Självständigt arbete
Intensivundervisning – ett multisensoriskt approach
En fallstudie av en SUM-elevs grundläggande taluppfattning under multisensorisk
intensivundervisning
Författare: Linda Berton Handledare: Helena Roos Examinator: Aihui Peng Datum: 2014-09-19 Kurskod: 4PP70E
Ämne: matematikdidaktik
Abstrakt
Svensk titel: Intensivundervisning – ett multisensoriskt approach
En fallstudie av en SUM-elevs grundläggande taluppfattning under multisensorisk intensivundervisning.
English title: Intensive instruction - a multisensory approach
A case study of a SEN-students in the subject of mathematics basic number sense during intensive, multisensory instruction.
I denna studie undersöks vad som sker i intensivundervisning där en SUM-elev, elev med särskilda utbildningsbehov i matematik, erbjuds multisensorisk undervisning. Vilken utveckling som sker vad gäller elevens taluppfattning, samt olika uttryck för lärande i undervisningsprocessen är också något som studeras.
Studien har en kvalitativ ansats och har genomförts som en fallstudie med en SUM-elev i årskurs ett. Fallstudien innehåller en intervention med matematiktester vilka genomförts före och efter en intensivundervisning i grundläggande taluppfattning. Deltagande observationer av undervisningssekvensen har genomförts, vilka också har filmats. Till analysen används Bruners teori om representationer tillsammans med Vygotskijs teori om lärande ur ett sociokulturellt perspektiv. Representationerna i Bruners teori beskrivs som den enaktiva som är handlingsbaserad, den ikoniska som är bildbaserad och den symboliska som är språkbaserad.
Resultatet visar i detta fall att en intensivundervisning med multisensorisk approach påverkar elevens taluppfattning positivt och elevens lösningsfrekvens mellan för- och eftertest tredubblats. En utveckling av bland annat matematiska förmågor var synlig. Eleven utvecklade lärande i de olika representationerna där inledningsvis den enaktiva representationen användes och succesivt även den ikoniska- och symboliska representationen.
Resultatet visar en positiv påverkan på elevens självförtroende i matematiska situationer, främst gällande symbolhantering.
Nyckelord
SUM-elever, taluppfattning, multisensorisk matematik, intensivundervisning, intervention och NUMICON®.
Abstract
This study examines what happens in the situation of intense, multi-sensory instruction for a SEN-student in the subject of mathematics, a student with special education needs in mathematics. What kind of development is happening in terms of the student's number sense, as well as various forms of learning in the teaching process is also something that is studied.
The study has a qualitative approach and was implemented as a case study with a SEN- student in the subject of mathematics in year one. The case study includes an intervention with math tests which were taken before and after an intensive teaching of basic number sense. Participant observation of the teaching sequence has been implemented, which also have been filmed. For the analysis Bruner's theory of representations along with Vygotsky's theory of learning from a sociocultural perspective is used. The representations in Bruner's theory is described as the enactive that is action-based, the iconic that is image based and the symbolic which is language-based.
The result in this case shows that an intensive instruction with a multi-sensory approach affects the student's number sense in a positive way. The pupils solution frequency between pre- and posttest tripled. The Pupil developed learning in the different representations where initially the enactive representation was used and gradually even the iconic- and symbolic representation. A development including mathematical competences were visible. The results show a positive impact on the pupil self-confidence in mathematical situations, primarily in situations for symbol processing.
Keywords
SEN-students in the subject of mathematics, number sense, multi-sensory mathematic, intensive instruction, intervention and NUMICON®.
Innehållsförteckning
1. Inledning ... 1
2. Syfte och frågeställningar ... 4
2.1 Syfte ... 4
2.2 Frågeställningar ... 4
3. Teoretisk bakgrund ... 5
3.1 Taluppfattning ... 5
3.2 Matematisk förmåga ... 6
3.3 Multisensorisk matematik ... 6
3.4 Intensivundervisning ... 8
3.5 Självförtroende, motivation och matematik ... 9
3. 6 Teoretisk ram ... 10
3.6.1 Bruners teori om representation ... 10
3.6.2 Vygoskijs sociokulturella perspektivet på lärande ... 12
3.6.3 Sammanfattning av den teoretiska inramningen ... 13
4. Metod ... 14
4.1 Forskningsansats ... 14
4.2 Studiens utformning och deltagare ... 14
4.3 Interventionen ... 15
4.3.1 NUMICON® ... 15
4.3.2 Intensivundervisning ... 16
4.3.3 Sammanfattning ... 16
4.4 Datainsamling ... 23
4.4.1 Observationer ... 23
4.4.2 Reflektion av observation ... 23
4.4.3 Videoanalys ... 24
4.5 Bearbetning och analys ... 24
4.6 Giltighet och tillförlitlighet ... 24
4.7 Etiska överväganden... 25
5. Resultat och analys ... 26
5.1 Synligt lärande i undervisningen. ... 26
5.1.2 Analys ... 27
5.2 Effekter av intensivundervisningen ... 29
5.2.1 Analys ... 31
5.3 Påverkan på elevens taluppfattning. ... 32
5.3.1 Elevens taluppfattning utifrån förtest och kartläggning. ... 32
5.3.2 Utveckling av elevens taluppfattning. ... 32
5.3.3 Analys ... 33
5.4 Sammanfattning av resultat ... 35
5.5 Sammanfattning av analys ... 35
6. Diskussion ... 37
6.1 Metoddiskussion ... 37
6.2 Resultatdiskussion ... 37
6.3 Förslag till fortsatt forskning ... 39
Referenser ... 40 Bilaga A Genomförande av lektioner. ... I Bilaga B Diagnos AG1. ... VIII Bilaga C Triader. ... IX Bilaga D Missivbrev. ... X
1. Inledning
I denna studie undersöks vad som sker i en intensivundervisning där en elev i särskilda utbildningsbehov i matematik erbjuds multisensorisk undervisning. Vilken utveckling som sker vad gäller elevens taluppfattning, samt olika uttryck för lärande i undervisningsprocessen, är också något som studeras.
Jag har i mitt arbete som lärare haft positiva upplevelser av multisensorisk matematik tillsammans med de elever jag undervisat i grundskolans tidigare åldrar. Multisensoriskt lärande är, som namnet antyder, en process av att lära nya ämnesområden genom att använda två eller flera sinnen. Det kan innefatta att kombinera visuell, auditiv, taktil, kinestetisk och till och med smak och lukt (Rains, Kelly & Durham, 2008). Vad en elev inte kan ta till sig genom att höra eller säga har de då en chans att ta till sig genom visuella, taktila eller kinestetiska vägar (a.a).
Det som inspirerat mig mest till en fortsatt multisensorisk undervisning är den feedback jag fått av eleverna när de visar glädje och lust i arbetet. Det jag också upplevt är att alla eleverna tycks ta till sig olika delar av undervisningen men på olika sätt. Upplevelsen och tron på att alla elever kan ta till sig undervisningen har varit betydelsefull. Min nyfikenhet till att djupare studera den multisensoriska approachen i undervisningen bottnar i dessa tidigare upplevelser.
Möjligheten till att i denna studie mera djupgående undersöka undervisningen, för att få syn på vad som sker gällande lärande och vilka resultat undervisningen kan leda till, lockar till genomförandet.
I min nuvarande undervisningssituation möter jag elever i särskilda utbildningsbehov i matematik. Definitionen av matematiksvårigheter varierar i forskningen, i studien används Olof Magnes definition SUM, särskilda utbildningsbehov i matematik. Magne definierar SUM med att eleven inte uppnår de kunskapskrav i matematik som anges i läroplanen, SUM- elever är då de elever som är i särskilda utbildningsbehov i matematik (Magne, 1998). Jag vill använda denna definition eftersom den inte är defektorienterad och inte heller lägger problematiken hos eleven utan att fokus istället hamnar på utbildningsbehovet och miljön.
