Po¨ ang totalt f¨ or del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2013-03-28 Po¨ ang totalt f¨ or del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 – 14.00 L¨ arare: Adam Jonsson
Jourhavande l¨ arare: Adam Jonsson Tel: 1948
Till˚ atna hj¨ alpmedel: • R¨ aknedosa,
• Kursboken V¨ annman: Matematisk statistik. I kursboken f˚ ar anteckningar och post-it lappar finnas, men inte l¨ osta exempel.
• Kompendium om regressionsanalys
• Formelblad
• Tabeller
Tentamen best˚ ar av tv˚ a delar. P˚ a den f¨ orsta delen, som ¨ ar obligatorisk f¨ or att kunna bli godk¨ and, beh¨ over enbart svar l¨ amnas in, men om korta l¨ osningar bifogas s˚ a finns det vid gr¨ ansfall m¨ ojlighet att f˚ a delpo¨ ang p˚ a en uppgift. Delpo¨ ang ges i f¨ orsta hand om en uppgift i stort sett behandlats korrekt men slarvfel beg˚ atts. Om kortfattade l¨ osningar ej bifogas s˚ a finns inga m¨ ojligheter att f˚ a delpo¨ ang p˚ a en uppgift.
F¨ or godk¨ ant kr¨ avs minst 17 po¨ ang p˚ a del 1. Svaren f¨ or del 1 ska fyllas i p˚ a det blad som bifogas tentamen. Det ifyllda svarsbladet skall l¨ aggas f¨ orst om du l¨ amnar in l¨ osningar och bifogas oavsett om du l¨ amnat in l¨ osningar eller ej. Om inte det ifyllda svarsbladet l¨ amnas in bed¨ oms tentamen som underk¨ and.
P˚ a den andra delen, som g¨ aller tentamen f¨ or ¨ overbetyg, ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas in. T¨ ank p˚ a att redovisa dina l¨ osningar p˚ a ett klart och tydligt s¨ att och motivera resonemangen. Vid bed¨ omningen av l¨ osningarna l¨ aggs stor vikt vid hur l¨ osningarna ¨ ar motiverade och redovisade. F¨ or betyg 4 kr¨ avs godk¨ ant p˚ a den f¨ orsta obligatoriska delen samt minst 13 po¨ ang fr˚ an den andra delen f¨ or ¨ overbetyg. F¨ or betyg 5 kr¨ avs godk¨ ant p˚ a den f¨ orsta obligatoriska delen samt minst 23 po¨ ang fr˚ an den andra delen f¨ or ¨ overbetyg.
OBS! Det g˚ ar inte att kompensera underk¨ ant p˚ a den f¨ orsta korta delen av tentamen med po¨ ang p˚ a den andra delen.
Ange p˚ a tentamensomslaget om du har l¨ amnat in l¨ osningar p˚ a del 2 genom att kryssa f¨ or de sista tre uppgifterna.
Om du plussar f¨ or ¨ overbetyg s˚ a skriv detta p˚ a tentamensomslaget.
LYCKA TILL!
1. Antag att 6 % av alla bilf¨ orare k¨ or berusat och att sannolikheten att en berusad person somnar under bilk¨ orningen ¨ ar 0.33. Motsvarande sannolikhet f¨ or en nykter person ¨ ar 0.01. En olycka intr¨ affar, och det konstateras att bilf¨ oraren somnat vid ratten. Vad ¨ ar sannolikheten att
personen varit berusad? (2p)
2. Vid etsning av kretskort ¨ ar andelen defekta ofta h¨ og, och d¨ arf¨ or kon- trolleras de f¨ ardiga korten. Kort l¨ aggs ihop i f¨ orpackningar om 21 kort.
