Möbiustransformationer ur ett Euklidiskt perspektiv

AKADEMIN FÖR TEKNIK OCH MILJÖ

Avdelningen för elektronik, matematik och naturvetenskap

Möbiustransformationer ur ett Euklidiskt perspektiv

Eventuell underrubrik på ditt arbete

Joakim Ericson 2018

Examensarbete, Grundnivå (kandidatexamen), 15 hp Matematik

Lärarprogrammet

Handledare: Johan Björklund Examinator: Rolf Källström

Sammanfattning

I detta examensarbete kommer vi titta på möbiustransformationer samt klassisk Euklidisk geometri i planet. Vartefter vi kommer titta närmare på deras relation och se att mycket av det vi gör med möbiustransformationer kan vi göra med Euklidisk geometri. Slutligen kommer vi titta på Inversioner och några specifika inversionsproblem.

Innehåll

Sammanfattning i

1 Inledning 1

2 Generellt om möbiustransformationer 3

2.1 Komplexa tal . . . . 3

2.2 Möbiustransformationer . . . . 3

2.3 Geometriska transformationer som funktioner . . . . 4

2.3.1 Förflyttning . . . . 4

2.3.2 Rotation . . . . 4

2.3.3 Skalning . . . . 5

2.3.4 Linjärtransformation . . . . 6

2.3.5 Inversion i enhetscirkeln . . . . 6

2.3.6 Bevis för teorem 2.2.1. . . . 6

2.4 Symmetri . . . . 8

3 Euklidisk geometri 9 3.1 Inledning . . . . 9

3.2 Historisk bakgrund . . . . 9

3.3 Euklidisk Geometri . . . . 10

3.4 Passare och Linjal . . . . 11

3.5 De grundläggande transformationerna gjorda med Euklidisk geo- metri . . . . 19

4 Inversioner 21 4.1 Två Fall . . . . 21

4.2 Steiners porism . . . . 23

4.3 Apolloniska cirklar . . . . 25

4.4 Ptolemaios Teorem . . . . 26

A Bilaga 1 - Möbiustransformationerna i Euklidisk geometri 29

Referenser 33

1 Inledning

I detta examensarbete kommer jag titta på Möbiustransformationer och hur de fungerar. Möbiustransformationer uppstod som lösningen på ett problem, näm- ligen att hitta en bijektiv analytisk funktion i komplexa talplanet som ritar ett do- män på ett annat domän. En möbiustransformation är en meromorf funktion på C, och en holomorf avbildning från riemannsfären på sig själv. Möbiustransfor- mationer genereras av tre enkla transformationer: förflyttning, rotation och skal- ning. Sammansättningen av dessa kallas linjär transformation. (obs. Komplexa tal och riemannsfären definieras nedan.)

Varpå jag sedan kommer titta på Euklidisk geometri till, en början lite historiskt följt av mer generellt. Sedan en mer specifik inriktning nämligen konstruktions- problem i talplanet med kollapsande passare och omarkerad linjal. Slutligen så jämförde jag dessa konstruktionsproblem med möbiustransformationerna ovan, för att se att vi kan återskapa önskad effekt av möbiustransformationerna med hjälp av euklidiska konstruktionsproblem.

Slutligen tittar jag på inversioner, både inversionen i linjen och inversionen i cir- keln varpå jag besöker tre specifika inversionsproblem: Steiners Porism, Apollo- niska Cirklar samt Ptolemys Teorem.

Bijektiv - En funktion är bijektiv om den är både injektiv och surjektiv. En funktion är injektiv om definitionsmängden korrelerar till högst ett värde i värdemängden.

En funktion är surjektiv om definitionsmängden korrelerar till minst ett värde i värde mängden. Sammansättningen blir då definitionsmängden korrelerar till exakt ett värde i värdemängden.

Analytisk - En komplex funktion f av en komplex variabel z är analytisk i punkten z₀ om dess komplexa derivata f⁰(z) = lim

x→∞

f(z+h) − f(z)

h existerar för alla z i en omgivning av z0, där h är ett komplext tal.

Meromorf - En funktion är meromorf om den är en kvot av två analytiska funk- tioner.

Holomorf - Synonymt med analytisk.

2 Generellt om möbiustransformationer

Detta kapitel har skrivits i samarbete med Victor Zetterström.

2.1 Komplexa tal

Varför vill man gå från de reella talen till de komplexa talen?

Komplexa tal kommer från att man vill lösa polynom, t.ex.

x²+1 =0 x² = (−1)

Denna polynomekvation saknar reella rötter då ett reellt tal i kvadrat aldrig kan bli negativt. Eftersom att de Reella talen inte räcker till för att lösa detta polynom så införde man:

±i i² = (−₁)

Vi kallar detta talet i som är imaginärt. I sin tur använder vi talet i för att beskriva andra imaginära tal via att additativt förlänga talet i. De komplexa talen i sin tur kommer från sammanvävnaden av imaginära tal och reella tal. Till exempel skriver vi en koordinat (a, b)där vi har en reell del a och en imaginär del b som a+bi.

Definition 2.1.1. Vi definierar komplexa tal som koordinater på formen(a, b)då a, b ∈ R. Vi kallar basen (0, 1)för i och bestämmer att addition samt multiplikation respektive fungerar på följande sätt.

