Framväxten av den islamiska algebraiska lösningsmetoden för ekvationer, från 800-talet till 1200-talet

Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare: Anders Öberg

Examinator: Veronica Crispin Quinonez December 2017

Department of Mathematics Uppsala University

Framväxten av den islamiska algebraiska

lösningsmetoden för ekvationer, från 800-talet till 1200-talet

Bashar Elias

Den islamiska matematikern al-Khwarizmi

MATEMATIKENS HISTORIA

Framväxten av den islamiska algebraiska

lösningsmetoden för ekvationer (800 – 1200 e.Kr.)

1 ABSTRACT

Have you ever thought about how algebra actually developed? If you’re thinking “yes, I do”, in this essay, you will travel through the history of mathematics for an answer. The mathematics of Islam has affected the development of modern mathematics. The word algebra comes from the Islamic mathematician al- Khwarizmis book Kitab al-muhtasar fi hisab al-jabr wa al-muqabala. The translation of the title is ‘A summarized book for algebraic calculation and its correspondent’. Al-Khwarizmis al-jabr stands for the operation between variables, equation and geometry. His classification of quadratic equations, changed his successors way of solving mathematical problems. How did al-Khwarizmi develop his al-jabr? An answer to this question is his access to translated writings of ancient mathematic. For example, al-Khwarizmis geometry is presented in a similar way as Euclidis geometry. In Babylonian mathematics, it was found that the cuneiform YBC 4663 has comparable geometrical solution as al-Khwarizmis (written as equation of type 6 on chapter 8).

This essay is presented as a literature study and has a hierarchical structure. The essay will be divided into four sections:

1) Babylonian and Greek mathematical problems that is related to mathematic of Islam (chapter 6) 2) The history of Islam between 7^th century to 10^th century (chapter 7)

3) Al-Khwarizmi and his successors’ mathematics of Islam (chapter 8)

4) The development of al-Khwarizmis algebra thus emergence of the cubic equations (chapter 9) (Observe that the forth section is the beginning of modern calculus.)

2 INNEHÅLLSFÖRTECKNING

1 Abstract ... 1

2 Innehållsförteckning ... 2

3 Introduktionskapitel ... 4

4 Metod ... 5

5 Babyloniska matematiken ... 6

5.1 Den babyloniska approximationen av kvadratroten 2 ... 6

5.2 Babyloniernas lösningsalgoritm för ekvationer ... 7

6 Problem med okända storheter utan algebraiska lösningar ... 9

6.1 Babyloniska kilskriften YBC 4663 (lösningsalgoritm för kvadratekvationer) ... 9

6.1.1 Geometrisk samband av författarens lösningsalgoritm ... 10

6.2 Euklides lösningsmetod för proposition 11 med geometriskt argument ... 11

7 Islamiska riket ... 13

7.1 Islamiska riket mellan 700 talet och 1000 talet ... 13

7.2 Islamiska riket runt 1000 talet ... 13

8 Matematiken under den islamiska riket ... 15

8.1 Al-Khwarizmis bok kitab al-muhtasar fi hisab al-jabr wa al-muqabala ... 15

8.2 Al-Khwarizmis lösningsmetod av relation typ 4) (𝑥²+ 𝑏𝑥 = 𝑐) ... 17

8.2.1 Exempel: 𝑥²+ 10𝑥 = 39 ... 17

8.3 Al-Khwarizmis lösningsmetod av relation typ 6) (𝑥²+ 𝑐 = 𝑏𝑥) ... 18

8.4 Abad al-Hamid ibn-Turks kvadratekvationer ... 19

8.5 Al-Khwarizmis algebra ... 20

8.6 Thabit ibn Qurras algebra ... 22

8.7 Abu-Kamils algebra ... 23

9 Från Kvadratekvationer till kubiska ekvationer ... 25

9.1 Omar Khayyam avhandling On the Division of a Quadrant of a Circle ... 25

9.2 Omar Khayyams text Risala fi al-Barahin ’ala masa’il al-Jabr wa’lmuqabala ... 26

9.2.1 Lösningsmetod för den trinominala ekvationen typ 1 (𝑥³+ 𝑐𝑥 = 𝑑) ... 27

9.2.2 En motsägelse i den trinominala ekvationen typ 5 (𝑥³+ 𝑑 = 𝑏𝑥²) ... 28

9.3 Sharif Al-Din Al-Tusis tredjegradsekvationer (kubiska ekvationen) ... 29 9.3.1 Al tusis lösningsmetod av ekvationen i grupp 4 typ 1 (𝑥³+ 𝑑 = 𝑏𝑥² ... 30 10 Referenslista ... 33

3 INTRODUKTIONSKAPITEL

Den moderna matematiken har i algebran sin betingelse ur den islamiska matematiken som började vid det islamiska forskningsinstitution i Bagdad. I denna forskningsinstitution översatte de islamiska vetenskapsmännen matematiska fynd från hela det islamiska riket. Syftet med översättningarna var att man inom snar framtid skulle påbörja egna forskningar inom matematikens ramar och få en grunduppfattning om matematiken. Huvudsakligen översattes den grekiska matematiken till arabiska men man översatte även babylonisk matematik. Vetenskapsmännens mål med översättningarna var att de skulle samla tillräckligt med information för att kunna påbörja och utveckla egna teorier inom matematiken. Den grekiska matematiken kom att spela en stor roll för de islamiska vetenskapsmännens uppfyllelse av målet.

De islamiska vetenskapsmännen översatte grekiska arbeten som hade författat av Euklides, Arkimedes, Ptolemeios, Apollonius m.fl. I dessa översättningar fann man geometriska problem med komplexa lösningsmetoder som kunde tolkas som kvadratiska eller kubiska ekvationer. Ett exempel på en lösningsmetod som kan tolkas till kvadratekvation är Euklides proposition 11 ur hans bok Euklides elementa II. Euklides metod för att bevisa sin proposition resulterade i komplexa uträkningar som avslutades med argument (se avsnitt 6.2). Man har även funnit att Arkimedes räknat på geometriska problem som kan kopplas till kubiska ekvationer. Exempelvis förekom geometriska problem i hans bok splitting of a sphere into two parts whose volumes are in a given ratio där Arkimedes inte kunde lösa dessa geometriska problem med sin lösningsmetod. Här kommer den persisk islamiska matematikern Omar Khayyam spela en viktig roll i matematikens utveckling av en sådan lösningsmetod som kommer också vara grunden till dagens matematiska analys (envariabel och flervariabel).

Eftersom dessa grekiska problem hamnade i de islamiska vetenskapsmännens översättningar kunde de islamiska vetenskapsmännen utveckla nya lösningsmetoder. Dessa lösningsmetoder bygger på den islamiska matematikern al-Khwarizmis lösningsmetod och hans utveckling av operationen algebra (al-Jabr).

De islamiska lösningsmetoderna för kvadratekvationer har även en koppling till den babyloniska lösningsalgoritmen för kvadratekvationer. Exempelvis kan al-Khwarizmis lösningsmetod för (𝑥²+ 𝑐 = 𝑏𝑥) jämföras med den babyloniska lösningsalgoritmen från kilskriften YBC 4663 (se avsnitt 6.1).

Man kan alltså säga att den islamiska matematiken lade grunden till vad vi idag kallar för algebra genom att sammanfatta matematiska fynd från olika delar av världen.

Denna studie centreras kring de islamiska vetenskapsmännens lösningsmetod för kvadratiska ekvationer och algebraiska problem men jag kommer även skriva om matematikern Omar Khayyam och Sharif al-din al-Tusi. Dessa sistnämnda matematiker levde under en tid då det islamiska riket präglades av konflikter. De lyckades dock slutligen utveckla ännu en ny del inom al-Khwarizmis algebra som ledde till lösningsmetoder för kubiska ekvationer.

I arbetet presenteras:

• Babylonisk matematik

• Problem med okända storheter utan algebraiska lösningar o Babyloniskt problem

o Euklidiskt problem

• Historia om islamiska riket

• Algebra och kvadratiska ekvationer

• Kubiska ekvationer

• Kubiska ekvationer av Omar Khayyam och Sharif al-din al-Tusi.

