} Kx Ce ^{α x} ECe ^{α x} x

m ^{       }

 

där C = bx + c

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Vi har sålunda hittills två lösningar med energiegenvärden respektive E _ ω 2

 1 E _ ω

2

 3

Man kan fortsätta och lösa nästa högre ordning och får då egenfunktion av typen med energiegenvärde

α

2

2 ( 1 4 α x 2 ) e ^x

A  ^

ω

E _

2

 5

Fortsätter man ännu längre fås: E _n n  _ ω



 

  

 2

1 där n=0, 1, 2, …

Att just är den lägsta nivån kan bl.a. visas mha Heisenbergs obestämbarhetsprincip. E _ ω 2

0  1

Förutom att kvantoscillatorn är en av få fall där

Schrödingerekvationen kan lösas analytiskt är den dessutom en god approximation till potentialen nära jämviktsläge i en tvåatomig molekyl med kovalent bindning.

Nära jämviktsläget kan Morse-potentialen approximeras med en harmonisk oscillator

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Egenskaper hos harmoniska oscillatorn:

Om vi nu använder kan vi skriva grundtillståndet som:

 m ω b 

2 ω : 1 egenvärde ) π

(

ψ ₀  ^{1 / 2}

^{2 2}

^{/ 2} ₀  



 



  b e ^ E

x ^{x b}

Första exciterade tillståndet ψ ₁ skall ha ett nollställe osv så att n:te ψ _n har n nollställen.

2 ω : 3 egenvärde )

2 π ( ) 2

(

ψ ₁  ^{1 / 2}

^{2 2}

^{/ 2} ₁  



 



  b bx e ^ E

x ^{x b}

2 ω : 1

egenvärde )

π (

! ) 2 (

ψ ^{1 / 2}

^{2 2}

^{/ 2}  



 

  

 



 



  n b H bx e ^ E n

x _{n n} ^{x b} _n

n

Där H _n är Hermitepolynom: H ₀ =1, H ₁ =2x, H ₂ =4x ² -2, H ₃ =8x ³ -12x ...

Egenfunktionerna är ortonormala

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Ytterligare egenskaper:

1. Oscillatorn har sannolikhet >0 att vara utanför det klassiska intervallet -A<x<A (där A är amplituden) 2. Positionsväntevärden:

3. Rörelsemängdsväntevärden:

4. Osäkerhetsprodukt:

n b x

x b x

n x

x ¹

2 Δ 1

osäkerhet 1

2 , 1

0 ² ₂ ^{2 2}  

 



 





 



 

  







 p p p n b

b n p

p 2

Δ 1 osäkerhet 2

, 1

0 ²  ^{2 2}  ²  ²  



 

  





 



 

  

 2

Δ 1

Δ p x n I grundtillståndet: n =0:

Dvs Heisenbergs osäkerhetsrelation uppfylls som en likhet.

En Gausisk vågfunktion sägs därför ha minimal osäkerhet.

2  Δ 1 Δ p x 

I vändpunkten x _n för en klassisk oscillator är all energi potentiell.