I. Akilles och sköldpaddan - en introduktion till gränsvärden

(1)

En webbaserad analyskurs Grundbok

I. Akilles och sk ¨oldpaddan - en introduktion till

gr ¨ansv ¨arden

Anders K¨all´en MatematikCentrum LTH

anderskallen@gmail.com

(2)

Introduktion

De gamla grekerna hade ett problem: tvärt emot all erfarenhet borde rörelse vara en omöjlighet. För att g˚a en viss sträcka, m˚aste du nämligen först g˚a halva sträckan, sedan hälften av ˚aterstoden. Därefter hälften av det som ˚aterst˚ar för att sedan g˚a hälften....

Man har allts˚a alltid en bit kvar, och kan därför aldrig komma fram, tyckte Zenon fr˚an Elea (i Italien!) och andra greker, som ville tolka världen utifr˚an logiska resonemang, inte utifr˚an vad de verkligen observerade. I deras värld gav sinnena oss en illusion av världen, och den sanna kunskapen kunde endast f˚as genom logikens lagar.

I det här kapitlet ska vi diskutera denna fr˚aga matematiskt, liksom den närbesläktade fr˚agan huruvida Akilles verkligen hinner ifatt sköldpaddan som startar före honom. Det handlar om geometriska talföljder, geometriska summor och geometriska serier. Och s˚a handlar det om varför vi behöver en ordentlig definition av gränsvärden. Däremot gör vi ingen mer ing˚aende analys av gränsvärden utan h˚aller huvuddelen av diskussionen p˚a en mer intuitiv niv˚a.

Geometriska talf¨ oljder

I m˚anga sammanhang mäter man en storhet vid upprepade tillfällen. Om vi sätter in ett kapital p˚a ett bankkonto med en viss ˚arlig ränta, s˚a är vi kanske intresserade av hur mycket pengar kontot inneh˚aller efter ett ˚ar, efter tv˚a ˚ar, osv. Inom ekologin kan man vara intresserad av att inventera^[1] ett visst djurbest˚and i ett omr˚ade en g˚ang om ˚aret under ett antal ˚ar. Eller att mäta antalet bakterier i en kultur en g˚ang dagligen för att se effekten av ett antibiotikum.

Om vi betecknar det vi vill mäta med a (t.ex. antalet kronor p˚a bankkontot, eller antalet djur i omr˚adet), s˚a är det naturligt att införa ett index för att specificera vid vilket tillfälle vi mätte storheten. Detta ger oss en talföljd

a1, a2, a3, . . . , an, . . . ,

där an betecknar mätresultatet i mätning nummer n. En s˚adan talföljd skriver vi ofta kortare {an}^∞1 , eller t.o.m. bara{an} om det är klart vilka index som gäller. Ofta är det lämpligt att börja numreringen s˚a att första talet i talföljden blir a0, s˚a att vi skriver den som {an}^∞0 . Man kan ocks˚a börja p˚a andra index i sviten; likas˚a kan vi utan problem tänka oss negativa tal som index.

Exempel 1 Bland de enklaste talföljderna har vi de som startar med ett tal, och sedan lägger till ett visst tal i varje steg. Med andra ord, om vi börjar med talet a0

och sedan l¨agger till talet d i varje steg, s˚a att

a₁ = a₀+ d, a₂ = a₁+ d = a₀+ 2d, a₃ = a₂+ d = a₀+ 3d, o.s.v.

s˚a gäller att vi f˚ar en talföljd s˚adan att det n:te talet är an = a0 + nd. En s˚adan talföljd kallas en aritmetisk talföljd.

(3)

En annan typ av talf¨oljd dyker upp i n¨asta exempel.

Exempel 2 Om vi sätter in kapitalet K kr p˚a en bankbok med 100p procents ränta (detta betyder att t.ex. 12% ränta svarar mot p = 0.12), s˚a har kapitalet vuxit med pK kr p˚a ett ˚ar. Efter ett ˚ar har vi därför K + pK = (1 + p)K kr p˚a kontot. Hur mycket har vi d˚a p˚a kontot efter n ˚ar?

F¨or att utreda det l˚ater vi an beteckna hur m˚anga kronor vi har p˚a kontot efter n ˚ar.

Här är det lämpligt att börja med a0 = K. Nästa tal i serien, d.v.s. kapitalet efter ett ˚ar, ges av

a1 = (1 + p)K.

Efter ytterligare ett ˚ar, tv˚a ˚ar efter ins¨attningen, har detta kapital vuxit till a2 = (1 + p)a1 = (1 + p)²K.

