En läromedelsanalys om lärarhandledningens värde  i undervisningen: Elevers utveckling av begreppsförmågan inom area och omkrets i årskurs 6.

En läromedelsanalys om

lärarhandledningens värde i

undervisningen

Elevers utveckling av begreppsförmågan inom area

och omkrets i årskurs 6.

Abstrakt

Syftet med denna analys är att undersöka hur lärandematerial kan möjliggöra utveckling i matematikundervisningen för geometrins område area och omkrets. Begreppsförmågan står i fokus i analysen eftersom tidigare forskning tyder på att de ämnesspecifika begreppen för area och omkrets kan vara en svårighet hos elever. Analysen undersöker vilka variationer lärandematerialet innehåller och utförs på en räknebok med tillhörande lärarhandledning. Variationsmönster och representationsformer är grunden till analysens metod. Resultatet visar att lärandematerialen kan utveckla begreppsförmågan på grund av att lärandematerialens innehåll varierar i samspel mellan räknebok och lärarhandledning.

Nyckelord

area, omkrets, begreppsförmåga, representationsformer, lärarhandledning, räknebok

Tack

Tack till vår handledare Oduor Olande, till examinator Torsten Lindström och till opponenterna som har bidragit och hjälpt oss till en framgångsrik utveckling i vår studie. Tack till Sanoma utbildning för tillåtelsen att använda bilder från läromedlet.

Innehållsförteckning

3.2.3 Elever och räknebok 4

3.2.4 Svårigheter i geometrins area och omkrets. 4

4 Teoretiska utgångspunkter 5

4.1 Variationsteori 5

4.2 Lärandeobjekt och kritiska aspekter 5

4.3 Variationsmönster 6

4.4 Ramverk 6

5 Metod 7

5.1 Validitet och reliabilitet 7

5.2 Urval 7

5.3 Tillvägagångssätt 7

5.4 Metoddiskussion 8

5.5 Etiska aspekter 9

6 Resultat och analys 10

6.1 Resultat av variationsmönster och representationsformer 10 6.2 Analys av variationsmönster och representationsformer 11

6.2.1 Analys av variationsmönster 12

6.2.2 Analys av representationsformer 13

7 Diskussion 15

8 Referenslista 17

1 Inledning

Tredje året på lärarutbildningen och vi börjar undra hur vi ska vara som matematiklärare i en egen klass om ett och ett halvt år. Genom att undersöka en räknebok i matematik och den tillhörande lärarhandledningen för årskurs 6, vill vi se hur lektionsinnehållet och elevernas lärande kan behandlas och utvecklas på bästa sätt.

Räkneböcker och lärarhandledningar är material som finns att tillgå i matematikundervisningen. En läromedelsanalys utförs för att vi har uppmärksammat, under den verksamhetsförlagda utbildningen, att räkneböcker används men inte lärarhandledningar. Vi har haft olika handledare på de fyra skolorna som vi har varit placerade på och tillsammans har vi haft åtta handledare inom matematik. Vår upplevelse från den verksamhetsförlagda utbildningen är att hälften av lärargruppen endast använder räkneboken som grund för matematikundervisningen, all undervisning sker från räknebokens uppgifter och förklaringar. Den andra hälften av handledare vi haft under den verksamhetsförlagda utbildningen arbetar med sina elever från fristående material. De hämtar material från matematikpärmar, använder sig av stenciler och hämtar undervisningsmaterial online. Ingen av handledarna har visat oss studenter att de använder lärarhandledningar, trots det har vi haft en tillit till deras ämneskunskaper. Karlsson och Kilborn (2015) tar upp en didaktisk analys av ett ämnesinnehåll för att därefter ringa in vad det innebär att behärska ämnesinnehållets didaktik. Den didaktiska analysen visar att lärare behöver kunskap om ämnesinnehållet för att hjälpa utvecklingen av elevernas matematiska kunskaper. Vi vill därför se om lärarhandledningar som verktyg kan hjälpa lärare att utveckla innehållet i matematikundervisningen. Området som är i centrum för denna studie är geometrins area och omkrets. Valet av område utgår från elevers möjlighet att utveckla sin begreppsförmåga gällande area och omkrets. Studien fokuserar på betydelsen av elevernas begreppsförmåga, hur den behövs för att eleverna ska klara av sin matematik och hur de kan utveckla den. Vi vill undersöka detta för att få underlag för hur vi ska arbeta, med eller utan lärarhandledning, när vi är verksamma lärare.

2 Syfte

Syftet med studien är att ta reda på hur lärandematerial kan vara en resurs för att utveckla elevers begreppsförmåga inom area och omkrets. Studien kartlägger förhållandet mellan vald räknebok i matematik och dess lärarhandledning.

2.1 Frågeställningar

• Hur kan elevers begreppsförmåga utvecklas när enbart räkneboken används som undervisningsmaterial?

• Hur kan elevers begreppsförmåga utvecklas utifrån lärarhandledningens innehåll?

• Hur kan elevers begreppsförmåga utvecklas när räkneboken tillsammans med lärarhandledningen används som undervisningsmaterial?

