S1. Gaser och maskiner

S1. Gaser och maskiner

Lärandemål:

•

Kunna använda gasens mikroskopiska egenskaper för att beräkna flödet av en gas genom ett hål

•

Kunna bestämma förändringar i gasens temperatur och tryck då gasen komprimeras eller förtunnas

•

Kunna bestämma effektiviteten för en värmemaskin

Krafterna mellan gasatomer eller molekyler är så liten att gasen måste omges av väggar för att gasen inte skall försvinna

Gasernas tryck varierar mycket långsamt med höjden Lyftkraften p.g.a. gaserna är mycket liten

Hur mäta gasens tryck? Övertryck

gh atm.

1  

 P

S1. Gaser och maskiner

Densitet av molekyler 𝑛 = 𝑁 𝑉

1D flödeshastighet (molykyler/s)

1D flödeshastighet

nA 𝑣

𝑛

₁

A𝑣

₁

+𝑛

₂

A𝑣

₂

+𝑛

₃

A𝑣

₃

+ ⋯ Antal molekyler som korsar

en area A per sekund:

𝑣 = 𝑛

₁

𝑣

₁

+𝑛

₂

𝑣

₂

+ ⋯ Medelhastighet

A

N=nV=n(Avt)

Gasen läcker ut genom ett hål

1

4 nAv



3D

flödeshastighet

(molykyler/s)

Vad händer med

temperaturen inne i ballongen under

tiden då gas sipprar

ut från hålet?

Fria medelväglängden (mean free path)

d är medelväglängden mellan kollisioner för den blåa atomen

2

1 1

[ ( ) ] d ^ nA ^ n  R  r

Hur lång sträcka är det i medeltal

mellan krockar för en kvävemolekyl?

8

25 10 2

3

1 7 10

2.68 10 (2 2 10 )

d m

mol m

m 





  

  

Gasens volym kan också lätt ändras genom att trycka ihop den

Om gasen trycks ihop ökar dess tryck

Idealgaslagen

Tryck:

A

P  F Idealgaslagen: PV  C

Mikroskopiska teorin för gasers tryck

Man kan hypotetiskt definiera en idealgas följande:

Gasen består av ett väldigt stort antal atomer eller molekyler som kan antas vara hårda

'bollar' med samma massa

Molekylernas storlek är mycket mindre än medelavståndet mellan molekylerna

Molekylernas kollisioner med varandra och behållarens

väggar är helt elastiska (ingen kinetisk energiförlust)

Kraften mellan molekylerna har mycket kort räckvidd,

vilket leder till att de rör sig linjärt mellan kollisionerna

Vi betraktar en kollision mellan molekylen och väggen

Elastisk kollision: v ₁ v₂

Rörelsemängdens z-komponent Före: p_z  p^cos(⁾

) cos( p

p_z   Rörelsemängden väggen får vid en kollision:

z väggen

z

p

p

_,

 2

Efter:

Tiden mellan 2 kollisioner?

v

z

T  2 h

h v

_z

En molekyl kolliderar

2

gånger med väggen/s

Kraften på väggen från en molekyl

t F_vägg p^z



 

h v p_{z z} 2

 2

h v p_{z z}



Kraften på väggen från en molekyl

h v F_z,vägg  p^{z z}

Summakraften på väggen från alla N stycken molekyler är

h v p h

v p h

v

F  p^{z,1 z,1}  ^{z,2 z,2} ... ^{z,N z,N} _



 



  

 N

v p v

p h

N _{z,1 z,1} ... _{z,N z,N}

z zv h p

 N

z z y y x

xv p v p v

p v

p   

k p j p i p

p  _xˆ _yˆ _z ˆ k v j v i v

v  _xˆ _y ˆ _z ˆ p_xv_x  p_yv_y  p_zv_z  pv 3

1

A

P  F p v

hA

N 

 3

1 _{pv mv v}

mv2



2

3 1mv V

P  N



 



  ²

2 1 3

2 mv V

P N 



 



  ²

2 1 3

2

1 N mv

V PV  U  C

3 2

Antalet atomer eller molekyler N vanligen enormt stor Vi definierar en storhet för stora mängder atomer, molekyler, elektroner mm. (storleksordning ~ 10²³)

En atoms vikt är ca. Am_N, A är massnumret = antalet neutroner + protoner Antal atomer i 1 g ¹H = antal atomer i 4 g ⁴He = antal atomer i 12 g ¹²C

Definitionen av 1 mol

1 mol är antalet enheter (atomer, molekyler ..) som är lika många till antalet som det finns atomer i 12 g ¹²C Antalet partiklar i 1 mol

kallas för Avogadros tal

-1 23 mol 10

022 .

