Examensarbete del II
”Den här uppgiften är fel”
- En lesson study om förståelsen för likhetstecknets betydelse.
Författare: Robin Sjöberg &
Martin Steiner
Handledare: Oduor Olande Examinator: Hanna Palmér Termin: VT19
Ämne: Matematikdidaktik Nivå: Avancerad nivå Kurskod: 4GN04E
Abstrakt
Författarna till den här studien har undersökt om en speciell undervisning kan påverka elevers förståelse för likhetstecknet. Utgångspunkten för den här studien var Construct map for mathematical equivalence knowledge som är ett schema vilket bygger på fyra olika nivåer som är tänkt att stegvis ge elever en djupare förståelse för likhetstecknet.
Studien har genomförts som en lesson study där empiri har samlats in genom tre tester som var utformade från de olika nivåerna i schemat. En lesson study innebär att lärare föjer en cyklisk process där de utför, analyserar, utvärderar och reflekterar över en speciell lektion. I anslutning till testerna har två lektioner genomförts utöver den ordinarie matematikundervisningen. Lektionerna har haft fokus på att ge eleverna en djupare förståelse för likhetstecknet och dess betydelse. Resultatet av lektion 1 och tillhörande eftertest visade en marginell ökning inom nivåerna medan resultatet av lektion 2 och tillhörande eftertest visade en markant ökning hos elever som haft lektion 2. Även i de klasser som inte hade haft lektion 2 syntes en ökning av förståelsen för likhetstecknet, dock inte lika stor. Slutsatsen från studien är att ett kollaborativt arbetssätt kopplat till Construct map for mathematical equivalence knowledge kan öka elevers förståelse för likhetstecknet.
Nyckelord
Kollaborativt interagerande, Lesson study, Likhetstecknet och Utvecklingsteori.
Tack
Vi vill rikta ett stort tack till vår handledare Oduor Olande som har hjälpt oss i stunder där vi känt oss vilsna. Vi vill även tacka Hanna Palmér för respons och kommentarer. Vi vill också tacka våra opponenter för bra feedback samt åsikter som har lyft den här studien. Sist vill vi tacka varandra för ett gediget samarbete.
Innehåll
1 Inledning ____________________________________________________________ 1
2 Syfte________________________________________________________________ 2 2.1 Frågeställning ____________________________________________________ 2 2.2 Begreppsförklaring ________________________________________________ 2
3 Litteraturbakgrund ___________________________________________________ 3 3.1 ”Vad är rutan?” ___________________________________________________ 3
4 Teoretisk utgångspunkt _______________________________________________ 5 4.1 Utvecklingsteori __________________________________________________ 5 4.2 Construct map for mathematical equivalence knowledge __________________ 5
5 Metod ______________________________________________________________ 7 5.1 Metodologiska ansatser ____________________________________________ 7 5.1.1 Urval _______________________________________________________ 7 5.2 Etisk Medvetenhet ________________________________________________ 7 5.3 Trovärdighet _____________________________________________________ 8 5.3.1 Objektivitet___________________________________________________ 8 5.4 Lesson study _____________________________________________________ 8 5.5 Studiens genomförande ____________________________________________ 9 5.5.1 Förtest, lektion 1 och eftertest ____________________________________ 9 5.5.2 Inför andra varvet i lesson study _________________________________ 10 5.5.3 Lektion 2 och eftertest _________________________________________ 10 5.6 Analytiskt ramverk i lesson study ___________________________________ 11
6 Resultat & Analys ___________________________________________________ 12 6.1 Elevers förkunskaper _____________________________________________ 12 6.2 Lesson study del 1 _______________________________________________ 13 6.3 Lesson study del 2 _______________________________________________ 14
7 Diskussion __________________________________________________________ 15 7.1 Metoddiskussion _________________________________________________ 15 7.2 Resultatdiskussion _______________________________________________ 17 8 Vidare studier ______________________________________________________ 19 Referenser ___________________________________________________________ 20
Bilagor _______________________________________________________________ I Bilaga 1 _____________________________________________________________ I Bilaga 2 ____________________________________________________________ II Bilaga 3 ___________________________________________________________ III Bilaga 4 ___________________________________________________________ IV Bilaga 5 ___________________________________________________________ VI
1 Inledning
Under praktik har vi observerat elever som haft olika svårigheter med att förstå likhetstecknets innebörd. Detta är mer påtagligt när eleverna arbetar med uppgifter som har öppna utsagor. Här har elever uttryckt sig likt följande; det går inte att lösa och den här uppgiften är fel. Detta kan tyda på att eleven i fråga inte har full förståelse för likhetstecknet. Att elever inte har förståelse för likhetstecknets innebörd kan bero på att eleven inte har en tillräckligt utvecklad begreppsförmåga. Skolverket (2018) skriver att elever ska kunna hantera enkla matematiska likheter och använda sig av likhetstecknet på ett korrekt sätt. Vidare beskrivs det i Skolverkets centrala innehåll att matematiken i skolan ska behandla matematiska likheter och likhetstecknet betydelse. I Skolverkets kommentarmaterial (2011) tar de upp begreppsförmågan på följande sätt:
Att beskriva innebörden av ett begrepp och samband mellan begrepp innefattar att kunna redogöra för definitioner, egenskaper och relationer hos begrepp och samband mellan begrepp. Ett begrepps innebörd, syfte och mening ges framförallt genom hur begreppen används i olika sammanhang inom matematiken eller i tillämpningssituationer (Skolverket 2011, s. 1).
Utifrån olika iakttagelser som gjorts på elever vid utförandet av operationer där likhetstecknet varit i fokus, har svårigheter kring begreppets innebörd varit synligt. Hur kan elevers begreppsförståelse för likhetstecknet ökas?
har de uttryckt vid utförande av operationer där likhetstecknets plats varieras, tyder det på att elever har svårigheter att förstå begreppets fulla innebörd. Hur kan elevernas begreppsförståelse för likhetstecknet ökas?
Lärare, som vi stött på och observerat under vår studietid, i verksamheten utgår vanligtvis ifrån att läromedlet tar upp väsentliga förmågor som elever bör lära sig i grundskolans tidigare år. Detta kan medföra att vissa viktiga och grundläggande delar, som exempelvis behandling av likhetstecknet, ges ett begränsat utrymme utifrån hur läromedlet är utformat. Här måste lärare ha en medvetenhet om att variera undervisningen och inte vara beroende av läromedlet.
I en tidigare systematisk litteraturstudie analyserades 16 artiklar inom det pre-algebraiska området för att identifiera faktorer som hämmar och främjar elevers förståelse (Sjöberg
& Steiner, 2019). Bland dessa artiklar lyftes Rittle-Johnsons, Matthews, Taylors och McEldoons, (2011) studie fram om ett schema där bearbetning av likhetstecknet sker.
Vidare förklarar studien hur tillvägagångssättet kan möjliggöra för att främja elevers förståelse för likhetstecknets betydelse. Detta tillvägagångssätt är en utgångspunkt i den här studien vid genomförandet av en lesson study. Deras schema har tagits fram som ett hjälpmedel för att främja förståelsen för likhetstecknet. Med den här studien vill vi utforma en lesson study med mål att främja elevers förståelse för likhetstecknet.
2 Syfte
Syftet med studien är att genom en lesson study undersöka om och i så fall hur en anpassad undervisning, utifrån ett forskningsbaserat schema, kan främja elevers förståelse för likhetstecknet.
2.1 Frågeställning
Hur utformas en undervisning för att utveckla elevers förståelse för likhetstecknet?
2.2 Begreppsförklaring
Skolverket (2018) skriver att eleven ska ges förutsättningar i undervisningen att utveckla sin förståelse för begrepp samt se samband mellan olika matematiska begrepp. Skolverket (2011) förklarar begrepp samt samband mellan begrepp vilket handlar om att elever ska kunna skildra definitioner, egenskaper, relationer och samband mellan olika begrepp.
