”Man ser liksom hur man ska tänka!”
En kvalitativ studie om elevers förståelse och tillämpning av
lösningsstrategier inom innehålls- och delningsdivision
Författare: Gustav Johansson & Moa Wåhlin Handledare: Andreas Ebbelind
Examinator: Lena Fritzen Termin: VT21
Abstrakt
Under lärarutbildningens verksamhetsförlagda utbildning har vi upplevt att räknesättet division varit svårbemästrat för eleverna. Därför har vi valt att genomföra en kvalitativ studie som undersöker elevers användning av lösningsstrategier och olika representationsformer, med ett specifikt fokus på innehålls- och delningsdivision. Lösningsstrategierna som vi önskade identifiera för studien var kort division, trappan, liggande stolen, förenkling samt förlängning. Vidare utgår studiens teoretiska ramverk från en tolkning av Lesh’s representationsmodell som inkluderar manipuleringar, skrivna symboler, bilder, omvärldssituationer samt talade symboler. Den metodologiska ansatsen har en grundkonstruktion utifrån en genomförd diagnos med en uppföljning av sex intervjuer där elevernas tillvägagångssätt och kunskaper har identifierats kring räknesättet division. Intervjuerna gav även oss en överblick för elevernas medvetenhet för innehålls- och delningsdivision. Resultatet redogör att eleverna som deltog i studien använde främst tre representationsformer när de löste uppgifterna i diagnosen. Vidare används enbart förenkling och förkortning som lösningsstrategier. Slutligen har det framkommit att eleverna bemöter division sist av de fyra räknesätten, samt att de inte fått innehålls- och delningsdivision förklarat för sig, vilket möjligtvis kan underlätta beräkningen av aritmetiska problem inom division.
Nyckelord
Division, Innehållsdivision, Delningsdivision, Lösningsstrategier, Representationsformer.
Tack
Innehållsförteckning
1. Inledning 1
2. Syfte och frågeställningar 2
3. Tidigare forskning 3 3.1 Nyckelbegrepp 3 3.1.1 Division 3 Innehållsdivision 3 3.1.2 3 3.1.3 Delningsdivision 4 3.2 Lösningsstrategier i undervisningen 4
3.3 Begreppsförståelse kan påverka progressionen 6
4 Teori 7
4.1 Teorin om matematiska representationer 7
5 Metodologi 9
5.1 Forskningsansats 9
5.2 Urval 9
5.3 Datainsamling 10
5.3.1 Urval och konstruktion av uppgifter 10
5.3.2 Bearbetning av diagnos 12
5.3.3 Semistrukturerade intervjuer 13
5.3.4 Bearbetning av insamlat intervjumaterial 13
5.3.5 Etiska aspekter 14
6 Resultat 15
6.1 Vilka lösningsstrategier använder sig eleverna av vid beräkningar av olika divisionstal 15
6.1.1 Samtliga deltagares lösningsstrategier 15
6.1.2 De intervjuade elevernas lösningsstrategier 17
6.2 Vilka representationsformer och översättningar använder eleverna sig av vid beräkningar
av rutinuppgifter samt textuppgifter 18
6.2.1 Diagnosens generella resultat 18
6.2.2 Diagnosfråga 1 19 6.2.3 Diagnosfråga 2 19 6.2.4 Diagnosfråga 3 20 6.2.5 Diagnosfråga 4 21 6.2.6 Diagnosfråga 5 21 6.2.7 Diagnosfråga 6 22 6.2.8 Diagnosfråga 7 24
6.3 Elevernas medvetenhet om innehålls- och delningsdivision 24
6.3.1 Sammanställning av elevernas medvetenhet 24
6.4 Analys av insamlad data 25
7 Diskussion 28 7.1 Resultatdiskussion 28 7.2 Metoddiskussion 30 7.3 Slutsats 31 7.4 Vidare forskning 31 8 Referenslista 32 9. Bilagor i Bilaga A: Sökschema i
Bilaga C: Diagnos ix
1. Inledning
Enligt TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) nya rapport från 2019 har genomsnittsbetyget inte förändrats anmärkningsvärt i matematik, men avstånden mellan andelen lågpresterande och högpresterande eleverna har däremot ökat något (Skolverket, 2020). Det finns olika anledningar till att avstånden ökat mellan elever. En anledning som Skolverket (2020) anger som orsak är elevers variation vad gäller socioekonomiska förutsättningar, vilket gör att matematikundervisningen är betydelsefull för elevernas utveckling då eleverna inte har likvärdiga hjälpmedel i hemmet.
I matematikundervisning på lågstadiet lär sig eleverna de fyra räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division. Division är ett av de räknesätten som eleverna lär sig under de senare åren på lågstadiet och det har uppmärksammats som ett svårt räknesätt för eleverna. Vidare är upplevelsen, enligt oss, att räknesättet division är säregen jämfört med de övriga tre räknesätt, addition, subtraktion och multiplikation. Division upplevs som mer komplext vid inlärning för eleverna då det givna inte är lika tydligt i jämförelse med de andra räknesätten. Då räknesättet kan upplevas mer komplext att behärska kan det innebära större utmaningar för läraren att undervisa i området och göra det mer vardagsnära och intresseväckande för eleverna. Matematik är en väsentlig del att behärska i vardagen, vilket ställer krav på att kommande vuxengeneration ska få förutsättningar och möjligheter att utveckla sina matematiska kunskaper i skolan (Skolverket, 2020).
Elever innehar både skilda förutsättningar att lära matematik och olika upplevelser inför ett givet matematikområde. Dessa förutsättningar och upplevelser medför att läraren behöver skapa en intresseväckande undervisning. En engagerande undervisning kan till exempelvis inom matematik vara variation av undervisningsmetoder eller ge elever möjligheter att bemöta olika lösningsstrategier som eleverna utvecklar förståelse för. Eleverna behöver därför få stöttning och utrymme för att få skapa sin egna unika väg till lärande (Lee, 2007; Bicknell, Young-Loveridge & Nguyen, 2016; Altiparmak, 2016; Raveh, Koichu, Peled & Zaslavsky, 2016). Enligt oss är det viktigt som lärare att uppmuntra eleverna att våga testa och använda egna tankesätt och resonemang.
Division är ett räknesätt som eleverna möter frekvent under skoltid, till exempel när de delar in sig i olika grupperingar vid utomhusaktiviteter samt under formell undervisning i matematik. Att arbeta med division är inte lika självklart för alla, då det finns två olika typer av division. Dessa två typer kallas för innehålls- och delningsdivision, där innehållsdivision inriktar sig på “gruppindelning” och delningsdivision fokuserar på “en-till-en-modellen” (Mulligan, Oslington & English, 2020; Bicknell, Young-Loveridge & Simpson, 2017). Det är av vikt att eleverna har förståelse för såväl delnings- som innehållsdivision, då det underlättar förståelsen att beräkna division. Genom att utveckla en förståelse för delnings- och innehållsdivision behöver eleverna få förutsättningar att utveckla sin livslånga portfolio, genom en förståelse för kopplingar mellan matematiken till elevnära ting.
2. Syfte och frågeställningar
Syftet med studien är att undersöka elevers förståelse och tillämpning av lösningsstrategier inom division, med ett specifikt fokus på delnings- och innehållsdivision.
3. Tidigare forskning
Detta avsnitt syftar att systematiskt beskriva tidigare forskning inom ämnet division. Det första avsnittet beskriver studiens huvudsakliga begrepp division, där divisions innebörd och betydelse framförs. Under rubriken lösningsstrategier sammanfattas de lösningsstrategier som identifierats i den systematiska läsningen som genomförts. Avslutningsvis presenteras begreppsförståelse som kan påverka progressionen för eleverna.
3.1 Nyckelbegrepp
I följande avsnitt kommer de nyckelbegrepp som är viktiga för arbetet presenteras. Begreppen förklaras utifrån ett matematiskt perspektiv för att tydliggöra betydelsen. De begrepp som förklaras nedan är division, innehållsdivision samt delningsdivision.
