Google PageRank: Relevance webových stránek a problém vlastn´ıch ˇc´ısel

(1)

Google PageRank: Relevance webov´ ych str´ anek a probl´ em vlastn´ıch ˇ c´ısel

Bakal´ aˇ rsk´ a pr´ ace

Studijn´ı program: B1101 – Matematika

Studijn´ı obory: 7504R015 – Matematika se zamˇeˇren´ım na vzdˇeláván´ı 7507R036 – Anglický jazyk se zamˇeˇren´ım na vzdˇeláván´ı Autor práce: Markéta Hejlová

Vedouc´ı pr´ace: Martin Pleˇsinger

(2)

Google’s PageRank: Ranking of web pages and the eigenvalue problem

Bachelor thesis

Study programme: B1101 – Mathematics

Study branches: 7504R015 – Mathematics for Education 7507R036 – English for Education Author: Mark´eta Hejlov´a

Supervisor: Martin Pleˇsinger

(3)

(4)

(5)

Prohl´ aˇ sen´ı

Byla jsem seznámena s t´ım, ˇze na mou bakaláˇrskou práci se plnˇe vztahuje zákon ˇc. 121/2000 Sb., o právu autorském, zejména § 60 – ˇskoln´ı d´ılo.

Beru na vˇedom´ı, ˇze Technická univerzita v Liberci (TUL) neza- sahuje do mých autorských práv uˇzit´ım mé bakaláˇrské práce pro vnitˇrn´ı potˇrebu TUL.

Uˇziji-li bakaláˇrskou práci nebo poskytnu-li licenci k jej´ımu vyuˇzit´ı, jsem si vˇedoma povinnosti informovat o této skuteˇcnosti TUL;

v tomto pˇr´ıpadˇe má TUL právo ode mne poˇzadovat úhradu náklad˚u, které vynaloˇzila na vytvoˇren´ı d´ıla, aˇz do jejich skuteˇcné výˇse.

Bakaláˇrskou práci jsem vypracovala samostatnˇe s pouˇzit´ım uvedené literatury a na základˇe konzultac´ı s vedouc´ım mé bakaláˇrské práce a konzultantem.

Souˇcasnˇe ˇcestnˇe prohlaˇsuji, ˇze tiˇstˇen´a verze pr´ace se shoduje s elek- tronickou verz´ı, vloˇzenou do IS STAG.

Datum:

Podpis:

(6)

Anotace

Bakaláˇrská práce se zamˇeˇruje na spektráln´ı vlastnosti nˇekterých speciáln´ıch matic a jejich souvislosti s Markovovými ˇretˇezci a teori´ı orientovaných graf˚u. Jedná se zejména o nezáporné, kladné, (sub)stochastické, (ne)rozloˇzitelné a (im)primitivn´ı matice. Výklad je v pr˚ubˇehu celého textu doprovázen praktickým pˇr´ıkladem, ˇc´ımˇz je práce motivována. Tento pˇr´ıklad se týká nalezen´ı tzv. PageRank˚u jednotlivých webových stránek na internetu. PageRank lze reprezentovat jako m´ıru d˚uleˇzitosti webové stránky. Koncept PageRanku vyuˇz´ıvá napˇr´ıklad internetový vyhledávaˇc Go- ogle. Práce se zabývá zp˚usobem, jak lze PageRank definovat a odhaluje nˇekteré obt´ıˇznosti, které se objevuj´ı v samotné definici a pˇri výpoˇctu PageRank˚u. Tyto obt´ıˇze lze ovˇsem snadno obej´ıt s vyuˇzit´ım vlastnost´ı pˇr´ısluˇsných matic.

Kl´ıˇ cov´ a slova:

nezáporné matice; kladné matice; (sub)stochastické matice; (ne)rozloˇzitelné matice;

(im)primitivn´ı matice; PageRank vektor; googlovská matice; Markovovy ˇretˇezce; ori- entované grafy; mocninná metoda; Perronovo vlastn´ı ˇc´ıslo; Perron˚uv vlastn´ı vektor

(7)

Abstract

The bachelor thesis is focused on the spectral properties of some particular matrices and their connections to Markov chains and the theory of digraphs. In particular we concentrate on nonnegative, positive, (sub)stochastic, (ir)reducible, and (im)primitive matrices. The theory is continuously demonstrated on a practical example, which works also as a motivation. This example is to determine so-called PageRanks of individual internet webpages. This PageRank can be interpreted as a measure of imparotance of the given webpage. The PageRank concept is employed for example by Google web search engine. This thesis analyzes the PageRank definition and reveals some difficulties that appear in the definition as well as in the computation of the PageRank. Hovewer, these difficulties can be easily avoided by using properties of the abovementioned matrices.

Key words:

nonnegative matrices; positive matrices; (sub)stochastic matrices; (ir)reducible matrices; (im)primitive matrices; PageRank vector; Google matrix; Markov chain; digraphs; power method; Perron eigenvalue; Perron eigenvector

(8)

Podˇ ekov´ an´ı

Ráda bych podˇekovala svému vedouc´ımu bakaláˇrské práce Martinu Pleˇsingerovi za jeho trpˇelivou pomoc, odborné veden´ı a ochotu pˇri zpracován´ı této práce.

(9)

Obsah

Anotace 5

Abstract 6

Seznam obr´azk˚u 10

Seznam tabulek 11

Pouˇzit´e znaˇcen´ı 12

Uvod´ 14

1 Z´akladn´ı pojmy 16

1.1 Vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory . . . 16

1.2 Normy vektor˚u a matic . . . 18

1.3 Z´akladn´ı pojmy teorie graf˚u . . . 20

1.4 Co je to PageRank?. . . 21

I Existence PageRank vektoru 24

2 Nezáporné a stochastické matice 25 2.1 Aritmetika nezáporných a kladných matic . . . 25

2.2 Stochastick´e matice: spektr´aln´ı polomˇer. . . 29

2.3 Stochastick´e matice: (lev´y) Perron˚uv vlastn´ı vektor . . . 30

2.4 Kladné matice: spektráln´ı polomˇer a (pravý) Perron˚uv vlastn´ı vektor 31 3 Nerozloˇzitelnost matic 34 3.1 Stochastické matice: jednoznaˇcnost (levého) Perronova vlastn´ıho vektoru . . . 34

3.2 (Ne)rozloˇziteln´e matice . . . 35

3.3 Kladné matice: jednoznaˇcnost (pravého) Perronova vlastn´ıho vektoru 39 3.4 Nezáporné nerozloˇzitelné matice . . . 39

4 Matice hyperlink˚u obecnˇe nen´ı stochastická ani nerozloˇzitelná. Co s t´ım? 42 4.1 Matice hyperlink˚u je obecnˇe substochastická.. . . 42

(10)

4.2 Stochastick´a matice hyperlink˚u je obecnˇe rozloˇziteln´a. . . 43

II V´ ypoˇ cet PageRank vektoru 46

5 Mocninn´a metoda 47 5.1 Diagonalizovateln´e matice . . . 47

5.2 Mocninn´a metoda pro diagonalizovateln´e matice . . . 48

5.3 Mocninná metoda pro obecné ˇctvercové matice. . . 50

6 V´ypoˇcet Perronova vlastn´ıho vektoru 52 6.1 (Im)primitivn´ı matice. . . 52

6.2 Spektr´aln´ı vlastnosti (im)primitivn´ıch matic . . . 54

6.3 Testov´an´ı (im)primitivity matice . . . 57

6.4 Mocninn´a metoda pro googlovskou matici . . . 60

Z´avˇer 64

A PageRank vektor modelov´eho internetu z obr´azku 1.1 65

Reference 69

(11)

Seznam obr´ azk˚ u

1.1 Schéma jednoduchého internetu se ˇsesti stránkami . . . 21 3.1 Schéma jednoduchého internetu se dvˇema nezávislými komponentami 36 3.2 Schéma jednoduchého internetu s rozloˇzitelnou matic´ı hyperlink˚u . . 37 4.1 Schéma jednoduchého internetu se substochastickou matic´ı hyperlink˚u 42 6.1 Schéma jednoduchého internetu se stochastickou nerozloˇzitelnou ma-

tic´ı, která je periodická . . . 52 6.2 Schéma jednoduchého internetu se stochastickou nerozloˇzitelnou ma-

tic´ı, která je periodická, po permutaci vrchol˚u (pˇreˇc´ıslován´ı stránek). 54 6.3 Pˇrehled vztah˚u mezi jednotlivými druhy ˇctvercových matic . . . 62 A.1 Konvergence PageRank vektoru, vliv startovac´ıho vektoru . . . 67 A.2 Konvergence PageRank vektoru, vliv parametru α . . . 68

(12)

Seznam tabulek

6.1 V grafu (internetu) na obrázku 1.1 existuje cesta délky pˇet mezi li- bovolnými dvˇema vrcholy (stránkami). . . 61

(13)

Pouˇ zit´ e znaˇ cen´ı

Matice a vektory

Znaˇcen´ı V´yznam

A ∈ R^m×n reálná matice s rozmˇery m krát n a s prvky a_j,k A ∈ C^m×n komplexn´ı matice s rozmˇery m krát n a s prvky a_j,k i imaginárn´ı jednotka, i² = −1

