GAUSS’ DIVERGENSSATS

1 av 10

GAUSS’ DIVERGENSSATS

Låt = ( , , ) vara ett vektorfält definierad i ett öppet område Ω. Låt K

⊂

Ω vara ett kompakt område med randen ∂K som består av en eller flera ytor .

Flödet Φ av vektorfält = ( , , ) ut ur kroppen K genom ytan kan beräknas med hjälp av GAUSS’ formel

Φ = ∬ ∙_{| |} = ∭ ( )

där div( ) = + + å flödet Φ = ∭ ( )

Notera att

F r

är ett - vektorfält i K och på randen .

Med andra ord: Vi får använda GAUSS’ formel endast om , , och derivator är kontinuerliga i K och på randen .

Uppgift 1. Beräkna flödet av

F r x

₂

i r y

₂

r j z

₂

k r + +

=

ut ur kroppen som definieras av :

1

0 ≤ x ≤

^,

0 ≤ y ≤ 1

^,

⁰ ≤ z ≤ ¹

^.

Lösning:

z y x F

div ( r ) = 2 + 2 + 2

[ ]

[ ] [ ]

[

^{2 2}

]

³

0 2 1

1 2 2

0 2 1

2 )

2 2 2 (

) 2 2 2 (

1

0

1

0

2 1

0 1

0

1

0 1

0

2 1

0 1

0 1

0

∫

∫

∫∫

∫∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

= +

= +

+

= +

+

= +

+

= +

+

= +

+

=

= Φ

dx x

dx y y xy dxdy

y x

dxdy z

yz xz dxdydz

z y x

dxdydz z

y x dV

F div

K K

r

Svar: Φ =3

Uppgift 2. Beräkna flödet av

F r x y z r i x y z r j y z k r ) 2 ( ) 3 ( ) 5

( + + + + + + +

=

ut ur kroppen

1

0 ≤ x ≤

^,

0 ≤ y ≤ 2

^,

⁰ ≤ z ≤ ⁴

^.

Lösning:

( ) = + + = 5 + 3 + 2 = 10

2 av 10

80 4 2 1 10 ) ( 10

10 = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

=

=

Φ ∫∫∫ ^{div F dV} ∫∫∫ ^{dxdydz Volymen K}

K K

r

Svar: Φ =80

Uppgift3. Beräkna flödet av

F r y z i r y z r j z k r 5 ) 3 ( )

( + + + +

=

ut ur klotet

+ + ≤ 4

Lösning:

( ) = + + = 0 + 3 + 5 = 8

π

π

3

2 256 3 8 4 ) ( 8

8 = ⋅ = ⋅ ⋅ ³ =

=

=

Φ

∫∫∫

^divFdV

∫∫∫

^{dxdydz Volymen K}

K K

r

Anmärkning1 : Volymen av klotet med radien R är lika med V= ³

π

3 4⋅R

Anmärkning2 : Om man inte kan formeln för klotets volym då kan man använda sfäriska koordinater och beräkna direkt :

π π

θ θ ϕ

θ θ

ϕ

π π

π π

3 256 3

2 8 2 8 sin

8

sin 8

8

0

2

0 2 2

0

0 2

0 2 2

0

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

⋅

=

=

= Φ

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

∫∫∫

∫∫∫

dr r d d

dr r

d d dxdydz

dV F div

K K

r

Svar:

π

3 256

Uppgift 4. Beräkna flödet av

F r x y z i r x r j x k r + + + +

= (

²

)

ut ur cylindern

+ ≤ 4, 0 ≤ ≤ 10 Lösning:

( ) = + + = 2 + 0 + 0 = 2

∫∫∫

∫∫∫

⁼

= Φ

K K

xdxdydz dV

F

divr 2

3 av 10 (cylindriska koordinater )

0 cos

2 cos

2

2

0 10

0 2 2

0 2

0 10

0 2

0

=

=

⋅

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

^πd

^ϕ

^{dr r}

^ϕ

^{rdz π}

^ϕ

^d

^ϕ

^{r dr dz}

Uppgift 5. Beräkna flödet av

F r y z i r x r j z

₂

k r )

( + + +

=

ut ur halvsfären

+ + ≤ 9, ≥ 0 Lösning:

( ) = + + = 0 + 0 + 2 = 2

∫∫∫

∫∫∫

⁼

= Φ

K K

zdxdydz dV

F

divr 2

Uppgift 6. Vi betraktar cylindern

+ = 9. ä 0 ≤ ≤ 2.

Beräkna flödet av fältet = (5 , 3 , 4 ) ut ur cylinderns mantelytan.