3.1.1
Division
Division är ett grundläggande aritmetiskt begrepp som eleverna bör ha förståelse för, eftersom det är ett av de fyra räknesätten. Aritmetik innebär räknelära, hur du räknar med tal, exempelvis inom de fyra räknesätten. I studien avses division behandla matematiska problem vid uppdelning av tal, där täljaren är helheten, nämnaren innebär antalet delar som helheten ska delas upp i och kvoten innebär volymen som respektive del representerar. Division kan ses som en upprepad subtraktion som kan kontrollräknas med hjälp av multiplikation. Multiplikationen i sin tur kan ta stöd av upprepad addition, vilket möjliggör att division kan ha kopplingar till samtliga räknesätt. Division kan beräknas utifrån rutinuppgifter, men även utifrån kontextuella sammanhang (Lee, 2007; Downton, 2013; Bicknell et al, 2017). Med rutinuppgifter menas uppgifter som eleverna kan lösa med hjälp av strategier på ett välbekant sätt, och utifrån kontextuella sammanhang menas att uppgifterna grundas på att eleverna kan relatera till dess omgivning. Division kan även delas in i två olika kategorier, innehållsdivision och delningsdivision, vilka förklaras här nedan.
3.1.2
Innehållsdivision
Innehållsdivision, som även kan benämnas som kvotiv uppdelning eller kvotering, är en av två huvudsakliga divisionsmodeller. Vid beräkning innebär kvotering att man undersöker antalet gånger som nämnaren kan gå i täljaren. Innehållsdivision är en strukturerad tankegång vilket tydliggörs genom att nämnaren delas in gruppvis det antalet gånger för att nå täljarens värde (Mulligan et al, 2020; Bicknell et al, 2017).
3.1.3 Delningsdivision
Delningsdivision kan benämnas som partitiv uppdelning. Det menas med lika delning, vilket eleverna identifierar som en uppdelning av kvantiteten. När elever löser en delningsdivision delar de ofta ut en kvantitet åt gången “en till dig, en till mig, en till dig” etc. Delningsdivision kan upplevas som en något mer ostrukturerad strategi jämfört med innehållsdivision eftersom i delningsdivision delas täljaren en och en istället för gruppvis (Mulligan et al, 2020; Bicknell et al, 2017).
3.2 Lösningsstrategier i undervisningen
Grundläggande kunskaper inom aritmetik, som inkluderar räkneläran för de fyra räknesätten, är väsentligt för att behärska matematik. Det inkluderar såväl likheter som skillnader mellan de fyra räknesätten, där sambanden mellan räknesätten är en väsentlig del. Sambanden mellan de olika räknesätten är betydelsefulla att lyfta och tydliggöra då eleverna ska få förutsättningar att utveckla personliga tillvägagångssätt, då samtliga elever är unika och lär på sitt sätt. Det syftar även till att utveckla och fördjupa elevernas kunskaper för att behärska olika lösningsstrategier, få möjligheter att finna egna tillvägagångssätt, samt för att kunna bemöta matematik i vardagen (Bicknell et al, 2016; Downton, 2013). De lösningsstrategier som har identifierats i den systematiska läsningen av artiklar, och som kommer att presenteras här, är chiphandelsmaterialet, trappan, liggande stolen, kort division, söka det enkla samt förkortning och förlängning. Dessa lösningsstrategier beskrivs kortfattat här nedan. Chiphandelsmaterialet är ett begrepp som inte förekommer frekvent i den svenska skolan, utan det har sitt ursprung i USA. Däremot tillämpas metoden som konkret material där materialet är färgkodat. Respektive färg som används representerar
positionssystemet, såsom ental, tiotal och hundratal. Chiphandelsmaterialet används även vid bildrepresentation, när tillgång till konkret material inte finns tillgängligt. Chiphandelsmaterialet kan även fungera som ett komplement till de nedan beskrivna lösningsstrategierna (Lee, 2007).
Figur 3 beskriver tillvägagångssättet
Chiphandelsmaterialet. 1696/8 är ett relativt stort tal att beräkna, men det kan förenklas och beräknas varje talsort för sig med stöd av chiphandelsmaterialet. Division beräknas från vänster till höger, vilket börjar med 1000/8 i den ruta med blå boll. Då det inte går jämt ut förenklas problemet genom att den blåa bollen som
är värd 1000, förändras till tio stycken röda bollar, där varje röd boll är värd 100. Det röda antalet bollar blir då ett värde av 1600 och genom divisionen 1600/8 ger kvoten 200, denna division går då jämt ut. Därefter har uppgiften nio gröna bollar där respektive grön boll är värd tio, vilket ger summan 90. Detta ger divisionen 90/8, vilket ger tio hela och en rest som då byter färg till svart som representerar ental.
Figur 2: Delningsdivision
Entalet hade från början sex stycken svarta bollar, när sedan tio bollar läggs till blir det 16 svarta bollar totalt, vilket skapar divisionen 16/8 som ger kvoten 2. Då har det tagits fram tre stycken kvoter, 200+10+2 som ger totalsumman 212, vilket innebär att 1696/8 = 212.
Trappan och liggande stolen är två metoder som användes frekvent för tidigare generationer i den svenska skolan. Metoderna är relativt lika, där skillnaden är att nämnaren står på vänster sida om täljaren i trappan och på höger sida om täljaren i liggande stolen.
Lee (2007) benämner dessa metoder som lång division, eftersom beräkningen genomförs mellan första talet i täljaren dividerat med nämnaren som sedan utgör en del av kvoten. Därefter tillämpas kontrollräkning genom multiplicering av nämnaren och kvoten, som sedan följs upp av upprepad subtraktion av täljaren och kvoten som framkom i första steget. Detta upprepas sedan tills uppgiftens täljare är behandlat och utgör talet noll. Kort division är den divisionsmetod som förekommer mest frekvent i dagens matematikundervisning. Kort division beräknas utifrån positionssystemet och respektive siffra i täljaren representerar ett givet tal som divideras med nämnaren. Det gemensamma för dessa tre metoder är att samtliga uppgifter beräknas från vänsterled till högerled, samt att dessa metoder tillämpar varje talsort för sig vid uträkningar (Lee, 2007).
Figur 4. Trappan och Liggande stolen.
Är de metoder som nämnts ovan inte tillräckliga för eleverna att beräkna divisionsuppgifter, bör eleverna få andra kunskaper att utveckla genom att söka efter nya metoder exempelvis genom samarbete mellan multiplikation och division. Metoder som är användbara när elever har svårigheter att lösa en given uppgift benämns vid söka det enkla, förenkling och förlängning. Att söka det enkla inom division förekommer främst under förenkling eller förlängning av uppgifterna. Vid förenkling av uppgiften kan täljaren och nämnaren upplevas stora och svåra att behandla, vilket syftar till att exempelvis halvera både täljaren och nämnaren för att förenkla uppgiften. Uppgiften förenklas med samma nämnare vid dividerande av täljaren och nämnaren. Därefter tillämpas någon av dem ovannämnda metoderna trappan, liggande stolen eller kort division för att kvoten ska synliggöras (Downton, 2013; Anghileri, 2006).
Vid en förlängning kan täljaren och nämnaren upplevas svåra, exempelvis om decimaltal inkluderas i uppgiften kan förlängning tillämpas. Eleverna kan då förlänga uppgiften och exempelvis dubblera täljare och nämnare för att uträkningen ska upplevas enklare. Vid förlängning av uppgiften multipliceras både täljare och nämnare med samma faktor, det vill säga motsatsen till förenkling. Utifrån den nya täljaren och nämnaren kan eleverna sedan tillämpa kort division, trappan eller liggande stolen även här för att kvoten ska synliggöras (Anghileri, 2006).
3.3 Begreppsförståelse kan påverka progressionen
Begreppsförståelse är ett grundläggande fundament som eleverna behöver behärska för att möjliggöra progression och för att kunna redogöra förståelse inom det matematiska språket. Genom begreppsförståelse kan eleverna kommunicera såväl verbalt som skriftligt genom olika representationer inom aritmetiken (Altiparmak, 2016; Raveh et al, 2016; Lee, 2007; Bicknell et al, 2016). Eleverna bör inte enbart ha automatiserat begreppen, utan även utvecklat förståelse för begreppen. Inom division är täljare, nämnare och kvot tre grundbegrepp som eleverna ska inkludera i sitt vokabulär och kunna förmedla i ett matematiskt resonemang (Bicknell et al, 2016; Lee, 2007). Begreppsförståelsen inkluderar även platsvärde och positionssystem, som i sin tur påverkar kunskapen av halvor och dubblor eller annan typ av uppdelning (Lee, 2007; Raveh et al, 2016). Vid bristande begreppsförståelse påverkas även elevernas möjligheter att inhämta kunskaper om lösningsstrategier. Det är framförallt förståelsen för lösningsstrategier som påverkas. Elever har en tendens att automatisera lösningsstrategier, men besitter inte förståelsen om vad som händer med talen i uppgiften. Det kan innebära att eleverna inte förstår vad som potentiellt blivit fel vid uträkningen av en given uppgift, eftersom den grundläggande förståelsen inte infinner sig. Den främsta kritiska aspekt som nämns är oförståelsen för platsvärdet och positionssystemet vid behandling av större tal, vilket tydliggörs främst om talets tiotal innehar värdet 0 (Lee, 2007; Altiparmak, 2016; Raveh et al, 2016). När begreppsförståelsen och kunskapen om fåtal lösningsstrategier är begränsade kan det påverka elevens progression negativt. Därför är det väsentligt att kunskapen som eleven innehar, är tillräckliga för att utforska dels vad som blivit fel i uträkningen och dels utveckla nya tillvägagångssätt för att utvidga begreppsförståelsen (Downton, 2013).
