Degree project in
Biomimetic trajectory tracking by means of event-based control
Lorris DOLA
Stockholm, Sweden 2014
XR-EE-RT 2014:001 Automatic Control Masters' Degree Project,
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❡✈❡♥+ ❣❡♥❡,❛+♦, ❡♥❞ ❛♥ ❡✈❡♥+ +♦ +❤❡ ❝♦♥+,♦❧ ✐♥♣✉+ ❣❡♥❡,❛+♦, ✇❤❡♥❡✈❡, +❤❡ ♠❡❛ ✉,❡❞
+❛+❡ ♦❢ +❤❡ ♣❧❛♥+ x(t) ❧❡❛✈❡ ❛ ✉,,♦✉♥❞✐♥❣ Ω(xs) = {x|||x−xs|| ≤ ¯e}✇❤❡,❡ xs✐ +❤❡
+❛+❡ ❝♦♠♣✉+❡❞ ❜② +❤❡ ❡✈❡♥+ ❣❡♥❡,❛+♦,✱ e ✐ ❛ ❞❡✜♥❡❞ +❤,❡ ❤♦❧❞ ❛♥❞ ||.|| ②♠❜♦❧✐③❡
+❤❡ ✈❡❝+♦, ♥♦,♠ ♦♣❡,❛+✐♦♥✳ ❲❤❡♥ ❛ ❡✈❡♥+ ✐ ❣❡♥❡,❛+❡❞ ❛+ +✐♠❡ tk✱ +❤❡ ❝♦♥+,♦❧ ✐♥♣✉+
❣❡♥❡,❛+♦, ,❡✲❝♦♠♣✉+❡ +❤❡ +❛+❡ xs(tk)❛♥❞ ❛♣♣❧② +❤❡ ❝♦♥+,♦❧ u(t) = −Kxs(tk)✇❤❡,❡
K ✐ +❤❡ ❣❛✐♥ ♦❢ +❤❡ +❛+❡ ❢❡❡❞❜❛❝❦✳ ❚❤❡ ❝♦♥+,♦❧ ✐ ♠❛✐♥+❛✐♥❡❞ ✉♥+✐❧ ❛ ♥❡①+ ❡✈❡♥+ ✐ ❡♥+ ❜② +❤❡ ❡✈❡♥+ ❣❡♥❡,❛+♦,✳ ■+ ✐ ❤♦✇♥ +❤❛+ +❤✐ ❡✈❡♥+✲❜❛ ❡❞ ❝♦♥+,♦❧ ❡♥ ✉,❡ +❤❛+
+❤❡ +❛+❡ x(t) ,❡♠❛✐♥ ✐♥ +❤❡ ✉,,♦✉♥❞✐♥❣ Ω(xs) ❡✈❡♥ ✇❤❡♥ ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❞✐ +✉,❜❛♥❝❡
✐ ❛❞❞❡❞ ❛♥❞ ❛❧ ♦ +❤❛+ +❤❡ ❡,,♦, ❜❡+✇❡❡♥ +❤❡ +❛+❡ ♦❢ +❤❡ ❡✈❡♥+✲❜❛ ❡❞ ❝♦♥+,♦❧ ❧♦♦♣
xs ❛♥❞ +❤❡ +❛+❡ ♦❢ +❤❡ ♣❧❛♥+ x ✐ ❜♦✉♥❞❡❞✳ ❚❤❡♥ +❤❡ ❜♦✉♥❞❛,② ❞❡♣❡♥❞ ♦❢ +❤❡
+❤,❡ ❤♦❧❞ ¯e ✇❤✐❝❤ ❣✉❛,❛♥+❡❡ ❛ ❝❡,+❛✐♥ ❧❡✈❡❧ ♦❢ ♣❡,❢♦,♠❛♥❝❡✳
❚❤❡ ♣❛♣❡, ✐♥ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❛,❡ +❤❡ ♠♦ + ✐♥+❡,❡ +❡❞ ✐♥ ❝♦♥❝❡,♥ +❤❡ ❞❡ ❝,✐♣+✐♦♥ ♦❢
