Betygsgr¨ anser M0029M: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30 Betygsgr¨ anser M0023M: U:0–13, G:14–22, VG:23–30

Tentamen i Differentialkalkyl / Analys 1 Kurskod M0029M M0023M Tentamensdatum 2010-03-24

Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00 – 14.00

Betygsgr¨ anser M0029M: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30 Betygsgr¨ anser M0023M: U:0–13, G:14–22, VG:23–30

Resultatet meddelas p˚ a studentportalen. Via studentwebben kan man f˚ a infor- mation om n¨ ar skrivningen finns att h¨ amta ut p˚ a studenttorget.

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Inga

Till alla uppgifterna ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.

Enbart svar ger 0 po¨ ang.

Institutionen f¨ or matematik

1 (3)

Uppgift 1

(a) Visa med induktion att f¨ oljande likhet g¨ aller f¨ or alla heltal n ≥ 1

n

X

k=1

k 3

= 3

4 − 2 n + 3

4 · 3

. (4 p)

(b) Best¨ am gr¨ ansv¨ ardet

n→∞

lim

n

X

k=1

k

3

. (1 p)

Uppgift 2

Givet funktionen

f (x) = √

2 x + 1 .

(a) Ange funktionens definitionsm¨ angd och v¨ ardem¨ angd. (1 p) (b) Anv¨ and derivatans definition, dvs gr¨ ansv¨ ardet som definierar vad vi

menar med derivata, f¨ or att best¨ amma f

(4). (2 p) (c) Visa att funktionen ¨ ar ett-till-ett (omv¨ andbar). (1 p) (d) Ange inversens definitionsm¨ angd och v¨ ardem¨ angd och best¨ am inver-

sen f

(x). (1 p)

Uppgift 3

Givet funktionen

f (x) = x

e

, x > 0 . (a) Best¨ am lim

x→0+

f (x). (2 p)

(b) Finn det v¨ arde i definitionsm¨ angden som ¨ ar en station¨ ar punkt till f (x)

och visa att det ¨ ar ett globalt minimum. (3 p) Tips: Utnyttja likheten a

= e

.

Uppgift 4

En 5 meter l˚ ang stege vilar mot en v¨ agg. Hemmafixaren Douglas best¨ ammer sig f¨ or att resa stegen genom att knuffa stegens bas i riktning mot v¨ aggen, varvid den andra ¨ andan glider upp efter v¨ aggsidan. N¨ ar Douglas startar befinner sig stegens bas 4 meter fr˚ an v¨ aggen. Douglas knuffar stegen med en konstant hastighet av

m/s. Med vilken hastighet glider stegen upp efter

v¨ aggen, 10 sekunder efter att Douglas b¨ orjat knuffa? (5 p)

2 (3)

Uppgift 5

Givet funktionen

y(x) = e

cos x + 1 .

(a) Visa att y(x) ¨ ar en l¨ osning till differentialekvationen

y

+ 2 y

+ 2 y = 2, y = y(x) (2 p) (b) Best¨ am Taylorpolynomet av grad 3 som approximerar y(x) runt x = 0.

(2 p) (c) Anv¨ and Lagranges restterm f¨ or att unders¨ oka felets tecken och en ¨ ovre

gr¨ ans p˚ a storleken p˚ a felet, d˚ a Taylorpolynomet fr˚ an (b) anv¨ ands till

att skatta y(1/10). (1 p)

Uppgift 6

L¨ os endast en av de f¨ oljande uppgifterna. Om du l¨ oser flera, f˚ ar du po¨ ang enligt den uppgift som gick s¨ amst.

Uppgift 6a

P˚ a hur m˚ anga s¨ att kan bokst¨ averna i ”BABBLA” ordnas om i olika bok-

stavskombinationer? (5 p)

Uppgift 6b

Anv¨ and derivatans definition f¨ or att visa att d

dx sin x = cos x. Du f˚ ar anv¨ anda

k¨ anda gr¨ ansv¨ arden f¨ or sin x och cos x. (5 p) Uppgift 6c

Bevisa att cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y genom ett geometriskt reso-

nemang p˚ a enhetscirkeln. (5 p)

3 (3)