Implicitn´ıplochyvBlenderu Jiˇr´ıHn´ıdek DIPLOMOV´APR´ACE

(1)

Technick´ a univerzita v Liberci

Fakulta mechatroniky a mezioborov´ ych inˇ zen´ yrsk´ ych studi´ı

DIPLOMOV ´ A PR ´ ACE

Jiˇr´ı Hn´ıdek

Implicitn´ı plochy v Blenderu

Katedra softwarového inˇzenýrstv´ı Vedouc´ı diplomové práce: RNDr. Klára C´ısaˇrová Studijn´ı program: Elektrotechnika a informatika Studijn´ı obor: Automatické ˇr´ızen´ı a inˇzenýrská informatika

Liberec 2004

(2)

Podˇekov´an´ı

Na tomto m´ıstˇe bych chtˇel podˇekovat zejména své vedouc´ı diplomové práce RNDr. Kláˇre C´ısaˇrové za jej´ı trpˇelivost a d˚uvˇeru. Dále bych zde rád zm´ınil nˇekteré lidi z vývojáˇrské komunity: Ton Roosendaal, Nathan Letwory, Campbell J. Barton, Matt Ebb a dalˇs´ı, kteˇr´ı mi pomáhali v pronikán´ı do zdrojových kód˚u. V neposledn´ı ˇradˇe bych chtˇel podˇekovat vˇsem uˇzivatel˚um, kteˇr´ı poctivˇe hlásili mé chyby do bugtrackeru.

Pouˇzit´y software

Tato práce byla vysázena programem LÂTEX pod operaˇcn´ım systémem SUSE Linux 9.1 s pouˇzit´ım ˇrady dalˇs´ıch pomocných program˚u s GNU licenc´ı.

Kontakt

E-mail: jiri.hnidek@vslib.cz

Dom´ac´ı str´anka: http://jiri hnidek.blogspot.com

(3)

Prohl´ aˇ sen´ı

Byl jsem seznámen s t´ım, ˇze na mou diplomovou práci se plnˇe vztahuje zákon ˇc.

121/2000 Sb. o právu autorském, zejména § 60 - ˇskoln´ı d´ılo

Beru na vˇedom´ı, ˇze technická univerzita v Liberci (TUL) nezasahuje do mých au- torských práv uˇzit´ım mé diplomové práce pro vnitˇrn´ı potˇrebu TUL.

Uˇziju-li diplomovou práci nebo poskytnu-li licenci k jej´ımu uˇzit´ı, jsem si vˇedom povin- nosti informovat o této skuteˇcnosti TUL; v tomto pˇr´ıpadˇe má TUL právo ode mne poˇzadovat úhradu náklad˚u, které vynaloˇzila na vytvoˇren´ı d´ıla, aˇz do jejich skuteˇcné výˇse.

Diplomovou práci jsem vytvoˇril samostatnˇe s pouˇzit´ım uvedené literatury a na základˇe konzultac´ı s vedouc´ım diplomové práce a konzultantem.

Datum

Podpis

(4)

Anotace

C´ılem diplomové práce je vylepˇsit implementaci implicitn´ıch ploch v Open Source 3D animaˇcn´ım a modelovac´ım programu Blender a zajistit jejich lepˇs´ı integraci do celého prostˇred´ı. P˚uvodn´ı implementace byla výraznˇe urychlena zaveden´ım navrˇzených algoritm˚u a byly pˇridány nové funkce, které usnadˇnuj´ı ovladatelnost implicitn´ıch ploch. Byla opravena spoustu chyb v p˚uvodn´ı implementaci. Polygonizace implicitn´ıch ploch byla urychlena pˇredevˇs´ım d´ıky pouˇzit´ı oktanového stromu a lineárn´ı interpolaci. Kromˇe nových ˇr´ıd´ıc´ıch primitiv (MetaEllipsoid, MetaPlane a MetaCube) bylo diskutováno pouˇzit´ı tˇelesa s ploˇskovou reprezentac´ı jako ˇr´ıd´ıc´ı struktury pro implicitn´ı plochy.

Abstract

The aim of the thesis is to improve implementation of implicit surfaces in Open Source 3D program Blender and provide better integration of implicit surfaces to the whole envi- ronment. Original implementation was made faster and new functions were added, which makes controllability easier. Of course, many bugs from original implementation were fixed.

Polygonisation of implicit surfaces is faster due to using optimisation of octal tree and linear interpolation. New directive primitives were added (MetaEllipsoid, MetaPlane and MetaCube). Using mesh as directing structure for implicit surfaces was discussed.

(5)

Obsah

1 Uvod´ 1

2 Blender 1

2.1 Historie . . . 1

2.2 Základy ovládán´ı . . . 2

2.2.1 Popis programov´eho rozhran´ı . . . 2

2.2.2 Objekty . . . 4

2.3 Vnitˇrn´ı architektura Blenderu . . . 5

2.3.1 Datov´a struktura . . . 6

3 Vývojové nástroje 7 3.1 Kompilátor . . . 8

3.2 Sestavovac´ı syst´em . . . 8

3.2.1 Scons. . . 8

3.2.2 Make . . . 9

3.2.3 Microsoft Visual Studio . . . 10

3.3 Lad´ıc´ı n´astroje . . . 11

3.4 Syst´em pro spr´avu verz´ı . . . 11

3.4.1 CVS . . . 12

3.5 Ostatn´ı n´astroje . . . 13

3.5.1 Bug tracker . . . 13

3.5.2 Mailing list . . . 14

3.5.3 IRC . . . 14

3.5.4 Diskuzn´ı f´ora . . . 14

3.5.5 Wiki . . . 14

4 Implicitn´ı plochy 15 4.1 Implicitn´ı funkce . . . 16

(6)

4.2 Smˇeˇsovac´ı funkce . . . 16

4.3 R´ıd´ıc´ı primitivaˇ . . . 18

4.4 V´ypoˇcet vzd´alenosti od ˇr´ıd´ıc´ıho primitiva . . . 19

4.4.1 Vzd´alenost od bodu . . . 19

4.4.2 Vzd´alenost od ´useˇcky . . . 19

4.4.3 Vzdálenost od obecného trojúheln´ıka . . . 26

4.4.4 V´ypoˇcet transformaˇcn´ı matice troj´uheln´ıka . . . 28

4.5 Zobrazov´an´ı implicitn´ıch ploch . . . 31

4.5.1 Sledov´an´ı paprsk˚u. . . 31

4.5.2 Pˇrevod na ploˇskovou reprezentaci . . . 31

4.5.3 Dalˇs´ı moˇznosti zobrazov´an´ı implicitn´ıch ploch . . . 32

4.6 Algoritmus pochoduj´ıc´ıch krychl´ı . . . 32

4.6.1 Bin´arn´ı dˇelen´ı intervalu. . . 34

4.6.2 Line´arn´ı interpolace. . . 35

4.6.3 Optimalizace pomoc´ı oktanov´eho stromu . . . 36

4.6.4 Optimalizace pomoc´ı bounding boxu . . . 37

5 Implementace implicitn´ıch ploch v Blenderu 38 5.1 Datov´e struktury . . . 38

5.1.1 Dvoucestn´e dynamick´e seznamy . . . 39

5.1.2 Objekt typu MBALL a MetaBall . . . 39

5.1.3 R´ıd´ıc´ı primitivum MetaElemˇ . . . 40

5.2 P˚uvodn´ı implementace . . . 41

5.2.1 Chyby v p˚uvodn´ı implementaci . . . 41

5.2.2 Funkˇcn´ı nedostatky v p˚uvodn´ı implementaci . . . 42

5.3 Aktu´aln´ı stav . . . 43

5.3.1 Jednotliv´e typy ˇr´ıd´ıc´ıch primitiv . . . 43

5.3.2 Ovl´adac´ı prvky . . . 43

5.3.3 Python API . . . 45

(7)

5.4 MetaMesh . . . 46

5.4.1 MetaVert . . . 47

5.4.2 MetaEdge . . . 48

5.4.3 MetaFace . . . 48

5.5 Benchmarkov´e testy. . . 49

5.6 Komunita . . . 51

6 Z´avˇereˇcn´e zhodnocen´ı 51

(8)

1 Uvod ´

Blender je komplexn´ı 3D modelovac´ı a animaˇcn´ı program. D´ıky vestavˇenému GameEnginu v nˇem lze vytváˇret i interaktivn´ı aplikace. Blender je dostupný na vˇsech hlavn´ıch platformách (Windows, Linux, Mac OSX, FreeBSD, IRIX a Solaris). Blender je ˇs´ıˇren jako Open Source pod licenc´ı GPL, coˇz znamená, ˇze kromˇe binárn´ıch soubor˚u pro jednotlivé platformy jsou k dispozici i jeho zdrojové kódy. Blender je napsán ve tˇrech programovac´ıch jazyc´ıch. Jádro je psáno v programovac´ım jazyku C. GameEngine a integrace rendereruyafray¹ je napsána v jazyku C++. Blender poskytuje python API, pomoc´ı nˇehoˇz jsou v pythonu napsány importn´ı a exportn´ı filtry, nˇekteré nástroje, nápovˇeda, rozˇs´ıˇren´ı apod. Pomoc´ı OpenGL nen´ı vykreslováno pouze 3D prostˇred´ı ale i vˇsechna tlaˇc´ıtka, panely apod. D´ıky implementaci celého rozhran´ı v OpenGL je Blender lehce pˇrenositelný na jiné platformy.