❛ ❡✈❡♥+✲❞,✐✈❡♥ ❝♦♥+,♦❧❧❡, ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❬✸❪✳ ❲✐+❤ +❤✐ ❝♦♥+,♦❧❧❡,✱ +❤❡ ❝♦♥+,♦❧ ✉♣❞❛+❡ ✐
❝♦♠♣✉+❡❞ ❛+ ❛ ❝♦♥ +❛♥+ ❛♠♣❧❡ ,❛+❡ Ts ✇❤❡♥ +❤❡ +❛+❡ ♦❢ +❤❡ ② +❡♠ ❧✐❡ ♦✉+ ✐❞❡
❛ ❡+ ❞❡✜♥❡❞ ❜② +❤❡ ✉ ❡,✳ ❲❤❡♥ +❤❡ +❛+❡ ✐ ✐♥ ✐❞❡ +❤✐ ❡+ +❤❡ ❝♦♥+,♦❧ ❦❡❡♣ ✐+
♣,❡✈✐♦✉ ✈❛❧✉❡✳ ❋♦, ❡①❛♠♣❧❡✱ ✇❡ ❝♦♥ ✐❞❡, +❤❡ ② +❡♠ ˙x = A x(t) + B u(t)✱ ❛♥❞
❞❡ ✐❣♥ +❤❡ ❡+ ✇❤❡,❡ +❤❡ ❝♦♥+,♦❧ ✐ ❤❡❧❞ ❜② β := {xǫRn| |x| < eT}✳ ❚❤❡ ❞✐ ❝,❡+✐③❡❞
+❛+❡ ❢❡❡❞❜❛❝❦ ✐ ❝♦♠♣✉+❡❞ ❛ ❢♦❧❧♦✇ ✿ uk =
Kxkif |xk| > eT
uk−1if |xk| < eT ✇❤❡,❡ xk = x(τk)✱
uk = u(τk) ✇❤❡,❡ τk ❞❡♥♦+❡ +❤❡ ❡✈❡♥+ +✐♠❡ ❜② ✉ ✐♥❣ ❛ ③❡,♦✲♦,❞❡, ❤♦❧❞✿ u(t) = uk
❢♦, ❛❧❧ t ∈ [τk, τk+1)✳ ❚❤❡♥ ❛ ❧♦♥❣ ❛ +❤❡ +❛+❡ ✐ ♦✉+ ✐❞❡ β +❤❡ ❝♦♥+,♦❧ ✐ ❝♦♠♣✉+❡❞
✐♥ ❛ ♥♦,♠❛❧ ✇❛② ❜② ❛ +❛+❡ ❢❡❡❞❜❛❝❦ ❛♥❞ ❛ ❝♦♥ +❛♥+ ❛♠♣❧✐♥❣ +✐♠❡✳ ❲❤❡♥ +❤❡ +❛+❡
,❡❛❝❤❡ +❤❡ ❡+ β +❤❡ ❝♦♥+,♦❧ ✐ ❤❡❧❞ +♦ ✐+ ❧❛ + ✈❛❧✉❡ ✐✳❡✳ +❤❡ ✈❛❧✉❡ ❥✉ + ❜❡❢♦,❡ ❡♥+❡,✐♥❣
+❤❡ ❡+ β✳ ❚❤❡,❡ ❛,❡ +✇♦ ✇❛② +♦ ❝❛❧❝✉❧❛+❡ +❤❡ ❡✈❡♥+ +✐♠❡ τk✿ ❛ ✉♥✐❢♦,♠ ❛♠♣❧✐♥❣
❛♥❞ ❛ ♥♦♥✲✉♥✐❢♦,♠ ❛♠♣❧✐♥❣✳
❲✐+❤ +❤❡ ♥♦♥✲✉♥✐❢♦,♠ ❛♠♣❧✐♥❣✱ τk+1 ✐ ❝♦♠♣✉+❡❞ ❛ ❢♦❧❧♦✇✿
τk+1 = τk+ Ts if x(τk) /∈ β
τk+1 = τexit if x(τk) ∈ β ✇✐+❤τexit+❤❡ +✐♠❡ ✇❤❡♥ +❤❡ +❛+❡ ❧❡❛✈❡ +❤❡
❡+ β✳ ❲✐+❤ +❤✐ ❛♠♣❧✐♥❣✱ +❤❡ ❝♦♥+,♦❧ ✐ ✉♣❞❛+❡❞ ❛+ ❛ ❝♦♥ +❛♥+ ,❛+❡ Ts ✇❤❡♥ +❤❡
+❛+❡ ❧✐❡ ♦✉+ ✐❞❡ β✳ ❖♥❝❡ +❤❡ +❛+❡ ❡♥+❡, +❤❡ ❡+ β✱ +❤❡ ❝♦♥+,♦❧❧❡, ❞♦❡ ♥♦+ ❝❤❡❝❦
