C-UPPSATS
2007:065
MALIN WIKLUND
GEOMETRI:
Geometrins historiska utveckling och hur geometrin presenteras i läroböcker
för gymnasiet (1962 – 1999)
MATEMATIK C Luleå tekniska universitet Institutionen för Matematik
Abstract
This work on geometry contains of tree parts. The first part consists of the history of geometry. It tell us the story of the Babylonians first scripts and of famous mathematicians as Pythagoras and Euclid and to the development of non-Euclidian geometry. Some of the mathematic thoughts, that we observed in the history of geometry, are further explained in the second part. You’ll find Euclid´s definitions and postulates and his proof of the theorem of Pythagoras in the second part and also some constructing problems for compass and straightedge. The second part also contains Apollonius definition of the conic sections and a short introduction to projective geometry. The last part of this work is a comparison between four different textbooks for upper secondary school. Visible differences and similarities have been observed and put together. The notes are about geometries as a part of the mathematical subjects and how the textbooks present the theoretical part and the practical exercises. The third part also contains and a reflection on the parts of the history of geometry you can find in the textbooks and what importance they have got.
Sammanfattning
Den här C-uppsatsen, som handlar om geometri, har tre ingående delar. Den första delen berättar geometrins historiska utveckling från de första Babyloniska skrifterna via kända matematiker som Pythagoras och Euklides fram till utvecklingen av den icke-euklidiska geometrin. Den andra delen förklarar mer ingående några hållpunkter som uppmärksammades ur geometrins historia. Denna del beskriver Euklides axiomatiska framställning och bevis av Pythagoras sats, konstruktion med passare och linjal, Apollonius kägelsnitt samt en inblick i grunderna för projektiv geometri. I den avslutande delen har en jämförande studie gjorts av fyra olika läromedel för gymnasieskolan. Här har synbara skillnader och likheter beaktats och sammanställts. De aspekter som har beaktats har dels varit av allmän karaktär, såsom vilken plats geometrin har i läroböckerna och hur böckerna presenterar de teoretiska delarna och de praktiska övningsuppgifterna. Den andra aspekten, i den tredje delen, har varit att se betydelsen av geometrins historiska utveckling i läroböckerna och reflektera över geometriområden från historien som återfinns i läroböckerna.
Förord
Under hösten 2006 har arbetet med min C-uppsats i matematik pågått. Läsaren till denna uppsats förutsätts att ha baskunskaper i matematik.
Jag vill tacka min handledare, Thomas Gunnarsson på Matematikinstitutionen för hans engagemang och hjälp samt de värdefulla diskussioner vi haft under arbetets gång, både avseende matematiken och uppsatsskrivningen.
Jag vill också tacka Lennart Åström för korrekturläsning och kommentarer till förbättringar av denna uppsats.
Slutligen vill jag tacka min familj som varit mycket stöttande och förstående, då arbetet med denna uppsats tagit mycket av min lediga tid
Luleå, januari 2007 Malin Wiklund
Innehållsförteckning
Sammanfattning i
Förord iii
1 Inledning 1
1.1 Bakgrund och syfte 1
1.2 Disposition 1
2 Geometrins historiska utveckling 3
2.1 Inledning 3
2.2 De första skriftliga bevisen 3
2.3 Pythagoras och Pythagoréerna 5
2.4 Pythagoréernas geometri 6
2.5 Tre klassiska problemen i grekisk geometri 6 2.6 Alexandria ett vetenskapligt centrum 8
2.6.1 Euklides Elementa 8
2.6.2 Ptolemaios och Pappus 8
2.7 Geometrins utveckling under Romartiden 9
2.7.1 Arkimedes 9
2.7.2 Apollonius 10
2.8 Geometrins utveckling under det senaste millenniet 11 3 Introduktion till vissa områden inom geometrin 13
3.1 Inledning 13
3.2 Konstruktion med enbart passare och linjal 13
3.3 Geometri enligt Euklides 16
3.4 Euklides bevis av Pythagoras sats 18
3.5 Ptolemaios sats 19
3.6 Geometri enligt Apollonius 21
3.6.1 Apollonius kägelsnitt 21
3.6.2 Generaliserad Pythagoras sats, parallellogramsatsen 22
3.7 Kägelsnitt i R2 23
3.7.1 Ellipsens ekvation 23
3.7.1 Ellipsens brännpunkter 26
3.7.3 Parabel och hyperbel 27
3.8 Projektiv geometri 29
3.8.1 Plan projektiv geometri 29
3.8.2 Det reella projektiva planet 31 3.8.3 Koordinater i det projektiva planet 31
3.8.4 Desargues sats 32
4 Jämförelse av geometri i läromedel för gymnasieskolan (1962-1999) 35
4.1 Inledning 35
4.2 Läromedel i matematik från olika tidpunkter 36 4.3 Allmänna iakttagelser och jämförelser av läroböcker 36
4.3.1 Geometri som matematiskt avsnitt 36
4.3.2 Matematikens historia 38
4.3.3 Övningsuppgifternas upplägg och nivåindelning 40 4.4 Iakttagelser och jämförelser i läroböckerna med avseende
på geometri 41
4.4.1 Konstruktion med passare och linjal 41
4.4.2 Geometriska figurer 45
4.4.3 Pythagoras sats 44
4.4.4 Projektiv Geometri 47
4.5 Framtida studier 47
Slutsats 49
Biografi 51
Referenser 53
Kapitel 1
Inledning
1.1 Bakgrund och syfte
Som lärarstuderande med mål att undervisa i Matematik och Naturkunskap på gymnasiet har jag ett eget intresse av att hålla mina matematikkunskaper levande. Under våren 2006 hade jag möjligheten att delta i en kurs i matematik som Luleå Tekniska Universitet ordnade i samarbete med Pomor University i Arkhangelsk, Ryssland. Under vår vistelse i Arkhangelsk arbetade vi med utvalda geometriska problem. Det var i anslutning till denna kurs som jag började fundera på möjligheterna att utveckla mina kunskaper i matematik och erfarenheterna från den tidigare kursen väckte mitt intresse för geometrin. Matematikens historia är även en viktig del i min blivande roll som lärare. Enligt läroplan, Lpf94 (Läroplan för de frivilliga skolformerna) skall undervisningen ge ett historiskt perspektiv. Med denna uppsats vill jag beskriva geometrins historiska utveckling samt göra en jämförelse hur läromedel från 1962- 1999 behandlar geometrin.
1.2 Disposition
Initialt handlar uppsatsen om geometrins historiska utveckling. Under arbetet gång utvecklade den sig till att både innehålla matematikens historia samt en jämförelse mellan fyra läroböcker i matematik.
Dispositionen för denna uppsats innehåller tre delar. Den första delen, kapitel 2, berättar Geometrins historiska utveckling ur ett kronologiskt perspektiv. Kapitlet handlar om viktiga personer som gjort att utvecklingen av geometrin gått framåt. Materialet till Geometrins historiska utveckling, som bearbetas i kapitel 2, är till största delen hämtat ur Audun Holmes bok Geometry – Our Cultural Heritage. Där ej annat anges refererar jag till denna bok.
Under historiens gång har vår tids geometri vuxit fram ur matematiska upptäckter. Några av dessa upptäckter som matematikerna gjort genom åren, exempelvis Euklides bevis av Pythagoras sats, beskrivs närmare i kapitel 3. Även i denna del är det mesta av materialet hämtat från Geometry – Our Cultural Heritage. Den svenska översättning av Euklides axiom, postulat och grunddefinitioner är dock hämtade ur Matematikens historia av B G Johansson.
Det sista kapitlet, i denna uppsats, är en jämförelse mellan fyra olika läroböcker för gymnasieskolan. Läroböckerna har varit i bruk i skolorna under en tidsperiod från 1962-1999.
Den senaste läroboken från 1999 används idag av elever i gymnasieskolan i Luleå. De historiska aspekterna som framkommit i de två föregående kapitlena har jämförts med läroböckernas framställning av motsvarande aspekter. I detta kapitel är det i huvudsak läroböckerna som utgjort instuderingsmaterialet.