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) (a, b) · (c, d) = (ac−bd, ad+bc)

Med hjälp av dessa kriterier kan vi bilda en kropp som vi kallar för komplexa tal och på så sätt har vi formellt konstruerat det komplexa talplanet.[1]

2.2 Möbiustransformationer

Definition 2.2.1. Vi definierar en möbiustransformation som en meromorf funktion f :C →C av formen:

w = f(z) = ^az+b cz+d

Då a, b, c, d, z ∈ _{C och ad} 6= bc, (eftersom ad = bc medför att w konstant och om w är konstant kommer inget att förändras).

Det är viktigt att notera att en sådan funktion f har en pol då nämnaren i funk- tionen är noll.

Teorem 2.2.1. [1] Låt f vara en godtycklig möbiustransformation, då gäller:

(i) f kan uttryckas som sammansättningen av en ändlig sekvens av förflyttningar, rota- tioner, skalningar och inverser.

(ii) f avbildar det utvidgade komplexa planet bijektivt på sig själv.

(iii) f avbildar klassen cirklar och linjer på linjer och cirklar.

(iv) f är konform i varje punkt förutom i sin pol.

2.3 Geometriska transformationer som funktioner

2.3.1 Förflyttning

Förflyttning är den enklaste avbildningen av alla. Den definieras av funktionen:

w = f(z) =z+c

där c är ett fixerat komplext tal. I avbildningen har varje punkt z flyttats till en punkt w genom att förflyttas med vektorn c. Detta innebär att varje objekt i kom- plexa talplanet kan avbildas till ett kongruent objekt i komplexa talplanet genom att förflytta objektet med en vektor c.[1]

2.3.2 Rotation

Rotation definieras av funktionen:

w= f(z) = ze^iφ

2.3 Geometriska transformationer som funktioner 5

Där φ är reellt, varje punkt roterar runt origo med vinkeln φ. Detta avbildar objekt i komplexa talplanet till kongruenta objekt i komplexa talplanet med rotation kring origo.[1]

2.3.3 Skalning

Skalning definieras av funktionen:

w = f(z) = pz

Där p är en positiv reell konstant som förstorar eller förminskar avståndet mellan varje punkt från origo med faktorn p. Distansen mellan vilka två punkter som helst är multiplicerad med samma konstant, eftersom:

|w1−w2| = |f(z1) − f(z2)| = |pz1−pz2| = p|z1−z2|

Skalningar omskalar avstånd och bevarar vinklar; objekt i komplexa talplanet avbildas på likformiga objekt i komplexa talplanet.[1]

2.3.4 Linjärtransformation

Linjärtransformation är vilken som helst avbildning av formen:

w = f(z) = az+b

Där a och b är komplexa konstanter och a 6= 0. Detta är en sammansättning av förflyttning, rotation och förstoring.[1]

2.3.5 Inversion i enhetscirkeln

Inversen kring enhetscirkeln definieras av funktionen:

w= f(z) = ¹ z

Den avbildar insidan av enhetscirkeln på utsidan av enhetscirkeln och vise versa.

Det är fel att hoppa till slutsatsen att den här funktionen alltid avbildar linjer till linjer och cirklar till cirklar. Men den gör det näst bästa: bilden av en linje är alltid antingen en linje eller en cirkel och likaså bilden av en cirkel. Så att så länge vi behandlar oändligheten som en punkt kan vi betrakta en linje som en generaliserad cirkel med oändlig radie och därmed säga att generaliserade cirklar avbildas på generaliserade cirklar. [1]

2.3.6 Bevis för teorem 2.2.1.

Bevis för teorem 2.2.1. Vi tittar på funktionen:

f⁰(z) = ^ad−bc (cz+d)²

2.3 Geometriska transformationer som funktioner 7

som är ett specialfall. Eftersom f⁰(z) inte försvinner så är möbiustransformatio- nen f(z)konform i varje punkt utom sin pol z= −^d

c då denna pol ger f⁰



−^d c



= ^ad−bc



−cd c +d

2 = ^ad−bc

(d−d)² = ^ad−bc 0

då c 6=0. Om vi tittar på fallet då c=0 får vi f(z) = ^az+b

d =^a d



z+^{ b} d



Vad detta innebär kommer vi att titta närmre på nedan (iv). Bra att notera är att det är tydligt att möbiustransformationer inkluderar de tidigare formulerade grundläggande transformationerna som specialfall vilket också visas nedan.

Men viktigare är att alla möbiustransformationer kan delas upp i en serie av dessa grundläggande transformationer. Om c = 0, har vi den linjära transformationen som behandlades tidigare. Då c 6=0 kan uppdelningen ses genom att skriva:

az+b cz+d =

a

c(cz+d) − ^ad c +b

cz+d = ^a

c +

b−^ad c cz+d

vilket visar att möbiustransformationen kan uttryckas som en linjärtransforma- tion (rotation + skalning + förflyttning) w1 = cz+d följt av en invers w2 = ¹

w₁ och sedan en till linjärtransformation w = (b−^ad

c )w2+^a c. (i) (ii) Möbiustransformationer är bijektiva, eftersom att

f(z) = ^az+b cz+_d ger att inversen till f är

f⁻¹(z) = ^dz+b

−cz+a

Notera att inversen av en möbiustransformation är en möbiustransformation.

f : C\{−^d

c} →_C\{^a c} Antag att f(z₁) = f(z₂)dvs:

az1+b

cz₁+d = ^az2+b cz₂+d

Eftersom att nämnaren inte är 0 så är detta ekvivalent med (az1+b)(cz2+d) = (az2+b)(cz1+d)

vilket kan ordnas om till

(ad−bc)(z1−z2) =0

Eftersom ad−bc 6= 0 implicerar detta att z₁ =z₂, vilket betyder att f är injektiv.