4 Teori
I detta avsnitt kommer vi att introducera och förklara hur Richard Lesh’s modell kommer att tolkas och användas i förhållande till detta arbetet För att kunna besvara och analysera frågeställningarna använder sig studien av en teori som belyser olika lösningsfaranden.
4.1 Teorin om matematiska representationer
Figur 7. Lesh modell - matematiska representationsformer
I detta arbete tolkar vi en modell (se figur 7) skapad av Richard Lesh (Lee Johnson, 2018). Modellen riktar sitt fokus på olika matematiska representationsformer. Representationerna hjälper oss att fokusera på hur elever löser uppgifter utifrån olika tankegångar. Teorin används för att synliggöra och tydliggöra vilka representationsformer som eleverna använder sig av vid beräkning av aritmetiska uppgifter, vilket i studien syftar till division. Elevernas tillvägagångssätt redogörs av antingen en eller flera representativa framföranden, vilket skapar utrymme för eleverna att redovisa olika former av kunskap. De fem representationsformerna kan kombineras och översättas med hjälp av varandra för att tydliggöra hur eleverna tillämpar sitt tillvägagångssätt. Översättningarna, kallas även för övergångar, som i studien syftar till att eleverna översätter en representationsform till en annan representationsform genom att potentiellt kombinera dessa i sitt tillvägagångssätt. De fem representationsformer som inkluderas i studien är manipulering, bilder, omvärldssituationer, skrivna och talade symboler (Lee Johnson, 2018; Roos & Trygg, 2018). Samtliga representationer samt vissa övergångar presenteras nedan med en definition som kommer användas för studien.
Manipuleringar, även kallade konkreta representationer, innebär att eleverna har möjlighet att använda konkret material, exempelvis numicon och centikuber. Detta för att behärska nya begrepp, beräkna uppgifter eller som hjälp att förklara ett lösningsförfarande. De konkreta representationerna kan kompletteras med handskrivna symboler. Vidare kan manipulering även kopplas till verkliga händelser, genom att tydliggöra och förenkla situationerna. Manipuleringar kan appliceras från konkret material till 2D-modell som sedan kan översättas med hjälp av en bildrepresentation, denna övergång kallas avbilda (Lee Johnson, 2018; Bicknell et al, 2017).
lösning. En bild inkluderar konkreta objekt och föremål som kan tillföra information för eleven vid beräkning av divisionsuppgifter (Bicknell et al, 2017; Badillo, Font, Edo, 2015; Lee Johnson, 2018; Anghileri, 2006; Roos & Trygg, 2018). Bildstödet som eleverna potentiellt använder, kommer anses som ett komplement som tydliggör elevernas funderingar vid behandling av uppgiften. Eleverna synliggör även en bred kunskapsbank genom att göra kopplingar på ett unikt sätt. Genom bilden kan till exempel en övergång ske till omvärldssituationer, den övergång benämns vid tolkning.
Omvärldssituationer, som även kallas för verklig representation, innebär att eleverna kan relatera till verkliga händelser, exempelvis dela in lag på rasten vid spel av fotboll eller lekar. Det kan även syfta till chokladkakor eller skor, det vill säga så att eleverna kan finna sin egna unika väg att lösa ett matematiskt problem genom att koppla till verkliga situationer (Lee Johnson, 2018; Badillo et al, 2015; Bicknell et al, 2017). Genom att koppla verkligheten till bilder vid beräkning blir det mer konkret vad eleven syftar till, men däremot om eleven vid intervjun ska förklara hur hens tillvägagångssätt kan situationen bli en metafor istället (Badillo et al, 2015). Vid en övergång från omvärldssituationer till talade symboler sker en beskrivning.
Talade symboler, som i denna studie syftar till verbal kommunikation, som innebär att de matematiska tillvägagångssätten uttrycks verbalt mellan två eller flera individer som kommunicerar. Det som uttrycks kan exempelvis vara en beskrivning av vad den handritade bilden illustrerar, beskrivning av en verklig metaforisk händelse eller vad de skrivna symbolerna betyder. Eleven utvecklar sin förståelse och potentiellt ordförråd genom att kommunicera och förklara för andra individer om sitt unika tillvägagångssätt och utvecklar därmed ett gemensamt lärtillfälle. De talade symbolerna kan sedan antecknas och övergången blir i skrift genom att översätta det talade språket till skriftspråk (Lee, 2007; Raveh et al, 2016; Lee Johnson, 2018; Badillo et al, 2015; Roos & Trygg, 2018).
Skrivna symboler, är i denna studie symboler som syftar till elevernas handskrivna lösningsstrategier, såsom siffror och symboler representerar räknesätt. De skrivna symbolerna kan kompletteras och tydliggöras genom en bild som illustrerar de handskrivna symbolerna, samtidigt som det kan bli en skriftlig förklaring av den ritade bilden. Det inkluderar även att manipuleringarna som genomförs konkretiserar de skrivna symbolernas betydelse som även är en beskrivning av den verbala kommunikationen (Lee Johnson, 2018; Badillo et al, 2015; Roos & Trygg, 2018).
Övergångar, som tidigare nämnts i studien syftar till att elever översätter en representationsform till en ny. I elevernas matematikundervisning möter de representationsformerna som är beskrivna ovan på olika sätt. För att kunna räkna ut den givna uppgiften kan eleverna omvandla den till en ny representationsform. När eleverna omvandlar representationsformen benämns det som övergång. Övergångarna har olika namn beroende på vad det är för representationsform de har från början som de sedan omvandlar till en ny. Pilarna i modellen visar vilket håll övergången går och vid pilen återfinns det namn som just den givna övergången benämns vid. Exempelvis övergången från manipuleringar till skrivna symboler heter symbolisera, skulle en person istället göra tvärtom från skrivna symboler till manipuleringar benämns det vid konkretisera (Roos & Trygg, 2018).
5 Metodologi
I detta avsnitt presenteras den metod som valts för studien. Under den första rubriken, forskningsansats, tydliggörs det vilken ansats studien förhåller sig till. Vidare presenteras urvalet av deltagare där en beskrivning av de utvalda eleverna sker. Slutligen redovisas det hur studien gick tillväga för att samla in material samt en presentation och motivering kring valet av uppgifter i studien. Bearbetningen av den insamlade datan lyfts upp under en egen rubrik samt belyser de etiska överväganden studiens skribenter förhållit sig till.
5.1
Forskningsansats
Vi har valt att genomföra en kvalitativ undersökning. I denna kvalitativa undersökning användes ett teoretiskt ramverk som fokuserade på matematiska representationsformer och översättningar mellan olika matematiska representationsformer. Denna inriktning ansågs vara mest gynnsam för den givna undersökningen. Den kvantitativa metoden föll bort då forskare vanligtvis forskar i en styrd miljö medan den kvalitativa metoden låter människorna göra forskningen i sin naturliga miljö (Bryman, 2018). Diagnosen kan användas som en kvantitativ metod då dess data går att mäta, genom detta kan samband bildas och synliggöra hur barnen korrelerar med matematiken. Dock valdes en kvalitativ metod då den grundar sig i den kunskapsteoretiska ståndpunkten, där tyngden ligger på att skapa en förståelse kring den sociala verkligheten (Bryman, 2018), i detta fall elever i skolan. Fokus ligger på att inhämta information kring olika lösningsstrategier snarare än att mäta resultat. Målet med den valda ansatsen är att synliggöra elevers lösningsstrategier och tankegångar. Tillvägagångssättet som beskrivs i detta kapitel ger oss förutsättningar att utforska elevernas behärskning av aritmetikens ena grundpelare, division. Genom att låta elever arbeta med uppgifter där de har möjligheten att använda en eller flera representationsformer för att redogöra sina respektive kunskaper.