Lösning:

Det är enklare i den här uppgiften att beräkna flödet genom botten- och toppenytan, än flödet genom mantelytan.

Det är också enkelt att beräkna flödet genom hela ytan med hjälp av Gausssatsen. .(Anmärkning:

Gauss’ sats gäller endast för slutna ytor! )

Därför bestämmer vi först :

Φ =flödet ut ur cylindern genom hela begränsningsyta ytan

Φ =flödet genom toppenyta ut ur cylinder (samma som flödet uppåt ) Φ = flödet genom bottenyta (samma som flödet nedåt )

π π π θ

θ θ θ ϕ

θ θ

θ ϕ

π π

π π

2 81 4 81 0

2 ] / 2 [sin 2 2 cos

sin 2

sin cos

2

2 2 /

0

3

0 3 2

0

2 /

0 3

0

2 2

0

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

⋅

= Φ

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

dr r d d

dr r

r d d

4 av 10 och därefter flödet genom mantelyta Φ

Φ =Φ − Φ − Φ

i) Först beräknar vi flödet ur den hela begränsningsytan (mantelytan+ 2 basytor) med hjälp av Gauss’ sats.

div( ) = + + = 5 + 0 + 4 = 9

Flödet ut cylindern genom hela begränsningsytan ( + ) är

Φ = ∭ ( ) = ∭ 9 = 9 ( ) = 9 ∙ 3 ∙ 2 = 162

ii) Toppenytan:

z

= 2.

Därför = (− , − , 1) = (0, 0, 1) ( normalen pekar uppåt)

= ∙ = 4 ( å ä = 2)

= 8 = 8 ∙ ( ) = 8 ∙3² = 72

iii) Bottenytan: = 0.

”Ut ur cylindern” på bottenyta betyder nedåt dvs i riktningen av = ( , + , −1) = (0, 0, − 1)

= ∙ = (−4 ) ( å ä = 0)

= 0 = 0

Slutligen, flödet genom mantelyta Φ_M =Φ − Φ − Φ = 162 − 72 = 90 Svar: Flödet genom mantelyta är 90

5 av 10 Uppgift 7.

a) Beräkna totalt flöde av fältet F r x i r y r j z k r 5 5

5 + +

= ut ur cylindern x

²

+ y

²

≤ a

²

,

3

3≤ ≤

− z

.

b) Beräkna flödet av fältet F r

ut ur cylindern genom cylinderns b1) bottenyta b2) toppenyta b3) mantelyta

Lösning:

a) Totalt flöde utåt

Vi använder Gauss’ divergenssats och beräknar totalt flöde ut ur cylindern:

Eftersom ( ) = 15

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

z R y Q x F P div r

har vi

π

π

²

2

90

6 15 ) ( 15

15 )

( F dxdydz dxdydz Volymen K a a

div

K S

total

= = = ⋅ = ⋅ =

Φ ∫∫∫ ^r ∫∫∫

b1) Bottenytan

−3

= z

z

N N

x

y N

6 av 10

Eftersom “ut ur cylinder” betyder neråt på bottenytan använder vi normalen med negativ z- koordinat.

N r

botten

= − ( − z

x

′ , − z ′

y

, 1 ) = ( 0 , 0 , − 1 )

F r = ( 5 x , 5 y , − 15 ) F N r = ( − 15 ) ⋅ ( − 1 ) = 15

r o

π 15

2

) ( 15

15 dxdy Area D a

D

botten

= = =

Φ ∫∫

b2) Toppenytan

=3

z

:

Nrtop =(−zx′,−z′y,1)=(0,0,1)

F r = ( 5 x , 5 y , 15 )

F Nr =15

ro

π 15

2

) ( 15

15 dxdy Area D a

D

top

= = =

Φ ∫∫

b3) Mantelytan

Eftersom

Φ

_total

= Φ

_top

+ Φ

_boten

+ Φ

_mantel ^{har vi}

π

60 2

)

( _{top boten} a

total

mantel =Φ − Φ +Φ =

Φ

Svar: Φmantel =^60a2

π

====================================================

7 av 10

Om vi vill använda Gauss’ divergenssats för at beräkna flödet av ett vektorfält Fr =(P,Q,R)

ut ur en kropp K måste vi kontrollera att

F r

är C¹-vektorfält i K och på ∂K (dvs att

P , Q , R

är kontinuerliga och har kontinuerliga partiella derivator av första ordningen i K och på ∂K^).

Om

F r

inte är C¹-vektorfält får vi inte använda Gauss divergenssatsen.

