Matematikdidaktik och specialpedagogik

(1)

Matematikdidaktik och specialpedagogik

Modulen ger dig som är matematiklärare, speciallärare eller specialpedagog stöd och redskap för att utveckla undervisningen för elever som är i behov av extra anpassningar i matematik.

Modulen fokuserar på att anpassa matematikundervisningen så att den blir tillgänglig för varje elev. Specialpedagogiska perspektiv redovisas i modulens inledning.

Reflektion och ökad medvetenhet om deras betydelse för undervisningens utformning, genomförande och effekter kan främja en inkluderande matematikundervisning.

De matematikdidaktiska texterna diskuterar kända missuppfattningar och hur undervisningen kan förebygga svårigheter och underlätta för elevers lärande. Aktiviteterna är valda för att ge er stöd vid såväl planering som i

undervisningssituationen. För att skapa goda förutsättningar för arbetet med extra anpassningar poängteras vikten av samarbete mellan de olika yrkeskategorierna som möter dessa elever.

Modulens matematikinnehåll rör i huvudsak taluppfattning, från grundläggande aspekter av tal till förtrogenhet med aritmetiska beräkningar. Att ha god taluppfattning innebär att elever förstår tal, förstår vad som händer när de opererar med tal och kan göra effektiva beräkningar. För att alla elever ska nå så långt som möjligt behöver undervisningen betona de matematiska begreppen och deras samband. I det arbetet är representationer, resonemang, kommunikation och problemlösning både sätt att lära och förmågor att utveckla.

Modulen belyser dessutom faktorer som kan påverka utvecklingen av elevers taluppfattning, bland annat lässvårigheter, motivation, begränsningar i arbetsminnet och uppgiftsorientering.

Modulen består av följande delar:

1. Tillgänglighet till matematik 2. Begrepp och representationer 3. Matematikängslan och motivation 4. Trösklar i matematiklärandet

5. Undervisningsmetoder och arbetssätt 6. Problemlösning

7. Extra anpassningar 8. Didaktiska modeller

Revision: 3 Datum: 2019-03-06

(2)

Del 7. Extra anpassningar

Extra anpassningar har redan berörts bland annat i samband med läs- och skrivsvårigheter samt problemlösning. I denna del vidgas diskussionen utifrån skollagen och den regeringsproposition som låg till grund för beslutet om att dela upp skolans arbete i extra anpassningar och särskilt stöd för elever i svårigheter.

Utöver anpassningar i och utanför klassrummet, anpassade läromedel och annan stödjande utrustning diskuteras digitala verktyg och vad forskning visar om dess förtjänster och brister i förhållande till elever i matematiksvårigheter.

Denna del handlar också om att genom kartläggning och intervju upptäcka och analysera kunskapsbehov hos elever i matematiksvårigheter så att den ordinarie undervisningen kan kompletteras med väl valda extra anpassningar.

Syftet med delen är att ge underlag för att diskutera, ta fram och använda väl valda extra anpassningar i klassrumspraktiken.

Del 7: Moment A – individuell förberedelse

Läs

Texten ”Extra anpassningar i matematikundervisningen” handlar inledningsvis om extra anpassningar enligt skollagen och följs av vad det kan innebära för matematikundervisningen. Aktuell forskning om digitala verktyg i förhållande till elever i matematiksvårigheter presenteras. För att veta vad som är lämpliga extra anpassningar på individnivå kan kartläggningar och elevintervjuer genomföras. Genom analys av resultat synliggörs elevens kunskaper och vilka kunskapsbehov som finns.

Ett antal punkter finns som stöd för analysen.

• Information som överförs i flera led kan förändras, medvetet eller omedvetet.

Känner du igen din egen skolvardag med extra anpassningar i de texter som ligger till grund för extra anpassningar och särskilt stöd?

• Överensstämmer forskningsresultaten om digitala verktyg med dina egna erfarenheter?

• Du gör säkert jämförelser med ditt eget sätt att kartlägga och analysera elevers kunskaper och behov när du läser texten. Vad känner du igen dig i? Vad i texten ger tankar om utvecklingsmöjligheter?

• Vilka förslag från texten på extra anpassningar i matematikundervisningen, ger dig nya idéer som du tror passar i din undervisning?

Material

Extra anpassningar i matematikundervisningen Peter Nyström, Helena Roos, Görel Sterner, Lena Trygg

(3)

Extra anpassningar i matematikundervisningen Mars 2019

https://larportalen.skolverket.se 1 (10)

Matematik, Specialpedagogik – Grundskola åk 1–3 Modul: Matematikdidaktik och specialpedagogik Del 7: Extra anpassningar

Extra anpassningar i matematikundervisningen

Peter Nyström, NCM, Helena Roos, Linnéuniversitetet, Görel Sterner, NCM och Lena Trygg, NCM

Läroplanen för grundskolan (Skolverket, 2016) föreskriver att undervisningen ska anpassas till varje elevs förutsättningar och behov och att den ska främja elevernas fortsatta lärande och kunskapsutveckling med utgångspunkt i elevernas bakgrund, tidigare erfarenheter, språk och kunskaper. Skolan ska alltså erbjuda undervisning som främjar alla elevers lärande, och som anpassas till individers behov. God undervisning (se t.ex. Schoenfeld, 2014) ger alla elever bättre möjligheter att lära sig, men även den bästa undervisningen kan vara otillräcklig för att möta enskilda elevers behov. När vi talar om extra anpassningar och matematik avses mer specifikt vad som kan göras för att elever i matematiksvårigheter ska få bästa möjligheter att lära sig matematik. Vi kommer här att diskutera vad extra

anpassningar kan betyda i matematikundervisningen för årskurs 1–3.

Extra anpassningar enligt skollagen

Skollagen (3 kap. 5 §) säger att om det framkommer att en elev inte kommer att nå de kunskapskrav som minst ska uppnås ska eleven skyndsamt ges stöd i form av extra

anpassningar inom ramen för den ordinarie undervisningen. Skollagen föreskriver också (10 kap. 13 §) att en skriftlig individuell utvecklingsplan ska presenteras en gång per läsår, vid ett av utvecklingssamtalen, där läraren ska ge omdömen om elevens kunskapsutveckling men också sammanfatta vilka insatser som behövs för att eleven ska nå kunskapskrav och i övrigt utvecklas så långt som möjligt inom ramen för läroplanen.

Om det trots stöd i form av extra anpassningar inom ramen för den ordinarie

undervisningen kan befaras att en elev inte kommer att nå de kunskapskrav som minst ska uppnås, ska detta anmälas till rektorn (Skollagen, 3 kap. 7 §). Detsamma gäller om det finns särskilda skäl att anta att sådana anpassningar inte skulle vara tillräckliga. Rektorn ska se till att elevens behov av särskilt stöd skyndsamt utreds.

I den proposition som ligger bakom nuvarande formuleringar om extra anpassningar i skolan (Prop. 2013/14:160) ger regeringen en bakgrund till utformningen av lagen.

Regeringen menar att det även innan lagen ändrades föll inom lärarnas kompetensområde att uppmärksamma elevers stödbehov och tillhandahålla stöd inom ramen för den ordinarie undervisningen. Den nuvarande lagstiftningen om extra anpassningar ålägger därmed, enligt regeringen, inte lärarna något som inte redan ingår i professionen, och huvudregeln bör vara att elevers behov av stöd ska kunna hanteras inom ramen för de resurser som lärare eller lärarlag har tilldelats. Men regeringen påpekar också att rektorn alltid ansvarar för att se till att givna resurser fördelas på ett lämpligt sätt utifrån elevernas behov och att

resursfördelningen vid behov ses över. Anmälan till rektor om behov av särskilt stöd bör

(4)

som huvudregel göras först om det trots att stöd i form av extra anpassningar har getts kan befaras att en elev inte kommer att nå de kunskapskrav som minst ska uppnås. Men regeringen påpekar i propositionen också att det finns fall där särskilt stöd kan behöva sättas in relativt omgående. Det bygger i så fall på lärarens bedömning att det stöd som kan tillhandahållas i den ordinarie undervisningen inte kommer att vara tillräckligt.

I propositionen (2013/14:160) finns också exempel på vad extra anpassningar kan vara.

