Sida 1 av 8 Tentamen TEN1, HF1012, 25 maj 2020
Matematisk statistik DEL1 (STATISTIK) Kurskod HF1012
Lärare och examinator: Armin Halilovic Lärare: Niclas Hjelm
DEL1 Skrivtid: 14:00-16:30 (därefter 15 min för att ta bilder och + 15 minuter rast) Extra skrivtid: 14:00-17:45 (därefter 15 min för att ta bilder och + 15 minuter rast) Under hela skrivningen ska du vara synlig i Zoom.
Använd papper och penna för att lösa dina uppgifter.
Du tar bilder av dina lösningar och sparar bilder som PDF, JPG, JPEG, HEIC eller PNG filer.
(Vi föredrar PDF-format) Alla filer samlar du i en mapp.
Viktigt: Mappens namn ska innehålla ditt efternamn och namn, med andra ord använd EFTERNAMN_NAMN som namn på mappen med dina lösningar.
Komprimera mappen och ladda upp på Canvas:
https://kth.instructure.com/courses/23229/assignments
i mappen: Del1_TEN_25_maj_2020 ( eller EXTRA_tid_Del1_TEN_25_maj_2020)
Hjälpmedel: Formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken typ som helst.
Skriv namn och personnummer på varje blad.
Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen ger maximalt 32 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 30, 24, 20, 16 respektive 12 poäng.
Komplettering: 11 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar.
=======================================================
Allmänna instruktioner: Parametrarna a och b i nedanstående uppgifter är de sista två siffrorna i ditt personnummer. (T ex: Om ditt personnummer är 751332 2248 så är a=4 och b=8.)
Sida 2 av 8 Uppgift 1. (3p)
Ett varuparti om 200 enheter innehåller (a+10) defekta enheter. ( Konstanten a är från ditt personnummer.)
En köpare tar ut på måfå, och utan återläggning, 6 enheter och undersöker dessa.
i) Vad är sannolikheten att exakt två av dessa är defekta.
ii) Vad är sannolikheten att alla är korrekta.
iii) Köparen accepterar partiet om högst en enhet (bland 6 valda) är defekt. Vad är sannolikheten för detta.
Du svarar med binomiska koefficienter.
Uppgift 2. (3p) Bara för dem som inte klarat ks2. ( Konstanten b nedan är från ditt personnummer.)
På ett lager finns (5+b) elektroniska komponenter . Livslängden för en komponent kan antas vara en exponentialfördelad stokastisk variabel med väntevärdet (300+ b) timmar.
i) Hur stor är sannolikheten att en komponent håller minst 295 timmar.
ii) Bestäm sannolikheten för att minst 4 av de (5+ b) komponenter håller minst (295) timmar.
( Du svarar med binomiska koefficienter i ii) frågan)
Uppgift 3. (3p) som svarar mot KS3 finns i andra delen av tentamen
================================================
Uppgift 4. (4p) Låt
( 1) , 03 1 ( ) 0, för övrigt
k a x x
f x + ≤ ≤
=
vara täthetsfunktionen (frekvensfunktion) för en stokastisk variabel X . ( Konstanten a är från ditt personnummer.)
i) Bestäm konstanten k ii) Bestäm väntevärdet E(X)
iii) Bestäm sannolikheten P(1/ 2≤ X ≤ 1) iv) Bestäm medianen till s.v. X
Sida 3 av 8
Uppgift 5. (4p) En student testade två mätinstrument X och Y. Studenten gjorde 5 mätningar , parvis (under samma villkor), och vick följande resultat
X: (322+a), (325+a), 332, 323, 328 Y: (324+a), (321+a), 331, 324, 330 ( Konstanten a är från ditt personnummer.)
Vi antar normalfördelning.
i) (3p) Bestäm ett konfidensintervall för µX −µY med konfidensgrad 95% .
ii) (1p) Kan man med 95% sannolikhet påstå att mätinstrumenten X och Y skiljer sig åt?
Motivera svaret.
Uppgift 6. (3p) Låt ξ ξ1, , ... ,2 ξ10 vara oberoende normalfördelade stokastiska variabler med väntevärdet µ=100 b+ och standardavvikelsen σ = . 4
( Konstanten b är från ditt personnummer.)
Låt 1 2 ... 10
10
ξ ξ ξ
η = + + + .
Bestäm ett tal x sådant att P(η≥x) 0.10= . Uppgift 7. (4p)
Bestäm antalet heltal n, där 1 ≤ n ≤ (180+a) som är delbara med minst ett av talen x, y, z där x = (a+3), y= (a+4) och z= (a+5).
