Nr 3

N r 3

öuEtjuflB6ÖB8öö8Effi

Nyheter!

Verner Carlson

EXAMENSUPPGIFTER I MATEMATIK

för den praktiska realskolans tekniska linje

I N N E H Å L L E R :

^ för l i n j e n lämpliga u p p g i f t e r , s o m getts i realexamcn

^ ett stort antal k o m p l e t t e r a n d e ö v n i n g s e x e m p e l

^ alla p r o v r ä k n i n g a r på den tekniska l i n j e n (ht 1954 — v t 1956)

4= 25

Fredrik Ehmst

MATEMATIKUPPGIFTER

I STUDENTEXAMEN för A so och R bi

E t t u r v a l examensuppgifter b l a n d p r o v s o m getts på l a t i n - o c h reallinjen, valda m e d tanke på f o r d r i n g a r n a för allmänna linjens sociala g r e n o c h rcallinjens b i o l o g i s k a g r e n .

O r d n a d e m e d hänsyn t i l l innehåll o c h svårighetsgrad.

»Synes vara g j o r t m e d g o d b l i c k för de k r a v , s o m i fortsättningen k a n väntas b l i ställda på deltagarna i resp. skrivningar.»

Ur sakkunnigutlåtande till Statens Läroboksnämnd

5:65

A L M Q V I S T & W I K S E L L Box 159 - Stockholm 1 - Postgiro 758

A T O M E R O C H S T J Ä R N O R av Tord Hall, N o r s t e d t s .

Här möter vi en populärvetenskaplig författare av hög internationell klass, som förenar sitt naturvetenskapliga vetande med en fin humanis- tisk bildning. Genom författarens eleganta — ofta raljanta stil förs läsaren- lekande och lätt in i den moderna fysikens världsbild. »Atomer och stjär- nor» har också allmänt uppskattats av recensenterna. Genom tillmötesgå- ende från förlaget och författaren har det beretts TfS tillfälle att presen- tera kapitlet »Matematiken som skön konst», hämtat ur »Atomer och stjär- nor». TfS önskar inte enbart uppehålla sig vid den vardagliga skolmate- matiken. Det kan vara både befriande och nyttigt för oss matematiklärare

att någon gång göra en resa till matematikens högre rymder.

Red.

MATEMATIKEN SOM SKÖN KONST

Lektor Fil. Dr. Tord Hall

I

det allmänna medvetandet framstår matematikern som någon sorts korsning mel- lan r ä k n e m a s k i n och m ä n n i s k a , en modifierad »elektronhjärna», som visserligen inte kan räkna så snabbt och säkert, men som i stället fått vissa mänskliga egenskaper, t i l l exempel ett r u d i m e n t ä r t känsloliv eller en speciell form av humor, som mest y t t r a r sig i ett elakt skratt över andras tafatta manipulationer med de fyra enkla r ä k n e s ä t t e n . I v å r litteratur är denna m ä n n i s k o t y p representerad av s å d a n a figurer som den h å r d e

»matematikern» i »Snörmakare Lekholm får en idé» eller den robotskramlande ingen- jör Planertz i » K v a r t e t t e n som sprängdes».

Av flera skäl — framför allt på grund av ett rent objektivt sanningsintresse — har man anledning att fråga, om denna bild överensstämmer med verkligheten. Det är då inte mer än r ä t t , om den för fantasilöshet, h å r d h e t och allmän t r ä a k t i g h e t ankla- gade beredes tillfälle att y t t r a sig. Äldre tiders matematiker skrev inga memoarer, och de självbiografiska dragen i deras skrifter torde vara nedbringade t i l l ett m i n i - mum; men i v å r t psykologiserande tidevarv har t i l l och med dessa de mest opersonliga av alla författare ibland lyft på visiret.

Sålunda har under de senaste åren å t m i n s t o n e t v å stora europeiska matematiker, nämligen den engelske funktionsteoretikern G. H . Hardy och den tyske talteoretikern H . Hasse, avgivit personliga deklarationer om hur de uppfattar sin vetenskap. (»A Mathematician's Apology». Cambridge 1941 och 1948. — »Mathematik als Wissen- schaft, Kunst und Macht». Wiesbaden 1952.) De slutsatser, som dessa representanter för var sin gren av den högre matematiken kommer t i l l , är överraskande lika, utan att man därför har anledning t i l l någon förmodan att Hardy skulle ha p å v e r k a t Hasse.

Den huvudsats, som b å d a bevisar, inte med sina vanliga hjälpmedel utan med normalprosans subjektiva sannolikhetskalkyl, kan formuleras på följande sätt: »Den högre matematiken är, i sin frihet från verkligheten, i sin klarhet, skönhet och dyna- miska kraft, en exklusiv form av konstnärligt skapande.» Denna tes, vars riktighet inte torde bestridas av någon, som fattat en smula av matematikens väsen, innebär att den populära bilden n ä r m a s t är raka motsatsen t i l l verklighetens matematiker av k ö t t och blod.

L å t oss nu se en smula på demonstrationerna, som enligt sakens natur m å s t e få k a r a k t ä r e n av analogibevis. Om v i börjar med Hardy, så indelar han matematikerna i t v å klasser, »school mathematicians» och »real mathematicians». T i l l den förra hör

ungefär alla, nedifrån och u p p å t , som bedriver så kallad tillämpad matematik, eller, om termen inte missförstås, ingenjörsmatematik. (Det ä r givetvis dessa som domi- nerar bilden i det allmänna medvetandet och i litteraturen.) Endast en person om- n ä m n e s i detta genanta sammanhang, nämligen professor Lancelot Högben, den k ä n d e författaren t i l l en lärobok med den tvetydiga titeln »Matematik för miljoner». T i l l den senare gruppen hör alla som ä r matematiker i den betydelse Hardy inlägger i ordet, det v i l l säga nyskaparna eller u p p t ä c k a r n a : Arkimedes, Newton, Gauss, Cauchy, Abel o. s. v. Hardy, och även Hasse, sysslar endast med denna kategori i vilken b å d a har självklar h e m o r t s r ä t t .

Hardy gör sedan en jämförelse mellan matematiken och poesien. Han h ä v d a r , a t t ett förstklassigt matematiskt teorem i mycket rymmer samma s k ö n h e t s v ä r d e n som den stora lyriken. N ä r han v i l l karakterisera denna matematik, a n v ä n d e r han s å d a n a ord som enkelhet och klarhet, höghet och allvar, allmängiltighet och djup. F ö r a t t ge exempel som förstås av alla går han tillbaka t i l l grekerna och återger pytagoréer- nas bevis för irrationaliteten hos kvadratroten ur 2 samt Euklides' bevis för a t t det finns oändligt m å n g a primtal. I likhet med Sapfos strofer har dessa matematiska poem bevarat sin ursprungliga friskhet och skönhet genom t v å och ett halvt å r t u s e n d e .

De matematiska resultaten ä r enligt Hardy i flera avseenden t i l l och med över- lägsna de poetiska. E t t u n d e r m å l i g t matematiskt teorem kan aldrig bli så u n d e r m å - ligt som dålig poesi, t y hur dåligt det än är, så bringar det i alla fall en ny liten san- ning i dagen. Vilken annan gren av mänsklig verksamhet kan vara säker på en sådan effekt av sina mest blygsamma landvinningar? — Matematikerns monument ä r även varaktigare än brons och horatianska oden: »Arkimedes skall ihågkommas, n ä r Aischy- los ä r glömd, t y språk dör, men aldrig matematiska idéer.» Även om logiken i detta p å s t å e n d e är diskutabel — eller kanske just därför — ger det en god uppfattning om Hardys entusiastiska inställning t i l l sin exklusiva konst. Som sammanfattning av hans v i t t n e s m å l kan man säga, a t t de verkliga matematikerna utgör en liten grupp transcendenta poeter som på ett för övriga m ä n n i s k o r obegripligt symbolspråk sins- emellan utbyter tankar om en högre och sannare verklighet.

Medan Hardy i sin skrift stöder sig på analogier med poesien, a n v ä n d e r sig Hasse av musiken. Det ä r j u ett k ä n t faktum, att så kallade underbarn företrädesvis dyker upp inom musiken och matematiken (samt inom det matematiken närstående schack- spelet). Mozart, Pascal (samt Capablanca) m å räcka som exempel härvidlag, och kanske skall framtidens fysiologer kunna påvisa strukturlikheter i hjärnans byggnad hos denna grupp av genier. Vare därmed hur som helst: Hasses kontrapunktiska va- riationer över temat matematik och (klassisk) musik efterlämnar ett skönt och över- tygande intryck.

Han framhåller först pytagoréernas u p p t ä c k t , att musiken behärskas av harmoni- lärans matematiska lagbundenhet, och jämför därefter de olika, logiskt sammanflä- tade leden i ett matematiskt bevis med den konstfulla v ä v n a d e n i en flerstämmig fuga.

Men dessa likheter ligger ä n n u på y t a n . T y lika litet som rent formella förträfflig- heter gör en Bach-fuga t i l l ett oförgängligt konstverk, lika litet gör ett strikt iakt- tagande av logikens regler ett teorem, eller ens en hel teori, t i l l matematik i ordets egentliga mening. F ö r att u p p n å en sådan effekt är, med a n v ä n d a n d e av matematisk terminologi, »den logiska riktigheten visserligen n ö d v ä n d i g men ingalunda tillräcklig».

Dessutom m å s t e finnas en motsvarighet t i l l det som gör Bach-fugan t i l l stor konst:

»den kristallklara skönheten och en genom hela verket svepande, väldig dynamik».