Kapitel 2
Geometrins historiska utveckling
2.1 Inledning
Matematiken utvecklades troligtvis allt eftersom någon behövde den. Genom alla tider har rörelser på stjärnhimlen fascinerat människor. Genom att utveckla geometrin kunde de beräkna himlakropparnas position och förutspå himlafenomen.
Geometriska mönster finns bevarade i form av grottmålningar och fragment av textilier.
Diskussion har förts angående om dessa mönster och utvecklingen av nummer har ett samband. Det går inte att utesluta att matematiken funnits tidigare i historien då det inte finns några bevarade bevis för detta. Vi skall se hur geometrin har utvecklat sig genom historien och genom att se på olika matematiska uträkningar som på ett eller annat sätt blivit bevarat för eftervärlden.
2.2 De första skriftliga bevisen
Skriftspråkets utveckling gjorde att dokumentationer blev sparade till eftervärlden.
Enligt [Johansson, 2004] utvecklades skriftspråket under 2000-talet f.Kr. Till en början ristades skrifterna in i leran för att senare utvecklas till en kilskrift. Kilskriften innebär att symboler trycktes ner i leran av en trekantigt formad penna.
De första skriftliga bevisen på den matematiska utvecklingen, och samtidigt kunskapen om Egyptens matematik, har man funnit på två bevarade papyrusrullar. På British Museum i London finns den främst bevarade papyrusrullen, Papyrus Ahmose, som är nedskriven ca 1650 f. Kr. Ahmose anger namnet på den som nedtecknade verket men upphovsmännen är okända. Den andra rullen, Moskvapapyrusen, finns bevarad i Moskva.
Papyrus Ahmose består av 14 hoplimmade ark som tillsammans bildar ett cirka fem meter långt ark. Arket, som innehåller 87 geometriska problem inklusive lösningar, anses vara Egyptens största matematiska källa. De geometriska uppgifterna hade en nära koppling till problem som fanns i vardagssituationer, såsom att beräkna areor och volymer [Johansson, 2004].
Babyloniernas matematiska uträkningar finns, till skillnad från Egyptiernas, på lertavlor. Behovet av matematik i Babylonien är osäkert, men forskarna har dock en uppfattning av att de gjorde enkla vardagliga beräkningar. Lertavlorna från Babylonien visar att de troligtvis använde matematiken utan formella bevis. Den mest berömda lertavlan, kallad Plimpton 322, är skriven med Babyloniska tecken och är daterad till 1900-1600 f.Kr.
Figur 1. Plimpton 322 [Scriba/Schreiber, 2002]
Lertavlan Plimpton 322 är till viss del skadad och saknar en del, men genom stora uppoffringar av Otto Neugebauer har en rekonstruktion av de saknade siffrorna visat att Babylonierna var bekanta med det vi idag kallar Pythagoras sats. Med hjälp av andra Babyloniska lertavlor som innehöll beräkningar av kvadrater skapade Neugeberger en rekonstruktion för ett hypotetiskt bevis för Pythagoras sats. Plimpton 322 visade även att de babyloniska matematikerna använde de Pytagoreiska triplerna. En Pytagoreisk tripler är en naturliga tal (a,b,d)som uppfyller villkoret a2 +b2 =d2.
Ordet Geometri kommer från två grekiska ord, γη som betyder jord och µετρον som betyder storlek. Källorna till tidig grekisk geometri är sparsamma. Detsamma gäller även matematiken generellt. I den tidiga grekiska geometrin hänvisas man till verk av Eudemus av Rhodos, 350-290 f.Kr. Han var troligtvis elev till Aristoteles. Eudemus skrev tre verk om den matematiska historien, nämligen The History of Arithmetic, of Geometry och of Astronomy. Dessa tre verk finns ej längre kvar men användes av de Helleniska matematikerna och därför är vissa delar kända av oss idag.
Den senaste, som hänvisade till Eudemus verk, var den grekiska filosofen och matematikhistorikern Prochus Diadochus. Prochus hade ansvaret för den Platonska akademien i Aten under senare delen av 500-talet e.Kr. Prochus skrev en summering av Euklides Elementa och det var i detta verk som Prochus refererade till Eudemus verk om geometrins historia.
Thales är den första grekiska matematikern vi känner till. Han levde och verkade i Miletos kring 600 f.Kr. Under sin livstid tros Thales ha mätt höjden av de Egyptiska pyramiderna. Detta gjorde han vid den tid på dygnet då hans skugga var lika lång som han själv. Thales anses vara den grekiska geometrins fader. Genom sin entusiasm att förklara ej nödvändiga företeelser blev Thales, enligt Aristoteles, retad av vissa Milesianer.
2.3 Pythagoras och Pythagoréerna
Pythagoras av Samos är en mytomspunnen person. Enligt [Johansson, 2004] skrev Pythagoras ingenting själv men omges av många anekdotiska berättelser. Den matematiska kännedomen från denna tid visar att man på många ställen i världen hade kännedom om geometriska bevis. Matematiska bevis som hänvisar till Pythagoras har hittats i Egypten, Indien och Kina och detta tyder på att Pythagoras gjorde resor runt om i världen. Det saknas dock fortfarande många bevis för hans resor men historierna är väl värda att föra vidare.
Pythagoras föddes cirka 570 f.Kr på ön Samos och generellt tror man att han avslutade sina dagar i den Grekiska staden Metapontium i en aktningsvärd ålder av 90 år. Vissa forskare tror att Pythagoras, som ung, varit elev hos Thales. Enligt källor arbetade Pythagoras vidare i Thales fotspår. Pythagoras fortsatte med den geometri som Thales arbetat med och dessutom gjorde Pythagoras många resor..
Omkring 535 f.Kr. befann sig Pythagoras i Egypten. Han förde en diskussion med templets präster och således lärde han sig mer om deras seder och deras geometri. I samband med en invasion av Egypten blev Pythagoras tillfångatagen och fördes till Babylon. De misshagliga gavs möjlighet att ge sig iväg. Efter att ha tillbringat många år i Egypten och Babylon förvisades Pythagoras omkring 500 f.Kr till den grekiska staden Kroton i nuvarande södra Italien, där han grundade en skola, kallad Pythagoréerna.
Världsbilden för Pythagoréerna skulle vara i harmoni, en harmoni där både djur och människor skulle inräknas. Rörelsen bestod dels av en inre gemenskap av medlemmar som bodde permanent i sällskapet och dels av medlemmar som tilläts leva ett normalt liv. Medlemmarna bestod av både kvinnor och män varav flera av de kvinnliga Pythagoreerna blev kända matematiker och filosofer [Johansson, 2004].
Figur 2 Pythagoréernas heliga symbol.
Symbolen, utformad som en fem-uddig stjärna inskriven i ett pentagram, var helig för Pythagoréerna. Den bringade lycka under resor och inskriptioner av symbolen visade var tidigare medlemmar blivit vänligt bemötta och omhändertagna.
Efter Pythagoras död fortsatte hans fru, Theano, att driva skolan vidare. Kontroverser med den demokratiska andan i Grekland gjorde att många Pythagoréer blev mördade och de som överlevde flydde. Detta gjorde att deras tankar spriddes över ett vidare område.
2.4 Pythagoréernas geometri
Inga verk av Pythagoréerna finns bevarade men senare dokumentation visar att resultaten hänvisades till mästaren själv, Pythagoras. Matematiken kopplades samman med verkligheten. Deras tankar och undervisning kring tal, de naturliga talen, organiserade principerna för allting. Exempelvis kunde de beskriva planeternas rörelse eller musikens harmonier.
Som vi tidigare sett kände Babylonierna till Pythagoras sats åtminstone 1000 år tidigare än Pythagoras själv. Flera upptäckter visar att även följande upptäckter skedde mycket tidigare i den matematiska historien än vad som anges av Pythagoréerna:
- Kännedomen att summan av vinklarna i en triangel är lika med två räta vinklar kände redan matematiker i Egypten, Babylonien, Kina och Indien till. Detta innebär dock att det teoretisk skulle kunna vara så att det var Pythagoréerna som bevisade detta samband.