Det finns en anledning till att jag väljer att benämna dessa vetenskapsmän till de islamiska vetenskapsmännen och inte de arabiska vetenskapsmännen. Under denna tid då islamiska riket växte så präglades denna rike av flertals interna konflikter. Dessa konflikter dök mellan araber, perser och vad som det senare kommer kallas för turkar. Därför har dessa vetenskapsmän olika bakgrund och tillhör olika provinser. Det dessa vetenskapsmän har gemensamt är deras religion och därför benämns de som islamiska vetenskapsmän.

4 METOD

Eftersom ämnet är matematikens historia har jag använt mig av en litteraturstudie baserad på flera matematiska historieböcker. Den huvudsakliga boken för studien är av författaren Victor J. Katz, 2009. (se referenslistan). Jag har även använt tidigare kunskaper eftersom jag har läst 20hp matematikens historia med Anders Öberg.

5 BABYLONISKA MATEMATIKEN

Idag vet historiker mycket mer om den babyloniska matematiken än den egyptiska matematiken. Tack vare deras metod att kommunicera med kilskrift har man funnit flera välbevarade källor. I det gamla Egypten skrev man på papyrusrullar som inte var hållbart i längden. I detta kapitel presenteras två kilskrifter som visar hur avancerade de babyloniska matematikerna var. Men vilken koppling har den babyloniska matematiken med den islamiska matematiken? Eftersom Babylonien härstammar från Mesopotamien som sedan dominerades av det islamiska riket har de islamiska matematikerna fått tag på dessa välbevarade matematiska skrifter. Dessa skrifter innehöll matematik som väcker intresse hos dagens matematikhistorieälskare. Nedan presenteras två av dessa kilskrifter som visar varför de är intresseväckande.

5.1 Den babyloniska approximationen av kvadratroten 2

Det har förekommit flera kilskrifter där de babyloniska författarna av kilskriften använder sig av en algoritm för att beräkna kvadratroten av ett tal. De moderna kvadratrötterna kan antingen vara rationella, irrationella eller imaginära. Den babyloniska författaren av kilskriften YBC 7289 räknar på ett problem som J. Swetz och L. Beery, 2012 tror är en uppskattning av det irrationella talet √2.¹

Janet L. Beery undervisar studenter i en kurs som på engelska heter Liberal arts mathematics history (de fria konsterna i matematikens historia). Hon mottog bilden (se figur 1) av sin kollega Frank J. Swetz och valde att lyfta upp bilden i en klassdiskussion med sina studenter för att gemensamt tyda denna mystiska kiltavla.

L. Beery och hennes studenter kunde gemensamt komma överens att tavlan beskrev en kvadrat med sida 30; de två rader av kilskrifter 1;24,51,10 och 42;25,35 var skrivna som en diagonal (se figur 2).

1 Janet L. Beery och Frank J. Swetz: The Best Known Old Babylonian Tablet?

Figur 1 Figur 2

Med hjälp av Pythagoras sats beräknade de diagonalen av kvadraten. 𝑑 = √30²+ 30²= √2 × 30²= 30√2 ≈ 42,426407. Roten ur 2 är approximerat till 1.414214. De fortsatte sin analys av kilskriften med att konvertera 1; 24,51,10 och 42; 25,35 till dagens positionssystem. 1 × 60⁰+²⁴₆₀+₆₀⁵¹₂+₆₀¹⁰₃≈ 1,414213 och 42 × 60⁰+²⁵₆₀+₆₀³⁵₂≈ 42,4264 ≈ 30√2.

L. Beery och hennes studenter kom fram till att det finns många intressanta aspekter om vad dessa tal har för betydelse. Det som man kan anta är att 1; 24,51,10 är en approximation av √2 och 42; 25,35 = 30 × 1; 24,51,10 ≈ 30√2.

Den babyloniska algoritmen för √2 är intresseväckande eftersom författaren av kilskriften YBC 7289 lyckades approximation √2. Denna kilskrift är ungefär 4600–4800 år gammal² med en avancerad algoritm för irrationell kvadratrot. Men de babyloniska matematikerna utvecklade även en algoritm för ekvationslösningar som kommer presenteras i nästa avsnitt.

5.2 Babyloniernas lösningsalgoritm för ekvationer

Det babyloniska folket bestod av mestadels lantmän som ofta hamnade i affärsrelationer med sina grannar.

Exempelvis beräknade författaren av kilskriften VAT 8389 arean av sin skörd genom en algoritm.

Man kan tolka problemet i VAT 8389 på följande sätt:

Två åkrar skördas, den första skörden gav ²₃𝑠𝑖𝑙𝑎/𝑠𝑎𝑟 och den andra gav ¹₂𝑠𝑖𝑙𝑎/𝑠𝑎𝑟 (Sila och sar är mått för kapacitet och area). Skörden av första åkern var 500 sila mer än den andra; den sammanlagda arean av båda åkrarna är 1800 sar. Beräkna storleken för varje åker.³

För att förstå författarens lösningsalgoritm att lösa problemet genom att använda en modern metod. Man kan beskriva problemet som en linjär oberoende händelse. Genom att låta variablerna 𝑥 och 𝑦 representera den okända arean kan man beskriva problemet som:

{

2

3𝑥 −¹₂𝑦 = 500 (1) 𝑥 + 𝑦 = 1800 (2) ⇒ [

2

3 −¹₂ 500

1 1 1800] ⇔ [0 1 600

1 0 1200] , 𝑥 = 1200 𝑜𝑐ℎ 𝑦 = 600.

Hur löste författaren av kilskriften VAT 8389 problemet?

Författarens började sin lösningsalgoritm med ett antagande. Författaren antog att båda skörden i ekvation (2) är lika mycket, dvs. 𝑥 = 900 och 𝑦 = 900⁴ (författaren antog detta eftersom 900 + 900 = 1800).

Med de antagna värden på variablerna 𝑥 och 𝑦 kalkylerade författaren ekvation (1): ²₃(900) −¹₂(900) =

2 https://en.wikipedia.org/wiki/YBC_7289

3 J. Katz 2009, s.22

4 Ibid s.23

150 (1.1). Eftersom första åkern var 500 sila mer, tog författaren differensen mellan (1) och (1.1) dvs.

500 − 150 = 350. För att korrigera sitt första antagande insåg författaren att när värdet 𝑥 ökar och när värdet 𝑦 sjunker får man en ökning i ”funktionen” (²₃𝑥 −¹₂𝑦) med ³₂+¹₂=⁷₆.⁵För att komma fram till en lösning behövde författaren alltså bara lösa ekvationens ökning ⁷₆𝑧 = 350. Författaren kom fram till att ökningen är 300 som gav första svaret för 𝑥: 300 + 900 = 1200 och för att beräkna 𝑦 subtraherade han 300 från 900 som resulterar i 600.

5 J. Katz 2009, s. 23

6 PROBLEM MED OKÄNDA STORHETER UTAN ALGEBRAISKA LÖSNINGAR

Innan algebrans framväxt existerade problem med okända storheter som löstes utan algebra. Exempelvis löste babylonierna inte bara linjära ekvationer (som redovisades i avsnitt 4.2) utan man har även kunnat hitta kilskrifter med matematiska problem som kan kopplas till kvadratekvationer. Förutom den babyloniska matematiken har man även funnit i Euklides Elementa problem med okända storheter som löstes med argument. Båda dessa problem presenteras i detta avsnitt. Skillnaden mellan dessa problem är att babyloniska matematikerna löste dessa okända storheter med en algoritm; de grekiska matematikerna löste dessa euklidiskt.

6.1 Babyloniska kilskriften YBC 4663 (lösningsalgoritm för kvadratekvationer)

I den babyloniska kilskriften YBC 4663 presenteras ett exempel där författaren får givet en semiperimeter och arean av en (vad vi idag kallar) ’rektangel’. J. Katz har kunnat observera att författaren av kilskriften använt sig av en geometrisk ”klippa och klistra” metod. Enligt Katz användes den geometriska metoden speciellt av lantmätare när de beräknade längden och bredden av en rektangel.