( Konstanten a är från ditt personnummer.)
FACIT
Uppgift 1. (3p)
Ett varuparti om 200 enheter innehåller (a+10) defekta enheter. En köpare tar ut på måfå, och utan återläggning, 6 enheter och undersöker dessa.
i) Vad är sannolikheten att exakt två av dessa är defekta.
ii) Vad är sannolikheten att alla är korrekta.
iii) Köparen accepterar partiet om högst en enhet (bland 6 valda) är defekt. Vad är sannolikheten för detta.
I både, a- och b-delen, svarar du med binomiska koefficienter.
Lösning: för a=8
i)
182 18
4 2
200 6 P
=
ii)
182 6 200
6 P
=
iii)
182 18 182 18
6 0 5 1
200 200
6 6
P
= +
Svar i allmänt fall:
Sida 4 av 8 i)
190 10
4 2
200 6 a a P
− +
=
ii)
190 6 200
6 a P
−
=
iii)
190 10 190 10
6 0 5 1
200 200
6 6
a a a a
P
− + − +
= +
Rättningsmall: 1p för varje del
Uppgift 2. (3p) Bara för dem som inte klarat ks2. ( Konstanten b nedan är från ditt personnummer.)
På ett lager finns (5+b) elektroniska komponenter . Livslängden för en komponent kan antas vara en exponentialfördelad stokastisk variabel med väntevärdet (300+ b) timmar.
i) Hur stor är sannolikheten att en komponent håller minst 295 timmar.
ii) Bestäm sannolikheten för att minst 4 av de (5+ b) komponenter håller minst (295) timmar.
( Du svarar med binomiska koefficienter i ii) frågan) Lösning:
1 300 b λ=
+ ,
i) p= P(komponent håller minst 295 timmar)=e−295λ. ii) Låt q= − 1 p
P(minst 4 av de (5+ b) komponenter håller minst (295) timmar)=
= 5 4 (5 4) 5 5 0
4 ... 5
b b
b b
p q p q
b
+ − +
+ +
+ + +
.
Rättningsmall: 1p för 1 300 b λ =
+ ,
+1p för p= P(komponent håller minst 295 timmar)=e−295λ. Allt rätt =3p.
Uppgift 3. (3p) som svarar mot KS3 finns i andra delen av tentamen
================================================
Uppgift 4. (4p) Låt
Sida 5 av 8 ( 1) , 03 1
( ) 0, för övrigt
k a x x
f x + ≤ ≤
=
vara täthetsfunktionen (frekvensfunktion) för en stokastisk variabel X . ( Konstanten a är från ditt personnummer.)
i) Bestäm konstanten k ii) Bestäm väntevärdet E(X)
iii) Bestäm sannolikheten (1/ 2P ≤ X ≤ 1) iv) Bestäm medianen till s.v. X
Lösning:
i) Från 1 3 4
0
1 1
( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1
0
4 4
k a x dx k a x k a
+ = ⇔ + = ⇔ + =
∫
har vi 4 k 1
=a
+ .
Detta gör
4 , 03 1 ( ) 0, för övrigt
x x
f x ≤ ≤
=
ii) 1 3
0
( ) 4 4 E X =
∫
x x dx⋅ =5 iii)1 4 1
3
1/2 1/2
(1/ 2 1) 4 4 15
4 16
P X x dx x
≤ ≤ = = =
∫
iv) Medianen är lösning till ekvationen ( ) 1 P X t≤ = . 2
(Anmärkning: I vårt fall, lösningen ligger i intervallet 0≤ ≤x 1)
Därmed 3 4 4
0 0
1 1 1
4 4
2 4 2 2
t x dx x t t
= ⇔ = ⇔ =
∫
som gör 1 1/4t = 2 . Rättningsmall: 1p för varje del
Uppgift 5. (4p) En student testade två mätinstrument X och Y. Studenten gjorde 5 mätningar , parvis (under samma villkor), och vick följande resultat
Sida 6 av 8 X: (322+a), (325+a), 332, 323, 328 Y: (324+a), (321+a), 331, 324, 330 ( Konstanten a är från ditt personnummer.)
Vi antar normalfördelning.
i) (3p) Bestäm ett konfidensintervall för µX −µY med konfidensgrad 95% .
ii) (1p) Kan man med 95% sannolikhet påstå att mätinstrumenten X och Y skiljer sig åt?
Motivera svaret.
Lösning för a=8.
Vi har
X: 330, 333, 332, 323, 328 Y: 332, 329, 331, 324, 330 Låt Z=X – Y =[ –2, 4, 1, –1, –2].