- Olika konstruktioner med hjälp av passare och linjal finns dokumenterade i tidiga källor från de Indiska matematikerna. Den äldsta källan, Sulva-Sutra, innehåller regler för hur man skall konstruera ett altare med en specifik area.
Pythagoréerna, och Pythagoras själv, har dock tillskrivits vissa upptäckter. En av de viktigaste upptäckterna är de naturliga talen, som av många tillskrivs Pythagoras fru, Theano. Det slutgiltiga beviset, för utvidgningen av de naturliga talen så att de även innehåller de rationella talen, skulle dock dröja 2000 år, ty de grekiska matematikerna saknade en algebraisk notering. Vidare kan nämnas att Pythagoréerna var de första som upptäckte det irrationella talet 2. De såg inte detta som ett tal utan som ett förhållande mellan två linjesegment, det vill säga det vi idag kallar de rationella talen a/b.
Förhållandet mellan två linjesegment, användes under Pythagoras tid för att ge en förklaring till förhållandena mellan diagonalen och en sida i ett pentagram.
2.5 Tre klassiska problem i grekisk geometri
I den grekiska geometrin beskrivs tre klassiska problem som har en speciell ställning.
Dessa problem har gett många matematiker något att fundera kring och det har senare visat sig att de går att lösa med kreativa metoder, dock ej enbart med passare och linjal.
Klassiskt problem 1 – Cirkelns kvadratur
Givet en godtycklig cirkel. Konstruera en kvadrat vars area är lika med arean av en given cirkel.
Den grekiska filosofen Anaxagoras är den förste som förknippas med detta klassiska problem. Han levde i Aten kring 450 f.Kr. då Aten hade sin storhetstid, både politiskt och intellektuellt. Under denna tid reste flera av Pythagoréerna dit och Sokrates var en av dem som fick en betydande roll i samhället.
Anaxagoras hade många idéer som Atenarna hade svårt att ta till sig. Han skall, enligt berättelserna, ha försökt lösa problemet med cirkelns kvadratur under en tid då han satt fängslad. Anaxagoras var vän med Atens ledare, Pericles, och det sägs att det var han som hjälpte honom ut ur fängelset. Eftersom det inte var säkert att stanna kvar i Aten flyttade Anaxagoras till Lampsacus där han grundade en egen akademi.
Oroligheterna i Aten gjorde att invånarna funderade hur de skulle göra för att undvika onödiga konsekvenser. Legenden säger att de besökte oraklet Apollo i Delos för råd och det är i detta sammanhang det andra klassiska problemet introduceras.
Klassiskt problem 2 – Det deliska problemet, kubens fördubbling
Givet en godtycklig kub, konstruera med hjälp av linjal och passare sidan på en annan kub, vars volym är dubbelt så stor som den givna kuben.
Detta klassiska problem visade sig också vara en svår uppgift att lösa. Tidigare hade de grekiska matematikerna enkelt kunnat konstruera en kvadrat som har dubbelt så stor area som den givna kvadraten. Detta gjorde att de trodde att detta problem enkelt kunde lösas enbart med de enkla hjälpmedlen passare och linjal. De insåg även att om de finner en metod att dubbla en kub så finner de metoden för alla andra kuber likaså.
Klassiskt problem 3 – Tredelning av en vinkel
Givet en godtycklig vinkel, dela vinkeln i tre lika stora delar med hjälp av linjal och passare.
Det tredje klassiska problemet istället, har lösningar för vissa givna vinklar. Exempelvis går det att med enbart passare och linjal tredela en rät vinkel, men att dela vinkeln 60º går inte med enbart passare och linjal. De grekiska matematikerna hade god kännedom om att vissa konstruktionsproblem är enkla att konstruera. Tredelningen av en vinkel 60º väckte troligtvis frustration hos matematikerna. Många är de problem som kan lösas enbart med hjälp av passare och linjal men inte dessa tre klassiska problem. De klassiska problemen gjorde dock så att den högre geometrin kunde utvecklas. De ändligt antal steg som behövs för att konstruera någonting med enbart passare och linjal beskrivs i avsnitt 3.2.
De grekiska matematikerna insåg att de inte kunde lösa de tre klassiska problemen, som beskrivits ovan utan utvecklade istället olika metoder för att lösa dessa problem.
Problemen löstes istället av effektiva mekaniska scheman alternativt så skapade de olika instrument för att lösa problemen. Det skulle ta ända till mitten av 1800-talet innan det bevisades att cirkelns kvadratur var omöjlig att konstruera enbart med hjälp av passare och linjal. För att klara av att lösa detta problem skulle matematikerna behöva klara av att konstruera det irrationella talet π .
Archytas från Tarentum anses vara den siste store av Pythagoréerna och han levde mellan 428-365 f.Kr. Förutom arbetet som hög position inom politiken hade han tid att sysselsätta sig med matematik, och då främst inom geometrin där han bland annat arbetade med att skriva ner Pythagoréernas idéer. Archytas har haft stor betydelse för den didaktiska utvecklingen av matematiken. Han delade in sitt verk i fyra delar;
aritmetik, geometri, musik och astronomi. Senare skulle Euklides dedicera en av böckerna Elementa till honom. I lärdomsskolorna under medeltiden och reformations- tiden omfattade ämnesgruppen quadrivium matematikämnena aritmetik, geometri, astronomi och musik
Under tiden för oroligheterna i Aten föddes filosofen Platon (427 f.Kr.). Platon tillförde inte geometrin några egna slutsatser men han hade ett stort inflytande för ämnets utveckling. Under Platons uppväxt och engagemang i kriget hade han uppfattat att det fanns ett motstånd mot filosofin och geometrin. I kriget hade han sett sin lärare och vän Sokrates bli avrättad. Dessa tankar och upplevelser gjorde att Platon 387 f.Kr. grundade akademien i Aten för filosofi och geometri, men även för andra vetenskaper. Under sin verksamma tid var Platon elev hos Archytas.
Platon använde de klassiska problemen i geometri för att ge sig själv en bättre insikt i den matematik som var en del av problemet. Hans målsättning var inte att finna lösningar till dessa problem. För Platon, var geometrin ett sätt att ge matematiska förklaringar och approximationer till den värld vi lever i.
2.6 Alexandria ett vetenskapligt centrum
Alexandria grundades 331 f.Kr av Alexander den store och staden blev Egyptens huvudstad. Alexandria utvecklades till att bli ett centrum för civilisation, vetenskap, konst och kultur och fortsatte att vara det under en lång tid.
2.6.1 Euklides Elementa
Det finns sparsamt med information om Euklides liv. Dock vet man att Euklides var en grekisk matematiker som verkade i Alexandria omkring 300 f.Kr. Han arbetade med att samla in material över kända idéer och insikter inom matematiken som andra matematiker formulerat innan Euklides. Geometrin hade den främsta positionen.
Euklides baserade sitt verk på fundamentala idéer och därigenom skapade han en förståelse för hur matematiska insikter kan säkras samt hur fortsatta matematiska aktiviteter skulle utföras. Det som vi idag tar för givet har utvecklats ur den grekiska matematiken.
Euklides uppbyggnad av matematiken samlade han i hans verk Elementa i 13 volymer.
Euklides skrev böckerna omkring 300 f.Kr och de används än idag. I avsnitt 3.3 kan du läsa vidare om det logiska och systematiska upplägget genom de grundläggande definitionerna, postulaten och axiomen enligt Euklides Elementa. Euklides bevis av Pythagoras sats beskrivs i avsnitt 3.4.
2.6.2 Ptolemaios och Pappus
Claudius Ptolemaios var en annan viktig person som bidragit till utvecklingen av vår förståelse för geometri. Han levde i Alexandria 85-165 e.Kr. Under den geocentriska perioden behövde astronomin förklaras med matematiska termer. Ptolemaios utvecklade de trigonometriska funktionerna bland annat genom att dela in cirkeln i kordor.
Ptolemaios sats om de förhållanden som ges av en fyrhörning som är inskriven i en cirkel och dess diagonaler, se avsnitt 3.5.
