Högskolan i Halmstad
Sektionen för lärarutbildningen Lärarprogrammet
Matematiska kompetenser
– En studie av hur en lärobok i Matematik A speglar styrdokumenten
Examensarbete lärarprogrammet Slutseminarium: 14 januari 2009
Författare: Marielle Halltorp och Emma Persson Handledare: Bo Senje och Pernilla Nilsson
Medexaminatorer: Karl-Johan Bäckström & Christina Heimdahl Examinator: Anders Nelson
Sammanfattning
Det är vanligt att läroboken styr undervisningen i matematik, vilket innebär att tolkning av läro- och kursplaner görs utifrån läroboken. Vi tycker därför det är intressant att undersöka hur väl en lärobok i Matematik A speglar de nationella styrdokumenten. Detta har gjorts genom att vi kategoriserat uppgifter i läroboken utifrån sex matematiska kompetenser som Arbetsgruppen för nationella prov vid Umeå universitet har tolkat ur de nationella styrdokumenten. De sex matematiska kompetenserna används framförallt vid konstruktion av provuppgifter till nationella prov, därför tycker vi det är intressant att jämföra läroboken med nationella prov. För att detta skulle vara möjligt kategoriserade vi även uppgifter i nationella prov i Matematik A, utifrån de sex kompetenserna. Resultatet visar att den kompetens som inte kräver matematisk förståelse och som är kopplad till inlärda regler är överrepresenterad i läroboken, medan de övriga kompetenserna får litet utrymme. Detta visar på brister i lärobokens spegling av styrdokumenten, vilket är allvarligt då många lärare låter läroboken styra undervisningen och därmed sätter läroboken i fokus vid tolkning av målen. I de nationella proven är fördelningen mellan kompetenserna jämn, vilket visar en god spegling av de nationella styrdokumenten.
Innehållsförteckning
1 Inledning ...4
1.1 Bakgrund...4
1.2 Syfte ...5
1.3 Frågeställningar ...5
2 Relevant forskning ...6
2.1 Kvalitetsgranskningar av undervisning...6
2.2 Lärobokens betydelse i undervisning...6
2.3 Kategorisering av matematikkunskaper...7
3 Metodologisk utgångspunkt...10
3.1 Hermeneutik ...10
3.2 Val av matematikkurs, läromedel och uppgifter ...11
3.3 Kategorisering av uppgifter ...12
3.3.1 Problemlösningskompetens ...14
3.3.2 Algoritmkompetens...15
3.3.3 Begreppskompetens ...16
3.3.4 Modelleringskompetens...17
3.3.5 Resonemangskompetens ...18
3.3.6 Kommunikationskompetens ...19
3.4 Metoddiskussion...20
3.4.1 Etiska överväganden ...22
4 Resultat ...22
4.1 Hur ser fördelningen ut mellan de kompetenser som går att finna i läroboken i matematik A?.22 4.1.1 Lärobokens alla avsnitt ...25
4.2 Vilka skillnader och likheter finns ur ett kompetensperspektiv mellan nationella prov i matematik A och läroboken i matematik A? ...27
5 Diskussion...29
5.1 Läroboken ...29
5.2 Läroboken i relation till Nationella prov ...30
5.3 Tillförlitlighet och relevans ...32
5.4 Didaktiska implikationer för matematiklärare...33
5.5 Vidare studier ...33
6 Käll- och litteraturförteckning ...34 Bilaga 1
Bilaga 2 Bilaga 3
1 Inledning
1.1 Bakgrund
Som blivande matematiklärare för gymnasiet har vi uppfattat att undervisningen är mycket läromedelstyrd. Vi misstänker att denna typ av undervisning inte räcker för att tillgodose styrdokumenten, vilket gör oss oroliga. I Lusten att lära – med fokus på matematik (Skolverket, 2003b) framkommer att det vanligaste förhållningssättet i matematikämnet är att läromedel används som måltolkning, arbetsmetod och uppgiftsval.
Vi tror att en läromedelstyrd undervisning är en bidragande orsak till att elevernas matematikkunskaper inte är tillräckliga för att klara sig i livet utanför skolan.
Enligt Palm (2002) är det vanligt att elever inte använder sig av sin omvärldskunskap när de löser matematikuppgifter, vilket ger orealistiska svar. De två vanligaste orsakerna till detta verkar vara elevernas ytliga lösningsstrategier och deras föreställningar om att skolmatematiken inte hör ihop med verkligheten. Vi frågar oss varifrån dessa föreställningar kommer och hur det är möjligt att eleverna skiljer på skolan och verkligheten, när skolan i själva verket ska vara en förberedelse för livet. För att elever ska kunna klara sig i livet utanför klassrummet, är det viktigt att de konfronteras med problem i skolan som ger dem de rätta verktygen.
År 1994 genomfördes en skolreform i Sverige. Nya styrdokument i form av läroplaner, programmål, kursplaner och betygskriterier infördes. Matematikens övergripande syfte för gymnasiet, är att eleverna ska få kunskaper som stödjer vald studieinriktning och fortsatta studier, förmåga att kritiskt granska frågor i samhället och känna glädje för sin matematikutveckling (Skolverket, 2000).
Palm, Bergqvist, Eriksson och Häggström (2004) har gjort en analys av läroplan, programmål, kursplan och betygskriterier för den svenska gymnasiematematiken för att avgöra vilka matematiska kompetenser eleverna behöver för att klara ämnet matematik.
Analysen har gjorts av Arbetsgruppen för nationella prov vid Institutionen för beteende- vetenskapliga mätningar vid Umeå universitet. Gruppen har tolkat styrdokumenten och argumenterat sig fram till sex matematiska kompetenser som används för att konstruera
uppgifter i olika sammanhang i skolans verksamhet speglar vad som står i styrdokumenten.
Den 6 maj 2008 lyssnade vi på Boesens presentation av sin forskning, där han jämförde nationella prov med lärarkonstruerade prov. Han använde sig bland annat av de sex matematiska kompetenserna som är tolkade ur styrdokumenten av Palm m.fl. (2004), vilka vi kände igen från en didaktikkurs i matematik. Vi blev inspirerade att använda den metod som Boesen utformade till att göra en jämförelse mellan nationella prov och en lärobok i Matematik A.
Det har tidigare gjorts examensarbete där matematikkunskaper har kategoriserats, Eklund och Sundström (2006) har kategoriserat uppgifterna i en lärobok för matematik kurs B med hjälp av olika matematiska resonemang (Lithner, 2007). Andersson och Vernersson (2008) har kategoriserat uppgifter i läromedelsprov och nationella prov i matematik för årskurs 9 utifrån de sex matematiska kompetenser, som Palm m.fl. (2004) har tolkat ur styrdokumenten.
I denna uppsats har vi hela tiden arbetet med såväl litteraturgenomgång som skrivandet tillsammans. Dock har vi av kvalitetsskäl genomfört kategoriseringen av uppgifterna individuellt, vilket presenteras utförligare i kapitel 3.3.
1.2 Syfte
Syftet med uppsatsen är att undersöka om de matematiska kompetenser, som är tolkade ur de nationella styrdokumenten av Palm m.fl. (2004) och som används vid konstruktion av nationella prov, går att återfinna i en lärobok i Matematik A.
1.3 Frågeställningar
1. Hur ser fördelningen ut mellan de kompetenser som går att finna i en lärobok i matematik A?
2. Vilka skillnader och likheter finns ur ett kompetensperspektiv mellan nationella prov i Matematik A och en lärobok i Matematik A?