Vi bestämmer medelvärdet och standardavikelsen för data i listan L.
z=0 s*obs =2.5495, tα/2(4) 2.7 64= 7 , konfidensintervall:
2.5495 2.5495
0 2
2.7764 ,0 .7764 5 5
− ⋅ + ⋅
=[–3.1656, 3.1656]
Svar: Eftersom intervallet innehåller noll så kan man inte, med 95% säkerhet påstå, att mätinstrumenten X och Y skiljer sig åt.
Svar i allmänt: samma som ovan.
Rättningsmall: +1p z =0 +1p s*obs =2.5495 +1p för korrekt intervall [–3.1656, 3.1656]
+1p för korrekt ii)
Uppgift 6. (3p) Låt ξ ξ1, , ... ,2 ξ10 vara oberoende normalfördelade stokastiska variabler med väntevärdet µ=100 b+ och standardavvikelsen σ = . 4
( Konstanten b är från ditt personnummer.)
Låt 1 2 ... 10
10
ξ ξ ξ
η = + + + .
Bestäm ett tal x sådant att (Pη≥ x) 0.10= .
Sida 7 av 8 Lösning för b=8.
För b=8 har vi µ=108, σ = . 4
Enligt formelblad (eller tillämpning av egenskaper för linjäre kombinationer av normalfördelade s.v.) har vi
Väntevärdet av η är E( )η = =µ 108. Standardavvikelsen av η är 4
η 10
σ = = 1.2649.
( ) 0.10 ( ) 0.90 ( ) 0.90 (x ) 0.90
P x P x F x
η
η η µ
σ
≥ = ⇔ ≤ = ⇔ = ⇔ F − =
108 1.2649 108 1.2649 109.62
1.2816 1.2816 1.2816
1.2816 =
x x x
x
η η
µ µ σ
σ
⇔ − = ⇔ = + ⋅ ⇔ = + ⋅
⇔ = + ⋅
Svar: x=109.62.
Svar för alla värden på b: x=100 +b+1.62 Rättningsmall: +1p för korrekt 4
η 10
σ =
+1p för korrekt intervall ekvationen x 1.2816
η
µ σ
− =
3p om allt är korrekt.
Uppgift 7. (4p)
Bestäm antalet heltal n, där 1 ≤ n ≤ (180+a) som är delbara med minst ett av talen x, y, z där x = (a+3), y= (a+4) och z= (a+5).
( Konstanten a är från ditt personnummer.) Lösning (för a=6)
Vi ska bestämma antalet heltal n, där 1 ≤ n ≤ 186 som är delbara med minst ett av talen x, y, z där x =9, y= 10 och z= 11.
Vår grundmängd är G={1,2,3,…,186}.
Vi inför följande beteckningar:
A: de tal mellan 1 och 86 som är delbara med x=9.
B: de tal mellan 1 och 86 som är delbara med y=10.
C: de tal mellan 1 och 86 som är delbara med z=11.
Unionen A∪B∪Comfattar alla tal som ligger i minst en av mängderna A,B,C. (Med andra
Sida 8 av 8
ord består unionen av all heltal som ligger mellan 1 och 86 och som är delbara med minst ett av talen x,y eller z.
Låt |M |beteckna antalet element i mängden M.
Då gäller
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|A∪B∪C = A + B + C − A∩B − A∩C − B∩C + A∩B∩C
|A| dvs antalet heltal mellan 1 och 186 som är delbara med 9 är 186 20 9
=
.
|B| dvs antalet heltal mellan 1 och 186 som är delbara med 10 är 186 18 10
=
|C| dvs antalet heltal mellan 1 och 186 som är delbara med 11är 186 16 11
=
.
Notera först att minsta gemensamma multipel för 9 och 10 är 90.
Därmed är antalet heltal mellan 1 och 186 som är delbara med både 9 och 10 och därmed med 90 är 186 2
90
=
.
Alltså |A ∩B| =2
På samma sätt är | | 186 1 A C ∩ = 99 = , | | 186 1
B C ∩ =110=
och | | 186 0
A B C ∩ ∩ =990= .
Slutligen: |A B C∪ ∪ =| 20 18 16 2 1 1 0+ + − − − + =50.
Svar (för a=6) : 50 Svar för alla p:
a: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Antalet: 108, 84, 77, 65, 62, 53, 50, 45, 43, 38
Rättningsmall: 1p för korrekt formel
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|A∪B∪C = A + B + C − A∩B − A∩C − B∩C + A∩B∩C 2p för korrekt formel och metod, men endast ett räknefel.
3p om allt är korrekt men motivering är dålig 4p om allt är korrekt med klar motivering.