600 år efter Euklides nådde Alexandria sin höjdpunkt. Många vetenskapsmän passerade Alexandria antingen som besökare eller som studenter. Antalet personer som arbetade med geometri var färre än på Euklides tid, men de som verkade var inte mindre betydelsefulla. Theon från Alexandria skrev ett mästerstycke då han kommenterade Euklides Elementa. Tillsammans med sin dotter Hypatia gjorde även Theon kommentarer av Ptolemaios och Pappus verk.
A
B C
A'
B'
C'
O P
P P
A C
B
Figur 3. Pappus sats, illustration
Pappus från Alexandria, tror man verkade under det tredje århundradet efter Kristus. De kommentarer som Theon utförde kring Pappus verk har därefter använts av efter- följande vetenskapsmän och kvinnor. Pappus sats, se figur ovan, säger att punkterna
C B
A P P
P , , ligger på samma linje, har senare fått betydelse för den projektiva geometrin som utvecklades under 1400-talet av den tidens konstnärer.
2.7 Geometrins utveckling under romartiden
Rom grundades 753 f.Kr. och utvecklades till ett imperium. För att motverka makt- förhållanden från tidigare kungar skapades en republik. Republiken varade mellan 510- 31 f.Kr och tiden delas in i tre epoker. I den gamla republiken övertogs hela Italien och under den klassiska republiken hade romarna en stabil regering. Detta ledde till att Rom fick en ledande ställning i Medelhavsområdet och gradvis tog kontrollen över den Helleniska världen. Den sista fasen av romarriket är århundradet med inbördes krig.
2.7.1 Arkimedes
Arkimedes, en stor matematiker, vetenskapsman och ingenjör, levde på 200-talet f.Kr och verkade i Syracusa, som vid den tiden tillhörde Grekland. Arkimedes var en handlingskraftig man. Han genomförde åtskilliga av sina idéer och utförde flera ingenjörsarbeten till befolkningens nytta. Förutom dessa verk var Archimedes en av anledningarna till att Syracusa under fyra år kunde hålla tillbaka de romerska styrkorna.
I sitt försvar hade invånarna i Syracusa, de av Arkimedes konstruerade krigsmaskinerna.
En av konstruktionerna var en katapult som slungade iväg stora bumlingar mot fienden.
Romarna insåg dock att Arkimedes kunskaper var värdefulla så den romerske konsuln Marcus Claudius Marcellus beordrade att han skulle fångas levande. Trupperna skulle, efter att ha fångat in Archimedes, visa honom respekt och föra honom till det romerska riket. Detta skedde dock inte till Marcellus förtvivlan. Istället säger historien att en romersk soldat kom, med draget svärd, till den plats där Archimedes satt och studerade geometriska figurer. I sanden hade Arkimedes ritat cirklar. Sanden användes för att skissa i, ty att skriva ner skisserna, var enligt Arkimedes onödigt i detta skede. Den instormande soldaten krävde att Arkimedes skulle uppge sitt namn men han var så inne
i de geometriska tankarna att han istället sa: ”Rubba inte mina cirklar” och pekade på skisserna. Soldaten ansåg att Arkimedes visade för lite respekt för romarna och svarade med att sticka ner honom med svärdet.
Arkimedes sista ord ”Rubba inte mina cirklar” är troligtvis ett resultat av de historiska berättelserna. [Thompson, 1996, s279] skriver att de ord, som den romerska soldaten inte tycke om, kunde istället ha varit ”Trampa inte i diagrammet, människa”.
Figur 4. Archimedes Palimpsest [Scriba/Schreiber, 2002]
I början av 1900-talet upptäcktes flera av Archimedes matematiska verk på grekiska pergament, av J L Heiberg. Heiberg upptäckte att handskriften från pergamenten någon gång hade blivit avskrapade och återanvänds för sakrala texter. Metoden att återanvända pergament på detta sätt kallas palimpsest [Johanson, 2004]. Detta gjorde att dessa pergament blev bevarade och en rekonstruktion av Archimedes texter kunde utföras.
Rekonstruktioner av handskrifter från gamla pergament pågår än i dag.
2.7.2 Apollonius
Apollonius föddes i Perga omkring 262 f.Kr. och dog i Alexandria 190 f.Kr. Han var den sista av de stora grekiska matematikerna. Som ung kom Apollonius till Alexandria, där han studerade för Euklides efterträdare. En viktig slutsats som Apollonius beskrev var sambandet för de olika kägelsnitten; ellips, parabel och hyperbel. Redan tidigare hade många grekiska matematiker förstått att det bildades tre olika kurvor i skärningen mellan en kon och ett plan. Exempelvis hade både Euklides och Archimedes blivit medvetna om detta förhållande. Definitionen av en kon samt de kägelsnitt som bildas i skärningen med ett plan beskrivs i avsnitt 3.6.1. Det generaliserade Pythagoras sats, parallellogramsatsen, som tillskrivits Apollonius behandlas i avsnitt 3.6.2.
Inom Grekisk geometri anses Apollonius teorier kring kägelsnitten tillhöra en av höjd- punkterna. Hans arbete har senare använts av bland annat Isac Newton när denne utformade lagarna om gravitationen.
2.8 Geometrins utveckling under det senaste millenniet
Efter romerska rikets fall, fram till mitten av 1000-talet, tog nästan ingen matematisk aktivitet plats i Europa. Istället var det arabländerna som grundade akademier för matematik, vetenskap och medicin.
Många verk från den romerska tiden har gått förlorade, vissa i samband med att biblioteket i Alexandria brandhärjades vid flera tillfällen. Araberna beskylls, i samband med erövringen av Alexandria 630 e.Kr., för att vara orsaken till att biblioteket brändes ner. Detta är troligtvis inte sant eftersom det är med hjälp av översättningar från arabiska till latin som många viktiga matematiska skrifter finns bevarade. Euklides Elementa återintroducerades till västvärlden på 1100-talet.
Ända fram till 1400-talet skilde man på två delar inom geometrin. Dels den elementära geometrin som bygger på Euklides grundläggande definitioner om punkter och linjer. I den högre geometrin tar man även hänsyn till kägelsnitten. Dessa delar kunde framställas med hjälp av passare och linjal och med ett begränsat antal konstruktions- steg. Mer information om kägelsnitt, se avsnitt 3.7.
Under 1400-talet skulle det dock komma nya tekniker för hur den grekiska geometrin utvecklades. Rene du Perron Descartes (1596-1650) introducerade algebran som ett verktyg inom geometrin. Algebra hade givetvis tidigare används av Babylonierna och de grekiska matematikerna, men fick nu en tydligare betydelse. Descartes beskrev även grunderna för den analytiska geometrin. Den analytiska geometrin betyder att man, med hjälp av koordinatsystem och algebra, kan studera räta linjer, kurvor, plan och ytor.
Redan under 1400-talet började renässanskonstnärerna måla med en dimension på djupet. Det var få som hade kunskap om vad perspektivmålning innebär. Även inom teatern börjande man under 1500-talet använda sig av perspektiviskt målade bakgrunder, vilket skulle bli grunden för den projektiva geometrin. Konstnärerna strävade efter att efterlikna verkligheten i sina målningar och detta skapade ett behov av att med geometrins hjälp ta fram redskap för hur perspektiven skulle skapas. De frågor som uppstod lämnades över till matematikerna för att finna svar, däribland Desargues [Ulin, 2000].
Templet Parthenon på Akropolis i Athen, som uppfördes 447-438 f.Kr visar att perspektivets effekter var kända redan på den tiden. Byggnadsverket har uppförts på så sätt att det förstärker byggnadens perfekta proportioner. Kolonnerna lutar något inåt och avståndet mellan dem är något mindre vid hörnen.
Inom den moderna geometrin är det den högre geometrin som vunnit mark. Den franske ingenjören och arkitekten Gérard Desargues (1591-1662) intresserade sig för geometri under en tid då han verkade i Paris. Desargues bevisade en viktig sats om perspektiv som föll i glömska. Satsen återupptäcktes under 1800-talet vilket utgör en fundamental sats inom den projektiva geometrin. Grunderna för den projektiva geometrin och Desargues sats, beskrivs i avsnitt 3.8.
