Tentamen TEN1, HF1012, 22 aug 2018 Matematisk statistik
Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:00-12:00
Lärare och examinator : Armin Halilovic
Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken typ som helst.
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.
Skriv namn och personnummer på varje blad.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar.
Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen ger maximalt 32 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 30, 24, 20, 16 respektive 12 poäng.
Komplettering: 11 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .
=======================================================
Uppgift 1. (3p) Bara för dem som inte klarat ks1.
Låt A och B vara två oberoende händelser sådana att P(B) = 0.5 P(A∩ B)=0.3. Bestäm
a) sannolikheten att A händer,
b) sannolikheten att minst en av A , B händer, c) sannolikheten att exakt en av A , B händer.
Uppgift 2. (3p) Bara för dem som inte klarat ks2.
En kontinuerlig stokastisk variabel X har täthetsfunktionen
≤ ≤
= 0 för övrigt x 0 ) om
(
3
a
x x f
Bestäm a) konstanten a b) väntevärdet till s.v. X.
Uppgift 3. (3p) Bara för dem som inte klarat ks3.
En Markovkedja har övergångsmatrisen P=
4 . 0 6 . 0
8 . 0 2 .
0 . Bestäm eventuella stationära sannolikhetsvektorer.
Var god vänd!
Sida 1 av 12
Uppgift 4. (3p)
I ett kontorshus finns en hiss med anslaget ”max 9 personer eller 700 kg”. Vi vill därför veta hur stor sannolikheten är att hissen överlastas. Antag att vikten av en anställd är normalfördelad med väntevärde 75 kg och standardavvikelse 10 kg. Olika personers vikt är oberoende. Beräkna sannolikheten att vikten av 9 personer överskrider 700 kg.
Uppgift 5. (4p)
I en låda finns det 100 defekta och 900 korrekta produkter. Vi väljer 7 produkter på måfå ( utan hänsyn till ordning).
Bestäm sannolikheten att få
a) 2 defekta och 5 korrekta produkter (bland 7 valda), b) alla korrekta produkter.
c) högst 2 defekta.
d) minst 2 defekta.
(Du svarar med binomialkoefficienter. )
Uppgift 6) (4 p) Livslängden ( tiden räknas i dagar) för en vis typ av lampor är
exponentialfördelad med parametern λ =0.05 (tiden räknas i dagar). En sådan lampa ingår i en utrustning, som ständigt är i bruk ombord på ett fartig. När en lampa går sönder, byts det genast mot en ny. Man har 16 sådana lampor i ett lager ombord.
a) (3p) Beräkna sannolikheten att de 16 lamporna räcker minst 200 dagar.
b) (1p) Bestäm en tid T (i dagar) så att sannolikheten att de 16 lamporna räcker minst T dagar är lika med 0.99.
Uppgift 7. (4p) Vid bestämning av en konstant i ett experiment har man gjort 25 mätningar.
Mätningarna är oberoende och normalfördelade med väntevärdetµoch med en känd standardavvikelse. Resultatet gav ett konfidensintervall [120,130] med 90% konfidensgrad.
Då denna noggrannhet inte var tillräcklig vill man få ett hälften så brett konfidensintervall med konfidensgraden 95%. Hur många ytterligare mätningar krävs?
Uppgift 8. (5p) Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M/3/3 (tre betjänare och 3 köplatser) . Ankomstintensiteten är λ =10 kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ=4 kunder/minut.
Bestäm
a) (2p) sannolikheterna p0, p1,…,p6 b) (1p) medelantalkunder i systemet, N
c) (1p) systemets effektiva ankomstintensitet, λ eff
d) (1p) sannolikheten att en kund får betjäning utan att vänta.
Uppgift 9. (3p) Låt X(t) vara en kontinuerlig tidshomogen Markovkedja med övergångsmatrisen P( t∆ och )
t I t Q P
t ∆
−
= ∆
→
∆
) lim (
0 . Härled formeln p′(t)= p(t)Q. Lycka till.
