Betygsgr¨ anser M0029M: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30 Betygsgr¨ anser M0023M: U:0–13, G:14–22, VG:23–30

Tentamen i Differentialkalkyl / Analys 1 Kurskod M0029M M0023M Tentamensdatum 2010-05-18

Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00 – 14.00

Betygsgr¨ anser M0029M: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30 Betygsgr¨ anser M0023M: U:0–13, G:14–22, VG:23–30

Resultatet meddelas p˚ a studentportalen. Via studentwebben kan man f˚ a infor- mation om n¨ ar skrivningen finns att h¨ amta ut p˚ a studenttorget.

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Inga

Till alla uppgifterna ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.

Enbart svar ger 0 po¨ ang.

Institutionen f¨ or matematik

1 (3)

Uppgift 1

(a) Best¨ am koefficienten f¨ or x ⁶ i binomialutvecklingen av

 x + 2

x ²

 15

. (2 p)

(b) Best¨ am alla intervall f¨ or x d¨ ar f¨ oljande olikhet g¨ aller

|x − 1| < 3 − x ²

(2 p)

Uppgift 2

Visa att f¨ oljande likhet g¨ aller f¨ or alla heltal n ≥ 1

n

X

k=1

ln  k + 1 k



= ln(n + 1) (4 p)

Uppgift 3

Best¨ am f¨ oljande gr¨ ansv¨ arden (a) lim

x→2

x ² − x − 2

x ² − 3 x + 2 (2 p)

(b) lim

x→0

x

x + sin x (2 p)

(b) lim

x→∞

3 x ² + ln x

(1 − x)(2 − x) (2 p)

Uppgift 4

Givet funktionen

f (x) = p

arctan(x + 1)

(a) Best¨ am funktionens st¨ orsta m¨ ojliga definitionsm¨ angd, och v¨ ardem¨ angd. (2 p) (b) Best¨ am f ⁰ (x) och visa att f (x) ¨ ar ett-till-ett (omv¨ andbar). (2 p)

(c) Best¨ am f ⁻¹ (x). (2 p)

2 (3)

Uppgift 5

Best¨ am den punkt p˚ a kurvan

y = 1 + x ^3/2

som ligger n¨ armast punkten (x, y) = (4, 1). (5 p)

Uppgift 6

L¨ os endast en av de f¨ oljande uppgifterna. Om du l¨ oser flera, f˚ ar du po¨ ang enligt den uppgift som gick s¨ amst.

Uppgift 6a

Anv¨ and medelv¨ ardessatsen f¨ or att visa att f¨ oljande olikhet g¨ aller d˚ a x > 0 ln x ≤ x − 1

(5 p)

Uppgift 6b Visa att d

dx tan x = 1 + tan ² x, och sedan att d

dx arctan(x) = 1

1 + x ² (5 p) Uppgift 6c

Bevisa att cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y genom ett geometriskt reso-

nemang p˚ a enhetscirkeln. (5 p)

3 (3)

Svar till tentamen: M0029M – 2010-05-18

1. (a)  15 3



2 ³ = 455 · 8 = 3640

(b) x ∈



−1,

√ 17 − 1 2



2. Basfall d˚ a n = 1: V.L. = ln( ² ₁ ) = ln 2, H.L = ln(1 + 1) = ln 2 Induktionsantagande: Utsagan sann endast d˚ a n = p:

p

X

k=1

ln  k + 1 k



= ln(p + 1) .

Induktionssteg: Visa utsagan d˚ a n = p + 1:

V.L. =

p+1

X

k=1

ln  k + 1 k



=

p

X

k=1

ln  k + 1 k



+ ln  p + 2 p + 1



= ln(p + 1) + ln  p + 2 p + 1



= ln



(p + 1) p + 2 p + 1



= ln(p + 2) = ln (p + 1) + 1
= H.L.

D¨ arav f¨ oljer enligt induktionsaxiomet att utsagan ¨ ar sann f¨ or alla tal n = 1, 2, 3, 4, . . ..

3. (a) 3 (b) 1/2 (b) 3

4. (a) D _f = [−1, ∞), R _f = h 0, p

π/2 

(b) f ⁰ (x) = 1

2 1 + (x + 1) ²

| {z }

>1

p arctan(x + 1)

| {z }

>0

> 0 d˚ a x > −1

Eftersom f (x) ¨ ar kontinuerlig f¨ oljer d¨ arav att f (x) ¨ ar str¨ angt v¨ axande d˚ a x ≥

−1 och d¨armed ett-till-ett.

(c) f ⁻¹ (x) = tan x ²
− 1, D _f

= R _f = h 0, p

π/2 

, R _f

= D _f = [−1, ∞)

5. (x, y) =  4

3 , 1 + 8 3 √

3



6a. Fall 1: x > 1. Betrakta f (t) = ln t p˚ a intervallet [1, x]. D˚ a ger medelv¨ ardessatsen att f¨ or n˚ agon punkt c ∈ (1, x) g¨ aller likheten

f (x) − f (1)

x − 1 = f ⁰ (c)

⇓ ln x − 0

x − 1 = 1

c < 1, d˚ a c > 1

⇓

ln x < x − 1, ty x − 1 > 0

Fall 2: 0 < x < 1. Betrakta f (t) = ln t p˚ a intervallet [x, 1]. D˚ a ger medelv¨ ardessatsen att f¨ or n˚ agon punkt c ∈ (x, 1) g¨ aller likheten

f (1) − f (x)

1 − x = f ⁰ (c)

⇓ 0 − ln x

1 − x = 1

c > 1, d˚ a 0 < c < 1

⇓

− ln x > (1 − x), ty (1 − x) > 0

⇓

ln x < x − 1,

Fall 3: x = 1. V.L. = ln 1 = 0, H.L. = 1 − 1 = 0, s˚ a V.L = H.L.