3 Bakgrund

Avsnittet tar upp några centrala begrepp som pedagogiska funktioner, riktlinjer, begreppsförmåga och representationsformer. I detta avsnitt beskrivs också på vilka sätt lärarhandledningen och räkneboken kan användas i undervisningen och för elevers lärande. Vi bemöter olika svårigheter som kan finnas inom det geometriska området area och omkrets. Vi tar också upp hur handledningen kan utveckla lärares kompetens och elevers matematiska kunskaper.

3.1 Centrala begrepp

Pedagogiska funktioner handlar om att stödja lärarna till att ta sig an elevernas

tänkande och göra djupare förbindelser inom ett specifikt klassrumssammanhang.

Riktlinjer är när lärarhandledningen tydligt anger vad läraren ska göra. Riktlinjer och

pedagogiska funktioner kan uttryckas genom lärarhandledningar och läroböcker (Jukić Matić & Glasnović Gracin, 2020). Lärarhandledning och läroböcker är verktyg för lärare och tänkta att fungera som en länk mellan presenterade idéer och klassens olika behov (Remillard & Kim, 2017). Lärandematerial används i denna studie som ett samlingsbegrepp för lärarhandledning, räknebok, lärarmaterial och fristående material.

Studien fokuserar på begreppsförmågan. Innebörden av begreppsförmågan beskrivs i kommentarmaterialet för matematik (reviderad 2017), elever ska kunna olika begrepps egenskaper och dess definition. ”Att kunna beskriva och använda ett begrepp på flera sätt med olika representationsformer är tecken på god begreppsförmåga och funktionell begreppskunskap” (Roos & Trygg, 2018. s. 5). Enligt Lgr 11 (Skolverket, 2019) är begreppsförmåga att ”använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp” (Skolverket, 2019. s. 55). För att utveckla sina kunskaper inom matematik behöver elever en stomme uppbyggd av matematiska begrepp. För att utveckla och befästa begrepp kan olika representationsformer användas. Till exempel, verklighet, språk, symboler,

Representationsformerna gör det möjligt att befästa matematiska begrepp eftersom begreppet presenteras med variation (Häggblom, 2013). En central del i matematiken är begreppsförståelsen. När eleverna möter olika representationsformer får de möjlighet att utveckla sin begreppsförmåga (a.a.). Verklighet handlar om att uppgifterna är utformade utifrån elevernas verklighet. Till exempel att uppgiften innehåller text med en bild av ett riktigt mynt i verklig storlek. Språk handlar om att eleverna har möjlighet att möta språket som tillhör matematiken. I mötet med

symboler kategoriseras användandet av siffror och tecken. Bildmodell innebär att

eleverna kan se och eller göra en visuell bild av situationen, bilden behöver vara kopplad till uppgiften och inte vara för ett estetiskt syfte. Konkret modell är om eleverna uppmanas att arbeta med fysiskt material (Roos & Trygg, 2018).

3.2 Tidigare forskning

3.2.1 Räkneböcker i undervisningen

Räkneböcker som används i skolan ska vara ett stöd till lärare som utformar undervisningen utifrån sin egen kunskap och sin klass. Räkneböcker visualiserar ett kunskapsområde på ett sätt som gör det tydligt för elever, de innehåller tillämpningar och övningar (Gavelin Rydman, 2018). Räkneböcker kan möta elevers svårigheter för att geometriska figurer kan visualiseras. Övningar i räkneboken kan ge lärare idéer till användning av konkreta material elever behöver för att möta svårigheter. En del lärare använder räkneböckerna sällan och andra följer kapitel för kapitel. Nyexaminerade lärare är inte lika förtrogna som erfarna lärare med ämnesinnehållet. Användandet av räkneböcker hjälper oerfarna lärare eftersom hela innehåll presenteras (Gavelin Rydman, 2018). Lärares kunskap används när lärandematerialet är en central komponent i planeringen. Det gör att matematikundervisning kan förstås och utvecklas (Remillard & Kim, 2017).

3.2.2 Lärarhandledning i undervisningen

Jukić Matić och Glasnović Gracin (2020) har undersökt i en fallstudie undersökt hur två olika lärare använder sig av lärarhandledningar och räkneböcker. För att ta sig an och förstå elevers svårigheter behövs pedagogiska funktioner som kan stödja lärare till att ta sig an elevers tänkande och göra djupare förbindelser inom ett specifikt ämnesområde. Jukić Matić och Glasnović Gracin (2020) visar genom sin studie att lärare inte poängterar avsaknaden av pedagogiska funktioner. De diskuterar att det kan bero på att lärare med erfarenhet kan planera lektioner genom att själva förutse hur elevgruppen kan ta emot det matematiska innehållet (a.a.). Lärare ska använda lärandematerialet som en resurs för planeringen av undervisning och skapa, anpassa och improvisera med hjälp av lärarhandledningar (Brown & Edelson, 2003).