5 av dessa ska tas ut f¨ or unders¨ okning. Om det bland de 21 finns 2 defekta hur stor ¨ ar sannolikheten att det i urvalet finns exakt 1 defekt
kort? (2p)
3. I planeringen av ett nytt k¨ osystem p˚ a ett bankkontor har man tyckt sig kunna beskriva antalet m¨ anniskor per minut som kommer in p˚ a banken ett visst intervall med en Poissonf¨ ordelad variabel med v¨ antev¨ ardet 3.2 kunder per minut. Hur stor ¨ ar sannolikheten att det under dessa f¨ oruts¨ attningar kommer in minst 4 m¨ anniskor p˚ a en minut? (2p)
4. Antag att dom tv˚ a stokastiska variablerna ξ 1 och ξ 2 har samma kon- tinuerliga f¨ ordelning, vars frekvensfunktion ges av
f (x) =
( 2x om 0 ≤ x ≤ 1, 0 annars.
L˚ at ξ beteckna summan ξ 1 + ξ 2 . Best¨ am v¨ antev¨ ardet av ξ. (3p)
5. Ett f¨ oretag k¨ oper in 100 motst˚ and av en viss typ. Varje motst˚ and har en resistans (i ohm) som kan beskrivas med en normalf¨ ordelning med v¨ antev¨ arde 200 och standardavvikelse 15. F¨ or att ett motst˚ and skall kunna anv¨ andas i produktionen kr¨ avs att resistansen ¨ ar minst 190.
Ber¨ akna sannolikheten att minst 80 motst˚ and kan anv¨ andas.
Tips: Anv¨ and en l¨ amplig approximativ metod. (3p)
6. I en viss bank samlas uppgifter in om handl¨ aggningstiden av olika slags
¨
arenden fr˚ an alla lokalkontor. F¨ or ett givet rutin¨ arende har det visat sig att handl¨ aggningstiden kan beskrivas med en normalf¨ ordelning d¨ ar den f¨ orv¨ antade handl¨ aggningstiden ¨ ar 7 timmar och standardavvikelsen 1.5 timmar.
Hur l˚ ang ¨ ar den l¨ angsta tiden f¨ or de 2 % kortaste handl¨ aggningstiderna?
(2p)
7. Boxaren Anna har tv˚ a v˚ agar, v˚ ag 1 och v˚ ag 2, och misst¨ anker att v˚ ag 2 i genomsnitt visar en h¨ ogre vikt. F¨ or att unders¨ oka saken noterar Anna sin vikt p˚ a de tv˚ a v˚ agarna en g˚ ang i veckan under ett sju veckor l˚ angt tr¨ aningsl¨ ager. Resultatet i kg ges nedan:
Vecka nr 1 2 3 4 5 6 7
V˚ ag1 62,53 59,88 57,08 55,48 54,87 55,74 54,57
V˚ ag 2 62,82 60,10 57,20 55,47 55,07 55,77 54,57
Ber¨ akna ett l¨ ampligt 95% konfidensintervall f¨ or den genomsnittliga skillnaden (v˚ ag 2 - v˚ ag 1) under rimliga normalf¨ ordelningsantaganden.
Svara med den nedre gr¨ ansen.
R¨ aknehj¨ alp: ¯ x 1 = 57, 16, s 1 = 2, 97, ¯ x 2 = 57, 28, s 2 = 3, 07. F¨ or diffe- renserna g¨ aller: ¯ z = 0, 1200, s z = 0, 1206. (2p)
8. Antag att x 1 , x 2 , . . . , x 24 ¨ ar ett observerat stickprov av storlek 24 fr˚ an en normalf¨ ordelning d¨ ar µ och σ ¨ ar ok¨ anda. F¨ or att testa H 0 : µ = 130 mot H 1 : µ 6= 130 p˚ a 10% signifikansniv˚ a skall kvoten
t = x − 130 ¯ s/ √
24
ber¨ aknas varp˚ a H 0 f¨ orkastas om |t| > c, d¨ ar ¯ x ¨ ar medelv¨ ardet, s ¨ ar stickprovsstandardavvikelsen och d¨ ar c ¨ ar en konstant. Beslutsregeln
¨ ar allts˚ a: F¨ orkasta H 0 om beloppet av kvoten ¨ ar st¨ orre ¨ an c.