Upprepar vi detta finner vi till slut att efter n ˚ar har vi an= (1 + p)an−1 = . . . = (1 + p)ⁿK kronor p˚a kontot.

En talf¨oljd {an} som ¨ar s˚adan att

a_n+1 = ra_n

för alla n, kallas en geometrisk talföljd med kvoten r. Om vi startar med a0 = a blir denna talföljd

a, ar, ar², ar³, . . .

I Exempel 2 hade vi en geometrisk talf¨oljd med kvoten r = 1 + p.

Exempel 3 Att l˚ana pengar i en bank är lite mer komplicerat än diskussionen i Exempel 2 vad gäller ränteberäkningar. Banken har nämligen kommit p˚a att man tjänar mer pengar om man lägger p˚a räntan flera g˚anger per ˚ar. Man säger d˚a att man kapitaliserar räntan vi de olika tillfällena.

Om vi l˚anar K kronor till en ˚arsränta av 12%^[2] och vi antar att banken kapitaliserar fyra g˚anger om ˚aret, betyder detta att banken lägger till 12/4 = 3 procents ränta varje kvartal. Den totala räntan efter ett ˚ar som ska betalas är d˚a inte 12%, utan kapitalet har ökat med en faktor

(1 + 0.03)⁴ = 1.1255,

allts˚a 12.55%. Man kallar de 12% för nominell ränta, medan 12.55% är den faktiska räntan.

I verkligheten kapitaliseras dock l˚anet inte fyra g˚anger om ˚aret utan hela tiden. Om vi t¨anker oss att det kapitaliseras varje dag, som det finns 365 av, har l˚anet g˚att upp

(4)

med en faktor

(1 + 0.12

365)³⁶⁵ = 1.1275

p˚a ett ˚ar, vilket svarar mot 12.75% r¨anta. Inga stora skillnader p˚a kort tid, men

“m˚anga b¨ackar sm˚a..”

Anmärkning Om vi verkligen vill lägga p˚a räntan hela tiden, m˚aste vi använda oss av exponentialfunktionen.

Inom ekologin dyker geometriska talföljder upp i det som kallas Malthus’ modell för en population. L˚at oss betrakta en insektspopulation som har ˚atskilda generationer och l˚at an beteckna antalet individer i populationen i generation n. Malthus enkla modell är d˚a att vi antar att an+1 = ran, där r utgör det genomsnittliga antalet ungar per individ i varje generation (som allts˚a antas vara konstant).

Om r > 1 växer en s˚adan geometrisk talföljd över alla gränser, vilket vi skriver som^[3]

a_n→ ∞ d˚a n → ∞.

Det är lätt att först˚a intuitivt: om varje individ i genomsnitt f˚ar mer än en unge, växer populationen över alla gränser. Om istället 0 < r < 1 har vi en geometrisk talföljd som g˚ar mot 0 d˚a n g˚ar mot oändligheten:

an → 0 d˚a n→ ∞.

Aven detta är lätt att först˚¨ a intuitivt: om varje individ i medeltal f˚ar färre än en unge, kommer populationen att dö ut.

Anmärkning Thomas Robert Malthus var en engelsk präst som kanske är mest känd för sin bok An Essay on the Principle of Populations som utkom 1798. I den framkas- tade han teorin att befolkningen typiskt växer geometriskt, medan födoresurserna endast kan tillväxa linjärt med tiden. Om därför ingenting görs politiskt för att

ändra p˚a detta, t.ex. genom födelsekontroll, kommer befolkningen att växa fortare

än tillg˚angen p˚a mat, vilket leder till fattigdom och svält. Hans idé med att införa födelsekontroll föll dock inte i god jord p˚a den tiden!

Geometriska summor

Vi ska nu summera talen i en geometrisk talföljd. För att motivera varför börjar vi med ett exempel, som är en modifikation av Exempel 2.

Exempel 4 Antag att vi sätter in kapitalet K till ˚arsräntan 100p% varje ˚ar. Hur mycket har vi d˚a p˚a banken n ˚ar efter första insättningen?

Vi har sett att första insättningen växer till (1 + p)ⁿK kronor p˚a n ˚ar. Den andra insättningen har vid samma tidpunkt vuxit till (1 + p)ⁿ⁻¹K kronor osv. Det totala

(5)

kapitalet p˚a kontot efter n ˚ar är därför

K + (1 + p)K + (1 + p)²K + . . . + (1 + p)ⁿK kr, alldeles efter den senaste ins¨attningen.

Ett alternativt sätt att resonera för att f˚a samma resultat är att l˚ata s_n beteckna summan p˚a kontot efter n ˚ar (där vi sätter s0 = K). D˚a gäller att det som finns p˚a kontot ett visst ˚ar är ˚arets insättning plus det som fanns ett ˚ar tidigare, men med tillagd ränta. Vi kan uttrycka detta som

sn+1 = K + (1 + p)sn.