Regeringen skriver att det kan handla om att hjälpa en elev med att planera och strukturera sina studier med hjälp av ett särskilt schema över skoldagen, extra tydliga instruktioner eller stöd för att sätta igång arbetet. De kan också handla om att läraren ger hjälp med att förstå texter, alternativa förklaring till ämnesinnehåll eller erbjuder extra färdighetsträning inom ramen för den ordinarie undervisningen (t.ex. lästräning eller mattestugor). Regeringen räknar också enstaka specialpedagogiska insatser under en kortare tid (t.ex. två månader) som extra anpassningar samt särskilda läromedel eller utrustning och digital teknik med anpassade programvaror.

Vi menar att det finns ett brett spektrum av åtgärder som kan betecknas som extra anpassningar i matematikundervisning. Det som några elever behöver som en extra

anpassning är många gånger gynnsamt även för många av de övriga eleverna och därför kan åtgärder som införs som extra anpassning övergå till att bli en del av den ordinarie

undervisningen. En illustration för det, men i omvänd ordning, är Gudrun Malmers boktitel

”Bra matematik för alla – Nödvändig för elever med inlärningssvårigheter” (2002). Lärare skapar också egna repertoarer av extra anpassningar. En del av dem görs intuitivt medan andra formuleras mer medvetet, en del sker informellt genom lärarens särskilda

uppmärksamhet till elever som behöver det bäst och andra har en mer formell eller explicit karaktär som riktade aktiviteter. Lärarnas syn på matematikundervisning spelar troligen stor roll vid val av extra anpassningar. På skolor där undervisningen domineras av ett

läroboksnära arbetssätt kan alternativa böcker på en mer grundläggande nivå, urval av uppgifter samt lösningar för att placera eleven ostört i klassrummet vara extra anpassningar.

På skolor där undervisningen är mer uttalat undersökande kan extra anpassningar handla om användning av olika representationer och andra medvetna sätt att planera lektioner så matematikinnehållet görs tillgängligt för alla elever, samtidigt som det ger läraren möjlighet att genomföra extra anpassningar för enskilda elever.

Arbete med extra anpassningar i matematikundervisningen

Elevers behov av extra anpassningar kan uppmärksammas och identifieras genom att lärare värderar elevers utveckling i relation till kunskapskraven, uppmärksammar var, när och hur svårigheter uppträder och genom samtal med eleverna tar reda på vilka anpassningar de själva föreslår.

Introduktion och inledande stöd

I huvudsak sker inledande stöd i två olika situationer, dels när lektionsarbetet påbörjas eller

en ny aktivitet introduceras och informationen riktar sig till samtliga elever, dels när en

enskild elev behöver stöd för att komma igång med sitt eget arbete. En introduktion

(5)

innebär att elever får en inblick i vad som ska hända eller vad de ska göra, och den bör skapa förväntan och nyfikenhet. I introduktionen kan läraren också ställa frågor som motiverar eleverna att undersöka material, aktiviteter eller problem och vad arbetet kan leda till. Därmed inte sagt att läraren behöver berätta exakt vad som ska hända eller vad eleverna förväntas lära sig.

Alla elever kan ha nytta av att få en arbetsbeskrivning som stöd i sitt arbete. Som extra anpassning kan beskrivningen behöva förtydligas med exempelvis numrerade listor som mer exakt visar i vilken ordning olika delmoment ska genomföras eller att elever ges möjlighet att bocka av de delar som de har tagit sig an. Andra extra anpassningar kan vara att ge mer utrymme att skriva på eller att läraren tillhandahåller skrivbara pdf:er.

Hjälp att förstå texter

Vid tidigare beskrivningar av extra anpassningar för att kompensera vid lässvårigheter eller begränsat arbetsminne liksom vid arbete med problemlösning har det redan varit relativt stort fokus på hur texterna kan anpassas. Ibland har beskrivningarna av de extra

anpassningarna överlappat varandra och utöver dem finns det fler aspekter att ha i åtanke vid val av anpassningar som kan stödja elever.

Alla elever behöver arbeta med matematikord för att få god förståelse för dem (Riccomini, Smith, Hughes & Fries, 2015) och då kan de ha nytta av en egen ”matematikordbok”. Hur de ser ut vad gäller form, omfattning och hur de används i undervisningen varierar, men de är ofta individanpassade på så sätt att eleverna själva skriver och utvecklar ord och

begreppsdefinitioner med lärarens och kamraternas stöd.

Tankekartor

Tankekartor av olika slag kan underlätta för elever att få struktur och förståelse för ord, termer och begrepp som förekommer både muntligt och i text på matematiklektioner. I en matematikordbok samlas ord och i en tankekarta kan även samband visas. Det är inte säkert att elever kan dra nytta av en tankekarta som någon annan har gjort. Eleverna bör själva vara med och ta fram innehållet för att sedan kunna använda det som ett stöd i det fortsatta lektionsarbetet för att strukturera och tolka texter. Låt elever i matematiksvårigheter, i diskussion med läraren, markera det de är säkra på i den egna tankekartan. Det som därefter är kvar är det som de behöver möta i den kommande undervisningen. Eleverna kan sedan över tid se att de kan markera allt fler delar och att de har kunskap om det som finns på den gemensamma tankekartan.

Anpassade läromedel och annan stödjande utrustning

Text och bilder i läroböcker och annat skriftligt material kan på olika sätt både stödja och

hindra elevers lärande i matematik (Shuard & Rothery, 1988). Ibland kan för lite text göra

det svårare, även om vi tror att det förenklar. Ibland kan en bild förvilla mer än vad den

stödjer. Elever kan behöva en tydligare, mer avskalad och strukturerad layout med

begränsad information för att kunna orientera sig. Ibland behövs en kunskapsmässigt

lättare nivå, vilket vissa läromedel tillhandahåller genom olika spår eller nivåer. För att

(6)

kunna genomföra extra anpassningar, bland annat med tanke på förekommande

lässvårigheter, kan det vara en fördel att använda läromedel som också är inläst digitalt eller erbjuder tillgång till talsyntes.

Tidsbegreppet är svårt för många. Det är svårt att mäta tid eftersom den varken kan ses eller röras vid. Visarna eller siffrorna på klockan är alltid i rörelse och storheten som ska mätas kan inte konkretiseras som andra storheter (Wernberg, 2009). Att lära sig klockan handlar om mycket mer än siffror och antal (Monroe, Orme & Erickson, 2002; Grauberg, 1998), det behövs bland annat förståelse för både absolut tid (ett bestämt klockslag) och relativ tid (en tidsrymd). För att utveckla sitt tidsbegrepp och sin tidsuppfattning behöver eleverna dels få en känsla för tid, dels förmåga att orientera sig i tid, samt förmåga att planera tid (Janeslätt, Granlund, Kottorp & Almqvist, 2010).

Det är nödvändigt ”att kunna klockan” för att fungera väl i vårt samhälle. En del elever behöver stöd för att veta hur länge de ska hålla på med en uppgift, andra hjälp med att passa tider. Om någon elev har svårigheter med tidsbegreppet kan läraren undersöka om eleven har det matematiska kunnande som förutsätts. Tid som matematiskt område är komplext då det bygger på både 60-bas och 10-bas samt både linjära och cirkulära tallinjer som dessutom uttrycks både analogt och digitalt.

Förutom att undersöka elevens matematiska kunnande kan läraren se över vilka hjälpmedel som finns. Det utvecklas ständigt stödjande utrustning för att underlätta för personer som har svårigheter med tidsbegreppet. Det finns exempelvis hjälpmedel för nedräkning av tid där färgade områden försvinner allteftersom tiden går. Det finns även appar med olika påminnelsefunktioner.

Digitala verktyg

Tillgång till digitala verktyg kan göra introduktioner, genomgångar, undersökningar och redovisningar mer flexibla och möjliggöra fler inslag med bild och ljud som kan öka elevernas delaktighet, motivation och koncentration. Ett exempel är digitala responssystem som kan hjälpa läraren att snabbt få en överblick av elevernas förståelse i ett litet, begränsat och väl utvalt område. Digitalt stöd i form av minnesstödsfunktioner, översättnings- och rättstavningsprogram, kamera för dokumentation, möjlighet att göra enkla tabeller och diagram etcetera kan underlätta för elever och på så sätt förbättra deras resultat. Bland skolor som lyckats väl med att genomföra extra anpassningar har det varit en fördel när lärarna snabbt har kunnat få stöd av specialpedagogisk personal för att analysera elevens behov (Skolinspektionen, 2017). Matematikläraren kan samarbeta med specialpedagog och speciallärare, och gemensamt välja och anpassa de digitala verktyg och programvaror som är lämpliga för enskilda elever i behov av extra anpassning.

