BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚ-HUMANITNÍ A

PEDAGOGICKÁ

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

Technická univerzita v Liberci

FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚ-HUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ

Katedra: Katedra fyziky

Studijní program: B1701 Fyzika

Studijní obory: Fyzika se zaměřením na vzdělávání Matematika se zaměřením na vzdělávání

NÁVRH A REALIZACE ÚLOHY PRO FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM – MĚŘENÍ TÍHOVÉHO ZRYCHLENÍ A MOMENTU SETRVAČNOSTI POMOCÍ KLADKY

DESIGN AND IMPLEMENTATION OF A TASK FOR PHYSICAL LABORATORY – MEASURING GRAVITY AND MOMENT OF INERTIA USING PULLEY

Bakalářská práce: 11-FP-KFY-001

Autor: Podpis:

Michal JANSA ………..

Vedoucí práce: Mgr. Panošová Dagmar, Ph.D.

Konzultant: Mgr. Panoš Stanislav, Ph.D.

Počet

stran grafů obrázků tabulek pramenů příloh

51 2 14 3 5 2

V Liberci dne:

Čestné prohlášení

Název práce: Návrh a realizace úlohy pro fyzikální praktikum – Měření tíhového zrychlení a momentu setrvačnosti pomocí kladky Jméno a příjmení autora: Michal Jansa

Osobní číslo: P09001144

Byl/a jsem seznámen/a s tím, že na mou bakalářskou práci se plně vztahuje zákon č. 121/2000 Sb. o právu autorském, právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon), ve znění pozdějších předpisů, zejména § 60 – školní dílo.

Prohlašuji, že má bakalářská práce je ve smyslu autorského zákona výhradně mým autorským dílem.

Beru na vědomí, že Technická univerzita v Liberci (TUL) nezasahuje do mých autorských práv užitím mé bakalářské práce pro vnitřní potřebu TUL.

Užiji-li bakalářskou práci nebo poskytnu-li licenci k jejímu využití, jsem si vědom povinnosti informovat o této skutečnosti TUL; v tomto případě má TUL právo ode mne požadovat úhradu nákladů, které vynaložila na vytvoření díla, až do jejich skutečné výše.

Bakalářskou práci jsem vypracoval/a samostatně s použitím uvedené literatury a na základě konzultací s vedoucím bakalářské práce a konzultantem.

Prohlašuji, že jsem do informačního systému STAG vložil/a elektronickou verzi mé bakalářské práce, která je identická s tištěnou verzí předkládanou k obhajobě a uvedl/a jsem všechny systémem požadované informace pravdivě.

V Liberci dne: 26. 6. 2013

Michal Jansa

PODĚKOVÁNÍ

Chci poděkovat Mgr. Dagmar Panošové Ph.D. a Mgr. Stanislavu Panošovi Ph.D.

za jejich pomoc, konzultace a trpělivost při zpracování této bakalářské práce. Zároveň bych chtěl poděkovat své rodině a svým blízkým za jejich psychickou podporu.

Obsah

1. Teorie ... 10

1.1. Posuvný a otáčivý pohyb ... 10

1.2. Úhlová rychlost, úhlové zrychlení ... 12

1.3. Síly ... 14

1.4. Moment hybnosti, moment setrvačnosti ... 15

1.5. Přenesení posuvného pohybu na rotační ... 18

1.6. Gravitační a tíhové zrychlení ... 19

2. Měření tíhového zrychlení ... 21

2.1. Volný pád ... 21

2.2. Matematické kyvadlo ... 21

2.3. Fyzické kyvadlo ... 22

2.4. Převratné kyvadlo ... 23

2.5. Cavendishův pokus ... 26

2.6. Jollyho váhy ... 28

2.7. Další měření ... 28

3. Jednoduché stroje, kladka ... 29

3.1. Kladka ... 29

3.2. Kolo na hřídeli ... 30

4. Měření tíhového zrychlení pomocí kladky ... 31

4.1. Provedení ... 31

4.2. Výpočet ... 31

4.2.1. Výpočet tíhového zrychlení ... 31

4.2.2. První způsob – pomocí tří optických závor ... 32

4.2.3. Druhý způsob – měření z klidového stavu ... 35

4.2.4. Třetí způsob – pomocí dvou optických závor ... 36

4.2.5. Čtvrtý způsob – pomocí dálkoměru ... 37

4.3. Vyhodnocení chyby měření ... 39

4.3.1. Výpočet tíhového zrychlení ... 39

4.3.2. První způsob – pomocí tří optických závor ... 40

4.3.3. Druhý způsob – měření z klidového stavu ... 40

4.3.4. Třetí způsob – pomocí dvou optických závor ... 41

4.3.5. Čtvrtý způsob – pomocí dálkoměru ... 42

4.4. Naměřené hodnoty ... 42

4.4.1. Třetí způsob – pomocí dvou optických závor ... 42

4.4.2. Čtvrtý způsob – pomocí dálkoměru ... 44

5. Měření momentu setrvačnosti ... 46

6. Návrh úlohy „Měření tíhového zrychlení pomocí kladky“ ... 48

7. Závěr ... 49

Seznam použitých zdrojů ... 50

Seznam příloh ... 51

Seznam obrázků

Obrázek 1: Ke Steinerově větě ... 17

Obrázek 2: Rozbor tíhové síly ... 19

Obrázek 3: Převratné kyvadlo [1] ... 24

Obrázek 4: Převratné kyvadlo [Foto archiv autora] ... 25

Obrázek 5: Měření tíhového zrychlení převratným kyvadlem. Graf naměřených hodnot. ... 26

Obrázek 6: Uspořádání Cavendishova pokusu [2] ... 27

Obrázek 7: Jollyho váhy ... 28

Obrázek 8: Závaží na kladce v pohybu ... 29

Obrázek 9: Kolo na hřídeli ... 30

Obrázek 10: Působení tahu na kladku ... 31

Obrázek 11: schéma měření pomocí tří optických závor ... 33

Obrázek 12: schéma měření z klidové polohy ... 36

Obrázek 13: Schéma měření pomocí dvou optických závor ... 37

Obrázek 14: Měřicí senzor Go! Motion [4] ... 38

Obrázek 15: Graf závislosti vzdálenosti na čase z vybraných hodnot (měření č. 12) ... 44

Obrázek 16: Graf závislosti zrychlení soustavy na rozdílu hmotností závaží... 46

Seznam tabulek

Tabulka 1: Měření tíhového zrychlení převratným kyvadlem. Naměřené hodnoty 100 period. ... 26 Tabulka 2: Hodnoty naměřené optickými závorami ... 43 Tabulka 3: Tabulka hodnot naměřených pomocí dálkoměru ... 47

1. Teorie

1.1. Posuvný a otáčivý pohyb

Pro určení každého pohybu hmotného bodu je nejprve potřeba určit jeho polohu.