Vidare skriver Skolverket (2011) att ett begrepps innebörd, syfte och mening främst har att göra med hur begreppen tillämpas i olika sammanhang inom matematiken.
Innan elever kan börja kommunicera om ett begrepp, krävs det att individen har en grundlig förståelse om hur begreppet kan representeras genom bland annat ord, symboler, bilder och animationer. Eleven behöver lära sig hur hen kan använda sig av det aktuella begreppet. Vidare ska eleven förstå varför begreppet i fråga är viktigt samt hur det kan användas i olika situationer. Förståelse för begrepp ska leda till en helhetssyn inom matematiken men kan även knytas till fördjupad kunskap inom den redan befintliga kunskapen.
3 Litteraturbakgrund
I detta avsnitt sammanfattas den systematiska litteraturstudie som utgör utgångspunkten för denna studie (Sjöberg & Steiner, 2019). Denna systematiska litteraturstudie utgick från 16 artiklar som har granskats och analyserats. Det som kommer tas upp i avsnittet är pre-algebra, aritmetik, mönster, positionssystemet, klassrumsmiljön och likhetstecknet.
3.1 ”Vad är rutan?”
Pre-algebra behandlar olika aktiviteter som sker i de tidigare skolåren (Linchevski, 1995;
Bergsten, C., Häggström, J., & Lindberg, L., 2009). Dessa aktiviteter betraktas som förstadiet till algebraområdet. Undervisning i pre-algebra kan konstrueras med hjälp av symboler, figurer eller öppna utsagor. Genom att kunna beskriva ett tal på olika sätt ökar chansen att ge en förståelse för bland annat tal och symboler (Linchevski, 1995). Pre- algebra är ett område som Bergsten, m.fl. (2009) bör introduceras tidigare i skolan än vad det normalt görs. För att det ska kunna introduceras krävs det att läraren arbetar kontinuerligt och framåtsträvande med området (Radford, 2014; Brizuela, Martinez &
Cayton-Hodges, 2013).
Aritmetik kan begränsa elevers förståelse för likhetstecknet och pre-algebra (McNeil, 2008; Fyfe, Matthews, Amsel, McEldoon, McNeil & Graham, 2018; Mcmullen, Hannula- Sormunen & Lehtinen, 2017b). Vidare förklarar Hunter (2014) att skolmatematikens uppgifter ofta kretsar kring de aritmetiska förhållnings- och arbetssättet. Det leder i sin tur till att lärarna ofta planerar sin undervisning utefter detta. För att lärare ska planera mer undervisning i pre-algebraområdet skriver Wasserman (2017) att lärare behöver kompetensutveckling. Vid arbete av olika områden där aritmetiken inte är i fokus behöver läraren förklara vad som förväntas av eleverna (Ferrara & Sinclair, 2016). Det framkom i deras studie att läraren vanligen samtalar mindre med eleverna än vad som krävs för att skapa en djupare förståelse. Vidare skriver de att lärare vanligtvis inte sätter på ord på det väsentliga. De hävdar att det kan bero på lärarens kunskaper inom arbetsområdet är ofullständiga. En lärares ordanvändning har en betydenade roll i matematikklassrummet.
Vidare beskriver de att rutiner är av vikt för elevers utveckling inom pre-algebra (Ferrara
& Sinclair, 2016).
Ytterligare en faktor som beskrevs i den systematiska litteraturstudien var positionssystemet. Här beskrivs det att positionssystemet har en relaterande uppgift i att skapa förståelse för värdet av siffror, relationer mellan siffror och sedan förståelse för pre-algebra (Mcmullen, Brezovszky, Hannula-Sormunen, Veermans, Rodríguez-Aflecht, Pongsakdi & Lehtinen, 2017a). Inför arbeten kring pre-algebra eller liknande uppgifter ska elever besitta grundläggande kunskaper inom positionssystemet och dess betydelse.
Om elever saknar kunskaper inom detta område är det i princip omöjligt att arbeta med pre-algebra och likhetstecknet. I studien lyfts det fram att en ökad förståelse för positionssystemet bidrar till att den matematiska utvecklingen kan fortlöpa (Mcmullen, m.fl., 2017a).
Enligt Hunter (2014) är det av stor vikt att ha en god klassrumsmiljö och är något som äger rum mellan lärare och elev. Här bör elever våga vara öppna och kommunicera hur de tänker i varierande sammanhang inom arbeten kring pre-algebra. Läraren har en viktig roll i att samtala och vägleda elever eftersom detta ger dem en tydligare samt djupare kunskap inom förståelsen för likhetstecknet (Demonty, Vlassis & Fagnant, 2018;
Chesney, Mcneil, Petersen & Dunwiddie, 2018). För att samtliga elever ska få chansen att framhäva deras egen åsikt, krävs det att variera arbetet i olika gruppstorlekar. Enligt
Hunter (2014) rekommenderas arbete i mindre grupper. Detta då vissa elever upplever en svårighet att träda fram i större sammanhang. Vidare skriver han att läraren har en viktig roll vid det matematiska samtalet gällande att vara uppmärksam på det som sägs. Om det inte görs några reflektioner av fel som uppkommer i klassrummet, förhindrar det utvecklingen av ett gott klassrumsklimat. Här är det viktigt att både lärare och elever är tillåtande för att göra misstag samt att ställa frågor vid undervisningstillfällen. Det är även betydelsefullt att föra diskussion kring elevers tankeprocess för att skapa en progression samt djupare förståelse (Hunter, 2014).
Den sista faktorn är förståelsen för likhetstecknet. McNeil, Fyfe och Dunwiddie (2015) har i sin forskning påvisat att en modifierad aritmetikbok ger en viss ökning av förståelsen för likhetstecknets betydelse hos elever. Detta ökar dock inte förståelsen lika mycket jämförelsevis som samtalande och diskussioner om likhetstecknet (Hunter, 2014;
Demonty, m.fl., 2018). Enligt Rittle-Johnson, m.fl. (2011) är vissa elevers kognitiva förmåga inte är tillräckligt utvecklad för att förstå likhetstecknets fulla betydelse. I studien framhäver de ett schema som lärare kan ta hjälp av. Den bygger på ett arbetssätt som stegvis behandlar förståelsen för likhetstecknet. Enligt Fyfe, m.fl. (2018) är kunskap om likhetstecknet en viktig beståndsdel vid utveckling inom matematiken. Vidare nämner de att förståelsen för likhetstecknets betydelse är viktig för elevers kognitiva utveckling och för att gå vidare mot algebraisk förståelse. För att få fram elevers logiska resonemang skriver Carraher, Martinez och Schliemann (2008) att elevers arbetssätt bör varieras. Här skriver de att det viktiga är att gå från det fysiska och konkreta till ett abstrakt och generaliserande tankesätt. Detta bidrar till att elevers logiska tankemönster ökas med hjälp av diskussioner som behandlar problemlösningar vilket ger dem en möjlighet att öka deras kognitiva nivå.
4 Teoretisk utgångspunkt
Allwood och Eriksson (2017) skriver att en teori är en förenkling med ett särskilt syfte.
De hävdar att en teori ska tydliggöra vissa faktorer som forskarna särskilt vill framhäva.
En studies teori ska enbart innehålla relevant information och icke relevant information ska ej beaktas och tas med enligt Allwood och Eriksson (2017).
4.1 Utvecklingsteori
Piaget (2008) beskriver att adaptivt beteende är en form av intelligens.
”Piaget betraktar intelligensen som en speciell form av adaptivt beteende, dvs. sådant beteende som främjar individens anpassning till omgivningen och som organiserar och omorganiserar hans tankar och handlingar.