❝♦♥ +❛♥+❧② ✇❤❡+❤❡, +❤❡ +❛+❡ ✐ ♦✉+ ✐❞❡ +❤❡ ❡+ B ❜✉+ ❝♦♠♣✉+❡ ✐♥ +❡❛❞ +❤❡ +✐♠❡ τexit
✇❤❡♥ +❤❡ +❛+❡ ❤♦✉❧❞ ❧❡❛✈❡ +❤❡ ❡+✳ ❚❤✐ +✐♠❡ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛ τexit = inf {t >
τk| x(t) /∈ β}✳
❲✐+❤ +❤❡ ✉♥✐❢♦,♠ ❛♠♣❧✐♥❣✱ +❤❡ ❝♦♥+,♦❧❧❡, ❝❤❡❝❦ ✇❤❡+❤❡, +❤❡ +❛+❡ ✐ ✐♥ ✐❞❡ ♦,
♦✉+ ✐❞❡ +❤❡ ❡+ β ❛+ ❛ ❝♦♥ +❛♥+ ,❛+❡✳ ❚❤✐ ,❛+❡ ✐ ❝❤♦ ❡♥ +♦ ❜❡ ❡K✉❛❧ +♦ +❤❡ ❛♠♣❧✐♥❣
,❛+❡ ♦❢ +❤❡ ❝♦♥+,♦❧❧❡, Ts✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❝♦♠♣✉+❡ τk+1 ✇✐+❤ τk+1 = τk+ Ts✳ ❊✈❡,② ❛♠♣❧❡
+✐♠❡ Ts✱ +❤❡ ❝♦♥+,♦❧❧❡, ❝❤❡❝❦ ✐❢ +❤❡ +❛+❡ ✐ ✐♥ ✐❞❡ ♦, ♦✉+ ✐❞❡ +❤❡ ❡+ β ❛♥❞ ❞❡❝✐❞❡
+♦ ❦❡❡♣ ♦, ✉♣❞❛+❡ +❤❡ ❝♦♥+,♦❧✳
❚❤❡ ♥♦♥✲✉♥✐❢♦,♠ ❛♠♣❧✐♥❣ ❛♣♣❡❛, +♦ ❜❡ ❤❛,❞ +♦ ✐♠♣❧❡♠❡♥+ ✇❤❡,❡❛ +❤❡ ✉♥✐❢♦,♠
❛♠♣❧✐♥❣ ✐ ❡❛ ✐❡, +♦ ♣❡,❢♦,♠✳ ■♥ ♦,❞❡, +♦ ❦❡❡♣ ✐♠♣❧✐❝✐+② ♦❢ +❤❡ ❡✈❡♥+✲❜❛ ❡❞ ❛♣♣,♦❛❝❤
✇❡ ✇✐❧❧ ♦♥❧② ❢♦❝✉ ♦♥ +❤❡ ✉♥✐❢♦,♠ ❝❛ ❡ ❢♦, +❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✳
✽
β
u(t).Vbat= R.i(t) + E + Ldi(t)dt Jdωdtr(t) = cr(t) − cp(t) + d0(t)
✲ u(t) ✿ "❤❡ ❞✉"② ❝②❝❧❡ ❬✵❀✶❪
✲ Vbat✿ "❤❡ /✉♣♣❧② ✈♦❧"❛❣❡ ✭❱✮
✲ R ✿ "❤❡ ❛8♠❛"✉8❡ 8❡/✐/"❛♥❝❡ ✭Ω)
✲ i(t) ✿ "❤❡ ❛8♠❛"✉8❡ ❝✉88❡♥" ✭❆✮
✲ E ✿ "❤❡ ❝♦✉♥"❡8 ❡❧❡❝"8♦♠♦"✐✈❡ ❢♦8❝❡ ✭❱✮
✲ L ✿ "❤❡ ✐♥❞✉❝"❛♥❝❡ ✭❍✮
✲ J ✿ "❤❡ ✐♥❡8"✐❛ ♦❢ "❤❡ ♠♦"♦8 ✭❦❣✳♠➨✮
✲ ωr(t) ✿ "❤❡ 8♦"♦8✬/ ❛♥❣✉❧❛8 ✈❡❧♦❝✐"② ✭8❛❞✴/✮
✲ cr(t)✿ "❤❡ 8♦"♦8✬/ "♦8C✉❡ ✭◆✳♠✮