Implicitn´ı plochy, nˇekdy téˇz nazývány Metabally, nebo nesprávnˇe Bloby, jsou pouˇz´ıvány pˇredevˇs´ım pro vytváˇren´ı nˇejakých ”ˇzivých” struktur jako jsou napˇr´ıklad ka- paliny, mraky, bláto, rostliny, ˇzivoˇcichové apod. Jejich uplatnˇen´ı vˇsak m˚uˇze být mnohem ˇsirˇs´ı. Pˇrednost´ı implicitn´ıch ploch je jejich hladkost, intuitivnost modelován´ı a vysoká pouˇzitelnost. Zámˇerem bylo vylepˇsit implementaci implicitn´ıch ploch jak kvalitativnˇe (urychlen´ım jejich vykreslován´ı), tak kvantitativnˇe (pˇridán´ım nových funkc´ı).

2 Blender

2.1 Historie

Blender byl p˚uvodnˇe vyv´ıjen jako intern´ı nástroj v holandském animaˇcn´ım studiu Neo- Geo jejich vlastn´ımi uˇzivateli, tak aby splˇnoval jejich poˇzadavky pˇri kaˇzdodenn´ı práci na komerˇcn´ıch projektech. V roce 1998 byla zaloˇzena firma NaN s c´ılem vyv´ıjet Blender jako

1Yafray je Open Source renderer, který um´ı Global Illumination a Photon mapping. Pouˇzit´ım yafraye, jako extern´ıho rendereru, m˚uˇzeme dosáhnout vysoce kvalitn´ıho fotorealistického zobrazen´ı.

(9)

komerˇcn´ı produkt. Tato ˇcinnost se firmˇe NaN pomˇernˇe daˇrila aˇz do roku 2002, kdy zkra- chovala. Za finanˇcn´ıho pˇrispˇen´ı uˇzivatelské komunity byly uvolnˇeny zdrojové kódy programu Blender (neobsahovaly integraci GameEnginu) pod licenc´ı GPL. D´ıky tomu jsem se mohl stát v roce 2003 plnohodnotým ˇclenem vývojáˇrského týmu.

Bˇehem posledn´ıch let se základn´ı ˇcást zdrojového kódu hodnˇe zmˇenila a rozrostla.

Bˇehem obdob´ı 2000-2002 také doˇslo k nˇekolika pokus˚um restrukturalizovat kód takovým zp˚usobem, aby se na vývoji Blenderu mohlo pod´ılet v´ıce lid´ı a aby se kód rozdˇelil do v´ıce logických celk˚u. Avˇsak, d´ıky marketingovým poˇzadavk˚um, dohánˇen´ı term´ın˚u a vydáván´ı verz´ı, docházelo ke konflikt˚um: ”co je moˇzné a co je potˇreba udˇelat”. Nicménˇe vˇetˇsina restruktualizace byla dokonˇcena pˇred bankrotem firmy v roce 2002. Zdrojový kód, který byl uvolnˇen v roce 2002 byl skuteˇcnˇe ”sn´ımkem” prob´ıhaj´ıc´ıho vývoje.

2.2 Z´ aklady ovl´ ad´ an´ı

C´ılem této kapitoly nen´ı kompletnˇe popsat ovládán´ı programu Blender, protoˇze by to mnohanásobnˇe pˇresáhlo rozsah celé diplomové práce. K Blenderu existuje oficiáln´ı 500 stránková pˇr´ıruˇcka (lze zakoupit v internetovém obchodˇe) nebo lze z internetu stáhnout spoustu tutoriál˚u. Jen v ˇceském jazyce existuje pˇribliˇznˇe 50 velice kvalitn´ıch tutorial˚u, které lze nalézt na www.blender3d.cz.

2.2.1 Popis programov´eho rozhran´ı

Blender pouˇz´ıvá tzv. ”sub window” manager, kdy nedocház´ı k jakémukoliv pˇrekrýván´ı oken. Základn´ı okno lze libovolnˇe dˇelit na menˇs´ı ”podokna”. Rozhran´ı Blenderu m˚uˇze zaˇcáteˇcn´ıkovi pˇripadat nezvyklé, ale v posledn´ı dobˇe nacház´ıme ”sub window” manager i u jiných 3D aplikac´ı².

Na obrázku [1] vid´ıme, ˇze základn´ı okno programu je rozdˇeleno na tˇri podokna. Horn´ı obsahuje pohled do virtuáln´ıho 3D prostoru (3D view). kde m˚uˇzeme vidˇet objekt typu

2Pokud se pod´ıv´ame podrobnˇe na komerˇcn´ı 3D aplikace, tak zjist´ıme, ˇze Blender je jim ˇcasto v´ıce neˇz inspirac´ı i v jin´ych oblastech

(10)

Obr´azek 1: Blenderu s 3D pohledem a button window

mesh, kameru, svˇetlo, a aktivn´ı hlavn´ı kontextové menu 3D okna. Spodn´ı okno obsahu tzv. tlaˇc´ıtkové okno (button window). V tlaˇc´ıtkovém oknˇe se nacházej´ı panely s r˚uznými ovládac´ımi okny. Obsah tlaˇc´ıtkového okna se interaktivnˇe mˇen´ı podle obsahu 3D okna.

Kde se ale nach´az´ı 3. okno? To je tak trochu skryto. Je to horn´ı liˇsta s hlavn´ım menu a dalˇs´ımi ovl´adac´ımi prvky.

Jakékoliv okno si m˚uˇzeme libovolnˇe rozdˇelit na dvˇe menˇs´ı okna, nebo m˚uˇzeme úplnˇe zmˇenit jeho typ, tak aby nám napˇr´ıklad zobrazoval dalˇs´ı button window. Typ obsahu okna (dohromady je jich celkovˇe 14) lze jednoduˇse pˇrep´ınat, tak aby zobrazovala kromˇe pohledu do 3D scény napˇr´ıklad okno pro nelineárn´ı animaci, textový editor, apod. Kaˇzdé okno obsahuje tzv. hlaviˇcku (header), kde nalezneme jednak pˇrep´ınaˇc typu okna a pak

(11)

menu, které zpˇr´ıstupˇnuje jeho specifické funkce. Na obrázku [2] je plnˇe demonstrován ”sub window” manager v Blenderu:

Obr´azek 2: Blender se zapnut´ym outlinerem a oknem pro nastaven´ı prostˇred´ı

2.2.2 Objekty

Na pˇredchoz´ıch obrázc´ıch jsme si mohli vˇsimnou, ˇze v 3D oknˇe se nacházej´ı nˇejaké objekty. Objekty mohou pˇredstavovat objekt z naˇseho reálné svˇeta jako je tˇreba st˚ul, automobil, lidská postava, apod. nebo mohou m´ıt souvislost s osvˇetlován´ım scény (kamera, svˇetlo). Nakonec máme k dispozici speciáln´ı objekty pro nelineárn´ı animaci (armatures) a deformátor objekt˚u. V Blenderu máme moˇznost pracovat se 4 druhy objekt˚u, které zobrazuj´ı reálný pˇredmˇet.

(12)

1. Ploˇskov´a reprezentace (Mesh)

2. Parametrick´e kˇrivky (Bezier a Nurbs) 3. Parametrick´e plochy (Nurbs plochy) 4. Implicitn´ı plochy (MetaBally)

Ve vˇsech pˇr´ıpadech jde o objekty s hraniˇcn´ı reprezentac´ı. Takovéto objekty se mohou nacházet minimálnˇe ve dvou módech, v objektovém módu a editaˇcn´ım módu. Objekt s ploˇskovou reprezentac´ı (mesh) má dalˇs´ı 3 módy. V objektovém módu m˚uˇzeme objekt transformovat (posouvat, natáˇcet, zvˇetˇsovat) jako celek. V editaˇcn´ım módu m˚uˇzeme mˇenit jeho tvar komplexnˇejˇs´ım zp˚usobem. V pˇr´ıpadˇe ploˇskové reprezentace m˚uˇzeme pracovat s jednotlivými vertexy(body), hranami a facy(ploˇskami).

Poloha, rotace a velikost objekt˚u a vˇetˇsinu jejich parametr˚u lze animovat pomoc´ı kl´ıˇcován´ı. Animace m˚uˇze být ovlivˇnována i pomoc´ı armatur(kost´ı), de- formátor˚u(deformaˇcn´ı mˇr´ıˇzka, deformaˇcn´ı kˇrivka, apod.) a python skript˚u.

2.3 Vnitˇ rn´ı architektura Blenderu

Blender m˚uˇzeme charakterizovat jako velkou monolitickou aplikaci. Nˇekteré ˇcásti Blenderu jsou modulárn´ı. Proceduráln´ı textury a efekty do nelineárn´ıho video editoru lze vytváˇret jako pluginy, coˇz jsou speciáln´ı dynamické knihovny (.dll, .so)³. Funkcionalitu Blenderu lze nyn´ı velice flexibilnˇe rozˇsiˇrovat pomoc´ı python skript˚u, ale python skripty nejsou vˇsemocné a nav´ıc jsou v nˇekterých pˇr´ıpadech skuteˇcnˇe výraznˇe pomalejˇs´ı neˇz kód napsaný v C nebo C++.

Blender nemá úplnˇe dokonalý design, coˇz je zapˇr´ıˇcinˇeno dobou vzniku programu, kdy nebyly k dispozici technologie a znalosti, které jsou k dispozici dnes. Zvláˇstˇe teorie animace postav nebyla k dispozici bˇehem p˚uvodn´ı fáze návrhu, coˇz je jeden z d˚uvod˚u, proˇc jsou

3dynamick´e knihovny s pˇr´ıponou .dll se pouˇz´ıvaj´ı na platformˇe Windows, .so se pouˇz´ıvaj´ı na ostatn´ıch platform´ach (UNIX/Linux)

(13)

Armatury, Constraint⁴ a NLA⁵ stále dosti problematické. Jiným aspektem je vestavˇený Game Engine a jeho logické bloky, které byly pˇridány ve spˇechu a maj´ı nˇekteré vady. Do budoucna je nezbytné pˇrepsat Blender tak, aby byl plnˇe modulárn´ı.