Appar och dataprogram kan fungera som lustfylld färdighetsträning. Vad som är bra eller

dåligt avgörs oftare av sammanhanget där de digitala verktygen används än vid en objektiv

undersökning av dem. Det finns elever som tycker om att använda en app som enbart

behandlar ett mycket begränsat matematikinnehåll och som är avskalad från allt

(7)

ovidkommande som till exempel ljud och dekorationer. Andra elever tröttnar snabbt på sådana avskalade aktiviteter och behöver mer stimulans i form av belöningar eller att de kan ta sig allt längre in i en spelvärld. Det gäller att göra medvetna val så att de digitala

verktygen används i rätt sammanhang; färdighetsträning är en sak, begreppsutveckling en annan. Även om färdighetsträning till sin natur handlar om att göra ”mer av samma” är det inget som hindrar att elever möter innehåll de behöver öva mer på via olika

representationer och på så sätt parallellt ges möjlighet att också fördjupa sin begreppsförståelse.

Forskningsöversikter om digitala lärresurser och extra anpassning

I en forskningsöversikt om digitala lärresurser i matematikundervisningen konstaterar Skolforskningsinstitutet (2017) att undervisning med digitala lärresurser kan ha positiva effekter på elevernas lärande, i synnerhet om de används i en för övrigt rik

undervisningsmiljö. Dock är inte forskningen entydig och författarna konstaterar att

undervisning utan digitala lärresurser skulle kunna vara lika effektiv. Skolforskningsinstitutet drar slutsatsen att användning av digitala lärresurser med ett avgränsat matematikinnehåll som eleverna kan arbeta med på ett fokuserat sätt tycks vara särskilt positivt för elevernas kunskapsutveckling. Det är också gynnsamt om verktygen erbjuder eleverna möjligheter att uppleva och urskilja matematiska begrepp och processer visuellt och dynamiskt.

Forskningsöversikten innefattar studier av lärresurser som erbjuder eleverna möjlighet att arbeta självständigt men också studier av lärresurser som förutsätter lärarens närvaro och delaktighet. Skolforskningsinstitutet konstaterar att den forskning de analyserat visar att det går att nå positiva effekter på elevernas matematikkunskaper i båda fallen.

Skolforskningsinstitutets rapport säger inget specifikt om användning av digitala lärresurser i matematikundervisning för elever i matematiksvårigheter. Det gör inte heller en av de mest citerade internationella forskningsöversikterna om digitala verktyg i

matematikundervisningen (Cheung & Slavin, 2013), men där konstateras att:

Användning av teknologi i undervisningen gör blygsam skillnad för matematiklärandet.

Det är en hjälp, men inget genombrott. Men vi kan inte nöja oss med detta. Nya och bättre verktyg behövs för att ta tillvara kraften i teknologin, och ge alla barn bättre möjligheter att lära sig matematik.

(Cheung & Slavin, 2013, s. 102) Även om digitala verktyg för elever i matematiksvårigheter inte berörs särskilt i de här forskningsöversikterna finns det all anledning att ha förväntningar på att digitala verktyg kan användas för att utveckla undervisningen för alla elever.

Det finns dock forskning som särskilt fokuserat digitala verktyg för elever i

matematiksvårtigheter, även om mängden sådan forskning är ganska begränsad. Kiru,

Doabler, Sorrells & Cooc (2018) utgår från sex tidigare forskningsöversikter på området

och bidrar med nyare forskning med fokus på ett bredare spektrum av centralt

(8)

matematikinnehåll och inte mer generellt eller i andra ämnen. Forskning har påvisat att explicit undervisning har positiva effekter när det gäller att stödja elever i

matematiksvårigheter (Gersten m.fl., 2009). Det handlar bland annat om att ge eleverna en tydlig struktur för att utveckla både begreppsförståelse och procedurförmåga i matematik.

Vidare tar Kiru m.fl. (2018) upp de förändringar man gjort med digitala verktyg och hur de hänger samman med explicit matematikundervisning, vilket innebär möjligheter för elever att

 få tydliga demonstrationer och förklaringar till det matematikinnehåll som behandlas

 både genomföra övningar där de blir vägledda och att göra övningar på egen hand

 få direkt och specifik feedback baserad på sina matematikkunskaper.

Sökningen av litteratur fokuserades på åren 2000–2018 och begränsades till forskning genomförd i USA. Utifrån sina urvalskriterier hittade forskargruppen (Kiru m.fl., 2018) 19 publicerade studier. Analysen visar att de identifierade studierna i hög utsträckning visade på positiva effekter av användning av digitala verktyg. En majoritet av studierna handlade om interventioner som använde sig av en eller två av principerna för explicit undervisning.

I en annan forskningsöversikt undersökte Stultz (2017) vad forskning säger om användning av datorstödd undervisning för att undervisa elever i mer generella lärandesvårigheter. Det handlar om elever som har svårt att förstå och använda språk (talat eller skrivet), vilket manifesterar sig i svårigheter att lyssna, tänka, tala, läsa, stava eller göra matematiska beräkningar. Med datorstöd syftar Stultz på sådana digitala verktyg som presenterar skriven och bildmässig information i en logisk följd till en elev via en dator. Hon delar in dessa verktyg i två grupper, de som har en färdighets- och övningsdesign och de som har en speldesign. Datorstöd med spelkaraktär har bättre förutsättningar att fånga

uppmärksamheten hos yngre elever och elever med koncentrationssvårigheter, men för elever i grundskolans senare del kan färdighets- och övningsprogram fungera bättre. Stultz konstaterar att det inte finns särskilt mycket forskning, att den forskning som finns är ganska gammal (vilket kan vara särskilt problematiskt för ett område som är under stark utveckling på olika sätt) och att den i mycket hög grad handlar om de yngre eleverna. Den forskning som ändå finns stödjer idén att använda datorstöd för att stärka

matematikundervisningen.

Sammanfattningsvis finns det inte särskilt omfattande forskning om hur digitala verktyg kan

stödja matematiklärandet för elever i matematiksvårigheter. Forskningen har dock visat på

den digitala teknikens möjligheter att bidra till matematiklärande, och klok användning av

digitala verktyg kan hjälpa elever att erövra den matematik som de kämpar med. En annan

forskargrupp (Allsopp, Alvarez McHatton & Farmer, 2010) gör en intressant uppdelning av

digitala verktyg i två olika kategorier. Den ena kategorin består av verktyg som kan hjälpa

elever i matematiksvårigheter att överbrygga sådant som de har svårigheter med. Till

exempel handlar det om att låta elever använda miniräknare för de aritmetiska beräkningar

(9)

som de förväntas göra i algebra i högstadiet och gymnasiet. För elever med svårigheter att lära sig matematikfakta (som additions- och multiplikationstabeller) kan miniräknaren ge tillgång till matematik på högre nivå. Den andra kategorin utgörs av verktyg som gör undervisningen effektivare. Det kan till exempel handla om användning av interaktiva skrivtavlor eller programvara där eleverna kan flytta, kombinera och manipulera

geometriska objekt. Extra anpassningar genom digitala verktyg kan väljas utifrån elevens behov av att möta verktyg i endera av dessa, eller kanske båda, kategorier.

Kartläggningar och elevintervjuer

Det övergripande syftet med kartläggningar är att göra en bedömning och analysera behovet av stöd på såväl organisationsnivå, gruppnivå som individnivå. Kartläggningar utgår i regel från kursplanen i matematik, men för att få en mer allsidig bild av vad i undervisningen som lett till svårigheter kan kompletterande kunskap från forskning vara betydelsefull. Analys av kartläggningsresultat kan, beroende på vilken nivå och med vilket innehåll och syfte de har genomförts, både formulera nya frågor och ge svar på befintliga:

 Vilka resurser finns att tillgå för att svara mot behov som blir synliga?

 Vad i lärmiljön kan vi kollegialt förbättra för att underlätta för elever att bli mer delaktiga?

 Kan vi ändra något i vårt bemötande av elever så de känner sig mindre ängsliga eller blir mer motiverade?

 Vilka extra anpassningar av läromedel, laborativa material och digitala verktyg kan samplaneras?

 Vilka extra anpassningar av ämnesinnehållet är nödvändiga för att möta eleven på dennes kunskapsnivå?