Sida 2 av 12
M/M/m/K kösystem
/Beteckningar:p k Stationära sannolikheter;
p är sannolikheten för k kunder i systemet k
N Medelantal kunder i systemet, N = Nq +Ns Nq Medelantal kunder i kön
N s Medelantal kunder i betjänarna
x~ Betjäningstid för en kund (stokastisk variabel ) x Medel betjäningstid för en kund, x =E(x~)
w~ Väntetid (=tid i kö) för en kund (stokastisk variabel ) W Medel väntetid för en kund, W =E(w~)
s~ Total tid i systemet för en kund; s~ = x~ + w~
T Medel totaltid i systemet för en kund , x
W T = +
λ Ankomstintensitet
spärr
λ Spärrade kunder per tidsenhet λ eff Effektiv ankomstintensitet
λ =eff λ-λspärr µ Betjäningsintensitet ρ Erbjuden trafik ,
µ ρ = λ
Några formler för ett M/M/m/K kösystem:
∑ ⋅
=
k
p
kk
N
,kmax
spärr
= λ ⋅ p
λ
,λ
eff= λ − λ
spärreff
T N
= λ , µ
= 1
x , T =W +x
Littles formler:
N =λeff ⋅T Nq =λeff ⋅W Ns =λeff ⋅x
s
q N
N N = +
µ
ρ= λ , erbjuden trafik (kallas också "betjäningsfaktor")
µ
ρspärr =λspärr , spärrad trafik ,
µ
ρeff = λeff , effektiv trafik
Belastning per betjänare = Ns/m
~) (s E T =
Sida 3 av 12
FACIT
Uppgift 1. (3p) Bara för dem som inte klarat ks1.
Låt A och B vara två oberoende händelser sådana att P(B) = 0.5 P(A∩ B)=0.3. Bestäm
a) sannolikheten att A händer,
b) sannolikheten att minst en av A , B händer, c) sannolikheten att exakt en av A , B händer.
Lösning:
a) Eftersom A och B är två oberoende händelser har vi )
( ) ( )
(A B P A P B
P ∩ = , och därmed 0.3=0.5P(A).
Härav 0.6
5 ) 3 (A = =
P .
b) P(minst en av A , B händer)=P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=0.6+0.5−0.3=0.8. c)
P(Exakt en av A , B händer)= P(A∪B)−P(A∩B)=0.8 – 0.3=0.5.
(Alternativ: P(Exakt en av A , B händer)= P(A∩BC)+P(AC∩B)=0.3+0.2=0.5.)
Svar: a) 0.6
5 ) 3 (A = =
P b) 0.8 c) 0.5 Rättningsmall: 1 poäng för varje del.
Uppgift 2. (3p) Bara för dem som inte klarat ks2.
En kontinuerlig stokastisk variabel X har täthetsfunktionen
≤ ≤
= 0 för övrigt x 0 ) om
(
3
a
x x f
Bestäm a) konstanten a b) väntevärdet till s.v. X.
Lösning:
Sida 4 av 12
4 ) 4
(
4
0 4
0 3 0
a dx x
x dx x f
a a a
=
=
=
∫
∫
Eftersom ( ) 1
0
∫
a f x dx= har vi a44 =1⇒a=4 4=4 22 = 2 ≈1.41.b) Väntevärdet
5 1.13 2 4 5
2 5 ) 5
(
5 5
0 5
0 4 0
3 0
≈
=
=
=
=
=
⋅
=
=
∫
xf x dx∫
x x dx∫
x dx x aa a a
a
µ .
Svar a) a= 2 b)
5 2
= 4
µ
Rättningsmall: a=2p , b=1p.
Uppgift 3. (3p) Bara för dem som inte klarat ks3.
En Markovkedja har övergångsmatrisen P=
4 . 0 6 . 0
8 . 0 2 .
0 . Bestäm eventuella stationära sannolikhetsvektorer.
Lösning:
Låt q =(x,y) vara en stationär sannolikhetsvektor.
Då gäller
q =P q och x+ y=1
Vi skriver q =P q på komponentform:
y y x
x y y x
x y
x + =
=
⇒ +
=
4 . 0 8 . 0
6 . 0 2 . ) 0 , 4 ( . 0 6 . 0
8 . 0 2 . ) 0 , (
och lägger till ekvationen
x+ y=1 ( q är en sannolikhetsvektor) Därmed har vi systemet:
Sida 5 av 12
= +
=
−
= +
−
⇒
= +
= +
= +
1
0 6 . 0 8 . 0
0 6 . 0 8 . 0 1
4 . 0 8 . 0
6 . 0 2 . 0
y x
y x
y x
y x
y y x
x y x
Andra ekvationen är ekvivalent med första.
Från första ekvationen har vi
3 4 6 8x x
y= = som vi substituerar i tredje ekvationen och får
7 1 3
3 1 7 3
4 = ⇒ = ⇒ =
+ x x x
x . Därmed
7
= 4 y . Svar: q =(3/7, 4/7)
Rättningsmall: Korrekt system ger 1p. Korrekten koordinat ger +1p. Allt korrekt=3p.
Uppgift 4. (3p)
I ett kontorshus finns en hiss med anslaget ”max 9 personer eller 700 kg”. Vi vill därför veta hur stor sannolikheten är att hissen överlastas. Antag att vikten av en anställd är normalfördelad med väntevärde 75 kg och standardavvikelse 10 kg. Olika personers vikt är oberoende. Beräkna sannolikheten att vikten av 9 personer överskrider 700 kg.