2.3.1 Datov´a struktura

Jedna z dalˇs´ıch vˇec´ı, které je v Blenderu pomˇernˇe ˇsikovnˇe implementována, je vlastn´ı datová struktura. Data jsou uloˇzena pomoc´ı struktury, která trochu pˇripom´ıná databázi, ale datové bloky maj´ı i nˇekteré vlastnosti Objekt˚u. Uspoˇrádán´ı dat v pamˇeti ilustruje obrázek [3] pˇrevzatý zwww.blender3d.org. Vˇsechna data jsou uloˇzena ve stromové struktuˇre, která mimojiné umoˇzˇnuje pouˇz´ıvat data z jiných soubor˚u a extrémnˇe rychlé naˇc´ıtán´ı dat z da- tových soubor˚u.

Obrázek 3: Obrázek ilustruj´ıc´ı uspoˇrádán´ı dat v pamˇeti poˇc´ıtaˇce

Vˇsechny datové bloky stejného typu jsou uloˇzeny v dvoucestném dynamickém seznamu.

Vlastn´ı graf scény (scene graph) je vytváˇren pomoc´ı odkaz˚u mezi jednotlivými datovými bloky. Kaˇzdý datový blok má unikátn´ı ID. Datový blok dále obsahuje odkazy na tzv. Direct Data, která pˇr´ısluˇs´ı pouze danému bloku. Direct Data jsou ukládána spolu s datovým blokem do souboru a jsou od svého datového bloku neoddˇelitelná. Datový blok nem˚uˇze

4vazby mezi objekty

5non-linear animation, nebo-li neline´arn´ı animace

(14)

obsahovat ukazatel na Direct Data z jiného datového bloku. Datový blok m˚uˇze obsahovat pouze ukazatel na jiný datový blok. Napˇr´ıklad datový blok typu Mesh m˚uˇze obsahovat ukazatel na datový blok Material. Datový blok koneˇcnˇe m˚uˇze obsahovat ukazatel na nˇejaká doˇcasná data, napˇr´ıklad na strukturu obsahuj´ıc´ı polygonizovanou plochu.

Obrázek 4: Základn´ı struktura datového bloku

Bliˇzˇs´ı informace o vnitˇrn´ı architektuˇre Blenderu lze nal´ezt na http://www.blender3d.org/cms/Guides Standards.87.0.html

3 V´ yvojov´ e n´ astroje

Vývojové nástroje by ˇsly u ”normáln´ı” diplomové práce shrnout v jednom odstavci, moˇzná na pár ˇrádc´ıch, nikoliv vˇsak u projektu, který má v´ıce jak 300 000 ˇrádk˚u zdrojového kódu a na jehoˇz vývoji se pod´ıl´ı v´ıce jak 30 lid´ı, kteˇr´ı jsou rozeseti po celé planetˇe. Z toho d˚uvodu se dané problematice budeme vˇenovat hloubˇeji.

Já osobnˇe jsem pro vlastn´ı vývoj pouˇz´ıval pouze textový editor vim (konkrétnˇe jeho grafickou nadstavbu gvim) a textovou konzoli. Zkouˇsel jsem Blender vyv´ıjet i pomoc´ı r˚uzných integrovaných vývojových nástroj˚u jako je Eclipse nebo KDevelop. Takovéto nástroje maj´ı integrovaný debuger, CVS klienta apod., ale byly sp´ıˇse na obt´ıˇz a práci v´ıce

(15)

zpomalovaly neˇz urychlovaly. To bylo dáno t´ım, ˇze zdrojové kódy Blenderu jsou skuteˇcnˇe hodnˇe velké a velikost moj´ı operaˇcn´ı pamˇeti pomˇernˇe malá.

3.1 Kompil´ ator

Pro zkompilován´ı Blenderu je potˇreba nˇejaký kompilátor jazyka C, C++. Je témˇeˇr jedno jaký kompilátor pouˇzijeme, pokud splˇnuje normu ANSI. Na vˇetˇsinˇe platforem lze pouˇz´ıt OpenSource kompilátor gcc, kromˇe platformy IRIX, kde si kompilátor gcc ”nerozum´ı”

s nˇekterými knihovnami a je nutné pouˇz´ıt proprietárn´ı kompilátor od firmy SGI. Na plat- formˇe Windows lze kromˇe jiˇz zmiˇnovaného kompilátoru gcc pouˇz´ıt také kompilátor z Mi- crosoft Visual Studia C++ dodávaný firmou Microsoft. Na platformˇe Windows a Linux lze Blender zkompilovat také pomoc´ı kompilátoru od firmy Intel. Tento kompilátor dokáˇze velice dobˇre optimalizovat výsledný kód a m˚uˇze doj´ıt k zásadn´ımu zvýˇsen´ı výkonu výsledné aplikace.

3.2 Sestavovac´ı syst´ em

Jelikoˇz zdrojové kódy Blenderu maj´ı v´ıce 300 000 ˇrádku, tak je nutné pro vlastn´ı kom- pilaci pouˇz´ıt nˇejaký sestavovac´ı program. Sestavovac´ı program se stará o zkompilován´ı soubor˚u se zdrojovým kódem, správné slinkován´ı se statickými a dynamickými knihovnami.

Kdyˇz vývojáˇr zmˇen´ı pouze jeden soubor se zdrojovým kódem, tak je naprosto nezbytné, aby sestavovac´ı systém zkompiloval pouze tento zdrojový soubor a postaral se o jeho slinkován´ı.

Nen´ı moˇzné pˇri zmˇenˇe jednoho souboru ˇcekat na opˇetovné pˇrekompilován´ı celého programu. Chován´ı sestavovac´ıho programu je ovlivnˇeno konfiguraˇcn´ımi soubory, které mus´ı vývojáˇri udrˇzovat spolu se zdrojovými kódy. Zdrojové soubory Blenderu jsou dodávány s konfiguraˇcn´ımi soubory pro tˇri r˚uzné sestavovac´ı systémy.

3.2.1 Scons

Scons je sestavovac´ı systém, který je napsaný v programovac´ım jazyku python. Vyniká dobrou pˇrenositelnost´ı na jednotlivé platformy a jednoduchost´ı konfiguraˇcn´ıch skript˚u.

(16)

Konfiguraˇcn´ı skripty jsou vlastnˇe python skripty. Jelikoˇz python je interpretovaný programovac´ı jazyk, tak rychlost pˇrekladu nen´ı nijak oslnivá. Na druhou stranu je tvorba konfiguraˇcn´ıch soubor˚u oproti systému make velice jednoduchá. Rychlost kompilace lze zvýˇsit pouˇzit´ım nˇekterých optimalizaˇcn´ıch voleb, ale obecnˇe plat´ı, ˇze u vývojáˇr˚u nen´ı pro svou rychlost pˇr´ıliˇs obl´ıbený. Tento systém pouˇz´ıvaj´ı pˇredevˇs´ım lidé, kteˇr´ı si sestavuj´ı svoje vlastn´ı vývojové verze Blenderu.

Následuje pˇr´ıklad konfiguraˇcn´ıho souboru Sconstruct pro jednoduchý projekt obsahuj´ıc´ı nˇekolik soubor˚u, které se linkuj´ı do tˇrech statických knihoven. Slinkován´ım tˇechto tˇr´ı statických knihoven a matematické knihovny libm.so/libm.dll vznikne koneˇcný binárn´ı spustitelný soubor program.

L i b r a r y ( ’ knihovna1 ’ , [ ’ soubor01 .c’ , ’ soubor02 .c’ , ’ soubor03 .c’ ] ) L i b r a r y ( ’ knihovna2 ’ , [ ’ soubor04 .c’ , ’ soubor05 .c’ ] )

L i b r a r y ( ’ knihovna1 ’ , [ ’ soubor06 .c’ , ’ soubor07 .c’ , ’ soubor08 .c’ ] ) Program ( ’program ’ ,

LIBS = [ ’ knihovna1 ’ , ’ knihovna2 ’ , ’ knihovna3 ’ , ’m’ ] , LIBPATH = [ ’/ usr / lib ’ , ’/ usr / local / lib ’ ] )

Je patrn´e, ˇze syntaxe tohoto konfiguraˇcn´ıho souboru je velice jednoduch´a.

3.2.2 Make

Systém make je nejdéle pouˇz´ıvaným sestavovac´ım systémem pouˇz´ıvaným pro kom- pilován´ı Blenderu. Vˇsechny konfiguraˇcn´ı soubory Makefile jsou podobné bash skript˚um a daj´ı se taktéˇz pouˇz´ıt na vˇsech platformách. Tento sestavovac´ı systém je dosti obl´ıbený u vývojáˇr˚u protoˇze pomoc´ı nˇekterých pˇrep´ınaˇc˚u lze velice zkrátit dobu pˇrekladu.

CC = g c c

CFLAGS = −g − I / u s r / i n c l u d e

LDPATH = −L/ u s r / l i b / −L/ u s r /X11R6/ l i b /

LDFALGS = −g −lGL −lGLU −lm − lX11 −lXmu − l g l u t TARGET = program

(17)

# t a r g e t s

a l l : s o u b o r 0 1 . o s o u b o r 0 2 . o

g c c −o \ $ (TARGET) \$LDPATH \$LDFLAGS s o u b o r 0 1 . o s o u b o r 0 2 . o

s o u b o r 0 1 . o : s o u b o r 0 1 . c

g c c − c −o s o u b o r 0 1 . o \$CFLAGS s o u b o r 0 1 . c

s o u b o r 0 2 . o : s o u b o r 0 2 . c

g c c − c −o s o u b o r 0 2 . o \$CFLAGS s o u b o r 0 2 . c

c l e a n :

rm − f \ $ (TARGET) rm − f ∗ . o

rm − f ∗ ˜

Pˇredchoz´ı pˇr´ıklad souboru Makefile zkompiluje dva soubory do jednoho spustitelného binárn´ıho souboru. Z pouˇzitých knihoven m˚uˇzeme usuzovat na to, ˇze se bude jednat o program, který nˇejakým zp˚usobem vyuˇz´ıvá knihovnu OpenGL a jej´ı nadstavbu OpenGLU.