Resursen kan tolkas på olika sätt. Jukić Matić och Glasnović Gracins (2020) studie visar att lärarhandledningar som används av lärare hade få pedagogiska funktioner, däremot hade de riktlinjer för hur undervisningen ska genomföras. Riktlinjer är när lärarhandledningen tydligt anger vad läraren ska göra. I lärarhandledningarna som använts i undersökningen Exploring a critical domain of teaching (Remillard & Kim, 2017) finns uppgifter som ger lärare möjlighet att utveckla undervisningen för nivåanpassning i matematiken. De innehåller också idéer till lärare hur de kan föra diskussioner i klassrummet. Lärarna valde att arbeta med innehållet utifrån gruppens

nivå och följde inte lärarhandledningen strikt (Jukić Matić & Glasnović Gracins, 2020). När lärare strikt följer riktlinjer för undervisning kan användandet av lärarmaterial kritiseras enligt Brown och Edelson (2003). Forskarna skriver att problematiken med att använda handledningar kan vara att alla uppgifter ska passa alla elevers individuella behov. De nämner att arbetssättet är som gjort för att möta motstånd i klassrummet (Brown & Edelson, 2003). Hemmi, Krzywacki och Koljonen (2017) instämmer att lärarmaterialet kan begränsa undervisningen. Forskarna beskriver att lärarhandledningar är skrivna som antingen ett uttryckligt manus eller ett beskrivande manus. Med det uttryckliga manuset menas att det står skrivet exakt vad läraren ska skriva och rita på tavlan och vad som ska sägas till eleverna. Det beskrivande manuset är mer ett stöd för läraren med tips och idéer på en mer allmän nivå utan att ge för detaljerade instruktioner (Hemmi, Krzywacki & Koljonen, 2017). 3.2.3 Elever och räknebok

Lärare väljer ut vad som ska ligga i fokus och vad som är syftet i undervisningen. Det finns ett syfte med lektionsinnehållet och dess lärandeobjekt. Räkneböcker har en komplexitet som kan göra att det matematiska innehållet inte möter elever på tänkt sätt. Ibland tränar elever det givna lärandeobjektet och ibland inte (Norberg, 2020). En fallgrop för elever i individuell räkning vid räkneoperationer inom area kan vara att elever inte förstått skillnaden mellan area och omkrets och att lektionen istället går till att förklara detta. Det kan också vara svårt för elever att förstå det matematiska språket. Österholm (2008) konstaterar att elever med god läsförmåga inte nödvändigtvis har lätt för texter i räkneböcker. För att elever ska kunna förstå de matematiska texterna krävs en matematikundervisning som inte bara fokuserar på räkning utan också på läsförståelse. De bilder som elever kan möta i räkneböcker kan fungera som ett stöd för elever som har lite svårare för matematik (Norberg, 2020). 3.2.4 Svårigheter i geometrins area och omkrets.

Det finns olika sätt att lära ut geometri. Marton och Tsui (2003) vill förtydliga att variation inte nödvändigtvis handlar om varierad undervisning. Variation ska ske i innehållet inom elevernas kritiska aspekter. Begreppen inom geometriska figurer kan innebära kritiska aspekter för elever vilket innebär att det kan vara en svårighet för elever (a.a.). Kozulin och Kazaz (2016) skriver att eleverna behöver konkret material för att få förståelsen av begreppet area och omkrets och dess innebörd. Det tyder på att begreppsförståelsen är en svårighet inom området area och omkrets. Elever kan förväxla begreppen area och omkrets (Bentley & Bentley, 2016). Orsak till svårigheter kan vara den otillräckliga utvecklingen av begreppsbilden. Det kan bero på att övergången till formler och numeriska beräkningar introduceras för fort. En eventuell åtgärd kan vara att eleverna får fler uppgifter för att öva på att förklara och förstå skillnaden mellan area och omkrets (a.a.). Bentley och Bentley (2016) poängterar att begreppslig kunskap befästs bättre än kunskap som endast tränas med räkneoperationer.

4 Teoretiska utgångspunkter

I detta avsnitt presenterar vi de två teoretiska utgångpunkterna i vår studie. Variationsteorin kombineras med representationsformerna, verklighet, språk, symboler, bildmodell och konkret modell.

4.1 Variationsteori

Variationsteori ska på ett systematiskt sätt användas för att förbättra elevers förståelse genom att utveckla och undersöka undervisningen. Variationsteoretisk forskning är innehålls- och ämnesrelaterad för att skapa en god undervisning. I variationsteorin är fokuset på elevers förståelse i relation till lärares variation i undervisningen (Håkansson & Sundberg, 2012).

4.2 Lärandeobjekt och kritiska aspekter

Förmågan som utvecklas i en undervisningssituation och har en relation till innehållet är ett lärandeobjekt. Lärandeobjekts innehåll består av aspekter som elever möter under lektionstillfällen (Olteanu, 2016). Lo (2014) skriver om lärandeobjekt på samma sätt, att lärandeobjektet syftar på vad elever ska lära sig för att nå lärandemålen. I denna studie är lärandeobjektet area och omkrets inom området geometri.

Det finns kritiska drag inom varje matematiskt område. Kritiska drag är de drag som inte kan varieras utan att lärandeobjektet förändras. Lo (2014) skriver ”Kritiska aspekter syftar på en dimension av variation medan kritiska drag är ett värde i denna dimension av variation” (Lo, 2014, s. 80). Det finns alltid kritiska aspekter kopplat till de kritiska dragen. Kritiska aspekter är variationer som gör att lärandeobjektet är oförändrat. Ett förtydligande från Olteanu (2014), ”De delar (aspekter) som är nödvändiga att förstå, men som eleverna visar att de inte har förstått är kritiska aspekter.” (Olteanu, 2014, s. 4). I denna studie är den kritiska aspekten skillnaden mellan area och omkrets.