På senare tid har utvecklingen av den högre geometrin gått snabbt och detta har lett till att geometrin har delats upp i flera specifika områden. Gemensamt för dessa inriktningar är att studera geometri i fler dimensioner än två och förhålla sig till detta med hjälp av klassisk geometri.
Bland Euklides postulat är det hans femte postulat, parallellpostulatet (avsnitt 3.3), som matematiker genom åren har diskuterat och argumenterat emot. Även Euklides borde ha känt till att det femte postulaten inte är en konsekvens av de första fyra. Idag vet vi att det femte postulatet är oberoende av de andra postulaten. Vi kan konstruera geometrier där det femte postulatet inte är giltigt, men där allt i övrigt fungerar som för Euklides plan, det vill säga icke-Euklidisk geometri.
Den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss (1777-1855) var troligtvis den förste som upptäckte detta. Innan Gauss har det funnits andra matematiker som arbetat med att finna bevis mot Euklides femte postulat. Gauss publicerade aldrig sina upptäckter, ty vid denna tid var det Euklides geometri som hade en särställning inom den katolska kyrkan [Holmes, 2002].
I början av 1800-talet utvecklades många nya geometriska system. Många matematiker har försökt att bevisa det faktum att Euklides parallellpostulat är oberoende av de andra fyra postulaten. Den ryske matematikern Nicholai Lobatjevski utvecklade det första exemplet på icke-euklidisk geometri. Lobatjevski fann att vinkelsumman i en triangel kunde härledas i två alternativa geometrier och han härledde sina satser utan att använda sig av Euklides femte postulat, parallellpostulatet. Den ungerske matematikern Janos Bolyai presenterade ungefär samtidigt ett eget arbete med samma grundtankar som Lobatjevski [Johansson, 2004].
Det skulle dock inte vara varken Lobatjevski eller Bolyai som kom med det verkliga genombrottet för den icke-Euklidiska geometrin. Det skulle den tyske matematikern Bernhard Riemann stå för. Riemann föddes 1826 och studerade i Göttingen. 1854 presenterade Riemann, Om geometrins grundläggande hypoteser, som ligger till grund för den icke-euklidiska geometrin. Han introducerade geometrier i n dimensioner och metoder för att mäta exempelvis avstånd och krökningar i rummet för objekt i n dimensioner [Johansson, 2004].
Geometrins historiska utveckling har åstadkommits genom matematikernas försök att beskriva verkligheten. Överallt i naturen finns det geometriska mönster för oss att upptäcka och beskriva med hjälp av matematiken. Genom att skapa matematiska modeller kan vi förstå de fenomen som vi ser och för att förutspå katastrofer. Kaosteorin tillsammans med datoriserade bilder av fraktaler beskriver hur och när kaos uppträder i en matematisk modell. Utvecklingen av kaosteorin gjordes på 1960-talet och utvecklingen av geometrin som helhet kommer att fortsätta under lång tid framöver.
Kapitel 3
Introduktion till vissa områden inom geometrin
3.1 Inledning
I detta kapitel skall vi titta närmare på några intressanta idéer som de historiska personerna kommit fram till. Dessa insikter används inom matematiken idag. De områdes som
presenteras har valts utifrån den historiska berättelse som presenterades i kapitel två.
Nedan följer en sammanställning av detta kapitels avsnitt med hänvisningar till föregående kapitel för att läsaren enkelt skall kunna sätta in problemen i den historiska utvecklingen.
- Konstruktion med enbart passare och linjal, se avsnitt 2.5
- Geometri enligt Euklides och Euklides bevis av Pythagoras sats, se avsnitt 2.6 - Ptolemaois sats, se avsnitt 2.6
- Geometri enligt Apollonius, se avsnitt 2.7 - Projektiv geometri, se avsnitt 2.8
- Kägelsnitt i R2 , se avsnitt 2.8.
3.2 Konstruktion med enbart passare och linjal
Vid användningen av passare och linjal finns det vissa regler för vad man får göra. Beroende på vilken typ av passare som används kan olika konstruktioner skapas. Följande regler är avsedda för en passare, Euklidisk passare, som faller ihop så fort som den lyfts från pappret, vilket innebär att man kan inte använda passaren för att förflytta en sträcka.
Regler för tillåten användning av passare och linjal:
En bestämd mängd punkter är given. En punkt konstrueras om det är en skärningspunkt mellan två linjer, två cirklar eller en linje och en cirkel som är gjorda enligt följande två punkter.
1. Linjalen kan användas för att rita en linje som passerar två givna eller tidigare konstruerade punkter och för att förlänga linjen godtyckligt i båda riktningarna.
2. Passaren kan användas för att rita en cirkel som ges av en given eller redan konstruerad punkt som centrum och som passerar genom en redan given eller redan konstruerad punkt.
Dessa regler kallas även för Euklides verktyg. Med hjälp av ovanstående regler kan man konstruera några till synes enkla konstruktioner men som är till stor hjälp. De enkla konstruktionerna skapar ett mönster för hur man kan lösa mer komplexa problem.
Innan vi ger tre exempel på enkla konstruktionsproblem som kan skapas med hjälp av passare och linjal följer en kort teckenförklaring. Förklaringen skall göra det enklare för läsaren att följa den steg för steg beskrivning som används vid respektive exempel.
)
;
1(A AB
ω Konstruktion av cirkel nummer 1 där centrum är i A och där cirkelns radie är AB.
=B
∩ 2
1 ω
ω Konstruktion av skärningspunkten B mellan cirkel nummer 1 och cirkel nummer 2.
)
(AB Konstruktion av en linje som passerar punkten A och punkten B.
D AB =
∩( )
ω1 Konstruktion av skärningspunkten D mellan cirkel nummer 1 och
linjen AB.
Nu till tre enkla konstruktionsproblem. Intill varje figur anges de olika konstruktionsstegen som behövs för att lösa respektive uppgift.
Problem 1. Givet vinkeln ABC, konstruera en bisektris till ∠ABC.
A
B
C D Z
w
w w
1
2 3
Figur 5. Konstruktion av en bisektris
Konstruktionssteg 1: ω1(B;AB) 2: ω1∩(BC)=D 3: ω2(A;AD) 4: )ω3(D;AD 5: ω2 ∩ω3 =Z 6:(ZB )
Problem 2. Givet linjen EF och en punkt H som inte ligger på linjen EF, konstruera en normal till linjen EF genom punkten H.
w
w
w
E G F
H
K
4
5 6
Figur 6. Konstruktion av en normal till linjen EF
Konstruktionssteg 1: ω4(H;HF) 2: ω4 ∩(EF)=G 3: )ω5(G;GF 4: )ω6(F;GF 5: ω5 ∩ω6 = K 6:(HK )
Problem 3. Givet linjen LM och en punkt N på linjen, konstruera en normal till linjen LM genom punkten N.
L M
N O
P
w w
w
7 8
9
Figur 7. Konstruktion av en normal genom punkten N på linjen LM
Konstruktionssteg 1: )ω7(N;LN 2: ω7 ∩(LN)=O 3: )ω8(L;LO 4: )ω9(O;LO 5: ω8 ∩ω9 =P 6:(PN )
Ett konstruktionsproblem som skall lösas har normalt fyra steg som måste beaktas innan en slutlig lösning av problemet erhålls.
Steg 1. Analysera problemet
Problemlösaren skall bli medveten om vilka faktorer som är kända. Därefter söker vi kopplingar mellan givna förutsättningar och det som skall åstadkommas. Denna analys används därefter i steg 2.
Steg 2. Konstruktion
Med hjälp av de regler som presenterades tidigare och enkla konstruktions- problem, exempelvis de tre som presenterats ovan, skapas en stegvis konstruktion av problemet som leder fram till EN lösning.
Steg 3. Bevis
I detta steg skall problemlösaren bevisa att den konstruerade figuren uppfyller de krav som ställdes för problemet.
Steg 4. Utredning av erhållen lösning
Utredning av lösningen innebär att vilka förutsättningar som lösningen har.