Om sig själv meddelar Hasse, a t t han inför ett n y t t problem ofta söker föreställa sig hur lösningen skulle se ut »om den vore skön». Och se, ibland h ä n d e r det att svårig- heterna ger vika inför denna rent estetiska attack! I andens värld gäller Leibniz' princip om den f ö r u t b e s t ä m d a harmonien, kanske därför a t t det är harmoni v i med- vetet eller omedvetet söker.

1

Hasse jämför också det matematiska skapandet med konstnärligt skapande i all- m ä n h e t . Han p å p e k a r matematikerns absoluta frihet från verklighetens t v å n g och lagar, en frihet som ställer matematiken i särklass bland vetenskaperna och dess ut- övare i paritet med »en f r i , enligt sin begåvning och ingivelse gestaltande konstnär».

Ytterligare en parallell är matematikens intuitiva väsen. T y paradoxalt nog förhåller det sig ofta så, och det just med de största matematiska u p p t ä c k t e r n a , att de först skådas i en plötslig flamma av i n t u i t i v klarhet — »allt snillrikt träffar som en blixt» — och därefter får den logiska apparaten m ö d o s a m t arbeta sig fram t i l l bekräftelsen.

T i l l sist skapar skönheten och logiken i harmonisk förening den definitiva, från all tyngd befriade formuleringen.

Om man, efter att ha hört en engelsman och en tysk, även önskar höra en gallisk s t ä m m a , så kan man göra det i rik och m å n g s t ä m m i g k ö r i samlingsverket »Les grands Courants de la Pensée mathématique», utgivet av Francois Le Lionnais, matematiker, estet och m o t s t å n d s m a n under tyska ockupationen. I denna bok ä r hela den franska matematiska parnassen mobiliserad, och enbart registret över de femtio essayerna, med sådana författarnamn som Borel, Valiron, Montel, Denjou, de Broglie, Le Cor- busier, Brunschvicg och så vidare, gör ett överväldigande intryck. (Även Paul Valéry deltager med ett »outgivet brev», men i m i t t exemplar av boken ä r detta brev på grund av något tekniskt missöde fortfarande outgivet; det representeras av t v å tomma och fantasiväckande sidor.)

Matematikens olika grenar behandlas h ä r i m å n g a fall av m ä n som själva spelat eller spelar en fundamental roll i utvecklingen, och som dessutom skriver med den klarhet och det formella m ä s t e r s k a p som inom matematiken hitintills fransmännen ensamma har kunnat prestera. Mängden av lysande franska insatser både i n ä r v a r a n - de och i förfluten t i d skulle kanske komma en svensk a t t k ä n n a sig som en barbar i n - för Platons akademi; men förekomsten av sådana namn som Mittag-Leffler, Fredholm, Carleman och Beurling stöder i så fall det sviktande nationella självförtroendet.

De allra flesta essayerna ä r avsedda för fackmän, andra, såsom »Matematiken i i n - dustrien» eller »Matematik och marxism», hör inte hemma i detta sammanhang. Sam- bandet mellan matematik och konst är emellertid inte bortglömt; det vimlar av citat som styrker detta, de flesta naturligt nog h ä r s t a m m a n d e från matematiker, men m å n - ga dessutom från andra håll, t i l l exempel från konseljpresidenten Painlevc — dock i sin ungdom matematiker och professor v i d Sorbonne — från Fénelon, bröderna Gon- court och Novalis. Eftersom Novalis mest torde vara k ä n d för sin litterär-botaniska u p p t ä c k t av romantikens blå blomma, m å hans uttalande citeras: »Den verklige ma- tematikern ä r entusiast 'per se'. U t a n entusiasm ingen matematik. — Algebra ä r poesi.»

En avdelning i »Les grands Courants» heter: »Matematiken, skönheten, estetiken och de sköna konsterna.» D ä r har Le Lionnais själv skrivit en essay, »Skönheten i matematiken», som bland annat behandlar ett tredje, h ä r förut ej o m n ä m n t samband, nämligen mellan geometri samt måleri och bildhuggarkonst. Denna beröringspunkt ä r j u tämligen t r i v i a l alltifrån perspektivlärans uppkomst under renässansen fram t i l l den moderna abstrakta konsten, som bland annat tillgodogjort sig vissa mate- matiska idéer om icke-euklideisk geometri. F ö r f a t t a r e n s strikt genomförda matema- tiska t a n k e g å n g ger emellertid en originell belysning, och illustrationerna, från Durers

»Melancholia» t i l l på »pseudosfären» ritade trianglar, vilkas vinklar alla ä r lika med noll, åskådliggör t a n k e g å n g e n på ett u t m ä r k t s ä t t . (En »pseudosfär» ä r en yta, som ser ut ungefär som mynningen på en basun eller ett muskedunder; om man ritar en triangel p å en sådan yta, blir dess vinkelsumma alltid mindre än 180 grader.)

F ö r a t t få reda i den outtömliga mångfalden indelar Le Lionnais den matematiska skönheten i t v å huvudgrupper (utan klara gränslinjer): den klassiska och den ro- mantiska. De h ä r återgivna bilderna utgör författarens typexempel. »Klassicismen»

3

F i g . 1 . K l a s s i c i s m

(fig. 1) u t g ö r en transformation av en v ä l k ä n d kurva, den så kallade asteroiden eller stjärnan, och ä r försedd med Baudelaire-citatet:

»Lå, tout n'est qu'ordre et b e a u t é , Luxe, calme et volupté.»

(För m i n del får jag v i d betraktandet i stället associationer t i l l ett tema av Mozart.)

— »Romantiken» (fig. 2) åtföljes av ett citat från Delacroix: »Il y a des lignes qui sont des monstres». (Den p å m i n n e r om en hydra, sedd genom ett mikroskop, just n ä r den håller p å a t t sluka en vattendroppe.) Kurvskaran innehåller några lösningar t i l l en skenbart harmlös differentialekvation av första ordningen.

Le Lionnais' indelning återspeglar de t v å h u v u d s t r ö m m a r som funnits inom mate- matiken alltsedan den dag då grekerna övertog egypternas empiriska geometri — be- driven av faraos l a n t m ä t a r e , vars uppgift bland annat bestod i att v i d m a k t h å l l a ägo- gränserna efter Nilens årliga översvämningar — och av detta d y b e m ä n g d a m ä t a n d e gjorde en skön konst, som varje hellen satte en ä r a i a t t behärska.

Pytagoras, Apollonius och Arkimedes ä r klassiker, Zenon med sin oupphinneliga sköldpadda och sin stillastående p i l är en revolutionär romantiker. Man återfinner samma motsats i »Les grands Courants de la Pensée mathématique». Detta verk u t g ö r inte bara en bekräftelse p å grekernas självklara uppfattning av matematiken som en skön konst utan också ett lysande v i t t n e s b ö r d om a t t den hellenistiska traditionen ännu ä r stark och levande i ett hotat Europa.

Fig. 2. Romantik 6

FÖR MATEMATIKUNDERVISNINGEN PA LÅGSTADIET

Edvin Ferner

S M Å S K O L A N S M A T E M A T I K

under medverkan av Brita Odencrants

Första skolåret G . i : 50 Illustrerad av Kerstin Frykstrand

A n d r a skolåret G . 2 : 2 5 Illustrerad av Evert Skymne

E n överskådlig, enkel o c h strängt m e t o d i s k u p p l ä g g - n i n g av den grundläggande m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n i anslutning t i l l n y a r ö n o c h de n y a undervisnings- planerna.

Edvin Ferner

A R B E T S B O K E N I M A T E M A T I K

Första skolåret . . . . D e l 1 G . 1 : 25, D e l 2 G . 1 : —

A n d r a skolåret . . . . D e l 3 1 : 5 0 , D e l 4 utsänds i n o m k o r t E n från läroboken fristående arbetsbok av delvis n y t y p

med r i k l i g a träningsuppgifter.

Irma Persson Grethe Jordal

T A B E L L B O K E N H U V U D R Ä K N I N G E n arbetsbok för inlärandet av m u l - m e d självkontroll, klass 3

tiplikationstabellen. 24 s. o : 80 32 s. 1 : —

Boken för skolan — Boken från Rekv. från S K O L B O K C E N T R A L E N D a v i d Bagares gata 20, S T O C K H O L M

T e l . 2 3 6 9 8 0 - Postgiro 5 5 1 6 0

A V C A R L S O N S

Anmälan:

E n lärobok i matematik för universitet och högskolor

Carl Hyltén-Cavallius och Lennart Sandgren: M a t e m a t i s k analys för n y b ö r j a r s t a d i e t v i d u n i v e r s i t e t och h ö g s k o l o r . L u n d s s t u d e n t k å r s i n t r e s s e b y r å , L u n d . (Pris k r . 4 1 : 50)

A l l t emellanåt p å t a l a s för olika skolämnen en tendens a t t t i l l gymnasieundervis- ningen överföra kursmoment och behandlingsmetoder, som rätteligen hör hemma vid universitet och högskola. Sagda tendens kan förklaras av en i och för sig lovvärd s t r ä v a n hos den unge läraren a t t berika undervisningen med delar av det vetande hans akademiska studier g i v i t honom. E n erfaren rektor v i d ett provårsläroverk k a r a k t ä - riserade förhållandet ungefär så: »Man s t r ä v a r att dra ned universitetet i gymnasiet, gymnasiet i realskolan, realskolan i folkskolan». Han ville med kraft betona varje stadiums s ä r a r t .