V prvn´ım roce, kdy byl Blender uvolnˇen jako Open Source byla souˇcást´ı zdrojových soubor˚u také konfiguraˇcn´ı sada pro systém automake a autoconf. Systémy autoconf a automake generuj´ı vlastn´ı soubory Makefile z ménˇe komplikovaných konfiguraˇcn´ıch soubor˚u a nav´ıc kontroluj´ı pˇr´ıtomnost vˇsech poˇzadovaných knihoven a pˇr´ısluˇsných hlaviˇckových soubor˚u na daném systému. Jelikoˇz byl tento systém prakticky pouˇzitelný pouze na platformˇe Linux, tak se od nˇeho upustilo a pˇreˇslo se na systém scons.

3.2.3 Microsoft Visual Studio

Ve zdrojových souborech lze nalézt i konfiguraˇcn´ı soubory pro sestavovac´ı program dodávaný spolu s Microsoft Visual Studiem. Tento systém je pouˇzitelný pouze na platformˇe Windows.

(18)

3.3 Lad´ıc´ı n´ astroje

Pro nalezen´ı pˇr´ıpadné chyby je nutné pouˇz´ıt debugger dodávaný s pˇrekladaˇcem, Já jsem pouˇz´ıval debugger gdb a jeho grafickou nadstavbu ddd. Pokud vývojáˇr chce program ladit pomoc´ı gdb, tak je nutné Blender zkompilovat s volbou -ggdb nebo -g a bez vˇsech optimalizaˇcn´ıch voleb jako je -O2 nebo -march="<CPU>" nebo -mcpu="<CPU>"

apod., protoˇze pˇri pouˇzit´ı optimalizaˇcn´ıch voleb se debugger chová podivnˇe: skoky ve zdro- jovém kódu postrádaj´ı návaznost. Kdyˇz dojde k pádu aplikace, tak lze gdb taktéˇz pouˇz´ıt k nalezen´ı m´ısta pádu. V Linuxu to funguje tak, ˇze mus´ıme pomoc´ı pˇr´ıkazu ulimit nastav´ıme nenulovou velikost tzv. core souboru . Napˇr´ıklad:

ulimit -c 20000

nám nastav´ı velikost core souboru na 20 MB. Pˇri pádu aplikace se pak v aktuáln´ım adresáˇri vytvoˇr´ı soubor core, který je obrazem pamˇeti v dobˇe pádu aplikace. Pád aplikace bývá nejˇcastˇeji zapˇr´ıˇcinˇen snahou programu zapisovat do pamˇeti která nebyla alokovaná.

Mrtvolku je pak moˇzno pitvat pomoc´ı:

gdb ./blender ./core

K nalezen´ı pˇr´ıˇciny pádu aplikace se hod´ı napˇr´ıklad pˇr´ıkazy backtrace (výpis obsahu zápisn´ıku a pˇresného m´ısta pádu aplikace). Tento pˇr´ıkaz obvykle staˇc´ı k odhalen´ı vˇetˇsiny chyb.

3.4 Syst´ em pro spr´ avu verz´ı

Jelikoˇz se na projektu pod´ıl´ı v´ıce programátor˚u, tak je potˇreba jejich práci nˇejakým zp˚usobem koordinovat a zajistit aby byla co moˇzná nejv´ıce efektivn´ı. K tomu slouˇz´ı mnoho nástroj˚u. Jedn´ım z nich je i systém CVS.

(19)

3.4.1 CVS

CVS (Concurrent Version System) umoˇzˇnuje efektivn´ı spolupráci nˇekolika vývojáˇr˚u na jednom projektu. Princip ˇcinnosti tohoto systému spoˇc´ıvá v tom, ˇze soubory se zdro- jovými kódy, konfiguraˇcn´ımi soubory pro sestavovac´ı programy jsou uloˇzeny v centráln´ım repositáˇri na serveru odkud si je m˚uˇze kdokoliv stáhnout. Vývojáˇri maj´ı moˇznost do tohoto repositáˇre i zapisovat. CVS systém neslouˇz´ı pouze jako centráln´ı úloˇziˇstˇe zdrojových kód˚u ke kterým lze jednoduˇse pˇristupovat. CVS toho um´ı mnohem v´ıc. CVS udrˇzuje vˇsechny zmˇeny, které byly se soubory provedeny, takˇze lze jednoduˇse zjistit, jaké zmˇeny byly na souborech provedeny, kdo tyto zmˇeny provedl atd.

Jakýkoliv uˇzivatel si m˚uˇze stáhnout aktuáln´ı obsah repositáˇre se zdrojovými soubory Blenderu, zadán´ım tˇechto pˇeti pˇr´ıkaz˚u na pˇr´ıkazové ˇrádce:

CVS_ROOT="-d:pserver:anonymous@cvs.blender.org:/cvsroot/bf-blender"

cvs login

cvs -z3 co blender cvs -z3 co lib cvs logout

,pak jiˇz staˇc´ı spustit program make nebo scons k zah´ajen´ı vlastn´ı kompilace.

Jelikoˇz se zdrojové kódy neustále mˇen´ı (vývojáˇri bˇeˇznˇe provedou v´ıce jak 10 commit˚u za jeden den), tak pˇr´ıpadná aktualizace zdrojových kód˚u lze provést jednoduˇse

CVS_ROOT="-d:pserver:anonymous@cvs.blender.org:/cvsroot/bf-blender"

cvs login cvs -z3 update cvs logout

Anonymn´ı uˇzivatel m˚uˇze provádˇet i dalˇs´ı ”nedestruktivn´ı” operace, napˇr.: porovnáván´ı jednotlivých vývojových verz´ı, apod..

(20)

Vývojáˇri, lidé s právem zápisu do CVS repositáˇre, mohou provádˇet spoustu dalˇs´ıch operac´ı, které zde nebudu jmenovat, ale jejich ˇcinnost (pˇredevˇs´ım pˇrihláˇsen´ı) je nezbytné ˇsifrovat. K tomuto úˇcelu slouˇz´ı ssh a vlastn´ı ˇsifrován´ı je provádˇeno pomoc´ı RSA.

3.5 Ostatn´ı n´ astroje

Výˇse zmiˇnované nástroje jsou nezbytné pro vlastn´ı vývoj, ale vývojáˇrská komunita potˇrebuje komunikovat i na úrovni, která je bl´ızká napˇr´ıklad lidskému rozhovoru. Pro komunikaci mezi vývojáˇri a komunikaci uˇzivatelské komunity s vývojáˇri bylo mimo jiné vytvoˇreno nˇekolik webových aplikac´ı. Tyto webové aplikace jsou nepostradatelnou souˇcást´ı vývoje a jsou zároveˇn vytvoˇrené pomoc´ı Open Source nástroj˚u. Lidem, kteˇr´ı se staraj´ı o vˇsechny webové stránky, servery a ostatn´ı servis patˇr´ı náˇs velký d´ık.

3.5.1 Bug tracker

Bug tracker je systém, jeˇz umoˇzˇnuje uˇzivatel˚um hlásit chyby v programu pomoc´ı jednoduchého webového formuláˇre. Uˇzivatel m˚uˇze chybu ohlásit i anonymnˇe (bez ˇrádného zaregistrován´ı), ale pak nen´ı upozorˇnován elektronickou poˇstou na vývoj stavu nahláˇsené chyby. Pokud se uˇzivatel zaregistruje na http://projects.blender.org, tak kromˇe upo- zorˇnován´ı na vývoj ohláˇsené chyby v bug trackeru z´ıská pˇr´ıstup k nˇekterým dalˇs´ım technologi´ım. Napˇr´ıklad si m˚uˇze na tˇechto stránkách vytvoˇrit sv˚uj vlastn´ı projekt (napˇr´ıklad nˇejaký rozˇsiˇruj´ıc´ı python skript). Registrace je také velice úzce svázána s úˇctem do CVS repositáˇre. To ovˇsem neznamená, ˇze kdokoliv, kdo se zaregistruje na http://projects.blender.org z´ıská automaticky moˇznost zápisu do CVS repositáˇre. To rozhodnˇe ne! Pokud administrátor povol´ı zápis do CVS repositáˇre, tak pˇrihlaˇsovac´ı heslo je totoˇzné jako na http://projects.blender.orga nezbytný RSA kl´ıˇc se taktéˇz vkládá pomoc´ı webového formuláˇre na tˇechto stránkách. Celá technologie tˇechto stránek je postavená na gforge.org.

(21)

3.5.2 Mailing list

Mailing list svým úˇcelem a funkcionalitou dosti pˇripom´ıná news diskuzn´ı skupiny s t´ım rozd´ılem, ˇze uˇzivatel se mus´ı zaregistrovat na:

http://projects.blender.org/mailman/listinfo/bf-committers

Registrace neslouˇz´ı k odrazen´ı pˇr´ıpadných uˇzivatel˚u, ale je zde proto, aby uˇzivatelé mailing listu nebyli zahlceni spamem. K ˇcemu v˚ubec takový mailing list slouˇz´ı? Uˇzivatelé pomoc´ı nˇej mohou sledovat zmˇeny v CVS repositáˇri, pos´ılat návrhy na zmˇenu a zlepˇsen´ı funkcionality, zas´ılat opravné patche apod.