✲ cp(t)✿ "❤❡ 8❡/✐/"✐♥❣ "♦8C✉❡ ✐♥"8♦❞✉❝❡❞ ❜② "❤❡ ♣8♦♣❡❧❧❡8✬/ ❞8❛❣ ✭◆✳♠✮
✲ c0(t)✿ ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❞✐/"✉8❜❛♥❝❡ "❤❛" ✇❡ ❝❛♥ ❛❞❞ "♦ "❤❡ /②/"❡♠
▼♦8❡♦✈❡8✱ ✇❡ ❤❛✈❡ "❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡C✉❛"✐♦♥/✿
ωr(t) = ωh(t).M ✇✐"❤ ωh(t) "❤❡ ♣8♦♣❡❧❧❡8✬/ ❛♥❣✉❧❛8 ✈❡❧♦❝✐"② ✭8❛❞✴/✮ ❛♥❞ M "❤❡
8❡❞✉❝"✐♦♥ 8❛"✐♦ ❜❡"✇❡❡♥ "❤❡ ✈❡❧♦❝✐"✐❡/ ♦❢ "❤❡ ♣8♦♣❡❧❧❡8 ❛♥❞ "❤❡ 8♦"♦8✬/ ❛①✐/✳
E = Ke.ωr(t) ✇✐"❤ Ke "❤❡ ❜❛❝❦✲❊▼❋ ✈♦❧"❛❣❡ ❝♦♥/"❛♥" ✭❱✳/✴8❛❞✮
cr(t) = Kt.i(t)✇✐"❤ Kt "❤❡ "♦8C✉❡ ❝♦♥/"❛♥" ✭◆✳♠✴❆✮
cp(t) = MD.ω2h ✇✐"❤ D "❤❡ ❞8❛❣ ❝♦❡✣❝✐❡♥" ♦❢ "❤❡ ♣8♦♣❡❧❧❡8 ✭◆✳♠✳/✴8❛❞✮
❇② ✐♥/❡8"✐♥❣ "❤❡ ❞✐✛❡8❡♥" ❡C✉❛"✐♦♥/ ✐♥"♦ ✹✳✶✱ ✇❡ ✜♥❞✿
di(t)
dt = −RL.i(t) − KeL.M.ωh+ L1.u(t)
dωh(t)
dt = J.MKt .i(t) −J.MD2.ωh2− J.M1 .c0(t) ✭✹✳✷✮
❚❤❡ /"❛"❡/ ♦❢ "❤❡ ♦✉8 /②/"❡♠ ❛8❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② "❤❡ ❝✉88❡♥" ❛♥❞ "❤❡ ♣8♦♣❡❧❧❡8✬/
✈❡❧♦❝✐"②✿ x(t) = [i(t) ωh(t)]T✳ ❆" "❤❡ ❡C✉✐❧✐❜8✐✉♠ ♣♦✐♥"✱ ✇❡ ♦❜"❛✐♥ "❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣
❡C✉❛"✐♦♥/✿
ieq = KD
t.Mωh2eq ueq = V1
bat(R.ieq+ Ke.M.ωheq) = V1
bat(R.KD
t.Mω2heq + Ke.M.ωheq)
❚❤❡ ❧✐♥❡❛8✐③❛"✐♦♥ ♦❢ "❤❡ /②/"❡♠ ❛8♦✉♥❞ "❤❡ ❡C✉✐❧✐❜8✐✉♠ ❣✐✈❡/ "❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ /"❛"❡
/♣❛❝❡ 8❡♣8❡/❡♥"❛"✐♦♥✿
d∆i(t) d∆ωdth(t)
dt
!