I de metodiska anvisningarna för undervisningen i matematik i gymnasiet läser man följande: »Det är önskvärt, att klyftan mellan gymnasiets och högskolornas s ä t t a t t lägga upp funktionsläran minskas». V i d första påseendet kan det te sig förvå- nande med en sådan anvisning. Det verkar, som om man ville främja den utveckling, som l ä r o v e r k s r e k t o r n med allt skäl varnade för. R ä t t a förhållandet kommer fram, om man gör en liten återblick i tiden.

N ä r infinitesimalräkningens grunder infördes i de svenska gymnasierna, fruktade man p å m å n g a håll, a t t o m r å d e t skulle visa sig tämligen svårtillgängligt för åtskilliga elever, detta p å grund av betydande teoretiska svårigheter. F a r h å g o r n a har inte be- sannats. D ä r e m o t har lärobokslitteraturen k ä n n e t e c k n a t s av, om uttrycket tillätes, en viss pessimism, som gjort, att stringensen fått stå tillbaka för geometrisk å s k å d - lighet. Olägenheterna h ä r a v m ä r k t e s kanske inte så mycket inom gymnasiet; v i d den akademiska undervisningen har man stundom sett sig nödsakad att bortse från stu- denternas förkunskaper i funktionslära, vilka inte dugt att bygga på. O m v ä n t har gällt, a t t den nyblivne och nyexaminerade läraren ofta lagt sin universitetsmatematik på hyllan och i v ä r s t a fall ö v e r g å t t t i l l ett slentrianmässigt i n n ö t a n d e av regler för derivering, e x t r e m v ä r d e s b e r ä k n i n g o. cl.

Den programförklaring, som ligger i citatet ur de metodiska anvisningarna, har konsekvenser inte bara för gymnasiets utan även för universitetens och högskolornas läroböcker i matematik. Det ä r därför med stora förväntningar man tar del av det nyutkomna arbetet »Matematisk analys för n y b ö r j a r s t a d i e t v i d universitet och hög- skolor» av Carl Hyltén-Cavallius och Lennart Sandgren. H ä r är inte platsen a t t be- döma bokens v ä r d e för universitetsundervisningen eller att i vanlig mening recensera den. D ä r e m o t v i l l a n m ä l a r e n oförbehållsamt rekommendera varje gymnasielärare i matematik a t t studera den.

Det ä r alltid ö n s k v ä r t , a t t en lärare skaffar sig en överblick av sitt ä m n e , innan han ger sig i kast med pedagogiska detaljer, och h ä r kan han få ovärderlig hjälp av

»Matematisk analys». Den omfångsrika boken behandlar kombinatorik, e l e m e n t ä r teori för reella och komplexa tal, olikheter, funktioner, g r ä n s v ä r d e n , derivator, inte- graler, serier, kurvteori, historik. Den har en för gymnasieläraren mycket fördel- aktig egenskap. Man kan med god behållning läsa enskilda kapitel separat, och vissa partier l ä m p a r sig u t m ä r k t som föremål för intresserade elevers självstudier.

Gymnasiets matematikstudium dirigeras i a v s e v ä r d m å n av de skriftliga proven i studentexamen. Man kan v ä n t a en nyorientering av uppgifterna i dessa prov i syfte att s t ä r k a förståelsen för funktionslärans fundamentalbegrepp, g r ä n s v ä r d e t och funk- tionen. Just i dessa frågor har gymnasieläraren i matematik mycket a t t h ä m t a i denna lärobok, som h ä r m e d livligt anbefalles t i l l inköp för läroverkens elevbibliotek och referensbibliotek. Sixten Thörnqvist

För 3-årig realskola

E K M A N - U N E N G E

Matematik

D E L I

För den 3-åriga realskolans första klass och motsvarande stadier

• Författare: överläraren, fil. mag. Herman E k m a n och läroverks- adjunkten J a n Unenge

• E n för den 3-åriga realskolan och de i folkskolan inbyggda real- skolelinjerna speciellt avpassad bok

• Självständiga övningar och repetitionsuppgifter ger en såväl kvantitativ som kvalitativ överkurs

• Anvisningar och lösningsmetoder till åtskilliga problem ger stöd åt elevernas självstudier och repetitioner

Godkänd av Statens Läroboksnämnd

Pris (med facit) kr 3: 30

B e r g v a l l s

Drottninggatan 108, Stockholm V a (Postgiro 1414)

Problem -Spalten

Givet: linjerna A B och AC samt punkten F. B e s t ä m en punkt S på linjen A B så belägen, att S F = S L , då SL är v i n k e l r ä t mot linjen AC!

Lösning I

s' P

L

C

K o n s t r u k t i o n : Sammanbind A med F . Drag från en godtycklig punkt S' på linjen A B linjen S'L' v i n k e l r ä t mot linjen AC. E n cirkel med punkten S' till centrum och radien = S'L' skär linjen A F i punkterna F ' och F " . Drag linjerna SF och SL paral- lella med respektive S'F' och S'L'. Likformiga trianglar ger:

SF AS •

S'F' ~ AS' SF SL SF S'F' SL AS S ' F ⁼ sö7' ' SL ~ söT' S'L' " A S '^;

1 ; SF = SL

Eftersom SL ä r parallell med S'L' och således v i n k e l r ä t mot linjen AC är följakt- ligen S den sökta punkten. V . S. B . Genom att dra F S " parallell med S'F" erhålles ytterligare en punkt S", som uppfyller det givna villkoret. Svaret b l i r emellertid en- t y d i g t , om v i söker den punkt S, som ger det kortast möjliga a v s t å n d e t LS ner t i l l

»huvudvägen» AC. L ö s n i n g a r n a I I och I I I ger på liknande s ä t t t v å fall.

Lösning I I

Lösning I I bygger på sekant-tangent- satsen, som l ä t t kan bevisas med hjälp av Pythagoras' sats:

t²+ r²= ( a — r )²

t²= a²— 2 a r = a ( a — 2 r ) = a-b t² = a-b

10

Antag att punkterna F,F' och D är givna. Samtidigt är då a och b k ä n d a och där- med även t=]/~a-b. Detta innebär att tangenten från D kommer a t t ha en och sam- ma längd t för alla cirklar genom punkterna F och F'! Detta utnyttjas i det följande.

Genom F drages en linje D F E F ' v i n k e l r ä t t mot A B . A v s ä t t E F ' = E F . Tag en god- tycklig punkt O t i l l centrum för en cirkel, som går igenom F och F ' . Drag tangenten D T t i l l denna cirkel. (Tangenten D T kan erhållas t. ex. genom att slå upp en halv- cirkel med OD som diameter. S k ä r n i n g s p u n k t e n T mellan denna halvcirkel och den förra cirkeln ä r tange ringspunkt, då vinkeln OTD i halvcirkeln är rät.)

Enligt den nyss n ä m n d a sekant-tangent-satsen har alla cirklar, som går igenom de fasta punkterna F och F ' , samma längd D T på tangenten från punkten D , således även den cirkel, som tangerar linjen AC. Tangeringspunkten m å s t e ligga i T , om D T ' = D T . A v s ä t t D T ' = D T . Drag linjen T'S v i n k e l r ä t t mot A D . S F = S T ' = radier i samma cirkel. S ä r den sökta punkten.

Lösning I I I

E n intressant lösning har presenterats av M . Sjölander, Stockholm (som anmodas a t t s ä t t a sig i kontakt med redaktionen). I sin lösning u l n y i tjar Sjölander parabelns egenskap, att a v s t å n d e t från en punkt S på parabelkurvan t i l l focus F ä r lika med punktens vinkelräta av- stånd från parabelns styrlinje. S F = S L .

Parabelns vertex 0 ligger m i t t emellan styr- linjen AC och F. Drag koordinataxlarna O Y och O X . Om 0 ' 0 = O F = p / 2 är parabelns ekva- tion y³= 2 p x . S ä t t O A ' = b och O B = a . Linjen AB:s ekvation blir då x/a-f-y/b = l .

Lösningen på det givna problemet kan er- hållas genom att b e s t ä m m a s k ä r n i n g s p u n k t e n (skärningspunkterna) mellan linjen A B och den parabel, som har sitt fokus i F och linjen AC

till styrlinje.

11

x / a + y / b = l } y = — Pa/b± V?"a2/b2 + 2pa = — p a / b ± J/2p ( p a2/ 2 b2+ a ) Eftersom a, b och p ( = 0 ' F ) är k ä n d a storheter kan y konstrueras, dvs y-koordi- naten för den sökta punkten S kan erhållas.

S t r ä c k a n pa/b konstru- eras med hjälp av l i k - formiga trianglar:

a x

R o t u t t r y c k e t konstrueras på liknande s ä t t som z i ut- trycket z²= x - y , då x och y äro k ä n d a längder, Se figur!

Med x + y som diameter slås en halvcirkel. Genom likfor- mighet erhålles: z / x = y / z ; z^?= x y ; z = J / x - y .

Om v i i s i s t n ä m n d a figur låter s t r ä c k o r n a x och y vara 2p och pa²/2b² + a så blir z det o v a n n ä m n d a rotuttrycket.