4.3

Variationsmönster

Inom variationsteorin finns fyra variationsmönster, fusion, kontrast, generalisering och separation (Lo, 2014). I studien undersöker vi uppgifter med variationsmönstren kontrast och separation.

Kontrast innebär att om elever ska lära sig om hur något är behöver de veta hur något inte är. Exempelvis kan kontrast belysas i en räknebok genom att elever ska ringa in en triangel bland andra geometriska figurer (fig.1). Elever måste förstå att det finns skillnader och veta vad något är och inte är. I mötet med kontrast skapas en medvetenhet hos elever för att uppfatta skillnader. Skillnaden mellan två värden som kontrasteras mot varandra skapar alltså en förståelse. För att urskilja de kritiska dragen hos ett objekt är det till en fördel enklare att förstå om man kontrasterar det mot ett annat objekt (Lo, 2014)

Fig. 1. Uppgift som möter kontrast.

De kritiska dragen kan också behöva separeras från helheten. Det skapas en variation hos de kritiska dragen vilket leder till att elever förstår dimensionen av variation. När de underordnade kritiska dragen är i fokus handlar det om separation. Vid separation varieras en kritisk aspekt medan de andra aspekterna förbli konstanta (Lo, 2014). Olteanu (2016) skriver ”En separation innebär att en aspekt/värde varierar medan andra aspekter/värden är invarianta.” (Olteanu, 2016 s. 43). Till exempel kan en uppgift använda sig av flera trianglar men de har en variation som är oberoende av konstanten (fig. 2).

Fig. 2. Uppgift som möter separation.

4.4 Ramverk

Variationsmönster kommer att kombineras med representationsformer. Användningen av variationsmönster gör att vi hittar uppgifter/delar som leder till att elever kan växla fram och tillbaka mellan olika representationer. Representationssystemet innehåller delar som gör att elever behöver möta geometrin verbalt, numeriskt och visuellt. Duval (2006) poängterar utifrån sin studie att det multimodala sättet att arbeta med matematik är framgångsrikt. Vilket innebär att undervisningen har en varierad kommunikation. Urvalet kan sedan granskas utifrån representationsformerna. Alltså används teorin i denna ordningen för att hitta en struktur och ett urval. Sammanställningen skulle visa variationen i räkneboken och lärarhandledningen. Om lärandeobjektet har variation kan begreppsförmågan utvecklas.

5 Metod

I detta avsnitt förklaras använd forskningsmetod. Urvalet av de läromedlen som analyseras och de matematiska avgränsningarna presenteras. I metodavsnittet presenteras läromedlets bakgrund i en sammanfattning. Därefter beskrivs tillvägagångssättet av läromedelsgranskningen och de etiska aspekterna. Empirin kommer att presenteras kvantitativt för att vi undersöker förhållandet mellan de olika delarna i vårt material.

5.1 Validitet och reliabilitet

I vetenskapliga arbeten kommer begrepp som validitet och reliabilitet upp (Andreasson & Johansson, 2020). Med validitet undersöker vi om våra frågor kan ge svar på det vi undersöker. Reliabiliteten försäkrar oss om att vårt analysverktyg kan mäta vårt empiriska material utifrån rätt förutsättningar. Analysverktyget behöver med andra ord vara tydligt för att någon annan ska kunna använda det igen på samma material och få samma resultat.

5.2 Urval

Vi har valt räkneboken Koll på matematik 6A (Björklund & Dalsmyr, 2016a). Det är ett material som flera skolor under vår verksamhetsförlagda utbildning använder. Intresset för att använda samma material är stort hos andra verksamheter som vi har varit på under vår utbildning.

Lärandeobjektet i vår studie är area och omkrets. Area och omkrets utgör en del i ett kapitel i Koll på matematik i 6A (Björklund & Dalsmyr, 2016a). Vi har under vår utbildning observerat att elever har problem med begreppsförmågan inom området area och omkrets. Vi valde området för att undersöka hur begreppsförmågan kan utvecklas inom area och omkrets.

Koll på matematik 6A (Björklund & Dalsmyr, 2016a) är ett läromedel som har fokus

på de fem matematiska förmågorna. Läromedlet är framtaget av Sanoma utbildning. Räkneboken är framtagen utifrån förmågorna i Lgr 11 och ger eleverna möjlighet att utveckla dessa i alla moment. Lärarmaterialet är framtaget med en tydlighet som gör det lätt att variera undervisningen. Tillhörande lärarhandledning för räkneboken Koll

på matematik 6A (Björklund & Dalsmyr, 2016b) är framtagen till lärare för att ge stöd

i den pedagogiska planeringen och undervisningen.