Att det leder till summan ovan framg˚ar av den kommande diskussionen.

Den talf¨oljd {sⁿ} som definieras av den s.k. rekursionsformeln

(1) sn+1 = a + rsn, s0 = a,

kallas den geometriska summan. Utskriven blir denna

sn = a + rsn−1 = a + r(a + rsn−2) = a + ra + r²sn−2 = a + ra + r²(a + rsn−3)

= a + ra + r²a + r²sn−3= . . . = a + ra + r²a + . . . + rⁿs0. Med andra ord, vi har formeln

(2) sn = a + ar + ar²+ . . . + arⁿ= a

n

X

k=0

r^k. Här använder vi summasymbolen för att kortare beteckna en summa:

a_m+ a_m+1 + . . . + a_n=

n

X

k=m

a_k. T.ex. har vi att

5

X

k=1

2^k = 2 + 2²+ 2³+ 2⁴+ 2⁵ = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62.

Summan (2) kan vi beräkna med ett enkelt trick: multiplicera med r och jämför summorna (för denna räkning tar vi a = 1):

sn = 1+ r + r²+ r³+ . . . + rⁿ

rsn = r + r²+ r³+ . . . + rⁿ +rⁿ⁺¹ s_n− rsn = 1+ 0 + 0 + 0 + . . . + 0 −rⁿ⁺¹.

Vi ser allts˚a att (1− r)sn = 1− rⁿ⁺¹, s˚a om r 6= 1, s˚a kan vi dividera med (1− r) och f˚a att sn = (1− rⁿ⁺¹)/(1− r). Efter multiplikation med a ger detta oss formeln f¨or den geometriska summan:

(3)

n

X

k=0

ar^k= a1− rⁿ⁺¹

1− r om r6= 1.

N¨ar r = 1 blir summan naturligtvis lika med n + 1.

(6)

Exempel 5 För kontot i Exempel 4 har vi därför följande uttryck för hur mycket pengar det finns p˚a kontot efter n ˚ar:

K1− (1 + p)ⁿ⁺¹

1− (1 + p) = K(1 + p)ⁿ⁺¹− 1

p kronor.

Anmärkning Ett alternativt sätt att bevisa formeln för den geometriska summan bygger p˚a s˚a kallad induktion. Man visar d˚a först formeln för n = 0. Därefter visar man att den är sann för n = k + 1 om den är sann för n = k. Eftersom den är sann för n = 0, blir den d˚a sann för n = 1, och eftersom den är sann för n = 1, blir den sann för n = 2, o.s.v. Därmed kan vi dra slutsatsen att formeln är sann för alla n.

För att kunna göra det m˚aste vi hänvisa till ett axiom, det s.k. induktionsaxiomet^[4]. I v˚art fall är de tv˚a stegen i induktionsbeviset

a) Formel (3) är sann för n = 0 därför att summan är d˚a r⁰ = 1 och högerledet är (1− r)/(1 − r) = 1,

b) Antag att (3) gäller för n = k. D˚a gäller att

k+1

X

i=0

rⁱ =

k

X

i=0

rⁱ+ r^k+1 = 1− r^k+1

1− r + r^k+1 = 1− r^k+2 1− r .

Här använde vi induktionsantagandet i andra likheten. Resultatet är allts˚a att (3) är sann för n = k + 1.

Därmed har vi visat att formeln gäller i allmänhet.

Vi avslutar med en variation p˚a l˚anetemat, n¨amligen s˚a kallade annuitetsl˚an.

Exempel 6 Vi vill ta ett l˚an p˚a 100 kkr^[5] som ska betalas tillbaka p˚a fem ˚ar med en ˚arsr¨anta p˚a 9%. Kapitaliseringen sker m˚anadsvis, s˚a skulden sn efter n m˚anader ges av

sn = Krⁿ, d¨ar K = 10⁵, r = 1 + 0.09/12 = 1.0075.

Eftersom den totala l˚aneperioden ¨ar 60 m˚anader betyder det att om vi betalar tillbaka skulden efter fem ˚ar, s˚a ska vi betala

s60= 10⁵· 1.0075⁶⁰= 156568 kronor.

Men vi vill inte betala tillbaka l˚anet p˚a det sättet. Vi vill istället ta ett annuitetsl˚an s˚a konstruerat att vi varje m˚anad betalar in ett belopp a s˚a stort att när fem ˚ar g˚att

¨ar hela skulden betald. Om vi nu l˚ater an vara skulden efter n m˚anader, s˚a har vi

(7)

därför att a0 = K (det är ju startskulden) och vi ska välja amorteringen a s˚a att a60 = 0.