Dessa konstruktioner u n d e r l ä t t a s genom Sjölanders p å p e k a n d e , att uttrycken pa/b och pa2/b2 l ä t t kan erhållas genom konstruktioner i den givna figuren på föl- jande s ä t t . Se detta nummers första sida! Drag från F en linje FC v i n k e l r ä t t mot linjen A R ! Trianglarna A ' O B och FO'C ä r likformiga; d ä r u r erhålles 0 ' C = p a / b . Drag från C en linje parallell med x-axeln; den skär linjen A B i punkten M (som för övrigt är m i t t p u n k t e n på kordan genom S). Punkten M:s x-koordinat är a + p a²/ b². S t r ä c k a n E M = x^M— a = p a²/ b². Om G är m i t t p u n k t e n på s t r ä c k a n E M blir EG = pa2/2b2

V i kan nu konstruera det o v a n n ä m n d a r o t u t t r y c k e t på följande sätt: A v s ä t t D I = 2 p ; D G = a + p a²/ 2 b². Slå upp en halvcirkel med I G som diameter! Halvcirkeln skär y-axeln i punkten H . S t r ä c k a n D H blir alltså = |/"2p-(a+pa²/2b²) och s t r ä c k a n OH = D H — O D = D H — 0 ' C = l / 2 { > ( a + p a²/ 2 b²) — p a / b = y = den sökta y-koordinaten för s k ä r n i n g s p u n k t e n S mellan linjen A B och parabeln. Punkten S erhålles genom att dra K H S v i n k e l r ä t t m o t y-axeln. Enligt parabelns egenskaper gäller att S F = S K . S ä r den sökta punkten.

Det tillsynes oskyldiga problemet »Var skall villan placeras?», som framkastades i TfS:s föregående nummer, leder tydligen t i l l r ä t t intressanta geometriska för- vecklingar. Problemet är i n s ä n t av Civilingenjör Sven Olavi, Skoghall, som även bifogat lösningarna I och I I . Lösning I ä r insänd av ett flertal läsare, lösning I I ä r ytterligare insänd av Arne Pleijel, T r o l l h ä t t a n ; M . Sjölander, Stockholm ä r ensam om sin lösning I I I . TfS tackar för uppslaget och det visade intresset. Vem kommer med n ä s t a n ö t ?

12

MATEMATIKANNONS 1

MATEMATIK

I S T Ä L L E T

F Ö R R Ä K N I N G

Det skall j u heta matematik även på folkskolans schema numera. Därför har Ehlins ändrat namnet på B o m a n - R y d é n s serie Folkskolans räkneböcker till

FOLKSKOLANS MATEMATIKBÖCKER

N ä r n y upplaga undan för undan utkommer p å dessa] b ö c k e r , heter de Matematik 3, 4, 5, osv. Facit och p r o v r ä k n i n g a r (i t v å satser, så a t t elever bredvid varandra får olika uppgifter) ingår i serien. T i l l Matematik 3 har n u ä v e n utgivits ett tilläggshäfte, avsett för de snabbare eleverna.

Serien är g o d k ä n d av l ä r o b o k s n ä m n d e n .

Priserna:

1 : 7 0 . Facit 6 0 öre. P r o v r ä k - 3 ningar ( 2 x 9 st.) 4 5 ö r e .

Tilläggshäfte 9 5 ö r e . 1 : 6 0 . Facit 6 0 ö r e . P r o v r ä k - ningar ( 2 x 2 0 st.) 6 0 öre.

2 : 5 0 . Facit 6 0 öre. P r o v r ä k - ningar (2 x 12 st.) 8 0 öre.

4 5

2 : 5 0 . Facit 6 0 öre. P r o v r ä k - ningar (2 x 2 0 st.) 8 0 öre.

2 : 4 0 . Facit 6 0 öre. P r o v r ä k - ningar ( 2 x 12 st.) 8 0 ö r e . 2 : 8 0 . Facit 6 0 öre. P r o v r ä k - ningar ( 2 x 8 st.) 8 0 ö r e .

13

GRANSKARENS SYN PÅ MATE M ATI K LÄROBÖC KE R N A

Av Folkskollärare Sven Olsson

N

är jag läser igenom en m a t e m a t i k l ä r o b o k för a t t recensera den, antecknar jag en del av uppskattande eller kritisk art. V i d sammanställningen t i l l recension får emellertid de beska kommentarerna vika. Tanken på, a t t bakom verket-boken finns en m e d m ä n n i s k a , som i å r a t a l arbetat med den, mildrar uttrycken. E n gradering m å s t e emellertid t i l l , även om medelbetyget skall vara Ba. Beträffande en verkligt god bok kan man då framhålla de idéer, detaljer och avsnitt, som skiljer den från m ä n g d e n . Om ett mera mediokert verk kan man uttala sig i a l l m ä n n a ordalag, ex.: »Den söker inga nya v ä g a r men visar på de gamla vanda med den äran» etc. Liksom man b e h ö v e r en betygsöversikt för a t t kunna r ä t t b e d ö m a det enskilda betyget, behöver man nog läsa en serie a n m ä l n i n g a r för att kunna uppfatta v ä r d e o m d ö m e t i en enskild a n m ä l a n .

Härtill kommer, a t t en granskare har sin egen, mycket ofta mycket b e s t ä m d a me- ning om, hur matematikundervisningen skall bedrivas. Även om han s t r ä v a r efter objektivitet i o m d ö m e t , kommer detta i hög grad a t t influeras av uppfattningen av hur föreliggande lärobok skulle kunna passa i n i a n m ä l a r e n s egen metod.

L ä r o b o k s n ä m n d e n v i l l nu ha metodiska anvisningar i m a t e m a t i k l ä r o b ö c k e r n a , och kanske kan de vara t i l l någon n y t t a . Men en svårighet härvidlag är, a t t terminologien ä r så flytande. E n utredning ä r som bekant i gång. Det ä r j u inte så roligt med en lärobok, v i d vars a n v ä n d a n d e läraren gång p å gång m å s t e säga t i l l sina elever: »Ja, så står det, men jag v i l l ha det så och så.» De metodiska anvisningarna bör — menar jag — inte vara alltför detaljerade. Om en lärare v i l l a n v ä n d a lika tilläggsmetoden i subtraktion, kan det uppkomma vissa svårigheter, om boken ingående redogör för lånemetoden. Och ä n n u v ä r r e blir det inför de m å n g a olika uppställningarna t i l l u t - räkning av division. I skolan g å r det nog så bra, men så får barnen hemuppgifter i matematik. F ö r ä l d r a r n a läser i läroboken, och så kommer det ofelbart: »Du gör fel.

Så står det inte i boken.» F ö r min del har jag så gott som slutat upp ge hemuppgifter 1 matematik. Det hjälper nämligen inte, a t t man v i d klassföräldramöten ber far och mor l å t a b l i a t t blanda sig i barnens hemuppgifter. F ö r ä l d r a a m b i t i o n e n har en u t s ö k t förmåga a t t blanda t i l l begreppen för eleverna. N å v ä l , om de detaljerade metodiska anvisningarna kan bidraga t i l l att minska på barnens hemuppgifter, så har de förvisso en uppgifl a t t fylla.

N ä r fasta normer för matematikterminologien fastställts, kan de metodiska anvis- ningarna beredas större utrymme. Det torde då vara lämpligast a t t samla dessa an- visningar eller i varje fall det huvudsakliga av dem i början eller slutet av boken. Så kan läraren plocka u t och låta eleverna stryka för det han v i l l a t t de skall i n h ä m t a . De metodiska anvisningar, som rör endast läraren, kan lämpligast samlas i ett särskilt häfte, som skett i Ingvar-Olscns R ä k n e l ä r a . De metodiska anvisningar, som ä r av- sedda a t t läsas av barnen, m å s t e uttryckas p å ett språk, som, samtidigt med a t t det ä r språkligt korrekt, kan av barnen omedelbart uppfattas. R ä t t kritisk ä r jag m o t följande: 74200—38700= och så anvisningarna »Det g å r inte att minska 2 hundratal med 7 hundratal, utan v i m å s t e låna 1 tusental, som blir 10 hundratal. V i har förut 2 hundratal och får sålunda 12 hundratal. 12—7 = 5. 3 tusental minskat med 8 går inte. V i l å n a r 1 tiotusental, som blir 10 tusental. V i har nu sammanlagt 13 tusental 11

a t t minska med 8 tusental» etc. . . .» Eller detta: »När du skall addera följande t a l , b ö r du först göra dem till centimeter.»

V i k t i g t ä r j u att inledande h u v u d r ä k n i n g s ö v n i n g a r och typexempel följs av öv- ningsexempel med samma t a n k e g å n g a r . H ä r v i d l a g slarvar ibland läroboksförfattarna r ä t t grovt. E t t verkligt flagrant exempel p å s å d a n t slarv visar en förf., som i de i n - ledande ex. t i l l subtraktion hade valt uteslutande s å d a n a med t a n k e g å n g e n skillnad, medan de efterföljande exemplen samtliga rörde sig med uppdeln. Det ä r j u ä n d å så pass skilda t a n k e g å n g a r , som ligger t i l l grund för dessa operationer, a t t de borde hållas åtskilda. Jag får p å p e k a , a t t det var i en lärobok för tredje klassen. D å och då finner man samma orediga uppställning beträffande tankegången ökning å ena sidan och sammanläggning å andra. Jag v i l l inte neka t i l l , a t t jag blir r ä t t ledsen, n ä r jag ser, a t t läroboksförfattare i så hög grad försummar a t t klargöra för sig själva, vilka be-

grepp de har a t t utreda för barnen.