Kartläggningar

Det finns många olika kartläggningsmaterial i matematik. Vilka material som är lämpliga för analys och för fortsatt kunskapsutveckling för elever i matematiksvårigheter är upp till undervisande matematiklärare och speciallärare i matematik att avgöra. För att på bästa sätt analysera elevsvar och arbeta fram didaktiska och relationella anpassningar i

matematikundervisningen är det ofta en fördel om kollegor har möjlighet att sambedöma och analysera resultat av de kartläggningar som genomförs.

Effektiv undervisning bygger på det elever redan kan (Leatham, Peterson, Stocketo & Van Zoest, 2015). När elever själva förstår vad de kan ökar deras självtillit och tilltro till förmågan att även ta sig an det de för närvarande inte kan. Lärare uttrycker ibland: Vad gör

jag när jag inte når fram till en elev? Detta sammanfaller väl med en formativ klassrumspraktik

som tar reda på var eleven befinner sig i sin kunskapsutveckling för att veta hur den ska nå uppsatta mål (Lindenskov & Weng, 2016).

Elever lär sig matematik på olika sätt, i olika ordning och i olika takt (McIntosh, 2008). Vad

de lär sig är beroende av deras erfarenheter och upplevelser av matematik. En naturlig del

av lärares uppdrag är därför att kontinuerligt utvärdera undervisningen med utgångspunkt i

(10)

elevernas erfarenheter, förutsättningar och behov. Informationen behövs för att justera och anpassa nästa steg i undervisningen. För att lärare ska kunna bilda sig en god uppfattning om elevers kunskaper är en förutsättning att eleverna får visa sitt kunnande på flera olika sätt och i olika sammanhang. Det kan ske genom att läraren lyssnar och reflekterar över elevernas samtal, argumentation och lösningsförslag på uppgifter och problem, vilka strategier de använder, hur de arbetar med olika representationer och hur de förstår

begrepp och deras samband. Men att veta vad en elev faktiskt kan är inte alltid lätt att fånga i den pågående undervisningen. Som komplement till annan information kan det därför vara värdefullt för lärare att kartlägga elevers kunskaper med hjälp av testuppgifter inom specifika matematikområden. Sedan går det ofta, men inte alltid, att finna troliga orsaker till varför svårigheter uppstår i undervisningen. Med elevintervjuer och uppföljande samtal går det att komma lite djupare i förståelse av en elevs kunnande samt fånga elevens egna erfarenheter av vad som fungerar bäst för denne.

Elevintervjuer och samtal

Lösningar på testuppgifter ger information om i vilken mån elever löser uppgifterna korrekt eller inte, och i vissa fall kan det vara möjligt att härleda felaktiga lösningar till särskilda misstag som elever gör, kunskapsluckor eller brister i undervisningen. Men för att upptäcka och analysera vad en elev mer exakt kan räcker inte observationer, enskilda skriftliga test, muntliga och skriftliga diagnoser och andra former för gruppbaserade bedömningar. För att kunna anpassa undervisningen är det nödvändigt att följa upp resultaten med informella samtal under lektionen eller med mer planerade intervjuer med elever vars kunskaper och färdigheter läraren behöver få veta mer om.

Avsikten med en intervju är att ge läraren fördjupade insikter i hur en elev tänker och vilka strategier som eleven använder genom att eleven får visa och förklara lösningsprocessen för läraren (McIntosh, 2008). Läraren väljer ut 3–4 uppgifter som avser att ge fördjupad information om elevens kunskaper inom det aktuella området. Eleven försöker besvara lärarens frågor genom att ”tänka högt” under lösningsprocessen, med andra ord är det i huvudsak eleven som ges tillfälle att prata och berätta med egna ord. Läraren lyssnar samtidigt på vad eleven har att säga om sin matematikutveckling och varför han/hon har besvarat frågorna som han/hon gjort.

En elevintervju är inte ett undervisningstillfälle eftersom syftet är att få underlag för den fortsatta planeringen. Läraren förhåller sig neutral och ger varken positiv eller negativ respons. Många elever är duktiga på att tolka lärarens reaktioner för att försöka göra läraren nöjd, men felaktiga svar i en intervju är lika viktiga som korrekta svar. Sammantaget hjälper de till att ringa in elevens kunnande och eventuella missuppfattningar. För att undvika att eleven känner sig obekväm när läraren inte ger respons, kan läraren i förekommande fall berätta för eleven varför han/hon inte vill visa med sitt minspel vad som är rätt eller fel.

Nedanstående frågor är baserade på (McIntosh, 2008). Exempel på fördjupad information

om elevens styrkor och svagheter som en analys av en intervju kan bidra med är:

(11)

• I vilken mån ger eleven uttryck för tilltro till sin egen förmåga?

• Har eleven den taluppfattning som krävs för att kunna lösa de aktuella uppgifterna på ett utvecklingsbart sätt? Om inte – var bottnar eleven?

• Gör eleven specifika misstag och finns det ett mönster i dessa misstag?

• Beror felaktiga lösningar på att eleven saknar proceduriella eller begreppsliga kunskaper?

• Kan eleven lösa aktuella uppgifter med andra representationer än de som använts i det ursprungliga testet?

• Kan eleven läsa och tolka uppgiften på ett korrekt sätt? Finns det ord och uttryck som eleven inte behärskar?

• Kan eleven översätta från en situation beskriven i skriftlig form till ett aritmetiskt uttryck och vice versa: kan eleven översätta ett aritmetiskt uttryck till en verklig eller tänkt situation?

I såväl ett informellt samtal som i en intervju kan eleven även ges möjlighet att reflektera över lärmiljön, sin motivation, vad i undervisningen som fungerar bra eller mindre bra och vad som upplevs som meningsfullt. Resultat av analysen kombinerat med övrig information om elevens styrkor och svagheter leder till reflektioner över hur den fortsatta

undervisningen kan planeras och vilka extra anpassningar som bör genomföras så att eleven kan utveckla sitt matematikkunnande. De specialpedagogiska insatserna behöver

kontinuerligt följas upp och utvärderas genom såväl informella avstämningar med eleven som mer formella och formativa kartläggningar.

Referenser

Allsopp, D. H., Alvarez McHatton, P., & Farmer, J. L. (2010). Technology, mathematics PS/RTI, and students with LD: What do we know, what have we tried, and what can we do to improve outcomes now and in the future? Learning Disability Quarterly, 33(4), 273–288.

Cheung, A. C. K., & Slavin, R. E. (2013). The effectiveness of educational technology applications for enhancing mathematics achievement in K–12 classrooms: A meta-analysis.

Gersten, R., Chard, D. J., Jayanthi, M., Baker, S. K., Morphy, P., & Flojo, J. (2009).

Mathematics instruction for students with learning disabilities: A meta-analysis of instructional components. Review of Educational Research, 79(3), 1202-1242.

Janeslätt, G., Granlund, M., Kottorp, A. & Almqvist, L. (2010). Patterns of time processing ability in children with or without developmental diabilities. Journal of Research in Intellectual

Disabilities, 23(3), 250-262.

Kiru, E. W., Doabler, C. T., Sorrells, A. M., & Cooc, N. A. (2018). A synthesis of

technology-mediated mathematics interventions for students with or at risk for

mathematics learning disabilities. Journal of Special Education Technology, 33(2), 111–123.

(12)

Leatham, K. R., Peterson, B. E., Stocketo, S. L. & Van Zoest, L. R. (2015). Conceptualizing mathematically significant pedagogical opportunities to build on student thinking. Journal for

Research in Mathematics Education, 46(1), 88–124.

Lindenskov, L. & Weng, P. (2016). Matematikvanskligheder tidlig intervention. Viborg: Dansk Psykologisk Forlag.

Malmer, G. (2002). Bra matematik för alla – Nödvändig för elever med inlärningssvårigheter. Lund:

Studentlitteratur.

McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal. NCM, Göteborgs universitet.

Monroe, E. E., Orme, M. P., & Erickson, L. B. (2002). Working Cotton: Toward an understanding of time. Teaching Children Mathematics, 8(8), 475–479.

Riccomini, P. J., Smith, G. W., Hughes, E. M. & Fries, K. M. (2015). The language of mathematics: The importance of teaching and learning mathematical vocabulary. Reading

and Writing Quaterly, 31(3), 235–252.

Regeringen, prop. 2013/14:160

Schoenfeld, A. H. (2014). What makes for powerful classrooms, and how can we support teachers in creating them? Educational Researcher, 43(8), 404–412.

Shuard, H. & Rothery, A. (1988). Children Reading Mathematics. Oxford: Alden Press.

Skolforskningsinstitutet (2017). Digitala lärresurser i matematikundervisningen. Solna:

Skolforskningsinstitutet.