Proto si zvolíme vztažný systém souřadnic. Pro tento účel nám nejlépe poslouží kartézský systém souřadnic, protože jeho tři osy jsou navzájem kolmé. Osy jsou zpravidla opatřeny měřítkem vyrobeným podle délkového standardu. Samotná poloha hmotného bodu je udána polohovým vektorem r

, jehož počátek leží v počátku systému souřadnic a koncový bod v místě polohy hmotného bodu. Kartézské souřadnice tohoto vektoru jsou x, y, z:



^{x y z}



r , ,

(1.) Pro praktická měření je potřeba systém souřadnic spojit se vztažným tělesem.

Prostor bude tak pevně spojen s tímto tuhým tělesem.

Libovolná událost ve fyzice je určena polohovým vektorem r

a časem t. Popis některých fyzikálních procesů se neobyčejně zjednoduší při použití vhodného vztažného systému souřadnic. Z údajů místa a času lze matematicky vyjádřit pohyb. Pohyb budeme chápat, jako změnu polohy vzhledem k vztažné soustavě souřadnic. Protože výskyt hmotného bodu v daném místě a čase je fyzikální událostí, lze pohyb popsat udáním prostoru a času, kde hmotný bod byl. Je tedy potřeba určit závislost polohového vektoru na čase.

 

^t

r r 

 (2.)

Tuto vektorovou rovnici je možno zapsat pomocí tří skalárních rovnic pro jednotlivé souřadnice x, y, z vektoru r

.

   

 

t z z

t y y

t x x







(3.)

Pohyb bodu v referenčním systému je tedy popsatelný křivkou spojující místa, jimiž

za dobu t urazil po své trajektorii vzdálenost s. Střední rychlost hmotného bodu od t do (tt) spočítáme:

t v_stř s



  (4.)

Pomocí limity a derivace lze určit okamžitou rychlost v čase t. Interval t zvolíme v limitě nulový a okamžitou rychlost spočítáme:

 

t

t s

v t 

 



 0

lim (5.)

To znamená, že okamžitá rychlost je derivací dráhy podle času.

 

dt t ds

v  (6.)

Takto definovaná rychlost vystihuje velikost rychlosti, nikoliv však její směr.

Vektorové vyjádření rychlosti určuje i směr. Definujeme-li okamžitou rychlost jako vektor:

 

dt r t d v

 

 (7.)

Protože rychlost není vždy stálá, potřebujeme zjistit, jak se její směr a velikost mění s časem. Pomocí průvodiče r

 

t

a vektoru rychlosti v

 

t

lze totiž určit jen okamžitou polohu a rychlost hmotného bodu. Abychom zjistili, jak se bude pohybovat hmotný bod v okamžiku t+dt, potřebujeme znát vektor zrychlení a

 

t

, jenž určuje změnu rychlosti v s časem:

 

²₂

dt r d dt

v t d a



    (8.)

Chceme-li porovnat vektor ^v

 

^t s vektorem ^v



^t^dt



, přeneseme je do společného počátku. Vektor zrychlení ^a

 

^t má směr elementárního přírůstku dv

. Zrychlení tedy umožňuje předpovídat pohyb hmotného bodu v příštím okamžiku. Pokud známe zrychlení a

 

t

, dostaneme průběh v

 

t

a r

 

t

integrováním podle času. Dostaneme tedy:

   

^{t v }



^ta

 

^d

v

0

0 ^ 



 (9.)

kde t je konečný čas a τ je čas průběžný.

Tuto integraci můžeme též provést pro libovolné časové rozmezí:

   

^{ }



²

 

1

1 2

t

t

dt t a t v t

v  

(10.)

Funkci ^r

 

^t dostaneme z funkce ^a

 

^t dvojím integrováním, nebo integrováním funkce ^v

 

^{t .}

Pokud se hmotný bod pohybuje se zrychlením, lze toto zrychlení rozložit na tečnou a normálovou složku. V nejbližším okolí libovolného bodu lze křivku nahradit oskulační kružnicí, jež má stejný poloměr křivosti jako tato křivka.

Speciálním případem je přímočarý pohyb. Pohyb se nazývá přímočarý, když je jeho dráhou přímka. Pohyb je přímočarý právě tehdy, když vektor normálového zrychlení je nulový.

Pohyb se nazývá rovnoměrně zrychlený přímočarý, právě tehdy, když je hodnota tečného zrychlení konstantní. Pro tento typ pohybu můžeme počítat:

   

t v a t

v  0   (11.)

     

²

2 0 1

0 v t a t

s t

s      (12.)

Při nulovém zrychlení a0 je pohyb rovnoměrný přímočarý. [1]

1.2. Úhlová rychlost, úhlové zrychlení

Pokud trajektorie hmotného bodu neleží na přímce, ale na kružnici, jde o pohyb kruhový. Normálové zrychlení tohoto pohybu je nenulové. Pro zjednodušení popisu kruhového pohybu použijeme polární souřadnice, to jsou radius r a polární úhel φ. Úhel φ měříme od kladné osy x proti směru otáčení hodinových ručiček. Protože dráhou tohoto pohybu je kružnice, bude radius konstantní, pracujeme tedy s jednou měnící

 

dt t d

  (13.)

Změna úhlové rychlosti v čase je dále vyjádřena úhlovým zrychlením:

 

²₂

dt d dt

t d 

   (14.)

Chceme-li tento pohyb vyjádřit pomocí kartézských souřadnic, dostaneme:

   

   

 

0 sin cos









 t z

t r

t y

t r

t x





(15.)

Pomocí vektorů lze psát:

 

t r



cos

 

t ;sin

 

t ;0



r   

(16.)