Magne (1998) beskriver att lärandet grundar sig i samspelet mellan händelser i miljön och elevens egen upplevelse av miljön.
En del elever jag möter upplever jag har bristande självförtroende och inte heller lust att lära.
För att möta dessa elevers behov behöver jag fundera över alla möjliga vägar för att ge eleverna det stöd som de har rätt till. Förhållningssättet i denna studie är att fokusera på de påverkningsbara faktorerna i skolan och undervisningen. Det anser jag mer fruktbart för att utveckla skolans verksamhet än att studera de faktorer som jag som pedagog inte kan påverka eller få syn på. Lundberg och Sterner (2009) beskriver komplexiteten i de bakomliggande orsakerna till att elever är i särskilda utbildningsbehov i matematik utifrån elevers olika förutsättningar och möjligheter att lyckas och menar att;
”Undervisning och andra miljöfaktorer är av så stor betydelse så att det är där vi måste lägga vår energi för att åstadkomma förbättringar.” (Lundberg & Sterner, 2009, s. 29).
Genom att tidigt stimulera utvecklingen av grundläggande principer, begrepp samt utveckla en känsla för tal, strukturer och mönster i det grundläggande talområdet 0-10 skapas en grund för vidare matematik i högre talområden (Lundberg & Sterner, 2009). Studien tar därför sin utgångspunkt i undervisningen av grundläggande taluppfattning i årskurs ett. Taluppfattning är inget begrepp som med lätthet kan beskrivas eller definieras och i denna studie begränsas den till talområdet 0-10. Att ha en övergripande förståelse för tal och operationer samt på
olika sätt utveckla användbara och effektiva strategier vid användandet av tal kan kortfattat beskrivas som taluppfattning (Reys, Emanuelsson, Holmqvist, Häggström, Johansson, Lindberg, Maerker, Nilsson, Rosén, Ryding, Rystedt & Sjöstedt Wallby, 1995). Betydelsen av tidiga insatser för barn som riskerar att hamna i svårigheter vad gäller läsning finns goda stöd för i forskning (Torgesen m.fl., 2001). Sambandet mellan tidig matematisk stimulans och senare skolprestationer har också påvisats (Duncan m.fl., 2007). Det bakomliggande intresset är således att genom tidiga insatser förebygga att elever framöver inte är eller hamnar i särskilda utbildningsbehov i matematik.
Elevens rätt till likvärdig utbildning beskrivs av svenska Skolverket i skolans styrdokument LGR 11 som att;
”Undervisningen ska anpassas till varje elevs förutsättningar och behov. Den ska främja elevernas fortsatta lärande och kunskapsutveckling med utgångspunkt i elevernas bakgrund, tidigare erfarenheter, språk och kunskaper” (Skolverket, 2011, s.8).
Internationellt inom matematikdidaktik riktas alltmer uppmärksamhet mot ”equity principle”
det vill säga alla barns lika tillgång till gedigen och adekvat matematik (Jess, Skott & Hansen, 2011). Equity innebär då att alla elever erbjuds lika möjligheter att lära sig matematik oavsett bakgrund, personliga egenskaper eller eventuella funktionsnedsättningar. Det betyder inte att alla elever erbjuds samma undervisning utan att den ska i möjligaste mån tar hänsyn till individen och dess förutsättningar och var den befinner sig i sin utveckling.
Då undervisningen ska anpassas till varje elevs förutsättningar och behov och alla elever bör erbjudas lika möjligheter att lära sig matematik, men för den sakens skull inte samma undervisning väcks frågor om hur undervisningen då kan se ut. För elever i läs- och skrivsvårigheter har forskning av intensivundervisning genomförts (Torgesen m.fl., 2001).
Intensivundervisning kan beskrivas som att en elev förutom undervisning i klassen även får stöd av en lärare eller speciallärare som är behörig för att undervisa i ämnet under en period om cirka 8-10 veckor (a.a). Forskningen Torgesen m.fl. (2001) genomfört gäller läsutveckling. Resultatet visar på samband mellan intensivträning och goda resultat i läsutveckling. Ett sätt att se på intensivundervisningen som genomförts i läsning är som en metod för att anpassa undervisningen efter elevens förutsättningar och behov.
Intensivundervisningen i matematik är ett område där det ännu inte finns forskning, vilket väckt mitt intresse för fältet. Ambitionen med denna studie är att tillföra en undersökning av detta och ge ett bidrag till att fylla det hål för forskning som finns för matematikundervisning.
Ma (1999) menar att en djup, bred och grundlig förståelse för matematiken eller ett område i matematik nås först i samband med undervisningen. Ett möjligt förhållningssätt i undervisningen är att bearbeta och synliggöra matematiska begrepp med hjälp av flera olika sinnen. Då elever utvecklas och lär i olika tempo och har olika referenser är det då inte troligt att de vid samma tidpunkt eller på samma sätt kan ta till sig matematiska begrepp.
Multisensoriska metoder tillåter många elever att ta till sig svårfångade begrepp (Rains, Kelly
& Durham, 2008).
Den multisensoriska undervisningen är intressant att studera också som ett möjligt alternativ till läroboken. En didaktisk orsak till att elever hamnar i särskilda utbildningsbehov är att undervisningen i matematik ofta är läroboksstyrd och många gånger består av individuellt tyst arbete där läraren visar på tavlan hur man ska lösa uppgifterna i boken (Jess, Skott & Hansen, 2011).
Således utgår studien ifrån frågor om vad som händer och vilken utveckling som sker i dessa undervisningsprocesser. Hur påverkas och utvecklas SUM-elevers grundläggande taluppfattning i en intensivundervisning med multisensoriskt approach? I studien studeras därför dessa undervisningssituationer då det kan vara en möjlig väg för utveckling av elevernas förståelse och lärande vad gäller grundläggande taluppfattningen.
2. Syfte och frågeställningar
2.1 Syfte
Studiens syfte är att undersöka vad som sker i intensivundervisning där en SUM-elev i årskurs ett erbjuds multisensorisk undervisning. Vilket lärande som sker, vilka synliga effekter som finns samt vilken påverkan undervisningen har för elevens taluppfattning undersöks.
2.2 Frågeställningar
• Vilket lärande är synligt i undervisning med multisensoriskt approach för en elev i särskilda utbildningsbehov i matematik?
• Vilka effekter är synliga efter genomförd intensivundervisning i matematik?
• På vilket sätt påverkas elevens grundläggande taluppfattning i talområdet 0-10?
3. Teoretisk bakgrund
I detta avsnitt beskrivs vad det betyder att kunna matematik utifrån denna studie. Sedan följer en beskrivning av de delar av matematikundervisningen som är av betydelse för studiens syfte där multisensoriskt lärande, intensivundervisning och motivation synliggörs. Slutligen beskrivs olika teoretiska perspektiv på lärande.
3.1 Taluppfattning
Nämnaren har publicerat en serie artiklar om number sense, ett engelskt begrepp som kan tolkas som taluppfattning. En god taluppfattning kännetecknas av att man har övergripande förståelse för tal och operationer tillsammans med förmågan och lusten att använda denna förståelse för att på olika sätt utveckla användbara och effektiva strategier vid användandet av tal (Reys m.fl., 1995). God taluppfattning kännetecknas av att eleven gör jämförelser för att pröva rimligheten i de resultat han/hon får fram. Vid god taluppfattning ses tal på som helheter som har olika betydelse och mening (a.a). Number sense eller taluppfattning beskrivs inte som ett avgränsat område som eleven behärskar utan snarare är det ett kunnande som utvecklas med kunskap och erfarenhet (Reys & Reys, 1995). Att ha förmåga och vilja att förstå och bruka tal i olika situationer och sammanhang hör till de mest grundläggande målen i all matematikundervisning (Reys m.fl., 1995).
Från de tidigaste stadierna i lärandet av tal, kan barn göra kopplingar som är viktiga och som etablerar en flexibilitet i deras tänkande som karakteriserar utvecklingen av taluppfattning.