Skolinspektionen (2017). Årsrapport 2016. www.skolinspektionen.se/sv/Beslut-och-

rapporter/Publikationer/Rapport-till-regeringen/Arsrapport/arsrapport/

Skolverket (2016). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011: reviderad 2016.

(3., kompletterade uppl.) Stockholm: Skolverket.

Stultz, S. L. (2017). Computer-assisted mathematics instruction for students with specific learning disability: A review of the literature. Journal of Special Education Technology, 32(4), 210–219.

Sverige (2018).

Skollagen (2010:800): med lagen om införande av skollagen (2010:801). (Åttonde

upplagan). Stockholm: Wolters Kluwer.

Wernberg, A. (2009). Lärandets objekt. Vad elever förväntas lära sig, vad görs möjligt för dem att lära

och vad de faktiskt lär sig under lektionerna. Doktorsavhandling. Högskolan Kristianstad.

(13)

Del 7: Moment B – kollegialt arbete

Diskutera

• Sammanfatta era tankar om de grundläggande texterna om extra anpassningar i skollagen och propositionen. Är det något av det ni diskuterar som bör leda till en förändring i undervisningen?

• Vilka slutsatser kan ni dra angående forskningen om digitala verktyg i förhållande till era elever som är i matematiksvårigheter?

• Vilka kartläggningsmaterial använder ni? Har ni erfarenheter av att något material passar särskilt bra för att kartlägga och analysera behov som rör elever i matematiksvårigheter? Motivera.

• I vilken mån genomför ni intervjuer med elever i svårigheter? Hur kan elevintervjuerna organiseras?

• På vilket sätt leder resultat av kartläggningar och intervjuer till analys av elevers kunskapsbehov?

• Vilka extra anpassningar brukar analysen leda till? Ge konkreta exempel.

• Gav texten i moment A upphov till nya idéer till extra anpassningar i matematikundervisningen som är av intresse att prova? Vilka och varför?

Förbered en aktivitet

Välj ett förslag på en extra anpassning som ni läst om i modulen men ännu inte provat.

• Hur kan ni tillsammans utveckla anpassningen så den dels kan komma till nytta för enskilda elever i matematiksvårigheter, dels som en detalj i den ordinarie matematikundervisningen så att fler elever kan dra nytta av den?

• Förbered den valda anpassningen till ett aktuellt matematikinnehåll.

Del 7: Moment C – aktivitet

Genomför den planerade aktiviteten.

Del 7: Moment D – gemensam uppföljning

Diskutera

• Hur fungerade aktiviteten?

• Kom den extra anpassningen till nytta för fler elever än de som ni vet är i svårigheter? Beskriv.

• Ledde aktiviteten till idéer om nya extra anpassningar?

• Finns det extra anpassningar i matematik som fungerar lika bra i andra ämnen?

Vad? Vilka? Gör ni extra anpassningar i andra ämnen som skulle kunna omformas så de även passar i matematikundervisningen?

• Vilka slags extra anpassningar är ni i störst behov av att utveckla? Vad kan ni göra kollegialt?

(14)

Del 7: Fördjupning

Här finns artiklar som fördjupning till texten ”Extra anpassningar i matematikundervisningen”.

Material

Elevers kunskaper i aritmetik Madeleine Löwing

Bedömningsarbete på Nydalaskolan Jessica Håkansson

Att leda en elevintervju

Särtryck från Förstå och använda tal Elevens bakgrund – en resurs Saman Abdoka

Begrepp i kartor eller bubblor?

Barbro Grevholm Vilse i app-djungeln Jenny Svedbro

(15)

Madeleine Löwing

12

NämNareN Nr 4 • 2009

Elevers kunskaper i aritmetik

– en kartläggning med utgångspunkt i Diamant-diagnoserna

Elever som kommer från förskoleklass verkar väl förberedda för vidare lärande i matematik när de kommer till första klass, men vad händer sen? Elevers kunskaper i aritmetik i årskurserna F–8 har kartlagts och diskuteras här.

U

nder en följd av år har svenska elevers bristande matematikkunskaper lyfts fram i utvärderingar. Samtidigt har kvalitetsgranskningar för- sökt att beskriva orsakerna till elevernas tillkortakommanden i matematik. Två faktorer förekommer ofta i förklaringar av vad de dåliga resultaten beror på, nämligen lärares stora beroende av läromedel och bristen på variation i undervisningen. Dessa faktorer kan tolkas som att det gäller arbetsformer och arbetssätt, inte det väsentliga, nämligen matematikinnehållets karaktär och hur eleverna utvecklar kunskaper i matematik. Viktiga frågor att ställa borde vara varför lärare är så bundna av läromedel och vilket kunskapsinnehåll man önskar att lärarna skall variera. Vad vi menar med variation är att belysa olika aspekter av ett specifikt innehåll eller variation av arbetssätt för att synliggöra eller öva ett specifikt innehåll.

Projektet Att våga se – och kunna ta ansvar

För att komma närmare de reella problemen har vi i vår kartläggning utgått från Skolverkets diagnosbank Diamant som bygger på teorier för hur elever bygger upp och generaliserar matematikkunskaper. Vårt uppdrag när vi konstruerade Diamant var att skapa ett instrument med vars hjälp läraren kan följa såväl den enskilde elevens som gruppens kunskapsutveckling. Ett bra diagno- sinstrument ska även kunna användas för att utvärdera verksamheten på sys- temnivå (William, 2007), vilket vi gjort i detta fall. Precis som i centrala forsk- ningssammanställningar (Kilpatrick m fl, 2001; Loewenberg Ball m fl, 2005) betonar vi vikten av elevernas förmåga/färdighet att utföra räkneoperationer effektivt, säkert och med flyt. Detta är i sin tur en förutsättning för att tolka, formulera, representera och lösa matematiska problem. En ytterligare styrka med diagnos banken är att uppgifterna är konstruerade på ett sådant sätt att man med stor säkerhet kan avgöra på vilken nivå en kunskapsbrist uppstått.

På uppdrag av två större och ett antal mindre kommuner har vi kart- lagt ca 40 000 elevers kunskaper i aritmetik från förskoleklass till årskurs 8.

Diamantdiagnoserna har då kompletterats med vårt eget instrument Briljant

(16)

13

NämNareN Nr 4 • 2009 (under utarbetande), för årskurserna 6–9 . Syftet med våra uppdrag har varit

att analysera brister i elevernas kunskapsutveckling, vilket varit möjligt eftersom diagnoserna testar om eleverna förstått alla aspekter av ett begrepp, något som även kan uttryckas som att se variationer i ett specifikt innehåll. Utgående från resultaten av kartläggningen planerar och genomför vi en riktad kompe- tensutveckling av lärarna vilket förhoppningsvis kommer att leda till bättre måluppfyllelse för eleverna.

Eleverna gjorde i de flesta årskurserna fem diagnoser var. För att få en så tydlig bild som möjligt av elevernas aktuella kunskaper gavs diagnoserna med en överlappning så att samma diagnos användes i två eller tre olika årskurser. På så sätt kunde vi på skolnivå följa hur olika kunskaper utvecklades longitudinellt och därmed avgöra om en brist i en årskurs följdes upp och åtgärdades vid ett senare tillfälle. Med denna teknik var det möjligt att iaktta såväl en bristande kontinuitet i undervisningen som svårigheter för eleverna att generalisera de mest grundläggande aritmetiska operationerna till nya talområden.

Projektet heter Att våga se – och kunna ta ansvar och vad titeln säger är, att den som inte utvärderar sin verksamhet på ett grundligt sätt, inte kan ta ansva- ret för att på olika nivåer säkerställa elevernas måluppfyllelse. Samtidigt under- stryks att de kunskapsbrister som synliggörs inte kan skyllas på den enskilde läraren. Vi försöker istället se skolans arbete ur ett helhetsperspektiv och använder oss då av ramfaktormodellen (Löwing, 2004). Modellen visar hur kursplanernas kvalitet och tolkbarhet i kombination med tillgängliga ramar möjliggör respektive begränsar undervisningsprocessen och tillsammans för- klarar resultatet av undervisningen. Med ett sådant helhetsperspektiv kommer man djupare än med övergripande förklaringar som läromedelsberoende och att det saknas variation i undervisningen. Det handlar snarare om att den utbildning lärarna har fått inte har gett dem en tillräcklig matematikdidaktisk kompetens för att kunna tolka kursplanerna, hjälpa eleverna att bygga upp ett generaliserbart matematiskt tänkande och göra kvalitativa utvärderingar av elevernas kunskaper. Det är utgående från detta som kompetensutvecklingen av lärare i de berörda kommunerna utformas. Styrkan i projektets arbetssätt är att kompetens utvecklingen har kunnat inriktas mot de faktiska problem vi har kunnat iaktta i de olika årskurserna, problem som lärare har kunnat se i sin egen klass och därför är angelägna att åtgärda. Det har inom projektet visat sig att det är först när de resultat som beskrivs i tidningarna visar sig gälla också den egna undervisningsgruppen som läraren inser att det krävs speciella åtgärder.