Uppgift 8. Vi betraktar flödet av

) ) , (

) , (

)

( (

_{2 2 2 3/2 2 2 2 3/2 2 2 2 3/2}

z y x

z z

y x

y z

y x F x

+ + +

+ +

= + r

ut ur följande kroppar

a)

K

₁

= {( x , y , z ) : ( x − 2 )

²

+ ( y − 3 )

²

+ ( z − 4 )

²

≤ 1 }

, (ett klot),

b)

K

₂

= {( x , y , z ) : x

²

+ y

²

+ z

²

≤ 1 }

, (ett klot),

c)

1 }

25 16 : 9

) , , {(

2 2 2

3

= x + y + z ≤

z y x

K

(en ellipsoid)

i) Visa att div(Fr)=0

för alla

( x , y , z ) ≠ ( 0 , 0 , 0 )

.

ii) Får vi använda Gauss’ divergenssats när vi beräknar flödet ut ur klotet K₁? iii) Får vi använda Gauss’ divergenssats när vi beräknar flödet ut ur klotet K₂? iv) Beräkna flödet ut ur klotet K₁.

v) Beräkna flödet ut ur klotet K₂. vi) Beräkna flödet ut ur ellipsoiden K₃. Lösning.

i) Först beräknar vi partiella derivator

2 / 5 2 2 2

2 2 2

) (

2 z y x

x z P

_x

y

+ +

−

= +

′

^, ₂² ₂² _{2 5}²_/2

) (

2 z y x

y z Q

_y

x

+ +

−

= +

′

^och ₂² ₂² _{2 5}²_/2

) (

2 z y x

z y R

_z

x

+ +

−

= +

′

Härav får vi divergensen div( ) = + + = 0.

ii)

Ja, eftersom funktioner P, Q, R och deras derivator är kontinuerliga i

K₁

och på randen

K1

∂ ^.

iii)

Fältet har en singulärpunkt i (0,0,0) , som ligger i K₂

. Därmed får vi INTE använda Gauss sats när vi beräknar flödet ut ur klotet

K₂

.

iv) ∬ ∙

| | = ∭ ( ) = ∭ 0 = 0

8 av 10

v) Som sagt i iii) , får vi inte använda

Gauss divergenssats. Vi beräknar flöde ut ur klotet direkt med hjälp av flödesintegralen.

Vi delar sfären x

²

+ y

²

+ z

²

= 1 (randytan) i två delar

A) Övre halvsfären z = 1−x² −y²

I övre delen är riktning ut ur klotet ekvivalent med normalen riktad uppåt

) 1 , 1

, 1

( ) 1 , ,

( 2 2 2 2

1 x y

y y

x z x

z

N _{x y}

−

−

−

= −

− ′

− ′ r =

,

B) Nedre halvsfären z=− 1−x² − y²

I nedre delen av sfären är riktning ut ur klotet ekvivalent med normalen riktad nedåt

) 1 , 1

, 1

( ) 1 , ,

( 2 2 2 2

2 −

−

−

−

= −

′ −

= ′

y x

y y

x z x

z Nr _{x y}

,

A) Först beräknar vi flödet uppåt genom den övre sfären:

Vi substituerar z= 1−x² −y^{2 i}

F r

och får vektorfältet på själva ytan

) 1

, , ( 1 )

, 1 , 1 ( 1

) ) , (

) , (

) ( (

2 2 2

2

2 / 3 2 2 2 2 / 3 2 2 2 2 / 3 2 2 2

y x y y x

y x x

z y x

z z

y x

y z

y x F x

−

−

− =

−

+ = + +

+ +

= + r

Normalen på övre halvsfären : ,1)

1 , 1

( ) 1 , ,

( 2 2 2 2

1 x y

y y

x z x

z

N _{x y}

−

−

−

= −

− ′

− ′ r =

Därför:

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

1 1

1 1 1

1 x y

y x y

x y y

x N x

F + − − = − −

− + −

−

= −

⋅ r r

Flödet uppåt genom övre halvsfären är

∫∫

^{⋅ =}

∫∫

_{− −} ⁼

= Φ

D D

dxdy y x dxdy

N

F 1 2 2

1 1

r 1

r

(D är projektionen av halvklotet på xy planet, dvs cirkeln

x

²

+ y

²

≤ 1

. Vi använder polära koordinater. )

9 av 10

π π

π

θ

0 2 ) 1 1 ( 2 1

1 1

1

2

2

0 1

0

2 2

2

⋅ = − − =

= −

−

− ∫ ∫

∫∫ ^{rdr r}

r d

dxdy y x

D

(Anmärkning:

∫

₋ ^⋅rdr

r² 1

1 beräknas med hjälp av subst:

1 − r

²

= t ⇒ − 2 rdr = dt

)

Alltså flödet uppåt genom övre halvsfären är Φ1 =²

π

^.