Vissa kopplingar mellan tal görs genom mönster och är en viktig förberedelse för att kunna göra beräkningar (Anghileri, 2000). Att kunna handskas med talen i talområdet 0-10, har betydelse för att kunna generalisera kunskaperna till högre talområde (McIntosh 2010;
Anghileri, 2000). Att kunna dela upp och sätta samman talen 0-10 och automatisera additions- och subtraktionstabellerna 0-10 förknippas ofta med god taluppfattning (Anghileri, 2000). Att med säkerhet kunna handskas med dessa tal och ha en inre föreställning om talen och hur de kan organiseras för att exempelvis bilda par av tior är en god grund för fortsatt utveckling (a.a). Om dessa kopplingar inte görs riskerar eleven att fastna i ineffektiva strategier.
Matematisk förståelse involverar progressionen från praktisk erfarenhet till att prata om erfarenheten först med informellt språk sedan i mer formella termer (Anghileri, 2000).
Forskning visar att det finns ett samband mellan inre representation av tallinjen och kunskaper som berör tal, grundläggande addition och subtraktion och räknestrategier (Ramani & Siegler, 2008). Med tanke på den mentala tallinjens betydelse för utvecklingen av taluppfattningen är det viktigt med inre mentala representationer av tallinjen (a.a.).
I det centrala innehållet i skolans styrdokument LGR 11 beskrivs angående taluppfattning och tals användning för årskurs 1-3 att eleven ska kunna; ”Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen kan delas upp och hur de kan användas för att ange antal och ordning” (Skolverket, 2011, s. 63). Ett sätt att beskriva tal och god taluppfattning är utifrån tre perspektiv där uppmärksamheten riktas mot talen och räkneordens innebörd, egenskapen hos tal, och relationen mellan tal och omvärlden, det vill säga hur vi använder och var i vår omgivning tal finns (Sterner & Johansson, 2006). God taluppfattning innebär en förståelse för alla dessa aspekter av tal (a.a).
När man i Storbritannien undersökte vilken matematik som behövdes i arbetslivet fann man att göra ungefärliga uppskattningar var den mest användbara matematiska aktiviteten (Boaler, 2011). När elever ska göra uppskattningar kör de ofta fast och försöker istället göra en exakt beräkning och sedan avrunda den på något sätt så det ser ut som en ungefärlig uppskattning.
Detta beror bland annat på att eleverna inte utvecklat en god känsla för tal, taluppfattning, som skulle kunna hjälpa dem att göra en ungefärlig bedömning (a.a). För att förstå och utforska olika matematiska idéer används symboler och matematiska begrepp men de i sig är inte matematik utan redskapen för att uppleva matematiken som rolig och intressant (Boaler, 2011).
3.2 Matematisk förmåga
Svenska Skolverket definierar matematisk förmåga i LGR 11. Här beskrivs detta i kursplanen för matematik där man skriver att undervisningen ska ge förutsättningar för eleven att utveckla sin förmåga att; formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp, välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter, föra och följa matematiska resonemang och använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser (Skolverket, 2011, s. 63).
I Danmark genomfördes ett projekt för att undersöka matematikundervisning och lärande, det danska KOM-projektet, Competencies and the learning of mathematics (Niss, 2002). I projektet kom man fram till och beskrev matematiskt kunnande i åtta olika kompetenser uppdelade i två huvudgrupper; den första gruppen har att göra med förmågan att kunna fråga och svara i och med matematik. De olika förmågorna som beskrivs i denna grupp är;
tankegångskompetens, problembehandlingskompetens, modelleringskompetens och resonemangskompetens. Den andra gruppens kompetenser som beskrivs utifrån projektet har att göra med förmågan att kunna hantera matematikens språk och symboler vilka beskrivs som representationskompetens, symbol-och formalismkompetens, kommunikationskompetens och hjälpkompetens (a.a).
Kilpatrick et.al (2001) beskriver vad som menas med att lära matematik framgångsrikt, mathematical proficiency eller matematisk kompetens. De beskriver matematisk kompetens utifrån 5 kompetenser som hör ihop och är beroende av varandra. Dessa fem kompetenser beskrivs som begreppslig förståelse - förståelse av matematiska begrepp, operationer och relationer. Procedur flyt - skicklighet i utförandet av procedurer flexibelt, korrekt, effektivt och lämpligt. Strategisk kompetens - förmåga att formulera, representera och lösa matematiska problem. Produktivt förhållningssätt - vanemässig benägenhet att se matematiken som vettig, nyttig och givande, i kombination med en tro på flit och sin egen effektivitet. Adaptivt resonemang - förmåga till logiskt tänkande, reflektion, förklaring och motivering.
3.3 Multisensorisk matematik
Grundläggande matematiska begrepp bör läras in med hjälp av material, laborativt material, föremål, bilder samt något vi kan ta på och se. Det går inte att föreställa sig att det lärs ut eller lärs in på något annat sätt (Chinn, 2011).
Matematik, siffror och tal är väldigt abstrakt. En förståelsebaserad, konkret inlärning där eleverna kan lära sig och förstå de olika aspekterna av siffror och tal är att föredra (Butterworth & Yeo, 2010). SUM-elever har lättare att förstå siffror och tal om de redan tidigt får använda laborativt material för att göra arbetet mer tydligt (a.a). Genom att starta med att arrangera olika mängder i mönster och grupper upptäcker barnen viktiga mönster som kan identifieras med tal och senare kan generaliseras till högre talområden (Anghileri, 2000). Att
sedan prata om erfarenheten och etablera ord och begrepp som relaterar till den visuella bilden är grunden för den mentala representationen (a.a).
Läraren måste vara säker på att materialet hjälper elevernas förståelse för arbetet och att materialet används på ett sådant sätt att det underlättar inlärningen och inte för att mekaniskt komma fram till svaret (Butterworth & Yeo, 2010). Materialet ska användas för två syften det ena är att hjälpa eleverna att tänka samtidigt som det ska främja den viktiga förståelsen. Det är också viktigt att välja ett material utifrån ämne och utifrån vad som ska förklaras så att materialet utvecklar och stödjer upptäckten av kopplingar och mönster (Chinn, 2011). Ma (1999) belyser att laborativt material är ett bra fordon, men att det inte nödvändigtvis leder till den rätta destinationen utan det är lärarens styrning som leder fram till destinationen. Detta kan tolkas som att det är fler faktorer som samverkar och leder till en god undervisning och elevers lust och lärande i matematik. Vad gäller material är kopplingen mellan just materialet och det symboliska uttryck som ska läras in, många gånger tydligt för läraren men inte för eleven och materialet i sig är inte självinstruerande (Chinn, 2011).
Genom att organisera mängder i olika mönster eller strukturer kan materialet befästa förståelsen men också bygga på grundläggande inre bilder och verktyg som kan användas framöver (Butterworth & Yeo, 2010; Chinn, 2011). Genom att utnyttja mönster och grupperingar kan eleven gå ifrån att räkna i ental till att utnyttja mönster för att känna igen siffervärden utöver 1. Det finns olika material som stödjer utvecklandet av att uppfatta mönster i mängder som bildar tal i det viktiga talområdet 0-10, exempelvis Stern-block, NUMICON® eller talväskan. Mönstret eller grupperingen hjälper också eleverna att koppla ihop siffrorna. Exempelvis 9 är ett mindre än 10, 10 är ett mer än 9. 5 är hälften eller halva 10:an. Dubbla 5 och det är lika med 10 (Chinn, 2011). Ett exempel på mönster är NUMICON®s talblock (bild 1).
Bild 1 visar NUMICONs talblock 1-10.
Det är viktigt att elever utvecklar mentala bilder som associerar till materialet som används vid bearbetning av tal och taluppfattningen så eleven inte ständigt är beroende av materialet utan kan arbeta med fiktiva situationer. Studier har visat att ett viktigt steg i att gå från det konkreta till det abstrakta arbetet är det stadiet där föremål är föreställda (Anghileri, 2000).
