En studie av yrkesverksamma hantverkares förståelse och lösningsförfarande av praktiska problem kopplade till yrket

UPPSALA UNIVERSITET Rapport BMS1106 Institutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier

Examensarbete i specialpedagogik. 15 hp Ht 2009/Vt 2011 Magisterexamen i specialpedagogik.

En studie av yrkesverksamma hantverkares förståelse och lösningsförfarande av praktiska problem kopplade till yrket

Författare: Handledare:

Elin Borén Kajsa Bråting

Betygsättande lärare: Examinator:

Caroline Liberg Caroline Liberg

Sammanfattning

Syftet med denna uppsats att beskriva vilken betydelse den praktiska tillämpningen i yrket har för förståelsen och val av strategi vid matematisk problemlösning inom områdena area och enhetsomvandling, för personer i praktiska yrken som i skolarbetet har haft påtagliga problem med ämnet matematik.

Vidare är syftet att studera om förståelsen och lösningsförfarandet skiljer sig åt i praktisk problemlösning inom områdena area och enhetsomvandling jämfört med en formaliserad matematikuppgift (med enbart ett matematiskt uttryck bestående av tal och symboler utan sammanhang) inom samma områden. Studien tar sin utgångspunkt i de sjunkande resultaten i skolmatematik och den kritiserade matematikundervisningen.

Resultatet av undersökningen visar att respondenterna i den praktiska uppgiften som var situerad i deras yrkesvardag använde sig i hög grad avmatematiska resonemang, uppskattningar och kopplade med lätthet uppgiften till tidigare uppgifter i yrket. Deras matematiska resonemang kring uppskattningar och rimlighetstänkande vilade på deras erfarenheter och att de kunde visualisera.

När de löste den formaliserade uppgiften som inte var situerad i deras yrkesvardag intog de ett mer imitativt tänkande och respondenterna ställde frågor om hur de förväntades lösa uppgiften och senare om de räknat fel. De tidigare så säkra respondenterna var nu mycket osäkra på sin förmåga att lösa uppgiften. I den formaliserade uppgiften fungerade inte heller enhetsomvandlingen. I den praktiska uppgiften klarade de att enhetsomvandla medan de i den formaliserade uppgiften inte var helt säkra på division med 100.

Min slutsats blir därför att respondenterna kan lösa relativt avancerade matematiska problem inom ramen för yrket, men när samma matematiska innehåll presenteras utanför detta sammanhang, ser de inget matematiskt samband utan intar i stället ett imitativt förhållningssätt.

De har lärt sig strategier för att klara den matematik de behöver i sitt yrke men kunskaperna är situationsbundna och deras yrkeskunnande och livserfarenhet har inte lyckats överbygga deras svårigheter i matematik.

Nyckelord

Innehåll

Inledning ...4

Syfte ...5

Frågeställningar ...6

Teoretisk bakgrund ...7

Resultatutveckling i matematik ...7

Kunskap och förståelse i matematik i skola och yrke. ...7

Skolmatematik och matematik i vardag och yrke ... 10

Sammanfattning av litteraturen ... 13

Centrala begrepp ... 13

Metod ... 14

Urval ... 14

Datainsamlingsmetod ... 15

Studieuppgifterna ... 16

Procedur... 17

Bearbetning av data ... 18

Forskningsetiska reflektioner ... 18

Resultat ... 20

Uppgift 1 ... 20

Uppgift 2 ... 22

Respondenternas upplevelser av skillnader mellan uppgifterna ... 24

Tolkning av resultaten ... 27

Tolkning av uppgift 1 ... 27

Tolkning av uppgift 2 ... 28

Tolkning av respondenternas upplevelser av skillnader mellan uppgifterna28 Sammanställning ... 28

Diskussion ... 30

Undersökningens tillförlitlighet ... 33

Förslag till vidare forskning ... 34

Litteraturförteckning ... 35

Bilaga 1 ... 38

Studiens matematikuppgifter ... 38

Bilaga 2 ... 39

Intervjuguide ... 39

Bilaga 3 ... 40

Missivbrev... 40

Inledning

Jag har under mina yrkesverksamma år som speciallärare intresserat mig för hur elever lär sig matematik. Jag har märkt tydliga tendenser att undervisning utformad genom att kopiera bokens modeller, öva modellen och sedan komma ihåg den utantill, utgör ett hinder för många av de elever som kommer till specialundervisningen i matematik. Utredningar (med bland annat så kallade WISC-test som är ett intelligenstest) av flera elever jag undervisat visar dessutom ofta att de har ett bristande arbetsminne. Den praktiska förståelsen, det vill säga vad man använder kunskaperna till i ”verkligheten,” verkar vara av stor betydelse för förståelsen och motivationen hos många av de elever jag undervisat. Jag intresserar mig för hur den praktiska tillämpningen stöder tänkandet och om vi i skolan lyckas lära barnen den matematik de behöver i det vardagliga livet. Jag har många gånger funderat över hur dessa elever kommer att fungera i framtida

utbildning och i yrkeslivet när de idag har svårt att minnas och föra kunskaper vidare från ett moment till ett annat. Om de går ut grundskolan utan godkänt betyg i matematik, hur ser deras möjligheter att lära sig matematik ut i framtiden? Kan man lära sig matematik utanför skolan?

Studier finns om matematik lärd i yrke och vardag, bland annat så menar Terezinha Nunes, Analucia Schliemann, & David Carraher, (1993) att matematikkunskaper förvärvade i vardagslivet resulterar i bättre strategier vid matematisk problemlösning än de som lärs ut i skolan.

Matematiska modeller i vissa skolböcker har dålig anknytning till de problemsituationer de ska användas i, det vill säga i verkligheten. Nunes, Schliemann & Carraher menar att

vardagsmatematik ger möjligheten för de elever som betraktas som ”hopplösa” att lära sig och förstå matematik, genom att vardagsmatematik verkar ge möjligheten att relatera matematiska problem till sådant man redan känner till. Förmågan att bygga upp inre modeller för att relatera matematiska problem till tidigare kunskaper förekommer naturligt och bör studeras vidare. Idag bedrivs undervisningen främst bunden till logiskt tänkande.

Kursplanen i matematik (Skolverket, 2008) inleds med matematikens betydelse för vardagslivet:

Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer, för att kunna tolka och använda det ökande flödet av information och för att kunna följa och delta i beslutsprocesser i samhället.

Utbildningen skall ge en god grund för studier i andra ämnen, fortsatt utbildning och ett livslångt lärande (sid 26).

Johan Lithner (2008) talar om imitativt resonerande, vilket innebär att studenterna i hans studie mekaniskt löste uppgifter utan att resonera. Istället försökte de lära sig matematiska modeller utantill, vilket innebär att kunskaperna blir både ytliga och ostrukturerade. Det imitativa resonerandet sker på bekostnad av förståelsen, då eleverna inte för något resonemang om, eller argumenterar för, lämplig strategi för att lösa uppgiften på eller dess rimlighet. Att vara duktig i

matematik handlar i dag om att minnas lärobokens modeller. Detta trots att det i kursplanen (Skolverket, 2008) står:

Problemlösning har alltid haft en central plats i matematikämnet. Många problem kan lösas i direkt anslutning till konkreta situationer utan att man behöver använda matematikens uttrycksformer.

Andra problem behöver lyftas ut från sitt sammanhang, ges en matematisk tolkning och lösas med hjälp av matematiska begrepp och metoder.//För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer. Detta gäller alla elever, såväl de som är i behov av särskilt stöd som elever i behov av särskilda utmaningar (Skolverket, 2000, sid. 27).