Om skulden efter n m˚anader ¨ar an, s˚a kommer denna att stiga till ran n¨asta m˚anad.

Men samtidigt kommer vi att betala in amorteringen. Det betyder att vi har rekursionsformeln

an+1= ran− a, a0 = K.

Detta är inte Ekvation 1, men vi kan lösa den p˚a motsvarande sätt:

an = ran− a = r(ran−2− a) − a = r²an−3− (a + ar) = r²(ran−3− a) − (a + ar) =

r³an−3− a(1 + r + r²) = . . . = rⁿa0 − a

n−1

X

k=0

r^k = Krⁿ− arⁿ− 1 r− 1 . Alternativt tar vi det fr˚an andra h˚allet:

a0 = K, a1 = rK− a, a2 = r(rK − a) − a = r²K− (a + ra), a₃ = r(r²K − (a + ra)) − a = r³K− (a + ra + r²a), och s˚a vidare. Detta leder till samma formel.

Villkoret p˚a a ¨ar nu att a60= 0, allts˚a att Kr⁶⁰= ar⁶⁰− 1

r− 1 ⇔ a = K(r− 1) 1− r⁻⁶⁰ .

Med v˚ara val av K och r inneb¨ar detta att a = 2075.83 kronor. Det ¨ar allts˚a den m˚anatliga inbetalningen.

Anmärkning Ett alternativt sätt att resonera är att man sätter in alla amortering- arna p˚a ett speciellt konto med samma ränta som l˚aneräntan. Det som finns p˚a kontot

är d˚a en geometrisk summa, och den ska vara lika med den totala l˚aneskulden efter 60 m˚anader utan amorteringar. Det är samma räkningar som ovan.

Faktorsatsen

Ett polynom ¨ar ett uttryck p˚a formen

n

X

k=0

akx^k = a0+ a1x + . . . + anxⁿ.

Här är a0, . . . , an reella tal och kallas polynomets koefficienter. Man säger att polynomet har gradtalet n om an6= 0.

Ett speciellt n:te-gradspolynom f˚ar vi om vi tar alla koefficienter lika med ett:

n

X

k=0

x^k = 1 + x + x²+ . . . + xⁿ.

(8)

Detta uttryck ¨ar den geometriska summan av ordning n med kvot x. Vi har sett att denna summa ocks˚a kan skrivas (xⁿ⁺¹− 1)/(x − 1) om x 6= 1. Om vi i denna formel ers¨atter x med x/a och sedan multiplicerar den erh˚allna ekvationen med aⁿ, f˚ar vi att

(4)

n

X

k=0

a^n−kx^k = xⁿ⁺¹− aⁿ⁺¹ x− a .

Om vi sedan byter n mot n− 1 och flyttar om lite, s˚a kan vi skriva detta som xⁿ− aⁿ= Q(x)(x− a), d¨ar Q(x) =

n−1

X

k=0

a^n−1−kx^k

¨ar ett polynom av grad n− 1.

L˚at oss nu se hur vi kan anv¨anda detta.

Exempel 7 Polynomet p(x) = x³+ 6x− 20 har nollstället x = 2, vilket vi lätt ser genom att sätta in det. Men det betyder att

p(x) = p(x)− p(2) = x³− 2³ + 6(x− 2) = (x − 2)(x²+ 2x + 2²) + 6(x− 2)

= (x− 2)(x²+ 2x + 10).

Vi ser allts˚a att vi kan bryta ut faktorn x− 2 och att kvoten, d.v.s. p(x)/(x − 2) är lika med x²+ 2x + 10 = (x + 1)²+ 9. Kvoten är ett polynom som är > 0 för alla x, s˚a p(x) har inga andra (reella) nollställen än 2.

Resonemanget i det h¨ar exemplet kan generaliseras och leder d˚a till f¨oljande p˚ast˚aende:

Sats 1: Faktorsatsen Polynomet

p(x) =

n

X

k=0

akx^k

har ett nollst¨alle i punkten x = α om och endast om vi kan bryta ut faktorn (x− α) ur p(x).

Det sista betyder att det finns ett polynom q (som har ett gradtal som är ett lägre än det för p) s˚adant att

p(x) = q(x)(x− α).

Bevis. Det är klart att om p har denna form, s˚a gäller att p(α) = 0. Det är omvändingen som inte är självklar. Men (jämför med exemplet ovan) vi vet att när k ≥ 1 s˚a gäller att

x^k− α^k= qk(x)(x− α),

(9)

där qk(x) är ett polynom^[6] av grad k− 1. Det följer att vi kan skriva p(x)− p(α) =

n

X

k=1

ak(x^k− α^k) = Q(x)(x− α), Q(x) =

n

X

k=1

akqk(x).