3.5.3 IRC

IRC (Internet Relay Chat) je chatovac´ı program, kde m˚uˇze diskutovat nˇekolik uˇzivatel˚u najednou. Kaˇzdý vˇetˇs´ı Open Source projekt má vlastn´ı diskuzn´ı m´ıstnost na nˇejakém volnˇe pˇr´ıstupném IRC serveru. Blender má takových diskuzn´ıch m´ıstnost´ı hned nˇekolik. Pro vývojáˇre je urˇcena m´ıstnost #blendercoders na serveru irc.freenode.net. Nˇekdo by mohl povaˇzovat chatován´ı za podˇradný zp˚usob komunikace, ale vývojáˇri ji naopak povaˇzuji za nejpruˇznˇejˇs´ı a nejrychlejˇs´ı.

3.5.4 Diskuzn´ı f´ora

Na internetu lze nalézt spoustu diskuzn´ıch fór se zamˇeˇren´ım na Blender. Pro vývoj Blenderu jsou ale nejd˚uleˇzitˇejˇs´ı dvˇe diskuzn´ı fóra: www.blender.org a www.elysiun.com, kde lze nalézt fóra pro zas´ılán´ı nových návrh˚u na zmˇenu funkcionality.

3.5.5 Wiki

Wiki je Open Source technologie pro tvorbu webových stránek, která umoˇzˇnuje komuko- liv mˇenit jejich obsah. Nejznámˇejˇs´ı stránka vytvoˇrená pomoc´ı wiki je webová encyklopedie wikipedia.com. Wiki opˇet nen´ı výsadou Blenderu, ale vyuˇz´ıvaj´ı ji i dalˇs´ı Open Source projekty jako je napˇr. Gimp, Ubuntu Linux, apod. Webové stránky nejsou psány pomoc´ı

(22)

jazyka HTML, ale maj´ı vlastn´ı syntaxi. Wiki je velice univerzáln´ı, lze v nˇem vytváˇret dokumentaci, psát návrhy, apod. Pro práci ve wiki je nutná registrace. Wiki Blenderu lze nalézt na stránce:

http://wiki.blender.org

4 Implicitn´ı plochy

Implicitn´ı plocha je mnoˇzina bod˚u P v tˇr´ıdimenzion´aln´ım prostoru, kter´e maj´ı stejnou hodnotu implicitn´ı funkce

F (P ) = 0 (1)

Pˇr´ıkladem takové mnoˇziny je kulová plocha, jej´ıˇz implicitn´ı funkce má následuj´ıc´ı tvar:

F (P ) = x²+ y²+ z²+ r² (2)

Pro vyjádˇren´ı implicitn´ı plochy s rozd´ılným tvarem bychom potˇrebovali jiný matem- atický pˇredpis. Efektivn´ı práce s plochami, které jsou vyjádˇreny pouze matematickými pˇredpisy by byla komplikovaná a neefektivn´ı. S implicitn´ı plochou proto pracujeme pomoc´ı ˇr´ıd´ıc´ıch kostry podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe parametrických kˇrivek nebo ploch. Základn´ı myˇslenka je taková, ˇze pouˇz´ıvaná kostra je tvoˇrena jednoduchými prvky (bod, úseˇcka, poly- gon apod.) a výsledná plocha vznikne ”nafouknut´ım” kostry. M˚uˇzeme si pomoci fyzikáln´ı pˇredstavou tak, ˇze kostra je elektricky nabitá a výsledná plocha je jakoby jednou z izoploch elektrického potenciálu. Izoplocha nemus´ı být souvislá a jednotlivé ˇr´ıd´ıc´ı primitiva mohou m´ıt jinou velikost elektrického náboje. Nˇekterá z nich mohou být polarizována opaˇcnˇe neˇz ostatn´ı.

Pouˇzit´ı kostry má výhodu v tom, ˇze je pomˇernˇe jednoduchou a intuitivn´ı aproximac´ı výsledného objektu (napˇr. lidské tˇelo má kostru). Kostra bývá jednoduˇse ovladatelná.

Pˇrestoˇze bˇehem návrhu nevid´ıme vlastn´ı implicitn´ı plochu, tak máme pomˇernˇe dobrou pˇredstavu o jej´ım výsledném tvaru.

(23)

4.1 Implicitn´ı funkce

Kolem kaˇzdého ˇr´ıd´ıc´ıho primitiva se nacház´ı skalárn´ı pole, které má maximáln´ı intenzitu na povrchu a jeho intenzita se vzdálenost´ı klesá. Pˇr´ıspˇevky od jednotlivých ˇr´ıd´ıc´ıch primitiv se sˇc´ıtaj´ı a celková intenzita pole v bodˇe P je urˇcena funkc´ı

F (P ) =

n

X

i=1

c_iF_i(r_i) (3)

kde c_i je m´ıra vlivu i-tého ˇr´ıd´ıc´ıho primitiva. Tato hodnota m˚uˇze nabývat hodnoty od 0 do 1. ri je vzdálenost bodu P od i-tého ˇr´ıd´ıc´ıho primitiva a Fi(ri) je hodnota smˇeˇsovac´ı funkce.

4.2 Smˇ eˇ sovac´ı funkce

Pro implicitn´ı plochy lze pouˇz´ıt nˇekolik smˇeˇsovac´ıch funkc´ı, které se liˇs´ı ve svých koe- ficientech. V Blenderu byla pouˇzita následuj´ıc´ı smˇeˇsovac´ı funkce (blending function).

F_i(r_i) = −r R

6

+ 3r R

4

− 3r R

2

+ 1 (4)

Výhoda této smˇeˇsovac´ı funkce je, ˇze obsahuje celoˇc´ıselné koeficienty d´ıky nimˇz lze vztah zjednoduˇsit:

F_i(r_i) =

1 −r R

23

(5) Význam jednotlivých parametr˚u funkce je následuj´ıc´ı. Parametr r je nejmenˇs´ı vzdálenost bodu P od i-tého ˇr´ıd´ıc´ıho primitiva. Parametr R pˇredstavuje maximáln´ı rádius, kde má ˇr´ıd´ıc´ı primitivum vliv. Za touto hranic´ı je hodnota smˇeˇsovac´ı funkce nulová. Zmˇena polohy jednoho ˇr´ıd´ıc´ıho primitiva t´ım pádem neovlivˇnuje tvar celé plochy.

Naˇse smˇeˇsovac´ı funkce má nˇekteré zaj´ımavé vlastnosti, které jsou patrné na obrázku [5].

(24)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

r/RF

F(r)

Obr´azek 5: Smˇeˇsovac´ı funkce pouˇzit´a v programu Blender

V krajn´ıch bodech má nulovou derivaci a je spojitá ve vˇsech bodech. V jiných aplikac´ıch se m˚uˇzete setkat se smˇeˇsovac´ı funkc´ı, která má pˇredpis

F_i(r_i) = −4 9

r R

6

+ 17 9

r R

4

−22 9

r R

2

+ 1 (6)

Taková funkce je nav´ıc symetrická podle bodu [0, 5; 0, 5] a má ˇsirˇs´ı oblast, kde lze pouˇz´ıt lineárn´ı interpolaci pro výpoˇcet bodu leˇz´ıc´ıho na povrchu. Na druhou stranu d´ıky neceloˇc´ıselným koeficient˚um nelze optimalizovat výsledný algoritmus.

Srovn´an´ı obou pr˚ubˇeh˚u smˇeˇsovac´ıch funkc´ı nalezneme v obr´azku [6].

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

r/RF

F(r)

Obrázek 6: Porovnán´ı dvou typ˚u smˇeˇsovac´ıch funkc´ı (modrá je pouˇzita v programu Blender)

(25)

Na obrázku [6] m˚uˇzeme vidˇet nejd˚uleˇzitˇejˇs´ı ˇcást pr˚ubˇehu, ale mohlo by nás také zaj´ımat, jak vypadá pr˚ubˇeh smˇeˇsovac´ı funkce v m´ıstech, kdy plat´ı r > R. Pr˚ubˇeh obou variant smˇeˇsovac´ıch funkc´ı m˚uˇzeme vidˇet na obrázku [7].

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−0.5 0 0.5 1

r/R

F(r)

Obr´azek 7: Porovn´an´ı obou funkc´ı ve vˇetˇs´ım rozsahu

Z obrázku je patrné, ˇze námi pouˇzitá funkce (4) má pouze dva inflexn´ı body a je klesaj´ıc´ı pro r > R. Kdeˇzto funkce (6) má 4 inflexn´ı body a nen´ı vˇzdy klesaj´ıc´ı pro r > R.

4.3 R´ıd´ıc´ı primitiva ˇ

R´ıd´ıc´ı primitiva se liˇs´ı pouze ve funkc´ıch, kter´ˇ e se pouˇz´ıvaj´ı pro výpoˇcet vzdálenosti bodu P od jejich povrchu. ˇR´ıd´ıc´ım primitivem m˚uˇze být teoreticky jakýkoliv geometrický

´

utvar, ale je ˇzádouc´ı aby byl jednoduchý a snadno ovladatelný. Nejlepˇs´ı je, kdyˇz m˚uˇzeme interaktivnˇe ovládat jak jeho tvar, tak i parametry (rádius R_i a jeho vliv c_i) pˇr´ımo v 3D prostˇred´ı. Zároveˇn je kladen poˇzadavek na vysokou pouˇzitelnost. Nen´ı pˇr´ıliˇs praktické m´ıt rozsáhlou sadu primitiv jako je kruh, kvádr, apod. a vymýˇslet pro kaˇzdé z nich sloˇzité ovládac´ı prvky.

Pokud si zvol´ıme za ˇr´ıd´ıc´ı primitiva pouze bod (vertex), úseˇcku (hranu) a trojúheln´ık (ploˇsku) tak pomoc´ı nich m˚uˇzeme vytváˇret libovolné tvary a nav´ıc je jejich interaktivn´ı ovládán´ı velice jednoduché. Non-manifoldn´ı⁶ mesh skuteˇcnˇe m˚uˇze být pouˇzit jako ˇr´ıd´ıc´ı

6Non-manifoldn´ı mesh je objekt který nen´ı realistický. Má napˇr´ıklad nekoneˇcnˇe ostré hrany, osamocené

(26)

primitivum. Na prvn´ı pohled by se mohlo zdát, ˇze výpoˇcet vzdálenosti od trojúheln´ıka bude pˇr´ıliˇs komplikovaný, ale pokus´ım se ukázat, ˇze výpoˇcet se dá velice zefektivnit.