I dag står vi inför ett antal problem kring matematikundervisningen. Elevers låga prestationer i matematik debatteras och Skolverket (2010) understryker att det finns en oro för elevers sjunkande resultat i matematik. Ovan nämnd forskning pekar på att matematikundervisningen idag har en låg anknytning till problemlösande aktiviteter i vardagslivet så som kursplanen föreskriver. Människor lär sig dessutom matematik i yrkeslivet utan att ha uppnått målen i matematik i skolan. Med detta i åtanke anser jag att vi bör fundera över matematikundervisningen idag och om matematikundervisningen i större utsträckning bör sträva mot en resonerande vardagsmatematik som gynnar förståelsen. Frågan är hur det gynnar förståelsen och vad som sker i tänkandet och val av strategi i den praktiska problemlösningen. Jag anser att vi ofta vet att vissa elever har bristande kunskaper, men inte alltid vad det beror på eller vad vi skall göra i stället. Att studera hur praktisk problemlösning gynnar förståelsen är relevant för att förslag skall kunna utarbetas för att i större utsträckning sammankoppla skolmatematiken med problemlösning i vardagen (eller förenklat bygga på förståelse framför att minnas metoder).

Detta har jag tänkt bidra med genom att studera den praktiska tillämpningens betydelse för förståelsen i matematik, hos yrkesverksamma människor i praktiska yrken, saknar godkänt slutbetyg från grundskolan i matematik, men som ändå lärt sig och tillämpar matematik i sitt yrke.

Syfte

Syftet med denna uppsats är att utforska skillnader och likheter i yrkesverksammas sätt att lösa matematiska uppgifter som är situerade i deras yrkesvardag gentemot sådana som inte är det, det vill säga så kallade nakna uppgifter. De yrkesverksamma ska i skolarbetet ha haft påtagliga problem med ämnet matematik. Jag valde VVS¹ montörer, vilka i vardagligt tal kallas

”rörmokare”. Valet av rörmokare som i skolarbetat har haft påtagliga svårigheter i matematik grundar sig på flera faktorer och som har betydelse för syftet med studien:

 Yrkesutövare inom detta område använder en mängd komplicerad vardagsmatematik i sitt yrkesutövande genom ritningar, uppskattning och uträkning av material, fakturerande, vinstberäkning och så vidare som kräver omfattande kunskaper i matematik inom många olika områden.

 Trots att resultaten i matematik sjunker och elever lämnar skolan utan slutbetyg så har många inom detta yrkesområde skapat sig en yrkestitel och matematikkunskaper för yrket genom lärlingsutbildning.

Nunes, Schliemann & Carraher (1993) framhåller att människor naturligt bygger upp inre modeller för att relatera matematiska problem till sina tidigare erfarenheter. Jag vill utveckla detta och undersöka vad dessa ”inre modeller” innebär och hur de påverkar förståelsen och val av strategier i praktisk problemlösning. Jag vill studera om och vilka specifika kriterier som har betydelse för förståelsen och lösningsförfarandet.

Frågeställningar

 Hur löser yrkesverksamma rörmokare matematiska uppgifter som är situerade i deras yrkesvardag?

 Hur löser yrkesverksamma rörmokare matematiska uppgifter som inte är situerade i deras yrkesvardag, det vill säga så kallade nakna uppgifter?

 Vilka skillnader och likheter finns i deras sätt att lösa dessa båda typer av uppgifter?

Teoretisk bakgrund

Resultatutveckling i matematik

Skolverket (2010) kommenterar resultatutvecklingen i flera olika rapporter och artiklar. Bland annat framhåller Skolverket (2010) att matematik blir allt viktigare för att klara sig i vårt samhälle idag samtidigt som intresset och resultaten i matematik stadigt har sjunkit de senaste 10 åren.

Skolverket (2010) poängterar att resultaten bland elever som studerar på avancerad nivå också är kraftigt försämrade. Skolverket menar att svenska elever, i jämförelse med elever i bland annat ostasiatiska länder, lär sig procedurer medan de i de ostasiatiska länderna fokuserar på förståelse av begrepp. Skolverket (2010) understryker att statistiken från 2010 visar på den lägsta andelen behöriga elever till gymnasiet sedan 1998 då det nuvarande betygssystemet infördes. I matematik har 8,9 procent av eleverna inte uppnått godkänt slutbetyg i matematik.

Enligt skolverket (2010) så klarade inte 17,5 procent år 2010 de nationella proven för årskurs 9 i matematik. Detta är nästan var femte elev. År 2003, då skolverket började mäta resultaten, var andelen som inte klarade de nationella proven i matematik 9,2 procent.

Enligt PISA² (2006) som är en omfattande internationell studie av 15-åringars förmågor i matematik, naturvetenskap och läsning, visade svenska elever en försämring i matematik jämfört med år 2000 och 2003, då svenska elever låg signifikant över genomsnittet i OECD (Organisation for Economic Co-operation and Development). Trots det försämrade resultatet låg svenska elever på medelnivå i jämförelse med övriga 57 länder. Ingen signifikant skillnad fanns mellan pojkars och flickors resultat.

Kunskap och förståelse i matematik i skola och yrke.

Förståelse av matematiska problem i skolan kontra förståelse av vardagliga matematiska problem har tidigare varit föremål för studier och här har jag samlat ett intressant urval för min studie.

OECD (2003) framhåller att de är bekymrade över elevers låga kapacitet att analysera, resonera och kommunicera idéer effektivt i varierade situationer. Studien av 15-åringars ”mathematical literacy” från 57 länder fokuserar på vardagliga problem framför traditionella skoluppgifter.

OECD menar att det finns en rad förmågor som innefattar begreppet ”mathematical literacy”.

”Mathematical literacy” är förmågan att lägga fram, formulera, lösa och tolka problem genom att använda matematik bunden till olika situationer eller kontexter, samt att förstå rollen som matematik spelar i världen och att göra väl genomtänkta överväganden med matematik som redskap.

Johan Lithner (2008) menar att studenter inte resonerar kreativt utan att de istället resonerar imitativt. Att resonera imitativt innebär att studenterna mekaniskt löser uppgifter utan att resonera; de lär sig istället matematiska modeller utantill. Detta innebär enligt Lithner:

Memorised operations without structural conceptions can only be stored in unstructured, sequential cognitive schemata, which are inadequate for the modest dimensions of human working memory (sid 269).

Att vara bra på matematik blir då den som har bäst minne, samtidigt som kunskaperna blir både ytliga och ostrukturerade och det imitativa resonerandet sker på bekostnad av förståelsen, då eleverna inte för något resonemang eller argumentation om lämplig strategi att lösa uppgiften på eller dess rimlighet. Lithner framhåller att en stor orsak till det dominerande imitativa resonerandet bland elever är att matematikböckerna till stor del är uppbyggda på ett sätt som bidrar till imitativa resonemang, då det till stor del är uppgifter som går ut på att kopiera och minnas en modell.

Roger Säljö (2005) menar:

I en papper-och-penna-värld, där räknandet sker som en övningsuppgift i matematik, är räknandet ett mål i sig (sid. 147).

Säljö anser att eleven står ”naken” inför uppgiften och är utelämnad till sin förmåga att själv leva sig in i problemet som endast formuleras språkligt. Eleven måste själv gissa vad som krävs av denne och meningen med övningen. Säljö menar att vi agerar utifrån tolkningen av situationen, vilken inte i första hand styrs av att leva sig in i uppgiften som verklig, utan eleven agerar först och främst utifrån sin tolkning av vad skolsituationen kräver. Säljö tar upp flera exempel där elever inte gör någon verklighetskoppling av uppgifterna utan löser dem som just skoluppgifter.

Ett exempel är elever som fick uppgiften att räkna ut hur lång tid det skulle ta för en 100-meters löpare att springa en kilometer. Eleverna multiplicerade tiden på 100 meter med 10 utan att väga in rimligheten i att hålla samma fart på 100 meter som i en kilometer. Det vore osannolikt att de i

”verkligheten” kommit fram till samma slutsats anser Säljö. Föreställningen om att kunskaper är i form av algoritmer och regler och att de kan med lätthet överföras från en situation till en annan räcker inte, utan vi måste skapa relationer mellan dessa enligt Säljö:

Med utgångspunkt i att kunskap är situerad i sociala praktiker, kommer vi istället att uppfatta lärande/utveckling som en process genom vilken vi lägger till nya sätt att tänka och handla till dem vi redan behärskar (sid. 151).