Någon gång finner man i läroböckerna olösliga uppgifter eller å t m i n s t o n e sådana, som fordrar ingående sakförklaringar för a t t kunna lösas. Det ä r nu en del å r sedan jag fann ett problem: »Hur lång ramlist å t g å r t i l l en tavla med längden a och bredden b?» T y v ä r r har jag inte kunnat återfinna boken för förevisning h ä r . Men jag kan ge ett par ex. ur några alldeles nyutkomna böcker, och jag väljer ett litet avsnitt ur geometrikursen för fjärde klassen: »Hur lång b å r d behöver Greta t i l l a t t sy fast r u n t en duk, som ä r 1 m 20 cm lång och lika bred?» B å d e pojkarna i m i n klass och jag upp- fattade b å r d e n som en spets, r ä c k a n d e utanför duken, men m i n fru p å s t å r , a t t man syr spetsar eller b å r d e r innanför dukens ytterlinje.

»Ett bord, som ä r 1 m . 8 dm. långt och hälften så brett, skall beklädas med vaxduk, a) H u r stor ä r bordets yta? b) H u r mycket kostar vaxduken efter 5 öre pr dm².?

c) R u n t bordet skall s ä t t a s en list. H u r lång blir denna?»

»Omkring en rektangelformig åker, som ä r 45 m . lång och 32 m. bred, g å r ett dike.

H u r långt ä r detta?»

L ä r o b ö c k e r n a syns nu i a l l m ä n h e t l ä m n a åsido exempel rörande åldersberäkning, å t m i n s t o n e vad det gäller läroböcker för lägre åldersstadier än 7 eller 8 klass. Men h ä r och d ä r förekommer de, och då utan metodiska anvisningar. E t t undantag härvid ä r Laurin m . fl:s lärobok för femte klassen. Det ä r n ä s t a n rörande a t t se den enighet som råder mellan konkurrerande författare däri, a t t exemplen ä r sådana, att lån alltid görs från 30-dagarsmånad. Men så h ä n d e r det, att man missar, och det kan vara, n ä r man ger ut en ny upplaga. Så hade barnen i en lärobok a t t r ä k n a ut, hur gammal Selma Lagerlöf var, — jag tror — n ä r hon fick nobelpriset. Och det gick bra. N ä s t a upplaga gavs ut, sedan Selma avlidit, och då ändrades uppgiften t i l l u t r ä k n i n g av hennes lev- nadsålder, och då sprack det, för då m å s t e lån göras hos 2 9 - d a g a r s m å n a d , och så blir Selma i facit t i l l denna lärobok en dag äldre än i k y r k o b ö c k e r n a . Det kan j u vara r ä t t roligt för barnen a t t lära sig r ä k n a u t ålder, men då bör de få lära sig göra det korrekt.

Jag har träffat kolleger, som l ä r t barnen r ä k n a människors ålder i r ä n t e m å n a d e r . Metoden att låna 30 dagar av vilken m å n a d det vara m å kommer som metodisk an- visning i Laurin m . fl:s läroboks senaste upplaga. F ö r s t a upplagans var matematiskt riktiga.

I geometriavsnitten ges vanligen formler i stil med: »Längden x bredden = ytan»

Eleverna skriver, och m å n g a lärare g o d k ä n n e r skrivningen 3 m x 4 m = 12 m^a. Men n ä r v i lär barnen r ä k n a en yta, siktar v i på t a n k e g å n g e n 3 x 4 m² = 12 m², och varför inte fortsätta med detta? Visserligen kan man behandla sorten som ett alge- braiskt u t t r y c k : m x m = m², men varför i onödan förvilla barnens begrepp? V i d problemlösning bör barnen vänjas — och detta b ö r ideligen p å p e k a s i läroböckerna —•

a t t först fråga sig: »Vilket slag av storhet ryms i frågan? Vilken sort skall allså skrivas?»

15

Naturligtvis kan man komma förbi detta sysslande med sorter genom att föra reson- nemanget längdens siffertal x breddens siffertal ger som produkt ytans siffertal, men jag menar, a t t detta tillvägagångssätt får man allt uppskjuta, tills eleverna n å t t en relativ mognad och ä r färdiga börja r ä k n a med cirkeln.

F ö r femton-tjugo å r sen blev det efter (tror jag) centrala anvisningar mera verklig- hetstrohet vad beträffar viss handelsräkning i läroverkens läroböcker. Jag ä r osäker b å d e om tiden och om de centrala anvisningarna. L ä r o b ö c k e r n a för folkskolan fort- s ä t t e r emellertid med vinst- och förlusträkning på inköpspriset. Visserligen h ä n d e r det, a t t man p å p e k a r , a t t ur den angivna vinsten skall affärsmannen betala med för- säljningen förenade kostnader. Men varför inte ta m ö n s t e r efter läroverkens läro- böcker och kalla tillägget för pålägg? Om barnen i sjätte klassen inte kan anses mogna a t t r ä k n a med fakturapriser och pålägg för omkostnader samt vinst, bör detta mo- ment uppskjutas t i l l en senare t i d p u n k t . Detta undervisningsmoment — alltså om vinst och förlust — ä r u t m ä r k t väl ä g n a t a t t få barnen inse vad jag skulle vilja kalla relativiteten i procenttalen. E t t ex.: Fakturapriset ä r 10 kr. Pålägget ä r 50 % varav 30% för försäljningskostnader och resten nettovinst. Man kan då säga, a t t vinsten ä r 20 % . Men affärsmannen kan h ä v d a , och det ä r väl det vanliga, a t t den är 13 1/3 % , då han nämligen r ä k n a r vinsten p å försäljningspriset. Om barnen vänjer sig v i d s å d a n a t a n k e g å n g a r genom a t t läroböckerna frågar efter t v å procenttal, kan man kanske i fram- tiden slippa höra långa, hetsiga och ofruktbara diskussioner om skatteprocent o. d.

Det v ä r s t a i den vägen jag varit med om var i en debatt då bolagsskatten skulle höjas från 40 t i l l 50 %. E n oppositionsman pekade på, att denna skatt höjdes med inte mindre ä n 25 %, mot vilket en politiker genmälde, att skillnaden mellan 40 och 50 j u var endast 10 % , och då skulle man inte komma och säja, att höjningen var 25 %. Om v i i v å r matematikundervisning kunde lägga grunden t i l l en bland rikspoli- tikerna mera utbredd förståelse för vad de beslutar om, skulle otvivelaktigt en hel del vara vunnet.

F ö r matematikens formella sida får dess samhälleliga eller sociala sida inte försum- mas, och jag kan p å s t å , a t t den ä r v ä l tillgodosedd i de moderna läroböckerna. Bar- nen u p p t r ä d e r i dessa som familjemedlemmar, och r ä t t tidigt blir de med i föreningar för a t t nu inte tala om skolklassens gemenskap. De lär betydelsen av en väl ordnad ekonomi för egen, familjens och samhällets del. V a d jag skulle vilja ha med u t ö v e r det, som redan förekommer, är några exempel, som visar eleverna, hur deras fram- tida agerande som parter i avtalsrörelser kan verka.

E t t exempel: Varutillgång och k ö p k r a f t v ä g e r j ä m n t p å 50 miljarder. Så ökas pro- duktionen med 2 miljarder (den del, som inte g å r å t t i l l investering för n y t t realkapi- tal) och samtidigt ökas köpkraften med 4 miljarder. H u r stort v ä r d e har sedan varu- tillgången och hur stor ä r köpkraften? Vad sker, om hela köpkraften utnyttjas för konsumtion? H u r m å n g a % blir den genomsnittliga prishöjningen? Vad kan göras för a t t hindra eller minska denna prishöjning? H ä r kan man sålunda sammanknyta ämnena matematik och s a m h ä l l s k u n s k a p .

E t t avsnitt, som eleverna i a l l m ä n h e t har s v å r t för, ä r b r å k l ä r a n , och i inledningen t i l l denna m å s t e läroböckerna offra en hel del å t åskådligheten. Men varför inte i n - leda b r å k l ä r a n tidigare ä n i femte klassen? De flesta läroböckerna och l ä r a r n a an- v ä n d e r v i d division u t t r y c k e t delat med, ex. 48 delat med 6, ett u t t r y c k som jag tycker vara oriktigt. Det borde v ä l hellre heta delat i, u n d e r f ö r s t å t t delar. Men varför inte a n v ä n d a det korrekta u t t r y c k e t sjättedelen av 48 och teckna det som b r å k . Så ä r man redan långt före femte klassen halvvägs inne i b r å k l ä r a n . B o m a n — R y d é n har denna metod i sina läroböcker redan från tredje klassen. Barnen, som a n v ä n d e r denna läro- bok, g l ö m m e r nog inte bort, a t t b r å k s t r e c k e t ä r ett divisionstecken. Trots den goda grund som lagts, har förff. en mycket utförlig inledning t i l l b r å k l ä r a n i läroboken för

IG

femte klassen. Vad jag skulle önska av läroböckerna vore exempel och övningar — diagnostiska prov — för a t t läraren skall kunna u t r ö n a , om eleverna r i k t i g t f ö r s t å t t innebörden av b r å k e n .