Třetí souřadnici rovnou nule je nadále možno vynechávat.

Derivováním tohoto vektoru podle času dostaneme vektor rychlosti:

   



^{t t}



^r

  

^t

 

^t



dt rd

v      

cos

; sin cos

;

sin  





(17.)

Velikost rychlosti je:

 r v v  

(18.)

Pro zrychlení kruhového pohybu platí, že má dvě složky, tečnou a normálovou.

Tečná složka se dá vyjádřit jako:

 

⁰

0 r t

dt t

a_t dv 





  (19.)

Normálová složka, také nazývaná „dostředivé zrychlení“, je rovna:

0 2 0 2

n r r n

a v

a_n  _d      (20.)

Rovnoměrně zrychlený otáčivý pohyb je zvláštním případem otáčivého pohybu.

Při tomto pohybu se úhlové zrychlení s časem nemění, mění se však úhlová rychlost otáčivého pohybu. Úhel otočení se v tomto případě dá vyjádřit rovnicí:

 

0 0

2

2

1  

 t  t  t (21.)

kde ω₀ je počáteční úhlová rychlost otáčení a φ₀ je Počáteční úhel otočení.

Úhlová rychlost se dá spočítat:

 

 0

t  t (22.)

Chceme-li spočítat normálovou složku zrychlení, vyjdeme ze vzorce (20.).

Vycházíme-li z předpokladu, že trajektorií je kružnice o poloměru r, je zřejmé, že velikost tečné složky zrychlení bude přímo úměrná úhlovému zrychlení, proto bude v tomto případě konstantní. [1]

r

a_t  (23.)

1.3. Síly

Síla je základní veličinou popisující interakci tělesa s okolím. Teprve z ní se počítají další (jednodušší) fyzikální veličiny, jako je zrychlení. Prvotně bylo experimentálně zjištěno, že zrychlení tělesa je nepřímo úměrné jeho hmotnosti. Z tohoto zjištění vychází Newtonův zákon síly:

a m F_V 



 (24.)

Z něhož pro zrychlení vyplývá

m a F^V

 

 (25.)

Součin hmotnosti a vektoru zrychlení je tedy mírou vzájemného působení hmotného bodu s okolím. Ze vzorce (25.) tedy vyplývá, že zrychlení hmotného bodu libovolné



Vzorec (24.) však lze použít jen v případě, že je hmotnost tělesa konstantní. Pokud se hmotnost tělesa mění, je nutno psát zákon síly ve tvaru:

t d

p F_V d

 

 (26.)

V němž p m v



 je hybnost tělesa.

Speciálním případem síl jsou síly setrvačné. Tyto síly můžeme pozorovat jen v neinerciálních referenčních systémech. Neinerciální referenční systém je takový, který se vztahuje k tělesu pohybujícímu se nerovnoměrně. Příkladem takovéhoto systému je rozjíždějící se vlak, nebo automobil v zatáčce. Setrvačné síly se proto nevážou na změnu pohybu samotného předmětu, ale vyjadřují vůli předmětu v inerciálním vztažném systému setrvávat ve svém pohybovém stavu. Tento proces popsal Isaac Newton prvním pohybovým zákonem: „Jestliže v inerciálním referenčním systému je výslednice všech pravých sil, působících na hmotný bod rovna nule, pak se hmotný bod pohybuje vůči tomuto systému rovnoměrně přímočaře, nebo je v klidu.“ [1]

1.4. Moment hybnosti, moment setrvačnosti

Při otáčivém pohybu tělesa lze jen velmi složitě počítat se stejnými veličinami jako u tělesa pohybujícího se přímočaře, je však možné každou veličinu známou z posuvného pohybu nahradit veličinou, která hraje stejnou roli při pohybu rotačním.

Víme, že rotační pohyb tělesa je popsán úhlovou rychlostí ω a úhlovým zrychlením ε.

Rotuje-li těleso kolem pevné osy, mají jeho elementy dm obecně různou kolmou vzdálenost r od osy rotace i různou postupnou rychlost v. Úhlová rychlost ω je však pro průvodiče všech elementů stejná, proto je mnohem vhodnější pro výpočty. Točivost elementu dm je dLrdmvdmr². Točivost celého tělesa je tedy třeba počítat integrací:





    





^{r dm}



^{r dm J}

L

m

m ( )

2

) (

2 (27.)

kde





) (

2

m

dm r

J (28.)

je moment setrvačnosti tělesa vůči pevné ose. Tato veličina popisuje rozložení hmotnosti objektu vzhledem k ose rotace a má v dynamice rotačních pohybů obdobný význam, jako hmotnost v dynamice translačních pohybů. Ze vzorce je patrné, že moment setrvačnosti roste se čtvercem vzdálenosti těžiště od osy rotace. Je důležité uvědomit si, že moment setrvačnosti závisí na rozložení hmotnosti v tělese vzhledem k ose otáčení. Pro nepravidelná tělesa, jejichž rozložení hmotnosti není možné matematicky popsat, je velmi složité spočítat moment setrvačnosti. Jinak je tomu u těles pravidelných a homogenních. Protože u homogenního tělesa lze element hmotnosti dm nahradit součinem dV hustoty a elementu objemu, lze spočítat moment setrvačnosti jako:





) (

2

V

dV r

J  (29.)

Takto se dá spočítat vzorec pro některé pravidelné homogenní předměty. Například moment setrvačnosti pro plnou kouli otáčející se kolem osy vedené středem je:

2

5 2m R

J   (30.)

kde R je poloměr koule.

Pro válec (disk), otáčející se kolem geometrické osy lze počítat:

2

2 1m R

J   (31.)

kde R je poloměr podstavy válce.

Protože ne vždy se tělesa otáčí kolem geometrické osy, je někdy potřeba počítat moment setrvačnosti pro osu posunutou. Pro tento účel slouží Steinerova věta, jež udává vztah mezi momentem setrvačnosti tělesa otáčejícího se kolem geometrické osy a tělesa otáčejícího se kolem posunuté osy stejného směru. Tato věta má tvar:

a2

m J

J  _S   (32.)

osy otáčení moment setrvačnosti velmi rychle roste. Protože hmotnost m i vzdálenost os a jsou kladné, bude moment setrvačnosti nejvyšší právě v případě, že se těleso otáčí kolem geometrické osy.

