U.U.D.M. Project Report 2019:51
Examensarbete i matematikdidaktik, ämneslärarprogrammet, 15 hp Handledare: Anne Peters, Institutionen för informationsteknologi Examinator: Veronica Crispin Quinonez
Oktober 2019
Programmering i matematikundervisningen
En studie om matematiklärares syn på, och praktik av programmering i undervisningen
Maja Eriksson
Department of Mathematics
Programmering i matematikundervisningen
En studie om matematiklärares syn på, och praktik av programmering i undervisningen
Maja Eriksson 2019
Sammanfattning
Ett år har gått sedan införandet av programmering i gymnasieskolans matematikkurser. Jag följer en grupp yrkesverksamma matematiklärare som utbildar sig i programmering vid Uppsala Universitet. Kur- sen heter Programmering för matematiklärare och där ska de lära sig programmering samt hur det kan användas i undervisningen. Studien syftar till att få en inblick i hur lärarna praktiserar och tänker kring det som de lär sig på kursen. Detta görs genom intervjuer, observationer och en enkätundersökning.
Lärarna ser många möjligheter med att använda programmering i matematiken såsom att göra matema- tiken visuell eller att låta datorn utföra långa beräkningar inom sannolikhetslära och numeriska metoder, eleverna får också en större kunskap om programmering i sig. De tre största utmaningarna är generellt att tiden inte räcker till, att kunskaper saknas samt att det är svårt att integrera programmeringen i ma- tematiken.
Innehåll
1 Inledning 5
1.1 Digitalisering av skolan . . . . 5
1.2 Fortbildning av lärare . . . . 6
2 Syfte och Frågeställning 7 3 Bakgrund 8 3.1 Centrala begrepp . . . . 8
3.2 Programmering som ett verktyg för matematiskt lärande . . . . 8
4 Metod 11 4.1 Övervägande av metod . . . . 11
4.2 Genomförande och utformning . . . . 11
4.3 Etiska överväganden . . . . 13
5 Resultat 14 5.1 Intervjuer . . . . 14
5.1.1 Klassrumsprojekten . . . . 14
5.1.2 Centrala innehåll . . . . 15
5.1.3 Utmaningar med programmering . . . . 16
5.1.4 Övrigt . . . . 17
5.2 Enkätundersökning . . . . 17
5.3 Klassrumsobservation . . . . 25
5.4 Redovisning av lärarnas klassrumsprojekt . . . . 27
6 Diskussion 29 6.1 Vilka möjligheter och utmaningar ser lärare med att använda programmering i undervis- ningen . . . . 29
6.2 Inom vilka områden är programmering ett bra verktyg för problemlösning? . . . . 30
6.3 Hur kan programmering integreras i matematikundervisningen? . . . . 31
7 Fortsatta studier 31
8 Avslutning 32
A Första enkäten 34
B Andra enkäten 42
1 Inledning
1.1 Digitalisering av skolan
Matematik och programmering har ofta setts som två starkt sammankopplade ämnen. Anledningar till detta kan vara att de första datorerna byggdes av matematiker och att datorprogram är uppbyggda av lo- gik, algoritmer och funktioner [5]. Under de senaste åren har programmering skrivits in i läroplaner runt om i världen. Vissa länder, som exempelvis England, har programmering som ett separat område. Andra länder som Estland och Frankrike har integrerat programmeringen i matematikämnet [5]. I mars 2017 beslutade riksdagen att förtydliga och förstärka den svenska skolans styrdokument. Ändringarna syftade främst till att öka elevernas digitala kompetens och anledningen till förändringarna är den tekniska ut- vecklingen och behovet av digitala kunskaper i arbetsliv och samhälle. När eleverna kommer ut i arbets- livet förväntas de ha en god digital kompetens. Ytterligare en anledning är att minska digitala klyftor och att utbildningen ska vara nationellt likvärdig då det kommer till digital kompetens. Kunskaperna som ele- ven får med sig ska inte bero på vilken skola eller lärare den haft. Som en del av den digitala kompetensen finns programmering med. För grundskolan innebär ändringen i styrdokumenten att programmering i matematik, teknik och samhällskunskap tillkommer och för gymnasieskolan att programmering blir ett verktyg i vissa matematikkurser [7]. Hösten 2018 började omskrivningarna i kursplanerna att gälla. När denna text skrevs hade det gått ett läsår sedan en revidering av kursplanerna gjordes.
Gymnasieskolans kursplaner visar att programmering är integrerad som en strategi för problemlösning i hela c-spåret, vilket är matematikkurserna som elever från naturvetenskapsprogrammet och teknik- programmet läser, samt för kursen matematik 3b, vilken är den tredje matematikkursen för elever som går program inom samhällsvetenskap, ekonomi och humaniora. Under problemlösning i det centrala innehållet är det formulerat att eleverna ska ha "strategier för matematisk problemlösning inklusive mo- dellering av olika situationer, såväl med som utan digitala verktyg och programmering". Formuleringen är inte speciellt specifik och enligt kommentarmaterialet till kursplanen är formuleringen medvetet öp- pen. Detta beror på att lärare själva ska kunna bestämma på vilket sätt samt i vilken utsträckning de vill använda programmering i sin undervisning. Det står även att programmering som verktyg vid problem- lösning kan betyda olika saker och listar några förslag, bland annat att programmering kan användas för uppskattningar av sannolikheter. Detta kan vara värdeutveckling av en fond med slumpvis ändrad kurs eller sannolikheter för olika tärningskast. Det står även att programmering kan vara användbart för pro-
blem av typen "för vilka heltal mellan 500 och 1000 gäller att ...". Detta kan vara en hjälp för lärare att tolka kursplanen.
Programmering ska användas som en strategi för problemlösning men det finns inga krav på speciella programmeringsspråk eller programmeringsmiljöer. Skolverket skriver att kalkylblad även kan användas i viss mån om eleverna saknar kunskaper som krävs för att programmera i en programmeringsmiljö. Det ges ett exempel på att det går att utföra iterativa eller villkorsstyrda beräkningar med hjälp av kalkylblad.
De menar dock att detta är ett andrahandsalternativ eftersom det medför begränsningar som program- mering saknar [9]. Det finns inte heller krav på att eleverna ska lära sig att använda programmering inom matematiken då det inte är ett kunskapskrav. Kunskapskravet som närmast kan syfta på programmering är digitala verktyg.
1.2 Fortbildning av lärare
Tidigare har programmering inte varit en del av lärarprogrammet. Därför saknar många matematiklära- re i de svenska skolorna kunskaper om programmering [1]. Universitet runt om i landet har därför fått uppdrag av Skolverket att utbilda redan verksamma matematiklärare för att de ska kunna arbeta utifrån den nya läroplanen. Utbildningen ska de dels innehålla programmering och dels ge kunskaper om hur programmeringen kan användas som ett verktyg i undervisning. Under våren 2019 har jag följt en grupp lärare som gick en sådan fortbildningskurs vid Uppsala Universitet.
Målet med kursen var att lärarna skulle lära sig metoder för att skapa och på andra sätt arbeta med pro- gram. De skulle också lära sig att hur programmering kunde användas i undervisningen. Detta genom att identifiera vilka moment av kursplanernas innehåll där programmering är ett användbart verktyg.
Kursen bestod av tre träffar på universitetet. Den första träffen bestod av introduktion av de grundläg- gande programmeringskoncepten i teori och praktik. Vid den andra träffen gjordes övningar med pro- grammering samt föreläsningar om tips och felsökning, om genus och jämlikhet och om variationsteori.