A matice komplexnˇe sdruˇzen´a s prvky a_j,k A^T transponovan´a matice

A^H matice transponovaná, komplexnˇe sdruˇzená A^H = A^T A⁻¹ inverzn´ı matice ke ˇctvercové regulárn´ı matici A

A^−T matice (A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹, kde A je ˇctvercové regulárn´ı A^−H matice (A⁻¹)^H = (A^H)⁻¹, kde A je ˇctvercové regulárn´ı sp(A) spektrum ˇctvercové matice A (mnoˇzina vˇsech

vlastn´ıch ˇc´ısel)

%(A) spektráln´ı polomˇer ˇctvercové matice A K(A) spektráln´ı kruˇzice matice A

K(A) = {%(A)(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) : 0 ≤ ϕ ≤ 2π} ⊂ C det(A) determinant ˇctvercov´e matice A

A > 0, A ≥ 0 reálná matice A, jej´ıˇz prvky splˇnuj´ı a_j,k > 0, a_j,k ≥ 0 tj. kladná, resp. nezáporná matice

A < 0, A ≤ 0 reálná matice A, jej´ıˇz prvky splˇnuj´ı a_j,k < 0, a_j,k ≤ 0 I ∈ R^n×n jednotková matice

e_j j-t´y sloupec jednotkov´e matice I e vektor e = [1, . . . , 1]^T

|x| ∈ Rⁿ vektor absolutn´ıch hodnot x = [|ξ₁|, . . . , |ξ_n|]^T

|A| ∈ R^m×n matice absolutn´ıch hodnot s prvky |a_j,k| kxk_p p-norma vektoru (P

j|ξ_j|^p)^1/p, p = 1, 2, . . . kxk∞ maximov´a norma vektoru max_j|ξ_j|

kAk_p p-norma matice maxkxkp=1kAxk_p kAk_∞ ∞-norma matice max_j(P

k|a_j,k|)

(14)

Speci´ aln´ı nez´ aporn´ e matice a nez´ aporn´ e vektory

π ∈ Rⁿ levý Perron˚uv vlastn´ı vektor stochastické matice zvaný také PageRank vektor, jedná-li se o (opravenou) matici hyperlink˚u, resp. googlovskou matici

d ∈ {0, 1}ⁿ dangling node vektor S ∈ R^n×n stochastick´a matice

H ∈ R^n×n (substochastick´a) matice hyperlink˚u

D = _n¹de^T ∈ R^n×n (substochastická) oprava matice hyperlink˚u H = H + De (stochastická) opravená matice hyperlink˚u E = _n¹ee^T ∈ R^n×n (stochastická) teleportaˇcn´ı matice

G = α eH + (1 − α)E (stochastick´a) googlovsk´a matice, α ∈ (0, 1)

Grafy a mnoˇ ziny

G = (~ V , E ) orientovan´y graf s vrcholy vj ∈V a hranami ej,k ∈E G(A)~ orientovan´y graf matice A

M × W kart´ezsk´y souˇcin mnoˇzin M a W

|M | poˇcet prvk˚u koneˇcn´e mnoˇziny M

Ostatn´ı

Pj j-tá webová stránka

|P_j| poˇcet odkaz˚u na str´ance P_j

BPj mnoˇzina vˇsech str´anek odkazuj´ıc´ıch na P_j r(Pj) PageRank str´anky Pj

D mnoˇzina vˇsech stránek, které neobsahuj´ı ˇzádný odkaz (dangling nodes)

(15)

Uvod ´

Tato práce pojednává o pojmu PageRank, který byl v roce 1996 navrˇzený Larry Pagem a Sergeyem Brinem na universitˇe ve Stanfordu jako souˇcást výzkumného projektu. Pˇred t´ımto datem se touto problematikou zabývalo v´ıce vˇedc˚u, z nichˇz bychom zm´ınili Gabriela Pinskiho a Francise Narina, kteˇr´ı v roce 1976 poprvé defino- vali problém propojen´ı jako problém vlastn´ıch ˇc´ısel. PageRank je hlavn´ım nástrojem, který dostává Google na tak dobrou pozici mezi internetovými vyhledávaˇci a sama spoleˇcnost Google tvrd´ı, ˇze je jej´ım srdcem. M˚uˇzeme nyn´ı ˇr´ıci, ˇze se jedná o algorit- mus, který pomáhá v ˇrazen´ı vyhledávaných stránek podle d˚uleˇzitosti a který urˇcuje to, v jakém poˇrad´ı se budou uˇzivatel˚um zobrazovat pˇri zadán´ı urˇcitého pojmu do vyhledávaˇce. Pˇresnˇejˇs´ı definic´ı se budeme zabývat pozdˇeji. Celý text ˇcerpá zejména z knihy [17], která objasˇnuje problematiku PageRanku. Dalˇs´ı informace k tomuto tématu je moˇzné nalézt v [2] nebo v [24]. V matemických ˇcástech práce je ˇcerpáno pˇredevˇs´ım z [12] a [14].

Text je rozdˇelen do dvou hlavn´ıch ˇcást´ı, Existence PageRank vektoru a Výpoˇcet PageRank vektoru. Ovˇsem pˇred tˇemito ˇcástmi se v kapitole1 zabýváme nˇekterými základn´ımi pojmy z teorie vlastn´ıch ˇc´ısel matic a z teorie graf˚u, se kterými dále pracujeme, a proto se s nimi ˇctenáˇr mus´ı seznámit hned na zaˇcátku. Také je zde uve- dena definice PageRanku, ke které se pak vrac´ıme v závˇeru práce. Po prvn´ı kapitole následuje prvn´ı ˇcást, která obsahuje 3 kapitoly a která se zabývá existenc´ı PageRank vektoru. Kapitola2definuje nezáporné a stochastické matice a jejich specifika. V ka- pitole3hovoˇr´ıme o nerozloˇzitelnosti matic a v kapitole 4ˇreˇs´ıme problém, ˇze matice hyperlink˚u, se kterou pracujeme v pr˚ubˇehu celé práce, obecnˇe nen´ı ani stochastická ani nerozloˇzitelná. Tyto dvˇe vlastnosti, jak zjist´ıme, jsou pro existenci PageRanku nepostradatelné a jsou spojené s problematikou uˇzivatele internetu, který neprocház´ı internetem tak, jak by nám vyhovovalo. Na konci prvn´ı ˇcásti se ale dozv´ıdáme, ˇze problémy se stochasticitou a (ne)rozloˇzitelnost´ı, lze vyˇreˇsit, a tud´ıˇz v´ıme, ˇze Page- Rank existuje.

V druhé ˇcásti výkladu se vˇenujeme jiˇz samotnému výpoˇctu PageRank vektoru.

Nejprve v kapitole 5 pˇredstavujeme mocninnou metodu, která je nástrojem tohoto výpoˇctu, a pak se v kapitole 6 vrac´ıme k definici PageRanku a nacház´ıme zp˚usob, jak PageRank vektor neboli také Perron˚uv vlastn´ı vektor spoˇc´ıtat. V této posledn´ı kapitole také uvád´ıme (im)primitivn´ı matice, které jsou pro pouˇzit´ı mocninné me- tody k výpoˇctu hledaného vektoru nepostradatelné. Zjist´ıme, ˇze pro imprimitivn´ı matice tato metoda nefunguje, a proto budeme muset ovˇeˇrit, ˇze googlovská matice, pro kterou PageRank poˇc´ıtáme, je primitivn´ı. V závˇeru budeme schopni ovˇeˇrit (im)primitivitu, upravit definici PageRank vektoru a nalezneme tak zp˚usob, jak ho

(16)

spoˇc´ıtat. Konkrétn´ı pˇr´ıklad výpoˇctu PageRanku je moˇzné nalézt v pˇr´ıloze A.

Celý text má za úkol seznámit se s partiemi lineárn´ı algebry, teorie graf˚u a Markovových ˇretˇezc˚u a jejich vzájemným propojen´ım v rozsahu, který pˇrekraˇcuje bˇeˇznˇe vykládanou látku základn´ıch kurz˚u na pˇr´ıkladu praktické úlohy a t´ım odhalit zp˚usob, kterým nejen Google pracuje. PageRank je také vyuˇz´ıván v bibliometrii, v sociáln´ıch a informaˇcn´ıch s´ıt´ıch, v systémech silniˇcn´ıch sit´ı, biologii, chemii ˇci fyzice. Znalost PageRanku mimo jiné m˚uˇze pomoci majitel˚um r˚uzných webových stránek vylepˇsovat svou pozici na internetu tak, aby se jejich stránky ukazovaly co nejvýˇse.