Problemet ur kilskriften YBC 4663 ser ut på följande sätt: {𝑥 + 𝑦 = 6¹₂ (𝑠𝑒𝑚𝑖𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟𝑛) 𝑥𝑦 = 7¹₂ (𝑎𝑟𝑒𝑎𝑛) . ⁶

Författaren av kilskriften löste problemet algoritmiskt med följande steg:

1. Först halverade författaren semiperimetern: ¹₂ 𝑎𝑣 6¹₂ ä𝑟 3¹₄ (1).

2. därefter kvadrerade författaren den halva semiperimetern: (3¹₂)²= 10₁₆⁹. 3. Sedan subtraherades den givna ’arean’ ur steg 2: 10₁₆⁹ − 7¹₂= 3₁₆¹. 4. Författaren räknade sedan: √3₁₆¹ = 1³₄ (2) för att

5. Sedan subtrahera (2) ur (1): 3¹₄− 1³₄= 1¹₂.

Om vi löser Kilskriften YBC 4663 med modern matematik får vi följande steg:

1) 𝑦 =⁷

1 2 𝑥. 2) 𝑥 +⁷

1 2 𝑥 = 6¹₂.

6 J. Katz 2009, s.23

3) 𝑥²+ 7¹₂= 6¹₂𝑥.

4) 𝑥²− 6¹₂𝑥 + 7¹₂= 0.

5) Med 𝑎𝑏𝑐 formeln får vi rötterna 6) 𝑥1= 5, 𝑥2= 1¹₂.

6.1.1 GEOMETRISK SAMBAND AV FÖRFATTARENS LÖSNINGSALGORITM

I J. Katz 2009 upptäcktes att författarens lösningsalgoritm hade ett geometriskt samband.⁷ För att förstå sambandet benämnde Katz semiperimetern och arean som 𝑏 och 𝑐 (𝑥 + 𝑦 = 𝑏 och 𝑥𝑦 = 𝑐).

Katz tolkade författarens lösningsalgoritm som:

1) Halva semiperimetern dvs ^𝑏₂⇔^𝑥+𝑦₂ .

Med hjälp av aritmetik manipulerade Katz halva semiperimetern ^𝑏₂ genom att addera en ”osynlig nolla”:

𝑥+(𝑥−𝑥)+𝑦

2 =^{2𝑥−𝑥+𝑦}₂ = 𝑥 −^𝑥−𝑦₂ (∗). Samma sak gäller även för variabeln 𝑦 dvs. ^𝑏₂= 𝑦 +^𝑥−𝑦₂ (∗∗).

2) Eftersom författaren kvadrerade halva semiperimetern får man ur steg 1 att: (^𝑏₂)²= (^𝑥+𝑦₂ )²=

𝑥²+2𝑥𝑦+𝑦² 4

Även här manipulerade Katz steg 2 med hjälp av aritmetik:

(^𝑥+𝑦₂ )²=^{𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦}₄ ²=^𝑥2+(4𝑥𝑦−2𝑥𝑦)+𝑦²

4 = 𝑥𝑦 +^{𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦}₂ ² = (𝑥𝑦) + (^𝑥−𝑦₂ )². 3) Katz tolkade författarens steg 4 och 5 som (^𝑏₂)²= (𝑥𝑦) + (^𝑥−𝑦₂ )² Eftersom Katz benämnde 𝑥𝑦 som 𝑐 fick han att:

4) (^𝑏₂)²− (𝑥𝑦) = (^𝑥−𝑦₂ )²⇔ (^𝑏₂)²− 𝑐 = (^𝑥−𝑦₂ )²⇔ √(^𝑏₂)²− 𝑐 =^𝑥−𝑦₂ . Katz benämner steg 4 som sidan av kvadraten (se figur 3)

5) För att beräkna sidan 𝑥 och 𝑦 finns två steg:

a) För att beräkna 𝑥 adderade Katz ^𝑏₂ (∗) till sidan av kvadraten och fick att (^𝑥+𝑦₂ ) +

√(^𝑏₂)²− 𝑐 =^𝑥−𝑦₂ + (^𝑥+𝑦₂ ) ⇔^𝑥+𝑦₂ + √(^𝑏₂)²− 𝑐 =^𝑥−𝑦₂ + 𝑥 −^𝑥−𝑦₂ ⇔^𝑥+𝑦₂ + √(^𝑏₂)²− 𝑐 =

𝑥 ⇔^𝑏₂+ √(^𝑏₂)²− 𝑐 = 𝑥 (se figur 3).

b) För att beräkna 𝑦 subtraherade Katz sidan av kvadraten ur ^𝑏₂ (∗∗) och fick att (𝑦 +^𝑥−𝑦₂ ) −

√(^𝑏₂)²− 𝑐 = (𝑦 +^𝑥−𝑦₂ ) −^𝑥−𝑦₂ ⇔^𝑏₂− √(^𝑏₂)²− 𝑐 = 𝑦.

7 J. Katz 2009, s 23

Katz geometriska samband av författarens lösningsalgoritm kan skrivas som andragradsekvationen av formen 𝑥²− 𝑏𝑥 + 𝑐 , där 𝑥 genom pq-formeln får lösningen 𝑥 =^𝑏₂± √(−^𝑏₂)²− 𝑞.

6.2 Euklides

lösningsmetod för

proposition 11 med geometriskt argument

Den grekiska matematikern Euklides är känd för sina 13 samlingsverk av geometriska definitioner, satser och bevis. Dessa samlingsverk kallades för Euklides Elementa. J.L Heiberg (1883–1885) översatte alla dessa 13 samlingsverk; 2007 förnyades översättningen med ett mer modernt språk av författaren Richard Fitzpatrick. Ur översättningen av Fitzpatrick Euclidi’s Elements of Geometry, 2007 (se referenslista) presenterades proposition 11 ur Euklides Elementa II med Euklides egna bevis.

Proposition 11: To cut a given straight-line such that the rectangle contained by the whole (straight-line), and one of the pieces (of the straight-line), is equal to the square on the remaining piece.⁸

Euklides bevis till denna proposition inleds med en konstruktion av kvadraten 𝐴𝐵𝐶𝐷 på linjesegmentet 𝐴𝐵 (prop.

1.46). Därefter följer 5 euklidiska konstruktionssteg:

1. Han konstruerar linjen 𝐸𝐵 som skär 𝐴𝐶 i mitten.

(prop. 1.10).

2. Euklides förlänger linjen 𝐸𝐴 mot punkten 𝐹 så att 𝐸𝐹 = 𝐸𝐵 (prop.1.3).

3. Från linjen 𝐹𝐴 skapar han kvadraten 𝐴𝐹𝐺𝐻 med sidan 𝐴𝐻 (prop. 1.46).

4. Därefter drar han linjen 𝐺𝐻 så att den skär 𝐶𝐷 i punkten 𝐾 (se figur 4).

5. I nästa steg skriver Euklides: 𝐴𝐵 has ben cut at 𝐻 such as to make the rectangle contained by 𝐴𝐵 and 𝐵𝐻 equal to the square on 𝐴𝐻⁹.

8 Fitzpatrick 2007, s.62

9 Ibid, s.63

Figur 3: geometriskt samband av babyloniernas lösningsalgoritm

Figur 4

Alltså skapade han punkten 𝐻 så att rektangeln med sidan 𝐴𝐵 och rektangeln med sidan 𝐻𝐵 är lika med kvadraten 𝐴𝐻 ⇒ (𝐴𝐵 × 𝐻𝐵 = 𝐴𝐻²). För att visa att detta stämmer konstruerade Euklides flera argument som stärktes med geometriska bevis. Argumenten var följande:

1) For since the straight-line 𝐴𝐶 has been cut in half at 𝐸 and 𝐹𝐴 has been added to it, the rectangle contained by 𝐶𝐹 and 𝐹𝐴, plus the square on 𝐴𝐸, is thus equal to the square on 𝐸𝐹 [Prop. 2.6]

2) And 𝐸𝐹 (is) equal to 𝐸𝐵. Thus, the (rectangle contained) by 𝐶𝐹 and 𝐹𝐴, plus the (square) on 𝐴𝐸, is equal to the (square) on 𝐸𝐵. But, the (sum of the squares) on 𝐵𝐴 and 𝐴𝐸 is equal to the (square) on 𝐸𝐵.