Säljö menar att skolans värld bygger på en kunskapstradition där färdigheter delas upp i bland annat matematik, läsning och så vidare. Detta gör att i skolans värld är utgångspunkten för lärande en annan än den som sker i övriga samhället och bygger därför inte i någon större utsträckning på den personliga erfarenheten. I skolans värld bygger lärandet ofta på att eleverna lyssnar på när information presenteras och en ”inlärning” förväntas, eller att eleverna ”inhämtar”

kunskaper från en lärobok. Detta sker sällan i samhället där människor istället främst deltar i de

sammanhang de lär i. Säljö poängterar därför att svårigheter inte skall ses som egenskaper hos individer och deras kognitiva förmåga eftersom eleverna i skolans värld har med mycket speciella former av kommunikation (läroböcker, muntlig information) att göra, som de inte möts av i andra miljöer. Dessutom är de utan sitt ”verkliga” sammanhang och med många abstrakta begrepp.

Anna Sierpinska (1994) menar att olika företeelser kan bli förstådda på olika sätt och bestå av olika komponenter. Till exempel kan förståelsen av ett åskväder antingen bestå av förklaringar av fysiska lagar eller av igenkänning av ett åskväders förlopp. En person kan uppleva förståelse i en problemlösning när denne vet hur problemet skall lösas genom igenkänning av komponenter och relationer i problemet. Elevens förståelse av ett problem är också beroende av förmågan att relatera till liknande problem. En stor och viktig komponent för förståelsen är när vi ställer oss frågan ”varför” vilket innebär att vi söker efter orsaker. Sierpinska framhåller att förståelse är för många synonymt med att förstå varför, samt att det finns en stor variation av vad som utgör basen för vår förståelse. Sierpinska menar att vi skapar mentala modeller för att förstå och

resonera i fysiska miljöer i vardagen. Abstrakta principer blir istället verkliga objekt och förmågan att använda mentala modeller i uträknandet framför att följa matematiska lagar och regler främjas, vilket ger en bättre förståelse. De mentala modellerna innebär att vi i fysiska miljöer ser och behandlar objekten som både kombinationsbara och delbara mer frigjort från matematiska regler.

Fysiska miljöer främjar till exempel att vi ser 25 x 48 som objekt som kan både kombineras och delas, 48 är 40 och 8, 40 är 4x 10 och så vidare.

Ann-Louise Ljungblad (2001) menar att vi skapar inre bilder av matematiska relationer. Till exempel kan vi föreställa oss bilden av en liter mjölk då vi resonerar om matematikens mått

”liter”, eller året kan ses som sommar med sol och bad, vinter med pulkaåkning och så vidare;

detta är en inre bild av det abstrakta matematiska året. På samma sätt bygger vi sedan upp inre bilder för till exempel talraden, dessa bilder är olika för olika människor. I matematikböcker presenteras bilder för att illustrera och konkretisera matematiska objekt. För ett barn utan matematiksvårigheter fungerar i princip vilken bild som helst men för barn med matematiksvårigheter kan det behövas stöd för att hitta sin inre bild för matematiska objekt. Det är viktigt att matematikundervisningen också utgår från helheten för att se delarna framför ensidigt arbete med att utifrån delarna se helheten, vilket idag dominerar undervisningen.

Ljungblad menar att man inte skall traggla små tal innan man går vidare med större, det är när barnet både får arbeta med delar och helheten som inre bilder och tankebanor byggs upp. För att kunna förstå delarna krävs att man får arbeta med helheten för att se delarna och relationen mellan dem.

Nunes, Schliemann & Carraher (1993) understryker att vardagsmatematik verkar ge möjligheten att relatera matematiska problem till sådant man redan känner till. De modeller man bygger upp för att relatera kunskapen till tidigare erfarenheter förekommer naturligt och leder till användande av mer optimala strategier vid lösning av problem.

James A. Dixons (2005) hypotes är att en uppsättning av tidigare lagrade problemlösningar i minnet är en viktig representation för att se matematiska strukturer i problemlösning. Människor löser problem med hjälp av jämförelser av tidigare exempel lagrade i minnet. Han menar också att människor med lätthet överför icke passande lösningar ur minnet och når en felaktig lösning.

Experter överförde oftare lösningar från strukturellt liknande problem än noviser. Noviser överförde oftare felaktiga lösningar från ytligt relaterade problem.

Lars Lindström (2004) menar i sin studie av lärarutbildare i slöjd och yrkesverksamma hantverkare att praktikern inte stödjer sig på regler och lagar när han utför något i yrket, utan att praktikern i stället relaterar situationen till sin ”inre repertoar” av kunskaper. Bildandet av praktisk kunskap kan ses på olika sätt, men gemensamt är att det sker en utveckling från ”novis”

till ”expert”. Utmärkande för ”experten” är att denne kan avgöra vilken tillämpning som lämpar sig utifrån behovet, det kan vara att avgöra vilket material som lämpar sig bäst samt att

”experten” kan tillämpa tidigare kunskaper i nya situationer. Lindström talar om en automatiserad kompetens, vilket innebär att den reflekterande praktikern utför operationer utan att behöva tänka på vad han gör. Den reflekterande praktikern har en virtuell värld av lösningar som prövas innan ett arbete påbörjas. ”Novisen” följer i stor utsträckning rådande regler denne lärt sig oavsett situation, vilket leder till många ”nödlösningar”.

Skolmatematik och matematik i vardag och yrke

Flera forskare tar upp bristen av länkar mellan skolmatematiken och den framtida användningen i vardag och yrkesliv.

Ljungblad (2001) framhåller att eftersom vardagsmatematiken inte når klassrummet blir det svårt för eleverna att klara matematiken som vuxna både i det vardagliga livet och i yrket. Även Inger Wistedt (1992) påpekar detta och menar att problemlösning i skolan och i vardagen ser olika ut men att det finns en möjlighet att knyta samman dessa genom att matematikundervisningen knyter an till elevernas vardag och erfarenheter. Wistedt menar att vardagskunskaper har två innebörder, dels avser de kunskaper som är vunna genom vardagslivet, dels innebär det kunskaper som är önskvärda i vardagen. Wistedt framhåller att undervisningen bör vardagsanknytas, då kunskap som inte byggs på redan förvärvade kunskaper tenderar att bli ytlig och meningslös. Skolan försöker att undervisa matematik på ett abstrakt sätt för att skapa en generaliserbarhet att tillämpa i många situationer. Det har dock visat sig att det istället lett till att eleverna skapar egna sammanhang, så kallade skolkontexter, för att lösa problem. Argumenten för att vardagsanknyta undervisningen är många, men långt ifrån okomplicerade. Wistedt poängterar att tron att barnen för med sig redan förvärvad matematisk kunskap in i klassrummet eller att de ser matematiken i vardagen är att förväxla barns perspektiv med de vuxnas. Hon menar att även om matematiken i sig är abstrakt och fri från sammanhang så gäller det inte människors matematikkunskaper, vi skapar tankemodeller från vardagliga sammanhang. Även många vuxna presterar under sin kompetensnivå om de utsätts för formella uppgifter. Trots att

man har försökt att förmå elever att använda vardagligt tänkande i klassrummet och vice versa, så har detta visat sig svårt. Barnet har svårt att se problemlikheter mellan uppgifter de redan klarat och nya liknande problem. Forskning visar enligt Wistedt att människor generaliserar sina kunskaper, men att detta inte sker automatiskt och skolan kan inte förutsätta att eleverna klarar det på egen hand. Elever tycks också lösa uppgifter för att läraren vill det, de bortser från syftet och löser uppgifter utan ett ”verkligt” resonemang. Att vardagsanknyta undervisningen innebär att inlärningen relateras till den fortlöpande utvecklingen i vardagslivet. Wistedt skiljer mellan vardagsmatematik och vardagsanknuten matematik, det senare fallet skall fungera som en brygga mellan personliga, kulturella, vardagliga perspektiv och matematiken som vetenskap. Annars riskerar vi att bli kvar i vardagen och vi använder kunskaper oreflekterat och det är tveksamt om vi lär oss någon matematik. En vardagsanknuten matematik innebär att syftet är matematiskt men sammanhanget välbekant.