2 Relevant forskning
2.1 Kvalitetsgranskningar av undervisning
Skolverket (2003a) har gjort en nationell kvalitetsgranskning av tidsanvändningen i skolan. Resultatet redovisas i rapporten Tid för lärande – nationella kvalitets- granskningar. Det framkommer att läroboken i hög grad är styrande för arbetet i skolan och de anledningar som lärare ger är bland annat, att tiden inte räcker till och så har vi alltid gjort. Dessa orsaker ställs mot att elevers tid ska fyllas med aktiviteter som är noga övervägda av läraren för att på bästa sätt se till att målen uppfylls. I grundskolans senare del, gymnasieskolan och vuxenutbildningen har granskningar sällan observerat att elevernas lärande har utformats medvetet utifrån målen.
I en annan rapport från Skolverket (2003b) redovisas en nationell kvalitetsgranskning med titeln, Lusten att lära – med fokus på matematik. Det visar sig att den vanligaste undervisningsformen är att eleverna arbetar enskilt med i huvudsak samma innehåll, men i olika takt och ibland av olika svårighetsgrad. Eleverna saknar problemlösning och samtal som utvecklar begreppsförståelse, matematiskt tänkande och val av olika strategier. Det framkommer att det dominerande arbetssättet i matematik är en lärobokstyrd undervisning, vilket innebär att måltolkningen görs utifrån läroboken.
Resultatet blir en allför enformig och variationsfattig undervisning där de skyldigheter och möjligheter som tolkning av läro- och kursplaner innebär inte alls tas till vara.
2.2 Lärobokens betydelse i undervisning
Englund (1999) har i artikeln Lärobokskunskap, styrning och elevinflytande gjort en sammanställning av forskningen kring läromedel och läromedelstyrning. I de senaste läroplanerna för den obligatoriska och frivilliga skolan betonas elevinflytande tydligare än tidigare. Englund menar att ett hinder för elevinflyttande är lärobokens starka ställning i undervisningen, men att lösningen inte är att bortse från läroboken helt och hållet.
Istället bör lärare förändra sin syn på vilka mål som finns med undervisningen och börja förändra sitt arbetssätt med utgångspunkt i läroplanens anvisningar.
Johansson (2006) har i sin avhandling studerat vilken roll läroboken har i matematikundervisningen. Hon beskriver att läroboken har en unik status i undervisningen, vilket resulterade i en undersökning av läroböckers koppling till läroplanen. Studien visar att läroböcker i matematik inte diskuterar matematiken i ett vetenskapligt sammanhang tillräckligt mycket, vilket medför att eleverna inte får det historiska och samhälleliga perspektiv på matematiken som rekommenderas i styrdokumenten. För att undersöka lärares tankegångar vid planering av matematik- lektioner intervjuade Johansson tre lärare. Det visade sig att läroboken inte bara styr vilka uppgifter eleverna löser på lektionen, utan även vilka exempel som läraren använder sig av vid genomgångar. Genom att göra klassrumsobservationer har Johansson även konstaterat att problem kan uppstå när lärobokens lösning inte stämmer överens med vad läraren tror är en korrekt lösning. Det kan då orsaka tvetydighet om läraren är allt för fäst vid läroboken, istället för att leda till givande matematiska diskussioner kring olika lösningar.
2.3 Kategorisering av matematikkunskaper
The National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) är en amerikansk matematiklärarorganisation, vars uppgift är att stödja lärare i arbetet med att höja kvaliteten på matematikundervisningen. NCTM ifrågasätter föreställningen om att matematik bara är till för några få och menar att alla elever ska få möjlighet och hjälp att lära sig förstå grundläggande matematik. Principles and Standards for School Mathematics (2000) är utgiven av NCTM och sammanfattar de viktigaste komponenterna som behövs för att utveckla en matematikundervisning med hög kvalité. The Principles beskriver vilka viktiga faktorer som ska ingå i undervisning för att bästa resultat ska uppnås. The Standards är uppdelade i fem Constent Standards som beskriver vilka matematiska områden undervisningen ska innehålla och fem stycken Process Standards som talar om på vilket sätt eleverna ska åstadkomma kunskap inom dessa områden. Den
sammanlagda beskrivningen av Process Standards motsvarar de sex kompetenser som Palm m.fl. (2004) har tolkat ur de svenska styrdokumenten.
I Danmark har en grupp sammansatt av dansk Uddannelsesstyrelsen i samarbete med Naturvidenskabeligat uddannelsesråd utarbetat matematiska kompetenser, vilka ska ge idéer till hur undervisningen i matematik ska främja elevernas utveckling i Danmark.
Niss och Jensen (2002) har sammanställt resultatet av analysen i rapporten Kompetencer og Matematiklæring. Resultatet blev åtta kompetenser som är indelade i två huvudgrupper varav fyra innebär att kunna ställa frågor och svara, i matematik och med matematik, och fyra andra som innebär att behärska språk och redskap i matematik.
Utöver de åtta kompetenserna finns tre kompletterande aspekter som innebär att använda och förstå, matematiken i utommatematiska situationer, matematikens historiska utveckling och matematikens karaktär som ämne. De åtta kompetenserna samt den första och sista av de tre aspekterna har tillsammans liknande innebörd som de sex matematiska kompetenser som Palm m.fl. (2004) har tolkat ur de svenska styrdokumenten.
Lithner (2007) betonar problemet med att lärandet av matematik ofta är imitativt och att brist på kreativt matematiskt resonemang är vanligt i undervisningen. Med kreativt resonemang menas att lösningen ska innehålla ett resonemang som medför ett nytt tankesätt, flexibilitet, rimlighet och som är matematiskt grundat. Det är viktigt att eleverna kan föra ett kreativt resonemang i nya situationer där ett imitativt resonemang, som innebär att kopiera en lösning från en välkänd situation, inte skulle leda till en framgångsrik lösning. Lithner har utformat ett ramverk som kan användas vid analys av vilka matematiska resonemang som krävs för att lösa uppgifter. Ramverket är uppbyggt av de två huvudkategorierna imitativt och kreativt matematiskt grundat resonemang.
Utifrån tolkningar av läroplan, programmål, kursplan och betygskriterier för den svenska gymnasieskolan har Palm m.fl. (2004) argumenterat fram sex matematiska kompetenser som konkretiserar allmänna delar av styrdokumenten. De sex kompetenserna innebär kunskap om problemlösning, modellering, resonemang, begrepp, algoritm och kommunikation, vilka används som en konkret bas vid konstruktion av nationella prov, för att underlätta samstämmighet med styrdokumenten. De sex kompetenserna kan även
användas som ett ramverk för att kategorisera matematikuppgifter och på så sätt kontrollera samstämmighet med styrdokumenten.
Boesen (2006) redogör i sin avhandling för vilka matematiska resonemang (Lithner, 2007) och matematiska kompetenser (Palm m.fl. 2004) som krävs för att lösa uppgifter på nationella prov jämfört med lärarkonstruerade prov. Resultatet visar att de lärarkonstruerade proven till större del består av uppgifter som kräver ett mer imitativt resonemang medan de nationella proven till större del kräver ett kreativt resonemang. Det visade sig även att de nationella proven i större utsträckning testade alla sex matematiska kompetenser än vad de lärarkonstruerade proven gjorde. Anledningar till att de lärar- konstruerande provens utformning skiljer sig från de nationella proven visade sig vara att lärarna har låg medvetenhet om kunskapskategorisering, en önskan om att få så många elever som möjligt godkända och uppfattningen att alla elever inte kan uppnå alla matematiska kunskaper.