Euklides påpekar efter dessa två argument att ”the (sum of the squares) on 𝐵𝐴 and 𝐴𝐸 is equal to the (square) on 𝐸𝐵” (se figur 4). Han fortsätter sina argument med att skriva:

3) For the angle at 𝐴 (is) a right-angle [Prop. 1.47]. Thus, the (rectangle contained) by 𝐶𝐹 and 𝐹𝐴, plus the (square) on 𝐴𝐸, is equal to the (sum of the squares) on 𝐵𝐴 and 𝐴𝐸.¹⁰

Efter argument 3) börjar Euklides att argumentera varför 𝐴𝐵 × 𝐻𝐵 = 𝐴𝐻².

” Let the square on 𝐴𝐸 have been subtracted from both. Thus, the remaining rectangle contained by 𝐶𝐹 and 𝐹𝐴 is equal to the square on 𝐴𝐵. And 𝐹𝐾 is the rectangle contained by 𝐶𝐹 and 𝐹𝐴. For 𝐹𝐴 is equal to 𝐹𝐺 and 𝐴𝐷 is the square on 𝐴𝐵. Thus, the rectangle 𝐹𝐾 is equal to the square 𝐴𝐷. Let rectangle 𝐴𝐾 have been subtracted from both. Thus, the remaining square 𝐹𝐻 is equal to the rectangle 𝐻𝐷. And 𝐻𝐷 is the rectangle contained by 𝐴𝐵 and 𝐵𝐻 . For 𝐴𝐵 is equal to 𝐵𝐷 . And 𝐹𝐻 is the square on 𝐴𝐻 . Thus, the rectangle contained by 𝐴𝐵 and 𝐵𝐻 is equal to square on 𝐻𝐴.”.

Euklides avslutar sin sista mening med ”which is the very thing it was required to do.”¹¹.

Med hjälp av sina argument lyckades Euklides bevisa proposition 11. Dock är hans geometriska argumenterande lösningsmetod svårförståeliga och inte optimala för ekvationslösning då förkunskap i euklidisk geometri behövs.

Om algebran hade varit tillgänglig för Euklides skulle ett möjligt bevis för proposition 11 härledas med hjälp av kvadratekvationen av formen: 𝑥²+ 𝑎𝑥 = 𝑎².

Om:

𝐴𝐵 = 𝑎 och 𝐴𝐻 = 𝑥 ⇔ 𝐻𝐵 = 𝑎 − 𝑥. Det skulle resultera att ur 𝐴𝐵 × 𝐻𝐵 = 𝐴𝐻²⇒ 𝑎(𝑎 − 𝑥) = 𝑥²⇔ 𝑎²− 𝑎𝑥 = 𝑥² eller 𝑎²= 𝑥²+ 𝑎𝑥 ⇔ 𝑎²= 𝑥(𝑥 + 𝑎).

10 Fitzpatrick 2007, s.63

11 Ibid, s.64

7 ISLAMISKA RIKET

7.1 Islamiska riket mellan 700 talet och 1000 talet

Den islamiska styrkan nådde Spanien år 711 och här tar det stopp i väster för den islamiska styrkan. Den islamiska styrkan hade då redan spridit sig i Mellanöstern och Nordafrika, med detta blev Mesopotamien även ett islamiskt territorium (se figur 5).¹²

År 766 grundar kalifen al-Mansour en huvudstad för hela den islamiska stormakten, Bagdad. Bagdad kommer att ha stor betydelse för den islamiska matematiken och även för matematikens historia. I Bagdad grundade den efterföljande kalifen Harun al-Rashid (786–809) ett bibliotek där man samlade olika manuskript från de olika områden som de islamiska trupper ockuperade. Man lyckades anamma grekisk matematik och översatte det grekiska arbetet om kägelsnitt, Euklides Elementa m.m. för att sedan själva forska. En forskningsinstitution i Bagdad etablerades av kalifen al-Ma’mun (813–833) där de islamiska vetenskapsmännen fick forska och utveckla sina egna matematiska lösningar. Vid slutet av år 900 har vetenskapsmännen lyckats översätta flera arbeten av Euklides, Arkimedes, Apollonius, Diophantos, Ptolemaios och flera andra grekiska matematikers arbeten. Dessa översättningar var tillgängliga för studier i Bagdad. De islamiska vetenskapsmännen tolkade även babyloniska kilskrift och kunde använda sig av babyloniernas lärdom i deras egna forskning¹³. Dock kommer det islamiska riket att genomgå flertals konflikter som påverkar den islamiska vetenskapliga utvecklingen.

7.2 Islamiska riket runt 1000 talet

Det islamiska riket präglades runt 1000 talet av politiska, religiösa och militära konflikter som kommer att påverka den intellektuella staden Bagdad. Buyidernas makt i islamiska riket (945–1055) erövrades ifrån kalifen al-Mustakfi bi-Allah ibn al-Muktafi (944–946) genom en kuppartat form. Under Buyidernas makt ökade korruptionen i det islamiska riket som skapade starka motsättningar mellan Buyider och de turkiska förband (som hade en stark ställning i islamiska riket). Bagdad erövrades år 1055 ifrån Buyider av Toghril Beg som gjorde slut på den instabila statsbildningen av Buyiderna¹⁴. Bagdad kommer att förlora sin titel som ”intellektuell stad”, istället kommer vetenskapen att sprida sig ut i hela riket. Dock var den persiska

12 J. Katz 2009, s.266

13 Ibid, s.266

14 https://sv.wikipedia.org/wiki/Buyider.

Figur 5

Poeten/matematikern Omar Khayyam (1048) fortfarande verksam i Bagdad. Omar Khayyam introducerade ett nytt kapitel för den algebraiska historian genom att systematiskt klassificerade alla typer av kubiska ekvationer med sina lösningsmetoder. Denna klassificering kommer sedan att utvecklas djupare av matematikern och astronomen Sharif al-din al-Tusi.

8 MATEMATIKEN UNDER DEN ISLAMISKA RIKET

I den intellektuella staden Bagdad (700–1000) kommer nya teorier utvecklas av de islamiska vetenskapsmännen. Efter att ha översatt det mesta av den grekiska matematiken och den babyloniska matematiken förde vetenskapsmännen samman dessa källor och utvecklade egna teorier. Dessa teorier kom att bli grunden till dagens sätt att lösa kvadratekvationer och kubiska ekvationer.

För att förstå varför algebran är en betingelse av den islamiska matematiken kan man börja med al- Khwarizmis uppfinning av algebra. Al-Khwarizmi (och hans efterföljare) kom att ägna stor del av sitt liv åt att räkna och utveckla lösningsmetoder för algebra, för kvadratekvationer och för kubiska ekvationer (som behandlas senare i kapitel 9).

Kapitel 8 disponeras på följande sätt:

1. Al-Khwarizmis bok

2. Kvadratekvationer med lösningsmetoder av:

a. Al-Khwarizmi.

b. Abad al-Hamid ibn-Turk.

3. Algebra av:

a. Al-Khwarizmi.

b. Thabit ibn Qurra.

c. Abu-Kamil.

8.1 Al-Khwarizmis bok kitab al-muhtasar fi hisab al-jabr wa al- muqabala

Muhammed ibn Musa al-Kwarizmi skrev sin bok Kitab al-muhtasar fi hisab al-jabr wa al-muqabala i Bagdad omkring 825 e.Kr. Det var för första gången i historian då matematiken introducerades för en ny matematisk operation så kallad algebra. ’Kitab al-muhtasar’ betyder ’en sammanfattad bok’, ’fi hisab al-jabr’ kan översättas till ’med återställande beräkning’ och ’al-muqabala’ översätts till ’motsvarighet’.

Vad betyder bokens titel?

’Återställande beräkning’ kan kopplas till den algebraiska operationen (där man flyttar över en kvantitet till ena sidan av ekvationen och löser ut det okända värdet). ’Motsvarighet’ kan stå för operationen som subtraherar en positiv kvantitet lika mycket från båda leden av en ekvation (se Al-Khwarizmis algebra i avsnitt 8.5).¹⁵ .