Olof Magne (2004) framhåller att synen på hur matematikundervisningen ska gå till behöver ändras, då matematiken har för lite med verkligheten att göra. Magne menar att småstegsmetoder, där stoffet är sorterat i var för sig oberoende små avsnitt bör tas bort och istället bör vi bedriva en livsmatematik, där elevernas erfarenheter i vardagen skall utgöra grunden och det är med hjälp av logiken i matematikspråket eleverna skall tänka. Det finns därför ingen anledning att börja med små tal, då ingenting är så billigt idag utan det är lika naturligt att börja med större tal. Barn vet att skor till exempel kostar några hundra kronor och en ny bil över 100 000 kronor. Av samma anledning skall vi inte heller dela upp räknesätten och börja med addition för att sist möta division, utan alla räknesätten kan vara med från början.

Eva Riesbeck (2010) framhåller att en pendlig sker mellan den vardagliga och den matematiska diskursen. Individerna befinner sig på skalan från vardaglig till matematisk diskurs beroende på hur långt de kommit i abstraktionsprocessen. Samma sak tycks gälla för användandet av tecken samt att elever och lärare ofta befinner sig på olika ställen, vilket skapar problem.

Många elever löser och förstår textproblem utan att se en vardaglig koppling, matematiken förekommer i en skolkontext som påverkar elevers sätt att förstå uppgifter. Riesbeck menar att det är när de lyckas kombinera den vardagliga och den matematiska diskursen som förståelsen för de matematiska begreppen infinner sig.

Eva Riesbeck, Roger Säljö, & Jan Wyndhamn (1999) poängterar att föreställningen om att användningen av matematiska kunskaper i verkliga sammanhang är enkel, är för länge sedan raserad, sambandet är mycket mer komplext. Människor kan göra relativt komplexa urval och beräkningar utan problem när de handlar och utan att använda skolalgoritmer. I yrken växer olika

”hemgjorda” sätt fram att hantera vardagliga beräkningar. Studier visar att när samma beräkningar skall göras med hjälp av skolans ”papper – penna – värld” så ökar felmarginalerna dramatiskt. En av orsakerna till detta är att man tappar de realistiska övervägandena, elever har svårt att veta hur de ska förstå ett problem när det blir föremål för matematiska övningar.

Diskursen, klassrumssituationen gör att eleverna har en mängd föreställningar om hur

problemlösning skall gå till, vanligt är att det ska finnas ett ”rätt” svar och att alla siffror i uppgiften skall vara med. Detta gäller både högpresterande och lågpresterande elever. Deras studie visar att arbetet i skolan med benämnda uppgifter som syftar till att eleverna skall se matematiken ”runt om kring oss” inte sker med realistiska överväganden så som i verkligheten.

Mindy Kalchman (2009) beskriver och diskuterar vad det innebär att kunna och utföra matematik både i klassrummet och utanför klassrummets väggar samt lärares olika syn på matematikundervisningens innehåll. För att en förändring skall ske krävs det uppgifter och metoder i skolan för att lösa problem elever möter i vardagliga livet. Det krävs bland annat att en modell för hur lärarna kan visa eleverna att vardagliga matematiska erfarenheter är relevanta och genomsyrar skolmatematiken samt hur skolmatematiken är relevant och genomsyrar elevernas vardagliga matematikerfarenheter.

Enligt Cory Mohr (2008) hoppar cirka 2500 studenter av High School varje dag och det finns ett behov av att sammanlänka klassrumsmatematiken med verkligheten för att hålla motivationen uppe, då många elever inte förstår när de kommer att ha användning av matematikkunskaperna de lär sig i skolan. För en hantverkare krävs omfattande

matematikkunskaper inom många områden, då matematik är nära förknippat med det dagliga arbetet. Om en hantverkare inte kan utföra vissa vitala matematikoperationer blir karriären kortlivad. Läroplaner, lärare och yrkesutbildningar borde arbeta tillsammans för att förena klassrummet med färdigeter som krävs på arbetsplatser, särskilt kring traditionellt svåra

studieområden som matematik. För att bättre förbereda studenter för utbildning till hantverkare föreslår Mohr att utbildare vid High School först lär sig vilka matematikfärdigheter som krävs på arbetsplatsen för en hantverkare, så att utbildningen bättre kan anpassas med rätt

matematikträning så att eleverna är bättre förberedda för en framtida anställning.

Janis McKeag & Laurie Todd (1993) påvisar de färdigheter och kunskaper yrkesverksamma hantverkare behöver och hanterar i sitt yrke. Färdigheter krävs i läsning, skrivning och matematik på alla nivåer (från förmän till hantverkare på fältet). Förmännen i deras studie läste också

ritningar, tabeller och diagram. Matematikfärdigheter som krävs på arbetsplatsen är bland annat mätning, uppskattning, addition, subtraktion. Mätningsverktyg som hanterades var till bland annat olika mätband, vinkelhake och vinkellinjal.

Nunes, Schliemann & Carraher (1993) menar att människor löser problem på ett sätt i arbetet och på ett annat sätt då de lär sig teoretiskt. Praktisk och teoretisk kunskap är olika på många sätt, men också lika på andra sätt. Likaså är det med matematik som i arbetet utförs mer praktiskt än den vi lär oss i skolan. Det är en skillnad mellan praktisk kunskap i matematik (”street mathematics”) och den matematiken vi lär oss i skolan, som inte lärs ut praktiskt. Nunes, Schliemann & Carraher har studerat professionella hantverkares och hantverkarlärlingars strategier vid lösandet av ett verkligt problem. De kom fram till att hantverkare hade stor användning av sin erfarenhet vid problemlösandet samt i valet av strategier vid uträknandet.

Lärlingarna som också fick skolmatematikundervisning räknade i större grad med skolalgoritmer medan de professionella snickarna använde sig av mer optimerade strategier i sina uträkningar.

I Lindströms (2004) studie av lärarutbildare i slöjd och yrkesverksamma hantverkares bedömning av hantverksmässig kompetens, framkommer att erfarna hantverkare är mer produktorienterade medan pedagogerna är mer processorienterade. Detta beror främst på att de arbetar från olika förutsättningar. En hantverkare har främst lönsamhet att ta hänsyn till. Skolans kunskapskultur skiljer sig från sociala praktikers och en risk finns att skolslöjd saknar ett samband med slöjdkulturer utanför skolan.

Sammanfattning av litteraturen

Elevers resultat i matematik sjunker. Flera resultat av den senaste tidens forskning pekar på att vardagsmatematiken främjar förståelsen. Forskningen visar på att vi relaterar kunskapen med hjälp av inre bilder, mentala modeller eller ”inre repertoar” vilket skapar förståelse och optimerar våra matematiska strategier vid problemlösning. Forskningen menar att skolmatematikens innehåll utgör ett hinder för förståelsen och tänkandet då uppbyggnaden av mentala modeller/inre bilder inte främjas. En läromedelsstyrd undervisning handlar om att minnas modeller framför realistiskt tänkande. Även i problemlösning i skolan som syftar till att koppla samman vardagsmatematik och skolmatematik så tänker inte eleverna realistiskt utan är bundna till den kontext som skolmatematiken utgör. Eleverna är dåligt förberedda för matematiken i vardag och yrke när de lämnar skolan. Forskningen pekar också på att inte ens i yrkesutbildningar lärs den matematik som behövs ut, utan skolmatematiken utgör till och med ett hinder för yrkesutövandet.

Centrala begrepp

Med imitativt tänkande/resonerande avser jag det som Lithner (2008) menar: att studenterna mekaniskt löser uppgifter utan att resonera, de lär sig matematiska modeller utantill. Detta innebär att kunskaperna blir både ytliga och ostrukturerade och det imitativa resonerandet sker på bekostnad av förståelsen, då eleverna inte för något resonemang eller argumentation om lämplig strategi att lösa uppgiften på eller dess rimlighet.

Med praktisk tillämpning eller praktisk uppgift i den här studien avser jag bekant/vardaglig problemlösning i yrket; något som respondenterna stöter på regelbundet i sitt yrke. Likaså definierar jag vardagsmatematik som bekanta problemlösningssituationer respondenterna påträffar i vardagen.

Att den ena uppgiften är formaliserad eller naken innebär i den här studien att respondenterna enbart har ett matematiskt uttryck att utgå från, utan sammanhang i form av text eller bilder eller andra förklaringar, utan endast bestående av siffror och andra matematiska tecken.