3 Metodologisk utgångspunkt
3.1 Hermeneutik
Hermeneutiken är en forskningsmetod där tolkning är centralt. Användningsområdet är ursprungligen tolkning av bibeltexter och studier av antika klassiker under renässansen.
En viktig utgångspunkt är att tolkning av enskilda delar måste sättas i relation till helheten för att förståelse ska uppnås, alltså kan en bibeltext endast förstås om den tolkas i relation till hela bibeln. Det är vanligt att illustrera problematiken kring helhet och del med hjälp av en cirkel, men metaforen har fått kritik eftersom en cirkel är sluten vilket gör att förståelsen återgår till utgångspunkten. Istället kan cirkel ersättas av en spiral, där förståelsen hela tiden förändras och blir djupare.(Alvesson & Sköldberg, 2008)
Palm m.fl. (2004) har gjort en textanalys av styrdokumenten vilket resulterade i sex matematiska kompetenser. Denna analys kan sägas vara hermeneutisk eftersom det gjorts tolkningar av styrdokumenten. De sex kompetenserna hjälper till att tydliggöra innehållet i styrdokumenten, som ofta upplevs svårtolkade. Den hermeneutiska textanalysen är en flerstegsprocess som startar med styrdokumenten som helhet, vilket följs av tolkningar av delar i texten, som leder fram till de sex matematiska kompetenserna. Utifrån kunskapen om dessa kan sedan förståelsen av styrdokumenten öka.
Vi har också gjort en hermeneutisk tolkning men av uppgifter i en lärobok i Matematik A utifrån de sex matematiska kompetenserna, vilket medför att undersökningen är kvalitativ. Kategoriseringen av lärobokens uppgifter gjordes utifrån det rangordningssystem som Boesen (2006) har utformat. Med hjälp av rang- ordningssystemet och de sex kompetenserna har matematikuppgifter kategoriserats, vilket sedan redovisades kvantitativt i form av diagram.
Det finns ingen direkt metod för hur tolkningar ska göras, utan det är upp till tolkaren att använda sin erfarenhet, kreativitet och fantasi. Vårt tillvägagångssätt bygger på tolkning i två steg, där första steget består av den tolkning som Palm m.fl. (2004) har gjort av styr- dokumenten. Det andra steget är den tolkning vi gjort av de uttolkade kompetenserna för att sedan kunna bedöma uppgifterna. (Starrin & Svensson, 1994)
3.2 Val av matematikkurs, läromedel och uppgifter
Matematik A är den enda matematikkurs som är obligatorisk på alla nationella program på svenska gymnasieskolan. Eftersom denna kurs berör flest elever har vi valt att använda den i vår undersökning. Antalet elever som läste matematik A år 2006/2007 var 150 845 enligt Statistiska Centralbyrån.
En läroboksförfattare och redaktionschefen på Natur och Kultur anser att Matematik 3000 kurs A (Björk, Borg, Borlin, Ekstig, Heikne, Larsson, 2002) är det ledande läromedlet i svenska gymnasieskolor, därmed har vi valt att använda denna lärobok i vår studie.
Dessutom har denna lärobok använts på de skolor där vi har haft vår verksamhets förlagda utbildning.
Det finns flera versioner av Matematik 3000 kurs A som riktar sig mot olika utbildningsinriktningar. Vi har valt den version som har det största omfattningen och som framförallt riktar sig mot samhällsvetenskapliga- och estetiska programmet.
En nyare upplaga av läroboken har gjorts som heter Matematik 4000 kurs A. Skolor verkar ännu inte ha köpt in detta läromedel på grund av ovisheten inför kommande gymnasiereform, vilket gjorde att vi valde Matematik 3000 kurs A. I uppsatsen kommer vi fortsättningsvis att skriva läroboken när vi åsyftar Matematik 3000 kurs A.
I läroboken är varje kapitel uppbyggt med minst ett Tema och en Historikruta.
Övningsuppgifterna inleds med Kan du det här? som eleverna kan använda som ett test för att se om de behärskar grundläggande begrepp. Saknar eleven kunskaper finns Grunduppgifter som ger ytterligare förståelse annars arbetar eleven vidare på A-, B- och C-uppgifterna. (Se bilaga 1) Alla kapitel avslutas med Hemuppgifter, Problemlösning, Blandade övningar, Arbete utan räknare och minst en Aktivitet.
Vi har kategoriserat Grund-, A-, B- och C-uppgifter i de sex kapitlen, eftersom dessa utgör det centrala i varje kapitel och det framförallt är dessa uppgifter som eleverna arbetar med. Vi har valt att bedöma deluppgifter, som i boken benämns med a, b, c…, som separata uppgifter och kan därmed tilldelas olika kompetenser. För att begränsa arbetets omfattning har vi bedömt hälften av uppgifterna, vilka valdes ut med hjälp av Excels slumptalsgenerator.
För att uppskatta om de avsnitt som inte är med i undersökningen skulle påverka resultatet har vi granskat dessa och försökt bilda oss en uppfattning om någon kompetens är överrepresenterad. Vi har även räknat ut hur stor andel i procent de olika avsnitten utgör av läroboken för att kunna avgöra deras omfattning.
3.3 Kategorisering av uppgifter
En matematikuppgift kan skapa möjlighet för eleven att visa flera kompetenser, vilket gör det relevant att använda ett rangordningssystem. Genom att kategorisera uppgifter utifrån ett rangordningssystem blir det möjligt att precisera en uppgift till en kompetens och resultatet blir därmed tydligare och mer lättolkat.
Boesen (2006) har utformat ett rangordningssystem för de sex kompetenserna. Lägst prioriterat är problemlösningskompetens och algoritmkompetens eftersom alla matema- tikuppgifter kan kategoriseras som någon av dessa två. Detta är tydligt i det ramverk som Lithner (2007) har utformat, där uppgifter antingen har ett imitativt resonemang (nära besläktat med algoritmkompetens) eller ett kreativt resonemang (nära besläktat med problemlösningskompetens). De övriga fyra kompetenserna har Boesen rangordnat genom att tolka de uppgiftstyper som Palm m.fl. (2004) har som exempel för respektive kompetens.
Rangordningssystemet blir följande:
1. Kommunikationskompetens 2. Modelleringskompetens 3. Resonemangskompetens 4. Begreppskompetens 5. Problemlösningskompetens 6. Algoritmkompetens
Figur 1. Beskrivning av rangordningssystemet för de sex kompetenserna (Boesen, 2006)
Utifrån den beskrivna ordningen har vi skapat ett schema som underlättar kategorisering av uppgifterna. Schemat består av frågeställningar som leder till den kompetens som lämpar sig bäst för uppgiften (se bilaga 2).
Vid kompetensbedömning av uppgifter krävdes det att vi gjorde uppgifterna och tänkte igenom lösningsstrategin. Vi började kompetensbedöma ett av de nationella proven individuellt. Sedan jämförde vi vårt resultat och förde en diskussion kring de uppgifter som vi bedömde olika tills vi var överens om en kompetens. Proceduren upprepades med ytterliggare ett nationellt prov. Kategorisering av uppgifterna i läroboken gjorde vi kapitelvis individuellt. Vi läste lärobokens genomgångar och tog hänsyn till den information och hjälp eleverna får genom dessa. Efter att vi kompetensbedömt uppgifterna fördes även här en diskussion om olika bedömningar tills vi var överens om en slutgiltig kompetens. Genom denna procedur blev arbetet med kategoriseringen effektivare och analysmaterialet kunde därmed bli mer omfattande.