(17)

1 Z´ akladn´ı pojmy

Hodnocen´ı d˚uleˇzitosti nebo významnosti webových stránek je znaˇcnˇe obt´ıˇzné. Uka- zuje se, ˇze vhodným pˇr´ıstupem pˇri takovém hodnocen´ı je pod´ıvat se, které (jiné) stránky na hodnocenou stránku odkazuj´ı, viz [17], [2, kapitola 7.2]. Odkazuj´ı-li na ni stránky d˚uleˇzité, m˚uˇzeme i stránku hodnocenou povaˇzovat za jistým z˚usobem d˚uleˇzitou. Tedy, struˇcnˇe ˇreˇceno, kaˇzdá webová stránka je d˚uleˇzitá, pokud je na ni odkázáno jinou d˚uleˇzitou webovou stránkou. To vˇsak vede k

”zacyklené“ definici, abychom byli schopni hodnotit jednu stránku, mus´ıme být nejprve schopni zhod- notit stránky jiné. Takto definovaná m´ıra d˚uleˇzitosti stránky se nazývá PageRank¹. Pˇresná definice je sepsána v sekci1.4. My nejprve zaˇcneme základn´ımi pojmy z teorie vlastn´ıch ˇc´ısel matic, které se nám budou hodit.

1.1 Vlastn´ı ˇ c´ısla a vlastn´ı vektory

Kl´ıˇcovým nástrojem v této práci budou tzv. vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory, coˇz známe ze základn´ıho kurzu lineárn´ı algebry. Pro úplnost pˇripomeneme defnici.

Definice 1 (Vlastn´ı ˇc´ıslo, vlastn´ı vektor, spektrum, spektráln´ı polomˇer). Necht’ je obecná komplexn´ı ˇctvercová matice A ∈ C^n×n, λ ∈ C je skalár a x, y ∈ Cⁿ, x 6= 0, y 6= 0, nenulové vektory tak, ˇze plat´ı

Ax = xλ, y^HA = λy^H, (1.1)

kde y^H = y^T. Pak skalár λ nazýváme vlastn´ım (nebo také charakteristickým) ˇc´ıslem matice A, vektor x vlastn´ım, resp. pravým vlastn´ım (nebo také charakteristickým) a vektor y levým vlastn´ım vektorem matice A. Uspoˇrádané dvojici (λ, x) se ˇr´ıká vlastn´ı pár matice A, obdobnˇe (λ, y) je vlastn´ı pár matice A^H. Mnoˇzina vˇsech vlastn´ıch ˇc´ısel matice A se nazývá spektrum matice A a znaˇc´ı se

sp(A) = {λ ∈ C : ∃x ∈ Cⁿ, x 6= 0, Ax = xλ}.

Absolutn´ı hodnota vlastn´ıho ˇc´ısla nejv´ıce vzdáleného od nuly se nazývá spektráln´ı polomˇer matice A a znaˇc´ı se

%(A) = max

λ∈sp(A)

|λ|. (1.2)

1Poznamenejme, ˇze slovo PageRank je sloˇzeninou slov Page a rank, kde druhé ze slov m˚uˇzeme pˇreloˇzit právˇe napˇr. jako hodnost nebo hodnocen´ı, ve smyslu pozice v ˇzebˇr´ıˇcku. Slovo Page vˇsak neodkazuje ke slovu (webová) stránka, z angl. (web) page, jak bychom se mohli mylnˇe domn´ıvat, ale k Larry Pageovi, autorovi této koncepce hodnocen´ı stránek, viz [17, str. 32, poznámka 1].

(18)

Je to tedy polomˇer nejmenˇs´ıho kruhu v komplexn´ı rovinˇe, který má stˇred v poˇcátku a obsahuje celé spektrum matice A. Hranici tohoto kruhu

K(A) ≡ {%(A) exp(i ϕ) = %(A)(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) : 0 ≤ ϕ < 2π} ⊂ C budeme naz´yvat spektr´aln´ı kruˇznice matice A.

Pˇripomeˇnme, ˇze vlastn´ı ˇc´ısla jsou koˇreny tzv. charakteristick´eho polynomu χ(λ) = 0, kde χ(λ) ≡ det(Iλ − A) a det(·) znaˇc´ı determinant matice, viz [11, kapitola 1].

Jedn´ım z úkol˚u v této práci bude zjistit, zda je urˇcité vlastn´ı ˇc´ıslo jednoduché nebo v´ıcenásobné. K tomu nám poslouˇz´ı následuj´ı tzv. Shurova pomocná vˇeta (viz [12, vˇeta 1.49]; nezamˇeˇnovat s tzv. Schurovou vˇetou, viz [11, kapitola 2]), na kterou se budeme pozdˇeji odkazovat.

Vˇeta 1 (Schurova pomocná vˇeta). Necht’ A ∈ C^n×n je ˇctvercová matice a λ je jej´ı vlastn´ı ˇc´ıslo. Pak λ je jednoduché vlastn´ı ˇc´ıslo tehdy a jen tehdy, kdyˇz existuje jediný lineárnˇe nezávislý pravý vlastn´ı x, (tedy také) jediný lineárnˇe nezávislý levý vlastn´ı vektor y a zároveˇn plat´ı y^Hx 6= 0.

D˚ukaz. Uvaˇzujme matici A s vlastn´ım ˇc´ıslem λ. Uvaˇzujme dále matici B, která je matici A podobná, tj. existuje regulárn´ı matice W tak, ˇze plat´ı B = W AW⁻¹ (poznamenejme, ˇze podobnost je ekvivalence na mnoˇzinˇe ˇctvercových matic daného rozmˇeru; viz [11, kapitola 1.8]). Pokud existuje jediný lineárnˇe nezávislý pravý vlastn´ı vektor x tak, ˇze Ax = xλ, a (tedy také) jediný lineárnˇe nezávislý levý vlastn´ı vektor y tak, ˇze y^HA = λy^H, potom vektor W x je jediný lineárnˇe nezávislý pravý vlastn´ı vektor matice B, tj.

B(W x) = (W AW⁻¹)(W x) = W Ax = (W x)λ,

a vektor W^−Hy ≡ (W⁻¹)^Hy je jediný lineárnˇe nezávislý levý vlastn´ı vektor matice B, tj.

(W^−Hy)^HB = (y^HW⁻¹)(W AW⁻¹) = y^HAW⁻¹ = λy^HW⁻¹ = λ(W^−Hy)^H. Nav´ıc je pro vektory W x a W^−Hy splnˇeno (W^−Hy)^H(W x) 6= 0 tehdy a jen tehdy, kdyˇz y^Hx 6= 0, pˇresnˇeji ˇreˇceno

(W^−Hy)^H(W x) = (y^HW⁻¹)(W x) = y^H(W⁻¹W )x = y^Hx.

M´ısto s matic´ı A tedy m˚uˇzeme v d˚ukazu pracovat s matic´ı B, resp. s libovolným reprezentantem tˇr´ıdy matic podobných matici A. Nejvýhodnˇejˇs´ı bude pracovat s tzv.

Jordanov´ym kanonick´ym tvarem matice A, viz [11, kapitola 1.8].

Nyn´ı pˇrejdeme k vlastn´ımu d˚ukazu. Nejprve dokáˇzeme implikaci: kdyˇz x, y je jediný lineárnˇe nezávislý pravý, resp. levý vlastn´ı vektor a y^Hx 6= 0, pak λ je jedno- duché vlastn´ı ˇc´ıslo.

(19)

K libovolnému Jordanovu bloku J_m(λ) ∈ C^m×mexistuje jediný lineárnˇe nezávislý levý vlastn´ı vektor, napˇr. [1, 0, . . . , 0, 0]^T ∈ C^m, a jediný lineárnˇe nezávislý pravý vlastn´ı vektor, napˇr. [0, 0, . . . , 0, 1]^T ∈ C^m, a jejich skalárn´ı souˇcin je nenulový, kdyˇz m = 1, resp. je nulový, kdyˇz m > 1. Nav´ıc pravé (resp. levé) vlastn´ı vektory matice v Jordanovˇe kanonickém tvaru odpov´ıdaj´ıc´ı r˚uzným Jordanovým blok˚um (tj. vlastn´ı vektory Jordanových blok˚u doplnˇené nulami) jsou vˇzdy lineárnˇe nezávislé.

Pokud x (resp. y) je jediný lineárnˇe nezávislý vlastn´ı vektor matice A odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu ˇc´ıslu λ, pak v Joradnovˇe kanonickém tvaru matice A existuje právˇe jeden Jordan˚uv blok J_m(λ) odpov´ıdaj´ıc´ı ˇc´ıslu λ. Pokud nav´ıc y^Hx 6= 0, pak mus´ı být m = 1, a tedy vlastn´ı ˇc´ıslo λ má násobnost rovnou jedné.

Nyn´ı dok´aˇzeme opaˇcnou implikaci. Necht’ λ je jednoduch´e vlastn´ı ˇc´ıslo matice A.

Pak v Jordanovˇe kanonickém tvaru matice A odpov´ıdá vlastn´ımu ˇc´ıslu λ jediný Jor- dan˚uv blok, který je nav´ıc velikosti jedna. Pak také existuje jediný lineárnˇe nezávislý pravý (resp. levý) vlastn´ı vektor odpov´ıdaj´ıc´ı tomuto vlastn´ımu ˇc´ıslu. Z Jordanova kanonického tvaru je vidˇet, ˇze jejich skalárn´ı souˇcin je nenulový.

1.2 Normy vektor˚ u a matic

Pro výklad bude potˇreba zavést pojmy normy vektoru a normy matice. Zejména proto, abychom mohli dát do vzájemného vztahu spektráln´ı polomˇer a normu ˇctver- cové matice.