Om därför p(α) = 0, s˚a gäller att p(x) = Q(x)(x−α). Därmed är faktorsatsen bevisad^[7].

Anmärkning En viktig konskevens av faktorsatsen är att ett n:te-gradspolynom kan ha högst n reella nollställen. För varje nollställe vi hittar kan vi bryta ut en faktor (x− a) och kvoten blir ett polynom vars gradtal har g˚att ner ett steg. Vi kan därför bryta ut en ny faktor högst n g˚anger. Dock behöver ett polynom inte ha s˚a m˚anga reella nollställen; det behöver inte ens ha n˚agot reellt nollställe, som det enkla polynomet x²+ 1 visar.

Exempel 8 Vi vill best¨amma nollst¨allena till polynomet p(x) = x³− 6x² + 11x− 6.

Eftersom det är ett tredjegradspolynom har vi ingen allmän metod för att hitta dessa. Här kan dock faktorsatsen komma till hjälp om vi kan hitta ett nollställe. Vi provar därför med n˚agra sm˚a heltal, och ser d˚a att p(1) = 0. Enligt faktorsatsen kan vi därför bryta ut faktorn (x− 1) ur polynomet. Ett enkelt sätt att f˚a kvoten, som alternativ till att göra en polynomdivision, är att göra som i exemplet ovan:

p(x) = p(x)− p(1) = x³− 1³− 6(x²− 1²) + 11(x− 1)

= (x− 1)((x²+ x + 1)− 6(x + 1) + 11) = (x − 1)(x²− 5x + 6) Sedan faktoriserar vi andragradspolynomet som vanligt och f˚ar

p(x) = (x− 1)(x − 2)(x − 3).

Polynomets nollst¨allen ¨ar allts˚a x = 1, 2, 3.

Den geometriska serien och Akilles’ lopp

Vi har sett ovan att rⁿ → ∞ d˚a n → ∞ om r > 1, men att rⁿ → 0 d˚a n → ∞ d˚a 0 < r < 1. T.ex. gäller att 2ⁿ → ∞ d˚a n → ∞, medan (¹₂)ⁿ = ₂¹n → 0 d˚a n→ ∞. Det följer att |rⁿ| = |r|ⁿ → 0 d˚a n → ∞ om |r| < 1. Fr˚an diskussionen i föreg˚aende avsnitt vet vi dessutom att

n

X

k=0

r^k = 1− rⁿ⁺¹

1− r , r 6= 1.

Om vi d¨arf¨or l˚ater n→ ∞, s˚a ser vi att

∞

X

k=0

r^k = 1

1− r om |r| < 1.

Denna o¨andliga summa kallas den geometriska serien^[8].

(10)

Anmärkning Denna formel för summan av den geometriska serien gäller inte för andra r, vilket vi ska titta närmare p˚a längre fram i detta kapitel. Man säger att serien konvergerar d˚a|r| < 1 men divergerar annars.

Exempel 9 Vi ˚atervänder till Zenons problem som antyddes i inledningen, vilket var att vi alltid m˚aste g˚a hälften av det som ˚aterst˚ar innan vi kommer fram. Om vi sätter totalsträckan till ett, s˚a betyder det att sträckan vi g˚att efter n steg an

uppfyller rekursionsformeln

an+1 = an+ 1

2(1− aⁿ) = 1 2+ 1

2an

med a1 = 1/2. Det f¨oljer att^[9]

an= 1 2+ (1

2)²+ . . . + (1

2)ⁿ= 1 2

1− (¹₂)ⁿ

1− ¹₂ = 1− (1 2)ⁿ och d˚a n→ ∞ ser vi att aⁿ→ 1. Med andra ord:

1 2+ (1

2)²+ . . . + (1

2)ⁿ+ . . . = 1, som sig b¨or.

Anmärkning Man kan tycka att detta är självklart. Men tänk dig att det finns en lampa som kan vara tänd eller släckt. Den är släckt när du startar, men när du g˚att första delsträckan tänds den. Sedan släcks den efter nästa delsträcka, varefter den tänds igen efter den följande. Och s˚a vidare, i det oändliga. När du kommit fram, är lampan d˚a tänd eller släckt?