Mellan träffarna fick lärarna hemuppgifter att jobba med. Dessutom ingick en större uppgift där de skul- le genomföra ett så kallat klassrumsprojekt. Lärarna skulle förbereda ett lektionsupplägg med fokus på programmering och sedan testa att utföra det i sin klass. På den sista träffen presenterade lärarna sina klassrumsprojekt för varandra och diskuterade sina erfarenheter.
2 Syfte och Frågeställning
Eftersom jag fick chansen att följa deltagarna i fortbildningskursen som tidigare beskrivits ville jag un- dersöka hur de praktiserar det som de har lärt sig i kursen. Jag ville ta reda på hur en lektion i matematik med programmering kan gå till i praktiken och se vilka avsnitt inom matematiken som lämpar sig för att använda programmering. Finns tillfällen då programmering är ett bättre verktyg än de som tidigare har använts? Dessutom ville jag skaffa mig en uppfattning av lärarnas inställningar till programmering i matematiken. Vilka utmaningar och möjligheter finns det med det nya verktyget.
Frågeställningar:
• Vilka möjligheter och utmaningar ser lärare med att använda programmering i undervisningen?
• Inom vilka områden är programmering ett bra verktyg för matematisk problemlösning?
• Hur kan programmering integreras i matematikundervisningen?
3 Bakgrund
3.1 Centrala begrepp
Programmering
Programmering innebär att ge algoritmer eller instruktioner i skrift för hur en dator ska arbeta [6]. En algoritm kan beskrivas med en analogi bestående av ett bakrecept. För att kakan ska bli bra måste re- ceptet följas steg för steg. 1. Lägg alla torra ingredienser i en skål. 2. Blanda. 3. Rör i 1 dl vatten. 4. Om degen känns bra knåda i 2 minuter gå annars tillbaka till steg 3. Programmering handlar om att kunna utveckla, utföra och få datorer att utföra sådana recept [5]. För att datorn ska förstå används speciella programspråk. Några exempel på sådana språk är Java, Python och C++. Programmen som konstrueras ökar snabbt i svårighetsgrad ju större och mer komplexa problem som man vill att programmet ska utföra [6].
Matematiska problem och problemlösning
Ett matematiskt problem är en typ av uppgift som eleven vill eller behöver lösa. Det ska inte finnas en på förhand given procedur för att ta sig an uppgiften och det ska krävas ansträngning från elevens sida för att lösa problemet. Detta innebär att en viss uppgift kan vara ett problem för en person medan en rutin- uppgift för någon annan [4]. Enligt ämnesplanen för matematik i gymnasieskolan ska elever få utrymme för problemlösning som både mål och medel [8]. Anledningen är att det har visat sig att nationer som använder sig av problemlösning i hög utsträckning har en mycket framgångsrik matematikundervisning [9].
3.2 Programmering som ett verktyg för matematiskt lärande
Det finns två huvudsakliga argument för att använda programmering som ett verktyg i matematikun- dervisning. Det ena handlar om att programmeringen är ett verktyg för att lära sig själva matematiken, exempelvis addition, transformation eller integration. Det andra är att programmeringen är ett verktyg för att arbeta matematiskt, då används programmeringen istället vid problemlösning, för att utföra bevis eller hitta mönster [3].
En äldre studie gjord 1980 visar att programmering kan vara ett bra verktyg för att lära sig matematik,
både gällande innehåll och arbetssätt. Med datorns hjälp är det möjligt att modellera och illustrera pro- cesser. På så sätt kan programmering göra det matematiska innehållet visuell på ett unikt sätt [3]. Pro- grammering är också är ett verktyg för att arbeta matematiskt eftersom eleverna får lära sig att felsöka och rätta till sina egna misstag [3]. Dessutom ger programmering direkt återkoppling om något inte är rätt. Då elever arbetar traditionellt med papper och penna är risken stor att det görs misstag som inte upptäcks. Detta gör att elevernas missuppfattningar kan kvarstå istället för att adresseras. Denna risk minskas då eleverna arbetar med programmering [3]. I studien som gjordes på lärarstudenter för de läg- re årskurserna fick deltagarna först göra ett matematikprov. Därefter lärde de sig att programmera. Först lärde de sig programmering i sig och sedan lärde de sig att använda programmeringen som ett verktyg för att förstå matematiken bättre. Tanken var att matematiken skulle visualiseras med hjälp av datorerna.
För att få en bättre förståelse för geometri användes "Turtle". Med Turtle ritas figurer genom komman- don som forward, backward, left och right (sväng åt ett visst håll ett visst antal grader). Med detta kan man göra ett program som definierar en hexagon:
Studien visade att studenterna ofta misslyckades första försöket. Trots det var de motiverade att fortsätta och rätta till det som hade blivit fel i programmet. Slutsatserna är att programmering kan öka elevers förståelse och motivation inom vissa delar av matematiken. Det är viktigt att matematiken står i fokus då eleverna ska använda programmering och att programmeringen inte blir det som är den stora ut- maningen [3]. Andra slutsatser är att program som ska skrivas av eleverna bör vara korta och behandla matematiken. Det är även viktigt att elever får tillräckliga instruktioner om ny kod ska användas så att de inte fastnar på grund av att de inte förstår koden. Program som ger visuella illustrationer av matema-
tiken är mycket givande. Den sista slutsatsen är att det inte är berikande i sig att skriva algoritmer i ett programmeringsspråk [3].
Några fördelar med att använda programmering i matematikundervisningen är att det framhäver vik- ten av ett korrekt språk [3]. I ett programmeringsspråk är exempelvis ett f en helt annan sak än ett F.
Vissa specifika koncept som algoritmer, funktioner och vinklar kan även illustreras väl med hjälp av pro- grammering. De stora möjligheterna som finns med programmering ger också goda förutsättningar för problemlösning [3].
Några nackdelar som kan uppstå då programmering används i matematikundervisningen är att det kan skapa frustration hos elever då ett problem kan ta lång tid att lösa. Det kan finnas svårigheter att hitta uppgifter med rätt svårighetsgrad både programmeringsmässigt och matematiskt i ett specifikt område.
En risk är att det kan få elever att använda trial and error metoder istället för att systematiskt analysera problemet [3].
För att programmering ska vara en tillgång i matematikundervisningen måste uppgifterna som elever- na ska utföra vara väl genomtänkta. Uppgifterna får inte styras av vad som är lätt att programmera utan vad som är viktigt matematiskt. Vissa matematiska koncept lämpar sig väl medan andra, som visuellt illustrera division med bråk, är betydligt svårare. Eftersom algoritmer ofta är enkla att programmera är det vanligt att man låter elever göra program för att hitta primtal eller minsta gemensamma nämnare osv. Detta kan vara berättigat om läraren vill att eleverna ska lära sig om algoritmer i sig eller just de al- goritmerna. Det behöver däremot inte ge mer insikt än traditionell undervisning. Det största problemet är inte att lära sig de olika stegen, utan att förstå meningen bakom dem. Exempelvis visste studenter- na i studien från 1980 att vid division med bråk skulle de "vända upp och ner och multiplicera". Vad de däremot inte kunde var varför det fungerade eller hur de kunde motivera en sådan regel för sina elever, utan att säga att "det är bara en regel". Att skriva ett datorprogram för division med bråk skulle inte göra förståelsen bättre [3].