Definice 2 (p-norma vektoru). Necht’ x = [ξ₁, ξ₂, . . . , ξ_n]^T ∈ Cⁿ. ˇC´ıslo kxk_p ≡

n

X

i=1

|ξ_i|^p

!1/p

nazýváme vektorová p-norma nebo p-norma vektoru, p = 1, 2, . . . Zejména d˚uleˇzitý bude jej´ı limitn´ı pˇr´ıpad.

Definice 3 (maximov´a norma vektoru). Necht’ x = [ξ1, ξ2, . . . , ξn]^T ∈ Cⁿ. ˇC´ıslo kxk∞≡ lim

p −→ ∞kxk_p = max

j |ξ_j| naz´yv´ame maximovou normou vektoru.

Kromˇe vektorových norem budeme potˇrebovat zavést i normy matic. Normu matice lze zavést mnoha zp˚usoby. My budeme pracovat s maticovou normou generovanou normou vektorovou. Konkrétnˇe p-normou vektoru.

Definice 4 (p-norma matice (generovan´a norma)). Necht’ A ∈ C^m×n. ˇC´ıslo kAk_p ≡ max

x6=0

kAxkp

kxk_p = max

x6=0

A x kxk_p

p

= max

kxkp=1kAxk_p (1.3) nazýváme maticová p-norma, pˇr´ıpadnˇe norma generovaná vektorovou normou k · k_p, p = 1, 2, . . .

(20)

Opˇet pro n´as bude zaj´ımav´y jej´ı limitn´ı pˇr´ıpad.

Definice 5 (∞-norma matice (generovan´a norma)). Necht’ A ∈ C^m×n. ˇC´ıslo kAk∞≡ lim

p −→ ∞kAk_p = max

kxk∞=1kAxk∞ (1.4)

nazýváme maticová ∞-norma, pˇr´ıpadnˇe norma generovaná vektorovou normou k · k∞. Takto zadefinované maticové normy nelze obecnˇe snadno vypoˇc´ıtat, aˇz na nˇekteré pˇr´ıpady. Jedná se o normy k · k1, k · k2 a limitn´ı pˇr´ıpad k · k∞. Následuj´ıc´ı lemma, nám dá návod, jak vypoˇc´ıtat ∞-normu matice, kterou budeme pozdˇeji potˇrebovat.

Lemma 1. Necht’ A ∈ C^m×n. Pak plat´ı kAk∞ = max

kxk∞=1kAxk∞ = max

j n

X

k=1

|a_j,k|. (1.5)

D˚ukaz je elementárn´ı, viz napˇr. [12, str. 167]. Dále bude potˇrebné následuj´ıc´ı lemma (viz [11, str. 21]).

Lemma 2. Je-li A ˇctvercová matice a k · k libovolná maticová norma generovaná vektorovou normou k · k, pak plat´ı

kAk ≥ %(A) (1.6)

a tak´e kIk = 1.

D˚ukaz. Pro kaˇzdé vlastn´ı ˇc´ıslo λ matice A existuje alespoˇn jeden vlastn´ı vektor x takový, ˇze Ax = xλ. Pro tento vlastn´ı pár plat´ı

kAkkxk ≥ kAxk = kλxk = |λ|kxk.

Nerovnost na zaˇcátku vyplývá pˇr´ımo z definice generované normy (1.3). Protoˇze x 6= 0, tj. kxk 6= 0, dostáváme ihned kAk ≥ |λ| pro libovolné vlastn´ı ˇc´ıslo λ. Z toho plyne kAk ≥ %(A).

Poznamenejme, ˇze posledn´ı rovnost vyplývá z tzv. homogenity norem (tj. pro libo- volný skalár α a vektor v plat´ı kαvk = |α|kvk), která je jednou z vlastnost´ı definuj´ıc´ıh pojem norma, viz [11, sekce 1.2, definice 1.10].

(21)

1.3 Z´ akladn´ı pojmy teorie graf˚ u

Pˇri výkladu budeme potˇrebovat i nˇekteré pojmy z teorie graf˚u. Nˇekteré základn´ı zm´ın´ıme v následuj´ıc´ı definici.

Definice 6 (Orientovan´y graf, vrchol, hrana, cesta, komponenta). Uspoˇr´adanou dvojici

G = (~ V , E ), kde V = {vj} a E = {ej,k ≡ (v_j, v_k)} ⊆V × V , nazýváme orientovaným grafem. Prvky vj mnoˇziny V nazýváme vrcholy grafu a prvky e_j,k ≡ (v_j, v_k) mnoˇziny E (tj. uspoˇrádané dvojice vrchol˚u) nazýváme hrany.

R´ık´ˇ ame, ˇze e_j,k je hrana vedouc´ı z vrcholu v_j do vrcholu v_k. Posloupnost hran

e_j,j₁, e_j₁_,j₂, e_j₂_,j₃, . . . , e_j_`−2_,j_`−1, e_j_`−1_,k ∈E

vedouc´ı z vrcholu v_j postupnˇe do v_j₁, do v_j₂, atd. aˇz koneˇcnˇe do v_j_`−1 a v_k se nazývá cesta (pˇr´ıpadnˇe orientovaná cesta) z vrcholu v_j do vrcholu v_k délky `.

Libovolnou podmnoˇzinu mnoˇziny V nazýváme komponenta grafu ~G. Speciálnˇe, necht’V = V1∪V2 a necht’ pro kaˇzdou hranu e_j,k ≡ (v_j, v_k) ∈E plat´ı bud’ vj, v_k ∈V1, nebo v_j, v_k ∈V2. Pak mnoˇziny V1 a V2 nazýváme nezávislé komponenty grafu ~G.

Komponenta W ⊆ V taková, ˇze mezi libovolnými dvˇema vrcholy vj, v_k ∈ W existuje cesta procházej´ıc´ı pouze pˇres vrcholy komponentyW , se nazývá silnˇe souvislá komponenta grafu. PokudW = V , hovoˇr´ıme také o silnˇe souvislém grafu.

Pro upˇresnˇen´ı, jsou-li V1 a V2 nezávislé komponenty, pak v mnoˇzinˇe E neexistuje ˇzádná hrana taková, která by vedla z nˇekterého vrcholu mnoˇziny V1 do kteréhokoliv vrcholu mnoˇziny V2, ani ˇzádná hrana taková, která by vedla z nˇekterého vrcholu mnoˇziny V2 do kteréhokoliv vrcholu mnoˇziny V1. Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze mezi li- bovolnými vrcholy silnˇe souvislé (koneˇcné) komponentyW (budeme pracovat pouze s grafy, které maj´ı koneˇcný poˇcet vrchol˚u a hran) vˇzdy existuje cesta délky `, kde

` < |W | (pˇriˇcemˇz |M | znaˇc´ı poˇcet prvk˚u koneˇcné mnoˇziny M ). Pro bliˇzˇs´ı seznámen´ı se s pojmy teorie graf˚u doporuˇcujeme napˇr. [16] nebo ˇceské uˇcebnice [9], [10], [20], [21], [22], pˇr´ıpadnˇe rozsáhlejˇs´ı text [19]. Speciálnˇe budeme pracovat s tzv. grafem (ˇctvercové) matice, viz následuj´ıc´ı definici.

Definice 7 (Graf matice). Necht’ A ∈ C^n×n je obecná ˇctvercová matice. Orientovaný graf ~G = (V , E ), kde

V = {1, 2, 3, . . . , n} a (j, k) ∈E ⇐⇒ aj,k 6= 0, nazveme grafem matice A. Budeme ho znaˇcit ~G(A).

Graf ˇctvercové matice A obsahuje hranu z vrcholu j do vrcholu k tehdy a jen tehdy, kdyˇz je prvek a_j,k nenulový. Poznamenejme, ˇze graf matice lze zavést i jiným zp˚usobem. Pro podrobnˇejˇs´ı výklad odkazujeme na [12] nebo [8, kapitola II.], popˇr´ıpadˇe na obsáhlejˇs´ı cizojazyˇcné uˇcebnice [6], [7].

(22)

1.4 Co je to PageRank?

V této ˇcásti se bl´ıˇze seznám´ıme s pojmem PageRank, coˇz je nástroj, který je pouˇz´ıván jako m´ıra d˚uleˇzitosti webových stránek.

Definice 8 (PageRank). PageRank webové stránky P_k, znaˇcený r(P_k) ∈ R, je reálné ˇc´ıslo dané jako souˇcet PageRank˚u vˇsech stránek P_j, které na stránku P_k odkazuj´ı, dˇelených celkovým poˇctem odkaz˚u na stránce P_j. Tedy

r(Pk) = X

Pj∈BPk

r(Pj)

|P_j| , (1.7)

kde BP_k je mnoˇzina vˇsech stránek odkazuj´ıc´ıch na stránku Pk a |Pj| je poˇcet odkaz˚u na stránce P_j.