Det finns olika s¨att att “f¨orst˚a” den geometriska serien. Ett illustreras i figuren nedan:

A B

C

D E

F

1

r

r r²

r² r³

r³ r⁴r⁵

Här ser vi att trianglarna ∆ABC och ∆ECF är likformiga, eftersom de har samma vinklar. Sidan AC (som har längden 1) förh˚aller sig därför till sidan EF (som har längden

(11)

1− r) p˚a samma sätt som sidan AB förh˚aller sig till sidan CE. Sidan CE har längden ett, medan sidan AB har längden

1 + r + r²+ r³+ . . . =

∞

X

k=0

r^k.

Med andra ord _∞

X

k=0

r^k= 1 1− r.

Relaterat till detta ¨ar den klassiska paradoxen med Akilles och sk¨oldpaddan.

Exempel 10 Hjälten fr˚an Iliaden, den snabbfotade Akilles, ska springa ikapp med en sköldpadda. Akilles springer med en hastighet vA km/h, som är större än den sköldpaddan hastighet vS rör sig med. Sköldpaddan f˚ar därför ett förspr˚ang p˚a 1 km. Kommer Akilles n˚agonsin att hinna ifatt sköldpaddan? Om han gör det, när sker det?

Antikens greker hade som sagt problem med detta – det borde aldrig hända! Varje g˚ang Akilles kommit till den plats p˚a vilken sköldpaddan var nyss, har denne hunnit komma ytterligare en bit. Han m˚aste därför hela tiden ligga lite före. Tyckte grekerna.

Men ¨ar det s˚a? L˚at oss r¨akna p˚a det.

Det tar Akilles 1/vAtimmar att springa 1 km, allts˚a komma till sköldpaddans start- plats. Under den tiden har sköldpaddan hunnit springa vS/vA = a < 1 km. Det tar nu Akilles a/vA timmar att springa denna sträcka, och under den tiden har sköldpaddan hunnit vS a

vA = a² km. Den totala sträckan som Akilles behöver springa för att komma ifatt sköldpaddan är därför

s = 1 + a + a²+ . . . =

∞

X

k=0

a^k km.

(Men kommer han d˚a n˚agonsin ifatt sk¨oldpaddan?)

Men vi kan ocks˚a resonera p˚a ett annat sätt. L˚at τ vara tidpunkten d˚a Akilles hinner ifatt sköldpaddan. D˚a ska det gälla att

1 + vSτ = vAτ ⇔ τ = 1 vA(1− a).

(12)

P˚a den tiden har Akilles sprungit

s = vAτ = 1

1− a kilometer.

Jämför vi de tv˚a lösningarna, ser vi att vi f˚ar formeln för den geometriska serien

∞

X

k=0

a^k = 1

1− a om 0 < a < 1.

Detta exempel ger ett sätt att “först˚a” den geometriska serien, men förklarar den de gamla grekernas problem? Det senare lämnas ˚at läsaren att själv ta ställning till.

Vi avslutar s˚a med ett annat sorts exempel.

Exempel 11 Vid rysk roulette används en revolver med ett roterbart magasin som rymmer sex skott. Revolvern laddas med ett enda skott. Förste man, här kallad A, roterar magasinet, riktar revolvern mot sitt huvud och trycker av. Om han därefter fortfarande är i livet, räcker han revolvern till den andre duellanten, som vi kallar B, som nu gör samma sak som A. Om han ocks˚a överlever lämnar han tillbaka pistolen till A som f˚ar sitt andra försök. P˚a detta sätt skjuter A och B växelvis tills ett skott g˚ar av. Hur stor är sannolikheten att A förlorar livet?

Det finns olika s¨att A kan f¨orlora livet p˚a:

a) Han kan dö efter första skottet. Sannolikheten för det är 1/6.

b) Han kan dö i sitt andra skott. För att det ska hända m˚aste han först ha skjutit blankt, vilket chansen är 5/6 för. Sedan m˚aste även B ha skjutit blankt, vilket ocks˚a har sannolikheten 5/6. Därefter ska han skjuta skarpt, vilket sker med sannolikheten 1/6. Sannolikheten för att precis detta ska hända är

5 6 ·5

6 · 1 6 = 1

6(5 6)².

c) Han kan dö i sitt tredje skott. D˚a m˚aste det ha avfyrats fyra blankskott innan det blir ett skarpt, och sannolikheten för det är

1 6(5

6)⁴. d) osv

Vi ser nu att sannolikheten att A ska d¨o kan beskrivas av den o¨andliga summan

∞

X

k=0

1 6(5

6)^2k = 1 6

∞

X

k=0

(25 36)^k = 1

6 1

1− ²⁵₃₆ = 6 11.

Sannolikheten att B förlorar livet är därför 1−₁₁⁶ = ₁₁⁵, s˚a andre man har som väntat en n˚agot större chans än förste man att överleva.