5.3 Tillvägagångssätt

Räkneboken analyserades med hjälp av ett analysverktyg (fig. 3) som vi framställt för den här studien. Verktyget är inspirerat av variationsteoretiska begrepp och begreppsförståelsens olika representationsformer. Vi utgick från lärandeobjektet som är area och omkrets. Vi granskade alla uppgifter inom area och omkrets för att se om uppgifterna uppvisade kontrast och/eller separation. Om utfallet blev “ja” undersökte vi vilka representationsformer uppgiften innehöll (se avsnitt 3.1.3) och dokumenterade det i tabell 1 och 2. Om utfallet blev “nej” gick inte uppgiften vidare i analysverktyget. Representationsformerna som dokumenterades placerades in i de olika kategorierna.

Fig. 3. Analysverktyg som visar processen i läromedelsgranskningen.

Verktyget applicerades på tillhörande lärarhandledning. Lärandeobjektet plockades ut genom att delarna där area och omkrets är utskrivet identifierades. Delarna analyserades med hjälp av framtaget analysverktyg.

Efter att räkneboken och lärarhandledningen analyserats var för sig presenterades resultaten i tabell 2. Vi analyserade om uppgifterna och delarna i räkneboken och lärarhandledningen hade variationsmönstren kontrast och/eller separation. Därefter tog vi ut uppgiftens/delens representationsform/representationsformer för att se om det fanns variation i variationen.

5.4 Metoddiskussion

Vi väljer att analysera räknebok och lärarhandledning för sig för att sedan kunna analysera dem mot varandra. Det använda analysverktyget i studien kräver egen tolkning av innehållet. De uppgifter som vi anser är kontrast eller separation behöver nödvändigtvis inte ses som det av någon annan på grund av att det är en tolkningsfråga kring variationsmönstren. Det är också en tolkningsfråga gällande representationsformerna. När vi analyserar uppgifterna för att identifiera bildmodell räknar vi endast de där bilden kan kopplas till själva uppgiften. Vi räknar inte bilderna som finns för estetiskt syfte. Även bilderna i räkneboken kan tolkas på olika sätt och därmed ha en betydelse för uppgiften av en annan person. Det är också en tolkningsfråga vad som är kontrast eller separation, lika så gäller representationsformerna.

5.5 Etiska aspekter

Forskare har ett ansvar att forskning inte manipulerar eller har privat agenda. Övergripande handlar etiken om förtroende. ”Ett välgrundat förtroende i samhället för forskarna och forskningen är en förutsättning för forskningens framtid.” (Vetenskapsrådet, 2017, s. 8).

Etik inom forskningen riktar sig främst till att deltagare i undersökningen inte ska fara illa. Vi hade inte några deltagare i vår studie och därmed ströks de forskningsetiska principerna gällande deltagare. Däremot bad vi om ett godkännande från Sanoma utbildning för att använda deras illustrationer (bilaga 1).

6 Resultat och analys

I resultatet sammanfattas sammanställning av antalet variationsmönster och representationsformer i uppgifter från räknebok och lärarhandledning. Den skriftliga resultatdelen presenteras utifrån hur många uppgifter som finns av varje och vad som är utmärkande för varje lärandematerial.

6.1 Resultat av variationsmönster och representationsformer

Tabell 1: Räknebok S/U Kontrast 7,7% Separation 92% Verklighet 4% Språk 96% Symboler 65% Bild modell 46% Konkret Modell 15% 46/PF / X / X X / / 46/36 / X / X X X / 46/37 / X / X X X / 46/38 / X / X X X / 46/39 / X / X X / / 46/40 / X / X X / / 47/PF / X / X X X / 47/41 / X / X X X / 47/42 / X / X / X / 47/43 / X / X X / / 47/44 / / / / / / / 48/PF / X / X / X X 48/45 / X / X / X X 49/PF / X / X / X X 49/46 / X / X / X / 49/47 / X / X / X / 49/48 / X / X X / / 50/TM / X / X X / / 51/TM / X X X / / X 51/OB X / / X X / / 56/76 / X / X X / / 56/77 / X / X X / / 56/78 / X / X X X / 56/79 / X / X X / / 56/80 / X / X X / / 56/81 X X / X / / /

S=Sida i matematikboken, U=Uppgift i matematikboken, PF=Uppgifter där elever får pröva om de förstår det matematiska innehållet, TM=Elever får träna matematiska metoder för området, OB=Är uppgifter där elever får ord

och begrepp att träna sin förståelse på, X = Ja, det finns i räkneboken, /=Nej, det finns inte i räkneboken.

Kolumn två och tre i resultattabellen för räkneboken visar variationsmönstren

kontrast och separation. 2 av 26 uppgifter i räkneboken har kontrast. Däremot var det

24 av 26 uppgifter som hade separation. Kolumn fyra till åtta visar vilka representationsformer uppgifterna innehöll. Det var 1 av 26 som hade representationsformen verklighet. 25 av 26 uppgifter visade på representationsformen

språk och 17 av 26 på symboler. Området area och omkrets hade 12 av 26 uppgifter

Tabell 2: Lärarhandledning S/U Kontrast 0% Separation 86% Verklighet 23% Språk 86% Symboler 86% Bild modell 59% Konkret Modell 14% Ab2:5/U1 / X / X X X / Ab2:5/U2 / X X X X X / Ab2:5/U3 / X X X X / / Ab2:5/U4 / X / X X / / Ab2:5/U5 / X / X X / / Ab2:6/U1 / X / X X X / Ab2:6/U2 / X / X X X / Ab2:6/U3 / X / X X X / Ab2:7/U1 / X / X X X / Ab2:7/U2 / X / X X X / Ab2:8/U1 / X / X X X / Ab2:8/U2 / X / X X X / T2/U4 / X / X X X / T2/U5 / X / X X X / 51/A / X X X X / X 51/Ks2 / / / / / / / 51/Ks5 / / / / / / / 51/Ks5 / X / X X X / 52/A / X X X X / X 53/A / X X X X / X 53/Ks2 / / / / / / / 53/Ks3 / X / X X X /