Obrázek 1: Ke Steinerově větě

Rotuje-li těleso kolem pevné osy, je souřadnice točivosti do směru osy vyjádřena vztahem (7.). Při konstantním momentu setrvačnosti lze tento vztah derivovat podle času:

 





 J

dt J d dt

dL (33.)

kde ε je úhlové zrychlení pohybu. Pro moment síly M_V^(e) můžeme tedy psát vztah:





 J

M_V^(e) (34.)

který je obdobou Newtonova zákona síly pro otáčivý pohyb. Moment síly je hodnota, která vyjadřuje, jak moc působí síla na předmět, aby ho uvedla do pohybu rotačního.

Dosadíme-li do vzorce (34.) ₂

2

dt d 

  , dostaneme obecnou pohybovou rovnici pro rotační pohyb tuhého tělesa nebo tuhé soustavy hmotných bodů o momentu setrvačnosti J vůči pevné ose:

) ( 2 2

e

MV

dt J d  

(35.)

Tato rovnice se používá pro řešení některých případů pohybu tuhého tělesa se zachováním směru rotační osy.

Protože moment síly se dá vyjádřit jako:

F r M  



 (36.)

Je zřejmé, že vektor momentu síly bude kolmý na rovinu otáčení. Chceme-li spočítat velikost momentu síly, nestačí vynásobit velikosti vektorů síly a průvodiče, ale musíme počítat s tím, že tyto dva vektory na sebe nemusí být vždy kolmé. Velikost momentu síly se dá tedy spočítat jako:

) cos(





r F

M (37.)

kde α je úhel, jenž svírají vektory r a F

. [1]

1.5. Přenesení posuvného pohybu na rotační

Protože se při tomto pokusu mění posuvný pohyb závaží na rotační pohyb kladky, je třeba vysvětlit, jak tento proces probíhá. Samotný proces není nijak složitý a v mnoha případech ho můžeme znát z běžného života. Například když fotbalista kopne do míče, uvede ho do pohybu translačního i rotačního a míra energie přenesené na rotaci míče závisí na místě na míči, kde fotbalista nohou působí. Případ kladky je jednodušší, protože kladka je upevněná ve svém středu, což brání posuvnému pohybu, ale povoluje pohyb rotační. Míra přenesení posuvného pohybu na rotační je závislá na sinu úhlu mezi směrem působení a spojnicí osy rotace s bodem působení. Vlákno natažené přes kladku ji opouští vždy právě ve směru kolmém k této spojnici, proto je sinus tohoto úhlu roven vždy jedné. Můžeme tedy počítat s tím, že posuvná rychlost závaží je rovna tečné rychlosti na kladce v místě, kde vede nit nesoucí závaží. Stejně lze počítat i s tím, že tečné zrychlení je rovno posuvnému zrychlení závaží. Vektor úhlové rychlosti můžeme potom spočítat podle vzorce:

r 2

v r



 

  (38.)



Pro velikost úhlové rychlosti lze psát:

r

v

 (39.)

kde r je poloměr kladky.

Ve skutečnosti na kladce není přenesení posuvného pohybu na rotační dokonalé, protože lanko na kladce částečně prokluzuje.[3]

1.6. Gravitační a tíhové zrychlení

Z Newtonova gravitačního zákona víme, že každá dvě tělesa se vzájemně přitahují stejně velkými silami. Velikost této síly je rovna:

2 2 1

r m G m

F_G 



 (40.)

kde G je gravitační konstanta shodná pro všechna tělesa, m₁ a m₂ jsou hmotnosti těles a r je vzdálenost mezi těžišti těchto těles. Protože gravitační konstanta G je velmi malá (G



^6,6726^0,0009



^1011m³s^2kg^1), je gravitační síla mezi předměty známými z běžného života nepatrná. Počítáme-li však s gravitační silou mezi tělesy velkých hmotností jako jsou vesmírná tělesa, má tato síla již značný vliv.

Obrázek 2: Rozbor tíhové síly

Protože referenční systém souřadnic spjatý se zemí není inerciální (Země se pohybuje kolem Slunce a otáčí se kolem své osy), výsledná síla působící na těleso na Zemském povrchu není rovna síle gravitační. Otáčení kolem osy způsobí,

že na těleso působí setrvačná síla odstředivá, která má směr kolmý k ose otáčení a směr od této osy. To způsobuje rozdíly tíhového zrychlení v různých zeměpisných šířkách.

Na pólech je tíhové zrychlení největší a na rovníku nejmenší.

Tíhová síla Fg uděluje hmotnému bodu o hmotnosti m na povrchu Země tíhové zrychlení g. Normální zrychlení tělesa při volném pádu v gravitačním poli Země je mezinárodně dohodnutá hodnota gN. Protože je tíhová síla přímo úměrná hmotnosti tělesa, velikost tíhového zrychlení na hmotnosti nezávisí.

2. Měření tíhového zrychlení

Měření tíhového zrychlení je možno provádět více způsoby. Pro porovnání hodnot tíhového zrychlení je vhodné porovnat naměřené hodnoty z měření různými způsoby.

2.1. Volný pád

Asi nejjednodušší způsob měření tíhového zrychlení je pomocí volného pádu.

Při tomto měření je potřeba změřit čas, za který těleso z klidového stavu v určité výšce nad povrchem dopadne na tento povrch. Toto těleso musí být dostatečně hmotné a musí mít správný tvar, aby se dal zanedbat odpor vzduchu. V takovém případě platí:

2

2 1g t

h  (41.)

kde h je výška tělesa nad povrchem na počátku měření.

Tíhové zrychlení g tedy spočítáme jako:

2 2

t

g h (42.)

Toto měření je sice velmi jednoduché a nenáročné na pomůcky, ale také velice nepřesné. Velkou roli hraje především reakční doba měřící osoby. V laboratorních podmínkách lze měřit pád ze dvou až tří metrů. Pokud počítáme s nepřesností způsobenou reakční dobou ±0,5s, při pádu ze dvou metrů je relativní chyba času 78%.