Autorem tohoto pˇr´ıstupu k hodnocen´ı webových stránek jsou Larry Page a Sergey Brin, viz [3], [4] a [5]. Z matematického hlediska je takto zavedené mˇeˇr´ıtko d˚uleˇzitosti stránek, tj. PageRank, tzv. Markovovým ˇretˇezecem (procesem), viz napˇr. [1, kapitola 8], pˇr´ıpadnˇe [23, kapitoly 3–5] ˇci skriptum [18]. Teorie Markovových ˇretˇezc˚u nám také dává nástroje, jak se s výˇse uvedenou

”zacyklenou“ definic´ı vypoˇr´adat.

&%

'$

&%

'$

&%

'$

&%

'$

&%

'$

&%

'$

P₁ P₂

P₃

P4 P5

P₆

-

@

@ I

@

@ R

@

@ I

@

@ R

@

@ I

Obrázek 1.1: Schéma jednoduchého internetu se ˇsesti stránkami. ˇZádná stránka neodkazuje sama na sebe, na kaˇzdou stránku odkazuje alespoˇn jedna jiná stránka a kaˇzdá stránka obsahuje alespoˇn jeden odkaz.

Nejjednoduˇsˇs´ı bude zaˇc´ıt s malým pracovn´ım pˇr´ıkladem. V tomto textu budeme vyuˇz´ıvat sluˇzeb malého internetu obsahuj´ıc´ıho pouze ˇsest stránek. Na obrázku 1.1 je pˇr´ıklad takového internetu. Vˇsimnˇeme si, ˇze v naˇsem modelovém internetu:

(i) ˇzádná stránka neodkazuje sama na sebe,

(ii) na kaˇzdou webovou stránku odkazuje alespoˇn jedna jiná stránka a

(23)

(iii) kaˇzd´a str´anka obsahuje alespoˇn jeden odkaz a dokonce

(iv) z kaˇzdé stránky je moˇzné dostat se pomoc´ı odkaz˚u na libovolnou jinou stránku, coˇz uˇz vlastnosti (ii) a (iii) implikuje.

ˇZádná z tˇechto situac´ı nen´ı v reálném prostˇred´ı internetu vylouˇcena. Prvn´ı dvˇe nejsou z hlediska dalˇs´ıho vývoje aˇz tak zaj´ımavé. Tˇret´ı a ˇctvrtou situac´ı se budeme muset pozdˇeji zabývat podrobnˇeji, viz kapitoly 4.1, resp. 4.2. Pokusme se nyn´ı pro stránky tohoto internetu vypoˇc´ıtat jednotlivé PageRanky pomoc´ı vztahu (1.7). Do- staneme tak sadu ˇsesti rovnic

r(P₁) = ¹₁r(P₂) + ¹₃r(P₃)

r(P₂) = ¹₂r(P₁) + ¹₂ r(P₆)

r(P₃) = ¹₂r(P₁) + ¹₃r(P₅)

r(P₄) = ¹₃r(P₃) + ¹₃r(P₅)

r(P₅) = ¹₃r(P₃) + ¹₁r(P₄) + ¹₂ r(P₆)

r(P₆) = ¹₃r(P₅)

,

kterou m˚uˇzeme snadno zapsat maticovˇe jako





 r(P₁) r(P₂) r(P3) r(P₄) r(P₅) r(P6)







| {z } π

=







0 1/1 1/3 0 0 0

1/2 0 0 0 0 1/2

1/2 0 0 0 1/3 0

0 0 1/3 0 1/3 0

0 0 1/3 1/1 0 1/2

0 0 0 0 1/3 0







| {z }

H^T





 r(P₁) r(P₂) r(P3) r(P₄) r(P₅) r(P6)







| {z } π

, (1.8)

kde matici H nazýváme matic´ı weobových odkaz˚u tzv. hyperlink˚u (anglicky hyperlink matrix) a vektor π nazýváme PageRank vektor. Vˇsimnˇeme si, ˇze internet na obrázku 1.1 je zároveˇn grafem ~G(H) své matice hyperlink˚u H (aˇz na pojmenován´ı vrchol˚u;

vrchol j v grafu ~G(H) odpov´ıdá vrcholu P_j v obrázku). Porovnán´ım maticového zápisu (1.8), po zámˇenˇe levé a pravé strany,

H^Tπ = π

s rovnic´ı (1.1) vid´ıme, ˇze PageRank vektor π mus´ı být bud’ nulový, coˇz by v daném kontextu nebylo pˇr´ıliˇs pˇr´ınosné, nebo, má-li být nenulový, mus´ı m´ıt matice hyperlink˚u H (resp. jej´ı transpozice H^T) vlastn´ı ˇc´ıslo λ = 1. PageRank vektor π je pak vlastn´ım vektorem matice H^T odpov´ıdaj´ıc´ı tomuto vlastn´ımu ˇc´ıslu. D˚uleˇzitou otázkou tedy je, zda má matice hyperlink˚u vlastn´ı ˇc´ıslo rovné jedné.

V matici H si m˚uˇzeme vˇsimnout následuj´ıc´ı zvláˇstnosti. Souˇcet prvk˚u v ˇrádc´ıch je vˇzdy roven jedné (kaˇzdá stránka Pj odkazuj´ıc´ı na |Pj| stránek pˇrisp´ıvá k jejich hodnocen´ı stejnou mˇerou rovnou právˇe ˇc´ıslu 1/|P_j|). Kdybychom m´ısto matice H^T

(24)

pracovali pˇr´ımo s matic´ı H, tak urˇcitˇe plat´ı







0 1/2 1/2 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1/3 0 0 1/3 1/3 0

0 0 0 0 1 0

0 0 1/3 1/3 0 1/3

0 1/2 0 0 1/2 0







| {z }

H





 1 1 1 1 1 1







| {z } e

=





 1 1 1 1 1 1







| {z } e

. (1.9)

Vid´ıme, ˇze vektor e = [1, . . . , 1]^T je urˇcitˇe vlastn´ım vektorem matice H odpov´ıdaj´ıc´ım vlastn´ımu ˇc´ıslu λ = 1. Protoˇze det(Iλ − A) = det(Iλ − A^T), viz [11, kapitola 1], pak sp(H) = sp(H^T), a tedy matice H^T mus´ı m´ıt také alespoˇn jedno vlastn´ı ˇc´ıslo rovné jedné, a tud´ıˇz existuje nenulový PageRank vektor π.

Poznamenejme, ˇze vlastn´ı vektory matic H a H^T odpov´ıdaj´ıc´ı stejnému vlastn´ımu ˇc´ıslu jsou obecnˇe r˚uzné, tj. e 6= π. To je zp˚usobeno t´ım, ˇze matice H obecnˇe nen´ı normáln´ı, tedy HH^T 6= H^TH, viz [11, kapitola 2]. Pouze pro normáln´ı matice plat´ı, ˇze (vˇsechny) jejich levé a pravé vastn´ı vektory jsou stejné; zde je e pravým a π levým vlastn´ım vektorem matice H.

(25)

C´ ˇ ast I

Existence PageRank vektoru

(26)

2 Nez´ aporn´ e a stochastick´ e matice

V této kapitole se budeme seznám´ıme se stochastickými maticemi, které jsou speci- fické právˇe t´ım, ˇze souˇcet prvk˚u v ˇrádc´ıch je vˇzdy roven jedné. Vycházet budeme z knih [12] a [11].

Zejména zde ukáˇzeme, ˇze pro nˇekteré matice A s nezápornými prvky plat´ı, ˇze spektráln´ı polomˇer %(A) je (kladné) vlastn´ı ˇc´ıslo nazývané Perronovo vlastn´ı ˇc´ıslo a ˇze mu odpov´ıdá (ne nutnˇe jediný) vlastn´ı vektor s nezápornými prvky nazývaný (levý ˇci pravý) Perron˚uv vlastn´ı vektor.

2.1 Aritmetika nez´ aporn´ ych a kladn´ ych matic

Stochastické matice jsou speciáln´ım pˇr´ıpadem tzv. nezáporných matic. Nejprve se tedy seznám´ıme s nimi.

Definice 9 (Nezáporná matice, kladná matice). Necht’ A ∈ R^m×n je reálná matice s prvky a_j,k. Jestliˇze pro vˇsechny jej´ı prvky plat´ı a_j,k ≥ 0, pak tuto matici A nazýváme nezápornou. Tuto vlastnost budeme zapisovat

A ≥ 0.

Jestliˇze nav´ıc plat´ı a_j,k > 0, pak matici A naz´yv´ame kladnou. Tuto vlastnost budeme zapisovat

A > 0.

Dále je-li B ∈ R^m×n (resp. B ∈ C^m×n) obecná reálná (resp. komplexn´ı) matice s prvky b_j,k, pak zápisem

|B| ∈ R^m×n, |B| ≥ 0

budeme znaˇcit nez´apornou matici, jej´ıˇz prvky jsou |b_j,k|, tj. absolutn´ı hodnoty prvk˚u matice B.

Analogicky zápisem A ≤ 0 a A < 0, budeme znaˇcit, ˇze a_j,k ≤ 0, resp. a_j,k < 0, a budeme takovou matici A nazývat nekladnou, resp. zápornou. Dále zápisem A ≥ B, kde A a B jsou reálné matice stejných rozmˇer˚u, budeme znaˇcit, ˇze A − B ≥ 0, analogicky pro A > B, A ≤ B, A < B. Obdobnˇe zavedeme nerovnosti a znaˇcen´ı také pro vektory. Následuj´ıc´ıch nˇekolik lemmat zformuluje nˇekteré základn´ı vlastnosti aritmetiky nezáporných matic.