På samma sätt är f⁻¹ : C\{^a

c} → _C\{−^d

c} injektiv. Alltså f , f⁻¹ är injektiva, vilket implicerar att f är surjektiv. Detta ger att f är bijektiv.

(iii) Detta förklaras i "Invers till enhetscirkeln". [1]

2.4 Symmetri

En viktig aspekt av möbiustransformationer är deras symmetribevarande egen- skap.

Definition 2.4.1. Två punkter z₁ och z₂ sägs vara symmetriska med avseende på en cirkel C om varje rät linje eller cirkel som går igenom z1och z2korsar C ortogonalt. [1]

Teorem 2.4.1. Låt Cz vara en linje eller cirkel i z-planet och låt w = f(z)vara vilken möbiustransformation som helst. Då är två punkter z₁och z₂symmetriska med avseende på Cz om och endast om deras avbildningar w1 = f(z1), w2 = f(z2) är symmetriska med avseende på avbildningen av Czunder f . [1]

Som nämnt i 2.3.5 så avbildas linjer och cirklar på linjer och cirklar, inte nödvän- digtvis linjer på linjer och cirklar på cirklar.

3 Euklidisk geometri

3.1 Inledning

I detta kapitel kommer vi börja med att titta på Euklidisk geometri med ett li- tet historiskt perspektiv varpå vi sedan kommer att gå in på vanliga problem i den Euklidiska geometrin, med andra ord Passare och Linjal problem. Vi kom- mer även att titta på saker som, konstruerbara tal, Stiners porism och Apoloniska cirklar. Vi ska även se hur vi kan skapa möbiustransformationerna med hjälp av den Euklidiska geometrin.

3.2 Historisk bakgrund

Redan i Egypten, Eufrat och Tigris 2000 f.Kr. fanns det ett avancerat geometriskt kunnande. Men det är inte förrän i antika Grekland som geometrin utvecklades till deduktiv vetenskap. Thales (känd för att bortse från mytologiska förklaring- ar på världen och istället förklara naturliga objekt och fenomen med teorier och hypoteser) och Pythagoras (känd för att ha upptäckt Pythagoras sats, Pythagoras sats användes av Babylonierna och indierna århundraden innan Pythagoras, men det är möjligt att han var den första som visade den för grekerna) var viktiga per- soner i detta. Platon grundade världens första universitet ”Akademia”. Några av den tidens största filosofer och matematiker som Eudoxus (känd för att han ut- vecklade rigoröst Antiphons uteslutningsmetod, en föregångare till integralkal- kylen) och Aristoteles (känd för en mängd olika saker men inga nämnda stordåd i matematiken) som verkade i Akademia. Aristoteles var bl.a. lärare till Alexan- der den store som skapade Hellenistiska riket. Han grundade även Alexandria, ett forskningscentrum. Det var där Euklides verkade, han Samlade in tidens ma- tematiska kunskap i Elementa som består av tretton böcker. Euklides elementa är den näst mest spridda skriften i västvärlden. Euklides elementa har i historiens gång haft stora påverkningar, och den var vägledande vid utformandet av kurs- planer i geometri i skolan ända in på 1950talet. Om själva Euklides vet man inte mycket, men han verkade som nämnt i Alexandria under Ptolemaios den förstas regeringstid. Det sägs att eftersom Euklides var en känd matematiker så fick han i uppdrag av kungen att undervisa honom i geometri, men det skulle gå fort då kungen inte hade mycket tid. På vilket det sägs att Euklides svarade: Det finns ingen kungsväg till geometrin". En annan sägelse är att Euklides fick en summa pengar av kungen för att muta en kunglig yngling som var lat, så Euklides sa till ynglingen För varje sats du lär dig kommer du få ett mynt". Efter en tid hade Euklides slut på mynt och meddelade då ynglingen att det var slut med under- visningen, men ynglingen vars intresse hade blivit väckt lovade nu i sin tur ett mynt för varje sats Euklides lärde honom, när undervisningen var färdig hade Euklides fått tillbaka mynten han hade gett bort som muta.[2]

3.3 Euklidisk Geometri

Euklidisk geometri börjar med plangeometri och fortsätter till rymdgeometri av tre dimensioner. Vi kommer titta på plangeometri då det är den som har närmast koppling till möbiustransformationer då möbiustransformationer håller till i det komplexa talplanet. Euklides plangeometri bygger på axiom som består av fem grundsatser och fem postulat:

Grundsats 1. De, som är lika med ett och samma, är också lika med varandra.

Grundsats 2. Om lika adderas till lika, är de hela lika.

Grundsats 3. Om lika subtraheras från lika, är resterna lika.

Grundsats 4. De, som täcker varandra, är lika med varandra.