Adaptionen har sin början i den nyföddes diffusa och slumpartade massreflexer och utvecklas efter hand till sin högsta form: det logiska och abstrakta tänkande. Denna utveckling sker enligt Piaget stegvis eller i stadier, vilka kan beskrivas i termer av beteendets och tankarnas organisation vid olika faser i utvecklingen (Piaget 2008, s. 8).
Piagets (2008) utvecklingsteori innefattar en beskrivning av människans intellektuella utveckling från tidig barndom till vuxnas abstrakta tänkande. Detta sker enligt Piaget stegvis och övergången till nästa stadie sker succesivt och är beroende på hens umgänge med omgivningen. I Piagets utvecklingsteori finns det fyra stadier, det sensomotoriska stadiet som sträcker sig mellan 1½–2 års ålder. Sedan mellan 2–7 års ålder finns det preoperationella stadiet. Mellan 7–11 års ålder befinner sig barnet i det konkreta operationernas stadium. Vid 11 års ålder och framåt finns det sista stadiet och det kallas för abstrakta operationernas stadium.
Det stadium som är aktuellt för denna studie är den tredje stadiet, konkreta operationernas stadium. Här anser Piaget (2008) att barnet nått en jämnvikt mellan omvärlden och individens relationer till handlingar. Detta stadie fokuserar på barnets psykiska utveckling. Här använder barnet ett logiskt resonemang som dock enbart används vid konkreta material. Utan konkret material har barnet svårt att förstå svårare muntliga problem. Det är inte förren när barnet når det abstrakta operationernas stadium som hen kan förstå och lösa dessa problem (Piaget, 2008).
Piaget (2008) tillägger också att det är svårt att se i de tidigare åldrarna om eleverna samarbetar med varandra eller jobbar individuellt. De kan tala med de andra i gruppen men det är inte säkert att de lyssnar och förstår. Detta är något som utvecklas i samband med att möjligheten för samarbete ökar. Elever börjar succesivt kunna föra resonemang samt diskussioner med sin grupp vilket stärker deras förståelse. Vidare beskriver Piaget (2008) operativa strukturer som innehåller samordning av symmetriska relationer. En form av operativ struktur är den logiska strukturen. Det kan exempelvis se ut som följande, A=B, B=C alltså är A=C, A har samma värde som B, B har samma värde som C och därför måste A ha samma värde som C. Detta leder till en ökad förståelse av begreppen.
4.2 Construct map for mathematical equivalence knowledge
Rittle-Johnson m.fl. (2011) har konstruerat ett schema som identifierar olika nivåer av förståelsen för likhetstecknets betydelse. Detta schema kan lärare utgå ifrån vid lektioner och undervisning som behandlar likhetstecknet. De skriver att individen stegvis ska arbeta
utifrån olika nivåer av förståelse för likhetstecknet där en utveckling ska ske. När en elev är säker på en nivå, fortsätter hen på nästa nivå för att slutligen nå en full kognitiv förståelse för likhetstecknet. De olika nivåerna är fritt översatta till Oböjliga operationer (Rigid operational), Flexibla operationer (Flexible operational), Grundläggande relationell (Basic relational) och Relativ relationell (Comparative relational). Dessa fyra nivåer bildar tillsammans ett ramverk som den här studien kommer förhålla sig till vid planering och analys av en lesson study.
1. Vid nivå 1, allmänna operationer, är fokus på vanliga aritmetiska operationer där en av siffrorna utelämnas gentemot exempelvis en blank ruta eller en bokstav. Vid arbete på nivå 1 bör eleven utveckla en förståelse av att två tal till vänster om likhetstecknet ska samma siffervärde som talet till höger om likhetstecknet (6+_=10).
2. Vid nivå 2, flexibla operationer, ändras likhetstecknets position i uttrycket. Uppgiften konstrueras med svaret först, följt av likhetstecknet och sedan den tänkta uträkningen.
Här lyfts även aspekten värde in utifrån frågor om olika tals värde (6=7 eller 7=7 vilket stämmer?).
3. Vid nivå tre, grundläggande relationell, förekommer operationer med flera uträkningar på båda sidor av likhetstecknet. Syftet med den här nivån är att visa att två olika uträkningar kan ha samma värde även ifall de framställs på olika sätt (6+3=8+_). Här utvecklar elever en igenkänning för likhetstecknet och skapar grundläggande relationer mellan olika siffervärden.
4. Vid nivå fyra, jämförbar relationell, är operationer uppbyggda som i nivå tre, med en eller flera uträkningar på vardera sidan om likhetstecknet. Här har siffrorna i operationerna ett högre siffervärde. För att eleven ska kunna visa en förståelse och kunskap behöver eleven lära sig att jämföra operationer och finna en eller flera likheter. Uppgiften kan vara uppbyggt enligt följande 22+15=16+21. Här ska elever se likheter samt generalisera uppgifter. För att förstå att siffervärdet på båda sidor om likhetstecknet har samma värde. När eleven kan jämföra uppgifter och skapa en generalisering har hen visat en fördjupad förståelse av likhetstecknet.
5 Metod
I detta avsnitt presenteras de överväganden som gjorts gällande metodologiska ansatser, urval, etisk medvetenhet, trovärdighet, objektivitet, lesson study, studiens genomförande och ett analytiskt ramverk.
5.1 Metodologiska ansatser
Den här studien kommer att utgå ifrån en så kallad deduktiv ansats. Med en deduktiv ansats syftar Allwood och Eriksson (2017) att forskare utgår från en vald teori vid deras analysering av data, vilket sedan medför att forskarna kan göra en logisk slutsats. Den här studien har använt sig av Piagets (2008) utvecklingsteori och dess stadier samt schemat av Rittle-Johnson m.fl. (2011) vid analys av data som samlats in.
5.1.1 Urval
Denscombe (2009) beskriver ett så kallat bekvämlighetsurval vilket handlar om att forskare tar användning av urvalsgrupper som finns nära och lättåtkomligt.
Studiens val av interventionsgrupp har gjorts utifrån hur lättillgängligt det var att få tag på tre parallellklasser på en och samma skola. I studien ingår tre klasser med totalt 61 elever.
5.2 Etisk Medvetenhet
Den här studien har utgått ifrån åtta principer av Vetenskapsrådet (2017). Dessa är följande: ärlighet, tillförlitlighet, objektivitet, opartiskhet och oberoende, öppen kommunikation, skyldighet att värna forskningspersonernas intresse, rättvisa samt skyldighet att ta hand om nästa generations forskare. Att ha i åtanke vid den här studien är att data som har samlats in har med personer att göra, vilket medför en extra försiktighet och hänsyn för individerna.
Inför den här studien och dess insamling av data har en bilaga skickats ut till samtliga vårdnadshavare i samband med veckobrevet som de mottager på fredagar. I denna bilaga (Se bilaga 3) förklarade författarna vilka de var samt att de hade tänkt utföra tester på eleverna till deras studie. Det enda som samlades in av författarna var elevernas svar samt vilken klass de går i. Data kommer således vara anonym där inga personuppgifter samlas in. Detta är en sak som Vetenskapsrådet (2017) skriver om och betonar att det är viktigt.
Vårdnadshavarna fick möjligheten att kontakta författarna ifall de önskade att deras barn ej skulle delta i studien. Ingen av vårdnadshavarna hörde av sig, samtliga elever i klasserna kunde delta i studien. Inför samtliga tillfällen av lektioner och tester har eleverna fått frågan om de vill delta för att de ska ha vetskap om att det är frivilligt att delta, vilket också skrivs i Vetenskapsrådet (2017).