Vihar sedan valt att intervjua sex elever för att undersöka olika elevers perspektiv och kunskaper inom division. Vi fick , vid användningen av intervjuer, en djupare dimension av förståelse om dels elevernas kunskaper och förståelse och dels hur eleverna resonerar kring sitt tillvägagångssätt och hur hen upplever division samt delnings- och innehållsdivision. För att inneha möjligheten att beakta intervjuerna i efterhand, ansågs en-till-en intervju vara det mest rimliga undersökningsalternativet. Denscombe (2017) nämner att semistrukturerad-modell är en variant av kvalitativ forskningsintervju. Denna modell innebär att eleverna ska ges objektiva möjligheter att beskriva sina lösningsförfaranden, och inte styras åt vad som är rätt eller fel. Det innebär att intervjuaren inte ställer vägledande frågor. Det styrker att de grundfrågor som tas med kan exkluderas vid diskussion om en given uppgift, beroende på om situationen tillåter frågeställningen eller inte (Denscombe, 2017). Den nackdel som finns med att använda sig av en kvalitativ metod är att resultatet inte kan generaliseras till en population då en skola inte är representativ för en hel population (Bryman, 2018). Studien kan vidgas och forskas vidare genom lärares undervisningsmetoder för att lära ut division, använder de teorin som grund eller inte.
5.2 Urval
Vi valde att kontakta en skola i södra Sverige där en av oss haft sin verksamhetsförlagda utbildning (VFU). Valet av att kontakta och ställa frågan till den givna skolan valdes då samhället lever i en pågående pandemi och nya kontakter bör undvikas. Vidare känner lärarna, eleverna och vårdnadshavarna till en av oss väl och det gav en större sannolikhet till deltagande. Valet av att tillfråga alla tre klasser i årskurs 3 på skolan var för att få möjligheten till ett större urval inför de intervjuer som senare skulle göras. Genom att låta många elever göra diagnosen gav det många lösningsförfaranden som kunde analyseras och väljas ut.
5.3 Datainsamling
I följande avsnitt kommer diagnosens uppgifter förklaras i diagnoskonstruktionen, senare kommer bearbetningen av det insamlade materialet presenteras. För att få vetskap om hur eleverna tänker vid deras lösningsförfaranden har vi använt oss av semistrukturerade intervjuer som förklaras mer ingående, sedan presenteras det intervjumaterial som använts. Till sist presenteras de etiska aspekter som tagits hänsyn till under arbetets gång.
5.3.1
Urval och konstruktion av uppgifter
För att identifiera elevernas lösningsstrategier och översättningar utformades en diagnos som inkluderade rutin-, text-, samt problemlösningsuppgifter. Textuppgifterna var konstruerade med en inriktning på innehålls- och delningsdivision. Den breda variationen av matematikuppgifter grundas i syftet, där elevernas förståelse och tillämpning av lösningsstrategier skall undersökas. Diagnosen inkluderade mer än en uppgift av varje typ för minimering av missförstånd gällande utformningen av en uppgift. Uppgifterna är även av olika karaktär där vi återspeglar i syftet det specifika fokus på innehålls- och delningsdivision. Anledningen till att undersökningen behandlar olika sorters matematikuppgifter grundade sig även i att eleverna ska få redogöra sina kunskaper och få möjlighet att använda valfria tillvägagångssätt. Uppgiftsvariationen utgör ett brett underlag som möjliggör för eleverna att redogöra sina kunskaper som behandlar frågeställning 1 och 2 för studien.
5.3.1.1 Diagnoskonstruktion
Eleverna fick möjlighet att använda sig av valfritt laborativt material, i syfte att minimera den risk att eleverna använder sig av ett specifikt material. Rutinuppgifterna är skapade med inspiration från Alistair McIntosh (2008) i syfte att eleverna ska kunna välja valfri lösningsstrategi som tidigare nämnts. Uppgifterna är anpassade efter den målgrupp studien riktar sig till, med möjlighet att lösas genom matematiska metoder för elever i årskurs tre. Valet av olika rutinuppgifter grundar sig i vetskapen om att eleverna arbetat med denna form tidigare, samt möjlighet att identifiera vilka lösningsstrategier eleverna använder sig av. De utvalda rutinuppgifterna syns nedan.
Figur 8. Rutinuppgifter.
kunskaper, som sedan tydliggörs om det är medvetet eller omedvetet vid intervju-tillfället (Mulligan et al, 2020; Bicknell et al, 2017). Den gemensamma nämnaren för dessa fyra uppgifter är att eleverna har möjlighet att redogöra deras översättningar genom de olika representationsformerna, som presenterades i teoriavsnittet (Lee Johnson, 2018; Badillo et al, 2015; Roos & Trygg, 2018). Vidare är det fritt för eleverna att välja lösningsstrategi som passar till den givna uppgiften. Eleverna innehar även möjligheten att tillämpa valfria lösningsstrategier och tillvägagångssätt, exempelvis genom kort division eller chiphandelsmaterialet (Lee, 2007). Genom en analys av resultaten kan samtliga frågeställningar besvaras med hjälp av dessa uppgifter. Nedan visas de textuppgifter som återfinns i diagnosen.
Figur 9. Textuppgifter 1.
Figur 10. Textuppgifter 2.
Figur 11. Problemlösning.
Till den sista uppgiften föll valet på en räknehändelse där eleverna har en utgångspunkt på divisionen 16/4, sedan får eleverna tillämpa egen kreativitet. Eleverna har möjligheten att använda olika representationsformer, om det är med skriftliga symboler, bilder eller något eleven kan koppla till sin vardag är valfritt. Anledningen till en öppen uppgift är för att eleverna ska ges möjlighet till att koppla sitt lärande till något som den enskilde eleven kan relatera till, det vill säga en elevnära uppgift. Uppgiften har fått inspiration från McIntosh (2008).
Figur 12. Räknehändelse.
5.3.2 Bearbetning av diagnos
Efter att diagnosen genomförts samlades svaren in för analys. Bearbetningen av diagnosen fokuserar på tillvägagångssätten, vilka lösningsstrategier samt övergångarna som eleverna använt för en given uppgift. Rättningen kommer ske genom att vi tar del av elevernas tillvägagångssätt och lösningsstrategier, och de som väcker mest nyfikenhet och intresse väljs sedan ut för intervju. Utifrån dessa kriterier valdes sex elever ut för intervju då deras tillvägagångssätt utmärkt sig på olika vis som skapat en större nyfikenhet och intresse för vidare undersökning. Kunskapen från analysen användes som underlag för att konstruera ändamålsenliga samt individanpassade frågor till efterkommande intervju. Bearbetningen av diagnosen ger en grund för resultat och diskussion för frågeställning 1 och 2 i studien.
Diagnosen för samtliga deltagare kommer i resultatet att presenteras i två tabeller (se Tabell 1 och Tabell
2), där tabellerna illustrerar elevernas lösningsstrategier. De intervjuade elevernas lösningsstrategier
Elevernas lösningsstrategier Förkortning Bild B Skrivna symboler S Omvärldssituationer O Upprepad subtraktion S1 Upprepad addition S2 Multiplikation S3 Text T
Ingen beräkning gjord -
Figur 13: Förtydligande av förkortningar.
5.3.3
Semistrukturerade intervjuer
En semistrukturerad intervju innebär att ett frågeformulär finns konstruerat med ett antal grundfrågor, men intervjuaren ska vara flexibel, eftersom det är elevens resonemang som är det väsentliga. Ett exempel på en grundfråga är “Hur tänkte du när du löste den här uppgiften?”, övriga frågor återfinns i
Bilaga D (Denscombe, 2017). När frågeformuläret utformades innefattade det medvetenhet om att
inkludera öppna frågor. För att eleverna ska få förutsättningar att återge information som kan utöka förståelsen kring division utifrån frågeställningarna som tillämpas för studien. Det är väsentligt att konstruera grundfrågor som inte kan besvaras med ett eller två ord för att informationen som framkom ska utgöra underlaget, för kommande resultat och diskussion. Elevintervjuerna åstadkom möjlighet att låta eleverna, verbalt, ge uttryck för sina lösningar samt det skapade ett alster för oss för en givande och bred grund för analys av såväl resultat som diskussion. Genom elevintervjuer skapades möjligheter för oss att skapa en uppfattning av hur elevernas förståelse för innehålls- och delningsdivision ser ut. Det vill säga skapa ett underlag för framförallt frågeställning 3, men även översättningen som efterfrågas i frågeställning 2.