15J. Katz 2009, s.271

Al-Khwarizmi hade flera efterföljare (t.ex. ibn-Turk och abu-Kamil) som arbetade med hans bok om algebran och bidrog med fundamentala formuleringar för algebran.¹⁶

Al-Khwarizmi bok börjar med att introducera syftet med boken, syfte var att skapa en manual som kunde användas vid aritmetiska problem.

Principen som al-Khwarizmi använder är:

• Första och andragradsekvationer

• Algoritmiska och geometriska lösningar

• Relationer i en binomial och trinomial ekvation. ¹⁷

Al-Khwarizmi förklarar dessa relationer (som är sex olika typer mellan rötter, kvadrater och tal) på följande sätt:

1) 𝑎𝑥²= 𝑐, kvadraten är lika med talet.

2) 𝑎𝑥²= 𝑏𝑥, kvadraten är lika med roten.

3) 𝑏𝑥 = 𝑐, roten är lika med talet.

4) 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 = 𝑐, kvadraten och dess rot är lika med talet.

5) 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎𝑥², roten och talet är lika med kvadraten.

6) 𝑎𝑥²+ 𝑐 = 𝑏𝑥, kvadraten och talet är lika med sin rot.

Al-Khwarizmi skriver: ”…av dessa tre typer kan vissa vara lika andra. Då säger du: Kvadrater är lika med rötter, kvadrater är lika med tal, rötter är lika med tal.”. Han fortsätter sedan med att skriva: ”jag har funnit att dessa tre typer: al-durub, mudus (som är rötter, kvadrater och tal kombinerat). Därför existerar det tre sammansatta typer- ajnas muqtarina, genera composita- som är kvadrater, plus rötter är lika med ett tal;

kvadrater plus ett tal är lika med rötter; rötter plus ett tal är lika med kvadraten”¹⁸. Al-Khwarizmis lösningsmetod kan ha influerats av såväl den babyloniska matematiken som den grekiska matematiken (till exempel: Diophantos matematiska bok Arithmetica). Hans lösningsmetod för kvadratekvationer förändrade sina föregångares sätt att lösa kvadratiska ekvationer. Det som gör al-Khwarizmis lösningsmetod unikt är den geometriska konstruerade lösning som tillfredsställer den efterfrågade villkoren i problemen. Han såg inte en rot som en sida av en kvadrat utan en aritmetisk enhet (som kan multipliceras med sig själv och tolkas geometriskt).¹⁹

16Rashed 1994, s.9

17 Ibid, s.9

18 Ibid, s.11

19 J. Katz 2009, s.273

8.2 Al-Khwarizmis lösningsmetod av relation typ 4) (𝑥 ² + 𝑏𝑥 = 𝑐)

Al-Khwarizmi börjar sin geometriska lösning av relation typ 4) 𝑥²+ 𝑏𝑥 = 𝑐 med att konstruera en kvadrat som representerar 𝑥² . Variabeln 𝑏𝑥 tolkade al-Khwarizmi som en rektangel med bredden 𝑏 och längden 𝑥, 𝑐 tolkade han som den totala arean av rektangeln 𝑏𝑥 och kvadraten 𝑥². Eftersom kvadraten 𝑥² och rektangeln 𝑏𝑥 har en gemensam längd (längden 𝑥) , påbörjade al- Khwarizmi en geometrisk konstruktion.

Han konstruera två rektanglar (genom att halvera rektangeln 𝑏𝑥) som han sedan adderade till kvadraten 𝑥² (se figur 6). För att konstruera en enhetlig kvadrat 𝐾, skapade al-Khwarizmi en kvadrat med arean (^𝑏₂)² som adderades till arean 𝑐 (Se figur 9). Eftersom arean av den enhetliga kvadraten är 𝐾 = (^𝑏₂)²+ 𝑐 så är

√𝐾 = √(^𝑏₂)²+ 𝑐 (som betyder sidan av den hela kvadraten 𝐾). För att få roten 𝑥, subtraherar al-Khwarizmi

𝑏

2 från √𝐾 ⇒ 𝑥 = √(^𝑏₂)²+ 𝑐 −^𝑏₂ .

Alltså får al-Khwarizmi det generella uttrycket till lösningen: 𝑥 = √(^𝑏₂)²+ 𝑐 −^𝑏₂= 𝑥.

8.2.1 EXEMPEL: 𝑥

+ 10𝑥 = 39

1) Al-Khwarizmi börjar med att kvadrera den delade roten i hälften: ¹⁰₂ = 5 ⇒ 5²= 25.

2) Sedan adderar han svaret med talet och får (25 + 39 = 64 ⇒√64 = 8).

3) För att få fram roten ur kvadraten subtraherar han 8 med 5 och får 3 som är roten för kvadraten han sökte.²⁰

Svaret som al Khwarizmi fick fram kan kontrolleras genom en uträkning av andragradsekvationen 𝑥²+ 10𝑥 − 39 = 0 med hjälp av 𝑎𝑏𝑐 − 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑙𝑛 : ^{−10+√102−4×1×(−39)}₂ = 3 (som är det svaret al Khwarizmi fick.).

20 Rashed 1994, s.12

Figur 6:

geometriska lösningen av typen 4)

8.3 Al-Khwarizmis lösningsmetod av relation typ 6) (𝑥 ² + 𝑐 = 𝑏𝑥)

Al-Khwarizmis geometriska lösning för relation typ 6) (𝑥²+ 𝑐 = 𝑏𝑥) påminner om den babyloniska lösningsmetoden för kvadratekvationerna 𝑥 + 𝑦 = 𝑏, 𝑥𝑦 = 𝑐²¹. (se babyloniska kvadratekvationer).

Al-Khwarizmi börjar med att konstruera kvadraten 𝐴𝐵𝐶𝐷 som representerar 𝑥². Rektangeln 𝐴𝐵𝑁𝐻 representerar talet 𝑐 och 𝐻𝐶 representerar konstanten 𝑏 (se figur 7). Han halverar sedan 𝐻𝐶 i punkten 𝐺 och drar en rätvinklig linje som skär 𝑁𝐷 i punkten 𝑇 . Al- Khwarizmi skapar punkten 𝐾så att linjen 𝐺𝐴 = 𝐺𝐾 och linjen 𝑁𝑇 = 𝑇𝐾 (se figur 7). Av detta Konstruerar han punkten 𝑀 så att rektangeln 𝐻𝐺𝐾𝑀 och Kvadraten 𝑀𝐾𝑁𝑇 bildas (se figur 7). På 𝑀𝐾 väljer han punkten 𝐿 som förlängs till punkten 𝑅 på 𝐻𝐺 och bildar linjen 𝐿𝐾 =

𝐺𝐾 ⇔ 𝐺𝐴. Med geometriska argument drar al-Khwarizmi slutsatsen att rektangeln 𝑀𝐿𝑅𝐻 = 𝐺𝐴𝑇𝐵.

Eftersom 𝑀𝐿𝐻𝑅 = 𝐺𝐴𝑇𝐵, arean av 𝑀𝐾𝑁𝑇 är (^𝑏₂) och arean av rektangeln 𝐴𝐵𝑁𝐻 är 𝑐, borde 𝐿𝐾𝑅𝐺 ha arean (^𝑏₂)²− 𝑐.

Med detta får al-Khwarizmi att:

• Om(^𝑏₂)²> 𝑐 , är 𝑥 = 𝐴𝐶 = 𝐺𝐶 − 𝐺𝐴 = 𝐾𝑇 − 𝐺𝑇 =^𝑏₂± (√(^𝑏₂)²− 𝑐).

• Om (^𝑏₂)²= 𝑐 skriver al-Khwarizmi att ”om (^𝑏₂)²= 𝑐, då är roten av kvadraten lika med halva rötterna utan överskott eller förminskning”

Därefter skriver han att:

• ” (^𝑏₂)²< 𝑐, Fa-al mas-ala mustahila” ²². Som betyder att problemet är omöjlig att lösa.

Anledningen till varför det sistnämnda steget är omöjligt att lösa är på grund av att ett negativt tal förekommer under rottecknet. Matematiken under den här tiden var starkt kopplat till geometrin så att inga negativa tal existerade. Al Khwarizmi fick alltså en kvadratisk ekvation med en imaginär rot.