4.4 V´ ypoˇ cet vzd´ alenosti od ˇ r´ıd´ıc´ıho primitiva

Výpoˇcet vzdálenosti je nejuˇzˇs´ı hrdlo celého procesu polygonizace. Naˇs´ı snahou je provést co moˇzná nejv´ıce výpoˇctu pˇred celým procesem polygonizace (aproximaˇcn´ı metoda poˇc´ıtaˇcové grafiky pro pˇrechod od vstupn´ıch dat k zobrazen´ı ploch nebo objemových element˚u ve 3D), tˇreba i za cenu vˇetˇs´ıch pamˇet’ových nárok˚u na datové struktury, a pˇri vlastn´ım procesu polygonizace, kdy se provád´ı enormn´ı mnoˇzstv´ı výpoˇctu vzdálenosti, z tˇechto výpoˇct˚u maximálnˇe tˇeˇzit.

4.4.1 Vzd´alenost od bodu

Pokud je ˇr´ıd´ıc´ım primitivem pouze bod, tak je výpoˇcet vzdálenosti velice jednoduchý

R(x, y, z) =p

x²+ y²+ z² (7)

Výhoda výpoˇctu vzdálenosti od bodu je ta, ˇze hodnota je invariantn´ı k natoˇcen´ı a zvˇetˇsen´ı ˇr´ıd´ıc´ıho primitiva.

4.4.2 Vzd´alenost od ´useˇcky

Výpoˇcet vzdálenosti od úseˇcky (hrany) se trochu zkomplikuje, protoˇze vzdálenost nen´ı závislá pouze na poloze úseˇcky v prostoru, ale také na jej´ı velikosti a natoˇcen´ı. Pro výpoˇcet vzdálenosti se m˚uˇze pouˇz´ıt nˇekolik metod. Nejprve bude ukázána metodu, která nen´ı tolik efektivn´ı, ale mohla by se jevit jako nejlepˇs´ı, nebo dokonce jako jediná moˇzná.

ploˇsky nebo vertexy, apod.

(27)

Prvn´ı zp˚usob výpoˇctu vzdálenosti vycház´ı z parametrické rovnice pˇr´ımky:

c0 = (1 − t).a0+ b0.t t ∈ (−∞, ∞) c₁ = (1 − t).a₁+ b₁.t t ∈ (−∞, ∞) c2 = (1 − t).a2+ b2.t t ∈ (−∞, ∞)

(8)

kde A = [a₀, a₁, a₂] a B = [b₀, b₁, b₂] jsou krajn´ı body úseˇcky, která je souˇcást´ı pˇr´ımky.

Parametr t nabývá u pˇr´ımky hodnot od −∞ do ∞. Modifikac´ı rovnice (8) m˚uˇzeme dostat parametrickou rovnici úseˇcky:

c₀ = (1 − t).a₀+ b₀.t t ∈ (0, 1) c₁ = (1 − t).a₁+ b₁.t t ∈ (0, 1) c₂ = (1 − t).a₂+ b₂.t t ∈ (0, 1)

(9)

Pokud chceme spoˇc´ıtat nejmenˇs´ı vzdálenost mezi bodem P a pˇr´ımkou, tak potˇrebujeme znát parametr tI kolmého pr˚umˇetu bodu do pˇr´ımky:

tI = (b₀− a₀)(p₀− a₀) + (b₁− a₁)(p₁− a₁) + (b₂− a₂)(p₂− a₂)

p(b0− a₀)²+ (b₁− a₁)² + (b₂ − a₂)² (10) Pokud vypoˇcten´y parametr tI splˇnuje podm´ınku:

tI ∈ (0, 1) , (11)

pak m˚uˇzeme vzdálenost bod˚u P a kolmého pr˚umˇetu C(t_I) = [c₀, c₁, c₂] spoˇc´ıtat podle následuj´ıc´ıho vztahu:

d(P, C) =p

(p₀− c₀)²+ (p₁− c₁)²+ (p₂− c₂)² (12) Pokud podm´ınka (11) nen´ı splnˇená (kolmý pr˚umˇet neprot’al úseˇcku), tak je tˇreba spoˇc´ıtat vzdálenost od obou jej´ıch krajn´ıch bod˚u.

d(P, A) =p

(p₀ − a₀)²+ (p₁− a₁)²+ (p₂− a₂)² (13)

(28)

d(P, B) =p

(p₀− b₀)²+ (p₁ − b₁)²+ (p₂− b₂)² (14) Vzd´alenost bodu P od ´useˇcky je pak:

d(P, AB) = min(d(P, A), d(P, B)) (15)

Takto jsme matematicky popsali výpoˇcet vzdálenosti, který má pro naˇse úˇcely nˇekteré nevýhody, které budou zm´ınˇeny aˇz vyloˇz´ıme druhou moˇznost výpoˇctu vzdálenosti bodu od úseˇcky.

Druhý zp˚usob výpoˇctu vdálenosti bodu od úseˇcky spoˇc´ıvá v tom, ˇze si nejdˇr´ıve transformujeme úseˇcku i bod P pomoc´ı transformaˇcn´ı matice, tak aby úseˇcka leˇzela v poˇcátku soustavy souˇradné. Výpoˇcet vzdálenosti se t´ım dosti zjednoduˇs´ı a urychl´ı. Krajn´ı body

´

useˇcky by byly A = [−₂^l, 0, 0] a B = [₂^l, 0, 0], kde l je d´elka ´useˇcky.

Pro výpoˇcet vzdálenosti samotnou úseˇcku transformovat nemus´ıme, protoˇze o n´ı v´ıme, ˇ

ze bude leˇzet v poˇcátku soustavy souˇradné. Mus´ıme pouze transformovat bod P , tak aby poloha transformovaného bodu P⁰ v˚uˇci úseˇcce v poˇcátku soustavy souˇradné byla totoˇzná s polohou bodu P v˚uˇci p˚uvodn´ı úseˇcce. Celou situaci lépe ilustruje obrázek [8].

Souˇradnice bodu P⁰ = [x⁰, y⁰, z⁰, w⁰] z´ısk´ame z p˚uvodn´ıch souˇradnic bodu P = [x, y, z, w]

pomoc´ı

P⁰ = M⁻¹.P (16)

rozepsan´y vztah





 x⁰ y⁰ z⁰ w⁰







=







m_0,0 m_0,1 m_0,2 0 m_1,0 m_1,1 m_1,2 0 m_2,0 m_2,1 m_2,2 0 m_3,0 m_3,1 m_3,2 1





 .





 x y z w







(17)

(29)

Abychom mohli spoˇc´ıtat polohu bodu P⁰, tak nejdˇr´ıve mus´ıme znát inverzn´ı trans- formaˇcn´ı matici. Inverzn´ı transformaˇcn´ı matici jednoduˇse spoˇc´ıtáme z transformaˇcn´ı matice úseˇcky. Otázka je, jak zjistit transformaˇcn´ı matici úseˇcky z polohy jej´ıch krajn´ıch bod˚u A = [a₀, a₁, a₂] a B = [b₀, b₁, b₂]? Nejprve si spoˇc´ıtáme délku úseˇcky:

l = p

(a₀ − b₀)²+ (a₁− b₁)²+ (a₂− b₂)², (18) Poloha stˇredu ´useˇcky S = [s0, s1, s2]:

s₀ = (a₀− b₀)/2 s₁ = (a₁− b₁)/2 s₂ = (a₂− b₂)/2

(19)

Transformaˇcn´ı matice pro pro posun stˇredu ´useˇcky:

A_M =







1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

s₀ s₁ s₂ 1







(20)

Natoˇcen´ı úseˇcky lze vyjádˇrit pomoc´ı natoˇcen´ı kolem dvou r˚uzných os. Napˇr´ıklad kolem osy y a z. Úhel natoˇcen´ı kolem osy z lze vyjádˇrit pomoc´ı:

θ = arctanb₁− a₁

b₀− a₀ (21)

´

uhel natoˇcen´ı kolem osy y se pak spoˇc´ıt´a:

φ = arctancos θ.(b₂− a₂)

b₀− a (22)

(30)

Transformaˇcn´ı matice pro natoˇcen´ı kolem osy z m´a tvar:

A_Rz =







cos θ sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1







(23)

Transformaˇcn´ı matice pro natoˇcen´ı kolem osy y m´a tvar:

A_Ry =







cos φ 0 − sin φ 0

0 1 0 0

sin φ 0 cos φ 0

0 0 0 1







(24)

Výslednou transformaˇcn´ı matici pro danou úseˇcku dostaneme vynásoben´ım jednos- tlivých transformaˇcn´ıch matic:

AT = AM.ARz.ARy (25)

Následuj´ıc´ı obrázek [8] ilustruje transformaci úseˇcky do poˇcátku soustavy souˇradné.

Obrázek 8: Transformace úseˇcky do poˇcátku soustavy souˇradné

(31)

Pokud by byl objekt typu MBALL⁷ dále transformován a poˇc´ıtalo by se s t´ım, ˇze jed- notlivé objekty typu MBALL budou moci spolu interreagovat, tak by se transformaˇcn´ı matice ˇr´ıd´ıc´ıho elementu musela vynásobit dalˇs´ımi transformaˇcn´ı maticemi. Výsledná trans- formaˇcn´ı matice pro danou úseˇcku by se spoˇc´ıtala pomoc´ı:

A_{T c}= A_T.A_OT.A⁻¹_BOT (26)

kde A_OT je transformaˇcn´ı matice daného objektu a A⁻¹_BOT je inverzn´ı transformaˇcn´ı matice základn´ıho (base) objektu typu MBALL. Vynásoben´ı pomoc´ı této matice je reali- zováno z toho d˚uvodu, ˇze v základn´ım (base) objektu se ukládá výsledná polygonizovaná plocha.