Grundsats 5. Det hela är större än delen.

Postulat 1. Det fordras att man kan dra en rät linje från en punkt till en annan.

Postulat 2. Att varje begränsad rät linje kan förlängas obegränsat.

Postulat 3. Att man kring varje medelpunkt kan man rita en cirkel med given radie.

Postulat 4. Att alla räta vinklar är lika.

Postulat 5. När en rät linje träffar två andra räta linjer, och de båda inre vinklarna på samma sida om den skärande räta linjen är mindre än två räta, så skall de båda räta linjerna, om de förlängs obegränsat, råkas på den sida om den skärande räta linjen som de båda vinklarna ligger som är mindre än två räta.[2]

Grundsatserna är generella regler om storheter medans postulaten är geometris- ka egenskaper som det är lätt att hålla med om utan ett utförligt bevis och som i sig själva är unika och särskilda från varandra. Det femte postulatet är lite svåra- re än de andra att bara köpa men även den stämmer. Idén att starta med axiom var troligen att Euklides ville skapa en grund som ansågs som självklar för att kunna referera tillbaka till den ”självklara” grunden vid framtida bevis för om man utför ett bevis med endast tillämpningar av självklarheter så kan inte be- viset bestridas vetenskapligt. Vi kommer främst använda postulaten. Via dessa postulat och grundsatser kan vi bevisa olika satser men det kommer vi göra när vi behöver dem för det blir många om vi ska lista alla här.

3.4 Passare och Linjal 11

3.4 Passare och Linjal

Redan i antika Grekland användes verktygen passare och linjal för att konstrue- ra tal och geometriska objekt. Via att starta med några få givna punkter så kan vi via dessa verktyg konstruera andra punkter, t.ex. så kan vi med två givna punkter konstruera linjen mellan dem och med en till sådan linje kan vi få deras skärningspunkt så vida de inte är parallella. Huvudsakligen så vill vi konstruera punkter med hjälp av cirklar och linjer som våra verktyg till att göra det.Om vi börjar med punkterna 0 och 1 så kan vi enligt tidigare mening konstruera nya punkter alltså nya tal. Vi kan se på konstruerbara tal som den minsta mängden K av komplexa tal så att 0 och 1 ligger i K samt att K uppfyller nedanstående definition:

Definition 3.4.1. De konstruerbara talen är den minsta delmängden K ⊂ C så att föl- jande egenskaper gäller:

• 1∈K och 0∈ K

• Låt a, b, a⁰, b⁰vara fyra olika punkter som alla ligger i K. Låt L vara linjen genom a och b och låt L⁰vara linjer genom a⁰och b⁰. Om L och L⁰inte är parallella så ligger deras skärning, L∩L⁰ i K.

• Låt c, d, c⁰, d⁰ vara minst två olika punkter som alla ligger i K så att c 6= d och c⁰ 6= _d⁰. Låt L vara linjen genom c och d och låt C vara cirkeln genom c⁰ med centrum i d⁰. Om L och C skär varandra så ligger deras skärning/skärningar, L∩C i K

• Låt e, f , e⁰, f⁰ Vara minst två olika punkter som alla ligger i K så att e 6= f och e⁰ 6= f⁰samt att f 6= f⁰. Låt C vara cirkeln som går genom e med centrum i f och låt C⁰vara cirkeln som går genom e⁰med centrum i f⁰. Om C och C⁰skär varandra så ligger deras skärning/skärningar, C∩C⁰i K

Med passare och linjal kan vi konstruera många saker (alltså utifrån givna start krav kan vi med endast en passare för att rita cirklar och en icke markerad linjal för att dra linjer skapa andra objekt), däribland är de exempel som vi visar nedan, samt kommer vi titta på hur vi kan konstruera komplexa tal (Så kallat konstruer- bara tal) med passare och linjal. Med passare menas en kollapsande passare så vi kan inte hålla kvar en sträcka med hjälp av passaren men vi kan använda en fler- stegs process för att flytta sträckan även med en kollapsande passare. Med linjal menar man en icke markerad linjal så vi kan inte mäta något med linjalen utan den är bara stöd för att dra linjer efter.

Vi ska nu se på några konstruktioner vi kan göra med passare och linjal, detta är intressant eftersom att konstruerbara tal följer samma regler så kan vi konstru- era något med passare och linjal och vi från start har bara konstruerbara tal så kommer våran konstruktion också att vara konstruerbara tal.

3.4 Passare och Linjal 13

Bisektris (en linje som delar en vinkel i två lika stora delar) Givet: Två strålar utgående från samma punkt A.

Första steget är att rita en cirkel med centrum i Strålarnas utgångspunkt med en godtycklig radie och ta skärningspunkterna mellan denna cirkel och strålar- na. Nästa steg blir att rita två nya cirklar med centrum i var och en av de två skärningspunkterna och radien är avståndet till den skärningspunkt som inte är cirkelns centrum och sedan ta en av de nya cirklarnas skärningspunkter. Slutli- gen tar vi den nyaste punkten och drar en linje genom strålarnas gemensamma punkt så har vi fått en bisektris som skär vinkeln mellan strålarna mitt itu.

Medelpunkt på en sträcka.

Givet: En sträcka AB.