21J. Katz 2009, s.273

22Rashed 1994, s.13

Figur 7

Al-Khwarizmi fick även att linjen 𝐶𝑅 kan ge en lösning på relationen av typ 6) men visade inte detta med matematiska härledningar.²³

8.4 Abad al-Hamid ibn-Turks kvadratekvationer

Väldigt lite är känt om matematikern Abad al-Hamid ibn-Turk men man vet att han räknade även på al-Khwarizmis relationer av typ 1), 4), 5) och 6). I hans bok inkluderade han en mer avancerad geometrisk förklaring för lösningsmetoderna.

Speciellt gav ibn Turk en avancerad geometrisk förklaring av relation typ 6). Han beskrev alla möjliga versioner av den geometriska lösningen. Exempelvis löste han ekvationen 𝑥²+ 𝑐 = 𝑏𝑥 geometriskt genom att observera mittpunkten 𝐺 (på 𝐶𝐻) som antingen är på linjesegmenten 𝐴𝐻 eller på

linjesegmenten 𝐶𝐴 (se figur 8). Hans geometriska lösning för typ 6) liknar al-Khwarizmis, men i ibn Turks lösning är 𝑥 = 𝐴𝐶 som är given av 𝐴𝐺 + 𝐺𝐶. Därav används ett plustecken i ekvationen: 𝑥 =^𝑏₂+

√(^𝑏₂)²− 𝑐.²⁴

Som tillägg diskuterade ibn-Turk vad han kallar för ”mellanliggande fallet” där roten av kvadraten är exakt lika med hälften av numret av roten (𝑏𝑥).

Hans exempel för denna situation är 𝑥²+ 25 = 10𝑥 . Av denna ekvation får vi att den geometriska diagrammen omfattar exakt en rektangel bestående av två kongruenta kvadrater ⇒ √(^𝑏₂)²− 𝑐 =

√5²− 25 = √0. I sin bok påstod även Ibn Turk att ”det finns en logisk nödvändighet för användning av denna typen av relation, där den numeriska mängden är större än kvadraten av halva numret av roten”.²⁵

23 J. Katz 2009, s. 273–274

24 Ibid, s.274

25 Ibid, s.274

Figur 8

Som ett exempel kan man granska ekvationen 𝑥²+ 30 = 10𝑥 . Återigen tog ibn Turk stöd av ett geometriskt argument²⁶. Förutsatt att 𝐺 ligger på segmentet 𝐴𝐻 , då vet vi från föregående exempel av al-Khwarizmis lösning av relation typ 6) att rektangel 𝑀𝐾𝑁𝑇 har större area än 𝐻𝐴𝐵𝑁 (Se figur 9). Skillnaden mellan detta

exempel och det föregående är att i detta fall är rektangelns area lika med 30, medan den förra rektangelarean var lika med 25.

8.5 Al-Khwarizmis algebra

Ibn-Turk gick visserligen djupare igenom relationerna men al-Khwarizmis algebra var mer intresseväckande.

Kitab al-muhtasar fi hisab al-jabr wa al-muqabala gav en mer pedagogisk förklaring för sina läsare.

Exempelvis inkluderade al-Khwarizmi i sin introduktion en förklaring för hans algebraiska manipulationer.

Al Khwarizmi noterade att om 𝑎 ± 𝑏 multipliceras med 𝑐 ± 𝑑 kommer fyra stycken multiplikationssteg behövas.

1. (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑) = 𝑎(𝑐 + 𝑑) + 𝑏(𝑐 + 𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 2. (𝑎 − 𝑏)(𝑐 + 𝑑) = 𝑎(𝑐 + 𝑑) − 𝑏(𝑐 + 𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 − 𝑏𝑑 3. (𝑎 + 𝑏)(𝑐 − 𝑑) = 𝑎(𝑐 − 𝑑) + 𝑏(𝑐 − 𝑑) = 𝑎𝑐 − 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 − 𝑏𝑑 4. (𝑎 − 𝑏)(𝑐 − 𝑑) = 𝑎(𝑐 − 𝑑) − 𝑏(𝑐 − 𝑑) = 𝑎𝑐 − 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑

Fastän han inte arbetade med negativa tal, visste han reglerna för multiplikationen. Han konstaterade ” Om enheten (𝑏 och 𝑑) är positiva, då är den sista multiplikationen positiv. Om de båda är negativa är ävenledes den sista multiplikationen positiv. Om en av dem är positiv och en av dem är negativ är den sista multiplikationen alltid negativ.”²⁷.

Al-Khwarizmis bok bestod av omfattande samling av problem varav många innehöll dessa typer av problem, de flesta resulterade även till kvadratiska ekvationer.

Ex: I have divided ten into two parts, and having multiplied each part by itself, I have put them together, and have added to them the difference of the two parts previously to their multiplication, and the amount of all this is fifty-four.²⁸

26 J. Katz 2009, s.274

27 Ibid, s. 275

28 Ibid, s. 275

Figur 9

Lösning: Man kan definiera detta problem med algebraiska uttryck: (10 − 𝑥)²+ 𝑥²+ (10 − 𝑥) − 𝑥 = 54 ⇔ 𝑥²+ 28 = 11𝑥. För att lösa uttrycket använder vi al-Khwarizmis lösningsmetod för relation av typ 6).

𝑥²+ 𝑐 = 𝑏𝑥. ^𝑏₂± (√(^𝑏₂)²− 𝑐) = 𝑥 ⇒ {

𝑥₁=¹¹₂ + √(¹¹₂)²− 28 = 7 𝑥2=¹¹₂ − √(¹¹₂)²− 28 = 4

Men al-Kwarizmi ignorerade roten 𝑥 = 7, eftersom summan av de båda kvadraterna skulle bli 58 och inte 54. Dvs, problemets villkor skulle inte uppfyllas fullt ut.

Al-Khwarizmi räknade även med irrationella andragradsekvationer

Ex: I have divided ten into two parts; I have multiplied the one by ten and the other by itself, and the products were the same.²⁹

Lösning: Här kan vi ännu en gång definiera detta algebraiskt som: (10 − 𝑥)²= 10𝑥 ⇔ 100 − 20𝑥 + 𝑥²= 10𝑥 ⇔ 𝑥²+ 100 = 30𝑥.

Löser vi även detta med lösningsmetoden för relation av typ 6) får vi att:

𝑥²+ 𝑐 = 𝑏𝑥 får vi att: ³⁰₂ ± √(³⁰₂)²− 100 = {𝑥 = 15 − √125

𝑥 = 15 + √125. Ännu en gång ignorerade al-Khwarizmi lösningen 𝑥 = 15 +√125 eftersom svaret inte kunde vara ”en del” utav 10.

Många av problem börjar som de exemplen ovan med I have divided ten into two parts³⁰. Dock ansågs få av dessa problem som praktiska under den tiden och al-Khwarizmi hade få matematiska problemen som kunde kopplas till verkligheten.

Det fanns få problemen som kunde kopplas till verkligheten.

Exempelvis: You divide one dirham among a certain number of men. Now you add one man more to them, and divide again one dirham among them. The quota of each is then one-sixth of a dirham less than at the first time³¹.

Lösning: Om vi uttrycker män för 𝑥, då får vi en ekvation som blir: ¹_𝑥−_𝑥+1¹ =¹₆⇔_𝑥2¹_+𝑥=¹₆⇔ 𝑥²+ 𝑥 = 6.

Lösningsmetoden är alltså för relation av typ 4).

29 J. Katz 2009, s. 275–276

30Ibid, s. 276

31 Ibid, s. 276

𝑥²+ 𝑏𝑥 = 𝑐 ⇒ √(¹₂)²+ 6 −¹₂= 2.

Al-Khwarizmi försökte lära sina läsare hur man löser andragradsekvationer genom att förklara relevansen men dock uppstod det ofta problem då han inte kunde förklara vad relevansen är.³². Ett helt avsnitt i hans bok var ägnat åt grundläggande problem medans en översiktlig del var ägnad åt ”de tre reglerna”. Många av dessa problem började på samma sätt och vissa problem krävde kännedom om islamiska arv. Men al- Khwarizmis matematik var ändå revolutionerande och kommer att utvecklas av sina efterföljare.