Genom arbetet har eleverna fått tydliga förklaringar om vad och varför lektioner samt tester har genomförts. Har frågor ställts kring arbetet så har dessa besvarats för att eftersträva ärlighetsaspekten. De data som har samlats in presenteras på ett korrekt och tillförlitligt sätt utan att på något sätt manipulera eller förvränga data. Författarna har under hela arbetets gång försökt att förhålla sig objektiva vid granskning av data och vid de slutsatser som dragits. Författarna kommer att kommunicera med hjälp av skrift för att göra data tillgänglig för kolleger såväl som allmänheten. Deras förhållningssätt kommer inte präglas av varken ideologi, politik eller ekonomiska intressen. Den nästa generationens forskare kan få vårt stöd/handledning vid behov, om så önskas, om vidare forskning kommer att ske inom detta område.
5.3 Trovärdighet
Författarna för den här studien har utgått ifrån de allmänna validitetskriterierna som Allwood och Eriksson (2017 beskriver. Uppgifterna i lektioner och tester är formade av Rittle-Johnsons, m.fl. (2011) nivåer för att ge ett trovärdigt resultat. Eftersom dessa uppgifter har redovisat i form av bilagor kan också andra forskare ta användning av testerna. Metoden för den här studien har förklarats på ett tydligt sätt vilket medför att en upprepande studie kan genomföras. Allwood och Eriksson (2017) skriver att resultatet ska vara rimliga och adekvata. Det resultat som lyfts i den här studien presenteras i både antal och procentform vilket medför en konkret och rimlig överskådning. Det resultat som kommer presenteras blir av relevans utifrån studiens frågeställning för att föra ett logiskt resonemang i resultat och analys.
5.3.1 Objektivitet
Allwood och Eriksson (2017) skriver att forskare ska sträva efter ett objektivt förhållningssätt, de tillägger att det dock är omöjligt att uppnå till 100%. Författarna i studien har använt sig av ett objektivt förhållningssätt för att undvika personliga värderingar och åsikter vid genomförandet av tester och lektioner. Allwood och Eriksson (2017) beskriver att forskningen måste presenteras med en öppenhet vilket gör det möjligt för andra att kunna granska dragna slutsatser. I den här studien har all insamlade data presenterats och inte plockats bort för att gynna författarnas önskemål.
5.4 Lesson study
Lesson study är ett vanligt förekommande utvecklingsarbete som läraren själv driver (Maunula, Magnusson & Echevarria 2011). Den har sitt ursprung i Japan där arbetssättet med lesson study är en av flera framgångsfaktorer inom den japanska skolan som står sig väl rustat gentemot andra skolor i världen (Marton, 2015).
En lesson study handlar bland annat om vad lärare vill förbättra i sin egen undervisning (Munthe, Helgevold & Bjuland, 2016). Det som studeras är främst undervisningspraktiken där det gäller att bestämma sig för en lektion eller ett undervisningspass som används som forskningslektion. Vidare skriver de att forskningslektionen ska ha sin utgångspunkt i ett problem eller ett tema som lärarna/forskarna vill undersöka. Problemet eller temat ska kunna leda till forskningsfrågor som ska kunna besvaras genom planering, observation och diskussion.
Efter planering genomförs en lektion men lesson study-cykeln slutar inte här utan det finns två sätt att gå tillväga. Antingen sammanfattas det som forskarna/lärarna kommit fram till eller så bearbetas planeringen för att sedan göra en ny lektion med en ny elevgrupp. Här blir då konsekvenserna av ändringarna utvärderade och sammanfattade (Munthe, m.fl., 2016).
Marton (2015) nämner att i en lesson study är det viktigt att välja ett område som elever har svårigheter i. Målet är att samtliga elever får ytterligare kunskaper efter enbart en lektion. Vidare beskriver Munthe, m.fl. (2016) ett annat mål med lesson study som handlar om att utveckla kunskaper som förbättrar lärarens vardagliga arbete med elever.
1. Förtest av elever 2. Analys av förtest 3. Planering av lektion 4. Genomförande av lektion 5. Eftertest av elever
6. Analys av lektion och eftertest 7. Revidering av lektion
Figur 1. Den cykliska processen i en lesson study
5.5 Studiens genomförande
I detta avsnitt redovisas hur vår valda metod kommer att användas för att besvara vår forskningsfråga. I detta kapitel kommer tillvägagångssättet för insamling av data redovisas. Då detta är en lesson study så kommer de olika stegen i processen att presenteras. Först genomfördes ett förtest (se bilaga 1) i samtliga årskurs tvåor på den valda skolan (3 st). Vidare utfördes lektion 1 (se bilaga 2) i klass A, följt av eftertest i samtliga klasser. Sedan utfördes lektion 2 (se bilaga 3) i klass C, följt av eftertest i samtliga klasser. Samtliga tester har utgått ifrån Rittle-Johnsons, m.fl. (2011) fyra nivåer.
5.5.1 Förtest, lektion 1 och eftertest
Tillvägagångssättet för denna studie har börjat med ett förtest för eleverna i klass A, B och C. Förtestet konstruerades utifrån Rittle-Johnsons, m.fl. (2011) schema. Utifrån de fyra nivåerna utformades olika uppgifter (se bilaga 1) där de första tre uppgifterna behandlade nivå 1. Sedan följer sex stycken uppgifter som behandlade nivå två. Därefter kommer nivå 3 där sex uppgifter ingick. Sist i förtestet fanns fem uppgifter på nivå 4.
Testerna analyserades för att planera en lektion utifrån vilken nivå eleverna låg på.
Samtliga klasser hade övervägande andel elever som låg på nivå 1 och 2 enligt Rittle- Johnsons, m.fl. (2011).
Utifrån vad som framkom ur analysen av förtestet kom författarna fram till att den första lektionen borde behandla nivå 2. Klassen som deltog på lektion 1 valdes inte på grund av prestation i förtest utan den valdes genom att dra en lapp ur en burk med en lapp för respektive klass. Lektionen utfördes i klass A. Hunter (2014) beskriver att det matematiska samtalet kan gynnas av ett kollaborativt interagerande. Hon nämner även att lärare bör dra nytta av elevers förslag och svarsalternativ, för att synliggöra olika svarsalternativ. Uppgifterna eleverna fick arbeta med var konstruerade utefter Rittle- Johnsons m.fl. (2011) schema med nivå 2 i fokus. De var utformade så att det fanns fler än ett korrekt svar. De gick även att lösa med likhetstecknet placerat till vänster eller höger i operationen. Variationen av att likhetstecknet kunde placeras både till höger och
vänster i operationen är väsentligt för nivå 2. Eftersom svaret kunde variera kunde tillvägagångssättet se olika ut. Detta gav möjlighet till en bredare förståelse för eleverna kring uppgifterna. Den här lektionen ger eleverna möjligheten att förbättra sin begreppsförmåga för likhetstecknet.
Lektion 1 genomfördes enligt en kollaborativ övning som heter ”karusellen”. Här delades eleverna in i fem grupper utefter hur de var placerade i klassrummet. Varje grupp innehöll fyra till fem elever. Runt om i klassrummet placerades fem olika uppgifter (se bilaga 4), där grupperna gick runt och försökte lösa uppgifterna. Efter att samtliga grupper genomfört uppgifterna påbörjades en gemensam diskussion i klassrummet hur de genomförde uppgifterna samt vilka svar de fick. Med hjälp av diskussionerna av svarsalternativen lyfts olika typer av svar där eleverna besvarar om det är en balans på vänster och höger sida om likhetstecknet. Lektionen varade i 40 minuter där både arbete med uppgifterna och diskussion ingick. Efter lektion 1 gjordes ett eftertest i samtliga klasser för att se om lektionen gav något resultat. Eftertestet var utformat exakt likadant som förtestet.