S=Sida i matematikboken, U=Uppgift i matematikboken, Ab=Arbetsblad som kan kopieras och delas ut till elever, Ks= Stycken med kommentarer till området, T2=Ett test till elever över arbetsområdet,

A=Praktiska uppgifter i form av aktivitet.

I tabell 2 för uppgifterna i lärarhandledningen presenteras kontrast och separation i kolumn två och tre. Ingen uppgift i lärarhandledningen hade kontrast. 19 av 22 uppgifter hade separation. Kolumn fyra till åtta visar vilka representationsformer uppgifterna innehöll. 5 av 22 uppgifter hade verklighet. Språk och symboler hade båda 19 av 22. 13 av 22 uppgifter innehöll bildmodell och 3 av 22 uppgifter innehöll

konkret modell.

6.2 Analys av variationsmönster och representationsformer

Utifrån resultatet i tabell 1 och 2 ser vi att elever ges möjlighet att utveckla sin begreppsförmåga. De undersökta uppgifterna i räkneboken visar variation i form av olika representationsformer och lika så uppgifterna i lärarhandledningen. Enbart räkneboken kan användas för att utveckla begreppsförmågan. Elever kan också utveckla sin begreppsförmåga när lärare enbart använder sig av lärarhandledningen i sin undervisning. Att kombinera räknebok och lärarhandledning kommer också ge elever möjlighet att utveckla sin begreppsförmåga.

6.2.1 Analys av variationsmönster

Tabellerna nedan visar hur de olika variationsmönstren och representationsformerna ställs mot varandra. Tabell 3 visar att det procentuellt finns fler drag av kontrast i räkneboken än i lärarhandledningen. Den procentuella skillnaden inom separation är inte lika stor.

Tabell 3: Analys variationsmönster

Räknebok Lärarhandledning

Kontrast 7,7% 0%

Separation 92% 86%

Kontrast i räkneboken är 7,7%, vilket utgör 2 av 26 uppgifter. En av uppgifterna som har kontrast kategoriseras i räkneboken som ord och begreppsuppgift (se bild 1). Vi anser att det är kontrast eftersom meningarna i uppgiften ska rättas, vilket gör att elever behöver veta vad svaret inte är för att kunna lösa uppgiften. Detta menar även Lo (2014) som skriver att elever behöver uppfatta skillnader.

Bild 1 är en uppgift i räkneboken som visar kontrast. I tabell 1, 51/OB. Illustratör: Typoform/ Yann Robardey. (Björklund & Dalsmyr, (2016a)).

Separation utger 92% av uppgifterna i räkneboken, vilket är 24 av 26 uppgifter som finns. Uppgifterna på bild 2a och 2b är exempel på hur de kan se ut i räkneboken. Vi anser att uppgifterna innehåller separation för att elever kan se att radien är en del av diametern och i uppgift 36 och 39 (bild 2a & 2b) kan man se att radien kan separeras från diametern.

Bild 2a visar uppgift 36 i räkneboken som möter separation. I tabell 1, 46/36. Illustratör: Typoform/ Yann Robardey. (Björklund & Dalsmyr, (2016a)).

Bild 2b visar uppgift 39 i räkneboken som möter separation. I tabell 2, 46/39. Illustratör: Typoform/ Yann Robardey. (Björklund & Dalsmyr, (2016a)).

Lärarhandledningen innehöll inga uppgifter med kontrast. Däremot utger separation 86% av uppgifter/delar i lärarhandledningen, vilket är 19 av 22 uppgifter. Bild 3 visar ett kommentarstycke ur lärarhandledningen. I uppgiften på bild 3 anser vi att det är separation för att fler exempel på uträkningar ska göras. Den geometriska figuren cirkeln är konstant och de ska räkna ut arean, men längden på radien varieras. Lärarhandledningen kan möjliggöra separation för elever.

Bild 3 visar en kommentar i lärarhandledningen. I tabell 2, 53/A. Illustratör: Typoform/ Yann Robardey. (Björklund & Dalsmyr, (2016b)).

6.2.2 Analys av representationsformer

I tabell 4 presenteras det i hur stor utsträckning de fem representationsformerna finns med i räkneboken och lärarhandledningen.

Tabell 4: Analys representationsformer

Räknebok Lärarhandledning

Verklighet 4% 28%

Språk 96% 86%

Symboler 65% 86%

Konkret modell 15% 14%

Representationsformerna i räkneboken varierar. Uppgift 78 (bild 4) är ett exempel på en uppgift i räkneboken som möter 3 av 5 representationsformer. Uppgift ”Tm” uppfyller 3 av 5 representationsformer medan 2 av 3 är underrepresenterade representationsformer.