8.6 Thabit ibn Qurras algebra

50 år efter al-Khwarizmi och ibn-Turks algebra bestämde de islamiska matematikerna att den geometriska delen av algebran skulle vara mer likt Euklidisk geometri³³. En som arbetade med detta var Thabit ibn Qurra som levde mellan år (836–901). Ett utav hans många arbeten var Qawl fi tashih masa’il al-jabr bi l-barahin al-handasiya som betyder: förbättring av lösningsmetoderna för algebraiska problem med hjälp av geometriska bevis.

För att lösa ekvationer av al- Khwarizmis relation typ 4) ( 𝑥²+ 𝑏𝑥 = 𝑐 ) använde Thabit denna figur (se figur 10). 𝐴𝐵 representerar 𝑥 varav 𝑥² blir kvadraten 𝐴𝐵𝐶𝐷 , 𝐵𝐸 representerar

konstanten framför roten dvs ( 𝑏) . Ur detta drog Thabit slutsatsen att rektangeln 𝐷𝐸 = 𝐴𝐵 × 𝐴𝐸 representerar talet 𝑐 . Om 𝑊 är mittpunkten på 𝐵𝐸 då följer det ur Euklides Elementa II − VI att:

𝐴𝐸 × 𝐴𝐵 + 𝐵𝑊²= 𝐴𝑊². Men eftersom både 𝐴𝐸 × 𝐴𝐵 och 𝐵𝑊² är kända som 𝑐 och (^𝑏₂)² så följer det att 𝐴𝑊 är bekant. 𝑥 blir då 𝑥 = 𝐴𝐵 = 𝐴𝑊 − 𝐵𝑊.

I sitt arbete skriver även Thabit att ur al-Khwarizmis matematiska operation föddes en ny typ av matematik, människor som arbetar med dessa kallas för algebraister. Dessa matematiker är kända för sitt geometrisk procedur som motsvarar proceduren i Euklides Elementa II − VI.

32J. Katz 2009, s. 276

33 Ibid s. 276

Figur 10

8.7 Abu-Kamils algebra

Den egyptiska matematikern abu Kamil ibn Islam (850–930) skrev sin egen algebraiska text kitab fi al-jabr wa’l muqabilat. Skillnaden mellan Thabit och abu Kamil är att abu Kamil gav även numeriska exempel på euklidiska geometriska problem, precis som al-Khwarizmi. Abu Kamils kvadratekvationer var däremot mer utvecklade än al-Khwarizmis eftersom han bearbetade flera algebraiska regler och variationer av problem.

Han arbetade även med mera komplexa problem inkluderande algebraiska storheter med irrationella tal.³⁴ Exempel problem 37:” If one says that 10 is divided into two parts, and one part is multiplied by itself and the other by the root of 8, and subtract the quantity of the product of one-part times the root of 8 from ...

the product of the other part multiplied by itself, it gives 40.”.

Lösning: Vi kan tolka detta algebraiskt som (10 − 𝑥)²− 𝑥√8 = 40 … ⇔ 𝑥²+ 60 = 𝑥(20 + √8). För att lösa denna ekvation använde abu Kamil al-Khwarizmis algoritm för relation av typ 6). Alltså fick abu Kamil att 𝑥 = 10 +√2 − √42 + √800 och att 10 − 𝑥 är: √42 + √800 − √2.

Abu Kamil applicerade substitution för att förenkla problemen med graden större än två, så länge de är kvadratiska i formen.

Ett exempel är problem 45:” One says that 10 is divided into two parts, each of which is divided by the other, and when each of the quotients is multiplied by itself and the smaller is subtracted from the larger, then there remains 2.”³⁵.

Ekvationen är: (_10−𝑥^𝑥 )²− (^10−𝑥_𝑥 )²= 2. Det abu Kamil gör för att lösa detta problem är att substituera

10−𝑥

𝑥 = 𝑧. Då fick han att _10−𝑥^𝑥 =¹_𝑧. Ekvationen blir efter substitution alltså:

1

𝑧²− 𝑧²= 2 ⇔_𝑧¹₂ = 2 + 𝑧²⇔ 1 = 2𝑧²+ (𝑧²)² som leder till 𝑧²= √2 − 1 ⇔ √√2 − 1 =^10−𝑥_𝑥 = 𝑧.

För att lösa ut 𝑥 använde han algebraisk manipulation och fick fram att: 𝑥 = 10 +√50 −

√√50 + √20000 − √5000.

Abu Kamil kunde även lösa system av ekvationer, exempelvis problem 61:

“One says that 10 is divided into three parts, and if the smallest is multiplied by itself and added to the middle one multiplied by itself, it equals the largest multiplied by itself, and when the smallest is multiplied by the largest, it equals the middle multiplied by itself.”³⁶.

34 J. Katz 2009, s. 277

35 Ibid, s. 277

36 Ibid, s. 279

Det som är eftersökt kan översättas i modernt uttryck som: Hitta 𝑥 < 𝑦 < 𝑧 där {𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10, 𝑥²+ 𝑦²= 𝑧² 𝑜𝑐ℎ 𝑥𝑧 = 𝑦²}.

(Observera att alla tre ekvationer är homogena).

Lösning: Abu Kamil använde en gammal metod för falsk position³⁷. Han började med att ignorera första ekvationen och satte 𝑥 = 1 i andra och tredje ekvationen för att få fram: 1 + 𝑦²= 𝑧² och 𝑧 = 𝑦² så att 1 + 𝑦²= (𝑦²)². Eftersom den sistnämnda ekvationen är kvadratisk kunde han hitta en lösning till den och

fick att: 𝑧 = 𝑦²=¹₂+ √⁵₄ och 𝑦 = √¹₂+ √⁵₄.

Abu Kamil återgick sedan till den första ekvationen och noterade att summan av de ”falska” positionerna

är: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =³₂+ √⁵₄+ √¹₂+ √⁵₄ istället för 10.

För att kunna hitta de korrekta värdena behöver han dela 10 med summan av de ”falska” positionernas värde. Eftersom han även satte 𝑥 = 1, måste nu 𝑥 = ¹⁰

3

2+√⁵₄+√¹₂+√⁵₄

.

Detta var inte en lätt procedur som tillämpades, abu Kamil började med att multiplicera nämnaren med 𝑥, produkten är ekvivalent med 10. Slutligen ändrade han den homogena flervariabla ekvationen till en andragradsekvation och fick fram efter förenkling att: 𝑥 = 5 − √√3.125 − 50.

Att hitta 𝑧 och 𝑦 genom att multiplicera denna falska positionen skulle ha lett till svåra uträkningar. Abu Kamil bestämde sig istället för att börja om och hitta 𝑧 genom att på nytt ange falska positionen 𝑧 = 1.

Man får observera att alla dessa symboler som vi använder i de moderna uttrycken har ännu inte uppfunnits, utan abu Kamil använde verbala uttryck.

37J. Katz, s. 279

9 FRÅN KVADRATEKVATIONER TILL KUBISKA EKVATIONER

Ett annat utvecklingsområde inom islamiska matematiken bildades i början av 1000 talet. Aritmetiken av geometriska tillämpningar med algebra har fått en stadigare utveckling och vid slutet av 900 talet var mestadels av den grekiska matematiken översatt. Under denna tid präglades det islamiska riket av konflikter (se avsnitt 7.2), dock förekom ännu en revolutionerande utveckling inom islamiska vetenskapen.

Nya problem översattes och kunde inte lösas med andragradsekvationer (t.ex. fördubbling av kuber och Arkimedes splitting of a sphere into two parts whose volumes are in a given ratio). De islamiska vetenskapsmännen försökte beräkna dessa problem genom att återuppta den grekiska idén om att skära koner men lyckades inte.

I kapitel 9 presenteras matematikerna Omar Khayyam (1048–1131) och Sharif al-din al-Tusi (1135–1213) som räknade på dessa problem. Omar Khayyam var en persisk matematiker som lyckades systematiskt klassificera dessa nya problem med en generell metod som liknar al-Khwarizmis metod.³⁸ Sharif al-din al- Tusi utvecklade vidare Omar Khayyams metod och gav flera numeriska exempel.