Resultat

Förskoleklassen

Resultaten i förskoleklassen är i allmänhet mycket bra, vilket även framgår av Fredriksson (2009). Vi finner att drygt varannan elev behärskar talraden till 100 och att mer än 90 % av dem kan räkna till 29. Nästan alla elever kan också räkna uppåt i talraden från 5 och bakåt från 10 och de kan det även i huvudet, alltså utan att använda föremål göra beräkningar av typen 6 + 1 och 6 – 1. Det här innebär att de allra flesta av eleverna är väl förberedda för att tillgodogöra sig undervisningen i årskurs 1. Problemet är att dessa elever, när de kommer till års- kurs 1, i allmänhet inte ges möjlighet att fortsätta att utvecklas. Undervisningen

(17)

14

i årskurs 1 verkar inte vara anpassad till att ta hand om en elevgrupp som har betydligt bättre matematikkunskaper än den hade för 20 år sedan.

Subtraktion utan tiotalsövergång

Man skulle nu kunna förvänta sig ett mycket bra resultat även under de första skolåren. De sambandsanalyser vi har gjort visar emellertid något helt annat och vi tar subtraktion som ett exempel. Diamantdiagnoserna är uppbyggda så att man kan följa utvecklingen av grundläggande subtraktion av typen 8 – 5, via 18 – 5 och 18 – 15 till 48 – 5 och 48 – 45. Tanken med detta är att kunna följa hur en grundläggande kunskap utvecklas och generaliseras över tid. Resultatet i en kommun där ca 1600 elever per årskurs har genomfört diagnosen, ser ut så här (lösningsfrekvens för olika uppgiftstyper, med resp utan tiotalsövergång):

Vårt kriterium på att en elev behärskar en typ av uppgifter är att eleven räk- nar alla rätt på en grupp bestående av sex uppgifter. Eleverna har dessutom en begränsad tid på sig. Denna tid är mer än tillräcklig för de elever som verkligen behärskar uppgiftstypen ifråga, men otillräcklig för dem som räknar på fingrarna eller använder mindre lämpliga metoder.

När det gäller uppgifter av typen 8 – 5 har eleverna i den här kommunen en lösningsfrekvens på 60 % i slutet av årskurs 1. Samtidigt kan vi konstatera att lösningsfrekvensen på uppgifter som 18 – 5 och 18 – 15 bara är 16 %. Det visar att de flesta av eleverna inte behärskar uppgiften 8 – 5 på ett sådant sätt att kunskapen kan generaliseras till talområdet 11 – 19. Ännu tydligare blir detta när vi konstaterar att bara 28 % av eleverna kan generalisera samma uppgift i årskurs 2. Orsakerna till detta behöver analyseras ytterligare.

När det gäller lösningsfrekvensen 60 % i årskurs 1 kunde vi konstatera att ovanligt många lärare inte följde våra anvisningar utan gav eleverna mer tid än anvisat. Det betyder att 60 % inte visar andelen elever som behärskar uppgiftstypen utan istället hur många som med hjälp av fingrar o dyl kan få rätt svar på uppgiften. Att det här är en kunskap som inte duger till att generalisera fram- går klart av motsvarande resultat i årskurs 2. Detta handlar i grunden om synen på kunskap och vad en viss kunskap på sikt skall användas till.

Ännu intressantare blir det när vi följer upp samma uppgiftstyp i årskur- serna 3 och 4. För den som vet att talet 48 är sammansatt av talen 40 och 8, bör det vara relativt enkelt att beräkna 48 – 5 och 48 – 45. Resultaten visar emellertid att hälften av eleverna har problem med detta i årskurs 3 och drygt en tred- jedel av dem ännu i årskurs 4. En sammanfattning av detta är att de flesta elever i årskurs 1 och 2 inte lärt sig subtrahera med flyt. De har visserligen fått räkna denna typ av uppgifter men deras lärare har troligen varken tagit reda på om eleverna använder generaliserbara strategier då de räknar eller om de verkligen behärskar uppgifterna.

uppgiftstyp 8 – 5 18 – 5, 18 – 15 48 – 5, 48 – 45 12 – 7 42 – 7, 42 – 37

Åk 1 60 % 16 %

Åk 2 28 % 28 %

Åk 3 53 % 61 % 22 %

Åk 4 61 % 67 % 35 %

(18)

15 Subtraktion med tiotalsövergång

En jämförelse mellan uppgiftstypen 18 – 5 och 18 – 15 utan tiotalsövergång och uppgiftstypen 12 – 7 med tiotalsövergång är ännu mer intressant. I slutet av års- kurs 2 ger båda uppgiftstyperna samma lösningsfrekvens, 28 %. Detta indike- rar att de flesta av eleverna använder samma lösningsstrategi i båda fallen trots att uppgifterna är av helt olika karaktär. Eleverna har sannolikt inte fått tala matematik och diskutera olika subtraktionsstrategier med sin lärare. Det här leder till nya problem när man kommer till uppgifter som 42 – 7 och 42 – 37, där lösningsfrekvensen sjunker kraftigt i årskurserna 3 och 4 till 22 % respektive 35 %. Nu är talområdet för stort för att eleverna skall kunna räkna på fingrarna eller använda andra, mindre lämpliga strategier. Det är nu det visar sig vilken kvalitet som funnits i undervisningen under de tidigare skolåren. Mot denna bakgrund gör vi följande reflektioner.

◊ Med tanke på vad eleverna kan redan i förskoleklassen är det förvånande att de inte fortsätter att utveckla sina matematikkunskaper i årskurs 1.

Lyckas man inte förvalta elevernas förkunskaper? Varför börjar de flesta böcker om från början med talområdet 1 – 5, 1 – 6 osv så att eleverna inte möter talet 10 förrän till jul. Nästan alla elever kunde ju räkna till 29 redan innan de kom till årskurs 1 och hade dessutom abstraherat enkla räkneoperationer.

◊ På flera skolor hoppar lärare över uppgifter av typen 4 + _ = 7 och 8 = 5 + _ . Den första uppgiftstypen är viktig eftersom den knyter samman addition och subtraktion, något som man inte verkar inse. Det visar sig att eleverna i alla årskurser oftast är mycket sämre i subtraktion än i addition. Man verkar ta för givet att det skall vara så istället för att rätta till detta.

◊ Uppgiften 8 = 5 + _ är viktig även av ett annat skäl. För att förstå

tiotalsövergången i additionen 8 + 7, bör man behärska tio-kamraten 8 + 2 och samtidigt sju-kamraterna, alltså att 7 = 2 + 5. Det är ju så man inser att 8 + 7 = 8+ 2 + 5 = 15. Här används kunskapen att dela upp tal i termer i kombination med den associativa lagen. Detta är kunskaper som eleverna senare använder i ett utvidgat talområde. De lärare som låter elever hoppa över öppna utsagor hindrar deras möjligheter till att utveckla en djupare förståelse av tiotalsövergångarna.

Multiplikation och division

Ett bekymmer är multiplikationstabellen. På diagnoserna är multiplikationstabellen uppdelad i sex nivåer: dubbling, alltså multiplikation med 2, dubbelt dubbelt, alltså multiplikation med 4, multiplikation med 3, multiplikation med 5, multiplikation med 6 och multiplikationer som innehåller talen 7, 8 och 9. Så här ser några av underlagen för våra sambandsanalyser av detta ut (lösnings- frekvens för olika uppgiftstyper):

uppgiftstyp 7 ∙ 4 8 ∙ 3 8 ∙ 6 7 ∙ 9

Åk 3 62 % 65 % 31 % 15 %

Åk 4 73 % 76 % 57 % 41 %

Åk 5 80 % 82 % 75 % 48 %

(19)

16

De här resultaten visar att eleverna i slutet av årskurs 5, då de enligt uppnåen- demålen skall behärska skriftlig multiplikation och division, ännu inte behärs- kar multiplikationstabellen. En slutsats man kan dra av detta är att planering och uppföljning av elevernas multiplikationsinlärning fungerar mindre bra.