Metod

Urval

Urvalet i denna undersökning består av hantverkare som inom sitt yrke tillämpar matematik.

Närmare bestämt arbetar dessa hantverkare som VVS montörer eller i vardagligt tal som

”rörmokare”. Dessutom har dessa personer haft svårigheter i matematik i skolan och inte erhållit godkänt slutbetyg i matematik i årskurs 9. De har utbildat sig genom att vara lärling och har lärt sig att hantera matematik i yrkeslivet trots tidigare svårigheter att uppnå målen i matematik.

Det visade sig relativt svårt att få tag på personer som uppfyllde kriterierna ovan. Främst beroende på att idag finns kravet på att gå yrkesgymnasium för att få behörighet att arbeta som rörmokare. Detta gör att det inte längre går att utbilda sig till rörmokare enbart genom att gå som lärling. Jag sände ut ett missivbrev (se bilaga 3) till flertalet VVS firmor vilket inte resulterade i något svar. Jag fick tag på den första ”rörmokaren” via kontakter och denne kunde sedan tipsa om andra tänkbara respondenter vilket gav resultat.

Nedan följer en presentation av de tre respondenter som deltagit i studien, jag har valt att namnge dem med påhittade namn för att texten i resultatet skall bli mer levande och ”läsarvänligt”

jämfört med att ha kallat dem för exempelvis ”rörmokare 1” och ”rörmokare 2” och så vidare.

Ove 62 år, har arbetat i branschen i 47 år. Han har gått i skolan i 9 år. På den tiden var grundskolan 6 år. Ove kom sedan inte in på läroverket utan gick 2 år, motsvarande sjuan och åttan i något han kallar för ”utsjälpningsplats” där fick han dessutom gå ett extra år då betygen var så dåliga. Ove har utbildat sig till rörmokare genom att gå som lärling och är i dag anställd vid en större firma. Han upplevde inte matematikundervisningen som någon ”större fara” men att de två sista åren fick han ingenting tillgodo. Ove anser sig ha lätt för ”gångerräkning” och tyckte att procenträkning i skolan var svårt. Han anser att han har användning av grunderna han lärde sig i skolan i sitt yrke och att ”det går att omvandla till olika grejer”.

Kalle 40 år, har arbetat i branschen i 17 år. Han har gått grundskolan och har en tvåa i betyg i matematik. Kalle har utbildat sig till rörmokare genom att gå som lärling och bedriver i dag egen VVS firma. Han upplevde matematikundervisningen som både ”jobbig och inte jobbig” det var ingen ”pest och pina men inte heller så kul” säger Kalle. Han är bra på huvudräkning men tycker att texttal och ekvationer är svårt. Kalle beskriver att han har mycket svårt att hjälpa sin son som går i åk 9 med matematikläxorna. Kalle anser att han har användning av det han var bra på i skolan, huvudräkning, i sitt yrke men även av mått och sådant han lärt sig i skolan. I arbetslivet

har han lärt sig ”speciella räknegrejer man kör i VVS det är lite annorlunda, alltså matte är ju matte men det är lite mer specifikt för rör” menar Kalle.

Peter 29 år, har arbetat i branschen i snart 10 år. Han har utbildat sig till rörmokare genom att gå som lärling och bedriver i dag egen VVS firma. Peter har inte fullföljt grundskolan och har därför inte något slutbetyg i matematik. Han upplever att matematiken i skolan var mycket svår att lära sig men att han är bra på att uppskatta som han i arbetet har nytta av. Peter menar att i arbetet har man flera ”referenspunkter” att mäta och räkna efter, som till exempel att en tvättmaskin är 60 cm, det gör att han snabbt kan uppskatta hur stort till exempel ett rum är.

Datainsamlingsmetod

I denna studie granskades ett fåtal enskilda fall, med så kallade fallstudier. Martyn Denscombe (2009) menar att avsikten med fallstudier är att ge en djupgående redogörelse för ett särskilt fenomen eller en enda undersökningsenhet i stället för en mer allmän redogörelse av brett spektrum. Jag använde mig av ostrukturerade intervjuer och observationer med låg grad av struktur. Jag valde ostrukturerade intervjuer då respondentens agerande främst styrde mina frågor och jag ville ingripa så lite som möjligt för att inte påverka deras tankegångar och agerande.

Frågorna syftade främst till att sätta ord på och utveckla deras tankegångar. Intervjuer kan enligt Denscombe (2009) genomföras med olika grad av struktur. Antingen strukturerat med frågeformulär eller mer öppet, så kallade semistrukturerade intervjuer då intervjuaren är mer flexibel när det gäller ämnenas ordningsföljd. Vid ostrukturerade intervjuer är intervjuarens uppgift att ingripa så lite som möjligt. Ostrukturerade intervjuer lämpar sig enligt Denscombe när forskaren vill låta den intervjuade utveckla och redogöra för sina tankegångar och utveckla sina idéer. Jag hade ändå en viss grad av struktur i och med att jag hade en intervjuguide som ram (se bilaga 2). Syftet med intervjuguiden var att ha några gemensamma frågor till respondenterna där svaren sedan kunde jämföras. Övriga frågor bestod mest av uppmaningar i form av ”beskriv ditt tänkande” och frågor för att utveckla respondenternas uttalanden.

Jag valde att observera med ”öppet sinne” då observationer enligt Denscombe kan göras antingen med en hög grad av struktur med observationsschema med förutbestämda kategorier eller lägre grad av struktur, det vill säga att observera med ett öppet sinne, det senare är att föredra i min studie då jag inte på förhand kan bestämma olika kategorier för att ta sig an och tänka i ett matematikproblem.

Den forskningsdesign man väljer innebär enligt Peter Esaiasson m.fl. (2004) att välja vilka jämförelser man vill göra och är ett viktigt beslut som påverkar hela undersökningens gång och med rätt design kan frågorna besvaras. Jag valde metoderna att observera och intervjua i samband med problemlösningsuppgifterna. Med dessa kvalitativa metoder får jag tillfälle att både se hur respondenterna tar sig an problemlösningsuppgifterna och ställa frågor kring tänkandet. Enligt

Denscombe (2009) uppmanar fallstudier mer eller mindre till att använda fler metoder, för att ringa in och noggrant undersöka den komplicerade verkligheten.

Kvalitativ metod innebär enligt Nationalencyklopedin (2011):

Inom samhällsvetenskaperna ett samlingsbegrepp för olika arbetssätt som förenas av att forskaren själv befinner sig i den sociala verklighet som analyseras, att datainsamling och analys sker samtidigt och i växelverkan samt att forskaren söker fånga såväl människors handlingar som dessa handlingars innebörder. Kvalitativa metoder omfattar oftast mindre populationer än kvantitativa undersökningar.

Esaiasson m.fl. (2004) framhåller att genom mångfalden i datainsamlingar så ökar trovärdigheten i undersökningen, då möjligheterna att dubbelkolla uppgifterna finns. Vidare menar Esaiasson m.fl. att ett påstående skall kunna bekräftas av andra, oberoende av varandra och att primärkällor är trovärdigare än sekundärkällor samt att den som berättar skall vara oberoende av andra och yttre omständigheter. Öppen observation och intervjuer kräver förtroende emellan forskaren och de intervjuade/observerade för att resultatet skall bli trovärdigt.

Att vara öppen med sitt syfte och skapa en god relation samt vara ödmjuk och visa respekt är viktiga förutsättningar.

Studieuppgifterna

Respondenterna i min studie löste och beskrev sitt tänkande i en (vardaglig) praktisk problemlösning situerad i deras yrkesvardag, vilket innebar uträkning av area samt

enhetsomvandling. Uppgiften gick ut på att räkna ut ungefär hur mycket golvvärmeslang som behövs och pris utifrån bifogad prislista, av ett autentiskt arbete som ”beställts” utifrån en ritning (se bilaga 1). Respondenterna ställdes sedan inför ett liknande problem, med samma matematiska svårighetsgrad men då formaliserad, även så kallad naken uppgift (med enbart ett matematiskt uttryck at utgå ifrån och utan sammanhang) och de löste och beskrev sitt tänkande i den

formaliserade uppgiften (se bilaga 1). Syftet var att studera förståelsen och om och vilka kriterier som spelar roll för förståelsen och lösningsförfarandet i den praktiska problemlösningen. Syftet var också att studera om och hur förståelsen/tankesättet och lösningsförfarandet skilde sig åt när respondenterna mötte en motsvarande formaliserad uppgift (med enbart tal och symboler samt utan sammanhang).