Vi börjar med att rita två cirklar en med centrum i den ena änden av sträckan och den andra med centrum i den andra änden, deras radie väljer vi att vara sträckan själv. Vi tar nu cirklarnas skärningspunkter och drar en linje genom dem. vi får sedan en ny skärningspunkt mellan sträckan och våran linje, denna skärnings- punkt är våran medelpunkt på sträckan.

3.4 Passare och Linjal 15

Normal.

Givet: En linje L och en punkt på linjen C.

Vi börjar med att rita en cirkel med centrum i vår givna punkt med en godtycklig radie. Vi tar skärningspunkterna mellan cirkeln och våran givna linje. Från dessa skärningspunkter ritar vi två nya cirklar, med centrum i vardera skärningspunkt och radien blir distansen mellan punkterna. Vi tar nu deras skärningspunkter och drar en linje mellan dem så har vi fått en linje som är vinkelrät mot vår ursprung- liga linje som går genom vår givna punkt.

En punkts spegling i en linje.

Givet: En linje L och en punkt C som inte ligger på linjen.

Vi sätter ut två godtyckliga punkter på linjen och ritar två cirklar med centrum i vardera av dessa punkter vars radie är deras distans från vår givna punkt. Dessa cirklar skär nu varandra i vår givna punkt och i en punkt som är precis samma distans från vår givna linje som vår givna punkt är, ergo våran speglade punkt.

3.4 Passare och Linjal 17

Parallell linje.

Givet: En linje L och en punkt C som inte ligger på linjen.

Vi börjar med att sätta ut två godtyckliga punkter på vår givna linje och ritar 2 cirklar med centrum i våra två punkter vars radie är deras avstånd till vår givna punkt, via cirklarnas skärningspunkter kan vi få en vinkelrät linje, vi gör nu sam- ma sak på den nya linjen för att få en vinkelrät linje till den vinkelräta linjen som då blir en parallell linje till vår ursprungslinje.

Egenskaper hos konstruerbara tal

Proposition 3.4.1. Alla heltal är konstruerbara tal.

Bevis. Vi fick 1 från start och vi har sett hur man kan skapa(−1). Efter att ha ska- pat n och -n kan vi rita cirklarna C(n; 1)_och C(−n; 1)för att konstruera n+1 som en punkt av skärningen mellan linjen som går genom 0 och 1 (x-axeln) och cirkeln C(n; 1), samt så kan vi skapa−(n+1) som skärningen mellan samma linje och cirkeln C(−n; 1). Alltså kan alla heltal konstrueras.

I denna text kommer vi inte bevisa följande men jag kommer att lista ytterligare fem propositioner av tal som kan konstrueras:

• Alla Gaussiska heltal kan konstrueras

• Efter att ett komplext tal α har konstruerats så kan−α, iα, och ¯α också kon- strueras

• Efter att α och β har blivit konstruerade så kan α+βkonstrueras

• Varje element av områdetQ(i)kan konstrueras

• Om vi kan konstruera α, β, så kan ¹_α : (α 6=0)och α∗βkonstrueras.

Nu vidare till de tal vi inte kan konstruera:

Teorem 3.4.1. [3] Konstruerbara tal teoremet: Alla tal α som vi kan konstruera har föl- jande egenskaper:

1. α är ett algebraiskt tal. Komplexa talet α är algebraiskt om det är en lösning till en polynomekvation vars koefficienter är heltal.

2. Graden av det karakteristiska polynomet av α är en potens av två.

Vi kommer inte bevisa detta teorem i denna text.

Följdsats: Vi kan inte konstruera√³

2 eftersom att dess minimalpolynom är x³−2 alltså är den av grad 3 vilket inte är en potens av grad 2. Det följer också att det inte går att tredela en godtyckligt given vinkel med enbart passare och linjal. Vi utelämnar beviset men ytligt beskrivet så innebär tredelning av en vinkel v att vi löser ekvationen z³ =e^iv. För ”rätt” värde på v är det polynomet minimalt och vi kan använda samma resonemang som för kubikroten ur 2.[3]

3.5 De grundläggande transformationerna gjorda med Euklidisk geometri 19

3.5 De grundläggande transformationerna gjorda med Euklidisk geometri

I kapitel två gick vi igenom Förflyttning, Rotation, Skalning och Linjärtransfor- mation, i denna del ska vi titta på hur vi kan göra dessa transformationer i Eukli- disk geometri det vill säga med passare och linjal.

När vi jobbar med möbiustransformationer så jobbar vi ju med storheter och det komplexatalplanet som har ett tydligt centrum i origo, men Euklidisk geometri är ju oberoende av storheter och av vart talplanets centrum är och just därför kan vi sätta detta centrum vart som helst vilket innebär att vi börjar med att lägga origo där origo behöver vara för att få en identisk transformation se bilder i bilaga 1.

För att återskapa Förflyttningstransformationen behövde vi bara använda pos- tulat. Vi hade kvadraten från start. Vi började göra cirklar med bestämd radie (postulat 3). Vi förlängde linjerna mellan kvadratens hörn (postulat 2). Vi skapa- de nya linjer mellan punkterna som uppstod av skärningen mellan cirklarna och linjerna (postulat 1). Vi upprepade samma sak igen i en annan riktning.

För att återskapa Rotationstransformationen behövde vi bara använda postulat.