Při měření pádu z větších výšek ve venkovním prostředí zase nelze zanedbat vliv odporu vzduchu, případně větru. Přesnost by se dala zvýšit měřením času pomocí zařízení nahrazujícího člověka se stopkami (např. elektromagnet držící kuličku, jehož vypnutí spustí stopky a podložka citlivá na náraz).

2.2. Matematické kyvadlo

Tíhové zrychlení se dá spočítat z kmitů matematického kyvadla. Matematické kyvadlo je případ fyzického kyvadla, kde hmotnost m je soustředěna v jednom bodě na konci vlákna zanedbatelné hmotnosti. Tento případ není možné dokonale napodobit, můžeme se mu však přiblížit, zvolíme-li dostatečně hmotné těleso velmi malých rozměrů.

Pro dobu kmitu matematického kyvadla lze počítat:

g

T 2 l (43.)

kde l je délka závěsu.

Tíhové zrychlení se tedy spočítá:

2

4 2

T g_  l

(44.)

Tento způsob je velmi spolehlivý, pokud dodržíme nízké hodnoty výchylky φ a zanedbatelnou hmotnost závěsu kyvadla. Je také nezbytné, aby pohyb kyvadla nezpůsoboval pohyb bodu závěsu kyvadla.

2.3. Fyzické kyvadlo

Měření tíhového zrychlení pomocí fyzického kyvadla je dalším způsobem měření tíhového zrychlení. U fyzického kyvadla je velmi důležité znát polohu těžiště.

Pohybová rovnice fyzického kyvadla má tvar:

0

2 sin

2





 

 J amg dt

d (45.)

kde φ je výchylka spojnice těžiště a osy otáčení od svislého směru a a je vzdálenost těžiště od osy otáčení.

Pro malé hodnoty φ je hodnota sinφ(t) přibližně rovna φ(t). Protože při tomto měření bude výchylka menší než 5°, můžeme počítat:

2 0

2





 

 J amg dt

d (46.)

A z toho:

J

 amg

 (47.)

Pro dobu kmitu tedy platí:

amg

T 2 J (48.)

Tíhové zrychlení je tedy:

a m

J g T

 

 4₂²

(49.)

Problém tohoto měření je, že pro výpočet potřebujeme znát hodnotu momentu setrvačnosti. Ta se však obvykle stanovuje právě tímto způsobem ze známé hodnoty tíhového zrychlení.

2.4. Převratné kyvadlo

Zřejmě nejspolehlivější způsob určení hodnoty tíhového zrychlení je pomocí převratného kyvadla. Převratné kyvadlo je kyvadlo, které má dvě rovnoběžné osy otáčení O₁ a O₂, nesouměrně položené k těžišti, se stejnou dobou kyvu. Vzdálenost těchto os nazýváme redukovanou délkou l^*. Pro dobu kyvu platí:

g l^*



  (50.)

Provedeme-li přesná měření redukované délky l^* a doby kyvu τ můžeme ze vztahu (50.) určit tíhové zrychlení g.

Technické provedení tohoto kyvadla je provedeno tak, jak je vidět na obrázku.

Obrázek 3: Převratné kyvadlo [1]

Kovová tyč AB se dvěma rovnoběžnými břity O₁ a O₂ má na jednom konci upevněno posuvné závaží, které způsobuje nesouměrné rozložení hmotnosti. Závaží lze po tyči mezi body AO1 posouvat a měřit dobu kyvu τ₁ podle osy O₁ a τ₂ podle osy O₂ pro různé polohy d závaží. Cílem je nastavit polohu závaží d^* tak, aby τ₁=τ₂=τ. Tíhové zrychlení vypočítáme podle vzorce:

* 2

l

g  



 







 (51.)

Právě měření tíhového zrychlení pomocí převratného kyvadla budeme brát jako vzorové pro porovnání přesnosti měření a vyhodnocení smysluplnosti zařazení úlohy

„Měření tíhového zrychlení pomocí kladky“ do fyzikálního praktika.

Obrázek 4: Převratné kyvadlo [Foto archiv autora]

Cvičně jsme provedli jedno měření tímto způsobem. Pro měření jsme použili převratné kyvadlo se závažím, stopky, kovové měřítko a stojan. Vzdálenost AO1 jsme rozdělili na šest stejných úseků, na které jsme nastavovali polohu závaží. Pro každou polohu d závaží jsme určili dobu kmitu t1 pro osu O1 a dobu kmitu t2 pro osu O2 pro sto kmitů. Úhel rozkyvu nesmí překročit 5°! Vytvořili jsme graf z naměřených hodnot.

Z grafu jsme určili hodnotu d a tomu odpovídající hodnotu t. Závaží jsme umístili do polohy d a změřili postupnou nebo přímou metodou dobu kyvu τ₁ a τ₂ včetně jejich přesností. Z jejich aritmetického průměru stanovíme τ_S. Změřili jsme vzdálenost os O₁O₂ = l* a určili nejistotu měření. Do vztahu (51.) jsme dosadili naměřené hodnoty a vypočítali tíhové zrychlení. Za hodnotu τ jsme dosadili aritmetický průměr z hodnot τ1 a τ2. Ve výpočtu stačí číslo π udat na dvě desetinná místa. [5]

Výslednou krajní chybu měření g určíme za vztahu:

  

^

 

^

 

^



 g g _r l^* 2 _r (52.)

Tabulka 1: Měření tíhového zrychlení převratným kyvadlem. Naměřené hodnoty 100 period.

závaží dole závaží nahoře rozdíl

d [cm] t100 [s] t [s] t100 [s] t [s] Δt [s]

10 99,36 2,007273 99,26 2,005253 0,1 9,8 99,46 2,009293 99,56 2,011313 0,1 9 99,7 2,014141 100,25 2,025253 0,55 8,5 99,89 2,01798 100,5 2,030303 0,61 8 100,01 2,020404 101,12 2,042828 1,11 7,5 100,26 2,025455 101,49 2,050303 1,23

Obrázek 5: Měření tíhového zrychlení převratným kyvadlem. Graf naměřených hodnot.

Podle vzorce (51.) jsme spočítali zrychlení z časů naměřených při poloze závaží cm

d 9,8 .