Bild 4 är uppgift 78 i räkneboken som möter olika representationsformer. I tabell 1, 56/78. Illustratör: Typoform/ Yann Robardey. (Björklund & Dalsmyr, (2016a)).

Verklighet och konkret modell är underrepresenterade i lärarhandledningen. Aktiviteterna i handledningen har 4 av 5 representationsformer, det som saknas i samtliga är bildmodell. I bild 5 visas ett exempel på hur aktivitetsuppgifterna i lärarhandledningen kan se ut.

Bild 5 visar en aktivitetsuppgift i lärarhandledningen. I tabell 2, 52/A. Illustratör: Typoform/ Yann Robardey. (Björklund & Dalsmyr, (2016b)).

7 Diskussion

Syftet med analysen är att kartlägga förhållandet mellan vald räknebok och dess lärarhandledning. Duval (2006) skriver att multimodalitet är framgångsrikt i matematikundervisning. Vår analys grundar sig i om lärandematerialen ger elever möjlighet att utveckla sin begreppsförmåga. Resultatet visar att lärandematerialen, för sig och tillsammans utvecklar elevers begreppsförmåga eftersom de ger variation och ger möjlighet till multimodal undervisning. Vår studie utgår från variationsmönster och representationsformer. I studien fokuserar vi på variationsmönstren kontrast och separation i uppgifter inom area och omkrets.

Vi anser att kontrast inte borde vara underrepresenterat i räkneboken för att uppgifterna kan ses som okomplicerade att utforma. Vi ifrågasätter inte bristen på kontrast i lärarhandledningen eftersom man kan förväntar sig att det finns i räkneboken, dock finns det bara två uppgifter i räkneboken, Koll på matematik 6A, som innehåller kontrast. Separation däremot har en hög representation i både räkneboken och lärarhandledningen. Möjligen hade det funnits en större variation om studien berört alla variationsmönster. Resultatet av separation hade inte förändrats. Däremot hade studiens resultat gett en större bredd inom variationsmönster.

Koll på matematik 6A möjliggör till visualisering för att representationsformen bildmodell representerar 46% av de analyserade uppgifterna i räkneboken. I

lärarhandledningen har 59% av de analyserade uppgifterna/delarna bildmodell representerade, lärarhandledningen kan alltså komplettera räkneboken. Vi anser att räkneboken och lärarhandledningen ger det Gavelin Rydman (2018) belyser i sin studie, att lärandematerial kan visualisera ett kunskapsområde som gör det tydligt för elever. Räkneboken innehåller bilder som inte alltid är ett stöd till elever för att lösa uppgifterna (a.a.). Vi håller med Gavelin Rydman, att bildmodell kan bli ett hjälpmedel för elever i matematiken. Att möta det matematiska innehållet genom multimodalitet anser Duval (2006) är framgångsrikt. Vår åsikt stärks av Norberg (2020) som också nämner att bilder i räkneböcker kan ge ett stöd för elever.

Eftersom varje representationsform inte utgör 100% i vare sig räkneboken eller lärarhandledningen behövs minst en till komponent i undervisningen i arbetet med lärandematerialen. Remillard och Kim (2017) skriver att lärarmaterial ska vara en del av en helhet. Bild 3 och 5 på sida 13 respektive 14 visar exempel på hur sådana uppgifter kan se ut. I bild 3 står det visa gärna fler exempel, vilket gör att lärare själva kan välja hur de ska möta innehållet i lärarhandledningen. I bild 5 används orden du

kan vilket ger lärare valmöjligheter vid utförandet av lektionen. Den analyserade

lärarhandledningen uttrycker ett beskrivande manus som vi tycker öppnar upp till att lärarhandledningen är en del av helheten.

Representationsformerna verklighet och konkret modell har en låg procentuell representation i räkneboken 4% respektive 15% och lärarhandledningen 23% respektive 14%. Vi tycker att det är rimligt att det inte förkommer i räkneboken eftersom att arbetet i räkneboken kan ses som ett fokuserat tillfälle där elever individuellt ska möta matematiken. Lärarhandledningen som möter detta på 23% respektive 14% av uppgifterna/delarna anser vi skulle kunna ha fler uppgifter/delar med verklighet och konkret modell. Elever bör få möjlighet att möta båda

representationsformerna mer för att utveckla sin begreppsförmåga. Begreppsförståelsen är en svårighet för elever inom area och omkrets. Elever behöver precis som Kozulin och Kazaz (2016) nämner, konkret material i matematiken när de arbetar med area och omkrets för att förståelsen av begreppen ska kunna befästas. Resultatet av vår analys visar en låg procentuell representation av konkret modell i lärandematerialet. Denna del av resultatet kan utifrån Kozulin och Kazaz (2016) tyda på att elever inte får möjlighet att utveckla sin begreppsförmåga och andra sidan kan elever befästa begreppen area och omkrets med ett varierat undervisningsinnehåll. Vår läromedelsanalys genomfördes för att undersöka hur lektionsinnehållet och elevers begreppsförmåga kan behandlas och utvecklas inom area och omkrets. Utifrån resultatet i vår läromedelsanalys blir vi förvånade över hur lite lärarhandledningen används i de verksamheterna vi har varit ute i. Eftersom vårt resultat visar att lärarhandledningen kompletterar räkneboken och ger mer varierat innehåll borde den användas mer än vad vi har upplevt att den gör. Lärare som har erfarenhet och kan se vilket matematiskt innehåll som främjar elevers lärande kan med fördel också använda lärandematerialet med pedagogiska funktioner och riktlinjer. Pedagogiska funktioner och riktlinjer kan utifrån resultatet vara fördelaktigt för lärare att använda i undervisningen eftersom räkneboken och lärarhandledningen tillsammans har variation som kan utveckla begreppsförmågan. En intressant fortsättning på analysen kunde vara en studie som har en grund från intervjuer med verksamma lärare och deras arbete med lärandematerial och utvecklingen av begreppsförmågan.