Enkla bilder och figurer kan användas som förenklade representationer av konkret material (Butterworth och Yeo, 2010).
NTCM (National Council Of Teachers Of Mathematics) förespråkar multipla representationer och laborativt material för att bygga upp en matematisk förståelse. Användandet av laborativt material för att engagera elever i matematik kan ha en kraftfull effekt på lärandet.
Användandet av laborativt material är särskilt effektivt för elever med exempelvis inlärningssvårigheter, koncentrations-, uppmärksamhetssvårigheter och elever med psykiska funktionsnedsättningar (Witzel & Allsopp, 2007). Att få erfarenhet och upplevelser med laborativt material hjälper eleverna att utveckla begreppsförståelse (a.a).
Witzel och Allsopp (2007) pekar på betydelsen av multisensoriskt arbete för att elever ska kunna göra den viktiga kopplingen mellan matematisk förståelse och genomförandet av matematiska operationer. De menar också att arbetet med laborativt material stödjer kopplingen mellan redan vunnen, tidigare kunskap och nya begrepp. För att eleverna ska
uppnå framgång i matematik beskrivs tre kriterier som kan användas vid instruktioner och undervisning; Poängtera och påpeka att ”tänka högt” genom beräkningar och processer, koppla tidigare kunskap till nya begrepp och genom att tillämpa multisensoriska representationer som en ”påminnelse” av begreppet (a.a).
Matematikundervisningen blir ofta abstrakt fort (Butterworth & Yeo, 2010). Inom varje område i matematik är det viktigt att övergången mellan konkret och abstrakt arbete blir lyckad, vägled försiktigt eleverna från det konkreta till det abstrakta. Läraren har en betydande roll i att hjälpa eleverna att se kopplingen och sambandet mellan det konkreta laborativa arbetet och det abstrakta, skrivna eller muntliga arbetet (a.a).
För att utveckla de abstrakta strategierna kan eleverna först använda det konkreta materialet för att exempelvis bygga en talrad eller en modell. Sedan täcks materialet över och eleven uppmuntras att abstrakt söka lösningen på uppgiften. Materialet kan användas för att kontrollera svaret eller som stöd om eleven fastnar i sitt tänkande (Butterworth & Yeo, 2010).
Vidare kan läraren sedan uppmuntra eleverna att lösa uppgifter abstrakt genom att föreställa sig och anknyta till det laborativa, konkreta arbetet och modellen men eleven bör veta att den kan använda det konkreta materialet om den vill och behöver. Så småningom får eleverna lösa uppgifterna fullt ut abstrakt (a.a).
3.4 Intensivundervisning
För SUM-elever är en strukturerad undervisning viktig. Det kan innebära att undervisa i små progressiva steg, att arbeta utifrån elevens tidigare kunskaper och genom att undervisningen har ett multisensoriskt approach. Det är också viktigt att arbetet får ta den tid den tar för att tillägna sig den grundläggande talförståelsen och talsystemet. En viktig del i den strukturerade undervisningen är att undervisningen är intensiv och cyklisk (Butterworth & Yeo, 2010).
Torgesen m.fl. (2001) har i sin forskning genomfört intensivundervisning i läsutveckling för elever med svåra och allvarliga lässvårigheter. Studiens syfte var bland annat att bidra med information om vilka förutsättningar som behövs för att avhjälpa lässvårigheter hos barn. I studien deltog sextio barn i en intensiv en-till-en-undervisning som bestod av två 50 minuters lektioner per dag under åtta veckor. Forskningen baseras på två olika undersökningar där båda visar stora förbättringar i läsförmåga vad gäller noggrannhet vid avläsning (avkodning) och läsförståelse. I forskningen följdes elevernas läsförmåga upp under men även efter en tvåårs- period. Inom ett år efter interventionen visade resultatet att 40 % av barnen inte längre var i särskilda utbildningsbehov.
Lundqvist, Nilsson, Schentz och Sterner (2011) beskriver ett utvecklingsarbete i matematik där en del gäller intensivundervisning i förskoleklass till årskurs 6. De elever som gjorde de största framstegen förbättrade sina resultat med 30 % efter genomförd intensivundervisning.
De menar att det goda resultatet och framgången beror på fler faktorer bland annat att klassundervisningen och intensivundervisningen är väl strukturerad och samverkar med varandra. Elevens motivation och insats är av betydelse vilket hänger nära samman med betydelsen av förväntningar på elevens förmåga. Intensivundervisning i Lundqvists m.fl.
(2011) utvecklingsarbete innebar att en elev förutom undervisning i klassen även fick stöd av en lärare eller speciallärare som var behörig för att undervisa i matematik under en period om 10-11 veckor.
Pilebro, Skogsberg och Sterner (2010) beskriver ett arbete där SUM-elever i årskurs nio deltar i intensivundervisning i matematik. Likt Lundqvist m.fl. (2011) beskriver Pilebro, Skogsberg
& Sterner (2010) att undervisningen byggde på en noggrann dokumenterad bedömning av
elevens aktuella kunskaper och färdigheter i matematik. Undervisningen var noga planerad utifrån elevens behov och med fokus på ett specifikt kunskapsmål.
För att kunna vägleda och ge effektiv återkoppling samt tillräckligt med tid för SUM-elever behöver man ofta skapa en annan miljö än den de flesta klassrum kan tillhandahålla. Många studier visar att ju mer tid som ägnas åt en uppgift desto större är chanserna att bli bra på att klara av uppgiften, den så kallade ”Time on task”, TOT-principen (Lundberg & Sterner, 2009). Samtidigt är det viktigt att uppmärksamma vad eleven tränar, så det blir sådana kvaliteter som gynnar och stödjer en progression i elevens lärande (a.a).
Genom en-till-en-undervisning, en elev får enskild undervisning av en lärare, finns möjlighet att uppnå effektiv TOT. Flera undersökningar visar att intensiv en-till-en-undervisning under en begränsad period kan vara särdeles effektiv (Lundberg & Sterner, 2009). I en-till-en- undervisning kan man lättare fånga elevers uppmärksamhet och finna viktiga ögonblick för lärande. Eleven kan med denna undervisningsform också få omedelbar bekräftelse och möjlighet för korrigering vid ineffektiva strategier och arbetssätt (a.a). För att vara säker på att SUM-elever får tillräckligt med repetitioner är det också viktigt med matematiklektioner varje dag (Butterworth & Yeo, 2010).
I England har studier genomförts (DCSF, 2008) som visar att en-till-en-undervisning förbättrar måluppfyllelsen och har goda effekter på läsning, skrivning och matematik. Studien beskriver även att en-till-en-undervisning bygger upp självkänslan, självförtroende och utvecklar grundläggande inlärningsfärdigheter. Vilket även resultatet i Lundqvists m.fl.
(2011) och Pilebro, Skogsberg och Sterners (2010) utvecklingsarbeten pekar på.
3.5 Självförtroende, motivation och matematik
Motivation är inte en egenskap hos individen utan en följd av de erfarenheter man gör (Jenner, 2004). För att skapa eller behålla motivation är det viktigt att som pedagog vara medveten om vad upprepat misslyckande kan göra med självförtroendet för eleven samt vara medveten om vilken avgörande betydelse förväntningar kan ha (a.a). Självförtroende har också identifierats som särskilt viktig för yngre barn och att undvika offentliga misslyckanden är därför viktigt att sträva efter (Gifford, 2004). För att stärka elevers självförtroende och motivation behöver lärare göra själva undervisningen meningsfull. Detta sker bäst om man utgår från elevens perspektiv, försäkrar sig om att uppgifterna är tillräckligt utmanande och intressanta (a.a).