5.5.2 Inför andra varvet i lesson study
När analys av det första eftertestet hade gjorts, påbörjades en ny planering för andra varvet i vår lesson study. Den nya lektionen hade som mål att öka elevers förståelse för likhetstecknets betydelse ytterligare. I Chesneys, m.fl. (2018) studie fann de att elever gynnas av att samtala om matematiska uträkningar istället för att endast skriva i en arbetsbok. Med hjälp av både samtal och vägledning från läraren till elever skriver Chesney, m.fl. (2018) att elevers kan befästa sina kunskaper på ett djupare plan.
5.5.3 Lektion 2 och eftertest
Lektionen bygger på det som Chesney (2018) beskriver i det föregående stycke. Lektion 2 fokuserar på nivå 3 utifrån Rittle-Johnsons, m.fl. (2011) schema. Lektionen 2 ger också eleverna möjligheten att förbättra deras begreppsförmåga för likhetstecknet. I denna lektion kan individerna som ett resultat skapa ett individualistiskt medvetande utifrån det sociala samspelet, vilket Piaget (2008) skriver om inom det adaptiva beteendet. I en lesson study ska en ny interventionsgrupp väljas vid varje varv i den cykliska processen. Av de två klasser som inte hade haft en extra lektion drogs en lapp ur en låda där det låg en lapp för respektive klass. Den klass som fick delta i lektion 2 var klass C. Här fick eleverna i grupper gå ut till klassens tillhörande grupprum. Uppgifterna var konstruerade med att ha ett givet svar sedan utvecklades dem till fria svarsalternativ (se bilaga 5). Först fick eleverna utföra operationer med endast ett givet svar och förklara för resterande gruppen hur hen har gått tillväga och tänkt. Därefter fick elever operationer där svaret kunde variera. Här tillkom då möjligheten att kunna diskutera och redovisa hur varje enskild elev hade tänkt. Sist fick eleverna själva konstruera en operation där endast symbolerna var utsatta på bestämda positioner. Här fick eleverna återigen diskutera och redovisa för varandra. Eleverna skapar här en grundläggande relation till likhetstecknet. Lektionen varade i cirka 15 minuter per grupp. Totalt var det fyra grupper med fem till sex elever i varje grupp. När eleverna i klass C hade genomfört lektion 2, gjordes ett eftertest i
5.6 Analytiskt ramverk i lesson study
Den här studien har använt sig av Piagets (2008) utvecklingsteori och dess stadier samt schemat av Rittle-Johnson m.fl. (2011) vid analys av data som samlats in. Schemat som presenterades i teoridelen har här konkretiserats till följande:
Nivå 1: Eleverna har uppnått nivå ett då de visar aritmetiska kunskaper, de kan lösa uppgifter där svaret saknas på högersidan av likhetstecknet.
Nivå 2: Eleverna har uppnått nivå två då de visar förståelse för att likhetstecknet kan ha olika platser i operationer.
Nivå 3: Eleverna har uppnått nivå tre då de visar förståelse i att en operation kan se ut på varierande sätt, alltså mer än de två först nämnde. Det kan exempelvis innehålla flera operationer på vardera sida om likhetstecknet.
Nivå 4: Eleverna har uppnått nivå fyra då de visar förståelse för samtliga kunskaper av likhetstecknet. Hen kan även se likheter mellan uppgifter och göra kopplingar samt slutsatser.
6 Resultat & Analys
I detta avsnitt presenteras förtestet av elevers förförståelse av likhetstecknet, eftertest av lektion 1 och eftertest av lektion 2. Parallellt sker en analys utifrån utvecklingsteorin och det valda schemat för att skapa en djupare förståelse för empirin som har samlats in.
6.1 Elevers förkunskaper
Figur 2. Förtest
Totalt har 21 elever deltagit från klass A, 17 elever från klass B och 23 elever från klass C. Inom nivå 1 befinner sig fyra elever från Klass A, fem elever från klass B samt sju elever från klass C. Inom nivå 2 befinner sig tio elever från klass A, åtta elever från klass B och nio elever från klass C. Inom nivå 3 finns det tre elever från klass A, två elever från klass B och sex elever från klass C. Inom nivå 4 finner vi fyra elever från klass A och två elever från klass B och en elev från klass C.
Utifrån Piagets (2008) utvecklingsteori befinner sig oftast elever som går i årskurs 2 vanligtvis i det så kallade konkreta operationella stadiet. Majoriteten av eleverna i samtliga klasser befinner sig på nivå 1 och 2 utifrån Rittle-Johnsons m.fl. (2011) schema.
De här två nivåerna innebär att eleverna behärskar ett konkret tankesätt vilket stämmer överens med vad Piaget (2008) skriver att barn i denna ålder vanligtvis befinner sig. De elever som har uppnått nivå 3 och 4 visar att de har passerat det konkreta operationella stadiet. De befinner sig i det abstrakta operationernas stadie vilket enligt Piaget (2008) inte brukar nås förrän elva års ålder. Nivå 3 och 4 innebär att eleverna kan förstå ett varierat innehåll med flera beräkningar. Vidare har eleven lärt sig att göra kopplingar och göra slutsatser.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
Nivå 1 Nivå 2 Nivå 3 Nivå 4
Förtest
A B C
6.2 Lesson study del 1
Figur 3. Eftertest 1
Totalt deltog 21 elever från klass A, 15 elever från klass B och 20 elever från klass C. I eftertest 1 befinner sig en elev på nivå 1 från klass A, två elever från klass B och en elev från klass C. På nivå 2 finns sju elever från klass B och tio från klass C. Nivå 3 finns det åtta elever från klass A, sex elever från klass B och fyra elever från klass C. På nivå 4 finns det fem elever från klass A, två elever från klass B och fem elever från klass C.
Vid genomförande av eftertest 1 har eleverna i klass A haft en extra lektion utöver deras schemalagda undervisningstid för matematik. Testet påvisar en viss ökning hos samtliga klasser. Det som visades var att majoriteten av klasserna befann sig på nivå 2 och 3.
Procentuellt har den största ökningen blivit från nivå 1 till 2 samt nivå från 2 till nivå 3 i samtliga klasser. I den klass där lektion 1 genomfördes är ökningen likvärdig med de två klasser som inte hade någon extra lektion. Detta tyder på att det inte var lektionen i sig som gav ett ökat resultat.
Piaget (2008) skriver som tidigare nämnt att eleverna i dessa åldrar oftast befinner sig i det konkreta operationernas stadie. I tabellen syns det att elever fortfarande befinner sig i detta stadie (nivå 1 och 2), men nu har flertalet elever passerat stadiet och befinner sig i det abstrakta operationernas stadie (nivå 3 och 4). Utifrån de fyra olika nivåer syns det att fler elever har förstått ett mer varierat innehåll gällande likhetstecknet.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
Nivå 1 Nivå 2 Nivå 3 Nivå 4
Eftertest 1 efter genomförande av lektion 1
A B C
6.3 Lesson study del 2
Figur 4. Eftertest 2
Totalt deltog 21 elever från klass A, 18 elever från klass B och 22 elever från klass C.
Vid efter eftertest två finns det ingen elev som befinner sig på nivå 1. Vid nivå 2 finns det nio elever från klass A, åtta elever från klass B och fem elever från klass C. Vid nivå 3 finns det sju elever från klass A, sex elever från klass B och elva elever från klass C. Vid nivå 4 befinner sig fem elever från klass A, fyra elever från klass B och sex elever från klass C.