(27)

Lemma 3. Necht’ A ≥ 0 a B ≥ 0 jsou (reálné) nezáporné matice. Pokud jsou matice A a B stejných rozmˇer˚u, pak

A + B ≥ 0

je nezáporná. Pokud lze matice A a B násobit (v tomto poˇrad´ı), pak

AB ≥ 0 (2.1)

je nezáporná. Je-li nav´ıc A > 0 kladná matice a B 6= 0 nenulová matice, pak

AB ≥ 0 a z´aroveˇn AB 6= 0 (2.2)

je nezáporná nenulová matice.

D˚ukaz tohoto lemmatu je elementárn´ı a sestává se pouze z rosepsán´ı maticových operac´ı po prvc´ıch. Dalˇs´ı lemma, které pro nás bude d˚uleˇzitˇejˇs´ı, se zamˇeˇr´ı konkrétnˇe na souˇciny nezáporných matic s vektory.

Lemma 4. Necht’ A ∈ R^m×n, A ≥ 0 je nezáporná matice a x, y ∈ Rⁿ vektory, pro které plat´ı x ≥ y. Pak

Ax ≥ Ay. (2.3)

Je-li nav´ıc A > 0 kladn´a matice a vektory x 6= y jsou r˚uzn´e, pak

Ax > Ay. (2.4)

D˚ukaz. Nerovnost (2.3) dostaneme snadno z nerovnosti (2.1), pokud budeme v lem- matu3 uvaˇzovat matici B ve tvaru B ≡ x − y ∈ R^n×1.

Druhou nerovnost (2.4) dok´aˇzeme n´aslednˇe. Mˇejme vektory x = [ξ1, . . . , ξn]^T a y = [ν₁, . . . , ν_n]^T. Podle nerovnosti x ≥ y plat´ı

ξ_k ≥ ν_k, k = 1, . . . , n.

Protoˇze x 6= y, pak existuje index ` takový, ˇze ξ_` > ν_`, a bez újmy na obecnosti m˚uˇzeme pˇredpokládat, ˇze

ξ_k = ν_k, k = 1, . . . , ` − 1, ` + 1, . . . , n.

Pro j-t´y ˇr´adek souˇcin˚u Ax a Ay zˇrejmˇe plat´ı e^T_j(Ax) =

n

X

k=1 k6=`

a_j,kξ_k

!

+ a_j`ξ_`, resp.

e^T_j(Ay) =

n

X

k=1 k6=`

a_j,kν_k

!

+ a_j`ν_` =

n

X

k=1 k6=`

a_j,kξ_k

!

+ a_j`ν_`.

(28)

Protoˇze A > 0, tj. a_j,`> 0, a ξ_` > ν_`, pak

e^T_j(Ax − Ay) = a_j,`(ξ_`− ν_`) > 0, pro j = 1, . . . , n.

Tedy

Ax − Ay > 0, z ˇcehoˇz ihned plyne Ax > Ay, coˇz jsme chtˇeli dok´azat.

V úvodn´ım pˇr´ıkladu (1.8)–(1.9) jsme pracovali s nezápornou matic´ı H (resp. H^T), která byla nav´ıc ˇctvercová. Následuj´ıc´ı vˇeta bude uˇziteˇcná pˇri zkoumán´ı ˇctvercových nezáporných matic, viz [11, cviˇcen´ı 2.15].

Vˇeta 2. Necht’ A ∈ R^n×n, A ≥ 0 je nezáporná ˇctvercová matice, x ∈ Rⁿ, x ≥ 0 je nezáporný vektor a ς reálné ˇc´ıslo takové, ˇze

Ax > x ς.

Pak plat´ı

%(A) > ς, (2.5)

kde %(A) je spektr´aln´ı polomˇer matice A (viz definice 1).

D˚ukaz. Vzhledem tomu, ˇze A, x a %(A) jsou nezáporná matice, vektor a ˇc´ıslo, viz (1.2), nerovnosti Ax > x ς a %(A) > ς jsou splnˇeny triválnˇe pro ς < 0. Necht’ je tedy ς ≥ 0 (a tud´ıˇz také A 6= 0, x 6= 0). Z pˇredpokladu Ax > x ς vyplývá, ˇze existuje ε > 0 takové, ˇze plat´ı

Ax ≥ x(ς + ε).

Zadefinujme si nyn´ı matici B ≡ (ς + ε)⁻¹A. Tato matice je zˇrejmˇe nez´aporn´a, tj.

B ≥ 0, B 6= 0, a nav´ıc plat´ı

Bx ≥ x.

Opakovan´ym uˇzit´ım tvrzen´ı lemmatu 4, konkr´etnˇe vztahu (2.3), pak dostaneme B^`x ≥ B^`−1x ≥ . . . ≥ x, pro ` = 1, 2, . . . (2.6) V´ıme, ˇze plat´ı

lim

` −→ ∞B^` = 0 ⇐⇒ %(B) < 1,

viz [11, cviˇcen´ı 1.23]. Ze vztahu (2.6) vˇsak vid´ıme, ˇze posloupnost matic B^` nem˚uˇze konvergovat k nulové matici, a tud´ıˇz mus´ı m´ıt matice B spektráln´ı polomˇer vˇetˇs´ı nebo roven jedné,

%(B) ≥ 1, Pro matici A = (ς + ε)B pak ihned dostaneme

%(A) ≥ ς + ε > ς, ˇc´ımˇz je d˚ukaz hotov.

(29)

Na z´avˇer jeˇstˇe struˇcnˇe pˇripomeneme vlastnosti aritmetiky komplexn´ıch ˇc´ısel, resp. jejich absolutn´ıch hodnot.

Lemma 5. Necht’ A ∈ C^m×n a B ∈ C^n×d jsou dvˇe libovoln´e komplexn´ı matice, pak

|A| |B| ≥ |AB|. (2.7)

D˚ukaz. Zˇrejmˇe pro a, b ∈ C plat´ı |a| |b| = |ab|, |a| + |b| ≥ |a + b|. Speci´alnˇe pro prvky a_j,k a b_k,` matice A, resp. B plat´ı

n

X

k=1

|a_j,k| |b_k,`| =

n

X

k=1

|a_j,kb_k,`| ≥

n

X

k=1

a_j,kb_k,`

pro j = 1, . . . , m a ` = 1, . . . , d.

Toto triviáln´ı pozorován´ı má následuj´ıc´ı d˚usledek, který bude pozdˇeji uˇziteˇcný.

Lemma 6. Necht’ A ∈ R^m×n je nezáporná matice, A ≥ 0, a B ∈ C^n×d je libovolná komplexn´ı matice taková, ˇze souˇcin AB ∈ R^m×d je reálný. Pak

A|B| ≥ AB. (2.8)

Je-li nav´ıc matice A kladn´a, A > 0, pak

A|B| = AB ⇐⇒ |B| = B, (2.9)

tj. v nerovnosti (2.8) nastane rovnost jen tehdy, kdyˇz B je reálná a nezáporná.

D˚ukaz. Je-li A ≥ 0 nezáporná a AB reálná, pak |A| = A, resp. |AB| ≥ AB, a nerovnost (2.8) dostáváme rovnou z nerovnosti (2.7). V druhé ˇcásti lemmatu je implikace

”⇐=“ zˇrejmá. Kdyˇz |B| = B, pak A|B| = AB. Zbývá tedy dokázat implikaci

”=⇒“

opaˇcným smˇerem. Pˇredpokládejme naopak, ˇze druhá implikace neplat´ı, tj. ˇze A|B| = AB a zároveˇn |B| 6= B.

Pˇreuspoˇr´ad´an´ım prvn´ı rovnosti dostaneme A

|B| − B

= AM = 0, kde M ≡ |B| − B.

Protoˇze |B| 6= B, pak matice M má alespoˇn jeden nenulový prvek. Protoˇze A > 0 je kladná, pak AM 6= 0, coˇz je spor. T´ım je dokázána i druhá implikace, a t´ım i celé lemma.

(30)

2.2 Stochastick´ e matice: spektr´ aln´ı polomˇ er

D˚uleˇzitou podmnoˇzinou nezáporných matic jsou tzv. stochastické matice. Tyto matice jsou ned´ılnou souˇcást´ı výpoˇctu PageRanku, a proto si v této kapitole stochas- tické matice zadefinujeme a bl´ıˇze pop´ıˇseme jejich vlastnosti.

Definice 10 (Stochastická matice). ˇCtvercová nezáporná matice S ∈ R^n×n s prvky s_j,k, pro kterou plat´ı

n

X

k=1

s_j,k = 1, pro j = 1, . . . , n,

se nazývá stochastická matice (viz napˇr. [12, str. 99]).