Uppgift 1 innebär att utifrån en ritning räkna ut arean av ett utrymme för att kunna beräkna ungefärlig åtgång av golvvärmeslang. Arean räknas ut genom att först addera de angivna måtten av utrymmets bas och höjd (väggarnas mått) innan dessa kan multipliceras. Måtten är inte fullständiga, det vill säga att hela sidans mått inte finns angivet på ritningen utan endast delsträckor finns angivna, dessa måste adderas för att få fram basens och höjdens mått.

Delsträckorna är dessutom inte helt fullständiga så uträkningen av arean blir därför ungefärlig.

När uträkningen av utrymmets bas och höjd är uträknade så multipliceras dessa för att räkna ut

arean³. En enhetsomvandling behöver göras till meter, då uppgiften innebär att räkna ut hur många meter golvvärmeslang som behövs och måtten på ritningen är angivna i millimeter.

Enhetsomvandlingen till meter görs genom att dividera med 1000 (eftersom 1 meter=1000 millimeter). Enhetsomvandlingen till meter, anser jag, kan med fördel göras redan när utrymmets bas och höjd adderas ihop för att få mer lätthanterliga värden. Det går åt ungefär 4 meter

golvvärmeslang per kvadratmeter (har jag uppskattat), då slingorna enligt fackmannamässiga uppgifter ligger med 25 cm mellanrum. Rätt svar på uppgiften är ungefär 100 meter slang. Då utrymmet är ungefär 25 kvadratmeter (med en godtagbar felmarginal på ± 5 på grund av de uppdelade måtten) och om det går 4 meter slang per meter och 25 ∙ 4 = 100. Detta gör att det är rimligt, med tanke på spill och annat, att välja en 120 meters rulle universal pe-x⁴ och priset blir då 2650 kronor, vilket avläses i prislistan (se bilaga 1).

Uppgift 2 innebär att en liknande uträkning ska göras, men här är uppgiften formaliserad även så kallad naken uppgift. Att uppgiften är formaliserad eller naken innebär att respondenterna enbart har ett matematiskt uttryck att utgå från (ingen ritning eller text om vad som skall räknas ut). I den andra uträkningen kan alltså inte direkta kunskaper om hur area räknas ut användas, då det inte framkommer av uppgiften vad det är som räknas ut utan här är det istället kunskapen om räknelagarna som avgör om respondenterna kan räkna ut uppgiften. Jag har också förenklat talet jämfört med de mått som finns på ritningen för att underlätta uträkningen.

Om jag jämför uträkningen av uppgift 2 med uppgift 1 för att visa på likheterna, så görs

uträkningen av ”basen och höjden” genom att först addera talen 1 889,5, 10,5 och 1600. Sedan

”enhetsomvandlas” dessa genom att divideras med hundra och ”ena sidan” är uträknad. Sedan adderas 1325 och 675 och divideras med hundra för att räkna ut ”den andra sidan”. När

”sidorna” eller ”basen och höjden” är uträknade så multipliceras dessa för att räkna ut ”arean”.

”Arean” multipliceras sedan med 4 för att räkna ut ”hur mycket golvvärmeslang som behövs”

(fyra, står för att det går åt fyra meter slang per kvadratmeter). Uträkningen i den andra,

formaliserade uppgiften, går alltså till på samma sätt som i den första praktiska uträkningen. Rätt svar på den andra uppgiften är 2800.

Procedur

Jag spelade in intervjuerna för att inte missa viktiga detaljer men också för att inte hindras av skrivande när jag observerade lösningsförfarandet. Jag antecknade tillvägagångssätt och andra viktiga detaljer i observationen. Jag använde mig av få öppna frågor om upplevelsen av uppgifterna (se bilaga 2) och fyllde på med frågor under observationen av lösningsförfarandet.

Anledningen till detta var att jag inte på förhand kunde veta hur respondenterna skulle ta sig an uppgifterna utan frågorna i intervjuguiden fungerade som en ram och jag fick sedan fylla på med

3 arean av ett rektangulärt område fås genom att multiplicera basen med höjden

frågor som ”hur visste du att du skulle göra så” för att tydliggöra hur respondenterna tänkte.

Även observationerna var öppna och helt utan observationsschema, detta av samma anledning;

att jag inte på förhand kunde veta hur lösningsförfarandet skulle gå till. Det fanns inte heller något behov för studiens syfte av att kategorisera lösningsförfarandet.

Bearbetning av data

Analysen har fyra grundprinciper enligt Denscombe (2009); analysen och slutsatsen av data skall vara förankrad i data, slutsatserna ska vara grundade i de belägg som samlats. Slutsatsen ska också komma ur en noggrann läsning av data, innebörden är inte alltid självklar, utan rådata skall noga granskas och tolkas. Forskaren skall undvika att lägga in egna fördomar i analysen, det utgör ett hinder för analysen. Processen med utveckling av teorier, begrepp, hypoteser och generaliseringar skall växla mellan jämförelser mellan empiriska data och de kategorier, koder och begrepp som används. I de flesta fall grundar sig analysen av kvalitativ data på att man upptäcker saker, genererar teorier utifrån innehållet i data och går mot generaliserande slutsatser och teorier.

Jag transkriberade först de inspelade intervjuerna i en tabell, med en spalt för vad jag frågar och en spalt för vad respondenten svarar samt en spalt för att anteckna mina reflektioner, observationer och kommentarer. Jag transkriberade inte intervjuerna ordagrant då syftet inte var att studera själva språket utan innehållet i det som sades. Jag justerade utskriften genom att inte skriva ut alla småord, omtagningar, oavslutade meningar, avstickare och annat som inte har betydelse för innehållet i svaret på frågan. Jag grupperade sedan de olika respondenternas svar på samma fråga vid lösning av samma uppgift efter varandra, för att leta efter mönster/teman i svaren. Jag gav varje respondents svar en färg. Jag grupperade sedan de återkommande temana oberoende av fråga och uppgift för att se om nya mönster/teman kunde urskiljas. Jag jämförde sedan de olika teman som framkom med de olika uppgiftssituationerna (uppgift 1 och 2)

När resultatet sedan presenteras menar Denscombe att forskaren får rollen av en redaktör.

På grund av den stora mängd data som samlats in måste delar väljas ut att presenteras, vilket forskaren råder över. Urvalet i sig fungerar inte som bevis, utan de delar som väljs ut fungerar som illustrationer av det som framhålls. Då läsarna inte har tillgång till all data är forskarens förmåga att redogöra för resultatet på ett trovärdigt sätt avgörande, det sker genom forskarens förmåga att skriva på ett övertygande sätt samt redogöra för forskningsproceduren. Jag har sammanställt och presenterar resultatet i en beskrivande text med invävda citat för att styrka de slutsatser jag dragit.

Forskningsetiska reflektioner

Vetenskapsrådet (2002) presenterar fyra huvudprinciper som ingår i individskyddskravet och som tagits hänsyn till i denna studie. Dessa är:

1) Informationskravet, forskaren skall informera om forskningens innehåll, syfte och användning samt att undersökningen är frivillig.

2) Samtyckeskravet, forskaren skall ha uppgiftslämnarens samtycke och/eller vårdnadshavare om personen är under 15 år. Uppgiftslämnaren skall när som helst ha rätt att avbryta sin medverkan.

3) Konfidentialitetskravet, innebär sekretess, personuppgifter skall skyddas.

4) Nyttjandekravet, innebär att uppsamlade uppgifter endast används till det forskaren har angett (sid. 7-14).

I respondentundersökningar, vilket innebär att människor uttrycker sina uppfattningar, är det sällan relevant för undersökningen att ange personuppgifter. I mitt fall kunde anonymitet utlovas.