Eftertest 2 genomfördes i alla klasser efter att lektion två hade gjorts i klass C. I samtliga klasser skedde en ökning inom nivåerna. Det tydligaste förändringen är att ingen av eleverna i klasserna befinner sig på nivå 1. Den största ökningen skedde från nivå 2 till 3 och en marginell ökning till nivå 4. Utav samtliga klasser visade klass C största procentuella ökning mellan nivåerna. Detta tyder på att lektion 2 ökar elevers förståelse för likhetstecknet. Samtidigt ökar de andra klasserna mellan nivåerna trots att de inte haft lektion 2. Detta förklaras genom att de tidigare genomfört förtest samt eftertest 1 och att klass A haft lektion 1.
Utifrån den nämnda utvecklingsteorin och dess stadie befinner sig minoriteten av eleverna i samtliga klasserna inom det konkreta operationernas stadie. Istället hittar vi majoriteten av eleverna i klasserna i det abstrakta operationernas stadie. Detta betyder att undervisning om likhetstecknets betydelse gör att eleven kan klättra i Piagets (2008) stadie trots deras faktiska ålder. Att majoriteten av elever har ökat inom nivåerna trots att alla inte har deltagit i de anpassade lektionerna kan bero på det adaptiva beteendet. Detta då elevernas tankar och handlingar kan ha omorganiserats med hjälp av tester, testledarna
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
Nivå 1 Nivå 2 Nivå 3 Nivå 4
Eftertest 2 efter genomförde av lektion 2
A B C
7 Diskussion
I detta avsnitt kommer diskussioner föras först i form av en metoddiskussion vidare följer en resultatdiskussion, slutligen en slutsats med sammanfattning av det som diskuterats.
7.1 Metoddiskussion
Den här studien har genomförts i en verksamhet som är bekant för oss. Detta kan öppna för frågetecken kring studiens trovärdighet. En lesson study har dock inga krav av att använda sig av en obekant elevgrupp. Därför är en lesson study framtagen för att utveckla en lärares egen verksamhet (Maunula, m.fl., 2011; Marton, 2015). Valet i vilka uppgifter som skulle ingå i lesson study har konstruerades av oss utifrån Rittle-Johnsons, m.fl.
(2011) studie om likhetstecknet. Vi tolkade att uppgifterna skulle ha konstruerats på detta sätt. Det är svårt att veta ifall en annan författare hade gjort samma tolkningar eller om det hade blivit ett helt annorlunda upplägg med andra uppgifter. Det kan också då ha bidragit till ett annat resultat än vad den här studien fick.
Något som var genomgående i samtliga tester att det var frivilligt att delta. Hur frivilligt blir det om majoriteten av klassen deltog och någon egentligen inte ville men vågade inte säga nej? Klasslärarens roll i det hela kan också ha spelat roll då hen berättade för klassen att de skulle få besök där tester kommer att utföras. Efter diskussion med examinator framkom det att samtyckeskravet inte följts på ett korrekt sätt. Hade studiens utförts igen skulle ett samtyckesbrev skickas till samtliga vårdnadshavare inklusive informerat samtycke.
De gruppkonstellationer som valdes hade kunnat göras på annorlunda sätt för att skapa andra förutsättningar. Vi valde grupperna utifrån bekvämlighet, utifrån hur de var placerade runt om i klassrummet. Detta gjordes på grund av tidsbegränsning. Hade grupper konstruerats utifrån individens förståelse för likhetstecknet hade det eventuellt skapat andra förutsättningar. Gruppernas storlek var inspirerade från det Hunter (2014) beskriver om en gruppstorlekens betydelse. Det som observerades var att vissa grupper hade en tydlig dominerande ledargestalt som fick gruppens tillit att genomföra uppgifterna till huvudsak själv. Detta medför en fråga om hur samtliga gruppmedlemmar aktivt deltog och lärde sig något av lektionen. Här finns det kopplingar till vad Piaget (2008) skriver om hur elever i åldrarna 7-11 samarbetar. Han skriver att det kan se ut som om de samarbetar men egentligen tar de inte in vad gruppmedlemmar säger eller gör. Det kan också kopplas till det adaptiva beteendet som Piaget (2008) beskriver. En tolkning som kan göras är att den starka eleven som tar plats och leder gruppen förhåller sig till att de andra gruppmedlemmarna inte tar lika mycket plats. Samtidigt förhåller sig de andra gruppmedlemmarna med en försiktigare karaktär.
Lektion 1 varade i 40 minuter med både arbete av uppgifter samt diskussion. Längden på lektionen var anpassad till målgruppen som deltog på lektionen. En 40 minuters lektion är dessa elevernas normala lektionslängd, vilket betyder att de är vana vid att behålla fokuset under hela lektionspasset. En längre lektion hade krävt ett avbrott med till exempel rast eller en rörelseaktivitet för att sedan kunna bibehålla fokus på diskussionen.
Diskussionen blev heller inte påverkad av tidsbegränsningen utan det kändes som att det väsentliga innehållet kunde diskuteras.
Lektion 2 utfördes i grupper i klassens tillhörande grupprum. Även här valdes eleverna i grupper om hur de var placerade i klassrummet. Detta gjordes också med tidsaspekten i åtanke. Gruppernas konstellationer kan därför ifrågasättas även här. Ifall grupperna hade
skapats utifrån nivå istället för bordsplacering, hade det då blivit ett större lärandemoment? Valet av att genomföra lektion 2 i mindre grupper grundar sig i det Hunter (2014) beskriver om att elever ges möjlighet att uttrycka sin åsikt och tankeprocess. Vidare skriver Hunter (2014) att vissa individer har svårighet att samtala vid större grupper eller helklass. Utifrån individens omgivning omkonstrueras hens självbild samt identitet. En individ anpassar sig utefter gruppens karaktär (Piaget, 2008).
Lektion 2 genomfördes under cirka 15 minuter i mindre grupper. Lektionen kan ses som en minilektion då den är kort och intensiv för eleverna. Under lektionen behövde eleverna använda sig av sin egen tankeprocess för att reflektera och diskutera med de andra gruppmedlemmarna. Valet av att lektionen var kort beror på att det kan anses krävande av elever att bibehålla fokus på sin egen samt andras tankar en längre tid. Detta kan kopplas till Piaget (2008) och hans abstrakta operationernas stadie. Vissa elever har inte kommit så långt på vägen, vilket gör det svårt att ha en mer omfattande lektion.
Det andra eftertestet som genomfördes gjordes inom en timme efter lektion 2. Vissa elever hade enbart fem minuter mellan lektionen och testet medan andra hade cirka en timme emellan. På grund av tidsaspekten för studien valde vi att genomföra eftertestet vid samma tillfälle. Detta blir något som Denscombe (2009) beskriver som bekvämlighetsaspekt. Vidare valde vi interventionsskola baserat på en av författarnas kontakter och blev därmed påverkade av bekvämlighetsaspekten.
En faktor som vi inte räknade med som kan ha spelat in en betydande roll i elevers ökning av deras förståelse av likhetstecknet är deras ordinarie matematikundervisning. Deras undervisningsbok behandlade delvis likhetstecknets betydelse under samma period som den här studien genomfördes. Detta har troligtvis påverkat elevers prestationer och resultat i de tester som gjorts. Därför behöver interventionslektionerna inte enbart stå för elevers ökning av förståelse för likhetstecknet. Det hade givits bättre förutsättningar för att undersöka vad interventionen gav om eleverna samtidigt inte hade arbetat med likhetstecknets betydelse i den ordinarie undervisningen. Att den ordinarie undervisningen har behandlat likhetstecknets betydelse borde ha lett till att diskussioner och samtal kring detta genomförts. Detta kan leda till en djupare förståelse hos elever (Demonty, m.fl., 2018; Chesney, m.fl., 2018).