Att tidigt misslyckas på ett socialt högt värderat område kan få förödande konsekvenser för självbilden. Om inte mötet med matematik eller läsning blir fyllt av glädje utan i stället blir en förvirrande upplevelse kan man lätt komma in i onda cirklar; nederlag föder nya nederlag. En upplevelse av att inte förstå, inte vara delaktig och att inte duga till kan leda till att eleven tappar tron på sin förmåga att lära sig något över huvudtaget i skolan (Lundberg & Sterner, 2004).
Motivation kan också kopplas till känslomässiga tillstånd, så som exempelvis ångest.
Specifikt matematiska aktiviteter kan orsaka ångest och inte någon annan allmänt känd svår uppgift (Butterworth & Yeo, 2010; Gifford, 2004). Ångest i sig kan hämma prestationer på olika kognitiva funktioner inklusive de som kan påverka matematiska prestationer som exempelvis arbetsminnet (a.a). När elever kommit tillkorta på ett av skolans viktigaste områden behövs mycket uppmuntran, tillit och bekräftelse samt mänskligt stöd. Det är i mötet
med en annan människa som det kan öppnas nya vägar för utveckling (Lundberg & Sterner, 2009).
SUM-elever kan komma att uppleva en del känslomässiga konsekvenser i matematiksituationer för trots stora ansträngningar tycker eleverna inte att de når så långt i sin inlärning. De känner ofta missmod under matematiklektionerna och utvecklar ofta strategier för att undvika matematiklektionerna, till exempel genom att vässa pennan och gå på toaletten (Butterworth & Yeo, 2010).
3. 6 Teoretisk ram
Det teoretiska ramverk som används i studien består av Bruners teori (1971) om representationer och Vygotskijs sociokulturella perspektiv på lärande.
3.6.1 Bruners teori om representation
Bruner utvecklade på 60-talet en teori där omvärlden behandlas och förstås genom olika former av representationer (Bruner, 1971). Han menar att det finns tre former av representation, framställningar av världen och sätt att omvandla erfarenheter till modeller.
Dessa representationer beskrivs som den enaktiva som är handlingsbaserad, omvärlden uppfattas och hanteras genom handlingar. Den ikoniska som är bildbaserad, att utöver handlingar också förstå omvärlden med hjälp av bilder och den symboliska som är språkbaserad.
Närmare kan detta beskrivas som att människan har utvecklat tre parallella system för bearbetning av information och för återgivandet av den. Ett system som använder sig av handling och manipulation, ett som bygger på organisation av varseblivningar och bilder och ett som utnyttjar en apparat av symboler. Det är inte en fråga om stadier utan mer en fråga om att tonvikten läggs på olika saker under utvecklingens gång. Dessa tre representationer fungerar sida vid sida, en och samma handling kan vara representerad i alla tre system samtidigt (Bruner, 1971).
Den enaktiva representationen är den första barnet använder, denna representationsform innehåller ett vetande om vad man kan eller ska göra. Det är hantering av olika objekt och annat synligt beteende som är vanemässigt och mer eller mindre automatiserat. Vi vet och kan mycket som vi inte kan uttrycka med ord eller bilder (Bruner, 1971). Ett tydligt exempel är att lära någon att cykla då bilder och ord spelar en ganska obetydlig roll (a.a).
Den ikoniska representationen beror av visuella eller andra sensoriska organisationer. Barnet har skapat sig visuella föreställningar och sammanfattande bilder. Bruner (1971) beskriver den ikoniska representationen som en ekonomisk omvandling av handlingen, den poleras och kompletteras, dessa kan sedan användas som inre bilder för konkret tänkande.
Den sista representationsformen är den symboliska där barnet språkligt eller genom symboler kan framställa eller återge något. Symbolhantering innebär att det inte finns någon direkt likhet mellan symbolen och det som den symboliserar exempelvis så syftar ordet val på ett mycket stort djur och ordet mikroorganism syftar på ett mycket litet. Det symboliska syftar inte heller till något fysiskt närvarande föremål eller händelse. Bildandet av det symboliska systemet baseras på erfarenheter som omvandlas till språkliga uttryck (Bruner, 1971).
Bruner har i sin teori fäst stor vikt vid språkets betydelse för lärande och tänkande. Språket kan ses som en verksamhet och aktivitet för att interagera med sin omgivning och för att
kommunicera med andra. När barn lär sig ett språk blir språket ett medel för att kunna delta och påverka interaktionsförlopp (Bruner, 1990 i Säljö, 2000).
Bruner (1971) beskriver att den intellektuella utvecklingens framsteg tycks inträffa när en viss förmåga börjar utvecklas. Den ordningsföljd de framträder är mycket bunden men är inte i klart samband med ålder. En del miljöer kan göra att utvecklingen går långsammare eller avstannar medan den i andra kan gå snabbare. Människor tillägnar sig och formas av deltagandet i kulturella aktiviteter och de använder olika redskap som finns i kulturen där individen befinner sig (Bruner, 2002). Grundläggande för all utveckling och undervisning är omgivningens gestaltning i samspelet miljö-individ.
I en studie genomförd tillsammans med åttaåringar fick barnen en timmes undervisning om dagen, fyra gånger i veckan under en period av fyra till sex veckor. Studien beskriver att barnen först gavs, med hjälp av konkreta konstruktioner, en uppfattning av de matematiska begreppen som behandlades. Utifrån dessa konstruktioner uppmuntrades sedan barnen att skapa sig perceptuella bilder av de matematiska begreppen i termer av de former som konstruktionerna tagit. Barnen uppmuntrades sedan att ytterligare utveckla och lägga till ett symbolsystem eller beskrivning av konstruktionen (Bruner, 1971).
Studien beskriver de olika delarna i Bruners teori där barnen först arbetar konkret med att på olika sätt lösa problemet och samtidigt uppmuntras att beskriva, anteckna eller rita bilder av olika alternativa lösningar. Pedagogerna hjälper till med språket och ger olika uttryck, fraser och ord som kan beskriva den matematiska sekvensen. Dessa meningar formuleras sedan i olika matematiska uttryck med hjälp av symboler. Barnen kan hela tiden gå tillbaka till sina konkreta konstruktioner för att kontrollera sin lösning (Bruner, 1971).
En stor vinst och upptäckt i studien var den att barnen inte bara förstod den abstraktion de hade lärt sig utan de hade ett förråd av konkreta bilder som användes som exempel på abstraktioner. När de skulle ta itu med nya problem kunde dessa inre bilder ”paras ihop”, de var viktiga konkreta stöd för deras tankegång (Bruner, 1971). Ytterligare vinster som upptäcktes i studien var att barnen utvecklar en grundlig förståelse för den matematiska uppgift de var i kast med och att dessa kunskaper vid annat tillfälle kunde generaliseras till andra områden samt att barnen använde det abstrakta språket med smidighet och förståelse.
Bruner (1971) poängterar att vi undervisar för att få eleverna att på egen hand tänka matematiskt, att ta del i en process som leder till kunskap. Det hela handlar om en process, inte en produkt. Om undervisningen ska vara effektiv i ett klassrum behöver den innehålla olika sätt att aktivera barnen och olika sätt att presentera sekvenser. En undervisning ska innehålla många olika vägar för barnen att nå målen.
Piagets stadieteori beskrivs kortfattat i följande avsnitt då Bruner anses ha utvecklat sin teori utifrån Piagets stadieteori (se exempelvis Bruner, 1971; Rains, Kelly & Durham, 2008). Ett rationalistiskt perspektiv på tänkande och kommunikation karakteriseras av att utveckling ses som en process som kommer inifrån. Det som finns hos människan är en given och medfödd förutsättning. Omvärlden finns som en omgivning som kan upptäckas och förstås (Säljö, 2000).