4 Metod
4.1 Övervägande av metod
För att besvara frågeställningarna har jag valt att använda mig av olika metoder (eng: mixed methods) där både enkätundersökning, observationer och intervjuer ingick. De olika metoderna syftar alla till att besvara frågeställningarna men från olika perspektiv. Enkäterna ger en större överblick då fler deltagare svarar. Intervjuerna ger djupare beskrivningar av lärarnas tankar kring programmering. Observationerna möjliggör studie av lärarnas praktik av programmering i matematikundervisningen och hur det bemöts av eleverna.
4.2 Genomförande och utformning
Vid intervjuer väljs informanter ut genom olika urvalsstrategier. Forskaren tänker först ut en målgrupp och väljer sedan personer i målgruppen. Hur dessa väljs beror på frågeställning, om man vill få data från slumpmässigt utvalda, extrema fall, typiska fall osv [2]. Min målgrupp var lärare på kursen Programme- ring för lärare. Jag skickade ett mail där jag presenterade syftet med intervjun, att intervjuns längd var cirka 30 minuter och att den var anonym. Det var fyra lärare som ställde upp på intervjun. En kvalitativ metod kännetecknas av att det är ett begränsat antal personer, eller informanter, som deltar. Dessa få ge- nerarar mycket data. Storleken på urvalet beror på problemställning samt på vilket sätt som datan samlas in. Om gruppen är homogen krävs färre informanter än om gruppen är mycket heterogen. Exempelvis för en grupp bestående av 30 elever med liknande bakgrund och samma studieval kan ett urval av fem eller sex vara tillräckligt [2]. Baserat på det ansåg jag att fyra informanter skulle ge de svar som behövdes då det var 23 deltagare på kursen. En kvalitativ intervju kan se ut på olika sätt. Den kan vara mycket strukturerad där den är uppbyggd av fasta svarsalternativ. Ett annat upplägg är att intervjun mer liknar ett samtal där frågorna inte är bestämda på förhand, det kallas för en öppen intervju [2]. Jag har valt att använda en semistrukturerad intervju vilken bygger på att frågorna är förberedda i förväg men informanten svarar med egna ord. Jag hade tre huvudfrågor som jag utgick ifrån, utöver de ställde jag frågor utifrån infor- mantens svar. Intervjuerna som varade cirka trettio minuter dokumenteras genom ljudinspelning vilka sedan transkriberades. Därefter analyserades intervjuerna utifrån frågeställningarna.
Intervjuprotokoll
Inledande
Jag informerar den som intervjuas att intervjun spelas in och att det går bra att avbryta eller att välja att avstå från att svara på någon fråga.
Fråga 1
I kursen programmering för matematiklärare ingick det att göra ett klassrumsprojekt där programmering används i undervisningen. Kan du berätta lite om ditt klassrumsprojekt?
Uppföljningsfrågor:
1.) I vilka kurser och områden använde/kommer du använda programmering?
2.) Hur fick du idéen till projektet?
3.) Kan du försöka återberätta hur det gick till då du utförde projektet?
4.) Hur tyckte du att eleverna reagerade?
Fråga 2
Har du under vårens arbete med programmering fått syn på om det finns några särskilda centrala inne- håll som lämpar sig för programmering?
Uppföljningsfrågor:
1.) Finns det områden i matematiken där det finns ett mervärde att använda programmering?
2.) Hur går du till väga för att hitta uppgifter?
3.) Har du funderingar på hur programmering kan användas för problemlösning?
Fråga 3 Vilka utmaningar ser du med att använda programmering i din undervisning?
Uppföljningsfrågor:
1.) Är elevernas förkunskaper tillräckliga?
2.) Har din syn på programmering förändrats under våren och i så fall på vilket sätt?
3.) Har ni något kollegialt arbete på din skola med programmering? och i så fall hur ser det ut?
Då har jag fått svar på alla mina frågor. Har du några övriga tankar som du vill dela med dig av?
Enkäterna gavs både i början och i slutet av terminen för att se hur lärarnas inställningar och kunskaper hade förändrats. Att använda enkäter är ett sätt att samla in kvantitativa data. Frågorna kan vara utforma- de på olika sätt, exempelvis med givna svarsalternativ, skalor eller frågor där respondenterna svarar med egna ord [2]. Enkäterna är konstruerade av personerna som var ansvariga för kursen, varav den första redan hade skickats ut innan mitt arbete med uppsatsen påbörjats. Inför den andra enkäten var jag med och bidrog med frågor som hade uppkommit efter lärarintervjuerna och som skulle komplettera mina resultat. En sammanställning av frågor och svar finns i appendix A och B.
Observationerna genomfördes i klassrummet hos en av lärarna på kursen. Det var under dessa två lek- tioner läraren utförde sitt klassrumsprojekt. Det finns två olika typer av observationer, strukturerade och ostrukturerade [2], den som jag har utgått ifrån är den ostrukturerade. Vid en sådan observation används ofta manuella fältanteckningar istället för video- eller ljudinspelningar [2]. Vid klassrumsobservationer- na satt jag längst bak i klassrummet och förde anteckningar över vad som hände i klassrummet, konver- sationer mellan lärare-elev samt elever emellan. En annan typ av observation jag gjorde var att jag deltog i kursens träff på universitetet när lärarna presenterade sina klassrumsprojekt för varandra.
4.3 Etiska överväganden
Det finns flera riktlinjer då det kommer till forskningsetiska principer och dessa varierar mellan olika forskningsområden. Det finns fyra principer som är viktiga vid forskning då människor deltar. Den första är informationskrav, den eller de som deltar måste veta syftet med forskningen. Det finns även ett sam- tyckeskrav som innebär att alla deltagare får bestämma själva om de vill vara med i studien och veta att de kan avbryta deltagandet när som helst. Den tredje är konfidentilitetskrav och handlar om att alla upp- gifter och personuppgifter ska behandlas försiktigt så att inga obehöriga kan ta del av informationen. Det finns även ett nyttjandekrav som innebär att all insamlad data endast får användas i forskningssyfte [2].
Gällande enkätundersökningen fick lärarna fylla i om det var tillåtet att använda deras svar för forskning.
Informanterna för intervjuerna fick veta syftet med intervjun, godkände inspelning, att det var frivilligt att delta samt att de fick information att de inte behövde svara på frågor och kunde avsluta när de vil- le. Vid klassrumsobservationen fick jag tillstånd av läraren att observera lektionen och eleverna gav sitt godkännande. Däremot fanns inget formellt samtycke från eleverna att delta i undersökningen. Därför har jag mest fokuserat på läraren och klassen som helhet.
5 Resultat
5.1 Intervjuer
5.1.1 Klassrumsprojekten
Första frågan i intervjuerna behandlade lärarnas klassrumsprojekt. Lärare 1 och lärare 2 jobbade på sam- ma skola och undervisade både Matematik 5. Därför planerade de sina klassrumsprojekt tillsammans.