Vilket v¨ arde p˚ a c skall anv¨ andas? (2p)
9. En forskargrupp vill testa H 0 mot H 1 . Forskargruppen best˚ ar av tio personer. Var och en av dom till¨ ampar ett test med 10% signifikans- niv˚ a som baseras p˚ a ett stickprov av storlek 35. De tio stickproven ¨ ar oberoende.
Antag att H 0 ¨ ar sann. Hur stor ¨ ar sannolikheten att minst en forskare
¨ and˚ a drar slutsatsen att H 0 ¨ ar falsk. (2p)
10. Vid en amerikansk unders¨ okning studerades hur livsl¨ angden, Y , hos ett sk¨ arverktyg p˚ a en svarv kunde relateras till X 1 =svarvens hastig- het och till X 2 =verktygstypen, d¨ ar X 2 = 0 eller 1. Man gjorde 20 observationer p˚ a livsl¨ angden (enhet: timmar), svarvhastigheten (en- het: 100 varv per minut), samt verktygstyp. Analys av en multipel regressionsmodell med de tv˚ a variablerna X 1 och X 2 gav resultatet i tabell 1 nedan. Maxhastigheten f¨ or de utvalda verktygen varierade mellan 5 och 10.
(a) Best¨ am f¨ orklaringsgraden. (1p)
(b) F¨ or att unders¨ oka om maxhastigheten p˚ averkar livsl¨ angden skall ett test p˚ a 1% signifikansniv˚ a genomf¨ oras genom att ber¨ akna v¨ ardet p˚ a en l¨ amplig t-kvot och j¨ amf¨ ora denna med ett visst tal.
Vad ¨ ar v¨ ardet p˚ a t-kvoten? Kan man p˚ ast˚ a att maxhastigheten p˚ averkar livsl¨ angden p˚ a 1% signifikansniv˚ a?
F¨ or 2 po¨ ang kr¨ avs b˚ ade t-kvoten och r¨ att svar (ange JA eller NEJ
p˚ a svarsbladet). (2p)
(c) F¨ or verktyg med en given maxhastighet, vad ¨ ar den genomsnitt- liga skillnaden i livsl¨ angden f¨ or verktyg av typ 1 j¨ amf¨ ort med verktyg av typ 0? Besvara fr˚ agan genom att ber¨ akna ett 99%-igt konfidensintervall. Redovisa den undre gr¨ ansen. (2p)
Slut p˚ a del 1. Gl¨ om inte att bifoga svarsbladet med tentan!
Tabell 1: Regression Analysis: Y versus X1; X2 The regression equation is
Y = 37,0 - 2,66 X1 + 15,0 X2
Predictor Coef SE Coef T P
Constant 36,986 3,510 10,54 ?
X1 -2,6607 0,4520 -5,89 ?
X2 15,004 1,360 11,04 ?
S = 3,03949 R-Sq =? R-Sq(adj) = ?
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Regression 2 1418,03 709,02 76,75 0,000 Residual Error 17 157,05 9,24
Total 19 ?
Tabell f¨ or svar till del 1
Riv ut och l¨ agg svarsbladet f¨ orst i tentamen
Namn: . . . . Personnummer: . . . .
Sannolikheter skall anges i decimalform som ett tal mellan 0 och 1.
Fr˚ aga Svar Po¨ ang
1 Sannolikhet (tre decimaler) 0.678 2
2 Sannolikhet (tre decimaler) 0.381 2
3 Sannolikhet (tre decimaler) 0.397 2
4 V¨ antev¨ arde (tre decimaler) 1.333 3
5 Sannolikhet (tre decimaler) 0.113 3
6 Den kortarste tiden (tre decimaler) 3.925 (3.919) 2
7 Nedre gr¨ ans (fyra decimaler) 0.0085 2
8 Konstanten c (tre decimaler) 1.714 2
9 Sannolikhet (fyra decimaler) 0.6513 2
10 a F¨ orklaringsgrad (fyra decimaler) 0.9003 1 b t-kvot (fyra decimaler) -5.8865
“JA” eller “NEJ” JA 2
c Nedre gr¨ ans (fyra decimaler) 11.0627 2
Totalt antal po¨ ang 25
Vid bed¨ omningen av l¨ osningarna av uppgifterna i del 2 l¨ aggs stor vikt vid hur l¨ osningarna ¨ ar motiverade och redovisade. T¨ ank p˚ a att noga redovisa inf¨ orda beteckningar och eventuella antaganden.