Lösning:
9 4
3 2
1 X X X X
X
Y = + + + ++ är approximativt N(9⋅µ, σ 9)=N(675;30)
2033 . 0 0.7967 1
) 83 . 0 ( 1 6) (5 1
30 ) 675 (700 1
) 700 ( 1 ) 700 (
1 ) 700 (
=
−
= Φ
−
= Φ
−
=
Φ −
−
=
−
=
≤
−
=
> P Y F
Y P
Svar: 0.2033
Rättningsmall: Korrekt till och med Y =N(675;30) ger 1p. KorrektΦ(0.83)=0.7967 ger +1p. Allt korrekt=3p.
Uppgift 5. (4p)
I en låda finns det 100 defekta och 900 korrekta produkter. Vi väljer 7 produkter på måfå ( utan hänsyn till ordning).
Bestäm sannolikheten att få
a) 2 defekta och 5 korrekta produkter (bland 7 valda), b) alla korrekta produkter.
Sida 6 av 12
c) högst 2 defekta.
d) minst 2 defekta.
Du svarar med binomialkoefficienter.
Lösning:
a) Pa=
7 1000
5 900 2
100
b) Pb=
7 1000
7 900
c ) Pc=
+
+
7 1000
5 900 2
100
7 1000
6 900 1
100
7 1000
7 900 0
100
d) Pd=
+
−
7 1000
6 900 1
100
7 1000
7 900 0
100 1
Rättningsmall: 1 poäng för varje del.
Uppgift 6) (4 p) Livslängden ( tiden räknas i dagar) för en vis typ av lampor är
exponentialfördelad med parametern λ =0.05 (tiden räknas i dagar). En sådan lampa ingår i en utrustning, som ständigt är i bruk ombord på ett fartig. När en lampa går sönder, byts det genast mot en ny. Man har 16 sådana lampor i ett lager ombord.
a) (3p) Beräkna sannolikheten att de 16 lamporna räcker minst 200 dagar.
b) (1p) Bestäm en tid T (i dagar) så att sannolikheten att de 16 lamporna räcker minst T dagar är lika med 0.99.
Sida 7 av 12
Lösning:
Låt Xi beteckna livslängden hos en lampa.
För exponentialfördelade s.v. Xi med parameter λ =0.05 gäller ( formelblad sida 3):
i) väntevärdet = 1 =20 µ λ , ii) variansen Var( Xi)= 12 ⇒
λ standardavvikelsen = = 1 =20
σ Var λ . Låt Y beteckna den totala livslängden hos de 16 lamporna.
Då gäller Y = X1+X2 + X3 ++X16.
Enligt CGS är Y approximativt N(16⋅µ,σ 16)=N(320,80) a) Sannolikheten att de 16 lamporna räcker minst 200 dagar är
− = Φ
−
=
−
=
<
−
=
≥ )
80 320 (200
1 ) 200 ( 1 ) 200 (
1 ) 200
(Y P Y F
P
0.9232.
0668 . 0 1 ) 5 . 1 (
1−Φ − = − =
=
b) Vi söker T så att P(Y ≥ T)=0.99. Alltså
99 . 0 ) (
1−P Y <T = ) 0.01
80 ( 320 01
. 0 )
( < = ⇔Φ − =
⇔ T
T Y P
Från formelbladet får vi 2.3263 80
320=−
−
T .
Härav T =320−2.3263⋅80=133.8960 (Den här gången avrundar vi nedåt.) Svar: a) 0.9232. b) T =133dagar
Rättningsmall:
a) Korrekt standardavvikelen av Xi=1p. Korrekt till Y är approximativt N(320,80)ger +1p.
Allt korrekt i a-delen=3p.
b) Korrekt b ger +1p
Uppgift 7. (4p) Vid bestämning av en konstant i ett experiment har man gjort 25 mätningar.
Mätningarna är oberoende och normalfördelade med väntevärdetµoch med en känd standardavvikelse. Resultatet gav ett konfidensintervall [120,130] med 90% konfidensgrad.
Då denna noggrannhet inte var tillräcklig vill man få ett hälften så brett konfidensintervall med konfidensgraden 95%. Hur många ytterligare mätningar krävs?
Lösning:
Längden av intervallet [120,130] är d1=130 – 120=10.
Enligt formeln för ett konfidensintervall ( /2 , /2 ) x n
x−λα σn +λα σ ser vi att
Sida 8 av 12
intervallets längd är
n λα/2 σ
2 .
Vi använder informationen om konfidensintervallet med 90% konfidensgrad efter 25 mätningar och bestämmer σ ur ekvationen
10 2 /2 =
n
λα σ , där λα/2 = 1.6449 och n=25.
Vi har
6449 . 1 2
25 10 2
10
2
/ = ⋅
= λα
σ n =15.19849231
För att få antalet mätningar n2 som svarar mot kravet att det nya konfidensintervallet har 95%
konfidensgrad och längden d2=10/2=5 använder vi (igen) ekvationen
d =2λα 2/ σn (*),
där den här gången d= d2=10/2=5, λ = 1.96 och =α/2 σ 15.19849231.