Deras klassrumsprojekt handlade om att ta fram numeriska lösningar för differentialekvationer med hjälp av Eulers stegmetod. Eleverna hade sedan tidigare jobbat med denna för hand, med miniräknare och med Excel, de flesta eleverna var däremot nybörjare inom programmering. Lärare 1 hade en elev i sin klass som var duktig på programmering och agerade då som hjälplärare. Lärare 2 påpekade att pro- grammering är det mest kraftfulla verktyget för att utföra Eulers stegmetod. "För hand orkar man inte göra tillräckligt många beräkningar och miniräknaren klarar inte att göra lika små steg som ett program i Python kan göra". Detta innebär att programmering i detta fall är ett bra verktyg och kan tillföra matema- tikundervisningen något. Att eleverna redan hade jobbat med Eulers stegmetod före programmeringen hade lärarna något olika syn på. Lärare 1 tyckte att det var bra att de redan kunde metoden eftersom det annars skulle vara omöjligt att koda programmet. Dessutom att det var fördelaktigt att eleverna hade gjort stegmetoden med olika representationer eftersom det gör att förståelsen ökar och befästs. Lärare 2 menade att det inte blev ett optimalt lärandetillfälle för matematiken utan mer ett tillfälle för att testa programmering. Att det hade varit roligare att få in programmeringen då de skulle lära sig stegmetoden istället.
Lärare 1 hade en lektion till förfogande. Denna började med två exempel för att visa några grundläggan- de begrepp i programmering sedan en repetition av Eulers stegmetod. Eleverna fick sedan jobba med att göra ett program som skulle lösa differentialekvationer. Lektionen avslutades med att läraren visade Scratch för att peka på att det även finns blockprogrammering. Lärare 2 hade två lektioner att jobba med programmering. Första lektionen gick de först igenom två exempel på programmering där begrepp som ingick var: variabel, integer, float, sträng, input och print-sats och while-loop. Eleverna får sedan jobba i grupper med att skissa på ett program för Eulers stegmetod "unplugged", alltså med papper och penna. I slutet av lektion 1 skrev läraren upp ett fungerade program på tavlan med elevernas hjälp. Meningen var sedan att eleverna skulle skriva in detta i repl.it så att de kunde jobba med det vid nästa lektionstillfälle.
Flera elever glömde att spara och därför var det få som hade programmet till lektion 2. Under lektion 2 skulle eleverna beskriva rörelsen av ett fallskärmshopp och beräkna hastigheten en sekund efter att fall- skärmen vecklats ut. Det var dock inte alla som hann göra klart eftersom de saknade ett färdigt program för stegmetoden och för att uppgiften var ganska svår. Läraren reflekterade att det hade räckt med en svår sak under lektionen, inte både programmeringen som var ny och ett svårt problem.
Lärare 3 behandlade stora talens lag inom sannolikhetslära. För detta hade läraren tre lektioner till förfo- gande. I repl.it fick eleverna under första lektionen ett färdigt program som simulerade ett tärningskast.
Eleverna fick uppgifter där de skulle testa programmet, förstå koden rad för rad samt göra små föränd- ringar i programmet. Under andra lektionen fick eleverna ett liknande program. Skillnaden nu var att programmet kastade två tärningar istället för en och eleverna fick ett antal frågor att svara på utifrån pro- grammet. Tredje lektionen behandlade slumpförsök i flera steg. Eleverna fick ett program som de sedan skulle utveckla med for- och if-satser. Lärarens kommentar efter första lektionen.
I och med att de inte kan så mycket så har de fått färdiga program att arbeta med. Men det gick riktigt bra idag. De fick bl.a. tolka programmet och fundera över vad varje rad gjorde och det klarade de faktiskt riktigt bra!
Lärare 4 hade sitt klassrumsprojekt i matematik 5 och två lektioner till förfogande. Syftet med lektioner- na var att eleverna med hjälp av programmeringen skulle inse när den teoretiska sannolikheten slår in, i det här fallet med tärningskast. Läraren menade att eleverna annars tror att den teoretiska sannolikheten infaller efter ett relativt få antal slumpförsök. Läraren tyckte att detta inte riktigt uppfylldes eftersom det endast var ett problem som behandlade fenomenet. Första lektionen fick eleverna öva på viktiga begrepp inom programmering. Andra lektionen skulle de använda detta för att lösa matematiska problem. Elever- na fick fem uppgifter varav den första var obligatorisk. Den första obligatoriska uppgiften var att eleverna skulle skriva ett program som kastade två tärningar och singlade ett mynt samtidigt. Eleverna skulle ock- så bestämma sannolikheten för att få siffersumman 6 samt klave samtidigt. De övriga uppgifterna var att bestämma pi med slumpen, slantsingling, stora talens lag samt en utbyggnad av Monty Hall-problemet.
5.1.2 Centrala innehåll
De centrala innehåll som de fyra lärarna nämnde var olika typer av numeriska metoder. Lärare 1 tyckte att programmering lämpade sig väl som verktyg för matematiken där numeriska metoder används som
exempelvis differentialekvationer och eventuellt integraler. Lärare 4 ansåg att numeriska metoder vid trapetsmetod, mittpunktsmetod och Simsons metod skulle fördelaktigt beräknas med programmering.
Tidigare har Excel använts men det skulle vara enklare med programmering. Ett annat område som ofta nämns är sannolikhetsberäkningar. Lärare 3 och 4 simulerade själva tärningskast i sina klassrumsprojekt.
Lärare 2 nämner att en kollega hade simulerat tärningskast och beräknat relativ frekvens vilket de tyckte var "jätteroligt".
Med Turtle är det möjligt att jobba med exempelvis koordinatsystem eller symmetrier. Lärare 3 mena- de att undervisningen av koordinatsystem skulle bli roligare och ge större förståelse med Turtle. Lärare 2 hade även gjort ett program i Turtle som behandlade vektorer. Det fungerade genom att en turtle gick en- ligt två vektorer. I programmet skulle användaren skriva in summan för de dessa vektorer och en annan turtle gick till användarens svar då programmet kördes. Detta gjorde så att användaren kunde kontrollera sitt svar genom att se om de båda turtlarna gick till samma punkt.
Lärare 1 påpekade att programmering även skulle kunna användas till derivator, primtal och modulo- beräkningar. Lärare 2 funderade på om andragradsekvationer och PQ-formeln skulle kunna undervisas med programmering. Fördelarna med att använda programmering i detta fall skulle vara att eleverna behöver bearbeta formeln mer. De behöver exempelvis reflektera över diskriminanten: vad innebär det om den är större, lika eller mindre än noll? Lärare 2 funderade även på om integraler var ett område som kunde underlättas av ett program men är tveksam eftersom det ofta är enklare att beräkna algebraiskt.
Det ger programmeringen mindre värde i matematikundervisningen än exempelvis användningen av Eulers stegmetod. Lärare 4 hade åsikten att det eventuellt kunde användas för att kontrollera resultatet vid svåra sannolikhets- eller kombinatorikproblem. Annars ansåg läraren att det finns bättre verktyg för matematik än just programmering. Både lärare 2 och 3 nämnde att boken "räkna med kod" hade många bra övningar.
5.1.3 Utmaningar med programmering
En utmaning som lärare 1 och 2 såg var att tiden inte räckte till. Planeringen i matematikkurserna ger inte utrymme för avvikelser. Lärare 2 sa att det är svårt att avväga hur mycket plats programmeringen ska ta i undervisningen. Elevernas och lärarnas bristande kunskaper i programmering var en annan utmaning.
Lärare 3 som arbetar på högstadiet påpekade att skolan inte bidrar till lärarnas fortbildning. Lärarna fick
på eget initiativ gå kursen och utan någon kompensation. Lärare 3 angav även bristen på datorer i skolan som ett problem. Skolan hade datorvagnar men de var ofta uppbokade. Det fanns därför ingen möjligt att inkludera programmering som en naturlig del i matematiken eftersom det var tvunget att planeras i förväg.
Lärare 4 pratade om risken med att det blir programmering av matematiken istället för ett verktyg för att lösa matematiska problem.