Det som dock skiljer Piaget från tidigare traditionella rationalister är hans starka betoning av barnets aktivitet i förhållande till omgivningen för dess utveckling (Säljö, 2000). Kunskap är inte något som lagras i barnet som en kopia av verkligheten utan skapas av individen. Det är när barnet är i kontakt med omvärlden genom att känna objekt och kombinerar intryck som
det upptäcker hur omgivningen fungerar. Intellektets mognad är en utveckling som går mot en allt högre grad av förmåga till abstraktion (Säljö, 2000). När man nått högsta utvecklingsstadiet förstår man relationen mellan objekt och konsekvenser av händelser utan att fysiskt pröva dem (a.a).
De kognitiva strukturer eller scheman som barn utvecklar är organiserade i mönster som skiljer sig åt beroende på ålder och erfarenhet. Detta beskrivs i den stadieteori som Piagets forskning är starkt förknippad med. Stadieteorierna kan kortfattat beskrivas som att människan genomgår olika utvecklingsnivåer med skilda sätt att förhålla sig till omvärlden på.
Idén är att det sker en utveckling i abstrakt tänkande och intellektuellt tänkande. Stadierna beskrivs som den senso-motoriska perioden, preoperationella, och konkreta perioden och slutligen de formella operationernas stadie (Säljö, 2000). I de formella operationernas stadium kan barnet genomföra abstrakta resonemang, tänka logiskt och har förmåga att göra antaganden av olika slag. Barn som befinner sig i de konkreta operationernas stadium är mer beroende av vad de ser och hör (a.a).
3.6.2 Vygoskijs sociokulturella perspektivet på lärande
Ur det sociokulturella perspektivet utvecklar en individ kognition genom samspel och socialt interagerande. När det handlar om frågor kring kommunikation, omvärldsuppfattning och tänkande handlar det inte om biologiska processer eller förlopp utan om utveckling som sker inom kulturella eller sociala ramar. Utveckling kommer efter lärande och när ett barn förstått meningen med en uppgift börjar utvecklingen (Säljö, 2000).
Säljö (2000) beskriver den kognitiva utvecklingen i förhållande med omgivningen och utifrån de resurser som finns att tillgå i omgivningen. Han menar också att vi i varje situation har möjlighet att ta till oss och ta över kunskaper från våra medmänniskor i samspelssituationer.
Barn kan med stöd och struktur från exempelvis sin mamma lösa en uppgift de annars inte skulle klarat lösa och barnet lånar då kognitiv kompetens från sin mamma för att senare kunna göra den till sin egen (a.a).
Vår utveckling är inte direkt bestämd av vår egen aktivitet i förhållande till omvärlden. Vi lär oss att uppmärksamma och agera i verkligheten på det sätt som omgivningen tillåter och uppmuntrar (Säljö, 2000). Vygotskijs syn på relationen mellan lärande och utveckling är att det inte är åtskilda processer men behöver inte heller vara samtidiga. Välplanerade undervisningsprocesser kan bana väg för utveckling (Skott, 2010).
Vygotskij inför det begrepp som hans teori är mest omtalad för, nämligen den proximala utvecklingszonen, ofta kallad ZPD för engelskans ”Zone of Proximal Developement” och kan beskrivas som den närmaste utvecklingszon som barnet kan röra sig in i genom det lärande barnet befinner sig i (Skott, 2010). Lärandet skapar en utvecklingspotential till exempel mot ett mer abstrakt tänkande genom att barnet arbetar tillsammans med exempelvis andra elever eller en lärare med aktiviteter som kräver sådant tänkande. Undan för undan utvecklar barnet självt förmågan att just tänka abstrakt. Denna utveckling sker då inte direkt efter samarbetet med läraren. Den närmaste utvecklingszonen är ett möjligt resultat av deltagande i social kontext. Olika typer av undervisning kan alltså sätta igång olika typer av lärande och utvecklingsprocesser (a.a).
Piagets, Bruners och Vygotskijs teorier indikerar alla att det är nödvändigt att använda flera olika metoder för att presentera matematiska begrepp på grund av att elever i samma ålder inte nödvändigtvis är i samma stadie av beredskap mentalt (Rains, Kelly & Durham, 2008).
Dessa metoder bör innehålla multisensoriska undervisningstekniker (a.a).
3.6.3 Sammanfattning av den teoretiska inramningen
Bruner, Vygotskij och Piaget erbjuder olika vinklingar inom sina teorier som kompletterar varandra, i synen på barns mentala utveckling (Rains, Kelly & Durham, 2008). Piaget introducerar idéerna om nivåer i ”mental beredskap” beträffande hur barn interagerar med omvärlden. Bruner bygger på Piagets idé med att det inom varje stadie finns nivåer som läraren kan utmana och använda. Bruner belyser även lärarens funktion som då kan bidra med exempelvis symboler och språkliga uttryck och även fungera som en koppling mellan det barnet gör och upplever och symboler och språk. Vygotskij kompletterar slutligen genom att introducera idén om att social interaktion kan underlätta övergången från ett stadie till nästa och att ett barns prestation kan påverkas oberoende av övergången (a.a).
I Piagets betoning av barnets aktivitet i förhållande till omgivningen finns likheter med ett sociokulturellt perspektiv (Säljö, 2000). Beskrivningen av att kunskap kommer ur aktivitet och inte är en avbildning av verkligheten utan konstrueras av individen syns i båda perspektiven (a.a). Rains, Kelly och Durham (2008) menar att det utifrån dessa teorier finns några saker som bör poängteras och som kan vara av intresse för en undervisande lärare; Att ett barn ännu inte förstått abstrakta begrepp kan förklaras med var i utvecklingen ett barn för tillfället befinner sig. Ett barn utvecklar begrepp utifrån förståelsen av tidigare begrepp.
Läraren spelar en viktig roll genom att använda lämplig metod och lämpligt språk. Lärare kan behöva närma sig olika barn på olika sätt med materialet och begreppen som ska läras in (a.a).
Bruners teori om representationer och Vygotskijs sociala perspektiv på lärande är i denna studie relevanta för att de kompletterar varandra i arbetet med att förstå vilket lärande som sker när en intensivundervisning med multisensoriskt approach genomförs och vilka effekter undervisningen har. De kommer att användas för att få syn på olika delar av lärandet.
Vygotkijs teori används för övergripande analys för förståelse av samspelet och kontexten i intensivundervisningen i matematik där endast en elev och en lärare interagerar. Bruners teori används för att förstå lärandet ur ett perspektiv för den multisensoriska undervisningen.
4. Metod
I detta avsnitt ges först en beskrivning av studiens ansats. Därefter kommer en redogörelse av studiens design och deltagare. Sedan ges en mer utförlig beskrivning av de olika metoderna för insamling av empiri. Slutligen ges en redogörelse av vilka överväganden som gjorts.
4.1 Forskningsansats
Den här studien har en kvalitativ ansats med ambitionen att fånga in och analysera en specifik undervisningssituation där en SUM-elev multisensoriskt får möta matematik med utmaningar anpassade utifrån elevens tidigare erfarenheter, kunskap och förutsättningar. Motivet med att observera undervisningen är att som pedagog förstå vilket lärande som sker i en multisensorisk miljö samt förstå vilka effekter intensivundervisningen kan ha. Forskare som arbetar med kvalitativa studier analyserar bland annat livshistorier eller beskriver särdrag i till exempel ett hem, ett klassrum, en skola eller organisation (Suter & Frechtling, 2000).
Studiens ansats kan till viss del liknas vid en etnografisk ansats. Den etnografiska forskaren verkar i den aktuella miljön och försöker genom ett deltagande uppfatta den aktuella kulturen (Patel & Davidson, 2011). Vilket är något som stämmer överens med ansatsen för denna studie. Detta kan omfatta att studera handlingar, men även tankar och känslor (a.a.) Etnografiska studier beskrivs ofta innehålla observationer av hur deltagare i en viss miljö beter sig (Bryman, 2001). Forskaren söker förståelse för en grupps kultur och människors beteende inom ramen för denna kultur (a.a). I denna studie ligger inte fokus på människor beteende och skiljer sig därmed från andra etnografiska studier. Studien kan däremot även liknas ha en etnografisk ansats vad gäller att utveckla en förståelse för händelser i en viss kultur. I denna studie kan det tolkas som att genom människors beteenden studera kulturen i en viss miljö, I detta fall betyder det lärandet i matematik och det sociala samspelet i en multisensorisk undervisningsmiljö.