11. I en fabrik vill man best¨ amma sannolikheten p att lysr¨ or av en viss typ fungerar minst i 1000 timmar. F¨ or att skatta p planerar man att m¨ ata livsl¨ angden f¨ or 20 lysr¨ or och ber¨ akna
p ∗ = andelen r¨ or som h˚ aller i minst 1000 timmar.
(a) Best¨ am sannolikhetsfunktionen f¨ or p ∗ . (5p) (b) Visa att p ∗ ¨ ar v¨ antev¨ ardesriktig. (5p) Obs! Parametern p kommer att ing˚ a i uttrycket f¨ or sannolikhetsfunk- tionen p˚ a (a).
L¨ osningsskiss
(a) Vi kan skriva p ∗ = η/20, d¨ ar η=antalet r¨ or som h˚ aller i minst 1000 timmar. Dom m¨ ojliga v¨ ardena p˚ a p ∗ ¨ ar 0, 1/20, 2/20, ..., 19/20, 1.
Att p ∗ = x ¨ ar samma sak som att η = 20x. Vi har η ∈ Bin(20, p).
S˚ a
P (p ∗ = x) = P (η = 20x) = ( 20 20x )p 20x (1 − p) 20−20x , d¨ ar x = 0, 1/20, 2/20, ..., 1.
(b) F¨ or Binomialf¨ ordelningen g¨ aller att v¨ antev¨ ardet ¨ ar np. S˚ a E(η) = 20p. Sats 5A (a) ger
E(p ∗ ) = E(η/20) = E(η)/20 = p.
12. Torsten ¨ ar intresserad av ¨ overnaturliga f¨ orm˚ agor hos m¨ anniskor. Han anser att en person har en s˚ adan f¨ orm˚ aga om denne eller denna fem g˚ anger i rad kan f¨ oruts¨ aga utfallet av ett t¨ arningskast. Torsten uts¨ atter 10000 personer f¨ or experimentet, varav 2 stycken klarar det. Han drar d¨ arf¨ or slutsatsen att f¨ orekomsten av ¨ overnaturliga f¨ orm˚ agor har bevi- sats 1 .
H˚ aller du med Torsten n¨ ar det g¨ aller hur resultatet skall tolkas? Anv¨ and begrepp och metoder fr˚ an statistisk hypotespr¨ ovning f¨ or att besvara
fr˚ agan. (13p)
L¨ osningsskiss Inf¨ or p=sannolikheten att en slumpm¨ assigt vald per- son klarar testet. Om det inte finns m¨ anniskor med ¨ overnaturliga f¨ orm˚ agor har vi p = (1/6) 5 . Om det d¨ aremot finns m¨ anniskor med (denna typ av) ¨ overnaturliga f¨ orm˚ agor s˚ a har vi p > (1/6) 5 . S˚ a vi vill testa
H 0 : p = (1/6) 5 mot H 1 : p > (1/6) 5 .
Testvariabel: η =antal personer som klarar testet. Beslutsregel: F¨ orkasta H 0 om η ≥ k, d¨ ar k best¨ ams av riskniv˚ an. Med direktmetoden: P- v¨ ardet ¨ ar P (η ≥ 2) givet H 0 sann. D˚ a H 0 ¨ ar sann har vi att η
¨
ar Bin(10000, (1/6) 5 ). Eftersom n ¨ ar v¨ aldigt stort och p mycket li- tet k¨ or vi Poisson-approximation. Vi har η ' P o(10000 · (1/6) 5 )) =
1