Om en lesson study ska genomföras korrekt ska interventionsgruppen bytas efter ett varv i den cykliska processen (Munthe, m.fl., 2016). Två varv i den cykliska processen genomfördes vilket betyder att två av tre klasser fick en interventionslektion. Att vi hade tre klasser med i hela studiens gång berodde på att vi ville ha en kontrollgrupp. Detta för att jämföra med de klasser som hade fått någon form av intervention. För att elever ska ha uppnått likhetstecknets fulla betydelse behöver eleverna befinna sig på nivå 4 enligt Rittle-Johnsons, m.fl. (2011) schema. De lektioner som utfördes behandlade nivå 2 och nivå 3. Det går att fortsätta ett till varv i den cykliska processen där nivå 4 behandlas i en lektion 3.
motivation. Vid upplevelse av motgång på en uppgift kan motivationen medfört en negativ spiral som gjorde att de gav upp lättare.
7.2 Resultatdiskussion
Förtestet som genomfördes visade att majoriteten av eleverna befann sig på nivå 1 och 2 utifrån Rittle-Johnsons, m.fl. (2011) schema. Enligt Piaget (2008) är detta ett normalt förhållande utifrån den aktuella åldersgruppen. De befinner sig i det konkreta operationernas stadie och har inte uppnått en djupare kognitiv förståelse som kan kopplas till begreppet likhetstecknet (Rittle-Johnson, m.fl., 2011). Eleverna saknar den fulla förståelsen för begreppet likhetstecknet. Skolverket (2011) skriver att om elever ska kunna ha tillräcklig kunskap för begreppet ska eleven kunna använda begreppet i olika sammanhang och relationer. Vi tror att förtestet introducerade ett bredare perspektiv för likhetstecknet hos eleverna. Senare när eleverna gjorde eftertest 1 fanns det möjlighet för en igenkänningsfaktor vilket kan ses som mängdträning för eleverna. Ferrara och Sinclair (2016) skriver i sin studie att med hjälp av rutiner och mängdträning blir elever säkrare inom arbetsområdet. Elevernas prestation i förtestet kan ha sin grund i deras kunskaper från det aritmetiska tankesättet. Här skriver McNeil, (2008), Fyfe, m.fl. (2018) och Mcmullen, m.fl. (2017b) att aritmetiken kan begränsa eleverna vid arbete med likhetstecknet som ingår i pre-algebra.
Förtestet och eftertest 1 hade precis samma uppgifter för eleverna att besvara. Detta kan ha påverkat deras resultat vid genomförandet av eftertest 1. Samtliga klasser hade en förbättring i eftertest 1 även fast de inte hade deltagit på lektion 1. Det syntes ingen ökning som går att koppla till lektion 1 vilket betyder att lektionen i sig inte ökade förståelsen för begreppet likhetstecknet. Detta tyder på att andra faktorer än lektion 1 har haft betydelse för deras lärande om likhetstecknet. En av dessa faktorer kan exempelvis vara att de utfört samma uppgifter vid förtestet vilket speglar en form av mängdträning. Ytterligare en faktor kan ha varit den ordinarie undervisningen. I samband med den här studien behandlade elevernas undervisning om likhetstecknet. Demonty, m.fl. (2018) skriver att det läraren samtalar och diskuterar om i undervisningen leder till en djupare förståelse hos eleverna.
Diskussionerna som gjordes i lektion 1 genomfördes i helklass. Detta kan ha påverkat vissa elevers möjlighet att våga framföra sin tankeprocess. Det kan i sin tur har medfört att lektionen gick miste om värdefulla tankar som kunde bidragit till ökat lärande som i sin tur kunde ha givit fler elever ett bättre resultat. Detta går att koppla till det adaptiva beteendet enligt Piaget (2008). De som vågar ta för sig är det som syns och hörs i diskussionerna medan de försiktiga intar en mer passiv roll. Vidare kan detta spegla klassrumsklimatet. Enligt Hunter (2014) skapas ett godtyckligt klassrumsklimat genom tillåtande och öppenhet.
Eftertest 2 visade en markant ökning mellan nivåerna i samtliga klasser. Den största ökningen var i den klass där lektion 2 hade genomförts. Det här betyder att lektion 2 gav ett önskat resultat. Att ha i åtanke är att lektion 2 och eftertest 2 var i anslutning till varandra. Eleverna som inte deltog i lektion 2 hade inte haft en interventionslektion i anslutning till eftertestet. Detta bör ha varit en bidragande faktor till att klass C fick den störta ökningen mellan nivåerna. Vidare betyder det att det finns andra faktorer som har lett till de andra klassernas ökning. Återigen blir en av faktorerna elevernas ordinarie undervisning där de arbetat med begreppet likhetstecknet. Chesney, m.fl. (2018) beskriver vikten från samtalet och vägledningen av läraren ger ökade färdigheter hos elever inom arbetsområdet. Resultatet av eftertestet från lektion 2 visade även att flertalet
eleverna har tagit till sig förståelse från det abstrakta förhållningssättet då vi ser en markant ökning i deras kunskap. Detta går att koppla till en utökad kognitiv och abstrakt förmåga som syns inom nivå 3 och 4 (Rittle-Johnson, m.fl., 2011).
Att fler elever har uppnått nivå 3 och 4 tyder på att deras begreppsförmåga har blivit bättre, alltså att deras förståelse för begreppet likhetstecknet blivit djupare. Radford (2014) skriver i sin studie om att arbeta med ett område kontinuerligt vilket i sin tur ökar elevers förståelse och kunskap inom ett område. Utifrån att testerna har genomförts under en kortare period kan det kopplas till en kontinuitet. Vidare har det framkommit i tidigare forskning att lärare bör ge elever möjligheten att kunna variera framställning av tal och svarsalternativ (Carraher, m.fl., 2008). Detta då det ökar chansen för elever att uppnå en djupare förståelse för uppgiften och symboler. Lektion 2 gav elever möjligheten vid vissa uppgifter att tänka mer fritt kring deras svar. Detta i sin tur kan ha gett eleverna en djupare förståelse och bättre prestation vid genomförandet av eftertest 2.
Inför eftertest 2 ändrade vi uppgifterna för att ge eleverna ett annat innehåll. Detta gjordes för att igenkänningsfaktorn inte skulle påverka resultatet som det kan ha gjorts i eftertest 1. Genom att ändra uppgifterna blir det tydligare ifall eleverna har ökat sin kunskap och förståelse om begreppet likhetstecknet. Skolverket (2011) skriver att elever visar förståelse för ett begrepp ifall de kan se det i olika sammanhang och relationer. Vidare beskriver Mcmullen, m.fl. (2017a) vikten av förståelsen av relationen och siffrornas värde. Detta är också en betydande del till val av nya uppgifter. Eftersom majoriteten av eleverna i eftertest 2 befann sig inom 3 och 4 har de visat att de har ökat sin begreppsförståelse för likhetstecknet.
8 Vidare studier
Med det resultat, analys och diskussion som utförts kan en vidare studie genomföras. Det behövs framförallt vidare forskning där författarna utför en lesson study där samtliga nivåer genomförs samt att lektion 1 i nuvarande studie förändras för att uppnå det önskade syftet. Vidare leder det till att den cykliska processen blir mer omfattande. Totalt skulle det krävas fyra varv i den cykliska processen.
Referenser
Allwood, C. & Erikson, M. (2017). Grundläggande vetenskapsteori: för psykologi och andra beteendevetenskaper. Andra upplagan Lund: Studentlitteratur.
Bergsten, C., Häggström, J. & Lindberg, L., (2009). Algebra för alla. 1. uppl. Mölndal:
Institutionen för ämnesdidaktik, Univ.
Brizuela, B., Martinez, M. & Cayton-Hodges, G. (2013). The impact of early algebra:
Results from a longitudinal intervention. REDIMAT - Journal of Research in Mathematics Education, Vol. 2(2), s. 209-241.