5.1.4 Övrigt
Lärare 1 pratade om att det var viktigt att få elever att intressera sig för programmering då det idag är en viktig del av samhället. Läraren hade själv jobbat i näringslivet inom det tekniska området och menade att det var viktigt att kunna programmering för att ha insikt i produktion etc. Läraren uppmuntrade att alla elever ska gå en kurs i programmering, även de som inte kommer att läsa någon teknisk eller natur- vetenskaplig utbildning eftersom det är ett språk som är viktigt att förstå. En annan kommentar var att fråga sig hur de lärare som inte gått kursen ska lära sig programmering. I skolorna som lärare 1, 2 och 3 jobbar på fanns ingen plan för på hur de övriga matematiklärarna skulle få kunskaper i programmering och hur det kan användas i undervisningen. Lärare 4 skulle få ansvar för att lära kollegor som redan kan programmering den didaktiska delen. Medan deras programmeringslärare skulle lära de lärare som är nybörjare grunderna. Lärare 3 berättar om en konferens i Frankrike där de diskuterade programmering i skolan. I Frankrike ingår inte programmering som en del i matematikundervisningen utan det är ett eget ämne. Läraren tyckte det var intressant att veta varför olika länder gör på olika sätt och vilket som funge- rar bäst. Även att vi borde ta del av varandras erfarenheter lite mer än vi gör idag. Även lärare 4 ansåg att programmering, eller datorkunskap, borde vara ett eget obligatoriskt ämne på högstadiet och gymnasiet istället för att skrivas in i matematikens kursplaner.
5.2 Enkätundersökning
Första enkäten besvarades av 22 av 23 lärare på kursen. Den var uppdelad i tre delar där den första be- handlade lärarna och deras situation i skolan. Andra delen bestod av frågor som berörde deras erfaren- heter av programmering och den tredje programmering i matematikundervisningen. Enkäten som gavs i slutet av kursen besvarades färre lärare, 15 av de 16 som slutförde kursen. Den var uppbyggd på liknande
sätt som den första. Enda skillnaden var att det i denna tillkom en del om själva kursen. En sammanställ- ning av de enskilda frågorna i enkäterna finns i appendix A respektive B.
I den första enkäten fick lärarna ange vem som bestämde att de skulle gå kursen. 15 av de 22 deltagarna svarade att det var de själva som valde att söka, två att det var ett gemensamt beslut med skolledare och fem att det var skolledarens beslut.
Figur 1: Vem som beslutat att läraren skulle gå kursen Programmering för lärare.
Anledningen till att de ville gå kursen var dels för att de ville lära sig programmering och dels för att de vil- le lära sig den didaktiska användningen av programmering i matematikundervisningen. Jag tolkar detta som att lärarna ville lära sig att programmera och såg att det fanns möjligheter att utveckla sin under- visning. Däremot verkar det vara oklart bland lärarna hur och var programmeringen skulle komma in i matematiken. Enligt svaren på frågan: Har du och dina kollegor diskuterat hur och var i matematiken programmering ska användas? Fyra av lärarna svarade att de aldrig diskuterade med kollegor, tio disku- terade men visste inte riktigt hur det kunde användas och åtta som diskuterade och kommit fram med några idéer (se figur 2). Då samma fråga ställdes i den andra enkäten var det fler som svarar att de hade idéer på var i matematiken programmering kunde användas (figur 3).
Figur 2: Diskussion med kollegor om hur programmering kan användas i matematikundervisningen
Figur 3: Diskussion med kollegor om hur programmering kan användas i matematikundervisningen
En anledning till att det inte var klart var och hur programmeringen kan komma in i undervisningen skulle kunna bero på att de flesta enligt enkäten bedömde sina egna kunskaper i programmering som bristfälliga. Ett flertal frågor behandlade kunskaper inom programmering (appendix A). Exempelvis Hur förtrogen känner du dig med att skapa enklare program i textbaserade programmeringsspråk? På denna fråga svarade 18 en 4:a eller 5:a på skalan, där 1 är väldigt förtrogen och 5 är inte alls förtrogen. På frågan om de var bekanta med ett antal grundläggande begrepp med samma skala svarade en lärare en 1:a, fyra lärare en 2:a, sju lärare en 3:a, åtta lärare en 4:a och två svarade en 5:a.
Figur 4: Hur förtrogna lärarna är med att skapa egna textbaserade program
När lärarna med egna ord fick beskriva sina tankar inför att lära sig att programmera var några av svaren:
Det blir väl bra!
Roligt men samtidigt utmanade eftersom vi inte får någon ersättning
Orolig ej intresserad, känns inte relevant för min undervisning
Roligt och utvecklande
Väldigt intresserad och beredd att satsa
Sista delen i den första enkäten behandlade programmering som ett verktyg i matematikundervisning- en. Här såg jag en mer negativ inställning än för programmering i sig. Det var många som svarade att de inte visste vad programmeringen skulle tillföra, vissa var rädda för att det skulle bli ännu ett mo- ment, programmering i sig, som skulle inkluderas i redan fulla matematikkurser. Vissa hade hellre sett att programmering undervisades i en egen kurs och att det eventuellt då skulle kunna vara ett verktyg för matematiken. Förslag på var i matematiken programmering skulle kunna användas var exempelvis sannolikhet och statistik, problemlösning, geometriska figurer och koordinatsystem.
Då det kommer till konkreta uppgifter var det varierande hur de såg på uppgifter i läroböcker. Tre lä- rare svarade att de hade använt uppgifter i läroboken med programmering och åsikterna om hur bra dessa var skiftade. Någon tyckte de var bra, en annan att det varierade från mycket bra till mindre bra.
Andra kommentarer var att fokus låg på programmering istället för matematiken, att de var bra men val- des bort på grund av brist på elevdatorer, att det var en bra start när man ännu inte har djupa kunskaper i programmering.
I stället är det många av lärarna som kunde tänka sig att utveckla egna programmeringsuppgifter för undervisningen. Tre av lärarna hade redan gjort det, sju av dem såg fram emot att göra det i framtiden och nio lärare skulle kunna tänka sig att göra det. Tre lärare kunde inte tänka sig att utveckla egna upp- gifter.
Figur 5: Kan du tänka dig att utveckla egna programmeringsuppgifter för din matteundervisning?
Lärarnas svar från den andra enkäten, om hur förtrogna de är med att skapa, förstå, ändra och felsöka i textbaserade program, visar på att deras programmeringskunskaper har ökat mycket under kursen. Figur 4 visar hur förtrogenheten med att skapa textbaserade program har ökat. På frågan om de hade tillräck- liga programmeringskunskaper för att kunna använda det på ett meningsfullt sätt i klassrummet var det stor variation på svaren. Skalan är 1–5; alldeles för lite – alldeles tillräckligt. Tre lärare svarar 2, sedan är det fyra lärare vardera på 3, 4 och 5.
Figur 6: Känner du att du har lärt dig tillräckligt för att kunna använda programmering på ett meningsfullt sätt i din undervisning?
Då lärarna ombads att med egna ord skriva om de skulle vilja lära sig mer programmering, och i så fall vad, svarade flera att de ville lära sig fler exempel eller konkreta uppgifter till olika områden, exempel som passar de olika matematikkurserna och som är kopplade till kursplanerna. Någon ville lära sig mer didaktik kring programmering, hur programmering lärs ut på bästa sätt. Några skulle också vilja lära sig olika typer av miljöer och programmeringsspråk.