4.2 Studiens utformning och deltagare
Studiens design kan beskrivas som en kvalitativt inriktad fallstudie där undersökaren försöker få en djupare inblick i ett avgränsat fall, det kan då röra sig om ett område, en grupp, en individ eller en organisation och kännetecknas av att noga syna alla delar av ett problemfält (Harboe, 2013; Suter & Frechtling, 2000). De flesta fallstudier inom pedagogik rör praktiska problem utifrån ett helhetsperspektiv (Merriam, 1994). Fokus i fallstudier ligger på processen snarare än på resultatet och är en passande metod för att tolka och förstå observationer av pedagogiska företeelser. Fokus ligger också ofta på kontexten snarare än på specifika variabler och på att upptäcka snarare än att bevisa (Merriam, 1994).
Fallstudier som tillvägagångssätt är bra för de situationer där man först behöver förstå innan man kan förbättra praktiken (Merriam, 1994). Vanligt vid fallstudier är användandet av en mängd olika metoder för att gå på djupet i just det fallet (Johansson & Sveder, 2010). I denna studie innefattar den kvalitativa fallstudien; deltagande observationer, samtal och en intervention. Studien genomförs i en intensivundervisning med multisensoriskt approach för 1 SUM-elev i årskurs ett.
Den urvalsstrategi som använts i studien kan beskrivas som målinriktat eller ändamålsinriktat urval. Det målinriktade urvalet baserar sig på antaganden om en önskan att förstå och få insikt samt att upptäcka. Urvalet bör därför göras på ett sådant sätt att man lär sig så mycket som möjligt (Merriam, 1994). Urvalet kan även beskrivas som ett kriterierelaterat urval som kräver att urvalet baseras på ett antal kriterier som är väsentliga och att man söker efter en grupp, individ eller enhet som motsvarar kriterierna (a.a).
I denna studie innehåller dessa kriterier i första hand bedömningen att eleven är i särskilda utbildningsbehov i matematik, samt att eleven och föräldrarna var intresserade av att delta i en intensivundervisning och i denna studie.
I studien deltar en elev i årskurs ett och en lärare. Eleven har identifierats som en elev i särskilda utbildningsbehov i matematik och läraren som undervisar är även undersökare och författare till arbetet. Intresset till att genomföra denna studie tillsammans med just denna elev kom från undervisningssituationer där eleven och läraren möts. I dessa situationer var läraren inte involverad i elevens undervisning utan mötet skedde under andra förutsättningar och former. Eleven upplevdes då ha en osäkerhet och nästan obehag inför symboler inom matematik, något som fångade nyfikenheten och intresset. Eleven använde då, som många barn, sig av fingrarna för att göra beräkningar och för att förstå matematiska situationer (se exempelvis Chinn, 2011), men tycktes stöta på problem även där när fingrarna på en hand inte räckte till. En viss uppgivenhet och kanske frustration kunde anas när han såg hur kompisarna räknade. Läraren blev då intresserad av att undersöka olika vägar och utvecklingsmöjligheter i undervisningen som skulle kunna bidra till utvecklingen av matematiskt tänkande. Vanligt vid fallstudier är att söka svar på frågorna hur och varför, men inte så ofta vad-frågor (Suter &
Frechtling, 2000).
4.3 Interventionen
I följande avsnitt beskrivs interventionen som bestod av en intensivundervisning på 12 lektionstillfällen á 30 minuter per lektion. Lektionerna var förlagda under en 4 veckorsperiod och behandlade grundläggande taluppfattning 0-10. I undervisningssekvensen ingick även ett för- och eftertest som även de beskrivs under avsnittet för intensivundervisningens lektioner, sammantaget gav det 14 lektionstillfällen.
Inledningsvis ges en beskrivning av det undervisningsmaterial som använts i studien. Eleven och läraren har arbetat med NUMICON®, ett matematikmaterial där eleven har visuellt, kinestetiskt stöd. I undervisningen kombinerades detta med verbala och visuella matematiska uttryck samt verbalt och visuellt symbolspråk för siffrorna 0-10, =, – och +.
4.3.1 NUMICON®
NUMICON® utformades för att utveckla förmågor hos eleverna som gör det lättare för dem att förstå och handskas med tal och antal (Atkinson, Tacon & Wing, 2009). Syftet med materialet är bland annat att ge eleverna möjligheten till att utveckla en bas för grundläggande antalsuppfattning. Talblockens utformning syftar till att låta eleverna observera, hantera och upptäcka mönster men syftar också till att hjälpa eleverna att se samband mellan talen samt lyfta fram matematiska begrepp och idéer. Ett av målen med arbetet med talblocken är att utveckla en rik uppsättning med begreppsbilder (a.a).
Ur materialet från NUMICON® användes följande för denna studie;
NUMICON®s talblock 1-10, basplatta, entalpluppar, snurror, hemliga påsar, bilder av talblocken, subtraktionsöverlägg 1-9 och kort med siffrorna 0-10. Undervisningen kompletteras med följande material; kort med symbolerna plus, minus och lika med.
Bild 2 visar materialet från NUMICON® som användes i studien. 4.3.2 Intensivundervisning
Intensivundervisningen genomfördes i en-till-en-undervisning där eleven och läraren träffades i en för eleven välbekant miljö. Varje lektion varade i cirka 30 minuter.
Intensivundervisningen behandlade den grundläggande taluppfattningen i talområdet 0-10.
Förtest och samtal var det som låg till grund för hur lektionerna planerades och genomfördes.
Vart eftersom lektionerna genomfördes reviderades också innehållet och utformningen allt utifrån elevens utveckling och den feedback läraren fick av eleven i undervisningssituationen.
Närmare beskrivs lektionssekvensernas innehåll, övningar kring talkamraterna 0-10, talens grannar det vill säga +1, –1, talraden 0-10 samt dubblor och nästan dubblor. Nedan följer en beskrivning hur dessa matematiska begrepp tolkas i denna studie.
Talkamraterna beskrivs enklast med ett exempel; talkamraterna för talet 7 är 3 och 4, 5 och 2, 1 och 6. Det vill säga de tal som tillsammans bildar talet 7.
Talets grannar är precis som namnet antyder de tal som är bredvid det tänkta talet, det vill säga talgrannarna till talet 7 är 8 och 6. Talgrannarna får man genom att addera eller subtrahera 1 till talet.
Dubblor kallas de uppgifter där två lika tal adderas med varandra, exempelvis 3+3 eller 4+4.
Nästa dubblor kallas de uppgifter där två nästan lika tal adderas med varandra, exempelvis 3+4, 4+5.
Talraden är de tal som kommer efter varandra i en rad, i detta fall 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
De övergripande syftena i lektionerna är att bidra med möjligheten till visuella representationer av talen 1-10, att upptäcka mönster i talraden samt hur talen förhåller sig till varandra. Syftet är också att bygga upp uttryck för additions- och subtraktions beräkningar.
4.3.3 Sammanfattning
Här följer en sammanfattning av genomförandet i samtliga lektioner. Lektionerna finns att läsa i sin helhet i bilaga A.
Under första lektionen genomfördes ett förtest för att kartlägga elevens taluppfattning och var i utvecklingen eleven befann sig. Grundläggande aritmetik, AG1, Diamant – diagnoser i matematik (Skolverket, 2013) var det test som användes (se bilaga B). Utifrån några av uppgifterna i testet fördes samtal om tankar och strategier.