= −RL −KeL.M
Kt
J.M −2.D.ΩJ.Mheq2
| {z }
A
.
∆i(t)
∆ωh(t)
+
Vbat
L
0
| {z }
B
.∆u(t)+
0
−J.M1
| {z }
E
.c0(t)
∆i(t)
∆ωh(t)
=
1 0 0 1
| {z }
C
.
∆i(t)
∆ωh(t)
❲✐"❤ ∆i(t) = i(t) − ieq✱ ∆ωh(t) = ωh(t) − ωheq ❛♥❞ ∆u(t) = u(t) − ueq✳
❲❡ ❞❡♥♦"❡ ∆U(s) ❛♥❞ ∆Ωh(s) "❤❡ 8❡/♣❡❝"✐✈❡ ▲❛♣❧❛❝❡ "8❛♥/❢♦8♠/ ♦❢ ∆u(t) ❛♥❞
∆ωh(t)✳ ❚❤❡ "8❛♥/❢❡8 ❢✉♥❝"✐♦♥ H(s) ❜❡"✇❡❡♥ ∆U(s) ❛♥❞ ∆Ωh(s) ✐/ ❣✐✈❡♥ ❜②✿
H(s) = ∆Ω∆U (s)h(s) = C.(sI − A)−1.B ✇✐"❤ I "❤❡ ✐❞❡♥"✐"② ♠❛"8✐① ♦❢ ✷①✷ ❞✐♠❡♥/✐♦♥✳
H(s) = Vbat.Kt.M
J.M2.L.s2+ (2.D.ωheq´ .L + R.J.M2).s + 2.D.ωh´eq.R + Ke.Kt.M2 ✭✹✳✸✮
❋♦8 "❤❡ /✐♠✉❧❛"✐♦♥ ✇❡ ✉/❡ "❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣❛8❛♠❡"❡8/✿
✶✵
✲ Vbat = 11.1V
✲ R = 0.15Ω
✲ L = 0.3mH
✲ J = 6.37.10−6kg.m2
✲ M = 5.6
✲ Ke = 4.139.10−3V.s/rad
✲ Kt= 4.139.10−3N.m/A
✲ D = 7.5.10−7N.m.s/rad
❲❡ #❡$ $❤❡ ❡&✉✐❧✐❜+✐✉♠ ♦❢ ♣+♦♣❡❧❧❡+✬# ❛♥❣✉❧❛+ ✈❡❧♦❝✐$② $♦ ωheq´ = 200rad/s✳ ❚❤❡♥
✇❡ ♦❜$❛✐♥✿
ieq = 1.2943A ❛♥❞ ueq= 0.4351V✳
❆❢$❡+ $❤❡ ♥✉♠❡+✐❝❛❧ ❛♣♣❧✐❝❛$✐♦♥✱ ✇❡ ❤❛✈❡✿
d∆i(t) d∆ωdth(t)
dt
!
=
−500 −77.26 115.89 −1.5
.