Prvky stochastické matice m˚uˇzeme povaˇzovat napˇr´ıklad za pravdˇepodobnosti. Vˇsi- mnˇeme si, ˇze v matici hyperlink˚u H to m˚uˇzeme interpretovat jako pravdˇepodob- nosti pˇrechodu ze stránky P_j na P_k. Jak definice tvrd´ı, stochastická matice S má souˇcet vˇsech prvk˚u v ˇrádku vˇzdy roven jedné. To lze vyjádˇrit také jako Se = e, kde e = [1, . . . , 1]^T. Tedy e je (pravý) vlastn´ı vektor stochastické matice S a odpov´ıdá vlastn´ımu ˇc´ıslu λ = 1, viz také (1.9). Vid´ıme, ˇze úloha (1.8), kterou chceme ˇreˇsit je následuj´ıc´ı:

Hledáme levý vlastn´ı vektor π stochastické matice S odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu ˇc´ıslu λ = 1. Tento vektor je (levý) Perron˚uv vlastn´ı vektor.

To, co bychom nyn´ı rádi ukázali, je, zda lze Perron˚uv vlastn´ı vektor volit kladný (tj.

abychom mohli str´anky pomoc´ı komponenty PageRank vektor rozumnˇe seˇradit) a zda je urˇcen jednoznaˇcnˇe.

Nyn´ı ukáˇzeme, ˇze pro libovolnou stochastickou matici S dokonce plat´ı %(S) = 1, tj. matice S nemá ˇzádné vlastn´ı ˇc´ıslo, které by bylo v absolutn´ı hodnotˇe vˇetˇs´ı neˇz jedna.

Vˇeta 3. Necht’ S je ˇctvercová nezáporná stochastická matice, s_j,k ≥ 0,Pn

k=1s_j,k = 1 pro j = 1, . . . , n. Pak plat´ı

%(S) = 1.

D˚ukaz. Pro e = [1, . . . , 1]^T zˇrejmˇe plat´ı

Se =





 Pn

k=1a_1,k ... Pn

k=1a_n,k





=





 1

... 1





= e, tedy λ = 1 je vlastn´ım ˇc´ıslem stochastick´e matice, takˇze

%(S) ≥ 1. (2.10)

(31)

Z´aroveˇn vid´ıme, ˇze

kSk∞= 1,

viz (1.5). Pouˇzijeme-li tvrzen´ı lemmatu 2 na stochastickou matici S a na ∞-normu (1.4), dostaneme

%(S) ≤ kSk∞ = 1. (2.11)

Z nerovnost´ı (2.10) a (2.11) zˇrejmˇe vypl´yv´a, ˇze %(S) = 1.

2.3 Stochastick´ e matice: (lev´ y) Perron˚ uv vlastn´ı vektor

Nyn´ı jiˇz v´ıme, ˇze %(S) = 1 pro kaˇzdou stochastickou matici, coˇz znamená, ˇze neexistuje ˇzádné jiné vlastn´ı ˇc´ıslo matice S, které by bylo v absolutn´ı hodnotˇe vˇetˇs´ı neˇz jedna. Pojd’me se nyn´ı pod´ıvat na dalˇs´ı ˇcást naˇs´ı úlohy. Hledáme levý vlastn´ı vektor π, který bychom rádi volili kladný. Tato podm´ınka je pro nás d˚uleˇzitá, protoˇze nám umoˇzn´ı rozumnˇe seˇradit webové stránky. V této kapitole se pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze tento kladný vektor exiistuje. Nejprve se ovˇsem pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze levý vlastn´ı vektor odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu ˇc´ıslu λ = 1 je moˇzné volit nezáporný. Budeme vycházet z [11, cviˇcen´ı 2.16].

Vˇeta 4. Necht’ S je ˇctvercová nezáporná stochastická matice, s_j,k ≥ 0,Pn

k=1s_j,k = 1 pro j = 1, . . . , n. Necht’ vlastn´ımu ˇc´ıslu λ ≡ %(S) = 1 odpov´ıd´a lev´y vlastn´ı vektor π.

Pak lze tento vektor π volit nez´aporn´y, tj.

π^TS = π^T, kde π ≥ 0.

D˚ukaz. Mˇejme ˇctvercovou nez´apornou stochastickou matici S. Z vˇety 3 v´ıme, ˇze

%(S) = 1. Oznaˇcme $_j sloˇzky levého vlastn´ıho vektoru π, tedy π = [$₁, . . . , $_n]^T. Pokud $_j ≥ 0, j = 1, . . . , n, pak π je právˇe hledaný nezáporný vektor, pro který plat´ı

π^TS = π^T.

Je-li $_j ≤ 0, j = 1, . . . , n pak (−π)^T je hledaný nezáporný vektor, pro který plat´ı (−π)^TS = (−π)^T.

Pˇredpokládejme nyn´ı, v rozporu s tvrzen´ım vˇety, ˇze prvky vektoru π maj´ı r˚uzná znaménka. Pokud existuje alespoˇn jeden prvek s odliˇsným znaménkem neˇz maj´ı ostatn´ı prvky, pak

n

X

j=1

|$_j|s_j,k >

n

X

j=1

$_js_j,k

= |$_k|, pro k = 1, . . . , n.

Z toho vypl´yv´a, ˇze plat´ı

|π|^TS > |π|^T, kde |π| ≡h

|$₁|, . . . , |$_n|iT

.

(32)

Podle vˇety2pro nezápornou matici A ≡ S^T, nezáporný vektor x ≡ |π| a reálné ˇc´ıslo ς ≡ 1 takové, ˇze S^T|π| ≡ Ax > xλ ≡ |π|, plat´ı %(A) > ς. Takˇze v naˇsem pˇr´ıpadˇe mus´ı být

%(S^T) ≡ %(S) > 1,

coˇz je ve sporu s vlastnost´ı %(S) = 1, viz vˇetu 3. T´ım jsme dokázali, ˇze levý vlastn´ı vektor π m˚uˇzeme volit nezáporný.

Z kapitoly2.2v´ıme, ˇze spektráln´ı polomˇer ˇcvercové nezáporné stochastické matice je roven jedné. Nav´ıc v´ıme, ˇze spektráln´ı polomˇer je pˇr´ımo vlastn´ım ˇc´ıslem, tj. λ = 1.

Nyn´ı jsme zjistili, ˇze levý vlastn´ı vektor odpov´ıdaj´ıc´ı tomuto vlastn´ımu ˇc´ısle lze volit nezáporný. To má následuj´ıc´ı d˚usledek pro naˇsi úlohu.

PageRank vektor π splˇnuj´ıc´ı π^TH = π^T, viz (1.7) a (1.8), kde H je matice hyperlink˚u, existuje a jeho sloˇzky, tj. ranky (hodnocen´ı) jednotliv´ych str´anek

Pj, jsou nez´aporn´a ˇc´ısla. M˚uˇzeme je tedy snadno seˇradit.

2.4 Kladn´ e matice: spektr´ aln´ı polomˇ er a (prav´ y) Perron˚ uv vlastn´ı vektor

Vˇetu 4 lze modifikovat pro libovolnou kladnou ˇctvercovou matici, tj. A > 0. Tato modifikace mˇen´ı pˇredpoklady vˇety. Na jedné stranˇe své poˇzadavky zes´ıl´ıme t´ım, ˇze vyˇzadujeme nenulovost prvk˚u, na druhé stranˇe je ale oslab´ıme t´ım, ˇze nepoˇzadujeme stochasticitu matice. Tvrzen´ı modifikované vˇety je také nepatrnˇe silnˇejˇs´ı. Tato modifikace je známá jako Perronova vˇeta, pˇr´ıpadnˇe Perronovo lemma. Tato vˇeta se bude také hodit v následuj´ıc´ım textu. Budeme vycházet z výkladu v knize [12, str.

86–87].

Vˇeta 5 (Perronova vˇeta (o spektráln´ım polomˇeru a kladném vlastn´ım vektoru kladných matic)). Necht’ A je ˇctvercová matice s kladnými prvky, tj. a_j,k > 0. Pak λ ≡ %(A) je kladné vlastn´ı ˇc´ıslo matice A a odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ı vektor x lze volit kladný, tj.

Ax = xλ, kde x > 0.

D˚ukaz. Mˇejme A > 0 a vlastn´ı ˇc´ıslo λ matice A, pro kter´e plat´ı

%(A) = |λ|. (2.12)

Mˇejme nenulov´y vlastn´ı vektor x 6= 0 odpov´ıdaj´ıc´ı ˇc´ıslu λ, tj.

Ax = xλ. (2.13)

Poznamenejme, ˇze pro libovovoln´a komplexn´ı ˇc´ısla v a w a kladn´a ˇc´ısla α a β plat´ı

α|v| + β|w| ≥ |αv + βw|, (2.14)

(33)

pˇriˇcemˇz rovnost nastane právˇe tehdy, kdyˇz existuje komplexn´ı jednotka η (|η| = 1, tj. η = exp(i ϕ) = cos(ϕ) + i sin(ϕ)) tak, ˇze vη, wη ∈ R a nav´ıc vη, wη ≥ 0. Jedno- duchým zobecnˇen´ım tohoto pozorován´ı dostaneme, ˇze pro komplexn´ı ˇc´ısla ξ₁, . . . , ξ_n a kladná ˇc´ısla α₁, . . . , α_n plat´ı

n

X

j=1

α_j|ξ_j| ≥

n

X

j=1

α_jξ_j

; (2.15)

viz tak´e (2.7). Rovnost pˇri tom nastane pouze tehdy, kdyˇz existuje komplexn´ı jednotka η takov´a, ˇze ξ_jη ∈ R a nav´ıc

ξ_jη ≥ 0, pro j = 1, . . . , n. (2.16) Pˇredpokládejme nyn´ı, ˇze pro vektor x = [ξ₁, . . . , ξ_k]^T, respektive pro jeho sloˇzky ξ_j, neexistuje takové η, aby vztah (2.16) platil. Pak z k-tého ˇrádku rovnice (2.13) dostaneme uˇzit´ım vztahu (2.15) nerovnost

n

X

j=1

a_k,j|ξ_j| >

n

X

j=1

a_k,jξ_j

= |λ||ξ_k|, pro k = 1, . . . , n.