Jag gav också information om syfte, användning, skyddade personuppgifterna och förvissade mig om att studien skedde i samtycke i enlighet med principerna ur Vetenskapsrådet (2002). I observationer kommer även etiska överväganden in, om observationen är dold eller inte, det vill säga om de som blir observerade vet om det eller inte. Ställning tas till undersökningens användande, dock skall personerna alltid skyddas och inga uppgifter skall utlämnas så att personer kan kännas igen.

Resultat

Jag har valt att presentera resultatet i tre huvudrubriker Uppgift 1, Uppgift 2 och Respondenternas upplevelser av skillnader mellan uppgifterna. I samband med uppgifterna 1 och 2 fokuserade jag både på det faktiska (observerade) lösningsförfarandet men också på respondentens upplevelse och förståelse av uppgiften (genom intervju). I resultatredovisningen presenteras först observationerna av respondenternas lösningsförfarande och därefter respondenternas tankar och upplevelser som framkom i intervjuerna. Det sista avsnittet Respondenternas upplevelser av skillnader mellan uppgifterna utgår enbart från intervjufrågor (se bilaga 2) efter att respondenterna löst det båda uppgifterna. Ett urval av respondenternas svar på intervjufrågorna presenteras.

Uppgift 1

När jag observerade själva lösningsförfarandet av uppgift 1 så inledde samtliga respondenter med att de insåg att de behövde räkna ut arean först. Detta gjorde de genom att de först adderade måtten på ritningen. Alla tre visste att arean räknas ut genom att multiplicera ”vägg med vägg”

det vill säga att en area räknas ut genom att multiplicera basen med höjden.

Kalle adderade ihop måtten på ena sidan (basen) med hjälp av huvudräkning genom att avrunda och enhetsomvandla varje mått för sig till meter, detta tog bara några sekunder. Han fick basen till 4 meter. På andra väggen (höjden) använde Kalle miniräknaren vid additionerna men

enhetsomvandlingen till meter gjorde han först i huvudet. Han räknade även med en decimal och avrundade sedan höjden till 5,5 meter. Han granskade sedan ritningen och upptäckte att han missat ett mått, han rättade uträkningen av höjden med huvudräkning och ändrade höjdens mått

”grovt räknat” till 6 meter. Kalle tog sedan och multiplicerade basen gånger höjden, 6 ∙ 4 med huvudräkning och fick det till 24 kvadratmeter. Han multiplicerade sedan 24 med 4 för att få fram hur många meter slang som kommer att gå åt till utrymmet på 24 kvadratmeter. Han räknade ut 24 ∙ 4 med huvudräkning genom att först dubblera 24 och sedan 48, och fick det helt korrekt till 96 meter. I prislistan valde han sedan slangrullen på 120 meter och priset för slangen blev då 2650 kronor. Kalles uträkning är korrekt.

Ove var lite motvillig till att räkna ut uppgiften, men han resonerade gärna kring matematik i yrket. Han började i alla fall med att utifrån ritningen uppskatta utrymmets area till 10

kvadratmeter. Sedan ställde han upp basens mått i en algoritm utan att enhetsomvandla och adderade. När han räknat ut additionsalgoritmen enhetsomvandlade han till meter och avrundade det helt korrekt till 5 meter. Han ställde sedan upp höjdens mått på samma sätt i en algoritm.

Höjdens mått på ritningen är uppdelade i flera delar än basens och Ove bestämde sig genom uppskattning i stället för att räkna ut algoritmen att den väggen ungefär är lika lång, vilket är helt korrekt. Han fick sedan snabbt arean felaktigt till 10 kvadratmeter genom huvudräkning och

räknade sedan med huvudräkning ut 4 ∙ 10 och fick det då till att det går åt 40 meter slang. Ove menade att det då är bäst att köpa en slangrulle på 50 meter utan att använda prislistan. Något pris angav han inte. Oves svar är ofullständigt.

Peter adderade basens mått på miniräknaren utan att enhetsomvandla och antecknade summan. Han adderade sedan höjdens mått på miniräknaren utan att enhetsomvandla och antecknade summan. Sedan multiplicerade han basen och höjdens mått utan att enhetsomvandla, han enhetsomvandlade sedan den enorma summan på miniräknaren och avrundade arean till korrekta 28,5 kvadratmeter. När Peter sedan räknade ut hur mycket golvärmeslang som behövdes så gick han inte med på att det går 4 meter slang per kvadratmeter utan gjorde en uträkning på miniräknaren och kom fram till att det var rimligare att det går 5 meter slang per kvadratmeter, bland annat med tanke på böjar av slangen. Han multiplicerade sedan 5 med 28,5 med hjälp av miniräknare och fick det till 142,5. Peter valde slangrullen på 160 meter och priset blir då 3520 kronor. Peters svar godtar jag som korrekt.

När jag presenterade uppgiften började respondenterna genast att resonera. Kalle förklarade sin upplevelse och sitt resonemang kring uppgift 1 så här:

Dels måste jag ju veta golvytan, eller uppvärmd golvyta för det är ju inte under toastolar osv. Där det inte skal borras i golv, där får det inte ligga någon slang. Ja sen får man ju.. ofta har man ju lathundar för det.. för slinglängden har ju också betydelse, det får ju inte vara hur långa slingor som helst. Ofta när man vill ha.. jag brukar inte räkna ut det här själv, jag ger en ritning till leverantören som räknar ut. Då får man exakt materialåtgång och allting för det är väldigt mycket att tänka på. Så då säger jag bara det är 4x3 meter jag var på ett sånt jobb här om dan.

Kalle började med att resonera kring uppgiften och drog paralleller till ”verkligheten”, att det finns fler faktorer att ta hänsyn till samt att man i vanliga fall tar hjälp vid uträkningar som denna.

Ove förde ett liknande resonemang om hur det brukar gå till, han sa följande när han fick uppgiften:

Jag gör väl som alla andra inom branschen, man ger den till sin konsult så räknar han ut, jag sitter ju inte och räknar på det.. jag tittar ju bara ut på ett ungefär hur många kvadrat det är… och sen skickar jag vidare den här. Så går det till.

Det framkommer att det är vanligt att man vid sådana här arbeten tar hjälp av leverantören eller en konsult i uträkningen av materialåtgång och pris. Det är inte så vanligt att de själva sitter och räknar ut materialåtgång och kostnad själva då det inte är värt tiden eftersom leverantörerna gör det gratis. Det framkom dock att de uppskattar arean själva först. De kom också med frågor om de fick använda miniräknare. Alla beskrev uppgiften som bekant och de använde sig av uppskattning och avrundade i uträkningen. Jag frågade Peter hur han går till väga när han gör

”riktiga” uträkningar av arbeten i yrkeslivet:

Nej jag gör så här, men man räknar ju lite i överkant då. Man räknar ut grovt så här mycket

säkerhetsmarginal för att ifall att nånting är i vägen eller att man behöver ta några meter extra de är.. så i det här fallet.. va sa vi 140 nånting.. 5 gånger 28 och en halv kvadrat, 142 och en halv meter.. då hade man ju föredragit 160 rullen för å va säker på att man inte har för lite med sig.

//Det låter inte orimligt man får ju räkna med spill och så för uppgångar och annat, så då är ju en 160 rulle att föredra.

Peter tog också upp att det finns andra faktorer att ta hänsyn till och att man måste räkna grovt.

Kalle sa så här:

Det blir spill och annat. När du räknar måste du ta till för du kan inte stå där, oj det vart en meter för kort, ska vi skarva? (skrattar) det får man ju inte göra. Grovräknat om vi tar 6 gånger 4 för att det ska va enkelt det är 24 alltså 24 kvadratmeter.

Jag frågade hur de gick till väga i enhetsomvandlingen och hur de visste att måtten var angivna i millimeter och fick tre lite olika resonemang,

Kalle menade att.

Dom här är angivna i mm, men jag tar bort en decimal för att det är lättare att räkna i huvudet.

Och då vet jag.. alltså allting mäts i mm

Ove tänkte lite annorlunda och menade:

Vad då angivna i? Det måste ju vara nån skala. Jag räknar på skala 1 till 100. Ja men det står ju inte på den här ritningen vilken skala det är 1 till 100 eller 1 till 50.. då får man ju omvandla.