V´ypoˇcet transformaˇcn´ı matice (26) se provede pˇred vlastn´ım procesem polygonizace.

Kdyˇz se následnˇe vektor polohy kaˇzdého vyˇsetˇrovaného bodu P = [p₀, p₁, p₂] vynásob´ı matic´ı A⁻¹_{T c}

P⁰ = P.A⁻¹_{T c}, (27)

tak se koneˇcnˇe m˚uˇzeme dostat k vlastn´ımu v´ypoˇctu vzd´alenosti.

Jsou-li x-ové souˇradnice bodu P⁰ = [p⁰₀, p⁰₁, p⁰₂] v intervalu < −₂^l;₂^l > tak vzdálenost spoˇc´ıtáme pomoc´ı

d = q

p⁰²₁ + p⁰²₂ (28)

Nacház´ı-li se x-ová souˇradnice p⁰₀ v intervalu (₂^l; ∞), tak od x-ové souˇradnice odeˇcteme polovinu délky úseˇcky. Naopak, nacház´ı-li se x-ová souˇradnice v intervalu (−∞; −₂^l), tak k x-ové souˇradnice pˇriˇcteme polovinu délky úseˇcky. Vzdálenost se pak spoˇcte podle vztahu:

d = q

p⁰²₀ + p⁰²₁ + p⁰²₂ (29)

Výsledný zdrojový kód pro výpoˇcet hodnoty implicitn´ı funkce je velmi krátký a efektivn´ı:

7typ objektu, kter´y obsahuje dynamick´y seznam ˇr´ıd´ıc´ıch primitiv implicitn´ı plochy

(32)

/∗ s i m p l i f i c a t e d d e n s f u n c ( ) i n m b a l l . c

∗ v e c . . . . c o o r d i n a t e s o f p o i n t X

∗ b a l l . . . segment p r i m i t i v e ∗/

f l o a t d e n s f u n c ( MetaElem ∗ b a l l , f l o a t ∗ v e c ) {

f l o a t d i s t 2 ;

Mat4MulVecfl ( b a l l −>imat , v e c ) ; i f ( v e c [ 0 ] > ml−>expx ) {

v e c [0] −= ml−>expx ;

d i s t 2 = ( v e c [ 0 ] ∗ v e c [ 0 ] + v e c [ 1 ] ∗ v e c [ 1 ] + v e c [ 2 ] ∗ v e c [ 2 ] ) ; }

e l s e i f ( v e c [0] < − ml−>expx ) { v e c [ 0 ] + = mll−>expx ;

d i s t 2 = ( v e c [ 0 ] ∗ v e c [ 0 ] + v e c [ 1 ] ∗ v e c [ 1 ] + v e c [ 2 ] ∗ v e c [ 2 ] ) ; }

e l s e d i s t 2 = ( v e c [ 1 ] ∗ v e c [ 1 ] + v e c [ 2 ] ∗ v e c [ 2 ] ) ; /∗ d i s t 2 . . . o n l y p o w e rs o f d i s t a n c e s q u a r e d

∗ a r e u s e d i n b l e n d i n g f u n c t i o n ∗/

/∗ c a l c u l a t i o n o f b l e n d i n g f u n c t i o n ∗/

d i s t 2 = 1 . 0 f −( d i s t 2 / b a l l −>r a d 2 ) ; i f ( d i s t 2 < 0 . 0 ) return 0 . 5 f ;

return 0 . 5 f −b a l l −>s ∗ d i s t 2 ∗ d i s t 2 ∗ d i s t 2 ; }

Následuj´ıc´ı zjednoduˇsená ilustrace [9] ukazuje, jak by mohla vypadat implicitn´ı plocha, jej´ımˇz ˇr´ıd´ıc´ım elementem je osamocená úseˇcka:

Dalˇs´ı výhoda plynouc´ı z pouˇzit´ı této metody je moˇznost vyuˇz´ıt instrukc´ı nových proce- sor˚u (MMX, SSE, 3DNow), které dokáˇz´ı maticové operace velice urychlit. V naˇsem pˇr´ıpadˇe se jedná pˇredevˇs´ım o funkci Mat4MulVecfl, která provád´ı zmiˇnovanou maticovou transformaci.

(33)

Obr´azek 9: 2D implicitn´ı plocha, jej´ımˇz ˇr´ıd´ıc´ım primitivem je ´useˇcka

4.4.3 Vzdálenost od obecného trojúheln´ıka

Jednotlivé vrcholy trojúheln´ıka si oznaˇc´ıme A = [a0, a1, a2], B = [b0, b1, b2], C = [c₀, c₁, c₂]. Výpoˇcet vzdálenosti od obecného trojúheln´ıka bude demonstrován opˇet na dvou pˇr´ıkladech. Jednak pomoc´ı klasických vztah˚u analytické geometrie a pak pro pˇr´ıpad, kdy si trojúheln´ık i vyˇsetˇrovaný bod P transformujeme pomoc´ı transformaˇcn´ı matice (17) do poˇcátku soustavy souˇradné.

Obrázek 10: Transformace obecného trojúheln´ıka do poˇcátku soustavy souˇradné

Obecnˇe se vˇsak mus´ı nejprve vypoˇc´ıtat projekce bodu P = [p₀, p₁, p₂] do roviny ρ, ve které leˇz´ı daný trojúheln´ık. Pokud zjist´ıme, ˇze spoˇctený bod leˇz´ı uvnitˇr trojúheln´ıka, tak spoˇc´ıtáme vzdálenost tˇechto dvou bod˚u. Pokud ne, tak mus´ıme spoˇc´ıtat vzdálenosti bodu P ke vˇsem hranám trojúheln´ıka a stanovit, která je nejmenˇs´ı.

(34)

Rovinu ρ si vyj´adˇr´ıme pomoc´ı rovnice

ax + by + cz + d = 0 (30)

kde ~n = (a, b, c) je norm´alov´y vektor roviny ρ.

Trojúheln´ık transformovaný do poˇcátku soustavy souˇradné nám situace opˇet zjednoduˇs´ı. Odpadne napˇr´ıklad dosti komplikovaný vztah pro výpoˇcet projekce Q = [q0, q1, q2] bodu P do roviny ve které trojúheln´ık leˇz´ı:

Q = P − a.p₀+ b.p₁+ c.p₂+ d

|~n|² .~n, (31)

protoˇze souˇradnice bodu projekce jsou Q = [p₀, p₁, 0]. Test polohy bodu projekce v˚uˇci trojúheln´ıku provád´ıme pomoc´ı následuj´ıc´ıho vektorového násoben´ı:

N~₀ = AB × ~~ BQ N~₁ = BC × ~~ CQ N~₂ = CA × ~~ AQ

(32)

Pokud maj´ı vˇsechny vektory ~N₀, ~N₀i ~N₀stejn´y smˇer, tak bod Q leˇz´ı uvnitˇr troj´uheln´ıku.

Pokud trojúheln´ık a bod P pˇred výpoˇctem transformuje, tak se nám výpoˇcet (32) znovu znaˇcnˇe zjednoduˇs´ı, protoˇze z-ová sloˇzka vˇsech vektor˚u bude nulová.

Pakliˇze bod Q leˇz´ı uvnitˇr trojúheln´ıku, tak vzdálenost bod˚u P a Q spoˇc´ıtáme pomoc´ı:

|P Q| =p

(p₀− q₀)²+ (p₁− q₁)² + (p₂− q₂)² (33) a ted’ povaˇzte, jak se výpoˇcet vdálenosti zjednoduˇs´ı, pokud jsme si trojúheln´ık a bod P pˇredem transformovali. Vzdálenost je rovna pouze z-ové sloˇzce transformovaného bodu P⁰.

Kdyˇz bod Q leˇz´ı mimo trojúheln´ık, tak je nutné spoˇc´ıtat vzdálenosti ke vˇsem jeho hranám. Postup k výpoˇctu vdálenosti ke hranˇe/úseˇcce je v podstatˇe stejný tak, jak byl popsán v ˇcásti vˇenované výpoˇctu vzdálenosti od úseˇcky. Pouze pokud je trojúheln´ık nejprve transformován pomoc´ı transformaˇcn´ı matice, tak se nám situace trochu zjednoduˇs´ı, protoˇze

(35)

uˇz nen´ı potˇreba provádˇet transformaci pomoc´ı matice 4x4 ale pomoc´ı matice 3x3, jelikoˇz hrany trojúheln´ıku leˇz´ı v rovinˇe x-y. Takovéto matice je ale nutné spoˇc´ıtat pro kaˇzdý trojúheln´ık zvláˇst’.