Lockad av den danske poeten Piet Hein har jag gett mina pojkar i uppgift att svara på frågor som: »Vad är en halv?» F ö r s t en allvarlig definition och sen en rolig. Klassen röstade för J a n - Å k e s definition som den roligaste. Han hade skrivit 1/2 = 1/5 och förklarade på frågan, vad han menade, a t t far sagt, att en halv sup endast var en femtedels. (OM far m ä t t r ä t t , får man j u en uppfattning om formen p å familjens glas).

vSjälv ville jag ge priset å t Börje, som skrivit att 1/2 t å r t a var 6/9 av 9/12 t å r t a . F ö r ett tjugutal å r sedan fann man ett — jag skulle vilja kalla det — falskt analogi- resonemang n ä r det gällde metoden lära division med bråkdivisor. Jag minns från en i övrigt god lärobok: »Liksom man kan dela ett t a l med tre, kan man dela det med en tredjedel.» Numera går man fram efter t v å linjer, antingen efter vad jag v i l l kalla regula de t r i linjen eller med innehållsberäkning. V a d jag skulle vilja efterlysa i läro- böckerna ä r resonemanget i slutomgången eller sammanfattningen:

24: 3 = 2 4 : - = - • 24 och så analogien 2 4 : - = - • 24 = 3 • 24.

1 3 3 1

N ä r det gäller decimalbråk, har jag funnit, a t t barnen handskas l ä t t a r e med dem, om de får läsa hela u t t r y c k e t efter lägsta talsorten, alltså 325 hundradelar i stället för 3 hela 25 hundradelar. 1,4x3,25 läses 14 tiondelar av 325 hundradelar. Det ä r j u efter denna t a n k e g å n g operationen går. Jag kan inte p å m i n n a mig ha sett denna me- tod i anvisningarna t i l l någon lärobok.

I detta sammanhang v i l l jag passa p å a t t erinra om de periodiska decimalbråken, som mig veterligt inte demonstreras i läroböckerna i matematik. E n lärobok visar hur man skall förfara, då divisionen ej går j ä m t upp genom exemplet 5,2 : 7 = x.

Barnen får r å d e t a t t r ä k n a u t fyra decimaler, stryka den fjärde och höja n ä r m a s t föregående (resp. 8 och 2) och detta ä r j u r ä t t och r i k t i g t . Men jag kan inte r i k t i g t förstå hur förf. kunnat underlåta, a t t i detta sammanhang roa eleverna. Om han efter den matnyttiga lärdomen om avkortningen hade l å t i t dem r ä k n a u t exempelvis 13 decimaler, hade barnen snart u p p t ä c k t , a t t efter första siffran kommer perioden 428571 a t t upprepas, hur länge de än håller p å . Tar man så tredjedelen av denna period, får man 142857, som ä r perioden i 1 / 7 , och med denna, liksom med en del andra långa perioder av primtal kan man utföra en hel del roligheter. Man kan också visa ensiffriga perioder t . ex. av b r å k e t 1 / 3 . Just perioden av 1/7 ä r intressant u r annan synpunkt, nämligen sr-värdets. V i brukar j u lära barnen, a t t 3,14 ä r för litet och 3 1/7 för stort v ä r d e på?r. I 2 2 / 7 har v i perioden på 1/7 3,142857. . . medan v ä r d e t på n med samma antal decimaler ( u t r ä k n a t i slutet av 1500-talet) är 3,141593. Skillna- den blir 0,001264 medan 3,14 alltså ä r 0,001593 för litet. Jag tror, a t t det är av v i k t a t t p å m i n n a om var v i har exakta v ä r d e n och var v i har n ä r m e v ä r d e n , så a t t barnen så småningom fattar, a t t de inte skall r ä k n a med större antal siffror i decimalbråken än som motiveras av siffrornas säkerhet. Vidare b ö r v i och läroböckerna mycket b e s t ä m t p å m i n n a om a t t 1/3 inte är detsamma som 0.333. V i får lära dem a t t 4,25 m kan tecknas 425 cm men att 4 1 / 3 m inte är 433 cm, a t t man i s å d a n t fall, om man v i l l uttrycka ett exakt v ä r d e , m å s t e föredraga allm. b r å k .

Läroböckerna ä r varandra lika så tillvida att de för de lägre klasserna börjar med addition, g å r över subtraktion t i l l multiplikation och division. N ä r det gäller detta senare r ä k n e s ä t t , delas det i de flesta läroböcker upp i innehållsberäkning och lika- delning. N å g r a böcker börjar med det ena, andra med det andra. Personligen anser jag det vara fördelaktigt a t t börja med innehållsberäkning, man kan d å k l a r t visa 17

sambandet mellan r ä k n e s ä t t e n . Man bygger innehållsberäkningen p å upprepad sub- traktion: 27 —9—9—9 g å r tre gånger. Nio subtraheras tre gånger, tecknas ä v e n 27:9=3, p r ö v a s 3 x 9 = 2 9 och 9 + 9 + 9 = 2 7 . Detta tillvägagångssätt har jag sett genomföras endast delvis i läroböckerna, men det skulle vara värdefullt ha det i de metodiska anvisningarna.

E n del lärare — ja, skall v i inte kunna säga majoriteten —• följer slaviskt lärobokens gång, exempel följer exempel, kapitel lägges t i l l kapitel. Med tanke p å detta borde läroboksförfattarna lägga sig vinn om a t t dela upp vissa kapitel och spränga i n dem bland övrigt stoff. Detta gäller främst sortförvandling och geometri. Man blir ned- slagen då man i en lärobok träffar på kapitlen sortförvandling och geometri samlade oftast i slutet av boken. Det ä r ur i n l ä r n i n g s s y n p u n k t fördelaktigt att låta en t i d för- flyta mellan exempelvis b e r ä k n i n g av omkrets och av y t a och sedan mellan y t a och volym. Lärostoffet b ö r utminuteras i små doser. I Ingvar-Olséns räknebok för klass tre övas först alla fyra r ä k n e s ä t t e n inom t a l o m r å d e t 1—999, och sen tas de å t e r upp inom t a l o m r å d e t t i l l 10000. Geometriavsnittet i läroböckerna för övriga klasser ä r utspritt i aritmetikavd. Folkskolinspektör Petersson har i sin bok gjort indelning i veckoavsnitt, ett intressant experiment, som bör uppskattas särskilt av lärare i flerklas- siga avdelningar. Om denna bok v i l l jag säga, a t t jag inte ett ögonblick skulle ha t v e - k a t a t t ta den, om jag hade haft flerklassig avdelning. Om den skall anses över- lägsen ä v e n i övrigt får v ä l erfarenheten visa.

U p p s t ä l l n i n g t i l l u t r ä k n i n g ö v e r e n s s t ä m m e r i stort sett i alla räkneböcker, n ä r det gäller addition, subtraktion och multiplikation. Men n ä r v i kommer till division g å r v ä g a r n a isär. D å kursen redan ingående behandlat dessa uppställningar, kan jag gå förbi dem. Jag v i l l emellertid n ä m n a , a t t B o m a n — R y d é n propagerar för den ameri- kanska metoden, som har påtagliga fördelar, särskilt n ä r det gäller division med decimalbråksdivisor. F ö r t r ä n i n g av barnens huvudräkningsförmåga hade det v a r i t av v ä r d e a t t i någon lärobok någon gång pröva en tysk metod att inte utskriva del- produkterna utan r ä k n a från delresterna med h u v u d r ä k n i n g . Jag visar s ä t t e t i am.

uppställning.

213 32 |6816

41 96

0

Skall minnessiffra utskrivas v i d addition? V i lär för livet, och i verkligheten ä r det ofta n ö d v ä n d i g t .

Jag ber a t t h ä r få visa en metod, som jag för m å n g a å r sen sett i en amerikansk läro- bok. E x . 1348

5496 8987 1630 21 24 22 15 17461

En fördel med denna uppställning är, a t t man kan börja additionen med vilken t a l - sort som helst. Terminologiutredningen kommer v ä l a t t säga sitt ord om alla dessa uppställningar.

18

F ö r n å g r a å r sen kom från k. skolöverstyrelsen en uppmaning t i l l l ä r a r n a att lära barnen r ä k n e s ä t t e n s r ä t t a termer. I tredje och fjärde klasserna har jag barnen att, när de r ä k n a t ex. skriva ordet Summa, Rest, Produkt eller K v o t och därefter svaret.

Detta kunde j u vara en lämplig metodisk anvisning i läroboken.

Efter anvisningar i den nya undervisningsplanen och i en del fall tidigare har läro- böckerna infört särskilda övningar i u p p s k a t t n i n g s b e r ä k n i n g a r , men jag tror inte det räcker med särskilda övningar. N u ä r j u meningarna delade om, huruvida man skall låta eleverna skriva i sina läroböcker, men jag tror, a t t det hade v a r i t värdefullt, om det efter praktiskt taget varje räkneexempel hade funnits plats för ett uppskatt- ningssvar. Jag l å t e r gärna eleverna skriva i läroböckerna, och tar ett par sidor å t gången med u p p s k a t t n i n g s b e r ä k n i n g . Så får de komma fram och visa sina uppskatt- ningssvar, eller också tar v i muntlig genomgång, innan den skriftliga räkningen börjar.

Jag har funnit, a t t det ä r av stort v ä r d e för barnens förståelse, särskilt av regula-de- t r i t ä n k a n d e t . De skriver tecknen för större än, mindre ån eller ungefär och därefter

uppskattningssvaret.

De läroböcker, som min generation a n v ä n d e under de. första tjugu läraråren var sparsamt eller inte alls illustrerade. Förff. litade t i l l lärarens »talande hand», och serie- läsandet hade j u då inte tagit den omfattning det nu har. Numera förekommer illustra- tioner t . o. m . i flerfärg, och bilderna syns ha tre syften: bidraga t i l l a) åskådligheten b) t i l l bokens prydande c) t i l l höjning av bokpriset. Punkterna a och b kan förekomma tillsamman, men det ä r ej alltid fallet, punkten c d ä r e m o t förekommer alltid med de b å d a övriga. De flesta av v å r a moderna räkneböcker innehålla värdefulla, verkligt åskådliga illustrationer. Men så finns det böcker, som överflödar av prydnadsbilder, och v ä r s t är, a t t de långtifrån alltid ä r av konstnärlig kvalitet.