∆i(t)
∆ωh(t)
+
37000 0
.∆u(t) +
0
−28033
.c0(t)
∆i(t)
∆ωh(t)
=
1 0 0 1
.
∆i(t)
∆ωh(t)
✭✹✳✹✮
❲❤✐❝❤ ❣✐✈❡# $❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ $+❛♥#❢❡+ ❢✉♥❝$✐♦♥✿
H(s) = ∆Ωh(s)
∆U (s) = 4, 288.106
(s + 481.4).(s + 20.16) ✭✹✳✺✮
✹✳✷ ■♥❞❡①❡( ♦❢ ♣❡,❢♦,♠❛♥❝❡
❚❤❡ ♥✉♠❜❡+ ♦❢ ❝♦♥$+♦❧ ✉♣❞❛$❡ ✉#❡❞ ❢♦+ $❤❡ #②♥❝❤+♦♥♦✉# ❝♦♥$+♦❧❧❡+ ❛♥❞ $❤❡ ❡✈❡♥$✲
❜❛#❡❞ ❝♦♥$+♦❧❧❡+ ✐# ❛♥ ✐♥$✉✐$✐✈❡ ❝+✐$❡+✐❛ $♦ ❝♦♠♣❛+❡ $❤❡ $✇♦ ❛♣♣+♦❛❝❤❡#✳ ❚❤✐# ✐♥❞❡①
#❤♦✇# $❤❡ +❡❞✉❝$✐♦♥ ♦❢ $❤❡ ❝♦♠♣✉$❛$✐♦♥❛❧ ❝♦#$ ✇✐$❤ $❤❡ ❡✈❡♥$✲❜❛#❡❞ ❛♣♣+♦❛❝❤✳ ❲❡
❛❧#♦ ❝♦♠♣✉$❡ $❤❡ ♣♦✇❡+ ❝♦♥#✉♠♣$✐♦♥ ♦❢ $❤❡ #②#$❡♠ ✇✐$❤ $❤❡ $✇♦ ❛♣♣+♦❛❝❤❡# ✇✐$❤
$❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦+♠✉❧❛ ✿
P = 1 T
ZT
0
u(t).i(t).Vbat.dt ✭✹✳✻✮
✇✐$❤ P $❤❡ ❡❧❡❝$+✐❝❛❧ ♣♦✇❡+ ❝♦♥#✉♠♣$✐♦♥ ✐♥ ❲❛$$✱ T $❤❡ #✐♠✉❧❛$✐♦♥ $✐♠❡✱ u(t)
$❤❡ ❛♣♣❧✐❡❞ ❞✉$②✲❝②❝❧❡✱ i(t) $❤❡ ❝✉++❡♥$ ❛♥❞ Vbat $❤❡ ♣♦✇❡+ #✉♣♣❧②✳
■♥ ♦+❞❡+ $♦ ❝♦♠♣❛+❡ $❤❡ ♣❡+❢♦+♠❛♥❝❡ ♦❢ $❤❡ #②#$❡♠✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ✉#❡ ❛♥♦$❤❡+ ✐♥❞❡①✳
❚❤✐# ✐♥❞❡① ✐# ♣+❡#❡♥$❡❞ ✐♥ ❬✶❪ ❛♥❞ ❝❛❧❧❡❞ $❤❡ ■♥$❡❣+❛❧ ❆❜#♦❧✉$❡ ❊++♦+ ✭■❆❊✮✿
IAE = Z ∞
0
|ωref(t) − ωh(t)|.dt ✭✹✳✼✮
❚❤✐# ✐♥❞❡① #❤♦✇# ❤♦✇ ❢❛+ ✐# $❤❡ ♦✉$♣✉$ ωh ❝♦♠♣❛+❡❞ $♦ $❤❡ ❣✐✈❡♥ +❡❢❡+❡♥❝❡ ωref✳
❚❤✉# $❤❡ ❧♦✇❡+ $❤❡ ■❆❊ ✐♥❞❡①✱ $❤❡ ❜❡$$❡+ ✐# $❤❡ ❝♦♥$+♦❧✳
✶✶
