Antag att vi f&uml

Full text

(1)Joakim Edsj¨ o Fysikum, Stockholms Universitet Tel: 08-16 46 49. Tentamen i Analytisk Mekanik 28 maj 1999 5 problem p˚ a 6 timmar. Varje problem ger 5 poäng. Skriv namn p˚ a alla blad! Om du vill ha resultatet skickat till dig per e-mail, ange din e-mailadress p˚ a första sidan. Hj¨ alpmedel: Physics Handbook. 1. Antag att vi f¨ or en partikel i en dimension har Lagrangefunktionen L = L(q, q, ˙ t) vilken uppfyller Lagranges ekvationer. a) Visa att L = L + dM(q, t)/dt ger samma rörelseekvationer som L.. (4p). b) Visa att L = αL, d¨ ar α = 0 a¨r en konstant ger samma rörelseekvationer som L.. (1p). 2. F¨ or en laddad partikel i ett elektromagnetiskt fält gäller följande rörelseekvation. q , t). q , t) + e q ˙(t) × B(. m. q¨ = eE(. c d¨ ar h¨ ogerledet ¨ ar Lorentzkraften. Visa att vi kan erh˚ alla samma rörelseekvation fr˚ an Lagranges ekvationer med den generaliserade potentialen e. q , t) U(. q , q˙, t) = eΦ( q, t) − q˙ · A(. c. a d¨ ar Φ och A ar- respektive vektorpotentialen för de elektromagnetiska fälten. Tag a¨ven ¨r skal¨ fram den kanoniska r¨ orelsem¨ angden och diskutera detta uttryck. (5p) Ledning: De elektriska och magnetiska fälten ges av. 3.. q , t) E(. = −∇q Φ( q, t) −. q , t) B(. q , t) = ∇q × A(. 1 ∂. A( q, t) c ∂t. a) Definiera begreppet kanonisk transformation och redogör för hur en genererande funktion kan anv¨ andas f¨ or att generera transformationen. (2p) b) Visa att en genererande funktion Φ(q , Q, t) kan generera en kanonisk transformation och a g¨ tag fram de variabelsamband som d˚ aller mellan de gamla variablerna {q , p} och de nya variablerna {Q, P }. (3p) . . 1.

(2) 4. En rät homogen cylinder med radien R och massan M kan rotera friktionsfritt kring sin symmetriaxel. Denna är horisontellt riktad, parallell med en vertikal vägg. En fjäder AB med fj¨ aderkonstanten k a ¨r fäst vid väggen och i en tunn, b¨ ojlig, oelastisk tr˚ ad BC som löper o¨ver cylindern vinkelr¨ att mot symmetriaxeln. Ingen glidning förekommer mellan tr˚ aden och cylindern. I punkten C p˚ a tr˚ aden hänger en massa m (som p˚ averkas av gravitationen). Tr˚ aden och fj¨ adern har f¨ orsumbara massor. a) Best¨ am j¨ amviktsl¨ aget.. B. M C. (2p). b) Best¨ am systemets r¨ orelse om det släpps fr˚ an vila i ett l¨ age n¨ ar fj¨ adern intar sin naturliga längd. (3p) 5.. A. m. a) S¨ att upp Hamilton-Jacobis (tidsberoende) ekvation för verkansfunktionen S ∗ (q , α, t) och tag fram Hamilton-Jacobis karakteristiska (tidsoberoende) ekvation för den reducerade verkansfunktionen S(q , α) d˚ a H ej beror explicit av tiden. (2p) . b) Betrakta en endimensionell harmonisk oscillator med potentialen U(q) = 12 kq 2 . Tag fram antingen verkansfunktionen S ∗ (q, α, t) eller den reducerade verkansfunktionen S(q, α) och den transformation den genererar. Tag sedan fram lösningen till rörelseekvationerna, {q(t), p(t)}. (3p) Lycka till! L¨ osningar kommer att finnas tillg¨ angliga p˚ a http://www.physto.se/~edsjo/teaching/analmek/index.html efter tentamen.. Formelsamling Kanoniska transformationer Typ C. U = U (Q, p, t) - genererande funktion. Typ A. Φ = Φ(q , Q, t) - genererande funktion ∂Φ pi = ∂qi. . . ;. ∂Φ Pj = − ∂Qj. ;. ˜ = H + ∂Φ H ∂t. ∂U qi = − ∂pi. Typ B. S = S(q , P , t) - genererande funktion ∂S pi = ∂qi. . ;. ;. . Pj = −. ;. ∂U ∂Qj. ;. ˜ = H+ ∂U H ∂t. Typ D. V = V (P , p, t) - genererande funktion. . ∂S Qj = ∂Pj. . . ˜ = H + ∂S H ∂t. ∂V qi = − ∂pi. 2. . ;. Qj =. ∂V ∂Pj. ;. ˜ = H + ∂V H ∂t.

(3)

No results found