Under andra lektionen startade undervisningssekvensen på 12 lektioner. Lektionen innehöll övningar för att bekanta sig med materialet från NUMICON® för att använda den enaktiva
och ikoniska representationen samt övningar med talkamraterna för talet 6. Enkla additioner i talområdet 1-10 samt talraden 0-10 för in den symboliska representationen tillsammans med NUMICON®. Muntliga matematiska uttryck för additionerna tränades, exempelvis ”tre plus två är lika med fem”. Detta för att även få in auditiva sinnet i samband med de olika representationerna.
Bild 3 visar 6-tornet som byggts, talkamraterna på basplattan samt talraden 0-10.
Den tredje lektionen innehöll likt föregående lektion övningar för talkamraterna för talet 6, övningar som tränade additioner i talområdet 0-10 och talraden 0-10 i den enaktiva och ikoniska representationen. För att kombinera den symboliska representationen med den enaktiva och den ikoniska representationen användes siffersymbolerna och talblocken i kombination med muntliga uttryck exempelvis ”tre plus fem är lika med åtta”.
Bild 4 visar snurrorna och talblocken som användes vid träning av additionstabellerna.
I den fjärde lektionen introduceras talkamraterna för talet 7 i den enaktiva och ikoniska representationen. En repetition av talkamraterna för talet 6 genomfördes. Muntliga additionsuttryck för talkamraterna tränades i den symboliska representationen med stöd i den ikoniska representationen och 6-tornet som tidigare byggts. Lektionen innehöll även övningar för additioner ur additionstabellerna 0-10. Det tränades genom att kombinera den enaktiva-, den ikoniska med den symboliska representationen genom talblocken och muntliga uttryck.
Bild 5 visar 7-tornet och talkamraterna för talet 7 på basplattan.
Under femte lektionen introducerades talkamraterna för talet 8. Lektionen innehöll en repetition av talkamraterna 6 och 7 samt övningar av additionstabellerna 0-10 och likhetstecknets betydelse. I dessa övningar kombineras den enaktiva representationen med den ikoniska och den symboliska representationen. Den enaktiva representationen är utgångspunkten i övningarna genom att talblock kombineras på olika sätt. Den ikoniska representationen frammanas med stöd av det taktila sinnet när eleven letar i den hemliga påsen efter talblocket. Den symboliska representationen kompletterade övningarna genom att siffer- och symbolkort fördes samman med talblocken.
Bild 6 och bild 7 visar talkamraterna för talet 8 med symboler och talblock samt likhetstecknets betydelse.
I den sjätte lektionen tränades talkamraterna 6, 7 och 8 samt att talkamraterna för talet 9 introducerades. Dessa talkamrater tränades genom att utgå från den enaktiva och ikoniska representationen, då användes talblocken. Sedan översattes arbetet till den symboliska representationen, då skrevs triader med siffersymbolerna för talkamraterna (se bilaga C).
Lektionen innehöll även en kombination av den enaktiva- ikoniska och den symboliska representationen i övningar om additionstabellerna 0-10 då användes växelvis talblock, muntliga uttryck samt siffer- och symbolkort.
Bild 8 visar talet 7 och dess grannar samt uttrycken ”åtta minus ett och sex plus ett.”
Lektion sju innehöll övningar där den enaktiva-, ikoniska- och den symboliska representationen användes som stöd för varandra i arbetet med talraden och talens grannar.
Detta tränades med talblocken och sifferkort och för att träna talens grannar i talraden jämfördes talblocken med varandra och subtraktionsöverlägg användes. Lektionen innehöll även en introduktion av talkamraterna för talet 10 då arbetet utgick från den enaktiva representationen övergick sedan i den ikoniska- och symboliska representationen genom att talkamraterna parades ihop och muntliga uttryck exempelvis ”åtta plus två är lika med tio”
tränades.
Bild 9 visar talraden där minusöverlägg och talblock 1 används för att träna +1, – 1 med hjälp av talraden.
Lektion åtta innehöll övningar som tränade additionstabellerna 0-10 med bland annat de hemliga påsarna. Det taktila sinnet användes då för att stimulera och framkalla den ikoniska representationen. Lektionen innehöll även övningar med talraden, talens grannar samt övningar som tränade dubblorna då användes den enaktiva- ikoniska och symboliska representationen parallellt genom talblock, siffer- och symbolkort samt muntliga uttryck. I samband med dessa övningar tränades även den kommutativa lagen.
Bild 10 visar dubblorna med talblock. Bild 11 visar additionsövning med de hemliga påsarna.
Lektion nio innehåller övningar för att befästa talraden 0-10 och talens grannar. Den ikoniska representationen tränades och stimulerades genom att talraden täcktes över och kopplingar gjordes till den symboliska representationen. Lektionen innehöll även övningar om talkamraterna för talet 10 och additionstabellerna 0-10. Additionstabellerna tränades genom att övningen befann sig i samtliga tre representationer med hjälp av talblock bilder av talblocken samt siffer- och symbolkort.
Bild 12 visar talblock och bilder av talblocken.
Under lektion tio tränades talkamraterna för talen 6, 7, 8, 9 och 10 samt dubblorna.
Additionstabellerna tränades denna gång genom att utgå från den symboliska representationen (genom en additionsuppgift i skrift på ett kort och som ett muntligt uttryck.) Sedan kopplades den symboliska representationen till den ikoniska- och enaktiva representationen genom talblocken som också benämns talkamrater eller dubblor. Detta görs för att vandra mellan de olika representationerna i olika riktningar för att synliggöra olika representationer av samma begrepp.
Lektion elva innehöll övningar av additions- och subtraktionstabellerna 0-10 samt kopplingen mellan addition och subtraktion. Övningarna utgick från elevens erfarenheter av addition och startar i den enaktiva- och ikoniska representationen likt arbetet med addition. Genom att utgå från talblocken och ett additionsuttryck, exempelvis ”fem plus tre är lika med åtta” kopplades addition till subtraktion genom att trean eller femman gömdes av ett subtraktionsöverlägg och ett nytt matematiskt uttryck användes exempelvis ”åtta minus tre är lika med fem”. Den symboliska representationen användes på lärarens initiativ. Under lektionen tränades även dubblor, talens grannar och talkamraterna för talet 10.
Bild 12 visar talkamraterna för talet 8, 3+5=8. Bild 13 visar det svarta subtraktionsöverlägget som gömmer en talkamrat, 8–5=3
Under lektion tolv tränades talraden och talens grannar för området 0-10 i alla tre representationerna. Talblock, sifferkort, minusöverlägg och olika muntliga uttryck för addition och subtraktion med ett användes. Den ikoniska representationen tränades och stimulerades när talraden täcktes över och kopplingar gjordes till den symboliska representationen som nu också tränades för att automatiseras. Lektionen innehöll också repetition av talkamraterna, de tränades genom att övningarna befann sig i samtliga tre representationer. Talblocken placerades på basplattan i kombination med additionsuttryck på uppgiftskort.
Bild 14 visar talraden med talblock och sifferkort. Bild 15 visar talet 7 och med talets grannar samt +1 – 1 med talblock ett och subtraktionsöverlägg för att få talet 7.
Under lektion tretton så tränades additionstabellerna 0-10 i samtliga tre representationer genom att talblocken lades fram, muntliga uttryck för additionen användes samt att additionen skrevs ned med symboler. Lektionen innehöll även en repetition av talkamraterna för talen 7 och 9 samt övningar som visade på kopplingen mellan talkamraterna och subtraktionsuppgifter och uttryck. Subtraktionsövningarna startade i den enaktiva och ikoniska representationen där talblocken användes för att identifiera talkamraterna exempelvis tre plus fyra är lika med sju. Den ena talkamraten gömdes sedan av ett subtraktionsöverlägg och vi fick en ny matematiskt uppgift exempelvis sju minus tre är lika med fyra. Den symboliska representationen användes av eleven på eget initiativ genom att de subtraktionsuppgifter som tränades i den enaktiva- och ikoniska representationen skrevs ned.
Lektionen avslutades med ett förberedande samtal om att lösa matematikuppgifter med endast symboler på tid.