9.1 Omar Khayyam avhandling On the Division of a Quadrant of a Circle

Omar Khayyams avhandling presenterar ett problem som inte kan lösas med kvadratiska ekvationer.

Han började sin avhandling med att bilda två rätvinkliga diametrar 𝐵𝐷 och 𝐶𝐴.

Sedan skapade han kvadraten 𝐴𝐵𝐶𝐷 som dividerades i punkten 𝐺 (se figur 11).

Han påstod i sin avhandling att 𝐴𝐸 förhåller sig till 𝐺𝐻 som 𝐸𝐻 förhåller sig till 𝐻𝐵 (𝐴𝐸: 𝐺𝐻 = 𝐸𝐻: 𝐻𝐵). Genom att euklidiskt analysera sitt påstående bevisade han detta.

Efter sitt bevis fortsatte Omar Khayyam sin avhandling med att konstruera en tangent som tangerar cirkeln i punkten G.³⁹ För att avsluta sin avhandling presenterades ett problem, han skrev att han vill finna triangel 𝐸𝐺𝐼 med villkor att hypotenusan 𝐸𝐼 = 𝐸𝐺 + 𝐺𝐻.

(Observera att eftersom punkten 𝐺 är cirkelns tangentpunkt så är sträckan 𝐺𝐸 en normal till tangenten och därav så är triangeln 𝐸𝐺𝐼 rätvinklig).

38 J. Katz 2009, s. 287

39 Ibid, s. 288 Figur 11

För att hitta denna triangel behövde al Khayyam algebra. Han prövade att testa värdet på 𝐸𝐻 = 10 och 𝐺𝐻 = 𝑥, ur det fick al Khayyam att 𝐺𝐸²= 𝑥²+ 100 (Pythagoras sats). (Men 𝐺𝐸²= 𝐸𝐼 × 𝐸𝐻), Khayyam får att: ^𝐺𝐸₁₀²=^𝑥₁₀²+ 10 =^{𝐸𝐼×𝐸𝐻}₁₀ = 𝐸𝐼. Eftersom han söker efter 𝐸𝐼 = 𝐸𝐺 + 𝐺𝐻 måste ekvationen ^𝐺𝐸₁₀²=

𝑥²

10+ 10 =^{(𝐸𝐺+𝐺𝐻)×𝐸𝐻}₁₀ = 𝐸𝐺 + 𝐺 , därav är ekvationen ^𝑥₁₀²+ 10 = 𝐸𝐺 + 𝐺𝐻 = 𝐸𝐺 + 𝑥 . Detta leder Khayyam till ekvationen 𝑥²+ 100 = 𝐸𝐺²= (^𝑥₁₀²+ 10 − 𝑥)², efter en förenkling får han att ekvationen blir 𝑥³+ 200𝑥 = 20𝑥²+ 2000.

Detta kunde han inte lösa med ”plana geometri” utan han löste ekvationen med att använda skärningspunkten av en hyperbel och en semicirkel (metoden presenteras i avsnitt 9.2).

Det moderna uttrycket för lösningen är: 𝑥𝑦 =√20000 och 𝑥²− 30𝑥 + 𝑦²− √(800)𝑦 + 400 = 0.

Givet en lösning kunde Khayyam finna triangeln 𝐸𝐺𝐼 och en punkt som tillfredsställer villkoren för lösning av problemet och därmed avslutade han sin avhandling On division of a Quadrant of a Circle⁴⁰.

9.2 Omar Khayyams text Risala fi al-Barahin ’ala masa’il al-Jabr wa’lmuqabala

Omar Khayyams avhandling som presenterades i föregående avsnitt är ett exempel på hans kubiska ekvationer. Khayyam analyserade alla möjliga kubiska ekvationer i hans algebraiska text Risala fi al-barahin

’ala masa’il al-jabr wa’lmuqabala. Han rekommenderade sina läsare att de bör vara bekanta med Euklides Elementa och Apollonius koner för innan de läser hans text för att förstå matematiken. Till skillnad från al- Khwarizmis tre geometriska lösningsmetoder av typ 4), 5) och 6) försåg Khayyam sina läsare med djupare algebraiska lösningar i sin text.⁴¹

Khayyam började med samma stil som al-Khwarizmi med att klassificera alla ekvationer av tredje graden.

Khayyam räknade precis som alla hans föregångare med endast positiva tal. Han hade en separat lista med olika former som kunde ha positiva rötter. Bland dessa fanns 14 stycken typer som är icke reducerbar till kvadratiska eller linjära ekvationer⁴².

Dessa typer av ekvationer var uppdelade i tre grupper.

Binomial Trinominal Tetranomial

1. 𝑥³= 𝑑 1. 𝑥³+ 𝑐𝑥 = 𝑑 1. 𝑥³+ 𝑏𝑥²+ 𝑐𝑥 = 𝑑

2. 𝑥³+ 𝑑 = 𝑐𝑥 2. 𝑥³+ 𝑏𝑥²+ 𝑑 = 𝑐𝑥

40 J. Katz 2009, s. 288

41 Ibid s. 288

42 Ibid s. 289

3. 𝑥³= 𝑐𝑥 + 𝑑 3. 𝑥³+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 𝑏𝑥² 4. 𝑥³+ 𝑏𝑥²= 𝑑 4. 𝑥³= 𝑏𝑥²+ 𝑐𝑥 + 𝑑 5. 𝑥³+ 𝑑 = 𝑏𝑥² 5. 𝑥³+ 𝑏𝑥²= 𝑐𝑥 + 𝑑 6. 𝑥³= 𝑏𝑥²+ 𝑑 6. 𝑥³+ 𝑐𝑥 = 𝑏𝑥²+ 𝑑 7. 𝑥³+ 𝑑 = 𝑏𝑥²+ 𝑐𝑥 För varje grupp och typ beskrev Khayyam den koniska sektionen som behövdes för dess lösning. Han bevisade också att hans lösning var korrekt genom att argumentera och diskutera villkoren som kan leda till ingen lösning eller mer än en lösning.

Att Khayyam gav denna klassificering är en del av en större ändring i det matematiska tänkandet genom historien. Khayyam var inte intresserad av ett specifikt geometriskt problem, han var intresserad av att hitta en generell lösningsmetod för att lösa all dessa 14 typer. I likhet med alla andra islamiska matematiker använde Khayyam inga matematiska symboler, han använde skriftliga formuleringar.

9.2.1 LÖSNINGSMETOD FÖR DEN TRINOMINALA EKVATIONEN TYP 1 (𝑥

+ 𝑐𝑥 = 𝑑)

Precis som al-Khwarizmi presenterade han relationen i dessa 14 typer. Exempelvis beskrev Omar Khayyam den trinominala ekvationen av typ 1 (𝑥³+ 𝑐𝑥 = 𝑑) som en kub och sida som är lika med ett tal⁴³. Eftersom 𝑥 representerar en sida av en kub måste 𝑐 representera arean, detta leder till att 𝑐𝑥 blir 𝑎𝑟𝑒𝑎 × 𝑠𝑖𝑑𝑎 (ℎö𝑗𝑑) som ger en kropp med en volym. 𝑑 representerar också en kropp med volym. Omar Khayyam fick att lösningen för den trinominala ekvationen av typ 1 är (i modern term) variabeln 𝑥₀ i ekvationen 𝑥₀³= 𝑑 − 𝑐𝑥0. Hur konstruerade Omar Khayyam lösningsmetoden?

Omar Khayyams lösningsmetod för den trinominala ekvationen typ 1 börjar med några konstruktionssteg.

1. Han skapade längden 𝐴𝐵 som är lika med sidan på kvadraten 𝑐 ⇒ 𝐴𝐵 =√𝑐.

2. 𝐵𝐶 skapades vinkelrät mot 𝐴𝐵 så att 𝐵𝐶 × 𝐴𝐵²=^𝑑_𝑐× (√𝑐)²= 𝑑 och 𝐵𝐶 =^𝑑_𝑐

43 J. Katz 2009, s. 289

Figur 12