Z toho vypl´yv´a, ˇze plat´ı

A|x| > |x||λ|, kde |x| ≡h

|ξ₁|, . . . , |ξ_n|iT

.

Podle vˇety2pro nezápornou matici A, nezáporný vektor |x| a reálné ˇc´ıslo |λ| takové, ˇze A|x| > |x||λ|, plat´ı %(A) > |λ|. Tedy v naˇsem pˇr´ıpadˇe mus´ı být

%(A) > |λ|,

coˇz je ve sporu s vlastnost´ı z (2.12). T´ım jsme dok´azali, ˇze existuje takov´a komplexn´ı jednotka η, ˇze vztah (2.16) pro sloˇzky vektoru x plat´ı. Takˇze

ex = xη ∈ R, kde x ≡ [ee ξ₁, . . . , eξ_n], tj. ξe_j = ξ_jη, a plat´ı

ex ≥ 0, ex 6= 0.

Nav´ıc podle (2.13) plat´ı

Aex =xλ,e (2.17)

tedy vlastn´ı vektor odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu ˇc´ıslu λ lze volit nezáporný. Nyn´ı zbývá dokázat, ˇze λ > 0, tj. spektráln´ı polomˇer %(A) = |λ| = λ je pˇr´ımo vlastn´ım ˇc´ıslem, a dále, ˇze ex > 0.

Protoˇze A > 0, x ≥ 0,e ex 6= 0, pak podle lemmatu 4 plat´ı Ax > A · 0, viz (2.4).e Protoˇze ex 6= 0, urˇcitˇe existuje index ` takový, ˇze eξ_` > 0. Z `-tého ˇrádku rovnice (2.17), tj. ze vztahu e^T_Àx = λee ξ_`, kde (e^T_Àx) > 0, pak plyne λ > 0. Tud´ıˇe z

%(A) = |λ| = λ,

(34)

ˇc´ımˇz jsme dokázali, ˇze spektráln´ı polomˇer matice A s kladnými prvky je pˇr´ımo jej´ım vlastn´ım ˇc´ıslem.

Koneˇcnˇe z k-t´eho ˇr´adku rovnice (2.17), tj. ze vztahu e^T_kAex = λeξ_k, kde (e^T_kAx) > 0e a λ > 0, plyne

ξe_k > 0, pro k = 1, . . . , n. (2.18) T´ım jsme dokázali, ˇze vlastn´ı vektor matice A s kladnými prvky odpov´ıdaj´ıc´ı vlast- n´ımu ˇc´ıslu %(A) vˇzdy m˚uˇzeme volit kladný.

(35)

3 Nerozloˇ zitelnost matic

V pˇredchoz´ı kapitole jsme ukázali, ˇze spektráln´ı polomˇer stochastické (pˇr´ıpadnˇe kladné) matice je pˇr´ımo vlastn´ım ˇc´ıslem této matice a ukázali jsme, ˇze vlastn´ı vektor, který tomuto vlastn´ımu ˇc´ıslu odpov´ıdá je nezáporný (pˇr´ıpadnˇe kladný). Pˇrirozenˇe nás m˚uˇze dále zaj´ımat, zda je nezáporný (pˇr´ıpadnˇe kladný) vlastn´ı vektor z vˇety 4 (resp.5) urˇcen jednoznaˇcnˇe.

3.1 Stochastick´ e matice: jednoznaˇ cnost (lev´ eho) Perronova vlastn´ıho vektoru

Perron˚uv vektor stochastické matice S, tj. levý vlastn´ı vektor π, π ≥ 0 odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu ˇc´ıslu λ = %(S) = 1 obecnˇe nen´ı obecnˇe urˇcen jednoznaˇcnˇe. Pokus´ıme se to ilustrovat na nˇekolika pˇr´ıkladech. Uvaˇzujme nejjednoduˇsˇs´ı ˇctvercovou nezápornou stochastickou matici

S ≡ I =







1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... . .. ...

0 0 · · · 1







∈ R^n×n.

Zˇrejmˇe %(S) = 1 a λ = 1 je n-násobné vlastn´ı ˇc´ıslo matice S. Pro jakýkoliv nezáporný (pˇr´ıpadnˇe kladný) vektor π, resp. x, plat´ı

π^TS = π^T, resp. Sx = x.

Uloha tedy obecnˇ´ e nen´ı jednoznaˇcn´a (a to ani v pˇr´ıpadˇe, ˇze budeme pracovat s nor- malizovan´ym vektorem, tj. kdyˇz kπk = kxk = 1).

Vezmˇeme si nyn´ı ménˇe triviáln´ı pˇr´ıpad. Mˇejme ˇctvercovou nezáporou stochastickou matici S v blokovˇe diagonáln´ım tvaru se ˇctvercovými bloky S₁a S₂na diagonále,

S = S₁ 0 0 S₂

.

Zˇrejmˇe je matice S nezáporná stochastická matice tehdy a jen tehdy kdyˇz matice S1 a S2 jsou nezáporné stochastické matice. Oznaˇcme π1 a π2 levými nezápornými vlastn´ımi vektory matic S₁ a S₂ odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu ˇc´ıslu λ = %(S₁) = %(S₂) = 1, tj.

π₁^TS1 = π₁^T, π1 ≥ 0, π1 6= 0,

(36)

π₂^TS₂ = π₂^T, π₂ ≥ 0, π₂ 6= 0.

Pak %(S) = 1 a λ = 1 je minimálnˇe dvojnásobné vlastn´ı ˇc´ıslo. Levý vlastn´ı vektor matice S odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu ˇc´ıslu λ = 1, tj. π^TS = π^T, lze volit napˇr´ıklad následuj´ıc´ımi zp˚usoby

π = π₁ 0

,

0 π₂

, π₁

π₂

, pˇr´ıpadnˇe obecnˇe π = π₁α₁ π₂α₂

,

kde α₁, α₂ ∈ R, α1, α₂ ≥ 0, α₁+ α₂ > 0. Ve vˇsech tˇechto pˇr´ıpadech π ≥ 0, π 6= 0. Je tedy zˇrejmé, ˇze ani nyn´ı levý vlastn´ı vektor π matice S nen´ı dán jednoznaˇcnˇe. Výˇse zm´ınˇenou blokovou strukturu budeme ilustorvat na pˇr´ıkladu naˇseho modelového internetu, viz obrázek 1.1, resp. rovnici (1.8). Pˇr´ıklad internetu s takovou blokou strukturou z´ıskáme vynechán´ım nˇekolika odkaz˚u (hran v grafu), viz obrázek 3.1.

Internetu z obr´azku3.1 pak odpov´ıd´a rovnice





 r(P₁) r(P₂) r(P₃) r(P₄) r(P₅) r(P₆)







| {z } π

=







0 1/1 1/1 0 0 0

1/2 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1/2 0

0 0 0 1/1 0 1/1

0 0 0 0 1/2 0







| {z }

H^T





 r(P₁) r(P₂) r(P₃) r(P₄) r(P₅) r(P₆)







| {z } π

, (3.1)

vˇsimnˇeme si, ˇze tato matice H má právˇe dvˇe vlastn´ı ˇc´ısla rovna jedné.

3.2 (Ne)rozloˇ ziteln´ e matice

Pˇri zjednoznaˇcnˇen´ı úlohy bude hrát d˚uleˇzitou roli tzv. nerozloˇzitelnost matic. Zaˇc- neme proto definic´ı (ne)rozloˇzitelných matic. Vycházet budeme z knihy [12, kapitola 3, str. 71].

Definice 11 ((Ne)rozloˇzitelná matice). Mˇejme ˇctvercovou matici A ∈ R^n×n. Pokud existuje permutace taková, ˇze matice ΠAΠ^T, kde Π je odpov´ıdaj´ıc´ı permutaˇcn´ı matice, je v blokovˇe (horn´ım) trojúheln´ıkovém tvaru s alespoˇn dvˇema ˇctvercovými bloky na diagonále, tj.

ΠAΠ^T = A_1,1 A_1,2 0 A_2,2

,

pak se matice A nazývá rozloˇzitelná. Matice, která nen´ı rozloˇzitelná, se nazývá ne- rozloˇzitelná.

Neˇz budeme pokraˇcovat ve v´ykladu, pokus´ıme se pojem rozloˇzitelnosti ilustrovat opˇet na pˇr´ıkladu naˇseho modelov´eho internetu. Pˇr´ıklad internetu s rozloˇzitelnou