Vi hade kvadraten från start. Vi började göra cirklar med centrum i origo och radien var avståndet mellan origo och kvadratens hörn (postulat 3). Vi ritade en ny linje genom A och E (postulat 1). Vi gjorde 2 cirklar, en med centrum i A och en med centrum i F båda med radie AF (postulat 3). Vi skapade då en ny linje med hjälp av skärningspunkterna i dessa nya cirklar (postulat 1). Vi skapade 2 nya cirklar en med centrum i A och en med centrum i I båda med radie IA (postulat 3). Vi skapade en linje med hjälp av dessa cirklars skärningspunkter (postulat 1).

Denna nya linje gav oss de nya punkterna för A och C, vi upprepade sedan denna process för att få de nya punkterna till B och D.

För att återskapa Skalningstransformationen behövde vi bara använda postulat.

Vi hade kvadraten från start. Vi började med att göra cirklar vars centrum var varje hörn punkt och radie var distansen till origo (postulat 3). Vi skapade linjer genom origo och hörnen (postulat 1). Vi ritade den nya kvadraten med de nya hörnen (postulat 1).

Linjärtransformation blir på samma sätt i Euklidisk geometri som i möbiustrans- formationer, alltså att man kombinerar de olika stegen. Men det spelar viss roll i vilken ordning vi utför varje steg. vi kan exempelvis inte börja med förflyttning i detta fall för då blir det en annan transformation. Däremot i detta fall spelar det ingen roll om vi börjar med skalning eller rotation det viktiga är att vi börjar med någon av dem och tar den andra efter för att sedan avsluta med förflyttning.

Dessa transformationer kan utfärdas på flera olika figurer samtidigt och av olika slag, i en polygon behöver vi alltid bara hitta hörnen så kan vi skapa den ”nya”

figuren i en cirkel behöver vi hitta den ”nya” mittpunkten och en punkt på randen så får vi den ”nya” cirkeln.

För bilder se bilaga 1.

Som vi kom fram till i föregående sektion så kan vi inte konstruera alla tal, vilket betyder att vi på detta sätt inte kan transformera icke konstruerbara transforma- tioner. Dock givet de icke konstruerbara sträckorna så kan vi skapa de transfor- mationerna också.

4.1 Två Fall 21

4 Inversioner

I detta avsnitt kommer vi titta på den sista och kanske mest intressanta typen av transformation, nämligen inversion. Först så ska vi titta på de två varianterna av inversion, sedan kommer vi titta på tre inversionsproblem: Steiners porism, Apolloniska cirklar och Ptolemaios teorem. Det finns många många fler inver- sionsproblem: Miquel’s teorem, Peaucellier’s linkage och The Arbelos of Pappus för att nämna några få. Jag valde de tre som redovisas för att de tilltalade mig mest.

4.1 Två Fall

När vi säger inversion så menar vi endera av två fall: Fall 1 är reflektionen över en linje (som kan ses som en godtycklig cirkel med oändlig radie), alltså det som finns på ena sidan linjen reflekteras över till den andra sidan. Fall 2 är inverte- ringen av en cirkel. Eftersom vi pratar om det komplexatalplanet så innebär det att |z| ≤ 1 transformeras till |z| ≥ 1 och vise versa medans |z| = 1 blir kvar på

|_z| =1. Det vill säga att det som är utanför cirkeln hamnar innanför och allt som är innanför hamnar utanför. Fall 1: Vid reflektering över linje l avbildar en punkt A på en punkt A⁰som är på samma avstånd från l på motsatt sida av l. Låt m vara en linje som är parallell med AA⁰och korsar l vid någon punkt P. Vid reflektering i l så reflekteras ∠PAA⁰ i ∠PA⁰A så de måste vara lika. Eftersom m och AA⁰ är parallella så är∠PA⁰A lika med vinkeln mellan PA⁰ och m.[4]

Fall 2: Vi kan föreställa oss linjen l i Fall 1 som en oändligt stor cirkel med m liggandes längs med radien genom P. Om vi byter ut l mot en cirkel C av ändlig radie och vi byter ut m mot en radielinje som möter C vid någon punkt P. Motsva- rande reflektion kan vi definiera bilden av A som punkten A⁰ på linjesegmentet OA för vilken ∠OPA⁰ är lika med∠PAO. För att detta ska vara sant måste A⁰s position vara oberoende av P. Observera att 4POA⁰ och 4AOP är liknande då de delar en vinkel vid O och∠OPA⁰ = ∠OAP. Följaktligen

OA⁰

OP = ^OP OA

så OA∗_OA⁰ = OP². Men OP är lika med radien r så OA∗_OA⁰ = r². Eftersom

det bara finns ett A⁰på segmentlinjen OA som uppfyller ekvation 1 och eftersom ekvationen inte beror på P så följer det att A⁰s position inte beror på P.[4]