B) På samma sätt beräknar vi flödet nedåt genom nedre halvsfären z=− 1−x² − y^{2 .}

Normalen riktad nedåt ( z-negativt) är , 1)

1 , 1

( ) 1 , ,

( 2 2 2 2

2 −

−

−

−

= −

′ −

= ′

y x

y y

x z x

z Nr _{x y}

Vektorfältet på nedre ytan är

) 1

, , ( 1 )

, 1 , 1 ( 1

) ) , (

) , (

) ( (

2 2 2

2

2 / 3 2 2 2 2

/ 3 2 2 2 2

/ 3 2 2 2

y x y

y x y x

x

z y x

z z

y x

y z

y x F x

−

−

−

− =

−

−

+ = + +

+ +

= + r

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 1

1 1 1

1 x y

y x y

x y y

x N x

F + − − = − −

− + −

−

= −

⋅ r

r ( samma som i A).

(D är projektionen av nedre halvklotet på xy planet, dvs cirkeln

x

²

+ y

²

≤ 1

; samma cirkel som i A delen. )

Därför ²

π

1 1

2 2 2

2 ⁼

∫∫

^{⋅ =}

∫∫

_{− −} ⁼

Φ

D D

dxdy y x dxdy

N Fr r

. Totalt flödet ut ur kroppen är Φ=Φ1+Φ2 =⁴

π

Svar v: ⁴

π

vi) Låt K vara det område som ligger mellan ellipsoiden och sfären

x

²

+ y

²

+ z

²

= 1

. Eftersom

0

) ( F = div r

har vi att flödet Φ ur ut kroppen är 0.

∬ ∙_{| |} = ∬ ∙_{| |} − ∬ ∙ = 0

⇒

∬ ∙

| | = ∬ ∙ = ⁴

π

(enligt v-delen) Svar vi: ⁴

π

Anmärkning: Man använder ofta beteckningen

r = r r = ( x , y , z )

och

r = r | r | = ( x

²

+ y

²

+ z

²

)

^1/2 i samband med vektorfält. Med en sådan beteckning kan vektorfältet i ovanstående uppgiften

kortare anges med

( eller )

|

| r

³

r

³

F r r

F =

= r r

r

.

10 av 10 Uppgift 9. Låt

r r

_beteckna

r r = ( x , y , z )

. Bestäm flödet av ₃

|

| r r F m r

r r

=

ut ur klotet

}

: ) , ,

{( x y z x

²

y

²

z

²

a

²

K = + + ≤

.

Lösning: Vi får inte använda Gauss divergenssats eftersom fältet är inte definierad i (0,0,0) som ligger i klotet K. Vi delar sfären i övre z= a² −x² −y² och nedre delen z=− a²−x²−y^{2 och ,} som i föregående uppgift, beräknar flödet direkt:

A delen:

) ) , (

) , (

)

( (

_{2 2 2 3/2 2 2 2 3/2 2 2 2 3/2}

z y x

mz z

y x

my z

y x F mx

+ + +

+ +

= + r

På övre halvsfären hr vi z = a² −x² −y^{2 och}

) ,

, ( ) ,

,

(

^{2 2 2}

3 3

2 2 2

3

3

x y a x y

a m a

y x a m a my a

F mx − − = − −

r =

, )

1 , ,

( ) 1 , ,

( 2 2 2 2 2 2

1

y x a

y y

x a z x

z

N _{x y}

−

−

−

= −

− ′

− ′ r =

och 1 2 2 2

y x a a N m

Fr⋅ r = − − .

Därför

π

m dxdy y x a a dxdy m N F

D D

2 2

2 1 2

1⁼

∫∫

^{⋅ =}

∫∫

_{− −} ⁼

Φ r r

.

B delen:

På liknande sätt på den nedre ytan z=− a²−x²−y^{2 får vi}

) ,

,

(

^{2 2 2}

3

x y a x y

a

F r = m − − −

,

) 1 , ,

( ) 1 , ,

( 2 2 2 2 2 2

2 −

−

−

−

= −

′ −

′ + +

=

y x a

y y

x a z x

z

Nr _{x y}

.

Härav ^{dxdy m}

π

y x a a dxdy m N F

D D

2 2

2 2 2

2 ⁼

∫∫

^{⋅ =}

∫∫

_{− −} ⁼

Φ r r

och därmed Φ=Φ1+Φ2 =^4m

π

Svar: Φ=^4m

π