Intervjuerna baseras på en-till-en intervjuer som innefattar privilegierad information från förstahandskällor i form av elever i årskurs 3. Intervjuerna genomfördes i elevernas naturliga miljö som utgör en del av den kvalitativa metoden, i detta fall skolan (Bryman, 2018). Det skapade möjlighet för skribenten att närvara, skapa en relationell intervju och ställa relevanta och tidsenliga frågor som situationen tillät. Intervjuerna erbjöd eleven att förklara dess tillvägagångssätt, samt genererade möjlighet för intervjuaren att fråga om en mer detaljerad förklaring, ett förtydligande eller undersöka respondentens kunskaper om fler strategier. Det skapade även möjligheten för intervjuaren att återge en kort sammanfattning för respondenten, som potentiellt kunde vägleda för en djupare förklaring av tillvägagångssättet (Denscombe, 2017). Inför respektive intervju tillkännagavs eleverna all information om varför intervjun skulle genomföras, vad den skulle innehålla samt att ljudet skulle spelas in. Eleverna fick möjligheten att avstå från deltagande från intervjun (Denscombe, 2017), vilket en elev valde att göra och ersattes av en klasskamrat.
5.3.4 Bearbetning av insamlat intervjumaterial
Intervjumaterialet granskades efter transkriberingen för att stämma av om det fanns tillräckligt underlag att analysera för resultat och diskussion. Därefter kunde vi, genom den vitala granskningen kategorisera och identifiera elevernas representationsformer utifrån frågeställningarna 1 och 2. Den vitala granskningen möjliggjorde även en utvecklad förståelse av elevernas kunskaper kring innehålls- och delningsdivision, det insamlade materialet inbringade underlag för frågeställning 3 (Denscombe, 2017). Informationen som framkom under intervjuerna presenterades antingen som citat eller med en sammanfattning av elevens uttalande tillsammans med beräkningen i diagnosen. Det teoretiska ramverket var huvudsyftet under intervjuerna där eleverna fick beskriva sina lösningsstrategier. 5.3.5
Etiska aspekter
Vetenskapsrådet (2002) presenterar de allmänna huvudkrav som finns för att konkretisera innebörden av individskyddskravet. Dessa fyra är: samtyckes-, nyttjande-, informations- samt konfidentialskravet. Kraven utgör de forskningsetiska principer som bör följas vid forskning.
6 Resultat
I denna del kommer studiens resultat och analys presenteras. Resultatet samt den efterföljande analysen grundas i den diagnos samt de intervjuer som gjorts av ett antal årskurs 3 elever. Först presenteras lösningsstrategierna som samtliga elever använt sig i av i tre tabeller, följt av två tabeller som synliggör intervjupersonernas strategier. Vidare presenteras representationsformer och övergångar som återfunnits i diagnoserna. I resultatet redogörs även intervjupersonernas förståelse för innehålls- samt delningsdivision. Avslutningsvis sker en analys av resultatet från diagnoserna samt de intervjuer som genomförts utifrån studiens frågeställningar.
6.1
Vilka lösningsstrategier använder sig eleverna av vid beräkningar av olika
divisionstal
I detta kapitel kommer de lösningsstrategier hela gruppen använt, men även de intervjuade eleverna strategier presenteras. Presentationen sker i form av diagram och figurer med kort text som tydliggör och förklarar.
6.1.1 Samtliga deltagares lösningsstrategier
Stapeldiagrammet nedan synliggör vilka lösningsstrategier samtliga elever som deltog i studien använde sig av vid beräkning av uppgifterna 1-5.
Tabell 1: Samtliga deltagande elevers lösningsstrategier, uppgift 1-5.
I diagnoskonstruktionen (se kapitel 5.3.1.1) kan vi utläsa att uppgift 1a-1d var rutinuppgifter som samtliga elever fick beräkna. Lösningsstrategierna de använde sig av var främst bild och upprepad addition. Vi kan dock utläsa i diagrammet att i uppgift 1d använde majoriteten av eleverna multiplikation. Divisionen var 100/10 och eleverna visade sin uträkning med 10x10=100. Upprepad subtraktion, som är ett samband till division, användes inte frekvent av eleverna.
beräkning av uppgift 2 kan vi utläsa i diagrammet att de flesta av eleverna tillämpade sig av bilder eller multiplikation men samtliga strategier är presenterade och används av eleverna. De divisioner som behöver beräknas med större tal använder eleverna sig av bilder. I tabellen ovan (Tabell 1) valde vi att endast räkna en av strategierna utifrån, enligt oss, utmärktes vara den första strategi eleverna tillämpat.
Figur 14: Elevlösning av uppgift 4. Eleven har använt bild och skriven symbol i form av multiplikation som lösningsstrategi.
Exemplet ovanför synliggör hur en elev använt sig av två lösningsstrategier. Eleven använde sig av bilder och den skrivna symbolen multiplikation.
Stapeldiagrammet nedan synliggör vad samtliga deltagande elever använde för lösningsstrategier vid beräkning av uppgift 6
Tabell 2: Samtliga deltagande elevers lösningsstrategier, uppgift 6.
Tabell 3: Samtliga deltagande elevers lösningsstrategier, uppgift 7.
Diagrammet ovan synliggör de lösningsstrategier som eleverna använt sig av vid beräkning av uppgift 7. Uppgiften var att skriva en räknehändelse och sedan lösa den. I tabellen är den orangea stapeln hög då majoriteten enbart skrev en räknehändelse, och beräkningen saknades. De andra staplarna synliggör de elever som tillämpat en lösningsstrategi till sin skrivna räknehändelse. De som visade sin beräkning med en lösningsstrategi använde sig främst av bilder, samtidigt fanns det elever som visade uträkningen med hjälp av multiplikation eller upprepad addition. Utifrån ovan resultat valdes, som beskrivits i föregående kapitel, sex elever ut för intervju. Resultatet från intervjuerna presenteras i efterföljande avsnitt.
6.1.2 De intervjuade elevernas lösningsstrategier
Elev A Elev B Elev C Elev D Elev E Elev F
Figur 15: Tabellen visar vilka lösningsstrategier de intervjuade eleverna använder sig av vid beräkning av uppgifterna. S1=
Upprepad subtraktion, S2= Upprepad addition, S3= Multiplikation B= Bild
Ovan syns en tydlig bild över de elever som blivit intervjuade. Tabellen visar vilka lösningsstrategier dessa elever använde vid beräkning av uppgift 1a-5. Här kan man läsa ut att eleverna majoriteten av gångerna använde sig av bilder som lösningsstrategi för att beräkna uppgifterna. Det är elev A och elev B som utmärker sig från de intervjuade eleverna men även från den hela gruppen. Dessa två elever använder sig av varierande lösningsstrategier beroende på uppgift.
Elev A Elev B Elev C Elev D Elev E Elev F
Uppgift 6a - S2 B B S2, S3 B, S3
Uppgift 6b - S2 - B S2, S3 B, S3
Uppgift 6c - S2 - B - B, S3
Uppgift 7 B,O B,O O O O O
Figur 16: Tabellen visar vilka lösningsstrategier de intervjuade eleverna använder sig av vid beräkning av uppgifterna. S2=
Upprepad addition, S3= multiplikation, B= Bild, O= Omvärldssituation, -= ingen beräkning gjord.
Tabellen ovanför synliggör de intervjuade elevernas lösningsstrategier för uppgift 6a-7. Majoriteten av eleverna som löste uppgift 6a och 6b använde sig av skrivna symboler i form av upprepad addition och multiplikation som lösningsstrategi. Vidare ser vi att bilder används frekvent av eleverna för att lösa uppgifterna.
6.2
Vilka representationsformer och översättningar använder eleverna sig av
vid beräkningar av rutinuppgifter samt textuppgifter
Nedan följer det resultat som kommit fram genom de diagnoser som gjorts av samtliga elever, där fokus ligger på frågeställningen vilka representationsformer samt översättningar eleverna använder sig av. Vidare presenteras det resultat som framkom vid varje elevintervju. Elevintervjuernas resultat presenteras mer ingående.
6.2.1 Diagnosens generella resultat
De rutinuppgifter som återfinns är uppgifterna 1a-1d. Det förekommer främst skrivna symboler på dessa uppgifter, där eleverna sedan gör sin egen översättning. Vid en genomgång av diagnoserna använder sig eleverna av övergångar till bilder eller nya skrivna symboler. Övergången till bilder blir att eleverna
illustrerar det givna talet.