De sex kompetenserna beskrivs nedan utifrån den beskrivning som Palm m.fl. (2004) ger av de uttolkade kompetenserna i sin rapport. Två exempeluppgifter som vi själva valt ut används som förtydligande, den ena från läroboken och det andra från nationella prov.
Kom Mod
Res Beg
Pro Alg
3.3.1 Problemlösningskompetens
En uppgift där eleven inte har någon färdig lösningsmetod tillgänglig kräver problemslösningskompetens. Uppgiften ska beskriva en ny situation som gör att kreativt tänkande är nödvändigt. Detta medför att det inte bara är uppgiften som avgör om problemlösningskompetens krävs utan även elevens erfarenhet av tidigare uppgifter.
Uppgiftstyper som kräver problemlösningskompetens ska vara ovanliga där fråge- ställningen är formulerad på ett sätt som eleven är obekant med. Det kan också vara uppgifter med för mycket eller för lite information eller komplexa uppgifter där eleven inte har någon vana i flera av lösningsstegen.
Kommentar: Informationen i uppgiften ges på ett annorlunda vis och är komplex eftersom uppgiften till en början kräver delsteg som inte är av rutin karaktär.
Nationellt kursprov våren 2002 Del I uppgift 12
Hur stor del av figuren är skuggad?
Matematik 3000 kurs A (2002) Uppgift B 4452
Viktor tänker på ett tal. Han multiplicerar talet med 3 och lägger till 4. Han får då talet 22. Vilket tal tänkte Viktor på?
Kommentar: Bilden kan vilseleda eleven till att tro att den skuggade kvadraten genom vridning omfattar 9 rutor. Eleven kan inte vid första anblicken ta information från bilden och utföra en beräkning, utan måste inse uppgiftens komplexitet.
3.3.2 Algoritmkompetens
En algoritm är väldefinierade instruktioner med en systematisk lösningsprocedur. Eleven behöver inte själv utveckla en lösningsprocedur utan kan använda välkända steg i en förutbestämd ordning som leder fram till ett korrekt svar. Det är i både kända och okända situationer viktigt att eleven kan använda sig av inlärda regler, eftersom det behövs för en effektiv användning av matematiken.
Algoritmkompetens används i uppgiftstyper där matematiska lagar och regler är centrala och där eleven kan utnyttja välkända hjälpmedel som till exempel grafisk miniräknare.
Eleven kan mekaniskt använda en välkänd lösningsprocedur som inte behöver innebära att någon matematisk förståelse finns.
Kommentar: För att lösa uppgiften använder eleven en välkänd lösningsprocedur som är inövad för ekvationslösning.
Kommentar: Eleven har sett uppgiftstypen vid tidigare tillfällen och använder sig av rutin vid lösning.
Nationellt kursprov våren 2005 Del 1 uppgift 3
Vad är 20 % av 50 kr Matematik 3000 kurs A (2002) Uppgift A 4427
b)3s!6=9
3.3.3 Begreppskompetens
Inom matematiken finns många begrepp som bygger på varandra och för att kunna erfara matematikens logik är det viktigt att eleven känner förtrogenhet och förstår begrepps- definitioner. Begreppskompetens är särskilt viktigt för att förstå utommatematiska problem, eftersom eleven då kan ta hjälp av ett känt begrepp i sin lösningsprocedur och på så sätt känna större säkerhet.
Uppgiftstyper som fordrar begreppskompetensen låter eleven förklara, förtydliga och tolka begrepp, utan att själva beräkningarna tar fokus från begreppet. Uppgifter som för eleven har en obekant frågeställning kan bli mer bekanta om det finns ett begrepp som eleven behärskar och kan ta fäste på. Det kan även vara uppgifter som är öppna för tolkningar och därmed kan leda till olika metoder och svar, eller uppgifter som kräver förståelse för olika representationer av samma begrepp
Kommentar: Uppgiften kräver att eleven förstår hur ett koordinatsystem är uppbyggt och vad diagonal i en kvadrat innebär.
Nationellt kursprov våren 2005 Del II uppgift 2
Medelåldern på fem anställda i en sportaffär var 24 år. En kvinna på 36 år anställs som butiksföreståndare. Vad blir därefter genomsnittsåldern i sportaffären?
Matematik 3000 kurs A (2002) Uppgift C6116
Punkterna (6, 9) och (10, 3) är ändpunkter på en diagonal i en kvadrat. Vilka är de båda andra hörnen i kvadraten?
Kommentar: Uppgiften är ovanligt formulerad vilket gör det svårt att tillämpa en algoritm, därför krävs det att eleven har förtrogenhet med begreppet medelvärde och med sin lösning visar en djupare förståelse.
3.3.4 Modelleringskompetens
Vissa matematikuppgifter kräver att eleven kan koppla ihop en verklig modell med en matematisk modell. Utommatematiska situationer ger ofta flera möjliga lösningsmetoder vilket kan leda till mer än ett svar. Det krävs då att eleven har omvärldskunskaper och kan bedöma om lösningsmetod och svar är realistiskt. Verklighetsnära uppgifter innehåller ofta för lite eller för mycket fakta, vilket kräver ett kritiskt tänkande där eleven tvingas ifrågasätta sin valda lösningsmodell.
Uppgiftstyper som innefattar modelleringskompetens ska ge eleven möjlighet att skapa, använda, tolka och utvärdera en matematisk modell utifrån en verklig situation.
Uppgifterna ska beskriva en verklig händelse, vara öppna för tolkningar och antaganden eller innehålla för mycket eller för lite information.
Kommentar: Uppgiften beskriver en situation ur verkligheten utanför skolan. Den kräver att eleven skapar en matematiskmodell utifrån en utommatematisk situation.
Matematik 3000 kurs A (2002) Uppgift C 1285
En flaska innehåller 3
2 liter koncentrerad saft. När den blandas ska man ta 1 del saft och 4 delar vatten. Hur mycket färdigblandad saft ger saftflaskan?
Kommentar: Uppgiften beskriver en utommatematisk situation och kräver att eleven skapar en matematisk modell. Resultatet ska sedan jämföras och utvärderas för att komma fram till det förmånligaste alternativet.
3.3.5 Resonemangskompetens
Det är viktigt att kunna föra ett resonemang kring sin lösningsmetod och argumentera utifrån matematiska grunder. Att argumentera inom matematik innebär kritiskt granskande i både kända algoritmiska situationer och i okända problemlösningssituationer. Det ingår även att eleven ska kunna undersöka mönster och formulera hypoteser.
Resonemangskompetens används i uppgiftstyper där eleven får möjlighet att bevisa och motbevisa påståenden genom att kritiskt utvärdera sin lösningsmetod. Eleven förväntas kunna generalisera en lösning så att metoden kan fungera i fler situationer. Det kan även innebära att eleven ska kunna koppla ihop ny kunskap med tidigare erfarenheter och relatera olika matematiska kunskapsområden till varandra.
Kommentar: Uppgiften kräver att eleven för ett logiskt resonemang kring kulornas storlek i relation till vikten.
Matematik 3000 kurs A (2002) Uppgift B 1346
En av järnkulorna A och B är ihålig. Kula A är 111 cm3 och väger 882 g. Kula B är 78 cm3 och väger 549 g. Vilken kula är ihålig?