Varje steg i konstruktionen undersöks för att se om det finns FLER lösningar till problemet. Nedan illustreras ett exempel där konstruktionen av två cirklar kan ge flera olika möjligheter för skärningspunkterna.
a) b) c)
Figur 8. Skärningspunkter mellan två konstruerade cirklar, (a) visar inga skärningspunkter, (b) en skärningspunkt i tangeringspunkten mellan cirklarna och (c) två skärningspunkter.
För de grekiska matematikerna var konstruktioner i matematiken likställt med att skapa en figur. Eftersom endast vissa punkter kan konstrueras med hjälp av ovanstående regler kunde de grekiska matematikerna inte lösa de tre klassiska problemen som beskrevs i avsnitt 2.5.
3.3 Geometri enligt Euklides
Euklides geometri bygger på en systematisk och logisk uppbyggnad där man med hjälp av axiom och satser bevisar att någonting gäller generellt för alla företeelser med samma förutsättningar. Utgångspunkterna, axiom och postulat, i ett bevis eftersträvas att vara så få som möjligt. [Lindahl, 1987, s8] beskriver det teoretiska systemet på följande sätt:
”Ett av kraven på ett teoretiskt system är att det skall vara motsägelsefritt. Det skall inte gå att ur axiomen bevisa satser, som strider mot varandra. Man strävar därför efter att i varje ha ett så litet antal axiom som möjligt. Därigenom minskar risken för att det ska finnas någon inbyggd motsägelse mellan axiomen.”
Euklides ordnade sin teori med ett system av få axiom och kunde således bevisa ett stort antal geometriska satser. Rent intuitivt anser de flesta att Euklides axiom stämmer väl överens med våra vardagliga erfarenheter och skall därför anses självklara [Lindahl, 1987]. Matematiker har under senare tid utvecklat även andra geometriska axiommodeller.
I den första boken av Euklides Elementa ges grunderna för geometrin. Grundbegreppen, såsom punkt, linje, plan, vinkel och figur, anses så enkla att de inte kan beskrivas med enklare begrepp. Grundbegreppens definitioner är sådana att vi förstår dem intuitivt och att de inte behöver ifrågasättas. De definitioner, postulat och gemensamma axiom av Euklides, som anges i innevarande avsnitt är hämtade ur [Johansson, 2004]:
Definitioner av Euklides
1. En punkt är det som saknar delar 2. och en linje är en längs utan bredd 3. och gränserna på en linje är punkter.
4. En rät linje är en linje som ligger likadant för var och en av sina punkter 5. och en yta är det som bara har längd och bredd
6. och gränserna av en yta är linjer.
7. En plan yta är en yta som ligger likadant för var och en av sina linjer
8. och en plan vinkel är böjningen mot varandra hos två linjer i ett plan, som möter varandra och inte ligger i en rät linje
9. och om linjerna som innehåller vinkeln är räta, kallas vinkeln rätlinjig
10. och när en rät linje, ställd mot en rät linje, gör de angränsande vinklarna lika, så är var och en av de lika vinklarna rät, och den räta linjen som står på den andra kallas en normal till den som den står på.
11. En trubbig vinkel är en vinkel som är större än en rät vinkel 12. och en spetsig vinkel är en vinkel som är mindre än en rät vinkel.
13. En rand är det som är kant av något.
14. En figur är det som innehålls av en rand eller av ränder.
15. En cirkel är en plan figur som innehåller en linje sådan att alla räta linjer som faller mot den från en punkt av dem, som ligger inom figuren, är lika
16. och punkten kallas centrum för cirkeln
17. och en diameter för cirkeln är varje rät linje som dras genom centrum och avslutas i båda riktningarna av cirkelns omkrets, och en sådan rät linje delar också cirkeln i två delar 18. och en halvcirkel är den figur som innehålls av diametern och den omkrets som den skär
av. Och centrum för halvcirkeln är samma som för cirkeln.
19. Rätlinjiga figurer är sådana som innehålls av räta linjer, tresidiga figurer sådana som innehålls av tre, fyrsidiga sådana som innehålls av fyra och mångsidiga sådana som innehålls av fler än fyra räta linjer
20. och bland tresidiga figurer är en liksidig triangel den som har tre sidor lika, en likbent triangel den som har två av sina sidor lika och en oliksidig triangel den som har sina tre sidor olika
21. och vidare, bland tresidiga figurer är en rätvinklig triangel den som har en rät vinkel, en trubbvinklig triangel den som har en trubbig vinkel och en spetsvinklig triangel den som har sina tre vinklar spetsiga
22. och bland fyrsidiga figurer är en kvadrat den som är både liksidig och rätvinklig; en rektangel den som är rätvinklig men inte liksidig; en romb den som är liksidig men inte rätvinklig; en romboid den som har sina motsatta sidor och vinklar lika, men varken är liksidig eller rätvinklig. Och låt andra fyrsidingar kallas trapetser.
23. Parallella räta linjer är linjer som är i samma plan och, om de förlängs obegränsat i var riktning, inte möter varandra i någondera riktningen.
Vi kunde notera att enligt [Holme, 2002] upptas 22 definitioner och enligt [Johansson, 2004]
upptas 23 definitioner av Euklides. Definition 6 saknas i presentationen enligt [Holmes, 2002].
Efter att ha formulerat definitionerna fortsätter Elementa med Euklides postulat:
Euklides postulat Låt följande krävas:
1. Att dra en linje från varje punkt till varje punkt
2. och att fortsätta en ändlig rät linje kontinuerligt i en rät linje 3. och att med varje centrum och avstånd kan en cirkel beskrivas 4. och alla räta vinklar är lika
5. och att, om en rät linje faller över två räta linjer och gör de inre vinklarna på samma sida mindre än två räta vinklar, så möts de två räta linjerna, om de förlängs obegränsat, på den sida på vilken vinklarna är mindre än de två räta.
De första fyra postulaten är uppenbara medan det femte postulatet har en speciell betydelse.
Det femte postulatet är oberoende av de andra fyra postulaten och det tog över två tusen år för senare matematiker att inse detta. Upptäckten av den icke-euklidiska geometrin har gett geometrin nya dimensioner. Tidigare var geometri synonymt med Euklidisk geometri.
För att bygga upp geometrin använde sig Euklides dels av ovan definitioner och postulat och dels av gemensamma axiom av en mer generell karaktär. De gemensamma axiomen fungerade för alla områden där mänskliga tankar flödade.
Euklides gemensamma axiom
1. Ting som är lika till samma ting är också lika varandra 2. och om lika läggs till lika blir helheterna lika
3. och om lika dras från lika blir återstoden lika 4. och ting som sammanfaller med varandra är lika 5. och det hela är större än delen.
Euklides använde sig inte av eget material utan samlade in material från andra matematiker och flera böcker ur Euklides Elementa tros ha skrivits av andra i sin helhet. Det viktiga som Euklides åstadkom var att samla in och systematiskt skapa en komplett bild över den tidens matematik. Detta gjorde att det långt senare var möjligt att förstå de matematiska verk som var gjorda av tidigare matematiker.
3.4 Euklides bevis av Pythagoras sats
I följande avsnitt visas Euklides berömda och eleganta bevis av Pythagoras sats. Euklides använde noggrant de definitioner, postulat och gemensamma axiom som beskrevs i föregående avsnitt. Euklides bevis upptog åtskilliga sidor. För att enklare förstå resonemanget använder vi oss inte av Euklides egna ord utan av en modernare notering.
Pythagoras sats enligt Euklides
I en rätvinklig triangel är kvadraten på motstående sida av den räta vinkeln lika med (summan av) kvadraterna på de sidor som innehåller den rätvinkliga triangeln.
2 2
2 ( ) ( )
)
(AB + BC = AC (1)
A
B
C
D E
F
G
H
K
L
Figur 9. Euklides illustration till hans bevis av Pythagoras sats.
Resonemanget nedan hänvisar till beteckningar enligt figur 9.
Givet: En rätvinklig triangel ∆ABC.
Den rätvinkliga triangeln omskrivs av tre kvadrater med sidlängderna AB, AC respektive BC.