Lärarnas inställning till att använda sig av programmering i undervisningen har generellt sett blivit mer positiv under kursens gång. Åtta säger sig vara mer positiva än innan och resten att det är samma som förut, ingen har blivit mer negativt inställd.
Figur 7: Hur lärarnas inställningar till programmering i matematikundervisningen har förändrats efter kursen Programmering för lärare
När det frågades efter vilka områden programmering kunde komma till nytta och ge ett mervärde fick lärarna skriva med egna ord. Många svarade sannolikhetslära och statistik. Även geometri, problemlös- ning, aritmetik, ränteberäkningar, talföljder, symmetri, numeriska metoder, funktioner och algebra. Någ- ra kommenterade att det i dagsläget inte kan användas på ett sätt som ger mervärde eftersom elevernas programmeringskunskaper är för bristfälliga.
Lärarna fick även svara på vad de ansåg vara de största möjligheterna och utmaningar med egna ord.
Utmaningar var att hitta tiden för både planering och utförande, hitta bra uppgifter, att elever inte kan programmera, få eleverna att lära sig matematik genom programmering samt att skolorna inte har dato- rer till alla elever. De största möjligheterna var den snabba återkoppling som programmering ger. Elever tyckte även det var roligt att jobba med programmering vilket gav en ökad motivation samt att det var ett sätt att variera undervisningen.
Att hitta bra programmeringsuppgifter för matematikundervisningen tycker fyra lärare är mycket svårt och fem tycker att det är ganska svårt. Fyra av lärarna tycker att det en 3:a på den femgradiga skalan. En lärare svarar ganska lätt och en svarar mycket lätt.
Figur 8: Hur svårt tycker du att det är att hitta lämpliga programmeringsuppgifter?
När lärarna skulle hitta uppgifter så var det många som angav att de hittade på själv eller tog uppgifter från kursen eller olika konferenser. Några hittade inspiration från nätet och andra från läroböcker. Tre av de femton lärarna hade någon gång använt uppgifter i läroböckerna för programmering. Att utveckla egna uppgifter är något som fler lärare har gjort.
Det som var skillnaden i den andra enkäten gentemot den första var en del som handlade om själva kursen. Då det framkom i intervjuerna att vissa av lärarna ville lära sig att programmera själva innan de kunde ta till sig de didaktiska aspekterna valde jag att denna fråga skulle tas med i den andra enkäten:
Hur tänker du om klassrumsprojektet, t.ex. när du jämför det alternativet med att ha fler inlämningsuppgifter?
Svaren tyder på att de flesta tyckte att det var en bra blandning mellan didaktik och programmering.
Många skrev att det var bra och givande att höra om olika konkreta exempel från sina kollegor. De tyckte att detta var ett sätt att själva få inspiration till uppgifter, vilket framstår som en utmaning från de före- gående frågorna. Andra påpekar att det var bra eftersom de blev tvungna att praktisera programmering i sitt klassrum. Några kommentarer var:
Mycket bra, dels för att få träna på programmering i praktiken men också för att få ta del av andras idéer. Mycket givande.
Det är bra. Då blir det verkligen något gjort i klassrummet. Man tvingas använda det och att reflektera. Kanske att man skulle kunna varit fler som gjort samma uppgift i klassrummet
som man sedan kan diskutera hur det gått och gemensamma förslag på förbättringar för uppgiften. Man skulle kunna suttit i grupper på andra närträffen och kommit på en uppgift eller fått ett förslag på en början till en uppgift man skulle kunna använda.
5.3 Klassrumsobservation
Jag blev inbjuden till att observera en av de intervjuade lärarnas (lärare 4) klassrumsprojekt i Matematik 5. Detta sträckte sig över två lektioner, 90 minuter vardera. Det var en klass med många studiemotive- rade elever som hade varierande förkunskaper i programmering. Flera hade gått kurs i programmering, vissa programmerade mycket även på fritiden och andra hade aldrig programmerat. Den första lektio- nen handlade till stor del om att eleverna som inte hade programmerat tidigare skulle få med sig några grunder och verktyg för att kunna lösa uppgifterna som skulle arbetas med under lektion 2. Eleverna fick ett häfte med instruktioner till de viktigaste grunderna samt övningsuppgifter. De hade fått i läxa att registrera ett konto på repl.it som är en websida där det är möjligt att programmera i olika programme- ringsspråk, lärare kan planera uppgifter och även ge färdiga eller halvfärdiga program som eleverna kan använda. Via websidan är det också möjligt för eleverna att lämna in sina koder till läraren.
Den första lektionen var uppbyggd genom att läraren gick igenom olika begrepp för de som kände sig osäkra på programmering med Python. De som redan kunde programmera började jobba med inläm- ningsuppgifterna. Läraren gick igenom begreppen på en dator som visades på projektorn. Eleverna skulle då följa med genom att själva skriva in koden i repl.it. Efter att begreppet introducerats fick eleverna job- ba en stund med övningsuppgifter för att befästa kunskaperna innan nästa begrepp gicks igenom och så vidare. Några begrepp som gicks igenom var print, de olika räknesätten, olika variabler (exempelvis int och str), input, for- och whileloopar, if, else och random. Läraren pratade även om skillnader i språket mellan programmering och matematik. Ett exempel på koncept där programmering är annorlunda från matematiken är likhetstecknets betydelse. I matematiken betyder det att vänsterledet är samma sak som högerledet. Inom programmering innebär det istället att en variabel tilldelas ett visst värde. Om vänster- led är lika med högerled så skrivs det istället med två likhetstecken efter varandra.
Eleverna var engagerade i arbetet med uppgifterna och testade utöver övningsuppgifterna även egna frågeställningar medan läraren gick runt och hjälpte eleverna med kodningen. Eleverna gjorde misstag men resonerade sig gemensamt fram till en lösning. Bland eleverna som hade programmeringsvana var
det tydligt att de förstod att det är möjligt att lösa problem på olika sätt med hjälp av programmering. De var också medvetna om att det fanns bättre och sämre lösningar. Exempelvis förklarar några när while- loopar funkar bättre än for-loopar. Vid ett tillfälle blev det fel för läraren vid genomgången. Då gav en elev ett förslag på hur läraren kunde rätta misstaget. När den första lektionen avslutades var det många som satt kvar och jobbade med programmeringen.
Under Lektion 2 skulle eleverna jobba med inlämningsuppgifter. Dessa var olika matematiska problem som skulle lösas med med programmering. Då eleverna kom in i klassrummet var de lite stressade och oroliga över kommande lektion. Men så snart lektionen började var de fokuserade på vad de skulle göra under lektionen. De loggade in på repl.it och började arbeta med inlämningsuppgifterna. Den första var obligatorisk medan de övriga var frivilliga. Den obligatoriska uppgiften behandlade tärningskast.
Skriv ett program som simulerar att man kastar två tärningar och ett mynt samtidigt. Bestäm sannolikheten att man får siffersumman 6 samt klave samtidigt genom att simulera ett stort antal kast/singlingar
Eleverna fick en hjälpkod som de skulle ändra så att den löste uppgiften. Ungefär hälften arbetade enskilt och hälften två och två. Eleverna stöter på några problem. Ett sådant problem var att några inte kom ihåg att det var skillnad på likhetstecknet i programmering jämfört med matematiken. Men de kom fram till lösningen själva då de diskuterade med läraren. Ett annat problem som uppstod för vissa under lektio- nen var att programmen inte kunde köras, på grund av småfel i koden.