9,770,01



 ^2

 m s

g

2.5. Cavendishův pokus

Na základě analýzy pohybu Měsíce kolem Země, planet kolem Slunce a na základě znalosti Keplerových zákonů odvodil Isaac Newton gravitační zákon pro působící sílu mezi dvěma tělesy:

Od té doby bylo známo, že existuje jistá konstanta G, která je pro určení této síly důležitá. Na její přesnější naměření se ale čekalo až do roku 1789, kdy Henry Cavendish provedl pokus na torzní soustavě a podařilo se mu G určit tak přesně, že na lepší výsledek se čekalo ještě dalších 100 let. Svůj pokus nazval „Vážení Země“, protože přesné určení gravitační konstanty G umožnilo poměrně přesně určit hmotnost Země:

R2

g G

M_Z   (54.)

Za pomoci známého tíhového zrychlení g a poloměru Země R. [2]

K pokusu byly použity Cavendishovy torzní váhy, skládající se ze dvou malých olověných kuliček na osičce se zrcátkem, které jsou zavěšeny na torzním vlákně. Tato část je uzavřena, aby zde nedocházelo k ovlivňování z okolí a odvedena statická elektřina, která by byla větší než působící síly. K této soustavě je připojena soustava dvou větších olověných koulí o hmotnosti 1,5 kg. Přibližováním větších koulí ke koulím menším dochází k rozkmitání menších koulí. Laserovým paprskem dopadajícím na zrcátko umístěné na torzním vlákně můžeme na stínítku pozorovat okamžitou výchylku. Stínítko bylo umístěno ve vzdálenosti 6m od přístroje. [2]

Obrázek 6: Uspořádání Cavendishova pokusu [2]

2.6. Jollyho váhy

Další měření jsou z let 1879 až 1880 od Phillipa Von Jollyho, který použil tzv.

Jollyho váhy. Tyto zvláštní váhy umístil do horního patra věže v Mnichovské univerzitě. Byly to standardní váhy doplněné o 21 metrů dlouhé vlákno, na kterém byly umístěny další misky. Na horní váhy dal 5 kg rtuti a pod ty spodní umístil olověnou kouli o hmotnosti 6 tun. V tomto případě je gravitační působení olověné koule minimální, protože gravitační síla se zmenšuje s kvadrátem vzdálenosti. Pak umístil rtuť na spodní misku a došlo k vychýlení raménka vah. Jeho měření byla nepřesná, protože při výměně misek došlo k rozkmitání vah, turbulencím ve věži apod.

Obrázek 7: Jollyho váhy

Jeho experimenty vylepšil v roce 1891 Henry Poynting tím, že olověnou kouli umístil na otočnou desku. Tím eliminoval vliv turbulencí a rozkmitání zařízení.

2.7. Další měření

Další experiment je založen na odklonu od svislice. Máme zavěšené jedno těleso a poblíž druhé těleso. Gravitační síla způsobí, že se těleso na závěsu přitáhne k druhému tělesu. Stačí potom změřit odchylku od svislice. Odchylka je však neměřitelně malá.

Pierre Bouguer proto nepoužil koule, ale rovnou horu Chimborasso ve Francii.

Tato hora stojí osamoceně v krajině, a proto můžeme jednoduše odhadnout její hmotnost. V její blízkosti byl měřen odklon od svislice určené hvězdami.

3. Jednoduché stroje, kladka

Mezi jednoduché stroje patří několik vynálezů, které používáme každý den, a někdy si to ani neuvědomujeme. Často jejich princip umíme dobře využít, ale nezamýšlíme se nad ním podrobně. Jsou to: páka, nakloněná rovina, kladka, kolo na hřídeli, klín a šroub.

3.1. Kladka

Kladka je váleček upevněný ve středu, na nějž je navlečena nit, či jiný ohebný závěs. Na oba konce tohoto závěsu zpravidla působí síla směrem od kladky a tím závěs napíná.

Závěs kladku opouští vždy v místě, kde je tečnou k jejímu obvodu. Právě v tomto bodě na kladku působí silou, která je vždy kolmá k průvodiči od osy otáčení.

Protože průřezem kladky je kružnice, jsou vždy obě ramena působících sil stejně velká.

Velikost těchto ramen je rovna poloměru kladky. Samostatnou kladku tedy není možno využít ke zmenšení potřebné síly, jako tomu bylo u páky, toho se dá dosáhnout pouze soustavou dvou nebo více kladek. Samostatnou kladku lze využít ke změně směru potřebné síly (taháme za provaz směrem dolů, ale těleso na druhém konci se pohybuje směrem nahoru). Kladka se obvykle používá ve stavebnictví.

Obrázek 8: Závaží na kladce v pohybu

3.2. Kolo na hřídeli

Možná méně známý jednoduchý stroj je kolo na hřídeli. To se skládá ze dvou kol, z nichž jedno má větší a druhé menší průměr (hřídel) a mají společnou osu otáčení.

Princip je stejný jako u dvojzvratné páky. Pokud jsou momenty sil v rovnosti, platí:

2 2 1

1 r F r

F    (55.)

Kolo na hřídeli může zmenšit sílu potřebnou pro roztočení. V praxi se obvykle na hřídel namotává provaz, na jehož konci je zavěšeno zvedané břemeno. Příkladem kola na hřídeli je rumpál u studny.

Tento jednoduchý stroj by bylo možno také využít pro měření tíhového zrychlení.

Pozitivem by byla absence prokluzu provázku a menší rychlost pohybu závaží.

Negativem je namotávání provázku a s tím související změna hmotnosti a průměru kola na hřídeli.

Obrázek 9: Kolo na hřídeli

4. Měření tíhového zrychlení pomocí kladky

4.1. Provedení

Tíhové zrychlení můžeme pomocí kladky změřit více způsoby. Ve všech případech nejprve na kladku zavěsíme dvě závaží o malém rozdílu hmotností, každé na jeden konec lanka. Následně změříme zrychlení a pohybu těžšího závaží směrem k zemi.

Z tohoto zrychlení nakonec spočítáme tíhové zrychlení. Určíme nepřesnost měření.

4.2. Výpočet

4.2.1. Výpočet tíhového zrychlení

Přepočet zrychlení na tíhové zrychlení provedeme na základě rovnic pro výpočet sil působících na obě závaží a na kladku. Na každé závaží působí síla rovná součinu tíhového zrychlení a hmotnosti tohoto závaží. Obě síly mají stejný směr, a to k zemi.