I detta sammanhang ä r det kanske lämpligt fråga: H u r långt skall v i gå i åskådlig- het? Jag ä r rädd, atc v i g å t t för långt i v å r a metoder, och nu följer läroböckerna efter.

R ä k n e m e t o d i k e n har utvecklats och samtidigt har barnens räkneförmåga b l i v i t mindre. Finns det n å g o t samband? I första kapitlet av sin bok »Rarnen u p p t ä c k e r talens värld» skriver Stern: »Vi lärare söker naturligtvis foga undervisningen efter barnens innersta natur. Men då m å s t e v i se t i l l , att v i inte våldför oss på matematikens innersta natur. Modern undervisningsteknik har t i l l den grad absorberats av själva anpassningen, a t t r ä k n e l ä r a n själv kamuflerats och kunskaperna sedan f r a m t r ä t t i torftigaste laget.» Eller med andra ord: V i låter matematiken drunkna i metodiken.

Även om v i inte har Sterns syn på det psykologiska underlaget för räknefärdigheten och det matematiska kunnandet, t r o r jag, a t t v i kan i n s t ä m m a i hennes k r i t i k av den metodik, som bedrivs. Undervisningen skall vara intresseväckande och rolig. Rarn tycker det ä r roligt a t t leka. De tycker också det ä r roligt att leka med siffror, Jag har redan n ä m n t perioderna i de periodiska decimalbråken som underlag för räknelekar.

V i har andra underliga och roliga tal. V i kan leka med 9- och 99-prov m . m. V i kan göra r ä k n e g å t o r och lekar på dessa prov och på andra grunder. A l l t s å d a n t bidrager t i l l att s t ä r k a den mekaniska räknefärdigheten och ger barnen en mera ingående upp- fattning om v å r t talsystems struktur. Jag önskar läroböcker med en myckenhet roliga uppgifter och lekar, s å d a n a som Wigforss' utomordentligt goda böcker. F ö r klasserna 7 och/eller 8 kunde man mycket väl föra in ett kortfattat och enkelt kapitel med arit- metisk serie, å t m . för de mera försigkomna eleverna, och därvid kunde man låta dem roa sig med taltrianglar o. d. Gång p å gång borde repetition av talsorterna förekomma, så a t t eleverna aldrig t d l ä t s glömma v å r t talsystems positionsbyggnad. Detta är, som v i vet, inte så självklart för v å r a elever som för oss vuxna. I klass 8 borde böcker- na n å g o t kunna tala om försök med icke-dekadiska system. Man kunde låta eleverna några timmar få syssla med ett talsystem, som hade fem t i l l bas. De blir förbuffade över hur enkel multiplikationstabellen är i ett s å d a n t . N å g r a historiska notiser om talsystemen kunde också ges.

19

F å r jag så avsluta med några axplock ur ett par läroböcker: Som första exempel p å subtraktion utan lån förekommer följande: »År 1947 hade Malmö 181280 inv. och å r 1940 155506. H u r stor var ökningen?» Man ser j u genast a t t h ä r m å s t e lånas. N ä r förff. gav u t ny upplaga, moderniserade de sifferuppgifterna. Går man ett par upp- lagor tillbaka, kommer man t i l l operation utan l å n .

»Herr E . sålde en b i l för 3825 k r . Han hade k ö p t den för 5200 k r . H u r mycket förlorade han?» Talet står under rubriken: A t t k ö p a och sälja med vinst och förlust.

I bok för klass 3: »Hur stor ä r skillnaden i antalet ben mellan 9 myggor och 7 spindlar?»

I anvisningar t i l l grupparbete: Barnen skall göra ett räknespel p å en pappskiva av t å r t k a r t o n g och d ä r p å skriva siffrorna med bläck.

I metodiska anvisningar: »Additionstecknet kallas också plus.»

»Tag reda p å n å g o t a v s t å n d i din hemtrakt, som ä r 1 km.»

»Anders b e h ö v e r ett snöre, som ä r 9 dm 5 cm långt, men det snöre han har ä r endast 7 dm 8 cm långt. H u r lång s n ö r s t u m p m å s t e han skaffa till?»

»Lär dig noga minnesversen 'Trettio dagar har november etc'. Den s t å r i slutet av boken.» Uppgiften förekommer p å sid. 81, och jag har förgäves letat efter poemet ä n d a t i l l sista sidan.

Rubrik: »Divisionen går j ä m n t upp i varje siffra.» Och så kommer typexemplet 32 : 4 =

t

(PeiL&vilLql bteo ULL

JläLcuczvi

Genom postgiroblanketterna, som bifogades förra numret av T f S , har var och en, som läser dessa rader, möjlighet att genom en liten enkel handling förverkliga en stor idé: att skapa betingelserna för en tidskrift för Sveriges alla matematiklärare!

T f S förväntar stöd från sina läsare: erbjud Din kollega förmånen att bli prenumerant på T f S !

Den viktigaste vägen att sprida T f S är att kännedomen om tid- skriften förmedlas på detta sätt: från lärare till lärare.

Har D u förslag och önskemål om TfS:s innehåll och utformning:

skriv till redaktionen! Vill D u att T f S skall fortsätta och utvecklas:

placera då den lilla postgiroblanketten hos en enda av Dina tusen- tals kolleger!

20

ii H. 1TEMAHK En pedogogisk insats av unikt och

synnerligen stort v ä r d e

Halfrid Stenmark

M a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n

i realskolan och motsvarande skolformer

N å g o t m o t s v a r a n d e meto- d i s k t v e r k , som behandlar r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n i n o m realskolans klasser, har h i t - t i l l s saknats. D ä r f ö r ä r A d - j u n k t Stenmarks n u före- liggande h a n d l e d n i n g en pe- dagogisk insats a v u n i k t och synnerligen s t o r t v ä r d e . — H a n d l e d n i n g e n har s i t t v ä r - de för l ä r a r e , som arbetar i n o m realskolan samt i n o m enhetsskolans o l i k a linjer i o m r å d e t klass 5 t i l l klass 9.

D e t v ä s e n t l i g a s t e ä r sagt o m m a n h ä n v i s a r t i l l den cite- rade i n n e h å l l s f ö r t e c k n i n g e n m e d k o m m e n t a r e n : A l l t det-

t a ä r behandlat a v en erfaren pedagog p å e t t för- n ä m l i g t s ä t t . G ä c k och l ä s !

M å n g a metodiska h a n d l e d n i n g a r f ö r a ofta e t t a l l t - för a l l m ä n t resonemang o m p r i n c i p e r och metoder i u n d e r v i s n i n g e n . V a d den unge l ä r a r e n b e h ö v e r ä r e m e l l e r t i d d i r e k t a p r a k t i s k a a n v i s n i n g a r h u r de me- t o d i s k a p r i n c i p e r n a i v a r j e s ä r s k i l t f a l l skall t i l l ä m - pas. H ä r ä r A d j u n k t Stenmarks h a n d l e d n i n g f ö r e - d ö m l i g t u p p l a g d , d å den ofta u t f ö r l i g t i detalj visar h u r e t t k u r s m o m e n t skall g e n o m g å s i klassen. D e n b l i r p å så s ä t t en h a n d l e d n i n g a v d i r e k t p r a k t i s k n y t t a , som ä v e n en erfaren l ä r a r e har b å d e n y t t a och n ö j e av. T i l l s l u t v i l l a n m ä l a r e n citera och h e l t i n s t ä m m a i det u t t a l a n d e , som R e k t o r B a l t z a r W a h l - s t r ö m a v g i v i t i sin rescension i T i d n i n g för Sveriges L ä r o v e r k n r 2 1 : B o k e n ä r b e h ö v l i g . D e n b ö r finnas p å varje m a t e m a t i k l ä r a r e s b o r d — i n t e s t å b o r t g l ö m d i referensbiblioteks h y l l r a d e r .

Lektor Edvin Ferner i Tidskrift för Skolmatematik

1 3 : 5 0 ( 1 0 : 8 0 ) i n b . 1 7 : 5 0 (14: - )

Lärarex. p o r t o f r i t t o m inom parentes angivet belopp insändes p r postgiro 3 08 43

CWK GLEERUP, LUND

NÅGOT OM MELLANSTADIETS MATEMATIK

Av Charles Hultman

L e k t o r i m e t o d i k v i d L ä r a r h ö g s k o l a n i S t o c k h o l m

Artikelförf. ritad av Tormod, Luleå.

H u v u d r ä k n i n g

F ö r s m å barn ä r ramsräkningen det naturligaste. Det lilla barnets taluppfattning är mycket bristfällig. F ö r att kunna tala om, hur m å n g a apelsiner det ligger p å ett fat, m å s t e 4-åringen r ä k n a t i l l antalet. 1, 2, 3 apelsiner. Ofta stannar denna r a m s r ä k - ning kvar hos barnet, även efter en gedigen undervisning i småskolan. V i har väl alla träffat barn, som med en mycket god hastighet med hjälp av fingrarna kan addera.

7 + 4 blir 7 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 1 .