Vid analyserna av resultaten för skriftlig räkning kan vi samtidigt iaktta stora brister när det gäller taluppfattning. Skriftlig räkning verkar fortfarande bygga på teknisk färdighet, inte på taluppfattning och förståelse av räknela- garna. Ett exempel på detta är uppgiften 864 / 8 som varannan elev räknar fel på, inte bara i årskurs 6 utan även i årskurserna 7 och 8. Ett enkelt överslag ger svaret 800 / 8 = 100. Svaret kan alltså inte vara 18. För den som lärt sig att för- stå de räknelagar som algoritmerna bygger på, är det uppenbart att det handlar om divisionen (800 + 64) / 8 = 800 / 8 + 64 / 8 = 108. Vi återkommer till detta i samband med tal i bråk- och decimalform.

Vad vi kunnat konstatera när det gäller skriftlig räkning, är att alldeles för få elever behärskar detta uppnåendemål i årskurs 5, främst beroende på bristande förkunskaper, sannolikt i kombination med en mindre bra taluppfattning. Konsekvenserna av detta blir allvarliga. Lärarna på högstadiet, som oftast inte är utbildade för att undervisa om detta, får fortsätta att öva skriftlig räk- ning i årskurserna 7 och 8 på bekostnad av vad de borde arbeta med. Följden av detta är, att när eleverna kommer till slutet av årskurs 8, så har de kvar större delen av det innehåll som borde behandlas på högstadiet. Vår kartläggning visar att redan när eleverna kommer till årskurs 6 är de på många skolor ett till två år efter i relation till kraven i uppnåendemålen.

Tal i bråk- och decimalform

Enligt uppnåendemålen i årskurs 5 skall eleven ha en grundläggande taluppfattning avseende naturliga tal och enkla tal i bråk- och decimalform. De flesta elever i årskurs 6 verkar ha nått delar av det här målet. Mer än 90 % av eleverna vet att ²⁄5 + ²⁄5 = 4⁄5, ca 85 % vet att 3 · 1⁄5 = 3⁄5 och lika många att 4⁄5 / 2 = 2⁄5.

Däremot är det mindre än 10 % av eleverna som vet att 1 / 1⁄3 = 3, alltså att det går 3 tredjedelar på en hel. Dessa uppgifter handlar om förståelse av bråkbegrep- pet. När eleverna sedan skall tillämpa dessa kunskaper verkar det som om de inte fått möjlighet att tala matematik eller att läraren lyft fram de enkla (intui- tiva) regler som gäller för räkning med bråk.

I årskurs 7 är det bara 60 % av eleverna som klarar uppgiften 0,54 + 0,52 alltså att 54 hundradelar + 52 hundradelar = 106 hundradelar. Problemen är ännu större när det gäller subtraktionen 7,2 – 3,9, alltså 72 tiondelar – 39 tiondelar = 33 tiondelar. Alternativet att addera 0,1 till båda leden, är ännu enklare och ger direkt 7,3 – 4,0 = 3,3. Detta tänkande bör grundläggas tidigare inom talområdet naturliga tal. Metaforen ”Mamma är 39 år och farfar är 72 år. Hur mycket äldre är farfar än mamma? För att förenkla räknandet kan man vänta ett år. Då är mamma 40 och farfar 73” kan tas som utgångspunkt.

När det gäller multiplikation och division av tal i decimalform blir problemen ännu större. Att bara 55 % av eleverna i 7:an klarar uppgiften 9 · 1,5 borde bli en väckarklocka. Det verkar handla om att eleverna inte förstår den distributiva lagen, alltså att innebörden är 9 · (1 + 0,5), vilket ger resultatet 9 + 4,5.

Multiplikationen 0,7 · 50 klarar endast 60 % av eleverna. Varför så få?

Använder man den associativa räknelagen ser man t ex att 0,7 · 50 = 0,7 · 10 · 5

= 7 ·^{5 = 35.}

(20)

17

NämNareN Nr 4 • 2009 Vidare kunde bara 65 % av eleverna lösa uppgiften 2,42 / 2. Uppenbarligen

ser man inte 2,42 som 2 hela och 42 hundradelar, vilket ger svaret 1 hel och 21 hundradelar. Den här osäkerheten, som hänger ihop med att eleverna inte behärskar de mest grundläggande räknelagarna och därför inte kan se enkla lösningar, återkommer när det gäller procent och proportionalitet. Bara drygt 40 % av eleverna i 7:an och drygt 50 % i 8:an visste att 15 % av 40 kr = 6 kr. Nog borde alla elever veta att 10 % av 40 kr = 4 kr och att 5 % är hälften av 10 %. Det här kan vara ett resultat av att lektionerna mer handlar om att räkna än om att

”tala matematik”.

När man kommer till bråkräkning blir problemen mycket stora. Endast 40 % av eleverna vet i slutet av årskurs 8 att 1⁄3 + 1⁄4 = 7⁄12 och bara drygt varannan elev vet att 1⁄4 · 6 = 3⁄2 = 1 1⁄2. Ännu värre blir det när man kommer till division.

Bara 35 % av eleverna löser uppgiften 6⁄5 / 3 = 2⁄5. De verkar inte förstå att fem- tedelen är en enhet och att det därför räcker att dividera täljaren 6 med 3 (och behålla enheten). Inte ens 20 % av eleverna kan lösa uppgiften 3⁄4 / 1⁄4 alltså hur många kvartar det går på tre kvart. Detta ser man ju med blotta ögat om man skriver 3⁄4 = 3 · 1⁄4 eller 1⁄4 + 1⁄4 + 1⁄4.

Vi kan konstatera att den grundläggande taluppfattningen av bråk ofta är relativt bra i årskurs 6. Det som eleverna inte klarar är att byta fokus från kon- kretisering av ”del av hel” till att uppfatta ”bråk som tal”, när man börjar ope- rera med tal i bråkform.

Sammanfattning

Efter att ha analyserat data i ett F till 9-perspektiv och arbetat med de lärare som varit involverade i projektet kan vi dra följande slutsatser:

◊ De allra flesta av de elever som kommer från förskoleklassen är väl förberedda för att lära sig matematik i skolan. Det verkar emellertid som om de lärare som undervisar under de första årskurserna inte förmår ta tillvara denna kunskap. Detta verkar i sin tur bero på brister i deras matematikdidaktiska utbildning. Fokus har legat på arbetsform och arbetssätt, inte på ämnets innehåll och struktur.

◊ Detta leder till att eleverna inte lär sig den grundläggande matematiken med ett sådant flyt att kunskaperna kan genaraliseras till större

talområden. Följden blir en kumulerad förkunskapsbrist. Mål och delmål som borde ha nåtts under ett visst skolår kommer av det skälet att nås först ett till två år senare. Resultatet blir att större delen av det innehåll som borde undervisas på högstadiet ofta skjuts upp till årskurs 9. Eftersom läromedlen successivt anpassas till denna trend bidrar de troligen till en lägre måluppfyllelse.

◊ Ett skäl till de just beskrivna problemen är att lärare inte är utbildade till att tolka och lokalt anpassa kursplanernas vagt formulerade mål.

Avsaknaden av tydliga mål och delmål leder till en mindre bra progression i matematikundervisningen i ett F till 9-perspektiv. En konsekvens av detta är en bristande uppföljning av elevernas kunskapsutveckling. Har man inga klara mål att utvärdera verksamheten mot så kan man ju inte avgöra om en elev har nått målen.

(21)

18

Av detta kan man få intrycket att det är inkompetenta lärare som förorsakar problemen. Så är det absolut inte. Resultaten ser likadana ut i alla de kommuner vi undersökt. Genom att använda oss av ramfaktormodellen blir det möj- ligt för oss att ta ett helhetsperspektiv på problemen. Mot denna bakgrund ser vi ett systemfel i svensk skola. Eftersom lärare inte är utbildade till att tolka och lokalt anpassa dagens vaga kursplaner (Linde, 2007), så kommer olika lärare, på samma skola, att tolka målen på sitt eget sätt vilket leder till bristande kontinuitet i undervisningen. Dessutom saknar alltför många lärare, speciellt i årskur- serna 1–3, en adekvat utbildning i matematikämnets didaktik. Utbildningen verkar vara mer inriktad mot att variera arbetsform och arbetssätt än mot hur eleverna bygger upp bra kunskaper och ett bra förhållningssätt till matematik.