Protože je lanko vedeno přes kladku, působí tyto síly tak, že napínají lanko a jejich efekt se odčítá.

Obrázek 10: Působení tahu na kladku

a m T g m

a m T g m

1 1 1

2 2 2







 (56.)













 J

r J a r T r

T_{2 1} (57.)

Sečtením rovnic pro závaží si vyjádříme rozdíl tahu T₂ T₁, tento rozdíl si rovněž vyjádříme z rovnice pro kladku.

 



m m



a g

m g m T T

a m m T

T g m g m



























2 1 1

2 1 2

2 1 1

2 2

1 (58.)

1 2

2 r

J a T

T   (59.)

Když položíme tyto rovnice do rovnosti, dostaneme vztah:



m m



a g

m g r m

J a₂  ₂  ₁  ₁ ₂  (60.)

2 2 1

r m J

m a m

g



 



 (61.)

Z něj můžeme vypočítat tíhové zrychlení g.

4.2.2. První způsob – pomocí tří optických závor

První způsob měření zrychlení je založen na možnosti výpočtu zrychlení z doby pohybu závaží ve dvou úsecích. V tomto případě není nutné, aby počáteční rychlost pohybu byla nulová. Optické závory jsme umístili tak, aby snímaly pouze závaží m2. Naše optické závory jsou vyrobeny ze tří laserových svítidel a tří fotodiod připojených k počítači. V počítači lze potom z nahraných dat vybrat čas, kdy byl paprsek přerušen.

Obrázek 11: schéma měření pomocí tří optických závor

Zrychlení závaží spočítáme ze známých vzorců:

2 1 1

0

1 2

1at t

v

s   (62.)

2 2 2

1

2 2

1at t

v

s   (63.)

z čehož dostaneme:



_{1 0 1}



2 1

2 s v t

at  (64.)



2 1 2



2 2

2 s vt

at  (65.)

Protože rychlosti v0 a v1 neznáme, pomůžeme si dalším výpočtem. Lze je vyjádřit jako:

1

0 a t

v   (66.)



0 1



1 a t t

v    (67.)

Po dosazení do vzorce (67.) dostaneme rovnice:



1 0 1



2 1

2 s a t t

a t    (68.)

 



2 2 0 1



2 2

2 s a t t t

at     (69.)

Protože se však zrychlení v těchto rovnicích vyskytuje dvakrát, je potřeba ještě je upravit, aby bylo zrychlení přesně vyjádřeno:

0 1 2 1

1

2 2

t t t a s

  (70.)



1 0



2 2 2

2

2 2

t t t t a s



  (71.)

Počítáme s tím, že zrychlení je konstantní po celou dobu měření. Vliv odporu vzduchu je v tomto případě zanedbatelný.

Položíme-li tyto dva vzorce do rovnosti, dostaneme vzorec pro výpočet času t0:



1 0



2 2 2

2

1 0 2 1

1

2

2 t t t t

s t

t t

s



 

 (72.)

1 1 0

1 2 1

2 0 2

2 1 2

2 2

2 2 2 2

s t t s t s

t t s

t t s

t     (73.)

1 2 1

2 1 2

2 2 2

2 0 2

1 1

0 2 2

2

s t s

t t s t s

t t s

t

t     (74.)

1 2 2 1

2 2 1 1 1 2 1 2 2 0

2 2

1

s t s t

s t s t t s t t





 

 (75.)

Zrychlení a tedy můžeme spočítat:



1 2 2 1



2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1

1

2 2

s t s t

s t s t t s t t t a s





 

 (76.)

Pokud zvolíme stejné vzdálenosti mezi závorami (s₁ s₂ s), vzorec lze ještě zjednodušit:

2 1

2 1 1 2 2 2 1 2 1

2 2

t t

t t t t t

t a s





 



 (77.)

a dále

 

2 2 1 2 2 1

2

2 1

t t t t

t t a s



  (78.)

Vzorec pro výpočet tíhového zrychlení je tedy:

 

2 2 1

2 2 1 2 2 1

2

2 1

r m J

m m t t t t

t t g s



 



 

 ^(79.)

Nevýhodou tohoto způsobu je náročnost na technické vybavení. Protože je složité a nákladné sehnat tři laserové závory, můžeme použít alternativní způsob měření.

4.2.3. Druhý způsob – měření z klidového stavu

Druhá možnost měření zrychlení těžšího závaží je měření času mezi klidovým stavem soustavy závaží a dosažení určité hranice (např.: dopad závaží na zem). Čas při tomto způsobu měří člověk se stopkami. V tomto případě budeme počítat zrychlení podle vzorce:

2

2 1a t

h  (80.)

2

2 t

a h (81.)

kde h je počáteční výška závaží nad zemí a t je doba mezi klidovým stavem a dopadem závaží na podlahu. Celé měření se tak značně zjednoduší na úkor přesnosti měření času.

Protože je potřeba překonat statické tření v kladce, je potřeba použít závaží s větším rozdílem hmotností, aby čas na uvedení kladky do pohybu příliš nezkresloval výsledek.

V tomto případě tíhové zrychlení spočítáme podle vzorce:

1 2

2 2 1

2 2

m m

r m J m t g h





 



 (82.)

Obrázek 12: schéma měření z klidové polohy

4.2.4. Třetí způsob – pomocí dvou optických závor

K měření pomocí dvou optických závor jsme se uchýlili po mnoha měřeních se třemi optickými závorami „domácí“ výroby, z nichž jsme kvůli špatné funkčnosti neměli mnoho použitelných výsledků. Použili jsme proto optické závory od výrobce Vernier. Měli jsme však k dispozici pouze dvě. Bylo proto potřeba změřit výšku válečku, který jsme použili jako závaží. Při měření optickými závorami jsme potom použili čas přerušení i čas opětovného otevření optické závory. Při měření pomocí dvou optických závor je zejména třeba dbát na to, aby nebyla závora zavřena lankem.

Proto jsme měření provedli vícekrát. V případě, že bylo přerušení lankem zaznamenáno, hodnoty z tohoto měření jsme nepoužili.

Obrázek 13: Schéma měření pomocí dvou optických závor

Výpočet je v tomto případě téměř stejný jako u měření pomocí tří optických závor, místo délky prvního úseku však dosadíme výšku válečku. Výšku válečku označíme h.