Uppgift 2-5 är textuppgifter i diagnosen. Eleverna fick här läsa en omvärldssituation som de sedan översatte på valfritt sätt. Elevernas representationsformer visas majoriteten av gångerna i bild eller som skrivna symboler. Ett antal elever använde sig av manipuleringar för att sedan visa beräkningen med hjälp av bild eller skrivna symboler. Elevernas övergångar till bilder kallas schematisering. Vid en övergång till bild via manipuleringar använder sig eleverna av övergångarna förenkla/generalisera för att sedan avbilda. Vid en övergång till skrivna symboler med hjälp av manipuleringar tillämpar eleverna av förenkla/generalisera som övergång och sedan symbolisera för att visa sitt svar genom skriva symboler.
hjälp av bild. Alla elever gjorde inte uppgiften då den var tidskrävande och tiden räckte inte till. Läraren valde att betona vikten av uppgift 7 före uppgift 6.
Den sista uppgiften eleverna fick var att de skulle skriva en räknehändelse med ett givet divisionstal. Majoriteten av eleverna genomförde en omvärldssituation där de använde sig av delningsdivision, några elever gjorde en innehållsdivision. Här använder sig eleverna av en given skriven symbol som de sedan gör om med hjälp av översättningar. En räknehändelse blir oftast av den karaktär att de skriver en berättelse som de sedan löser, en så kallad omvärldssituation. Här går eleverna från en skriven symbol till omvärldssituationer. I Leshs modell finns det ingen övergång från dessa två utan den går via någon annan representationsform. En del elever ritade sin räknehändelse medan andra gjorde om den till skrivna symboler i form av en multiplikation.
6.2.2 Diagnosfråga 1
Alla intervjuade elever förutom två applicerade bilder vid beräkning av uppgift 1a-1d. Anledningen till att de använde bilder på dessa uppgifter var ”För det blir mycket enklare….Man ser liksom hur man ska
tänka”, ett citat som kom från elev D. De fyra eleverna valde övergången illustrera då det var en skriven
symbol som beräknades med hjälp av bilder. Bilderna illustrerade ringar, bollar, pluppar och pengar. Elev A genomförde uppgift 1a och 1b som de ovan nämnda eleverna med bild. Däremot tillämpade eleven skrivna symboler i form av multiplikation på uppgift 1c och 1d, elev A berättade varför hen använde multiplikation för att beräkna uppgifterna “jag tycker det är smartast och enklast”. Elev B utförde en variation av skrivna symboler på samtliga uppgifter. Uppgift 1a löstes med en upprepad subtraktion, 10/2 är lika med 10-5 och sedan 5-5. Vidare användes upprepad addition på 1b och 1c. Uppgift 1b var 6/3, och där elev B förklarade sina tankegångar i intervjun “jag tänkte mest att 3+3 blir
6. 3+3 är ju 6, så då bara räknade jag så det blev 6 och då är det ju två”. . Uppgift 1c valde eleven att
tillämpa 25+25 är lika som 50/2, vilket hen förklarade “för 25 är hälften av 50”. Slutligen på 1d tillämpades multiplikation, där hen kunde tians multiplikationstabell och det framkom under intervjun att eleven direkt tagit 10x10=100.
6.2.3 Diagnosfråga 2
Denna uppgift valde de intervjuade eleverna att använda sig av olika representationsformer. Eleverna C, D, E och F tillämpade bilder även i denna uppgift. Elev C och E delade upp pennorna på ett likvärdigt sätt. De delade upp pennorna i fem högar, då båda eleverna menade att det var Stina och hennes fyra kompisar som skulle dela på 20 pennor. Elev C och E tillämpade delningsdivision, elev C beskrev båda elevernas tankegångar tydligast när hen berättade “för de är 5, ehh 20 pennor, sen strök jag en penna
för varje gång jag ritade en i en hög” eftersom de delade ut en penna åt gången och strök en penna
efterhand som de delats ut. Båda eleverna använde övergången illustration. Elev E valde sedan att muntligt tillämpa upprepad addition som en kontrollräkning av lösningsförfarandet. Beräkningen 5+5+5+5 gjordes och summan blev 20. Elev E använde övergången beskrivning från skrivna symboler till talade symboler genom intervjun.
Elev D och F ritade upp samtliga 20 pennor, därefter skiljer sig deras lösningsförfaranden. Vid intervjun förklarade elev D att “sen så, provade jag först 3 och det funkade inte, sen testade jag 4 och då funkade
det”. Eleven testade här att ringa in 3 pennor och sedan 4, då blev 20/5=4. Intervjuaren frågade om ett
annat räknesätt kunde använts, det framkom att en multiplikation med 5x4 fungerade som en kontrollräkning. Vidare visade eleven 5x4 med hjälp av en upprepad addition (5+5+5+5=20). Elev D tillämpade därmed schematisering utifrån uppgiftens omvärldssituation till bilder och sedan en beskrivning utifrån bilden till verbal kommunikation. Elev F förklarade sitt lösningsförfarande av uppgift 2 under intervjun. Först skrevs den skrivna symbolen 20/5 ned som hen vet blir 4. Därefter tydliggjorde eleven med bild där hen ritade pluppar och ritade sedan så det blev fem högar med fyra i varje. Hen kontrollräknade med upprepad addition muntligt, 4+4+4+4+4. Övergången beskrivning användes, då elev F genom talade symboler berättade om bilden.
När elev A beräknade uppgiften valdes två representationsformer. Vid intervjun framkom det att “först
A skrev först neddivisionen 20/5 ned för att sedan skriva multiplikationen 5x4=20. För att kontrollera om beräkningen med multiplikation stämde ritades även 5 gubbar med 4 ringar under varje. Genom dessa representationsformer används två övergångar, den ena är illustrera där eleven går från skriven symbol till bilder, den andra är formalisera då eleven går från bild till skriven symbol.
Upprepad subtraktion är den sista representationsform de intervjuade eleverna använde sig av och det var elev B denna gång. Översättningen eleven gjorde var schematisering då den givna omvärldssituationen löstes med skriftliga symboler. En tolkning av bilden med pennorna gjordes även för att sedan formalisera med skriftliga symboler. Elevens lösningsförfarande synliggörs i Figur 17 här nedan.
Figur 17: Elevlösning med hjälp av upprepad subtraktion vid beräkning av uppgift 2.
6.2.4 Diagnosfråga 3
Majoriteten av de intervjuade eleverna tillämpade bilder för beräkning av denna uppgift. Elev A, C, D, E och F använde detta tillvägagångssätt, där lösningsförfaranden genomfördes på liknande sätt genom att illustrera fem led med hjälp av ringar. Elev C och F valde att ringa in i grupper om fem, samtidigt som elev A, D och E konstruerade endast fem ringar i fem led utan att ringa in. Ett lösningsförfarande skiljer sig sedan från de andra då elev A kontrollräknade sin bild med en multiplikation, 5x5=25. Elev A kontrollräknar “för det blir enklare att dubbelkolla så man får rätt svar.” Vid kontrollräkningen används övergången formalisera som är från bild till skriven symbol. De andra respondenterna samt elev A tillämpade schematisering, då de översatte från omvärldssituationer till bilder och detta redogörs i figurerna 18 och 19 nedan.
Figur 19: Elev E beräknat uppgift 3.
Elev B använde både upprepad addition och multiplikation för att beräkna uppgift 3. Eleven visar att hen skrivit 5+5+5+5+5=25, och under intervjun framkom det att en kontrollräkning “gjorts enligt
följande då så började jag att rita ett streck i varje och sen fyllde jag på sen så fyllde jag på tills det blev fem styckna… ehm i varje led sen tänkte jag 5x5 är 25”. Elev B redogör kunskaper för att medvetet
tillämpa en säkerhetsåtgärd genom att beräkna både med upprepad addition och multiplikation, där eleven även visar kunskaper om samband mellan räknesätten. Elev B tydliggjorde beräkningen under intervjun “jag räknade mest bara 5+5+5, eller så räknade jag… vad heter det… 5x5, för då blir det ju
5x5 blir ju 25. Då räknar man ut det från början för det ska vara 5 i varje”. Elev B använde
övergångarna förenkling, symbolisering samt beskrivning. Elev B tillämpade förenkling för att manipulera den verkliga händelsen i uppgiften för att sedan symbolisera förenklingen med hjälp av skrivna symboler. Övergången beskriva används då eleven förklarar omvärldssituationen med hjälp av verbal kommunikation vid samtal med intervjuaren där hen beskriver både den upprepade additionen och den upprepade multiplikationen.