Från (*) har vi
n =2λα/2σd eller
2 2
2 /
=
n λα σd .
Alltså behöver vi 142
5 1 15.1984923 96
. 1 2
2
2 ≈
⋅ ⋅
=
n mätningar.
Eftersom vi redan har gjort 25 mätningar, har vi kvar ytterligare 81mätningar.
Svar: Det krävs yterliggare 117 mätningar.
Rättningsmall:
Korrekt σ=12.15879385 ger 2 p (mindre räknefel -1p) Allt korrekt=4p
Uppgift 8. (5p) Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M/3/3 (tre betjänare och 3 köplatser) . Ankomstintensiteten är λ =10 kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ=4 kunder/minut.
Bestäm
a) (2p) sannolikheterna p0, p1,…,p6
b) (1p) medelantalkunder i systemet, N
c) (1p) systemets effektiva ankomstintensitet, λ eff
d) (1p) sannolikheten att en kund får betjäning utan att vänta.
Lösning:
Sida 9 av 12
För att rita tillståndsgraf tar vi hänsyn till följande:
i) Totalantal platser i systemet är
kmax=(antalet betjänare)+(antalet köplatser)=m+K=2+3=5 ii) Ankomstintensitet är konstant λ =8 kunder per minut.
ii) Betjäningsintensiteten för en betjänare är µ=5 kunder/minut.
Om båda två betjänare jobbar samtidigt (det händer när vi har två eller flera kunder i systemet ) då är systemets betjäningsintensitet =2µ=10 kunder/minut.
Därför har vi följande tillståndsgraf
Först ritar vi tillståndsgrafer med övergångsintensiteter.
a) Med hjälp av teorin för födelsedödsprocesser har vi följande relationer mellan de stationära sannolikheterna pk och p0:
Vi har
0 0
0 1 0
1 2.5
4
10 p p
p
p = = =
µ
λ , 0 0 0
2 1
1 0
2 3.125
8 4
10
10 p p
p
p =
⋅
= ⋅
= µ µ λ
λ (*)
Sida 10 av 12
på liknande sätt 0
3 2 1
2 1 0
3 p
p µ µ µ λ λ
= λ =2.60416666 p , 7 0 p4 =2.17013888 p9 0
0 5 1.80844907 p4
p = och, p6 =1.50704089 p5 0
För att bestämma p substituerar vi ovanstående relationer i ekvationen 0
5 1
4 3 2 1
0+ p +p + p + p +p =
p och får 14.71479552p0 =1.
Härav p0= 0.06795881046 Substitutionen i (*) ger
p[0] := 0.06795881046 p[1] := 0.1698970261 p[2] := 0.2123712827 p[3] := 0.1769760689 p[4] := 0.1474800574 p[5] := 0.1229000478 p[6] := 0.1024167065
b) N =0p0+1p1+2p2+3p3+4p4+5p5+6p6=2.944488506 c) (Se formelblad)
Först = ⋅ =10 6 =
max p
pk
spärr λ
λ 1.024167065,
Därefter λeff =λ−λspärr = 10 – 1.024167065=8.975832934.
d) En kund får betjäning utan att vänta om kunder finner minst en ledig betjänare.
Sannolikheten för detta Pd = p0+ p1+p2=0 .4502271193 Svar: Se ovan.
a) 1p om figuren är korrekt. 2p om allt är korrekt.
b,c,d) Rätt eller fel.
Uppgift 9. (3p) Låt X(t) vara en kontinuerlig tidshomogen Markovkedja med övergångsmatrisen P( t∆ och )
t I t Q P
t ∆
−
= ∆
→
∆
) lim (
0 . Härled formeln p′(t)= p(t)Q. Lösning:
Övergångsmatrisen P beror av t∆ och uppfyller
Sida 11 av 12
) ( ) ( )
(t t p t P t p +∆ = ∆
( ekv1)
För att härleda en differentialekvation för p(t), subtraherar vi p(t) från båda leden i (ekv1) och
delar med t∆ :
∆ ⇒
−
= ∆
∆
−
∆ +
t t p t P t p t
t p t t
p( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t I t t P t p
t p t t p
∆
−
= ∆
∆
−
∆
+ ( )
) ) ( ( )
(
( där I är en enhetsmatris) . Om ∆t→0 får vi följande viktiga ekvation :
t I t t P
p t
p t ∆
−
= ∆
′ ∆→
) lim ( ) ( )
( 0
.
Eftersom
t I t Q P
t ∆
−
= ∆
→
∆
) lim (
0 får vi Q
t p t
p′( )= ( ) V.S.B.
Sida 12 av 12
