Bundna och obundna tillstånd.Ett förenklat fall är följande potentialbrunn:U = 0U = -U

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Bundna och obundna tillstånd.

Ett förenklat fall är följande potentialbrunn: U = 0

U = -U₀ U = ∞

0 L





















L , 0

L 0 , U

0 , )

( ₀

x x x x

U

^{där U0> 0}

) ( ψ ) ( ψ ) ) ( ( ψ ) 2

( ψ

Hˆ ^{2 2} ₂

U x x E x

dx x d

x

 

m

 

Lösningar skall uppfylla Schrödingerekvationen (SE):

Rand- och kontinuitetsvillkor: kontinuerliga

d L) ( ψ och d ) L ( ψ , 0 ) 0 (

ψ

x

^{ }

x

^

x x

^

Bundna tillstånd har

E

<

U

(

x

=∞) och kan inte nå

x

=∞  ψ(

x

=∞) = 0 Obundna tillstånd har

E

>

U

(

x

=∞) och kan nå

x

=∞  ψ(

x

=∞) ≠ 0

x

(Från detta förenklade fall kan vi dra slutsatser som senare kan appliceras på mer komplicerade potentialbrunnar i t.ex. atomer och molekyler)

Bundna tillstånd:

Studera lösningar i de tre delområdena längs x-axeln.

x

< 0: ψ = 0

0 <

x

< L: ψ( ) Uψ( ) ψ( ) ψ( ) ψ( ) där 2 ( U) 0

2 ^{2 02 02 2 0}

2 2 0

2

2       



d dx x x E x d dx x k x k m E

m





För bundna tillstånd är -U₀<

E

< 0 (inga lösningar finns med E< -U0eftersom E= Ekin– U0 och Ekin 0)

 ) U (

2 ₀

0



m E



k

Vågfunktion: ψ(

x

)

A

sin

k

0

x



B

cos

k

0

x

B

= 0 eftersom ψ(0) = 0

x

> L:



 



 

 





x m E E m

dx x d

2 0 α

) ( α 2 där ) ( ψ ) α (

ψ 2 ^{2 2}

2

2 



SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

kontinuitet för ψ(

x

^{= L)  A}sin^k0^L^C e^αL kontinuitet för ψ’(

x

= L) 

Dividera ekvationerna med varandra:

k

₀cot

k

₀L-α Icketriviala lösningar finns bara för vissa värden på

k

0och α  kvantiserade energinivåer Dessa värden beror av varandra genom

0 02 2 2

2 U

2 2

α  





k m

E

^

m

^

Med w ur får vi ekv. systemet

m

2 U₀²w²

2 2 02α w

k Löses t.ex. grafiskt

I figuren ser vi att

lösningar 2 inga

w π 

L

lösningar L två

2 π w 5 2L

π

3   

lösning L en

2 π w 3 2L

π   

. . .

k

₀

α

i enheter av π/L i enheter

av π/L

C L

L k A

k₀ cos ₀ α e^α

α - L cot ₀

0

k



k

I det klassiskt förbjudna området

x

> L är

E

<

U

(

x

), men kvantmekaniskt finns en sannolikhet > 0 att hitta partikeln där:

α 2

2 Ce

ψ  ^x

δ = 1/α kallas penetrationsdjupet

Bindningsenerginges av (baserat på att ψ(x =∞) = 0 ) δ 0

2 2

ε  ²α²  ²₂ 

m E

^

m

^

Partikeln penetrerar djupare för låga bindningsenergier.

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Obundna tillstånd

U = 0

U = -U₀ U = ∞

0 L

Betrakta fallet

E

> 0

E

Antag att partiklar infaller från

x

= ∞ med och vågtal ur Ψ(

x

,

t

)^ψ(

x

)e^iEt/

E

^₂²

m k

²

Tidsoberoende SE lösningar:

0 <

x

< L: som tidigare med

x

> L: ψ’’ = -

k

² ψ  ψ(

x

) =

C

sin(

kx + 

) där  är ett fasskift

x

k A x

) sin 0

(

ψ 

 ) U (

2 ₀

0



m E



k

(ingen cos komponent pga randvillkor i x =0)

Kontinuitet i

x

= L hos ψ och ψ’ ger



δ



sin sin

:

ψ

A k

₀

x



C kx

 ψ:'

k

₀

A

cos

k

₀

x



kC

cos

 kx

δ



Dividera 

k

₀cot

k

₀

x



k

cot

 kx

δ



Lösningarna ger inte upphov till energikvantisering

Vi kan skjuta in partiklar med vilken energi vi själva vill. För givet värde på

E

^{får vi}

k

^och

k

0ur

m k k m

E

U ₂

2

2 2 0 02

2 

  



Fasskiftet δ bestäms därefter ur

k

₀cot

k

₀

x k

cot

 kx

δ



δ arccot

k k

⁰cot

k

₀L^

k

L



 



 







Kollisionen ändrar inte partikelns energi (elastisk kollision), men däremot ändras vågtal och hastighet:

L 0 ,

L ,

0 0  







m k x v

m k x m p v





SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Spridning mot potentialbarriär.

Potentialmodell (idealiserad):

U = 0 U = U_B

0 L

x

infallande transmitterade

reflekterade



  

 0 ,för övrigt L 0 , ) U

( ^B

x

x U

Kvantmekaniskt kommer en partikel med vissa sannolikheter att reflekteras och transmitteras, både för

E

> U_B och

E

< U_B vilket inte är klassiskt möjligt !!!

x

< 0: Infallande fritt partikeltillstånd med energi

E

k m E B

A

x

) e^ikx e ^ikx , ₂ (

ψ   ^ ^{2 2}

infallande reflekterad

intensitet: |

A

|² |

B

|² Inuti barriären 0 <

x

< L: (2 fall)

1)

2)

x i x

i

D

C

E m E

α α

B 2 2 B

e e

ψ

2 U , α

κψ ' ' ψ U

 













 

x

x

D

C E m

E

α α

B 2 2 B

e e

ψ

2 U , α

κψ ' ' ψ U





















x

> L: Transmitterad partikel

F

ikx

x

^{) e} (

ψ 

intensitet: |

F

^|2

Notera:

U

(x) =0 både för

x

< 0 och

x

> L ger samma

k

Vi kan då definiera

Transmissionskoefficienten Reflektionskoefficienten

En inkommande partikel måste antingen reflekteras eller transmitteras 

T

⁺

R

^{= 1}

2 2

A T



F

2 2

A

R



B

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Tunnling.

Kontinuitet hos ψ(x) och ψ’(x) ger

U = 0 U = U_B

0 L

x

U = 0

E

Intressanta fallet:

E

< U_B

) 2 ( κ

κ i i

) 1 ( 0

D C kB kA

D C B A x



















) 4 ( e

i e α e α

) 3 ( e

e e

i α

α

i α α

kL L

L

kL L

L

kF D

C

F D C

L x



















Ur dessa ekvationer vill vi nu få ett förhållande mellan

F

och

A

för att beräkna transmissioskoefficienten Eliminera

B

ur (1) & (2): 2i

kA

(αi

k

)

C

(αi

k

)

D

(5)

Eliminera D ur (3) & (4): 2α

C

e^αL (αi

k

)

F

e^ikL (6) Eliminera F ur (3) & (4):

 

) 7 ( i e

α i α

0 e ) i α ( e i α

α 2

α α

L L L

k C D k

D k C

k







 











Insättning av 6 & 7 i 5 ger: ^{2 i( α ) 2} e^{i( α)}

α 2

) i α e (

α 2

) i α ) ( i α ( ) i α ( i

2

kA

 

k C

 

k D

 

k F

^{kL L}  ^

k F

^{kL L}

Vi kan nu beräkna

 



^{2 2}



²

2 2 2

22 2

2 2

2 2

α 4 α ) α ( sinh

α 4 α

 

 



k L k

k k A

T F



^{2 2}



²

2 2 2

2 2

2

α 4 α ) α ( sinh

) α ( 1 sinh

 









k L k T L

A R B

Om vi istället tar fram en approximativ lösning som gäller för en bred barriär:

L

>> 1/α

 

 

^L

kL L

k A F k

C k kA

C D

α i

α 2

i e α

α i e 4

) 6 (

i α i

2 ) 5 (

) 7 ( enl 1

e





 





















 k 

^L

k A

T F

₂² ₂ ² ₂²₂e ^2α α α

16 

 

 med ²2 ₂ och α²2



₂



_





E U mE m

k

^B

 

L

B

U U

B

E T

16

E

₂ e^2α



Approximativt giltig då e^2αL  1