Eleverna som hade kunskaper i programmering sedan tidigare kunde diskutera matematik på ett an- nat sätt än eleverna som inte hade erfarenheter av programmering före detta. Exempelvis hur många iterationer det behövs för att det teoretiska värdet ska uppnås för slumpförsök. Mitt intryck var att pro- grammering var ett bra verktyg för de som kunde programmering medan det mest blev fokus på pro- grammering för de eleverna utan erfarenhet. Jag såg att eleverna var intresserade av att hjälpa varandra att komma vidare, genom att ge förslag eller påpeka var i koden det fanns fel. Jag fick också intrycket av att eleverna tyckte det var roligt och att de var nyfikna på att experimentera med programmeringen. En annan observation var att vissa insåg att det fanns olika sätt att lösa problemen på.
I slutet av lektionen får eleverna svara på en enkät som läraren hade gjort för att utvärdera lektioner-
na. När de gick ut från klassrummet började de diskutera nästa lektion igen. Det var tydligt att trots dis- traktion från andra ämnen och att detta var elevernas sista matematiklektion under gymnasiet så var de fokuserade under lektionen.
5.4 Redovisning av lärarnas klassrumsprojekt
Under det sista tillfället på kursen redovisade alla lärare sina klassrumsprojekt. Reflektioner var att det of- ta är bäst att gå från konkret till abstrakt. Exempelvis jobbade en lärare med sannolikhet och tärningskast.
Hon hade testat att använda programmering direkt i en klass, medan en annan klass fick börja med att slå fysiska tärningar. I klassen som började med fysiska tärningskast hade programmeringen gått mycket bättre och eleverna hade förstått vad programmet gjorde. En annan lärare som också hade jobbat med tärningskast talade inte om att de skulle göra det i början utan lät eleverna kasta tärningar för att se hur många slag de var tvungna att göra innan de kom upp i den teoretiska sannolikheten för en sexa. Eleverna började kasta och tyckte det var roligt att göra något praktiskt på matematiklektionen, men då de började komma upp i 500 kast var det många som tröttnade. Då sa läraren att de kunde göra på ett snabbare sätt - med programmering! Detta gjorde att eleverna insåg att programmering ibland kan vara ett användbart verktyg. En annan lärare hade observerat att eleverna hade varit inne på repl.it även efter lektionen på kvällar och kemilektionen, så de verkade tycka att det var roligt.
Lärarna använde sig av olika sätt att inkludera programmering i undervisningen. Vissa programmera- de framme vid tavlan och lät eleverna följa med på sina datorer. Andra använde sig av pseudokod, att elever fick ett färdigt program, att de skulle ändra i ett befintligt eller att de skulle skriva ett helt eget. En lärare hade testat både att elever programmerade själva och i par. Denna lärare tyckte att det gick bättre då de gjorde det enskilt eftersom det annars bara var en som jobbade. Ett problem som läraren belyste var att det blev för stort fokus på programmeringen och för liten på matematiken. Då hon frågade vad eleverna hade lärt sig efter lektionen var majoriteten av responsen programmeringsrelaterat.
Angående det matematiska innehållet var det sju av lärarna som behandlade sannolikhet, det fanns två klassrumsprojekt vardera om statistik, spegling och Eulers stegmetod. De andra matematiska innehållen var: geometrisk talföljd, andragradsfunktioner, integraler och taluppfattning.
Något som många lärare påpekade var att det ofta var andra elever än de vanligtvis högpresterande som stack ut under lektionerna med programmering. Någon hade teorin om att de var de omotiverade ele-
Figur 9: Matematiska innehållet av lärarnas klassrumsprojekt
verna som vanligtvis tyckte matematik var ett tråkigt ämne. Nu tyckte de att det blev roligare då de fick direkt respons om de gjort rätt eller inte. En sådan omedelbar feedback är svår att ge elever med den tra- ditionella undervisningen. Denna lärare tyckte dock att programmeringen blev en ytterligare svårighet för de elever som redan tyckte matematik var svårt.
En annan reflektion var att programmering kanske kan hjälpa eleverna att inse vikten av noggrannhet.
Då de jobbar själva i böckerna är de ofta slarviga med uträkningar och representationer men då de pro- grammerar går det inte att vara slarviga eftersom koden då inte kommer att fungera. Däremot var kravet på noggrannhet också en källa till frustration hos eleverna då de inte kom vidare i arbetet om något var fel i koden. En elev uttryckte sig såhär "det blir fel fokus med parenteser hit eller dit istället för på själva matematiken".
Diskussionen om huruvida programmering tar mer tid och energi, i form av extra undervisning i pro- grammering, än det ger framgick också efter många av presentationerna. En del påpekade att det ofta finns bättre verktyg att använda för matematiken än just programmering, som grafräknare, symbolhan- terare, Excel eller Wolfram Alpha. Andra kommentarer var att ju svårare matematiken är desto mer skjuter svårighetsgraden iväg för programmeringen. Dessutom att det ofta är mycket enklare att använda form- ler för hand än att lösa problemet med kod. Frågan var också i vilken utsträckning programmering ska användas då det inte är ett kunskapskrav.
6 Diskussion
6.1 Vilka möjligheter och utmaningar ser lärare med att använda programmering i undervisningen
Min uppfattning är att lärarnas inställning är en viktig faktor som påverkar programmeringens roll i ma- tematikundervisningen. Jag tror även att ju mer kunskap inom programmering lärarna får desto fler möj- ligheter att använda sig av programmering inom matematiken kommer de att se. Det var skillnader i lä- rarnas åsikter om programmering i matematikundervisningen. En del var starkt emot programmering och menade att det istället borde vara ett eget ämne. Andra var mycket positiva och såg stora möjligheter med programmeringen. I slutet av kursen var det drygt hälften av deltagarna som sa sig vara mer positiva än de var i början till programmering i matematikundervisningen.
De största utmaningarna som har framkommit med att använda programmering i matematikundervis- ningen är kunskap, tid och att hitta sammanhang där programmering blir ett verktyg för problemlösning.
Lärarna uppger att matematikkurserna redan har mycket innehåll som ska undervisas under en begrän- sad tid. Det finns inte utrymme för att gå utanför planeringen då de redan i nuläget inte hinner gå igenom hela kursens innehåll. Ett sätt att komma runt detta problem skulle kunna vara att byta ut vissa moment mot programmering. Lärare 4 berättar exempelvis att den kommer att sluta att använda excel för att göra numeriska beräkningar av integraler och istället gå över till att göra detta i Python. Enligt kursplanen är det flexibelt hur mycket tid lärarna ska lägga på programmering i sin undervisning. Det är alltså upp till den enskilda läraren att avgöra på vilket sätt och i vilken utsträckning programmering ska inkluderas. Att Skolverket har valt att medvetet göra formuleringen öppen kan dock skapa en osäkerhet bland lärarna.
Lärare 2 pratar om att det är svårt att avgöra hur mycket programmering som ska ingå i undervisningen.
Tiden räcker inte till för att använda programmering alltför ofta. Däremot ger det inte eleverna så myc- ket att endast använda verktyget ett fåtal gånger eftersom de då kommer lära sig för lite för att kunna använda programmering som ett verktyg för att lösa matematiska problem. På konferensen där lärarna redovisade sina projekt diskuterades även att programmering inte är ett kunskapskrav i gymnasiekurser- na [8] och därför inte borde ta alltför stor plats.