6 x

N_A 

2 1 2

3 2

P  n mv 

2 3

3 n  2 k T

^B



      nk T

^B

P   n k T

B

_PV   _{N k T}

_B

m

m

u

Pv 3

 2



 



  ²

2 1 mv N

U

Gasens ”inre” energi

Antalet partiklar i 1 mol (Avogadros tal)

-1 23 mol 10

022 .

6 x

N_A 

Antal mol i systemet:

N

A

n  N

Molär volym:

n v

_m

 V

Molär intern

energi: n

u

_m

 U

C U

PV   3

2

U PV 3

 2

m

m

u

Pv 3

 2

En mera realistisk växelverkan mellan molekylerna med en ändlig storlek Idealgas

(hårda bollar):

Ändlig storlek

R₀ 2*radien för atomen

R₀ R₀

R 0 för r R R r R för )

(

R r för

0 0













 E r

U

Approximativ

”brunnpotential”

för att beskriva växelverkan

i m

m

P

v P  u 

3

2 P

_i

Inre tryck

Verkningsvolymen för en atom, innanför vilken en annan atom känner en kraft:

_{V } ⁴_(R³ _R³₎

Sannolikheten för växelverkan mellan

vilket atompar som helst (N atomer)

V NV

₁

Sannolikheten för att en atom som är nära väggen påverkas av någon av de resterande (N-1) atomer är

V N

²

V 

N 1 ) NV

¹

( 



A P  F

v h p

F  N  3 1

Sannolikheten för att en atom som är nära väggen, känner en kraft av någon

av de resterande (N-1) atomerna V N²



Kraften på väggen

(idealgas) ^V

v N h p

F N

2

3 1

1  



0 10,dåRR



VA v N

Ah p

N ²

3 1

1  



 

VAh h N Ah mv

N ²

1 2

3

1 

 ₂

2 2

2 1 3 2

V mv N

V

N 



 



 

Molär volym:

n v_m V Molär intern energi:

n u_m  U

2 2

3 2 1

V U N

P V  Antal mol i systemet:

NA

n  N

) 3(

2 1 )

(

2 2

m

A n u

V V

P nN   m

m

v 3u 2

 1

m m

m

A v u

v P N

3 2

2

2  



 



 

m m

m

u v v

P a

3 2

2  



 



 

m m

m

u v v

P a

3 2

2  



 



 

Vid stora tryck är inte effektiva volymen för gastanken mera V, utan:

NV

1

V V  

) 3 (

4 ₃

0 3

1 R R

V   

Molär volym:  

n v_m V

n NV n

V  ₁

 N V₁

n V

 A

  v_m b

van der Walls ekvationen: 

_m



_m

m

u b

v v P a

3 2

2   



 



 

a,b experimentella konstanter

) 3 (

4 ₃

0 3

1 R R

V   

När gasen tryck ökar, ökar

mängden atomer per volymenhet Då totala verkningsvolymen

närmar sig systemets volym

börjar de enskilda molekylerna eller atomerna att klumpa ihop sig till aggregat.

V NV 

₁

När sedan densiteten ytterligare ökar, formar aggregaten

kondenserad material, amorft eller kristallint

Amorfa materialet är

mycket svåra att beskriva

Termisk expansion

Gaser expanderar mycket kraftigt då temperaturen höjs och trycket hålls konstant,

T V

V  



där proportionalitetskoefficienten kallas för den kubiska

expansionskoefficienten

konstant

1



 

 



 

P

V

T

V V 

 

Arbetet för att

trycka ihop en gas

^A

F V x

F    PV



 ^{ }



²

1

V V B

A

PdV Fdx

W

Inget

arbete görs

Positivt arbete görs på gasen

 0





 W F x

Negativt arbete görs på gasen

 0





 W F x

yttre

gas

F

F  

yttre

gas

W

W  

Yttre arbetet

på gasen:

F

_yttre

|| dx  dV  0

U K E  

Mekaniska energin för systemet K Kinetisk U Potentiell

yttre frik

kons W W

W

K   

 W_kons Konservativa krafter ändrar

potentiella energin: W_kons= -U W_frik Icke-konservativa krafter ökar termiska energin: W_frik= -E_term W_yttre Yttre arbete från omgivningen

term

yttre K U E

W    

term

yttre Q K U E

W       

Termodynamikens första lag

För fasta kroppar går nästan all värme som ges materialet till atomernas rörelse eller inre energi



 







 _{ } 

T C lim _{T 0} U

värmekapacitet

För gaser är situationen mera komplicerad!

Ifall gasens volym ändras, görs arbete: W = PV

Energiekvationen för en gas, kallad termodynamikens första lag V

P U

W U

Q       



Q : Energin man ger eller tar från systemet

U : Förändringen av gasens inre energi

W = PV : Arbetet som görs för att ändra volymen

Värmekapacitet

för gaser: ^Konstant



 







 

V

V T

C Q

Konstant





 







  T V

U

Konstant





 







 

P

P T

C Q

Molära värmekapaciteter för gaser (J/molK)

Gas C_P C_V C_P-C_V

He 20.8 12.5 8.3

Ne 20.8 12.5 8.3

Ar 20.8 12.5 8.3

H₂ 28.7 20.4 8.3

N₂ 29.1 20.8 8.3

O₂ 29.2 20.9 8.3

T nC

Q

T nC

Q

P V









Vid konstant tryck

Till två mol av H₂ gas vid 21.0^oC tillförs 500 J värmeenergi vid

konstant tryck. Sedan tas samma mängd värmeenergi från gasen vid konstant volym. Vad blir

gasens sluttemperatur? Illustrera processen i en PV diagram.

nCP

T Q T

T   

 _{2 1} 8.7 K

J/molK 7

. 28 mol 2

J

500 



C C

T

T₂  ₁ 8.7^o  29.7^o



nCV

T Q T

T   

 _{3 2} 12.3K

J/molK 4

. 20 mol 2

J

500  

 

C C

T

T₃  ₂ 12.3^o 17.4^o



Vid konstant volym

Termodynamikens första lag Q  U W  U  PV

Q : Energin man ger eller tar från systemet

U : Förändringen av gasens inre energi

W = PV : Arbetet som görs för att ändra volymen

Konstant





 







 

V

V T

C U

Konstant





 







 

P

P T

C Q

Konstant Konstant

Konstant  





 







 



 







 



 









P P

P T

P V T

U T

Q interna energin

beror bara av temperaturen

Konstant





 







 



 







 

P

P T

P V T

C U

Konstant





 







 



P V

P T

P V C

C

kubiska

expansionskoefficienten

konstant

1





 



 

P

V T

V V 

  PV

C

C_P  _V _V

Idealgaslagen gav: PV U 3

 2  KT

kubiska expansionskoefficienten

konstant

1





 



 

P

V T

V V 

 

P V  KT

konstant

1

















 



 







P

T P KT

V 



P K V

 1

T

 1

Exempelvis vid 0^oC är den kubiska expansionskoefficienten för en idealgas 1/273 ~ 0.0037 K^-1

PV C

C_P  _V 



_V T PV C

C_P  _V  1 ^{PV  (CP CV )T}

K C

C

_P



_V



1) Fast ämne, massan m, vars temperatur stiger då vi ger det energi

T m

c

U    



c specifika värmekapaciteten

2) Fasförändring från fast ämne till vätska m

l

U  _F ^lF latenta smältvärme

eller smältentalpitet 3) Vätskans temperatur stiger då energi tillförs

T m

c

U 

_v

  



4) Fasförändring från vätska till gas

m l U 

_v

l_v latenta förångningsvärme eller ångbildningsentalpitet

Tillståndsekvation

Gasens tillstånd vid ett ögonblick ges av dess tryck, volym och temperatur och kallas för gasens tillståndsekvation: F(P,V,T)

Tillståndsekvation

Vanligen ritar man dock P-V-diagram som består av ökande temperaturlinjer (isotermer)