(13)

Om gr¨ ansv¨ arden och o¨ andliga serier

Vi s˚ag ovan att om |r| < 1 s˚a g¨aller att

∞

X

k=0

r^k= 1 1− r.

I början när den här formeln användes “glömde” man ofta bort villkoret att |r| < 1 för att formeln ska gälla, och skrev t.ex. saker som att

1 + 2 + 2²+ . . . + 2ⁿ+ . . . = 1

1− 2 =−1,

vilket uppenbarligen är nonsens. I v˚ara dagar har en motsvarande formel cirkulerat som ett internetvirus, nämligen att summan av alla positiva heltal är −1/12^[10].

Grunden till att s˚adant kan hävdas är att man gör som ibland hände p˚a 1700-talet: man använder formler för oändliga serier när de inte f˚ar användas. För att verkligen f˚a klart för oss när vi kan använda en s˚adan formel, och när vi inte kan göra det, behöver vi en en ordentlig definition av vad det betyder att an → a d˚a n → ∞. Problemet illustreras av talföljden

1,−1, 1, −1, . . . , (−1)^k, . . .

Har den ett gränsvärde? Varannan g˚ang är den 1 och varannan g˚ang −1, s˚a genomsnitt

är den 0. Är det ett gränsvärde? P˚a samma sätt skulle vi kunna argumentera för att 1 + (−1) + 1 + (−1) + . . . + (−1)^k+ . . . = 1

2, eftersom varannan av partialsummorna

sn=

n

X

k=0

(−1)^k

är 0 och varannan är 1. Faktum är att om det vore p˚a det sättet skulle vi kunna “bevisa”

att summan av de positiva heltalen är −1/12 p˚a följande sätt.

Exempel 12 Om vi s¨atter

s1 = 1− 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + . . . , s˚a ser vi att

2s1 =

(1− 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + . . .

+ 1− 2 + 3 − 4 + 5 − . . . = 1− 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . = 1 2. H¨ar har vi subraherat termvis, och sista likheten bygger p˚a diskussionen ovan. Allts˚a g¨aller att s1 = 1/4. L˚at nu

s = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . =

∞

X

k=1

k

(14)

vara summan av alla de positiva heltalen. D˚a har vi att

s− s¹ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . .− (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + . . .)

= 4 + 8 + 12 + . . . = 4(1 + 2 + 3 + . . .) = 4s.

Men d˚a f¨oljer att 3s = −s¹ =−1/4 och allts˚a att s =−1/12!

Eftersom exemplet uppenbarligen ger ett absurt resultat, ser vi att vi m˚aste vara mer noggranna. En s˚adan noggrannhet b¨orjar med att vi g¨or en ordentlig definition av vad vi menar med att an→ a d˚a n→ ∞.

an

n A

N

V˚art sätt att tänka p˚a ett s˚adant gränsvärde antyder en dynamisk definition av begreppet gränsvärde som en sorts rörelse: när vi rör oss genom heltalen 1, 2, 3, . . . och observe- rar uppförandet av talföljden an, s˚a vill vi kunna observera händelsen an→ a.

Detta är emellertid sv˚art att formulera matematiskt, och för att f˚a en fungerande definition har man valt att vända p˚a turordningen: vi tittar inte först p˚a n och sedan p˚a an, utan baserar definitionen p˚a vad vi m˚aste göra för att visa gränsöverg˚angen. Figuren till höger illustrerar vad man gör för att definiera vad som menas med att an → ∞ d˚a n→

∞. Den formella definitionen ¨ar

Definition 1 Att

an→ ∞ d˚a n → ∞.

betyder att oavsett hur stort A vi ¨an v¨aljer, finns det alltid ett N (som beror p˚a A) s˚a stort att

a_n > A om n > N.

Vi skriver detta alternativt som

n→∞lim an=∞.

Anmärkning Notera att det är viktigt att an> A för alla n s˚adana att n > N .

Exempel 13 För att visa att rⁿ → ∞ d˚a n→ ∞ om r > 1 räknar vi som följer^[11]: rⁿ > A ⇔ n ln r > ln A ⇔ n > ln A

ln r.

Givet A ska vi allts˚a ta N = (ln A)/(ln r). (Notera att eftersom r > 1 g¨aller att ln r > 0.)

Vi har ocks˚a en definition av vad som menas med att en talf¨oljd g˚ar mot noll.

(15)

Definition 2 Att

an → 0 d˚a n→ ∞.

betyder att oavsett vilket (litet) > 0 vi v¨aljer, g˚ar det alltid att finna ett heltal N (som beror p˚a ) s˚adant att

|an| < om n > N.