Nationellt kursprov våren 2002 Del II uppgift 1
Anna och Maria gick tillsammans på spinning i april. Maria köpte ett månadskort. Anna köpte ett 5-kort och betalade därefter engångspris.
Under månaden hann de gå på spinning 8 gånger.
Vem av dem betalade minst och hur mycket mindre betalde hon?
Spinning
Engångspris 40 kr 5-kort 175 kr Månadskort 300 kr
Kommentar: Eleven behöver här upptäcka ett mönster genom att undersöka talserier.
3.3.6 Kommunikationskompetens
Att kommunicera matematik innebär att både muntligt och skriftligt framföra sina idéer och tankegångar. Det krävs att båda parter kan ta emot och förmedla matematisk terminologi. Eleven ska kunna kommunicera med flera i klassen och anpassa det matematiska språket efter mottagaren.
I stort sätt alla typer av matematikuppgifter kräver att eleven kan tolka matematiskt innehåll, men särskilt uppgifter som direkt uppmanar eleven att förklara en metod eller ett begrepp. Det kan även vara att eleven ska redovisa på ett sådant sätt att den matematiska terminologin tydligt framgår.
Matematik 3000 kurs A (2002) Uppgift A 1261
I en skola går 540 elever.
9
5 av eleverna orienterade på en idrottsdag.
Förklara med egna ord hur du beräknar
9
5 av 540 elever.
Nationellt kursprov våren 2002 Del I uppgift 7
Undersök mönstret och ange det tal som är utlämnat.
3 5 9 15 _____ 33
Kommentar: I denna uppgift ska eleven förklara med egen formulering hur en känd lösningsprocedur används.
Kommentar: Utifrån en ekvation ska eleven kunna förklara en lämplig situation vilket kräver en god kommunikativ förmåga så att mottagaren förstår hur ekvationen ska ställas upp.
3.4 Metoddiskussion
Metoden vi använder oss av bygger på de sex kompetenser som Palm m.fl. (2004) har tolkat ur styrdokumenten, vilken är en av många möjliga tolkningar. Styrdokumenten är utformade på ett sådant sätt att det finns utrymme för flera olika tolkningar och de är svårt att precisera vad som rätt och fel.
Nationella prov används som ett hjälpmedel för att betygsättning ska bli likvärdig i Sverige och det är viktigt att läroboken ger eleverna möjlighet att öva på de kompetenser som ska testas i nationella prov. Vårt val blev därför tolkningen som Palm m.fl. (2004) har gjort, eftersom den utgår från styrdokumenten och har en tydlig anknytning till de nationella proven.
Det ramverk som Lithner (2007) har utformat beskriver vilka olika matematiska resonemang matematikuppgifter kan kräva och kan användas vid analys av matematikuppgifter. De matematiska resonemangen har dock ingen direkt anknytning till styrdokumenten och därför tycker vi inte att detta ramverk är lika relevant till vårt syfte, då vi är ute efter att undersöka lärobokens spegling av styrdokumenten.
En matematikuppgift kan skapa möjlighet för eleven att visa flera kompetenser, vilket gör det relevant att använda ett rangordningssystem. Vi har valt att använda det
Nationellt kursprov våren 2002 Del II uppgift 7
Skriv text till en uppgift som kan lösas med hjälp av ekvationen 25
) 5
( + =
x+ x
genomtänkt och har använts tidigare med givande resultat. De finns andra tänkbara sätt att göra ett rangordningssystem på, vilket skulle kunna leda till andra resultat. Genom användning av rangordningssystemet kan vissa kompetenser bli underrepresenterade.
Exempelvis kommer kommunikationskompetensen först i rangordningssystemet vilket innebär att alla de övriga kompetenserna kan ingå i de uppgifter som tilldelats kommunikationskompetensen.
Vi har i vår tur tolkat de sex kompetenser som Palm m.fl. (2004) har tolkat ur styrdokumenten, vilket kan medföra en viss felaktighet vid kategoriseringen.
Kompetensbedömning av uppgifter är inte alltid självklar utan kräver stor medvetenhet och mycket kunskaper inom området. Vi har satt oss in väl i materialet och försökt vara objektiva när vi tolkat de sex kompetenserna för att undvika felaktig bedömning av uppgifterna. Skulle vi mot förmodan ha gjort någon feltolkning borde det leda till ett systematiskt fel, vilket då inte skulle påverka resultatet eftersom vi gör en jämförelse mellan läroboken och nationella prov.
När vi kompetensbedömde uppgifter i läroboken tog vi hänsyn till de genomgångar som finns i direkt anslutning till uppgifterna. Genomgångarna ger ofta eleverna många begrepp och lösningsstrategier, vilket gör att många uppgifter får en algoritmisk karaktär.
I de nationella proven finns däremot inga genomgångar och eleverna får därmed inte samma möjlighet till stöd. Detta kan göra att uppgifter i läroboken som blir tilldelade algoritmkompetensen skulle kunna bli bedömda till en annan kompetens på de nationella proven.
Vid kategorisering av uppgifter arbetade vi individuellt och kompetensbedömde då cirka 90 procent likt. Vår samstämmighet var relativ hög men vi valde ändå att arbeta individuellt med samma uppgifter för att öka tillförlitligheten i studien.
En brist med de sex kompetenserna är att kunskaper om matematikens idéhistoria inte ingår i någon av kompetenserna, trots att det i styrdokumenten finns med i ämnets mål att sträva mot och ämnets karaktär. Anledningen till detta är att de uttolkade matematiska kompetenserna främst är framtagna som ett hjälpmedel vid konstruktion av nationella prov och Palm m.fl. (2004) har gjort bedömningen att kunskap om matematikens idéhistoria inte lämpar sig för nationella prov.
3.4.1 Etiska överväganden
Eftersom vår studie utgår ifrån en lärobok och nationella prov finns inga tydliga etiska överväganden att ta hänsyn till. Både läroböcker och nationella prov är offentliga handlingar och dessa får därmed namnges. Valet av lärobok grundade sig i vilken som är vanligast i svenska gymnasieskolor, därmed har vi inte själva valt läroboken utan någon motivering. I studien har vi varit objektiva och inte haft som avsikt att förtala den utvalda läroboken.
4 Resultat
Vi har kompetensbedömt 1054 stycken uppgifter i läroboken och 74 stycken uppgifter i två nationella prov för matematik kurs A. Resultatet kommer att redovisas i form av cirkeldiagram som visar hur fördelningen mellan de sex kompetenserna ser ut.
4.1 Hur ser fördelningen ut mellan de kompetenser som går att finna i läroboken i matematik A?
Alla sex matematiska kompetenser återfanns i läroboken, vilket visar på en delvis spegling av styrdokumenten. Elever får dock öva på algoritmkompetensen i en betydligt större andel av uppgifterna och den blir därför överrepresenterad, medan de övriga får litet utrymme. De sex kapitlen i läroboken har sinsemellan liknade fördelning (se bilaga 3)
Figur 2. Fördelningen av de sex matematiska kompetenserna i läroboken Matematik 3000, kurs A. Kompetenserna kommer i angiven ordning (se rutan i figuren), medurs med start klockan 12, detta gäller i alla cirkeldiagram.