Dessa två fall berör bara hur inverser fungerar i euklidisk geometri. Så hur kan vi invertera på samma sätt med möbiustransformatationer, vi börjar med Fall 1:

vid en möbiustransformation behöver vi bestämma vart tre punkter ska hamna för att det ska bli en unik transformation. Vi skickar därmed∞ ⇒ ∞ följt av en punkt på linjen skall skickas till samma punkt på linjen och sedan ett tal A som inte ligger på linjen skall skickas på ett tal A⁰ som ligger på samma avstånd från linjen fast på andra sidan. Fall 2 har vi redan börjat förklara i del 2.8, där visar vi hur vi inverterar enhetscirkeln, men vi vill kunna invertera vilken cirkel som helst. Det kan vi lösa via att använda förflyttningsmetoden samt skalningsme- toden och flytta cirkeln till enhetscirkeln och invertera där. Vill vi inte ha den i enhetscirkelposition kan vi sedan flytta tillbaka den efter att vi inverterat. Egent- ligen per definition skulle denna variant kunna behandla linjer då vi ser linjer som generaliserade cirklar vilket innebär att vi kan via möbiustransformationer skicka linjen till enhetscirkeln och invertera den där.

4.2 Steiners porism 23

4.2 Steiners porism

En porism är ett matematiskt konstruktionsproblem som antingen inte kan slut- föras eller har oändligt många lösningar.

Teorem 4.2.1. [4] Låt C1och C2 vara disjunkta cirklar, med C1 innanför C2. Då är det ANTINGEN omöjligt att passa in en kedja av cirklar mellan _{C1 och C2,} där alla cirklar tangerar både C₁ och C₂och 2 andra cirklar i kedjan. ELLER så är det möjligt att konstruera en sådan kedja, och då kan den första cirkeln placeras på en lämplig godtycklig position.

Vi kommer behöva följande Teorem för beviset av Teorem 4.2.1:

Teorem 4.2.2. [4] Koncentricitetsteoremet: Låt C1och C2vara vilka två disjunkta cirklar som helst i planet. Då finns det en Möbiustransformation som avbildar C₁och C2på ett par av koncentriska cirklar.

Bevis. Om cirklarna är koncentriska då finns det inget att bevisa, så vi kan anta att de inte är koncentriska.

Steg 1 välj en punkt O på C₁, och invertera båda cirklarna i cirkeln med iden- titetsradie centrerad i O. Under denna invertering avbildas C₁på en linje, C₁⁰, och C2avbildas på en cirkel, C₂⁰.

Steg 2 Välj en punkt T på C₂⁰ som inte ligger vinkelrätt från centrum av C⁰₂ till linjen C₁⁰, och rita en tangent till C₂⁰ vid T så att den skär C₁⁰i punkten U. Rita C₃⁰ med centrum i U och radie UT. Denna cirkel är vinkelrät mot C₂⁰ vid T, eftersom en tangent till en cirkel är vinkelrät till radien i skärningspunkten. C⁰₃ är vinkelrät mot linjen C₁⁰ eftersom att dennes centrum ligger på linjen.

Steg 3 Upprepa konstruktionen i Steg 2 fast vi börjar med en annan position för punkten T, för att få cirkeln C₄⁰ vinkelrät mot både C₁⁰ och C₂⁰ vid punkten T.

Låt C₃⁰ och C⁰₄mötas vid Q och R.

Steg 4 Invertera figuren igen denna gång i cirkeln med enhetsradie centrerad i Q.

Då kommer linjen C₁⁰ avbildas på cirkeln C₁⁰⁰, och cirkeln C₂⁰ kommer avbildas på cirkeln C₂⁰⁰; cirklarna C₃⁰ och C₄⁰ går genom Q, så de inverterar till raka linjer vid räta vinklar till C₁⁰⁰ och C₂⁰⁰. Dessa linjer är därmed diametrar av C₁⁰⁰och C⁰⁰₂, och därför måste punkten där de möts (R⁰⁰ som är avbildningen av R) vara centrum till båda C₁⁰⁰ och C₂⁰⁰.

Steg 5 Via att sammansätta inverteringen i Steg 1 med inverteringen i Steg 4 får vi en inverteringstransformation som avbildar C₁ och C2 på ett par av koncentriska cirklar C₁⁰⁰ och C₂⁰⁰.[4]

Bevis. av Teorem 4.2.1 Det finns två möjligheter. Det är ANTINGEN omöjligt att passa in kedjan mellan C₁ och C₂ med de beskrivna egenskaperna, vilket betyder att porismen är fastställd. ELLER så är det möjligt att minst en kedja F får plats mellan C1 och C2. För att fastställa porismen i detta fall måste vi visa att en kedja existerar för alla val av första cirkel C. Via 4.2.2 finns det en inverstransformation t som avbildar C₁och C2på koncentriska cirklar C₁⁰ och C₂⁰.

Under t kommer kedjan F avbildas på en kedja av cirklar F⁰ mellan C₁⁰ och _C2⁰, och C avbildas på cirkeln _C⁰ som tangerar _C1⁰ _{och C2}⁰_{. Eftersom C1}⁰ och C₂⁰ har ett gemensamt centrum O, så kan vi rotera kedjan F⁰ runt O tills dess första cirkel är ovanpå C⁰. Om vi betecknar den roterade kedjan med G⁰, då kommer inverstransformationen t⁻¹avbilda G⁰tillbaka på en kedja G mellan C₁och C₂. Dessutom så är C första cirkeln av G som var etablerat.[4]

4.3 Apolloniska cirklar 25

4.3 Apolloniska cirklar

Teorem 4.3.1. [4] Låt A och B vara två unika punkter i planet, och låt k vara ett positivt reellt tal skilt från 1. Då är området av punkter P som uppfyller PA : PB = k : 1 en cirkel vars centrum ligger på linjen genom A och B.