Den andra stora utmaningen är att både lärare och elever saknar kunskaper i programmering. I gym- nasieskolans kursplaner står det att programmering ska användas som ett verktyg för problemlösning
och modellering. Det står inte att matematiklärarna ska undervisa elever i grundläggande programme- ring [9]. Eftersom eleverna i stor utsträckning saknar kunskaper i programmering går ändå en central del av undervisningen ut på att lära dem grunderna. Det finns en viss tilltro till att eleverna kommer kunna programmera om några år. Min uppfattning är också att det verkar finnas ett generellt antagande inom lärarkåren i matematik att det är andra som ska lära eleverna programmering. Gymnasielärarna tror att eleverna kommer att kunna programmering från högstadiet och högstadielärarna tror att eleverna från låg- och mellanstadiet kommer ha större kunskaper om programmering om ett par år. Detta kan endast ske om lärarna får kompetensutveckling och stöd för att genomföra de förändringar som krävs. För att kunna inkludera programmeringen i undervisningen så tror jag att det krävs grundliga kunskaper både från lärares och elevers sida.
En tredje utmaning är att göra programmeringen till ett verktyg i matematikundervisningen. Inte endast att "programmera matematiken" som lärare 4 uttryckte det. Vissa av lärarna menar att det finns andra verktyg som lämpar sig bättre för matematik än just programmering. Därför är det en utmaning att hitta uppgifter och sammanhang där programmering kan bidra med något mer än andra digitala verktyg.
6.2 Inom vilka områden är programmering ett bra verktyg för problemlösning?
Vissa sammanhang tyckte lärarna var särskilt lämpade för programmering. Sannolikhetslära var ett så- dant område. Att studera stora talens lag genom att fysiskt kasta och räkna tärningskast är både tidskrä- vande och jobbigt. Genom att skriva ett program som simulerar tärningskast kan man lätt testa sig fram hur många kast som behövs för att komma upp i den teoretiska sannolikheten för ett visst utfall. Det är också möjligt att göra små förändringar i programmet utan att börja om från början. Numeriska metoder kan vara svåra att göra för hand. Miniräknaren eller Excel är dessutom inte lika effektiva som användning av programmering. Därför kan programmering vara ett bra verktyg vid arbete med exempelvis trapets- metoden, mittpunktsmetoden eller Eulers stegmetod. Olika typer av geometri eller koordinatsystem kan vara fördelaktiga att representera med Turtle. När elever ska rita mer avancerade figurer exempelvis en hexagon kan detta vara ett bra hjälpmedel. Exempelvis hexagonen i början av texten. Då får eleverna en känsla för sidorna och vinklarna i figuren. Programmering lämpar sig sämre för att lära sig olika typer av formler. Det är ofta betydligt mer tidskrävande att göra ett program än att göra beräkningar för hand och det ger inte någon ytterligare insikt om själva matematiken.
6.3 Hur kan programmering integreras i matematikundervisningen?
På vilket sätt läraren ska använda programmering i undervisningen är enligt kursplanen upp till lära- ren själv. Det finns inga krav på programmeringsspråk eller programmeringsmiljö, kalkylblad kan också klassas som programmering även om det ska ses som ett andrahandsalternativ. Eftersom gymnasiee- lever idag inte har så stora programmeringskunskaper kan användning av kalkylblad för att göra olika beräkningar vara ett bra alternativ. Ett annat alternativ som inte ställer allt för höga krav på elevernas programmeringskunskaper kan vara att ge eleverna ett färdigt program som de får använda för att lösa problem. Det går också att ta ytterligare ett steg mot textprogrammering genom att låta elever göra små förändringar i ett program för att det ska lösa ett visst problem. På detta vis får eleverna bekanta sig med programmering utan att ha kunskaper i programmeringsspråket. De slipper också frustrationen som kan uppkomma då programmeringen ställer höga krav på noggrannhet. Det var tydligt från klassrumsobser- vationen att elever fastnar när det blir fel i koden. Det är svårt att felsöka vilket kan leda till frustration hos eleverna. När lärarna redovisade sina klassrumsprojekt berättade en lärare att eleverna tyckte det blev för mycket fokus på "parenteser hit eller dit" istället för matematiken.
Att låta eleverna skriva egna program för att lösa matematikproblemen verkar vara ett bra alternativ för elever som redan kan programmera. För eleverna som kämpade med programmeringen blev fokus på just programmering istället för på matematiken. Detta var något som både diskuterades då lärarna re- dovisade sina projekt och som jag observerade i klassrummet. De som hade kunskaper i programme- ring kunde koppla detta till matematiken och på så sätt lära sig mer, min uppfattning var att det var ett bra verktyg för dessa elever och att de fick fördjupade matematikkunskaper genom programmeringen.
Genom att låta elever själva konstruera program blir också programmeringen ett verktyg som de kan använda i olika matematiska sammanhang.
7 Fortsatta studier
Något som framkom var att lärarna såg att andra elever än de vanligt högpresterande tog plats i under- visningen. Detta skulle vara intressant att studera i större utsträckning. En annan ingång är att studera övergången mellan blockprogrammering, som ofta används på låg- och mellanstadiet, till textprogram- mering som används i de högre årskurserna. Det skulle också vara intressant att undersöka på vilket sätt läromedlen har integrerat programmering.
8 Avslutning
Lärarna i studien ser att det finns fördelar med att använda programmering inom flera olika områden in- om matematiken bland annat sannolikhetsteori och numeriska metoder. En utmaning med att använda programmering i matematikundervisningen är enligt lärarna att eleverna på gymnasiet saknar kunska- per i programmering. Detta gör att matematiklärarna först måste lära eleverna grunderna i programme- ring för att det sedan ska kunna användas som ett verktyg för att lösa matematiska problem. Lärarna är därför rädda för att värdefull lektionstid kommer att gå åt till att undervisa eleverna i programme- ring istället för matematik. Programmering är svårt att lära sig och därför anser vissa att programmering skulle bli ett matematiskt verktyg om eleverna lärde sig programmering i en separat kurs. Då skulle ele- vernas kunskaper sedan kunna användas i matematiken. En annan utmaning är att lärarna som ska lära eleverna till stor del saknar kunskaper i programmering. Rösterna för programmering i matematikunder- visningen betonar den samhälleliga nyttan av programmering. I detta avseende är kanske nyttan av en introduktion av programmering inom matematikämnet fördelaktigt. Fler elever kommer i kontakt med programmering istället för endast de som väljer programmering som tillval. Detta ökar chansen för att fler blir intresserade av att söka ytterligare kunskaper. Eftersom det är fritt på vilket sätt och i vilken ut- sträckning programmering ska användas i undervisningen, samt att det inte är ett kunskapskrav, kanske vi får utgå ifrån våra elever och utöka programmering som verktyg efter hand. Lärarna på kursen använde sig av olika metoder då de inkluderade programmering i sina klassrum. Det som är bra med dessa olika metoder är att det är möjligt att individanpassa efter elevernas förkunskaper. Eleverna som har kunska- per i programmering kan koda sina egna program, medan elever som inte är vana vid programmering kan få färdiga, alternativt halvfärdiga, program för att lösa problem. För att förenkla och optimera pro- grammeringen i matematikundervisningen är det också nödvändigt med bra matematikuppgifter där programmering kan användas. Det verkar finnas få bra uppgifter i gymnasieskolans läroböcker men för högstadiet finns en bra bok med matematisk programmering. Detta kommer säkert att förbättras inom en snar framtid. Under tiden får lärare hitta på egna upplägg samt få inspiration från konferenser och som i detta fall fortbildningskurs.