Obrázek 11: 2D Ilustrace, demonstruj´ıc´ı tvar implicitn´ı plochy, jej´ımˇz ˇr´ıd´ıc´ım primitivem je osamocený trojúheln´ık

4.4.4 V´ypoˇcet transformaˇcn´ı matice troj´uheln´ıka

Pro v´ypoˇcet transformaˇcn´ı matice si budeme muset nejprve spoˇc´ıtat stˇred troj´uheln´ıku S = [s₀, s₁, s₂]:

s₀ = (a₀+ b₀+ c₀)/3 s₁ = (a₁+ b₁+ c₁)/3 s₂ = (a₂+ b₂+ c₂)/3

(34)

z nˇeho m˚uˇzeme urˇcit transformaˇcn´ı matici posunut´ı:

A_M =







1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

s₀ s₁ s₂ 1







(35)

(36)

Dále je potˇreba spoˇc´ıtat normálový vektor ~N = [n₀, n₁, n₂] trojúheln´ıka:

n0 = (b1 − a1).(c2− a2) − (c1− a1).(b2− a2) n₁ = −(b₀− a₀).(c₂− a₂) + (c₀− a₀).(b₂− a₂) n2 = (b0 − a0).(c1− a1) − (c0− a0).(b1− a1)

(36)

který pouˇzijeme pro výpoˇcet úhl˚u natoˇcen´ı trojúheln´ıka kolem osy x:

φ = arctann₂

n₁ (37)

a kolem osy y:

θ = − arctancos φ.n₂

n₁ (38)

transformaˇcn´ı matice vyjadˇruj´ıc´ı natoˇcen´ı kolem osy x m´a tvar:

A_Rx =







1 0 0 0

0 cos φ sin φ 0 0 − sin φ cos φ 0

0 0 0 1







(39)

a natoˇcen´ı kolem osy y:

ARy =







cos θ 0 − sin θ 0

0 1 0 0

sin θ 0 cos θ 0

0 0 0 1







(40)

výslednou transformaˇcn´ı matici pro dané primitivum pak spoˇc´ıtáme podle vztahu:

A_T = A_M.A_Ry.A_Rx (41)

Pokud by bylo moˇzné aby takové primitivum mohlo interreagovat s ostatn´ımi elementy, tak by bylo nutné tuto transformaˇcn´ı matici upravit podle vztahu (26).

(37)

Dále je výhodné pˇredpoˇc´ıtat vˇsechny vektory hran (32) daného trojúheln´ıka a uloˇzit je do pˇr´ısluˇsných datových struktur.

Transformaˇcn´ı matice pro jednotlivé hrany budou m´ıt rozmˇery 3x3, jelikoˇz trojúheln´ık leˇz´ı v rovinˇe a bude potˇreba transformovat pouze x-ové y-ové souˇradnice bodu P⁰. Stˇred S_AB⁰ = [s⁰₀, s⁰₁] hrany A⁰B⁰ je:

s⁰₀ = (a0− b0)/2 s⁰₁ = (a₁− b₁)/2

(42) translaˇcn´ı transformaˇcn´ı matice m´a tvar

A_{M h} =







1 0 0

0 1 0

s⁰₀ s⁰₁ 1







(43)

Uhel natoˇ´ cen´ı hrany kolem osy z:

φ = arctanb₀− a₀

b₁− a₁ (44)

transformaˇcn´ı matice pro natoˇcen´ı hrany:

ARh =







cos φ sin φ 0

− sin φ cos φ 0

0 0 1







(45)

V´yslednou transformaˇcn´ı matici dostaneme vyn´asoben´ım matice AM h a ARh:

AT h = AM h.ARh (46)

Analogicky jsou vytvoˇreny transformaˇcn´ı matice pro ostatn´ı dvˇe hrany.

Transformace trojúheln´ıka do poˇcátku soustavy souˇradné pˇrináˇs´ı lepˇs´ı optimalizaci neˇz v pˇr´ıpadˇe transformace úseˇcky. Znovu m˚uˇzeme tˇeˇzit z toho, ˇze nové procesory obsahuj´ı instrukce jako jsou MMX, SSE nebo 3DNow.

(38)

4.5 Zobrazov´ an´ı implicitn´ıch ploch

Implicitn´ı plochy je mnoˇzina bod˚u, které vyhovuj´ı vztahu (3). Naˇs´ım problémem je tyto body co nejrychleji naj´ıt a zobrazit. Pokud uˇzivatel provád´ı interaktivn´ı návrh tvaru implicitn´ı plochy, tak nav´ıc nastává problém tyto plochy zobrazovat v reálném ˇcase s rozumnou ˇ

casovou odezvou. Naˇse poˇzadavky m˚uˇzeme ˇreˇsit zobrazován´ım pomoc´ı sledován´ı paprsk˚u, pˇrevodem na ploˇskovou reprezentaci, pˇrevodem na parametrické plochy ˇci subsurf (hyper- Nurbs) plochy.

4.5.1 Sledov´an´ı paprsk˚u

Jednou z moˇznost´ı je zobrazovat implicitn´ı plochy metodou sledován´ı paprsku. Metoda sledován´ı paprsk˚u dává bezchybné výsledky, ale jej´ı nevýhoda spoˇc´ıvá ve velké ˇcasové nároˇcnosti výpoˇctu. I zobrazován´ı tˇeles s ploˇskovou reprezentac´ı je za souˇcasných podm´ınek v reálném ˇcase prakticky nerealizovatelné. Pokud se tato metoda pouˇzije, tak je nutné algoritmus sledován´ı paprsk˚u optimalizovat. Taková optimalizace by zahrnovala ”zapouzdˇren´ı”

jednotlivých ˇr´ıd´ıc´ıch element˚u do ohraniˇcuj´ıc´ıch kvádr˚u (bounding box). Nejprve by se testoval pr˚useˇc´ık paprsku s t´ımto ohraniˇcuj´ıc´ım kvádrem a aˇz následnˇe by se hledal vlastn´ı povrch implicitn´ı plochy pomoc´ı nˇekterých numerických metod. Nejˇcastˇeji se pro tento úˇcel pouˇz´ıvá Newtonova numerická metoda. Samozˇrejmˇe se algoritmus optimalizuje i pomoc´ı oktanového stromu apod. Pouˇzit´ı metody sledován´ı paprsk˚u je nutno zváˇzit v tom pˇr´ıpadˇe, ze se snaˇz´ıme o fotorealistické zobrazen´ı virtuáln´ı scény pˇri renderingu⁸.

4.5.2 Pˇrevod na ploˇskovou reprezentaci

Implicitn´ı plochy se pˇrevád´ı na ploˇskovou reprezentaci jednak proto, ˇze je to pomˇernˇe rychlé a jednoduché ale pˇredevˇs´ım z toho d˚uvodu, ˇze modern´ı grafické akcelerátory umoˇzˇnuj´ı hardwarovou akceleraci zobrazován´ı tˇeles s ploˇskovou reprezentac´ı. Pˇrevod na ploˇskovou reprezentaci m˚uˇzeme uskuteˇcnit pomoc´ı algoritmu pochoduj´ıc´ıch krychl´ı (Marching Cubes) nebo pomoc´ı algoritmu pochoduj´ıc´ıch ˇctyˇrstˇen˚u (Marching Tetrahedra).

8fotorealistick´e zobrazen´ı sc´eny

(39)

Moˇzná existuj´ı i dalˇs´ı zp˚usoby pˇrevodu na ploˇskovou reprezentaci, ale osobnˇe jsem se s nimi nesetkal. Vˇetˇsina souˇcasných 3D program˚u pouˇz´ıvá algoritmus pochoduj´ıc´ıch krychl´ı, je- likoˇz je rychlejˇs´ı a dává lepˇs´ı výsledky neˇz algoritmus pochoduj´ıch ˇctyˇrstˇen˚u. Má ovˇsem jednu nevýhodu a tou je skuteˇcnost, ˇze je v USA patentován.

4.5.3 Dalˇs´ı moˇznosti zobrazov´an´ı implicitn´ıch ploch

Pˇrevod implicitn´ıch ploch na parametrické plochy se pˇr´ıliˇs nerozˇs´ıˇril, stejnˇe tak pˇrevod na subsurf plochy, jelikoˇz pˇr´ısluˇsné algoritmy jsou velmi komplikované a nedávaj´ı uspoko- jivé výsledky.

Dalˇs´ı moˇznost´ı zobrazován´ı implicitn´ıch ploch je pouˇz´ıt tzv. zobecnˇený válec (gener- alized cylinder). ˇR´ıd´ıc´ım primitivem v takovém pˇr´ıpadˇe bývá nˇejaká parametrická kˇrivka.

K vyhledáván´ı bod˚u implicitn´ı plochy docház´ı v rovinách kolmých na ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivku. Pˇrestoˇze budeme kˇrivku ”vzorkovat” dostateˇcnˇe jemnˇe tak nezabrán´ıme vzniku nehladkých ˇcást´ı, které vznikaj´ı v m´ıstech ostrého ohybu kˇrivky.

4.6 Algoritmus pochoduj´ıc´ıch krychl´ı

Existuj´ı dva typy algoritm˚u pochoduj´ıc´ıch krychl´ı. Prvn´ı, který nás nebude pˇr´ıliˇs zaj´ımat, se pouˇz´ıvá pro diskrétn´ı (namˇeˇrená) data. Tento typ algoritmu je vyuˇzitelný pro r˚uzné druhy vizualizace. Nás bude zaj´ımat algoritmus pro zobrazován´ı spojitých skalárn´ıch hodnot, které jsou definované implicitn´ı funkc´ı (3).

Pˇred popisem vlastn´ıho algoritmu pochoduj´ıch krychl´ı, je dobré zm´ınit, ˇze daný algoritmus m´ırnˇe modifikuje smˇeˇsovac´ı funkci. Od vztahu (4) je odeˇctena hodnota 0, 5 tak aby lineárn´ı ˇcást procházela nulou.

Algoritmus zaˇc´ıná t´ım, ˇze si celý prostor ”rozdˇel´ıme” pomoc´ı prostorové mˇr´ıˇzky na krychliˇcky o stranˇe a.⁹ Pro kaˇzdý ˇr´ıd´ıc´ı element nalezneme nˇekolik bod˚u v jeho bl´ızkosti, které leˇz´ı na povrchu implicitn´ı plochy. Pro kaˇzdý ˇr´ıd´ıc´ı element hledáme 6 aˇz 14 takovýchto bod˚u. Jejich poˇcet závis´ı na typu ˇr´ıd´ıc´ıho elementu (bod, úseˇcka, atd.) a jeho vlastnostech

9Orientace mˇr´ıˇzky je dána orientac´ı základn´ıho objektu, kde se ukládá polygonizovaná plocha