Normalen till hypotenusan AC genom punkten B delar kvadraten med sidlängden AC i två rektanglar med baserna DL respektive DA. De två rektanglarna som bildades har båda höjden lika med DA.
Detta leder till att följande två delar måste bevisas:
1) den första rektangeln har en area som är lika kvadraten mot AB, DA
DL AB)2 = ⋅
( , och
2) den senare rektangeln har en area som är lika kvadraten mot BC, DA
LE BC)2 = ⋅
( .
Bevis av 1) ∆ACF ≅ ∆ADB Trianglarna är kongruenta eftersom deras sidor är
parvis lika.
∆ACF är en triangel med basen AF och höjden AB. Arean av ∆ACF är således hälften av den kvadrat som står mot sidan AB.
∆ADB har basen AD och höjden DL. Detta ger att arean av ∆ADB är hälften av den area som bildas av rektangeln med basen DL och höjden DA.
DA DL AB)2 = ⋅
( (2)
Påstående 1) är således bevisat och beviset för 2) följer analogt och vi får att arean av den senare rektangeln blir,
DA LE BC)2 = ⋅
( (3)
Summan av areorna för de två rektanglarna enligt ekvation (2) och (3) ger,
2 2
2 ( ) ( )
)
(AB BC AC
DA LE DA
DL⋅ + ⋅ = + = (4) □
I kapitel 4 jämförs geometrin i fyra olika läroböcker för gymnasieskolan som använts mellan 1962-1999. Avsnitt 4.4 innehåller en jämförelse mellan läroböckernas framställning av Pythagoras sats.
3.5 Ptolemaios sats
Ptolemaios använde inte det matematiska beräkningarna ur ett heliocentriskt perspektiv. Han fortsatte att förklara astronomin ur ett geocentriskt perspektiv, det vill säga att jorden befann sig i universums mitt och att solen och månen kretsade kring jorden. Ptolemaios utvecklade trigonometriska metoder för att beskriva jordens läge i universum. Han introducerade korda- funktioner, )crd (v , som beskrivs på motsvarande sätt som för de trigonometriska funktionerna; )sin v , )( cos v och ( tan v . Dessa insikter om kordans betydelse ledde till ( ) Ptolemaios viktiga sats.
Troligtvis var Ptolemaios sats redan känd av en grekisk matematiker vid namn Aristarchus från Samos, 310-230 f.Kr. Aristarchus var en föregångare till Kopernikus i det att han före- språkade att universum var heliocentrisk, med solen i universums mitt.
Ptolemaios sats
I en inskriven fyrhörning är summan av produkterna av motstående sidor lika med produkten av diagonalerna,
BD AC DA BC DC
AB⋅ + ⋅ = ⋅ (5)
A B
C
D E
Fig 10. Fyrhörningen ABCD inskriven i en cirkel.
Med avseende på figur 10 vill vi visa att följande gäller:
BD AC DA BC DC
AB⋅ + ⋅ = ⋅ (6)
Välj punkten E så att följande vinklar blir lika stora, DBC
ABE=∠
∠ (7)
Villkor för randvinklar som står på samma cirkelbåge ger, BDC
BAE =∠
∠ (8)
DBC DAC =∠
∠ (9)
ADB ACB=∠
∠ (10)
Två trianglar som vardera innehåller två vinklar av samma storlek är likformiga. Med hjälp av lika vinklar enligt (7)-(10) ovan får vi följande samband mellan likformiga trianglar i figuren,
CDB EAB ∆
∆ ~ (11)
CEB DAB ∆
∆ ~ (12)
Relation mellan likformiga trianglar ger BD AE DC DC AB
BD AE
AB = ⇒ ⋅ = ⋅ (13)
BD CE DA DA BC
BD CE
BC = ⇒ ⋅ = ⋅ (14)
Addition av uttrycken (13) och (14) avseende relationen mellan likformiga trianglar ger, BD AC BD CE AE BD CE BD AE DA BC DC
AB⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =( + ) = ⋅
BD AC DA BC DC
AB⋅ + ⋅ = ⋅ (15) □
3.6 Geometri enligt Apollonius
Apollonius verkade efter Euklides och det är troligt att han utvecklade sina egna matematiska färdigheter genom att studera Euklides Elementa. Apollonius skrev ett stort verk, omfattande totalt 8 böcker, som har titeln Konika [Thompson, 1996]. Apollonius framställning av
kägelsnitten har haft stor betydelse för utvecklingen av den astronomiska världsbilden under 1600-talet. Apollonius sätt att konstruera kägelsnitten samt ett bevis för det generaliserade Pythagoras sats som tillskrivs Apollonius visas i detta avsnitt.
3.6.1 Apollonius kägelsnitt
Tidigare grekiska matematiker kände troligtvis till kurvorna ellips, parabel och hyperbel enligt följande. De utgick från att toppvinkeln hos en kon kan ha olika vinklar. Vinkeln kan antingen vara spetsig, rätvinklig eller trubbig och beroende på denna vinkel gav skärningen med ett plan de olika kurvorna.
Figur 11. Tidigare grekiska matematikers kägelsnitt
Till skillnad från tidigare grekiska matematiker definierade Apollonius en kon genom att låta en linje rotera. På detta sätt skapades den dubbla konen och denna definition är det som vi än idag använder oss av. Det var Apollonius som gav de olika kurvorna, som bildas i skärningen med ett plan, namnen ellips, parabel och hyperbel.
Figur 12. Kägelsnitt enligt Apollonius
Om vi observerar de kurvor som alstras i figuren ovan ser vi att ellipsen och parabeln är engreniga kurvor. Apollonius var först med att beskriva hyperbeln, med två grenar, som en kurva [Thompson, 1996].
Apollonius var en förgrundsfigur i arbetet med en algebraisk notering av geometrin och har senare använts av Descartes och Fermats. För mer information om kägelsnitt, se avsnitt 3.7.
3.6.2 Generaliserad Pythagoras sats, parallellogramsatsen
Generaliserad Pythagoras sats, även kallad parallellogramsatsen, är tillskrivet Apollonius.
Med hjälp av nutidens algebraiska beteckningar för olika geometriska problem visas här ett modernt bevis av denna sats.
Generaliserad Pythagoras sats, parallellogramsatsen
Låt ABCD vara ett parallellogram med sidorna AB=CD=a, BC =DA=boch med diagonalerna AC =moch BD=n så är
) 2(
1 2 2
2
2 b m n
a + = + (16)
A B
D C
E F
b
a
n m y
x
Figur 13. Generaliserad Pythagoras sats
Låt oss bevisa att,
) 2(
1 2 2
2
2 b m n
a + = + (17)
Låt AE= xoch DE= enligt beteckningar i figur 13 ovan. Detta innebär att vi får att y x
BF = och FC= . Kongruenta trianglar ger, y BFC
AED≅∆
∆ (kongruenta trianglar) (18)
Genom att använda Pythagoras sats för rätvinkliga trianglar, som beskrevs i avsnitt 3.4, kan vi ställa upp följande tre samband,
2 2
2 x y
b = + (19)
2 2 2
2 2
2 (a x) y a 2ax x y
m = + + = + + + (20)
2 2 2
2 2
2 (a x) y a 2ax x y
n = − + = − + + (21)
Addition av ekvation (20) och (21) ger:
) (
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
2 n a x y a x y
m + = + + = + + (22)
Substitution av ekvation (19) i ekvation (22) ger:
) (
2 2
2 2 2 2 2
2
2 n a b a b
m + = + = + (23)
Förenkling av ekvation (23) ger, ) 2(
1 2 2
2
2 b m n
a + = + (24) □
3.7 Kägelsnitt i R
2Det plan som skär genom en kon ger upphov till de så kallade kägelsnitten, se figur 12 i avsnitt 3.6. De olika icke-urartade kägelsnitten; ellips, parabel och hyperbol, kan beskrivas av en algebraisk kurva i R2. Den generella formen för en sådan kurva anges av en andragrads kurva enligt,
0 )
,
(x y = Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F =
q (25)
Konstanterna A, B, C, D, E och F är godtyckliga konstanter och för A, B, C och D gäller att de ej kan vara 0 samtidigt.
