version A
Sida 1 av 3
KONTROLLSKRIVNING 1
Kurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Tisdag 28 mars 2017 Skrivtid: 13:15-15:00
Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst.
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.
Inga toabesök eller andra raster.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar.
Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. För godkänt krävs 3 av max 5 poäng.
Uppgift 1. (1 p) För händelserna A och B gäller att P(A)0.5 , P(A B)0.3 och 6
. 0 ) (B
P . Bestäm sannolikheten att varken A eller B inträffar dvs P(ACBC).
Uppgift 2. (1p) Nedanstående system fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan punkterna A och B. Komponenter K1, K2, K3 och K4 i systemet fungerar, oberoende av varandra, med sannolikheterna 0.4, 0. 5, 0.6 respektive 0.8. Bestäm sannolikheten att systemet fungerar.
K1
K2
K3
A K4 B
Uppgift 3. (2p) Ett varuparti om 100 enheter innehåller 8 defekta enheter. En köpare tar ut på måfå, och utan återläggning, 6 enheter och undersöker dessa.
a) Vad är sannolikheten att exakt två av dessa är defekta.
b) Köparen accepterar partiet om högst en enhet (bland 6 valda) är defekt. Vad är sannolikheten för detta.
I både, a- och b-delen, svarar du med binomiska koefficienter.
Uppgift 4. (1p) Använd definitionen
)!
(
!
! k n k
n k
n deff
och bevisa följande relation för
binomiska koefficienter
1 1
1 k
n k
n k
n .
Lycka till.
version A
Sida 2 av 3
FACIT
Uppgift 1. (1 p) För händelserna A och B gäller att P(A)0.5 , P(A B)0.3 och 6
. 0 ) (B
P . Bestäm sannolikheten att varken A eller B inträffar dvs P(ACBC). Lösning:
Först 8P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.50.60.30. . Enligt de Morgans lagar gäller
2 . 0 8 . 0 1 ) (
1 )
(A B P AB
P C C
Svar: P(AC BC)=0.2
Uppgift 2. (1p) Nedanstående system fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan punkterna A och B. Komponenter K1, K2, K3 och K4 i systemet fungerar, oberoende av varandra, med sannolikheterna 0.4, 0. 5, 0.6 respektive 0.8. Bestäm sannolikheten att systemet fungerar.
K1
K2
K3
A K4 B
Lösning:
704 . 0 88 . 0 8 . 0 ] 12 . 0 1 [ 8 . 0 ] 4 . 0 5 . 0 6 . 0 1 [ 8 . 0 )]
1 )(
1 )(
1 ( 1
[ 1 2 3
4
k k k k
P
Svar: 0.704
Uppgift 3. (2p) Ett varuparti om 100 enheter innehåller 8 defekta enheter. En köpare tar ut på måfå, och utan återläggning, 6 enheter och undersöker dessa.
a) Vad är sannolikheten att exakt två av dessa är defekta.
b) Köparen accepterar partiet om högst en enhet (bland 6 valda) är defekt. Vad är sannolikheten för detta.
I både, a- och b-delen, svarar du med binomiska koefficienter.
Lösning:
a)
6 100
2 8 4 92
Pa b)
6 100
1 8 5 92
6 100
0 8 6 92 Pb
version A
Sida 3 av 3
Uppgift 4. (1p) Använd definitionen
)!
(
!
! k n k
n k
n deff
och bevisa följande relation för
binomiska koefficienter
1 1
1 k
n k
n k
n .
Bevis:
Vänsterledet: VL=
))!
1 ( ( )!
1 (
! )!
(
!
!
1
k n k
n k
n k
n k
n k
n
)!
( )!
1 (
)!
1 ( )
1 )(
( 1 )!
1 (
!
! )
1 )(
( 1 )!
1 (
!
!
1 1 1
)!
1 (
!
! ))!
1 (
)!
1 (
! )!
(
!
!
k n k
n k
k n
n k
n k
n k
k n
k n k k
n k
n
k k n k
n k
n k
n k
n k
n k
n
Högerledet: HL=
deff
k n
1 1
)!
( )!
1 (
)!
1 ( ))!
1 ( 1 ( )!
1 (
)!
1 (
k n k
n k
n k
n
Eftersom VL=HL har vi bevisat formeln.