8 Referenslista

Andreasson, J. & Johansson, T. (2020). Vetenskapsteori: grunder och tillämpning. (Upplaga 1). Lund: Studentlitteratur.

Bentley, P.O. & Bentley, C. (2016). Milstolpar och fallgropar i

matematikinlärningen: matematikdidaktisk teori om misstag, orsaker och åtgärder.

(1. uppl.) Stockholm: Liber.

Björklund, E. & Dalsmyr, H. (2016a). Koll på matematik 6A. Stockholm: Sanoma. Björklund, E. & Dalsmyr, H. (2016b). Koll på matematik 6A Lärarguide. Stockholm: Sanoma.

Brown, M. & Edelson, D C. (2003). Teaching As Design: Can we better understand

the ways in which teachers use materials so we can better design materials to support their changes in practice? The Center for Learning Technologies in Urban Schools,

2020.

Duval, R. A. (2006). Cognitive Analysis of Problems of Comprehension in a Learning of Mathematics. Educ Stud Math 61, 103–131 2006. Hämtad: 2020-12-22. https://doi.org/10.1007/s10649-006-0400-z

Gavelin Rydman, A-C. (2018) Vi går mot en tid där läromedel spelar större roll. I Vinde, R. Den nya läromedeldebatten. Stockholm: Svenska läromedel. ISBN 978-91-639-6629-3

Hemmi, K., Krzywacki, H. & Koljonen, T. (2017). Investigating Finnish Teacher

Guides as a Resource for Mathematics Teaching. Scandinavian journal of educational

research, 2017, Vol.62 (6), p.911-928.

DOI: 10.1080/00313831.2017.1307278

Håkansson, J. & Sundberg, D. (2012). Utmärkt undervisning: framgångsfaktorer i

svensk och internationell belysning. (1. utg.) Stockholm: Natur & Kultur.

Häggblom, L. (2013). Med matematiska förmågor som kompass. (1. uppl.) Lund: Studentlitteratur.

Jukić Matić, L. & Glasnović Gracin, D. (2020). How do teacher guides give support

to mathematics teachers? Analysis of a teacher guide and exploration of its use in teachers' practices. Research in mathematics education, 2020, p.1-20.

DOI: 10.1080/14794802.2019.1710554

Karlsson, N. & Kilborn, W. (2015). Matematikdidaktik i praktiken: att undervisa i

årskurs 1-6. (1. uppl.) Malmö: Gleerups Utbildning.

Kommentarmaterial till kursplanen i matematik (reviderad 2017) [Elektronisk resurs]. (2017). Skolverket.

Kozulin, A. & Kazaz, S. (2016). Developing the concept of perimeter and area in

students with learning disabilities (LD). European Journal of Psychology of

Education, 2017, V.32 (3), s.353-366.

Lo, M.L. (2014). Variationsteori: för bättre undervisning och lärande. (1. uppl.) Lund: Studentlitteratur.

Marton, F. & Tsui. A.B.M. (2003). Classroom Discourse and the Space of Learning. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.

Norberg, M. (2020). Från design till meningsskapande - En multimodal studie om

elevers arbete med matematikböcker i årskurs 1. (Fakulteten för humanvetenskap

Akademisk avhandling i pedagogik Mittuniversitet, Sundsvall, 2020).

Olteanu, C. (2014). Matematiskt resonemang och kritiska aspekter. I Modul: Algera.

Del 2: Resonemangsförmåga. Skolverket: Linnéuniversitetet.

Olteanu, L. (2016). Framgångsrik kommunikation i matematikklassrummet (Linnaeus University dissertations ; 266). Växjö: Linnaeus University Press.

Remillard, J. & Kim, O-K. (2017). Knowledge of curriculum embedded mathematics:

exploring a critical domain of teaching. Educational studies in mathematics, p.

65-81.

DOI: 10.1007/s10649-017-9757-4

Roos, H. & Trygg, L. (2018). Matematik, specialpedagogik – Grundskola 1-3. I modul Matematikdidaktik & specialpedagogik del 2: begrepp och representationer. Skolverket: Linnéuniversitetet.

Skolverket (2019). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet

2011: reviderad 2019. (Sjätte upplagan). [Stockholm]: Skolverket.

Vetenskapsrådet. (2017). God forskningssed. Vetenskapsrådets rapportserie. Österholm, M. (2008). Do students need to learn how to use their mathematics

textbooks? The case of reading comprehension. Nordic Studies in Mathematics

9 Bilagor