Matematik 3000, kurs A
4% 4%
11%
4%
69%
8%
Kommunikation Modellering Resonemang Begrepp Algoritm Problem
Grunduppgifter
1%
99%
Kommunikation Modellering Resonemang Begrepp Algoritm Problem
A-uppgifter
7% 2%
12%
5%
70%
4%
B-uppgifter
0% 11%
9%
7%
53%
20%
Kommunikation Modellering Resonemang Begrepp Algoritm Problem
C-uppgifter
0%
16%
14%
8%
31%
31%
Grund-, A-, B- och C-uppgifterna har olika karaktär och det kan därför vara intressant att veta hur fördelningar av kompetenserna är i de olika uppgiftstyperna.
Figur 3. Fördelningen av kompetenserna i respektive Grund-, A-, B- och C-uppgifter.
En gradvis minskning av algoritmkompetensen framkommer efterhand som uppgifternas svårhetsgrad ökar. Grunduppgifterna ger enbart övning på algoritmer medan A-
uppgifterna även ger lite övning på de andra kompetenserna. A-uppgifterna har trots allt ändå en övervägande andel algoritmkompetens och minst andel av modelleringskompetensen. B-uppgifterna utgörs till hälften av algoritmkompetens och en femtedel av problemlösningskompetens. Anmärkningsvärt är att kommunikations- kompetensen inte finns representerad i dessa uppgifter. Av C-uppgifterna är de största andelarna algoritmkompetens och problemlösningskompetens, medan kommunikations- kompetensen saknas även i dessa uppgifter.
4.1.1 Lärobokens alla avsnitt
Det finns avsnitt i läroboken där vi inte har kategoriserat uppgifter. För att kunna uppskatta om de avsnitt som vi inte undersökt kan påverka resultatet följer här en översikt av bokens alla avsnitt. Nedan redogörs det för hur stor andel i procent de olika avsnitten i läroboken utgör och för den uppskattning vi gjorde av de avsnitt som inte är med i undersökningen. Uppskattningen gick ut på att kontrollera om något av de övriga avsnitten skulle kunna få en annorlunda fördelningen mot vad de undersökta avsnitten fick och därmed påverka resultatet. Totalt finns de 3526 stycken uppgifter i läroboken.
60 % av lärobokens uppgifter utgörs av Grund-, A-, B- och C-uppgifter. Ingår i vår undersökning (se fördelning i figur 2).
11 % av lärobokens uppgifter utgörs av Kan du det här? Består nästan enbart av uppgifter som ger övning på algoritmkompetensen. Om dessa uppgifter varit med i vår undersökning hade det blivit ännu större andel algoritmkompetens, men dessa fungerar som ett självtest för eleven och har därmed inte samma syfte som Grund-, A-, B- och C-uppgifterna. Dessutom utgör uppgifterna en förhållandevis liten andel och resultatet skulle ändå fortsätta i samma riktning, med ännu högre andel algoritmkompetens.
9 % av lärobokens uppgifter utgörs av Hemuppgifter. Motsvarar de uppgifter vi har kategoriserat, med inledande övning på algoritmer för att mot slutet ge mer övning på de övriga kompetenserna. Fördelningen skulle därmed bli liknande den i figur 2.
7 % av lärobokens uppgifter utgörs av Blandade övningar. Motsvarar de uppgifter vi har kategoriserat, med inledande övning på algoritmer för att mot slutet ge mer övning på de övriga kompetenserna. Fördelningen skulle därmed bli liknande den i figur 2.
5 % av lärobokens uppgifter utgörs av Arbeta utan räknare. Motsvarar de uppgifter vi har kategoriserat, med inledande övning på algoritmer för att mot slutet ge mer övning på de övriga kompetenserna. Fördelningen skulle därmed bli liknande den i figur 2.
3 % av lärobokens uppgifter utgörs av Tema. Kan uppfattas som mindre algoritmiska eftersom de ofta har en utommatematisk karaktär, men uppgifterna som följer efter genomgången av temat kan ändå ofta hälften lösas med algoritmer. Detta på grund av att uppgifterna är tillrättalagda utifrån genomgången som med sin utförliga beskrivning inte ger utrymme för egna antagande.
Påminner mycket om de kategoriserade avsnitten och fördelningen skulle därmed bli liknade.
2 % av lärobokens uppgifter utgörs av Problemlösning. Ger inte så mycket övning på algoritmkompetens men desto mer på de övriga fem kompetenserna, vilket gör det fördelaktigt att även räkna dessa. Avsnittet skulle kunna bidra till att de fem underrepresenterade kompetenserna får en större andel men på grund av att uppgifterna är få blir påverkan ytterst liten.
3 % av lärobokens uppgifter utgörs av Aktivitet. Ger intryck av praktiska övningar men så är inte alltid fallet. Ger inte så mycket övning av algoritmkompetens men desto mer på de övriga fem kompetenserna. Avsnittet skulle kunna bidra till att de fem underrepresenterade kompetenserna får en större andel men på grund av att uppgifterna är få blir påverkan ytterst liten.
Vissa av avsnitten skiljer sig från Grund-, A-, B- och C-uppgifterna och skulle därmed kunna påverka resultatet men dessa avsnitt utgör en liten del och har därför ingen större inverkan.
4.2 Vilka skillnader och likheter finns ur ett kompetensperspektiv mellan nationella prov i matematik A och läroboken i matematik A?
Cirkeldiagrammen åskådliggör fördelningen av kompetenserna i nationella prov och i läroboken för att jämförelse ska kunna göras.
Figur 4. Fördelningen av de sex matematiska kompetenserna i läroboken Matematik 3000, kurs A och nationella prov.
Kompetenserna är förhållandevis jämnt fördelande i nationella prov. Algoritm- kompetensen utgör dock den största andelen och modelleringskompetensen den minsta.
Algoritmkompetensen är däremot kraftigt överrepresenterad i läroboken och medför att de övriga fem kompetenserna utgör en mindre andel.
Matematik 3000 kurs A
4% 4%
11%
4%
69%
8%
Kommunikation Modellering Resonemang Begrepp Algoritm Problem
Nationella prov kurs A
19%
9%
18%
15%
23%
16%
Skillnaden mellan de nationella proven och läroboken är stor. Vid en ungefärlig jämförelse framkommer det att det finns fem gånger så stor andel kommunikations- kompetens och fyra gånger så stor andel begreppskompetens i nationella prov jämfört med läroboken. Algoritmkompetensen utgör tre gånger större andel i läroboken jämfört med de nationella proven. De övriga tre kompetenserna utgör dubbelt så stor andel i de nationella proven jämfört med läroboken. Nationella prov används som test för att se vilka kunskaper eleven har medan läroboken ska ge eleven möjlighet till övning för att erhålla kunskap. Dessa olika ändamål är viktiga att ha i åtanke när jämförelse görs.
För att lättare kunna överblicka skillnader och likheter mellan nationella prov och läroboken används ett stapeldiagram.
Jämförelse mellan lärobok och nationella prov
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Kommunikation
Modellering Resonemang Begrepp Algoritm
Problem
Matematiskkompetens
Andel uppgifter (%)
Matematik 3000 kurs A Nationella prov
Figur 5. Fördelningen av kompetenserna på nationella prov i kurs A jämfört med lärobokens fördelning av kompetenserna.
5 Diskussion
5.1 Läroboken
Alla sex matematiska kompetenser återfanns i läroboken men algoritmkompetensen är kraftigt överrepresenterad (se figur 2). En anledning kan vara att det är viktigt att kunna algoritmer för en effektiv användning av matematiken, eftersom det underlättar vid lösning av komplexa uppgifter att kunna urskilja och utföra välkända lösningsprocedurer.