6.2.5 Diagnosfråga 4
Samtliga intervjuade elever förutom elev B använde bilder på uppgift 4 som lösningsstrategi. Elev C berättar under intervjun att “jag brukar mest rita och ibland kör jag tomma tallinjen” för att beräkna dessa tal. Elev C och E synliggjorde de 24 bildäcken genom att rita samtliga däck och ringade sedan in däcken i grupp om 4, eleverna fick då fram antalet bilar som fanns i bilverkstaden.
Under intervjun kompletterade elev E sitt lösningsförfarande genom att addera samtliga fyror som uppkom (4+4+4+4+4+4). Elev E förklarade sin beräkning med ”Jag satte grupper med 4 och sen skrev
jag en siffra under, så då får man fram att det är 6 bilar för det är 4 däck på alla bilar”. Under intervjun
fick elev C frågan om en annan lösningsstrategi, hen svarade att 4x6 är lika mycket som 24, samt med 4+4+4+4+4+4 och det är lika mycket som 24, vilket är en upprepad addition som även elev E använde. Elev E tillämpade både schematisering samt formalisering eftersom hen använde skriftliga symboler i form av upprepad addition.
Elev A tillämpade övergången schematisering då hen endast omvandlade från omvärldssituation till bild, däremot tillkom beskrivning under intervjun. Elev D tydliggjorde sitt lösningsförfarande under intervjun genom att
“jag ritade upp bildäck så här, jag gjorde först en bil och då blev det 4. Sen ritade jag en bil till och då
blev det 8, sen 12 när jag gjorde en till, sen en till och sen två till och då blev det 24. Så då stoppade jag. Då räknade jag hur många högar jag hade”.
Eleven räknade bilarna och då kunde hen se att det var 6 bilar i verkstaden. Eleven tillämpade därmed schematisering då hen omvandlade omvärldssituationen till en bild. Elev F använde också bilder, däremot var det en komplettering till elevens multiplikationskunskaper som ett förtydligande för att kontrollräkna sig själv, genom att räkna 1, 2, 3, 4, 5 och 6 bilar i verkstaden. Eleven tänkte ”4x6 blir
24. Då tar jag den där 6an och då måste ju det vara svaret, för 24/4=6”, eftersom hen vet att en bil har
fyra däck och kan även fyrans multiplikationstabell. Eleven har kompletterat med en illustration av bild för att tydliggöra och kontrollräkna sig själv. Elev F tillämpade därmed schematisering från omvärldssituationer och sedan en formalisering från bilden till skriftliga symboler.
Elev B tillämpade inte bild utan hen använde upprepad addition för att beräkna uppgiften. Eleven omvandlade uppgiftens omvärldssituation genom en förenkling då hen manipulerar situationen för att sedan symbolisera beräkningen med skriftliga symboler, 4+4+4+4+4+4, eleven kontrollräknade sedan att hen skrivit sex stycken fyror.
6.2.6 Diagnosfråga 5
Alla intervjuade elever förutom elev B beräknade uppgift 5 med hjälp av bilder. Elev F sammanfattade varför hen tillämpar bilder mer frekvent jämfört med skriftliga symboler “Jag brukar rita bättre än att
en schematisering av uppgiften då eleverna översätter omvärldssituationen i uppgiften till en bildillustration. Elev A har även valt att använda övergången formalisering för kontrollräkning av bildillustrationen genom en kort division. Elev A och F hade liknande lösningsförfaranden genom att endast rita upp ringarna och dela ut de direkt, samtidigt som elev C och D först ritade upp 36 ringar för att sedan dela ut de en och en. Se elev A och C’s representationsformer i figurerna 20 och 21 nedan, för att tydliggöra de olika tillvägagångssätten.
Figur 20: Elev A’s lösningsförfarande uppgift 5.
Figur 21: Elev C’s lösningsförfarande uppgift 5.
Elev B tillämpade skriftliga symboler, i form av en kort division, där hen beräknade 36/9 som hen fick till kvoten 12. Eleven använder skriftliga symboler i majoriteten av sina lösningsförfarande “för det är
det som går snabbast tycker jag.” 6.2.7 Diagnosfråga 6
Alla intervjuade elever förutom en hann genomföra minst två av tre deluppgifter, där tre av de kvarvarande eleverna hann genomföra samtliga deluppgifter. Elev A hann inte genomföra någon deluppgift, elev A valde även att tacka nej till att försöka beräkna deluppgifterna vid intervjutillfället, vilket medförde att ingen diskussion uppstod kring den givna uppgiften.
liknande sätt, med hjälp av bilder och upprepad addition. Vid intervjun beskrev elev D sitt tillvägagångssätt “först så ritade jag en av varje, sen plussade jag ihop det och då blev det 10 och då
var det en av varje.” Båda eleverna adderade därmed ett av respektive djur på uppgift 6a, vilket gav
4+4+2 som blir totalt 10 ben. När eleverna genomförde deluppgift 6b uppmärksammade inte elev C något mönster, samtidigt som elev D såg ett mönster. Trots de olika tankesätten beräknade både elev C och D på liknande sätt, där båda eleverna ritade upp fyra av respektive djur vilket gav 40 ben totalt. Under intervjun förklarade elev D sin tankegång “då ritade jag först upp en av varje, sen en till av varje
och sen två till av varje, och då blev det 40”, vilket kan tolkas att eleven tillämpade upprepad addition
som kontrollräkning genom 10+10+10+10 för att få fram 40 ben totalt. Elev D genomförde 6c på liknande sätt som de två tidigare delmomenten. Elev D sammanfattade hens lösningsförfarande enligt följande “då gjorde jag samma, fast jag ritade fler, för det skulle bli 70, och när det blev 70 så stannade
jag och då blev det 7 av varje djur”, det kan tolkas att upprepad addition tillämpades som
kontrollräkning även på 6c. Elev C fick tidsbrist och genomförde inte uppgift 6c. Både elev C och D tillämpade övergången schematisering från omvärldssituation till bildillustrationer på respektive deluppgift, som sedan formaliserades till skrivna symboler.
Elev F genomförde samtliga deluppgifter genom att se ett mönster som förtydligades med bildillustrationer samt skriftliga symboler på respektive deluppgift. Elev Fs hade klart för sig vid beräkningen av samtliga deluppgifter vilket förtydligades under intervjun. På första deluppgiften berättade eleven “jag tänkte en höna har två ben, en katt har ju fyra ben och det står ju här så då bara
plussar jag ihop dem”. Elev F tillämpade därmed en kontrollräkning med hjälp av additionen
4+4+2=10. På andra deluppgiften förklarade eleven att hen utgick från första deluppgiften för att beräkna andra deluppgiften som var “4 gånger mer, 4x10” som blir 40 ben totalt och fyra av respektive djur. Elevens mönster fortsatte under den sista deluppgiften, när eleven fortsatte att utgå från första deluppgiften för att beräkna sista deluppgiften vilket var “7 gånger fler”, vilket innebär 7x10=70. Elev F redogör kunskaper och medvetenhet genom användning av övergångarna schematisering och formalisering. Övergångarna synliggjordes genom att schematisera omvärldssituationerna till bildillustrationer som förtydligades genom formalisering till skrivna symboler.
Elev B har beräknat samtliga deluppgifter med hjälp av upprepad addition. Eleven berättar tillvägagångssättet för första deluppgiften att “det blir ett djur av varje om de har 10 ben tillsammans
då 2+4+4=10”. Eleven såg därefter ett mönster på deluppgift 6b. Eleven utgick från första
deluppgiften, genom att tillämpa upprepad addition med 10+10+10+10=40 ben totalt, vilket var det som efterfrågades. Vidare förklarade eleven tillvägagångssättet under sista deluppgiften “jag har bara
räknat ut det 10+10+10, jag har bara tagit det gånger så många gånger så det blir 70”. Eleven valde
upprepad addition i form av 10+10+10+10+10+10+10=70. Elev B fick, under intervjun, frågan om det fanns fler tillvägagångssätt vilket hen besvarade första deluppgiften med “fem hönor, för 5x2 är, man
räknar ju dubbelt, för räknar man 1x5 blir ju det 5 och tar man då en till så blir det dubbelt så mycket så då blir det 10”. Eleven hade koll på att djuren inte behövde vara lika till antalet. Elev B tillämpade
Figur 22: Elev E’s lösningsförfarande uppgift 6.