Våra data visar entydigt på hur elevers bristande kunskaper från tidiga årskur- ser vållar problem för dem under resten av skoltiden.

litteratur

Fredriksson, M. (2009). Matematiken i förskoleklassen. Nämnaren nr 4, 2009. Göteborg: NCM.

Kilpatrick, J., Swafford, J. & Findell, B. (red). (2001). Adding it up: Helping children learn mathema- tics. Washington, DC: National Academy Press.

Linde, G. (2007). Det ska ni veta!: en introduktion till läroplansteori . Lund: Studentlitteratur.

Loewenberg Ball, D., Ferrine-Mundy, J., Kilpatrick, J., Milgram, R.J., Schmid, W., Schaar, R.

(2005). Reaching for Common Ground in K–12 Mathematics Education.

www.maa.org/common-ground/cg-report2005.html

Löwing, M. (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning. En studie av kommunikatio- nen lärare - elev och matematiklektionens didaktiska ramar. (Göteborg Studies In Educational Sciences 208) Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis.

Löwing, M., & Kilborn, W. (2003). Huvudräkning. En inkörsport till matematiken. Lund:

Studentlitteratur.

Skolinspektionen. (2009). Undervisningen i matematik – utbildningens innehåll och ändamålsen- lighet. Granskningsrapport. Stockholm: Skolinspektionen www.skolinspektionen.se/Documents/

Kvalitetsgranskning/Matte/granskningsrapport-matematik.pdf?epslanguage=sv Skolverket. (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Stockholm: Skolverket.

Skolverket (2004). TIMSS 2003. Svenska elevers kunskaper i matematik och naturvetenskap i skolår 8 i ett nationellt och internationellt perspektiv. Rapport nr 255. Stockholm: Skolverket.

Skolverket. (2009a). TIMSS 2007 Swedish Pupils’MathematicalKnowledge. Stockholm:

Skolverket.

Skolverket. (2009b). Ämnesproven 2008 i grundskolans åk 9 och specialskolans åk 10. Stockholm:

Skolverket.

Skolverket. (2009c). Skolverkets diagnosmaterial för skolåren 1–5, Diamant. Stockholm:

www.skolverket.se/content/1/c6/01/46/94/Diagnos_matematik_inledn.pdf

Wiliam, D. (2007) Keeping learning on track: classroom assessment and the regulation of learning.

i F. K. Lester Jr (red), Second handbook of mathematics teaching and learning, Greenwich, CT:

Information Age Publishing.

(22)

(23)

Jessica Håkansson

Bedömningsarbete på Nydalaskolan

Genom ett strukturerat arbete med Bedömningsstöd i taluppfattning görs eleverna i hög grad delaktiga i sitt matematiklärande. Författaren beskriver också ett nära samarbete mellan matematikläraren och specialläraren vilket ger tydliga fördelar i strävan att göra matematiken tillgänglig för alla elever.

P

å Nydalaskolan i Malmö har varje klass minst tre lektioner matematik i veckan. Optimalt är om en lektion tillbringas i matematikverkstaden för i första hand konkret arbete, en lektion innehåller språkutvecklande problemlösning i grupp och en lektion tränar eleven på rutinuppgifter utifrån sina egna mål. Som grund för all lektionsplanering finns de matematiska förmå- gorna och kursplanens centrala innehåll. Alla elever har ett NOMP-konto där de kan träna rutinuppgifter, www.nomp.se. Fördelen är att eleven får feedback direkt och riskerar inte att sitta och räkna felaktigt, fel som kan lagras i hjärnan som sanningar och blir svåra att bygga vidare matematikkunskap på. Läraren får omedelbar statistik över elevens aktivitet på NOMP och kan lätt se om något område varit besvärligt eller om utmaningen bör höjas. Individualiseringen är optimal och eftersom ingen elev arbetar med exakt samma innehåll som någon annan minimeras risken för jämförelser och tidsstress.

Bedömningsstöd i taluppfattning

Varje termin gör alla elever i årskurs 1–3 uppgifter i Skolverkets Bedömningsstöd i taluppfattning, med undantag för vårterminen i årskurs 3 då nationella prov skrivs. På hösten ska bedömningsarbetet genomföras i augusti eller september och under våren i januari. Alla resultat sammanställs i en färgkodad tabell där varje uppgift som en elev har

klarat är grönmarkerad, annars är de rödmarkerade. Uppgifter som består av flera delmoment eller a- och b-uppgifter ska ha rätt svar på samtliga delar för att resultera i en grön markering.

Eftersom vi använder bedöm- ningsstödet formativt är det vik- tigt att dessa rutor blir röda även om kanske 3/4 av uppgiften varit rätt. De röda rutorna signalerar då att detta är ett moment som eleven behöver träna mer på.

Sammanställning i september, åk 2 mellannivå.

23

NÄMNAREN NR 1 • 2018

(24)

Redovisningssystemet med gröna och röda rutor ger en tydlig överblick och ett första underlag till analys av elevernas taluppfattning. Färgkodningen gör att vi lätt identifierar svårigheter och styrkor på individnivå, men framförallt på gruppnivå. Eftersom vi genomför kartläggningen regelbundet kan vi även se om det finns ett mönster i missförstånd som återkommer i alla klasser. Vi kan exempelvis diskutera med lärarna i F-klass om att hälften/dubbelt var svårt för årets ettor, så eleverna bör arbeta mer med de begreppen redan tidigare.

När jag som speciallärare arbetar i elevgrupper kompletterar jag underlaget från kartläggningen med en kortare enkät. Eleverna får beskriva sin egen uppfattning av vad de behöver träna på i matematik samt vilka moment i matematikundervisningen som de upplever som extra roliga. Detta, tillsammans med

utdrag från elevernas IUP sammanställer jag i ytterligare en tabell där varje elevs intressen och behov finns samlade. På så sätt får undervisande lärare stöd i att planera sin undervisning utifrån eleverna snarare än utifrån ett specifikt läromedel. Vilka elever som kan arbeta tillsammans i pararbete kan också väljas uti- från intresse och utvecklingsnivå. En elev som behöver befästa sin mentala tallinje kan göra det tillsammans med en kompis som tycker att det är roligt att undersöka tallinjer.

Lärarnas analys

När alla elever i klassen gjort testet träffar jag matematikläraren för att analysera resultatet. Tillsammans identifierar vi fokusområden för hela gruppen.

Det är uppgifter som många missförstått, men uppgifterna väljs utifrån att de ska ha ett samband och att det är rimligt för eleverna att känna att de kan lyckas – och datum för återkoppling bestäms. Vid detta första analystillfälle ser vi också om någon elev har många röda rutor och i så fall ska orsaken till det undersökas. Oftast innebär det att jag, eller en annan speciallärare, kommer till klassen för att observera eleven i sin lärmiljö och se hur undervisningen kan anpassas för att passa eleven bättre. Det kan även innebära att jag träffar eleven för samtal om matematik, upplevelse av undervisningen och mer djupgående kartläggning av nuvarande matematikkunskaper. I några fall behöver eleven stöd av speciallärare och det stödet ges alltid i klassrummet.

Elevernas egen analys

Gruppens resultat, utan namn, presenteras för hela klassen. Vi betonar att detta är vad eleverna ska kunna vid terminens slut och att vi har gott om tid på oss att träna på detta tillsammans. Vi pra- tar om de gröna områdena och vilken kunskap de visar. Kan vi använda den kunskapen i elevernas lärande? Läraren och eleverna tittar gemensamt på vilka tre fokusområden de bör satsa på. Om elevernas önskemål skiljer sig från pedagogernas analys låter vi elevernas val råda. Eleverna väljer,

24

(25)

med styrning, hur lång tid de ska arbeta med valt område. Vi räknar även gruppens totala mängd gröna rutor och noterar dessa. Klassens fokusområde i exem- plet nedan är tals värde, likhetstecknet och problemlösning. Dessa skrivs i punkt- form tillsammans med datum för fokustest och sitter på väggen i klassrummet.

Fokustest och ny presentation

Efter arbetet med de tre valda områdena görs ett fokustest på enbart de områden som eleverna har valt. Vi sammanställer ett eget test där uppgifterna motsvarar bedömningsstödet, både avseende svårighet och utformning. Fokustestets resultat sammanställs och jämförs med enbart de valda fokusrutorna från första testet.

September Oktober

Utveckling av valda fokusområde från oktober till december.