1 2

1 2

2 t t

t h t

l

a 



 



 



 (83.)

kde t1 je čas, který uplynul mezi uzavřením a otevřením první optické závory, t2 je čas, který uplynul mezi uzavřením první optické závory a uzavřením druhé optické závory, l je vzdálenost mezi optickými závorami. Vzdálenost l jsme změřili metrem.

4.2.5. Čtvrtý způsob – pomocí dálkoměru

Další možností, jak stanovit velikost zrychlení této soustavy je pomocí ultrazvukového dálkoměru „Go! Motion“ od společnosti Vernier, s příslušným programem na zaznamenávání vzdáleností ve stejných časových intervalech. Zrychlení vypočteme pomocí polynomu druhého stupně z naměřených hodnot.

Čidlo polohy a pohybu „Go! Motion“ využívá ultrazvuku k měření vzdálenosti od sledovaného předmětu - vyšle ultrazvukový pulz a měří čas, než se k němu vrátí ozvěna. Z analýzy těchto ozvěn pak vypočítá vzdálenost (a případně rychlost a zrychlení) sledovaného tělesa. Čidlo je připojitelné rovnou k počítači přes USB port.

Součástí produktu je i software Logger Lite™. Pro lepší experimentální výsledky má čidlo přepínač citlivosti (pomáhá redukovat rušivé odrazy v nepříznivých

experimentálních podmínkách). Čidlo má zabudovaný teploměr, pomocí kterého automaticky provádí korekci na změnu rychlosti zvuku ve vzduchu v závislosti na teplotě. Nechtěným zahřátím čidla (například umístěním vedle větráčku notebooku) proto může dojít ke zkreslení výsledků. Rozsah měření: 15 cm až 6 m. [4]

Obrázek 14: Měřicí senzor Go! Motion [4]

Z měření jsme zjistili, že zrychlení není konstantní po celou dobu pohybu soustavy.

V první chvíli, při uvádění soustavy do pohybu, zrychlení hodně vzroste, následně klesne na ustálenou hodnotu. Po zbytek pohybu platí náš předpoklad konstantního zrychlení soustavy. Proto byla další měření nastavena tak, aby byly zaznamenávány hodnoty až v této části pohybu soustavy.

Čidlo bylo umístěno dole a zaznamenávalo polohu bližšího závaží, tj. na začátku pohybu závaží vzdalujícího se. V okamžiku, kdy se závaží minou, začne dálkoměr zaznamenávat závaží, pohybující se opačným směrem.

Pomocí programu Origin byly vytvořeny grafy závislosti polohy vzdalujícího se závaží na čase. Tyto grafy byly proloženy polynomem druhého stupně s podmínkou, že všechny koeficienty jsou kladné:

C Bx Ax

y ²   (84.)

Koeficient C odpovídá počáteční vzdálenosti, B počáteční rychlosti a A je

½ zrychlení.

4.3. Vyhodnocení chyby měření

4.3.1. Výpočet tíhového zrychlení

Při výpočtu nepřesnosti tíhového zrychlení vyjdeme ze vzorce:

1 2 2

2 1

2 2 1

r m J m

m a m

r m J

m a m

g





 





 





(86.)

potom platí

2 2 2

2 2 2

1 1 2



 



 



 







 



 



 



 







 











 



 







 











 



 







 



 



 



 







  J

J r g

r m g

m m g

m a g

a

g g     

 (87.)

Vzhledem ke konstantnímu poloměru kladky r budeme počítat ₂ r

J jako jeden člen, u kterého bude již daná nepřesnost.

2

2 2

2

2 2 2

1 1 2























 























 





 











 

 







 











 

 







 



 



 



 







 

r J

r J m g

m m g

m a g

a

g g    

 (88.)

1 2 2

2 1

r m J m

m m a

g





 



 (89.)

2

1 2 2

2 2

1

2



 



  

 

 



r m J m

r m J m a

g (90.)

 

₂

1 2 2

1 2

2

2



 



  







 



r m J m

r m J m a

g (91.)

2

1 2 2

2 1

2 



 



  

 







 







r m J m

m a m

r J

g (92.)

4.3.2. První způsob – pomocí tří optických závor

Při měření tíhového zrychlení pomocí tří nezávislých laserových závor bude nepřesnost měření ovlivňovat hned několik faktorů. Je to relativní nepřesnost měření vzdáleností závor, relativní nepřesnost měření času a nepřesnost měření hmotností závaží dělená rozdílem těchto hmotností. Jisté je, že nepřesnost způsobená měřením vzdálenosti optických závor bude klesat s jejich rostoucí vzdáleností. Bude proto důležité umístit optické závory tak daleko od sebe, jak nám to laboratorní podmínky dovolí. Kvůli malé výšce stojanu jsme upevňovali závory přibližně třicet centimetrů od sebe. Hlavním problémem je, že při malém rozdílu hmotností závaží je sice pohyb soustavy výrazně pomalejší, což minimalizuje relativní nepřesnost měření času, ale nepřesnost měření hmotnosti závaží je příliš velká v porovnání s rozdílem hmotností závaží.

Nepřesnost měření spočítáme ze vzorce:

2

2 2 2

1 1 2















 







 















 







 



 



 



 







  t

t t a

t s a

s

a a   

 (93.)

 

2 1

1 2

2 2 1 2 2 1

2 1

1 1 2 2

t t

t s t

t t t t

t t a s







 

  (94.)

 

2 2 1 2 2 1

2

2 1

t t t t

t t s a



 



 (95.)



 







 



 



 



3 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1

2 1

1

2 1

2 t tt t t tt t

t s t

t

a (96.)



 







 



 

 



3 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2

1 2

2

1 2 2

t t t t t t t t

t s t

t

a (97.)

4.3.3. Druhý způsob – měření z klidového stavu

Budeme-li měřit tíhové zrychlení druhým uvedeným způsobem, bude nepřesnost způsobená relativně dlouhou reakční dobou příliš velká. Chyby měření bohužel nebude možno úplně eliminovat, ale můžeme se pokusit optimalizovat hmotnosti závaží a jejich rozdíly tak, aby byla chyba způsobená lidským faktorem co nejmenší. Budeme vycházet