Som alternativ beteckning anv¨ands h¨ar

n→∞lim a_n = 0.

Den kanske viktigaste tillämpningen är följande exempel.

Exempel 14 För att visa att rⁿ→ 0 d˚a n→ ∞ om 0 < |r| < 1 gör vi som följer:

|rⁿ| < ⇔ n ln|r| < ln ⇔ n > ln ln|r| = N.

(Sista likheten är en definition.) Notera att N beror av vilket vi valde! Eftersom ln|r| < 0 s˚a gäller att när vi dividerar med ln|r| ändras olikheten! Notera ocks˚a att ln < 0 om 0 < < 1.

an

n ǫ

−ǫ N

Det vi m˚aste göra för att visa gränsöverg˚angen är allts˚a följande. Vi bildar först ett smalt band kring 0, varefter vi försäkrar oss om att an ligger i detta band om n är större än ett visst tal N som beror av hur brett bandet är.

Detta ska g˚a oavsett hur smalt vi valde det ursprungliga bandet.

Slutligen s¨ager vi att

n→∞lim an = a om det g¨aller att

n→∞lim(an− a) = 0.

Det ˚aterst˚ar att precisera vad vi menar med att serien

∞

X

k=1

ak

konvergerar. Men det betyder precis att talf¨oljden av partialsummor, sn =

n

X

k=1

ak,

(16)

konvergerar mot ett tal s, allts˚a att limn→∞sn = s, och det är detta tal som är seriens värde.

Exempel 15 Att den geometriska serien konvergerar d˚a |r| < 1 men inte annars visar vi genom att vi anv¨ander vad vi har visat ovan. Partialsummorna kan vi ber¨akna till

sn =

n

X

k=0

r^k= 1− rⁿ⁺¹

1− r om r6= 1, och dessutom vet vi att

rⁿ → 0 d˚a n→ ∞ om |r| < 1, medan

|rⁿ| → ∞ d˚a n → ∞ om |r| > 1.

F¨or att bevisa att den geometriska summan ¨ar s = 1/(1− r) ska vi nu betrakta skillnaden

|sⁿ− s| =

n

X

k=0

r^k− 1 1− r

=

1− rⁿ⁺¹

1− r − 1 1− r

= |r|ⁿ⁺¹

|1 − r| →

(0 om |r| < 1

∞ om |r| > 1 . Om r = 1 vet vi att summan blir oändlig, partialsummorna är ju n + 1, medan om r =−1 är partialsummorna omväxlade 1 och 0, och kan därför inte konvergera.

Anmärkning I artikeln Grafisk analys av en skalär rekursion diskuteras det asymp- totiska uppförandet av talföljder definierade genom en rekursion p˚a formen a_n+1 = f (an) närmare. Det illustrerar ocks˚a gränsvärdesbegreppet geometriskt och rekom- menderas som vidareläsning p˚a detta avsnitt.

Noteringar

1. I detta fall best¨amma storleken av djurbest˚andet.

2. Detta är en absurd ränta när detta skrivs, ˚ar 2016. Men matematiska exempel m˚aste inte vara realistiska – deras uppgift är att förmedla en teknik som sedan kan användas vid analys av verkliga problem.

3.→ symboliserar g˚ar mot

4. Induktionsaxiomet säger att de tv˚a stegen i induktionsbeviset är tillräckligt för att p˚ast˚a att p˚ast˚aendet är sant för alla n. Det kan synas självklart, men axiom är ju ofta formuleringar av självklara p˚ast˚aenden. De behövs s˚a att matematiska bevis kan bli fullständiga.

5. kkr=kilo kronor, allts˚a 1000 kronor.

6. Vi har att q_k(x) =Pk−1

j=0a^k−1−jx^j.

7. Man kan ocks˚a bevisa faktorsatsen genom polynomdivision, se Arbetsbladet om faktorisering

(17)

8. En oändlig summa kallas en serie av n˚agot för författaren oklart skäl.

9. Vi använder här (3) med a = 1/2, r = 1/2 och n istället för n− 1

10. Ska man vara riktigt ¨arlig finns det ett korn av sanning i p˚ast˚aendet. Men inte p˚a den form det st˚ar! Vi kan definiera en funktion ζ(z) =P∞

k=1k^−z d˚a z > 1. Sedan kan man fortsätta den som en s.k. analytisk funktion till att vara definierad även för negativa z. Den s˚a uppkomna funktionen f˚ar värdet −1/12 d˚a z =−1, vilket svarar mot summan.

11. Här behöver du veta n˚agot om logaritmfunktioner. Titta gärna i arbetsbladet Logaritmlagar.