Hur han sedan ändå omvandlade till meter när det inte fanns någon skala kunde han inte riktigt redogöra för. När jag frågade Peter hur han visste hur han skulle avrunda det enorma tal han fick på miniräknaren efter att ha slagit in alla mått i millimeter förklarade han så här:

Det är ju bara de första siffrorna som är intressant… det är ju i mm alltihopa. Det sitter i bakhuvudet man vet att den där dörröppningen inte är större än så.//Ja, men jag vet ju hur brett det är, hur det brukar vara.. jag vet att en tumstock är 2000 till exempel, då vet jag vad jag ska flytta kommatecknet då borde det vara 5,8

Peter tar hjälp av tumstocken som referensram när han enhetsomvandlar och menar att han vet att 5840 borde vara 5,8 meter eftersom en tummstock på 2 meter är 2000 millimeter. Han tar också hjälp av sin erfarenhet, om hur det brukar vara, det vill säga vad som är rimligt.

Uppgift 2

Jag fick direkt frågan i samband med presentationen av uppgiften om de fick använda miniräknare eller om det förväntades att de skulle räkna med huvudräkning. Jag uppmuntrade att prova med huvudräkning, men att miniräknare var tillåten. När jag observerade själva lösningsförfarandet av uppgift 2 så började Kalle helt korrekt med att addera 1 889,5 + 10,5 + 1600 med huvudräkning och fick det till 3500. Han dividerade sedan 3500 med 100 och fick det felaktigt till 350 och antecknade det. Sedan adderade han 1325+ 675 och fick det till 2000. Han

dividerade sedan 2000 med 100 och får det till 20, vilket är korrekt. Han multiplicerade sedan den felaktiga uträkningen 350 med det korrekta 20 genom att med huvudräkning först multiplicera 350 med 10 och sedan dubblera 3500. Kalle fick det till 7000. Han multiplicerade sedan 7000 med 4 genom att han multiplicerade 7 med 4 som är 28 och sedan lade han till 3 nollor bakom. Kalle fick svaret 28000 i uppgift 2. Korrekt svar hade varit 2800.

Ove anser sig vare sig vilja eller kunna räkna ut uppgift 2. Efter lite övertalan grupperar han i alla fall talen genom att ringa in dem, han pekar på talen 1 889,5 + 10,5 + 1600 dividerat med 100 som han först ringat in och säger att ”det är väl nån summa här då, antagligen”. Sedan pekade han på talen 1325 + 675 och dividerat med 100 och säger ”sen är det väl nån här då”. Slutligen pekar han på multiplicerat med 4 och säger ”sen skall du ha nån slutsumma”. Oves redogörelse för hur uträkningen görs är helt korrekt trots att han inte sedan gjorde någon uträkning.

Peter räknade ut 1 889,5 + 10,5 + 1600 med huvudräkning och fick det till 3500 men fastnade sedan på att dividera med 100. Det sade han att han inte kom ihåg hur man gör och försökte minnas någon uppställning från skoltiden, till slut tog han till miniräknaren och fick det helt korrekt till 35. Han adderade sedan 1325 + 675 och fick det helt korrekt till 2000 och drog sedan slutsatsen att om 3500 dividerat med 100 blev 35 så borde 2000 dividerat med 100 bli 20. Han var dock inte säker och kontrollerade detta med miniräknaren och multiplicerade sedan 35 med 20 på miniräknaren och fick det till 700. Till sist multiplicerade han 700 med 4 på miniräknaren och fick det korrekta svaret 2800.

Respondenternas reaktioner vid presentationen av uppgift 2 var osäkerhet och med ett visst motstånd. Ove förklarar så här:

Det där klarar inte jag, jag har aldrig räknat så där. Det känns.. hieroglyfer.. för mig.

Peter menade att det såg ”döknepigt ut” och Kalle utbrast ”åh grattis, det här ser jobbigt ut!”

De förklarade också att de inte räknat sådana uppgifter på många år och att de inte visste om de kunde räkna ut uppgifter av det här slaget överhuvudtaget. När de sedan tog sig tiden att sätta sig in i uppgiften så visade det sig att alla tre ändå hade förutsättningar att lösa uppgiften, även om bara Peter räknade rätt.

Jag frågade hur det kom sig att de visste i vilken ordning de skulle räkna ut talen, trots att de förklarat att de nog inte kunde sådana här tal.

Peter menade:

Jag tyckte att det skulle vara lättare, att ta summan av dom där i stället. Det blir ett mindre tal och sen bara gångra dom där, är talet fel eller?

Åter igen spelar enkelheten in, det skall vara enkelt att räkna. Peter blir osäker och frågar om han gjort fel. Kalle för samma resonemang om att förenkla talet och säger:

Det vet jag inte.. alltså dom här talen plussar jag ihop och sen delar jag med 100, då får jag ju ett tal, 350. Jag får ju krympa ner det för att det skall va enkelt att räkna i slutänden. För om jag använder huvudräkning då måste jag dela upp det så. Då gör jag ju det talet för sig då får jag det till 20. Det är ju 2000, 2000 delat på 10 tar jag då för att det är enkelt, det är ju 200 nej hur räknar jag nu? 2000…… det är ju 20 ja precis. 350 gånger 20 det är 7 000 ja och 7000 gånger 4. 7 gånger 4, det är 28 000.

Vid frågan blir även Kalle osäker och kontrollräknar och tror att han gjort fel. Vid kontrollräkningen håller han dessutom på att få talet mer fel än det redan är, genom att få 1325 + 675 dividerat med 100 till 200 i stället för det rätt uträknade 20.

Jag frågade Ove varför han inte ville prova att lösa uppgiften när han ändå kunde föra ett resonemang om hur man skulle kunna lösa uppgiften, han svarade så här:

Prova på men i och med att jag inte vet hur jag kommer lösa den, det är klart om jag sitter här i flera timmar och klurar, nej men har man inte hållit på med det då är det, då är det inte motiverat.

Motivation och osäkerhet var motivet till att Ove inte ville lösa uppgiften. Han la ifrån sig uppgiften och frågan var avslutad. Jag informerade Ove om att hans resonemang var korrekt och att jag var övertygad om att han kunde lösa uppgiften och att jag trodde att det handlade mer om ovilja snarare än oförmåga lösa uppgiften, vilket Ove bekräftade.

Respondenternas upplevelser av skillnader mellan uppgifterna

Nedan presenteras ett urval av respondenternas svar på intervjufrågorna efter att de löst de båda uppgifterna (se bilaga 2).

Jag frågade respondenterna vad de ansåg vara skillnaden mellan uppgifterna och om det var någon skillnad i att lösa uppgifterna, Peter svarade:

Jag: Vad anser du att det är för skillnad mellan uppgifterna?

Peter: För mig, det är ju bara siffror, det säger mig inte någonting (om den formaliserade uppgiften).

Jag: vad är det för skillnad att lösa uppgifterna, tänker man olika?

Peter: Ja, dels för att man är rätt dålig på det här (om den formaliserade uppgiften) då upplever man ju nästan nån form av frustration i stället, det är bara en massa tal.

Jag: men här då, det är ju en massa tal på ritningen.

Peter: Ja men det är mer en problemlösning i ett sammanhang jag kan sätta mig in i och ser rent visuellt.

Den formaliserade uppgiften beskrevs som obekant och bara en massa tal som skapar frustration.

I den praktiska uppgiften kunde Peter visualisera uppgiften, det vill säga han kunde se rummet framför sig och använda sig av sina erfarenheter. Även Kalle beskrev betydelsen av att kunna visualisera när han fick frågan om skillnader och menade att:

Ja precis, här e ju jag hela dagarna (pekar på ritningen). Det här är ju inget mer än siffror för mig (pekar på den formella). Det här (om den praktiska) är ju ett ställe som jag kan se framför mig, ja då ser jag det där rummet framför mig, jaha den väggen var 4 meter och den 3 ja det är 12 kvadrat, minus en nisch där… osv //När jag fick se talet ordentligt (om den formaliserade uppgiften) då