Innan läraren på allvar ä g n a r sig å t tredje klassens kurs, m å s t e han förvissa sig o m a t t barnen b e h ä r s k a r blockräkningen. Detta kan ske genom prövning och övning i en tabell, som ser u t på följande sätt:

3 -_ 2 5 6 9 8 7 1 3

4 -h 3 6 9 2 8 5 1 2

5 -- 1 3 2 9 4 8 6 5

6 - 2 6 7 5 3 3 9 8

0. s. v.

Med b l o c k r ä k n i n g förstås sönderdelning av t a l i lämpliga enheter, t . ex. 6 + 7 = 6 + 4 + 3 = 10 + 3 = 13 eller 28 — 9 = 28 — 8 — 1 = 20 — 1 = 19 o. s. v.

Om läraren a n v ä n d e r tabell av ovanstående utseende eller någon annan sorts tabel- larisk u p p s t ä l l n i n g ä r naturligtvis egalt. Träningen b ö r ske i form av h u v u d r ä k n i n g - Om läraren b e v ä p n a r sig med pekpinne och pekar i stället för a t t prata, vinnes t i d , och barnen kan b ä t t r e koncentrera sig på uppgiften.

Åtskillig t i d b ö r skolan igenom a n v ä n d a s t i l l h u v u d r ä k n i n g . Barnen ä r i regel roade av den sortens r ä k n i n g . En a n v ä n d b a r uppställning ä r följande:

+ — • :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

o. s. v . så l å n g t man har lust att skriva på svarta tavlan. Tecknen utsattes givetvis inte förrän de blir aktuella i r ä k n a n d e t .

L å t barnen stå upp! Peka! 5 + 6 + 22. Ta ner pinnen! Så fort pinnen l ä m n a r t a v - lan, får barnen svara. Den som hinner först får s ä t t a sig. L å t raderna t ä v l a om att b l i först sittande. L ä r a r e n får naturligtvis inte gå så långt i sitt nit, a t t han låter ett eller ett par barn b l i stående kvar sist. Sluta n ä r en rad ä r klar! E t t annat s ä t t . Ge barnen varsin papperslapp! L å t dem numrera förslagsvis 10 uppgifter! N u sitter varje barn och skriver resultatet på sin lapp. L å t barnen byta lappar med varandra för r ä t t n i n g . 22

Resultaten har läraren klara i förväg. Det är enkelt att peka fram t i l l en facit av t . ex.

följande utseende:

1) 4) 2) 7) 3) 25) 4) 0) 5) 72) o. s. v.

Eftersom barnen gärna v i l l redovisa sina resultat, b ö r läraren efter r ä t t n i n g e n och sedan varje barn fått tillbaka sin lapp fråga: Vilka hade 10 r ä t t ? 9? 8? Sluta med 5!

De barn som av en eller annan anledning inte lyckats få ihop så m å n g a riktiga resul- tat, slipper då schavottera.

H u v u d r ä k n i n g e n av den h ä r typen kan bedrivas hur h ö g t upp i klasserna som helst.

Läraren kan l ä t t variera svårighetsgraderna.

Den t i d som lägges ned på h u v u d r ä k n i n g ä r väl a n v ä n d t i d . Om en lärare skall nå goda r ä k n e r e s u l t a t i sin klass, m å s t e barnen kunna lösa relativt komplicerade opera- tioner utan penna och papper, annars kommer lärarens g e n o m g å n g a r att ta för lång tid i anspråk.

Addition

Skaffa några olikfärgade pappskivor och tillverka fyrkanter, föreställande hundra- tal, tiotal och ental. Ge barnen ett exempel på svarta tavlan, t . ex. 14 + 19. Rena upp uppgiften! Vad består 14 av? Svar: 1 tiotal och 4 ental. 19? 1 tiotal och 9 ental. K o m fram och plocka upp 4 ental och 9 ental! (Två barn fram). T v å andra barn tar varsitt tiotal. Lägg tiotalen för sig och entalen för sig. H u r m å n g a tiotal? H u r m å n g a ental?

2 tiotal och 13 ental. Vad räcker 13 ental till? 1 t i o t a l och 3 ental. Tio ental v ä x l a s t i l l 1 tiotal, som lägges t i l l de b å d a andra. H u r m å n g a tiotal, hur m å n g a ental sam- manlagt? Svar: 3 tiotal och 3 ental. H u r mycket är det tillsammans? Svar 33. Vad blir alltså 14 + 19? Svar 33. Visa sedan med uppställningen 14, a t t samma resultat

kan n å s p å ett annat s ä t t . + 1 9 4 ental plus 9 ental är 13 ental, vilka omedelbart växlas t i l l 1 tiotal och 3 ental. De

3 entalen placeras under 4:an och 9:an i entalsraden. 1 tiotal placeras överst i tiotals- raden med ett litet streck under och kallas minnessiffra. Lägg ihop tiotalsraden. 1 t i o - t a l + 1 tiotal + 1 tiotal ä r 3 tiotal. Dessa placeras i tiotalsraden. V i ha f å t t 14

+ 19 33 Det kan kanske låta tjatigt detta resonemang, och ä n d å lär det vara n ö d v ä n d i g t om man v i l l lära barnen vad addition egentligen innebär, och varför man kan a n v ä n d a uppställningen med talen under varandra. L å t barnen säga 1 ental + 4 ental en t i d , så att de verkligen förstår, hur v i k t i g t det ä r att placera de olika sorterna (ental, t i o - tal, hundratal o. s. v.) i samma rad. I lur mycket ä r 3 äpplen 5 päron? Barnen skrat- tar å t en sådan fråga, men den kan göra n y t t a .

F o r t s ä t t undervisningen på liknande s ä t t med större tal. 103 + 405 + 689 = o. s. v.

F ö r s t n ä r alla barn verkligen begriper, vad addition innebär, kan läraren hjälpa bar- nen med att mekanisera tekniken. U t r ä k n i n g e n av

45 68 76 38 +339 566

23

bör ske p å följande sätt: Barnen läser 5, 13, 19, 27, 36, och entalssiffran 6 utskrives.

Det torde vara onödigt a t t anteckna minnessiffran. Barnen läser 3 (minnessiffran 7, 13, 20, 23, 26. Tiotalssiffran 6 utskrives i tiotalsraden. 2 (minnessiffran), 5. Fem- man utskrives i hundratalsraden.

N ä r tecknet + skall namnges heter det »plus».

R ä k n e s ä t t e t addition omfattar i själva verket minst t v å r ä k n e s ä t t , vilket kan be- lysas av följande exempel:

1) Kalle har 13 kulor och köper 15 kulor. H u r m å n g a har han tillsammans?

Operationen 13 st. + 15 st. i n n e b ä r en ökning.

2) Kalle har 13 kulor och Sven har 15 kulor. H u r m å n g a har de tillsammans?

Operationen 13 st. + 15 st. innebär h ä r en sammanläggning.

Terminologi: 13 + 15 = 28 t e r m + term = summa

Subtraktion

De brokiga hundra-, t i o - och entalslapparna kommer t i l l a n v ä n d n i n g även n ä r subtraktion skall inläras. 25—3 m ö t e r inga svårigheter hos barnen. N ä r talet ä r 63—47 blir det hela s v å r a r e . Vilket problem ställs barnen inför? Talet 63 består av 6 tiotal och 3 ental. Visa! Talet 47 består av 4 tiotal och 7 ental. Visa! Det ä r omöjligt a t t avlägsna 7 ental från 3 ental. De 3 entalen räcker inte. H u r skall v i göra? V i växlar ett tiotal. K v a r blir 5 tiotal, men i stället har v i fått 13 ental. F r å n 13 ental g å r det l ä t t att plocka bort 7 ental. V i får 6 ental kvar. F r å n 5 tiotal avlägsnas sedan 4 tiotal, precis som tecknet — anger. K v a r blir 1 tiotal. Men 1 tiotal och 6 ental blir tillsam- mans 16. 63—47 m å s t e således vara 16. L å t barnen plocka mycket med lapparna och bli förtrogna med växlandet.

N ä r uppgiften ä r av typen 103—58, blir den genast svårare. N u m å s t e 1 hundratal växlas t i l l 10 t i o t a l och 1 tiotal t i l l 10 ental. I handen har barnen 9 tiotal och samman- lagt 13 ental. N u går det l ä t t att avlägsna 8 ental och 5 tiotal. Den mekaniska u t r ä k - ningen blir följande:

103

—58 45

F ö r s t strykes hundratals-l:an. Snedstrecket tillsammans med 0:an bildar talet 10, d. v. s. 10 tiotal. E t t tiotal m å s t e också växlas. Den strukna nollan betyder alltså 9.

Strecket över 0:an tillsammans med 3:an bildar talet 13, d. v. s. 13 ental. 13 ental minus 8 ental ä r 5 ental. 5:an skrives i entalsraden. 9 tiotal minus 5 tiotal är 4 tiotal.

4:an skrives i tiotalsraden. 103—58 blir alltså 45, vilket plockandet med lapparna redan visat oss.

B ä k n e s ä t t e t subtraktion omfattar också minst t v å r ä k n e s ä t t , vilket kan belysas av följande exempel:

1) Kalle har 13 kulor men förlorar 8. H u r m å n g a har han kvar? Operationen 13—8 innebär en minskning.

2) Kalle har 13 kulor och Sven har 8 kulor. H u r m å n g a fler kulor har Kalle? Opera- tionen 13—8 i n n e b ä r h ä r jämförelse mellan antalet kulor hos Kalle och Sven. Var och en av dem behåller oförändrat antal kulor.

Terminologi: Exempel 1) 13 — 8 = 5 term term rest

» 2) 13 — 8 = 5 term term skillnad 24