Om en mängd lösningar
( )
{
, | ( , )=0}
= x y q x y
K (26)
till den korresponderande ekvationen q(x,y)=0och som ej är en tom mängd, kallas mängden för en algebraisk kurva av andra graden [Hansen, 1998].
Ekvationen för en andragrads kurva (25) kan se besynnerlig ut men för många kägelsnitt blir formeln betydligt enklare. För vissa kägelsnitt skapas vissa urartade specifika fall. Exempelvis bildar ellipsen antingen en cirkel om skärningsplanet placeras horisontellt eller krymper till en punkt om skärningsplanet passerar genom konens toppvinkel. Andra urartade fall som kan uppstå är att det hyperboliska kägelsnittet kan bli endast två linjer eller att parabolen bildar endast en linje.
3.7.1 Ellipsens ekvation
Tänk dig att du studerar skuggbilden av en boll. Solen lyser på en boll som i sin tur ger upphov till en ellipsformad skugga. Då solen befinner sig i zenit blir skuggan cirkelformad.
Den bild som beskrivs ovan kan matematiskt beskrivas som en cirkulär cylinder, med diametern b [Hansen, 1998]. Denna cylinder skärs av ett plan med xy-koordinater, där x avser storaxel, y avser lillaxel och origo i punkten O. Planet bildar en vinkel u i punkten O med cylinderns axel, där
0< u ≤π2
, se figur 14. Då vinkeln 2
=π
u bildar skärningen med ett plan en cirkel med diametern b och för andra värden för u uppkommer en ellips.
A
B' B
b a y
x
u b
Figur 14. En rak cylinder som skärs av ett plan genom punkten O
A
B
O B'
ea u
u
a
b
Figur 15. Sektion genom cylinderns axel
Skärningsvinkeln u mot cylinderns axel ger upphov till en rätvinklig triangel. Låt ellipsens excentricitet, med avseende på vinkeln u vara,
) cos(u
e= (27)
Den rätvinkliga triangeln OB´B ger således att sträckan B´B har längden ea.
Pythagoras sats ger,
2 2 2
2 e a a
b + = (28)
Ekvivalent får vi ur ekvation (28) följande samband,
2 2 2
1 a
e = b
− (29)
Låt punkten P vara en godtycklig punkt på ellipsen och bestäm ett samband mellan koordinaterna (x,y) som beskriver ellipsens punkter.
A y
x
u
b P
P´
C
a
x'
Figur 16. Punkten P=( yx, )på ellipsen
Figur 16 illustrerar punkten P på ellipsen samt cylinderns omkrets där skärningsplanet skär cylinderns axel. I figuren ser vi att punkten P ligger på ellipsen om vi skapar en rätvinklig triangel där den räta vinkeln i punkten P´ motsvarar en punkt på cylinderns diameter, b.
u
P(x,y)
P'(x * sin(u),y) x
x * sin(u) C(0,y)
Figur 17. Sektion genom punkten P
Med hjälp av figur 17, vilket avser den rätvinkliga triangel som ses i figur 16, kan vi bestämma koordinaterna för punkten P´.
Bilda den rätvinkliga triangeln OP´P, där O avser skärningspunkten för xy-koordinaterna.
Pyhtagoras sats ger,
(
x⋅sin(u))
2 + y2 =b2 (30)Trigonometriska ettan och ellipsens excentricitet enligt ekvation (27) och (29) ger,
2 2 2 2
2( ) 1 cos ( ) 1
sin a
e b u
u = − = − = (31)
Substitution av ekvation (31) i ekvation (30) ger,
2 2 2 2 2
b y a x
b ⋅ + = (32)
Ekvation (32) är ekvivalent med, 1
2 2
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝ +⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
b y a
x (33)
Detta är den formel för ellipsen som vi är vana att se den. Vi kan sammanfatta detta med följande sats [Hansen, 1998],
Sats 1 Ellips
För ett xy-koordinatsystem i det Euklidiska planet, kan ellipsen med storaxel a och lillaxel b beskrivas med fölande ekvation
1
2 2
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝ +⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
b y a
x (34)
3.7.2 Ellipsens brännpunkter
Ellipsen karaktäriseras av geometriska egenskaper. En sådan egenskap är förhållandet mellan ellipsens två brännpunkter.
-a a
-b
b P(x,y)
F1 F2 x
y
Figur 18. Ellips
I ovanstående figur visas även ellipsens brännpunkter, F1 och F2. Brännpunkterna förstås enkelt genom att föreställa sig att ellipsen på insidan är en spegel. Antag att två personer står på varsin brännpunkt. Oavsett i vilken riktning de båda personerna står så kommer de att kunna se varandra.
Ett annat intressant faktum är att summan av avstånden till brännpunkterna till en punkt på ellipsen är konstant. Detta kan sammanfattas i följande sats,
Sats 2 Ellipsens brännpunkter
En ellips innehåller alla punkter i planet så att summan av dess distans till brännpunkterna är konstant, nämligen 2a där a motsvarar längden av halva storaxeln.
Låt oss visa att,
a PF
PF1+ 2 =2 (35)
Beteckna alla punkter på ellipsen med P=( yx, )
Låt x=acos(ϕ),y=bsin(ϕ) (36)
Med hjälp av Pythagoras sats bestämmer vi därefter avstånden från brännpunkterna till punkten P på ellipsen,
) ( sin )
) cos(
( )
( 2 2 2 2 2 2
1 x c y a ϕ c b ϕ
PF = + + = + + (37)
) ( sin )
) cos(
( )
( 2 2 2 2 2 2
2 x c y a ϕ c b ϕ
PF = − + = − + (38)
Efter förenkling av uttrycken (37) och (38) erhålls följande avstånd, )
1 a ccos(ϕ
PF = + (39)
)
2 a ccos(ϕ
PF = − (40)
Summering av de förenklade uttrycken enligt (39) och (40) ger, a
PF
PF1+ 2 =2 (41) □
Beskrivning av en ellips är en viktig kurva. Med hjälp av formeln för en ellips kan vi beskriva planeternas omloppsbanor runt solen. 1609 beskrev Kelpler planetens Mars ellipsformade
Har du däremot för avseende att skapa någonting elliptiskt kan du enkelt skapa denna form genom att placera två stift i brännpunkterna och förbinda dessa brännpunkter med en tillräckligt långt band. För att skapa ellipsen för du en markör längs bandet så att bandet hålls sträckt. I stället för en cirkel, som bildas vid användandet av en passare, skapas en ellips, se figur 18.
3.7.3 Parabel och hyperbel
Det är inte enbart ellipsformade kurvor som beskrivs av kägelsnitten. Beroende på skärningsplanets vinkel mot konens axel kan även parabel- och hyperbolkurvor bildas. Andra himlafenomen i vårt solsystem, exempelvis vissa kometer, kan beskrivas av kurvorna, parabel och hyperbel.
x y
P(x,y)
F(c,0) Q(-c,y)
-c
L
Figur 19. Parabel
Parabeln får vi genom att omforma en ellips. Låt den ena av brännpunkterna hållas fixerad och låt den andra flyttas mot oändligheten. Brännpunkten som hålls fixerad kommer således att bestå av strålar, exempelvis ljus- eller radiovågor som är parallella med x-axeln. En parabel beskrivs av formeln,
4cx= y2, (42)
där 2c avser avståndet mellan parabelns brännpunkt och dess styrlinje.
Sats 3 Parabel
En parabel definieras så att för en fixerad punkt P(x,y) i planet är avståndet från punkten till brännpunkten, F och avståndet från punkten till en given rät linje, styrlinjen, lika.
Välj ett koordinatsysten så att linjen L har ekvationen x+ c=0 och att brännpunkten F har koordinaterna )F =(c,0 . Eftersom avståndet mellan FP och PQ skall vara lika kan vi ställa upp följande samband;
c x y c
x− )2 + 2 = +
( (43)
Förenkling av ekvation (43) ger, cx
y2 =4 (44) □