Vi kommer titta på ett bevis till detta som baserar sig i Euklidisk geometri, men det kan även bevisas med inversgeometri dvs. den metod som vi visade i del 4.2.

Bevis. För att hålla algebran enkel använder vi x−_{och y}−axlar så att A och B har koordinater(−a, 0)och(a, 0)där a>0. Vi sätter ett värde på k>0; k6=1, och låt C vara området av punkter Q som uppfyller QA : QB = k : 1. Då hör en punkt P(x, y)till C om och endast om PA=k∗PB. Eftersom k>0, så är det ekvivalent med PA² =k²∗PB². Med hjälp av Euklidiska formeln för avstånd mellan punk- ter,som lyder: avståndet mellan två punkter p och q är längden av linjesegmentet mellan dem, d(p, q) = d(q, p) = ^p(q₁−p₁)²+ (q₂−p₂)²+...+ (qn−pn)², ser vi att våran senaste ekvation håller om och endast om (x+a)²+y² = k²((x− a)²+y²). Vi multiplicerar parenteserna och samlar ihop termerna i x², y²och x så får vi x²(1−k²) +y²(1−k²) +2ax(1+k²) +a²(1−k²) = 0. Eftersom att k 6= 1 stämmer detta om och endast om x²+y²+2a(¹₁⁺₋^k_k²₂)x+a² = 0. Det följer att området C är en cirkel med centrum c och radie r där

c = (−a(¹+k² 1−k²), 0) och

r= s

a²(¹+k²

1−k²)²−a² = ^2ak

|1−k²|^. [4]

OM k =1 skulle området av punkter som uppfyller PA =k∗PB vara linjen l som skär AB i räta vinklar. Om vi antar att det området innehåller punkten∞ då kan vi se området som en utvidgad linje l∪∞. Med detta där alla positiva värden av k ger oss en generaliserad cirkel som kallas Apollonisk cirkel. Apolloniska famil- jen av cirklar definieras av punkt A och B. Som k ökar genom intervallet ]0,∞[, kommer de korresponderande cirklarna gå genom den Apolloniska familjen.

Något man kan fråga sig nu är på vilket sätt hänger det här ihop med möbius- transformationer? Jo, vi har ju förhållandet ^|_|^PA_PB^|_| =k vi kan uttrycka|PA|och|PB| som|z−a|och |z−b| då gäller det att ^|_|^z_z⁻₋^a_b^|_| = k, vi låter nu f(z) = ⁽₍^z_z⁻_−b^a)₎ vilket medför att vi nu har z så att|f(z)| = k. Om vi låter f(z) = w så har vi att|w| = k.

Detta är uppenbarligen en cirkel i termer av w, vi hittar därmed tillbaka till z via att använda z = f⁻¹(w)eftersom att varje möbiustransformation har en invers.

Alltså är detta bilden av en cirkel under möbiustransformation, d.v.s. en cirkel eller linje.

4.4 Ptolemaios Teorem

Ptolemaios använde sitt teorem som hjälpmedel till att skapa sin tabell av ackord, en trigonometrisk tabell som han applicerade till astronomi.

Ptolemaios teorem säger följande:

Teorem 4.4.1. För vilken som helst godtycklig cyklisk fyrhörning ABCD gäller följande:

|AC| ∗ |BD| = |AD| ∗ |BC| + |AB| ∗ |CD|.

Fyrhörningen ABCD är cyklisk när A, B, C och D alla ligger på samma cirkel.

Bevis. Låt k vara en cirkel centrerad i A och invertera alla fyra hörnen på fyr- hörningen ABCD och cirkeln de ligger på med avseende på k. Eftersom att cir- keln som går igenom hörnen till fyrhörningen går igenom A vilket är centrum av invertionscirkeln, så kommer den cirkeln inverteras till en rak linje. Punkten A kommer inverteras till∞ medans B, C och D inverteras till B⁰, C⁰och D⁰, som alla ligger på linjen. [5]

4.4 Ptolemaios Teorem 27

Enligt definitionen av inversion så har vi att:

|AD| ∗ |AD⁰| = |AC| ∗ |AC⁰| = |AB| ∗ |AB⁰| =r², där r är radien av cirkeln k.

Vi vill nu visa att4ABC∼= 4AC⁰B⁰. Från ekvationen ovan har vi att ^|_|^AB_AC^|_| = ^|_|^AC_AB⁰0^||

och eftersom ∠A är lika med sig själv så har vi via sida vinkel sida likhet att 4ABC ∼= 4AC⁰B⁰. Via samma argument med andra bokstäver kan vi visa att 4ADC∼= 4AC⁰D⁰.[5]

Via egenskaper av kongruens vet vi att:

|B⁰C⁰|

|BC| = |AB⁰|

|AC|^. Då följer att:

|_B⁰_C⁰| = |BC| ∗ |AB⁰|

|AC| ^, och eftersom att|AB| ∗ |AB⁰| =r²så har vi att:

|B⁰C⁰| = |BC| ∗r²

|AC| ∗ |AB|^{. (4.1)}