Läroboken ger elever möjlighet till mycket övning på algoritmer och bidrar på så vis till en stabil grund att arbeta vidare på, men möjlighet till utveckling minskar då de övriga kompetenserna är underrepresenterade. Trots att algoritmkompetens är viktig kan det vara relevant att efterfråga uppgifter som även ger övning på de övriga fem kompetenserna, framförallt med hänsyn till att alla sex kompetenserna är tolkade ur styrdokumenten av Palm m.fl. (2004). För att läroboken ska återge styrdokumenten på ett bättre sätt bör de underrepresenterade kompetenserna få större utrymme.
I rapporten Lusten att lära – med fokus på matematik (Skolverket, 2003b) framkommer att en läroboksstyrd undervisning ofta bli enformig, vilket kan medföra att eleverna inte får möjlighet till utveckling inom matematiken. I läroboken finns vanligtvis de uppgifter som övar den algoritmiska kompetensen i Grund- och A-uppgifterna vilka utgör den största andel av uppgifterna i varje kapitel. Vi misstänker att många elever sällan hinner till B- och C-uppgifterna som ofta är av mer varierad karaktär och får därmed inte övning på de färdigheter som styrdokumenten förespråkar. Det borde vara möjligt att konstruera uppgifter på alla nivåer som ger övning på samtliga kompetenser och på så sätt motverka att vissa elever endast får övning på algoritmer. I läroboken är det uppgiftsnivån som styr hur fördelningen är mellan kompetenserna, vilket blir tydligt då algoritmkompetensen inte är överrepresenterad i C-uppgifterna men i de lägre nivåerna (Se figur 3).
Rapporten Tid för lärande – nationella kvalitetsgranskningar (Skolverket, 2003a) redogör för att läroboken styr undervisningen på grund av lärarens tidsbrist. Genom att läraren medvetet väljer ut vilka uppgifter eleverna ska göra kan flera algoritmuppgifter bytas ut mot uppgifter som ger övning på andra kompetenser och tiden används därmed på ett effektivare sätt. Att låta eleverna göra för många algoritmuppgifter kan vara slöseri
med tid och ger inte möjlighet till matematisk utveckling. Englund (1999) menar att lärare bör förändra sin syn på vilka mål som finns med undervisningen och börja förändra sitt arbetssätt med utgångspunkt i läroplanens anvisningar. Därför är det viktigt att lärare är väl medvetna om på vilket sätt deras lektionsplaneringar anknyter till styrdokumenten så att eleverna får möjlighet att uppnå målen.
När läroboken används i undervisningen är det viktigt att läraren väljer ut relevanta uppgifter, vilket kräver kunskap i hur bedömning och konstruktion av uppgifter görs utifrån styrdokumenten. Boesens (2006) undersökning av lärarkonstruerade prov visar att denna kunskap är bristande, eftersom en hög andel av de lärarkonstruerade provuppgifterna kan lösas med hjälp av algoritmer och få provuppgifter testar de övriga kompetenserna, framförallt kommunikationskompetens. Det är viktigt att lärarna inser vilka syfte som finns med de olika uppgifterna i läroboken, vilket därmed innebär kännedom om hur matematisk kunskap kan kategoriseras. Matematisk kunskap kan kategoriseras på olika sätt, vilket Palm m.fl. (2004) gör med kompetenser och Lithner (2007) gör med olika resonemang. Lithners tillvägagångssätt är tydligt då han skiljer på det imitativa resonemanget och det kreativa resonemanget, vilket kan hjälpa lärare att till en början inse den grundläggande skillnaden mellan algoritmer och obekanta lösningsstrategier.
Det bästa vore om läroboken sågs som en del av undervisningsmaterialet och kompletteras med andra aktiviteter, exempelvis samarbetsövningar och verklighets- anknutna övningar. Används läroboken enbart i undervisningen bör läraren vara mycket medveten om vilket syfte uppgifterna har som eleverna räknar. Därmed bör läraren se till att eleverna gör uppgifter från olika avsnitt i läroboken och förhindra att eleverna gör för många grundläggande uppgifter.
5.2 Läroboken i relation till Nationella prov
De nationella proven har en jämnare fördelning mellan kompetenserna än vad läroboken har (se figur 4 och 5). Detta bekräftar att de sex kompetenserna används som underlag vid provuppgiftskonstruktion. Eftersom kompetenserna är tolkade ur styrdokumenten och alla
styrdokumenten. Men en avvikelse från styrdokumenten finns eftersom kunskap om matematikens idéhistoria inte är representerad i någon av kompetenserna. En anledning kan vara att matematikens idéhistoria inte finns med i kursplanen för matematik A men i betygskriterierna för välgodkänt och mycket välgodkänt, vilket är något märkligt. I läroboken finns däremot en Historikruta i varje kapitel som kan bidrar till kunskap om matematikens idéhistoria. Johansson (2006) menar att läroböcker inte diskuterar matematiken i ett sammananhang eftersom det historiska och samhällsenliga perspektivet saknas, vilket leder till att målen i matematik inte kan tillgodoses. Eftersom det finns Historikrutor i läroboken har ett försök till att få med det historiska perspektivet gjorts, men vi frågar oss om historieavsnitten verkligen läses eftersom dessa inte är integrerad i de övriga matematikuppgifterna. Palm m.fl. (2004) har gjort bedömningen att kunskap om matematikens idéhistoria inte lämpar sig för nationella prov. Detta gör att eleverna ofta är medvetna om att kunskap om matematikens idéhistoria inte testas, vilket får till följd att eleverna ofta avsiktligt hoppar över avsnitten. Det kan därför vara viktigt att få med det idéhistoriska perspektivet i de nationella proven och på så sätt få eleverna att inse vikten av dess betydelse. I Danmark har Niss och Jensen (2002) valt att skilja kunskap om idéhistoria från matematiska kompetenser genom att kalla det för en aspekt inom ämnet matematik. På så sätt har de kommit ifrån svårigheten med att få idéhistorian att passa in i någon kompetens.
En anledning till varför fördelningen av kompetenserna skiljer sig mellan läroboken och nationella prov kan vara att syftet med dessa är olika. En lärobok ska ge möjlighet till upprepande övning så att bestående kunskaper skapas, medan nationella prov ska testa vilka kunskaper elever besitter. Orsaken till de färre algoritmuppgifterna i de nationella proven kan därför vara att avsikten inte är att elever ska lära sig algoritmer, utan visa att denna kunskap redan finns. Det finns en risk med många algoritmuppgifter i läroboken jämfört mot vad det finns i nationella prov, eftersom eleverna då övar på uppgifter som inte motsvarar de som utgör nationella prov. Eleverna kan därmed få svårt att nå upp till betyget godkänt då nationella prov ställer krav på andra kompetenser än algoritm- kompetens. Detta blir en särskild risk för de elever som bara gör Grund- och A-uppgifter på grund av till exempel tidsbrist eller medvetet val av grundläggande uppgifter.
5.3 Tillförlitlighet och relevans
Vi har använt oss av den tolkning som Palm m.fl. (2004) har gjort av styrdokumenten i vår metod, vilket innebär att vi i vår tur har tolkat denna. Inom hermeneutiken finns ingen bestämd metod för hur tolkningar ska göras, utan det är upp till tolkaren att använda sin erfarenhet, kreativitet och fantasi (Starrin & Svensson, 1994). Det kan därför finnas en osäkerhet kring om vår tolkning stämmer överens med originalet, vilket kan påverka reliabiliteten i vår metod.