Carraher, D., Martinez, M. & Schliemann, A., (2008). Early algebra and mathematical generalization. ZDM, Vol. 40(1), s. 3-22.
Chesney, D., Mcneil, N., Petersen, L. & Dunwiddie, A. (2018). Arithmetic practice that includes relational words promotes understanding of symbolic equations. Learning and Individual Differences, Vol. 64, s. 104-112.
Demonty, I., Vlassis, J. & Fagnant, A. (2018). Algebraic thinking, pattern activities and knowledge for teaching at the transition between primary and secondary school.
Educational Studies in Mathematics, Vol. 99(1), s. 1-19.
Denscombe, M. (2009). Forskningshandboken: för småskaliga forskningsprojekt inom samhällsvetenskaperna. 2. uppl. Lund: Studentlitteratur.
Fyfe, E., Matthews, P., Amsel, E., McEldoon, K., McNeil, N. & Graham, S. (2018).
Assessing Formal Knowledge of Math Equivalence Among Algebra and Pre-Algebra Students. Journal of Educational Psychology, Vol. 110(1), s. 87-101.
Hunter, J. (2014). Developing learning environments which support early algebraic reasoning: A case from a new zealand primary classroom. Mathematics Education Research Journal, Vol. 26(4), s. 659-682.
Linchevski, L. (1995). Algebra with Numbers and Arithmetic with Letters: A Definition of Pre-algebra. Journal of Mathematical Behavior, Vol. 14(1), s. 113-20.
Marton, F. (2015). Necessary conditions of learning. London: Routledge.
Maunula, T., Magnusson, J. & Echevarría, C. (red.) (2011). Learning study:
undervisning gör skillnad. (1. uppl.) Lund: Studentlitteratur.
Mcmullen, J., Brezovszky, B., Hannula-Sormunen, M., Veermans, K., Rodríguez- Aflecht, G., Pongsakdi, N. & Lehtinen, E. (2017, A). Adaptive number knowledge and its relation to arithmetic and pre-algebra knowledge. Learning and Instruction, Vol.
McNeil, N. (2008). Limitations to Teaching Children 2 + 2 = 4: Typical Arithmetic Problems Can Hinder Learning of Mathematical Equivalence. Child Development, Vol.
79(5), s. 1524-1537.
McNeil, N., Fyfe, E. & Dunwiddie, A. (2015). Arithmetic practice can be modified to promote understanding of mathematical equivalence. Journal of Educational
Psychology, Vol. 107(2), s. 423-436.
Munthe, E., Helgevold, N. & Bjuland, R. (2016). Lesson study: kollegial professionsutveckling. (1. utg.) Stockholm: Natur & kultur.
Piaget, J. (2008). Barnets själsliga utveckling. (2. uppl.) Stockholm: Norstedts akademiska förlag.
Radford, L. (2014). The progressive development of early embodied algebraic thinking.
Mathematics Education Research Journal, Vol. 26(2), s. 257-277.
Rittle-Johnson, B., Matthews, P., Taylor, R. & McEldoon, K. (2011). Assessing knowledge of mathematical equivalence: A construct-modeling approach. Journal of Educational Psychology, Vol. 103(1), s. 85-104.
Sjöberg, R. & Steiner, M. (2019).
Vad är rutan? En systematisk litteraturstudie om pre-algebra med fokus på grundskolans tidigare år.
http://www.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2:1282870 (Senast hämtad 2019- 04-08)
Sverige. Skolverket (2011). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik.
Stockholm: Skolverket.
https://www.skolverket.se/download/18.6011fe501629fd150a2893a/1530187438471/K ommentarmaterial_gymnasieskolan_matematik.pdf
(Senast hämtad 2019-04-08)
Sverige. Skolverket (2018). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011: reviderad 2018. (Femte upplagan). Stockholm: Skolverket.
https://www.skolverket.se/sitevision/proxy/publikationer/svid12_5dfee44715d35a5cdfa 2899/55935574/wtpub/ws/skolbok/wpubext/trycksak/Blob/pdf3975.pdf?k=3975 (Senast hämtad 2019-04-08)
Bilagor
Bilaga 1
Förtest och eftertest 1
3 + ___= 10 11 + ___= 16 ___+ 18 = 22
19 = 15 +___ 10 = ___+ 1 25 = 18 +___
17 = ___+ 11 24 = 16 +___ 29 =___+___
14 + 4 = ___+ 14 9 +___= 30 + 1 20 + 20 = ___- 10
2 + 5 +___= 37 7 + 22 = 9 +___ 5 + 9 + ___= 11+ 13
5+___- 5 = 10 + 12 ___+ 8 - 9 = 11 + 19 20+20+10=___-50
23 -___ - 6 = 5 + 6 27 + 15 =___- 10 - 8
Bilaga 2
Eftertest 2
3 + ___= 13 8 + ___= 16 ___+ 15 = 22
19 = 14 +___ 10 = ___+ 9 23 = 18 +___
19 = ___+ 11 24 = 8 +___ 27 =___+___
16 + 5 = ___+ 16 7 +___= 17 + 1 20 + 10 = ___- 10
7 + 13 +___= 37 7 + 18 = 9 +___ 3 + 6 + ___= 7 + 13
5 +___- 2 = 9 + 11 ___+ 5 - 2 = 15 + 13 15+15+20=___-50
25 -___ - 3 = 8 + 8 35 + 11 =___- 20 - 4
Bilaga 3
Samtycke Hejsan!
Vi heter Robin och Martin och kommer från Linnéuniversitetet. Vi arbetar med vår studie där vi undersöker elevers kunskaper om likhetstecknet. Vi vill testa ett schema där målet är att öka deras förståelse om likhetstecknet. Vi kommer att utföra tester i samtliga klasser i årskurs 2 och det resultat vi får kommer att redovisas i vår studie. Vi undrar därför om det är någon av er vårdnadshavare som inte vill att ert barn ska delta i denna studie. Om i så fall, kontakta Robin via telefon eller mail. Kan tillägga att all resultat som vi får in kommer vara anonymt och det kommer inte att kunna urskilja enskild individ i studien. Eleverna kommer också få frågan ifall de vill delta i samtliga lektioner och tester som kommer att utföras. Tack på förhand.
Robin Sjöberg 0708260451
Rs222gi@student.lnu.se
Mvh Robin Sjöberg och Martin Steiner
Bilaga 4
Lektion 1
Uppgift 1
I en cykelaffär finns det flera sortes cyklar med olika antal hjul på sig. Det finns
enhjulig, tvåhjuling, trehjuling och fyrhjuling. En dag såldes totalt 22 stycken hjul. Hur många av varje sort såldes? Det måste minst vara en av varje.
Uppgift 2
Tomaterna och Potatisen är slut hemma. Ni ska handla för 50kr minst 1 kg av varje sort.
Alla pengarna måpste användas.
Tomat: 15kr/kg Potatis: 5kr/kg
Uppgift 3
Robin behöver handla ett par jeans och en ny tröja. Han hade 500kr när han gick och handlade. När han kom hem hade han 100kr kvar. Vad kostade varje klädesplagg?
Uppgift 4
På en bondgård finns det hästar, kossor, ankor, höns och katter. Sammanlagt finns det 54 djurben. Det finns minst en av varje djur. Hur många av varje djur finns det?
Uppgift 5
Ni har 100kr med er till affären. Ni ska köpa päron, äpplen och apelsiner. När ni kommer hem har ni 10kr kvar. Hur många köpte ni av varje sort?
Päron: 5kr/st Äpplen: 2kr/st Apelsin: 8kr/st
Bilaga 5
Lektion 2 9+__=7+8
7+5=__+4
8-__=__+4
__+__=__-13
__+__-__=8+8
__-__+__=__+__