Elev E hade ett unikt tillvägagångssätt, vilket syns i figur 22 ovan, med endast skrivna symboler i form av multiplikation samt upprepad addition. Hen förklarar första deluppgiften i intervjun att “jag tänkte
att hästen och katten har ju fyra ben, så då blir det ju åtta om man tar en häst och en katt. Sen hönan har ju 2, så jag tänkte 10-kompis med åttan så det blir ju 2 så då blir det ju 10”. Elevens tankegång
mynnar ut till additionen 4+4+2=10. Vid beräkning av andra deluppgiften förklarade eleven i intervjun sitt tillvägagångssätt “jag tog 4 hästar och räknade så blev det 16, sen tog jag lika många katter och
16+16 blir 32 och sen så 32+8=40, så då blev det 4 hönor för de har två ben var”. Elev E beräknade
uppgiften med hjälp av multiplikation i form av 4x4=16 ben för få fram både hästarnas och katternas ben, som sedan adderades ihop till 16+16=32 ben. Hönorna beräknades med multiplikationen 2x4=8 ben. Tillsammans blir 32+8=40. Elev E hade inte genomfört uppgift 6c, men fick frågan om att försöka lösa den under intervjun, vilket eleven såg ett mönster från första deluppgiften där summan blev 10 ben med ett av respektive djur. Eleven tillämpade då 10x7=70 ben, vilket eleven syftade på att det blir sju av respektive djur för att uppfylla 70 ben totalt. Eleven använde sig av övergången generalisering omvärldssituationerna översattes till manipulering som redogjordes genom symboliseringar i form av skrivna symboler för att tydliggöra lösningsförfarandet, genom upprepad addition samt multiplikation. 6.2.8 Diagnosfråga 7
Samtliga intervjuade elever tillämpade omvärldssituationer på uppgift 7, men elev A och B kompletterade med en förtydligande bild samt en beräkning av uppgiften. Elev A och B skrev en omvärldssituation om att fyra kompisar skulle dela upp 16 stycken godisbitar, och ställde då frågan hur många bitar respektive kompis skulle få. Både elev A och B tillämpade först en förenkling genom att omvandla 16/4 till multiplikation 4x4 som symboliserades med skrivna symboler. Elev B svarade snabbt ”16 godisbitar… o varje barn fick 4 godisbitar!” Därefter kompletterade båda eleverna med en bildillustration som ett förtydligande moment. Elev A förklarade ”…jag ritade fyra kompisar och sen
så ritade jag godisarna” Det innebär att eleverna tillämpade fyra representationsformer, genom
användning av övergångarna förenkling, symbolisering samt illustration.
Elev C, D, E samt F tillämpade endast omvärldssituationer. Elev C skrev att fyra kompisar skulle dela på 16 tårtbitar, elev D ”För att Mia ska dela godisbitarna med sina tre kompisar, dela på 16 godisbitar”, elev E ska dela 16 nötter och elev F ska fördela 16 kakor. Samtliga fyra elever har endast redogjort en bildillustration och tillämpat en schematisering utifrån omvärldssituationen. Elev C tydliggjorde hens lösningsförfarande med att rita under intervjun, vilket gjorde att hen ritade upp 16 stycken tårtbitar samt de fyra individer som skulle fördela tårtbitarna mellan sig. Eleverna tydliggjorde illustrationen med att dra streck från respektive tårtbit till en individ. Elev E kunde även genomföra en muntlig kontrollräkning under intervjun, där hen beräknade 4x4 är lika med 16. Därmed tillämpade samtliga fyra elever att använda omvärldssituation med hjälp av en schematisering till bildillustrationer, samtidigt som elev E gav en verbal beskrivning under intervjun som kontrollräkning.
6.3 Elevernas medvetenhet om innehålls- och delningsdivision
I detta avsnitt kommer elevernas medvetenhet om innehålls- och delningsdivision att presenteras. Elevernas medvetenhet kring innehålls- och delningsdivision existerade endast delvis hos en elev innan intervjuerna genomfördes, men det utvecklades ett lärande för eleverna under intervjuernas gång.
6.3.1 Sammanställning av elevernas medvetenhet
Under intervjuerna framkom det att eleverna inte har kommit i kontakt med innehålls- och delningsdivision tidigare, men att en elev hade medvetenhet kring delningsdivision. Eleverna fick en beskrivning av intervjuaren på ett likvärdigt sätt, vilket framkommer nedan:
“Delningsdivision är när man får ett tal som man delar upp i olika högar, då tar man det man har och
mycket det är inne i det här, i varje grej. Mm, det är de två olika skillnaderna och då har vi, jag och min kompis, gjort att de här uppgifterna antingen är delningsdivision eller innehållsdivision”.
Eleverna fick därefter avkoda uppgift 2 till 5, samt elevernas egenskrivna räknehändelse och fick sedan fundera på om uppgiften var innehålls- eller delningsdivision för att slutligen berätta för intervjuaren med en motivering.
Uppgift 2 klarade samtliga elever där både elev A och elev E responderade med “Jag ska dela lika!” eftersom hen uppfattade att Stina och hennes kamrater skulle dela lika på 20 pennor. Elev B genomförde samtliga uppgifter lite stressande. Däremot när eleven gick tillbaka valde hen att ändra sitt resonemang, för då förflyttades fokus till begreppen “dela lika” och frångick det tidigare svaret som innehållsdivision till delningsdivision. Elev D kommenterade att “På tvåan så var det en delning för Stina och hennes
fyra kompisar skulle dela lika på sina 20 pennor. Alltså de delade på något”. Uppgiften var konstruerad
som en delningsdivision.
Uppgift 3 handlade om att eleverna på idrotten skulle vara fem i varje led, där eleverna skulle ta reda på hur många led det blir när samtliga elever var indelade. Uppgiften var en innehållsdivision. Elev B trodde först att uppgiften var en delningsdivision, men ändrade sig till en innehållsdivision efter att ha tänkt en gång till. Elev A och C kom fram till att det är en innehållsdivision. Elev D läste uppgiften och efter en kort betänketid kom fram till att det var innehåll. Elev E kom fram till att det uppgiften undersökte var “Hur många led, så det blir en innehållsdivision”. Elev F hade bekymmer med att förstå, vilket gjorde att eleven fick en beskrivning av uppgiften för att få förståelse för vad innehållsdivision innebär.
Uppgift 4 handlade om att Ahmed hade 24 bildäck i sin verkstad och eleverna skulle ta reda på hur många bilar Ahmed hade i sin bilverkstad. Elev A och B var relativt osäkra och fick delvis en vägledning om vad uppgiften efterfrågade för att komma fram till ett svar. Elev C och D besvarade efter kort betänktetid endast med att det är en innehållsdivision. Elev E responderade att det är en innehållsdivision “För att du ska ta reda på hur många bilar det är och du vet redan hur många däck
det är”. Elev F fick uppgiften beskriven för sig för att kunna identifiera kommande uppgift.
Uppgift 5 handlade om att Ronja hade 36 plommon som hon skulle dela med sig av till hennes tre vänner. Elev A klargjorde direkt att det är en delningsdivision för Ronja “...ska dela upp” plommonen. Elev B och F gissade sig till en delningsdivision eftersom hen letade efter orden “dela upp” även här. Elev C var säker på att det var en delningsdivision. Elev D responderade uppgift 5 med “Det är delning.
Hon hade 36 plommon som hon skulle dela lika med sina tre vänner”. Elev E var inne på samma spår
som Elev A här, att det är en delningsdivision “För att du ska dela på plommon”.
Uppgift 7 handlade om att eleverna skulle skapa egna räknehändelser utifrån divisionen 16/4. Samtliga elever valde att använda sig av en delningsdivision. Elev A, B och D använde sig av godisbitar där en huvudperson skulle dela med sig till sina kompisar. Elev A ansåg dock att uppgiften var en innehållsdivision, men en förklaring av intervjuaren förstod eleven senare att det var en delningsdivision. Elev B däremot var bestämd på att det var en delningsdivision “för de delar på 16
godisbitar”. Elev D motiverade valet av delningsdivision med “för att Mia ska dela godisbitarna med sina tre kompisar”. Elev C hade ritat upp en tårta med 16 bitar där Maja och hennes tre vänner, och hen
ansåg att det är en “delning för att man delar upp det”. Elev E valde att göra en räknehändelse som inkluderade 16 nötter som skulle delas upp, denna elev motiverade sitt resonemang med “För att de ska
dela på 16 nötter, så de ska ta reda på hur många nötter det blir”. Elev F inkluderade 16 kakor, eleven
motiverade delningsdivisionen med “de skulle dela lika”.