Vi har kompetensbedömt ett kapitel i taget individuellt och har då bedömt cirka 90 % likt, vilket visar en hög interreliabilitet eftersom metoden då kan sägas vara fri från systematiska fel. Detta visar att vi kategoriserade uppgifter utifrån de sex kompetenserna och rangordningssystemet på ett tillförlitligt vis. Vid olik bedömning av uppgifter resonerade vi oss fram till en slutgiltig kompetens som vi var överens om och har därmed säkerställt de 10 % vi bedömde olika.
Genom att låta Excel slumpa fram den hälft av uppgifterna vi har med i undersökningen ökar reliabiliteten ytterligare. Detta eftersom vi inte kunde påverka vilka uppgifter som blev valda och därmed inverka på resultatet.
Vilken lärobok och vilka uppgifter vi utgår ifrån i undersökningen har betydelse för den validitet resultatet får. Det är därmed viktigt att vi valde den lärobok som många elever i Sverige använder så att resultatet kan diskuteras i ett vidare perspektiv. Begränsning av arbetet gjorde att endast vissa uppgifter kunde ingå i undersökningen och det blev då viktigt att uppgifter med högst relevans valdes ut. Grund-, A-, B- och C-uppgifterna är centrala och är även flest till antalet, vilket gjorde att vi valde dessa i vår undersökning.
Det kan påpekas att valet av uppgifter kan påverka validiteten i undersökningen, eftersom det är avgörande om de uppgifter som undersökningen utgår ifrån är de som eleverna räknar.
5.4 Didaktiska implikationer för matematiklärare
Uppsatsen ger insikt i hur läroboken kan användas och hur den inte bör användas i matematikundervisning för att innehållet i de nationella styrdokumenten ska bli tillgodosett. Det framgår även vilka kunskaper läraren bör ha för att kunna bedöma uppgifter och övningar med utgångspunkt i styrdokumenten.
Arbetet med uppsatsen har givit oss god förståelse kring hur matematisk kunskap kan kategoriseras, eftersom vi blivit väl insatta i olika metoder för kategorisering. Vi har blivit mycket medvetna om problematiken kring lärobokens struktur och hur begränsning av uppgifter bör göras. Detta gör att vi i vår kommande lärarroll kan göra planeringar som ger en innehållsrik undervisning med god anknytning i styrdokumenten.
5.5 Vidare studier
Det hade varit intressant med en studie om hur läroboken används i undervisningen och som därmed visar vilka uppgifter eleverna gör i läroboken. Läroboken består av många olika avsnitt och antalet uppgifter är många, vilket innebär att en begränsning av uppgifter måste göras. En tänkvärd fråga är om det är läraren som medvetet väljer ut vilka uppgifter som är lämpliga för respektive elevs behov eller om eleverna själva väljer vilka uppgifter de vill göra. En sådan studie skulle även kunna visa hur lärare tänker angående läroboken och uppgiftsval. Tänker läraren enbart på vilken svårighetsgrad uppgifterna har i förhållande till elevens förmåga eller används kursens mål och betygskriterier som viktiga faktorer vid uppgiftsval.
6 Käll- och litteraturförteckning
Alvesson, M., Sköldberg, K. (2008). Tolkning och reflektion – vetenskapsfilosofi och kvalitativ metod. Studentlitteratur, Danmark 2008.
Andersson, J., Vernersson, A. (2008). Läromedelsprovens spegling av styrdokumenten ur ett matematiskt kompetensperspektiv. Högskolan i Halmstad.
Björk, L.-E., Borg, K., Borlin, H., Ekstig, K., Heikne, H., Larsson, K. (2002). Matematik 3000 – kurs A. Natur och Kultur, Falköping.
Boesen, J. (2006). Assesing mathematical creativity. Department of Mathematics and Mathematical Statistics, Umeå university.
Eklund, R., Sundström, M., (2006). Matematiske resonemang – en studie av uppgifterna i en lärobok på gymnasiet. Umeå Universitet.
Englund, B. (1999). Lärobokskunskap, styrning och elevinflyttande. Pedagogisk forskning i Sverige, 4 (4), 327-348.
Ferrini-Mundy,J. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. National Council of Teachers of Mathematics, Reston.
Johansson, M. (2006). Teaching Mathematics with Textbooks – A Classroom and Curricular Perspevtive. Luleå University of Technology, Department of Mathematics.
Lithner, J. (2007). A research framework for creative and imitative reasoning.
Department of Mathematics, Umeå University.
Niss, M,. Jensen, T.H. (2002). Kompetencer og Matematiklæring. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr. 18, 1– 334, Undervisningsministeriet (Ministry of Education).
Palm, T. (2002). The Realism of Mathematical School Tasks – Features and Conseqences.
Doctoral Thesis No 24, 2002, Department of Mathematics, Umeå University.
Palm, T., Bergqvist, E., Eriksson, I., Hellström, T., Häggström, C.-M. (2004). En tolkning av målen med den svenska gymnasiematematiken och tolkningens konsekvenser för uppgiftskonstruktion. PM: pedagogiska mätningar, 199. Enheten för pedagogiska mätningar Umeå universitet, Umeå.
Skolverket(2000). Gymnasiets kursplaner i matematik, inrättad 2000-07,
http://www3.skolverket.se/ki03/front.aspx?sprak=SV&ar=0809&infotyp=8&skolform=2 1&id=MA&extraId= 2008-10-24
Skolverket (2003a). Tid för lärande – nationella kvalitetsgranskningar 2001-2002.
Skolverkets rapport nr 222. Stockholm, Skolverket.
Skolverket (2003b). Lusten att lära – med fokus på matematik 2001-2002. Skolverkets rapport nr221. Stockholm, Skolverket.
Starrin, B. Svensson, P-G.(1994). Kvalitativ metod och vetenskapsteori. Studentlitteratur, Lund.
Ett uppslag i läroboken
Bilaga 1
BNEJ
Ska en matematisk modell skapas, utvärderas och tolkas
utifrån en verklig situation?
JA Kommunikationskompetens
JA Modelleringskompetens
NEJ
Kräver uppgiften argumentation, undersökning, bevisning,
generalisering?
JA Resonemangskompetens
Är förklaring, förtydligande och tolkning av begrepp
centralt i uppgiften?
NEJ
JA
NEJ
Kan en välkänd lösningsprocedur användas
för att lösa uppgiften?
NEJ
JA Algoritmkompetens
Begreppskompetens Kräver uppgiften en
förklaring eller beskrivning?
Schema för kategorisering av uppgifter
Bilaga 2
Bilaga 2BBilanhKapitel 1. Att arbeta med tal Kapitel 2. Procent
Kapitel 3. Statistik Kapitel 4. Ekvationer och formler
Kapitel 5. Geometri Kapitel 6. Grafer och funktioner
Kommunikation Modellering Resonemang Begrepp Algoritm Problem 6%
7%
15%
0%
66%
6%
Kommunikation Modellering Resonemang Begrepp Algoritm Problem
Kommunikation Modellering Resonemang Begrepp Algoritm Problem
3% 2%
14%
3%
6%
1% 8%
9%
12%
64%
6% 5% 5%
1%
5%
76%
8%
4% 5%
8%
2%
75%
6%
4% 1%
18%
3%
17%
