Visa att (ba)2 = a2b2 f¨or alla a, b ∈ G

Element¨ar gruppteori, hemuppgifter till torsdag vecka 40

1. Best¨am permutationerna R^k och R^k◦ S_p f¨or k = 0, 1, 2, i diedergrup- pen D5 ⊂ S5 genom att studera symmetrierna hos en regelbunden femh¨orning vid rotationer och speglingar som avbildar femh¨orningen p˚a sig sj¨alv.

2. Ange ordningen f¨or varje element i hZ12, +12i. Vilka element kan v¨aljas som generator f¨or hela gruppen?

3. Best¨am v¨anstersidoklasserna till undergruppen H = h3i till Z₆.

4. I en grupp G har alla element utom det neutrala ordningen 3. Visa att (ba)² = a²b² f¨or alla a, b ∈ G.

5. Visa att om G ¨ar Abelsk och H undergrupp till G, s˚a sammanfaller v¨anster- och h¨ogersidoklasserna till H.

6. ¨Ar Z₉ isomorf med en undergrupp till S₄ ?

7. Antag att a och b ¨ar element i en grupp G av ordning 8 med neutralt element e. Visa att om a³b = b a² s˚a ¨ar a = e. (Ledning: visa att om a 6= e, s˚a leder ekvationen a³b = b a² till en mots¨agelse).

1