Bör r ä k n e u n d e r v i s n i D g e n metodiskt likriktas?
A v f. s e m i n a r i e r e k t o r C a r l G u s t a f H e l l s t e n
V i d undervisningen o m m u l t i p l i k a t i o n och d e l b e r ä k n i n g a n v ä n d s i v å r a skolor olika metoder och b e t e c k n i n g s s ä t t . I ett av denna tidnings januarinummer har ö v e r l ä r a r e Mellquist f ä s t u p p m ä r k s a m h e t p å a t t detta ibland, exempelvis v i d byte av skola, k a n v å l l a barnen s v å r i g h e t e r .
Mer ä n en har nog o c k s å gjort sej f r å - gan o m det inte borde u t f ä r d a s s ä r s k i l d a b e s t ä m m e l s e r o m a t t d i t h ö r a n d e exempel skulle behandlas p å samma s ä t t i alla sko- lor. I f r å g a o m vanliga sorter och m å t t - storheter ä r det j u k l a r t a t t endast de i p r a k t i s k a livet p å b j u d n a ska t i l l å t a s . N ä r det ska a v g ö r a s hur olika r ä k n e s ä t t ska b ä s t tecknas, ä r emellertid l ä g e t ett an- nat. Detta s a m m a n h ö r n ä m l i g e n i n t i m t med valet av undervisningsmetod.
Under 1880-talet a n v ä n d e m a n ä n n u i v å r a folkskolors r ä k n e u n d e r v i s n i n g r ä t t mycket latinsk terminologi. O m 1 bulle kostade 18 ö r e , sades priset p å 12 bullar vara "18 ö r e multiplicerat med 12", och detta tecknades "18 ö r e X 12". O m priset p å 20 1 potatis var. 3 k r 60 ö r e , sades p r i - set p å 1 liter v a r a "360 ö r e dividerat med 20". H u v u d v i k t lades merendels v i d a t t barnen vann s ä k e r h e t i u t f ö r a n d e t av de olika r ä k n e o p e r a t i o n e r n a , s. k. mekanisk r ä k n i n g . N å g r a , s t ö r r e fordringar s t ä l l d e s inte p å a t t 'barnen skulle f ö r s t å sej p å a t t lösa sakliga r ä k n e e x e m p e l . A t t ge f ö r t r o - genhet h ä r m e d ö v e r l ä m n a d e s å t h ö g r e skolor eller* p r a k t i s k a livet efter slutad s k o l g å n g .
Intresserade l ä r a r e s ö k t e emellertid f å t i l l s t å n d en mera l ä t t f a t t l i g och prak- t i s k t v ä r d e f u l l undervisning. Genom den p å 1890-talet a l l m ä n t a n v ä n d a l ä r o b o k e n för folkskolor av Larsson och L u n d a h l banades s å n y v ä g för behandling av mul- tiplikationsexemplen och samma meto- diska o m l ä g g n i n g m ö t e r i den d å f ö r lä- roverken utarbetade l ä r o b o k e n av A . Berg. M a n ville ha mera svensk termino- logi. I s t ä l l e t f ö r " m u l t i p l i c e r a t med"
skulle barnen f å s ä j a " g å n g e r " och givet- vis borde d å o c k s å faktorernas ordning omkastas. M a n s ä j e r j u inte a t t K a r l gick t i l l skolan " g å n g e r 12", u t a n "12 g å n g e r " . I f ö r u t n ä m n d a exempel o m bullarna skulle a l l t s å teckningen v a r a 12 X 18 ö r e ,
och denna skulle l ä s a s "12 gånger 18 öre".
D ä r m e d gavs å t multiplikationsteckning- en en mera n a t u r l i g och l ä t t f a t t l i g f o r m . Det ä r d ä r f ö r g l ä d j a n d e o m denna, s å s o m i n ä m n d a a r t i k e l p å p e k a s , b l i v i t den inom v å r a folkskolor numera a l l m ä n t b r u k l i g a . Det k a n d å antas a t t m a n o c k s å i den f o r t s a t t a r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n l å t e r g å n g -
ertalet k o m m a först, s å a t t man exempel- vis l å t e r cirkelns omkrets tecknas 3 i /7
X diametern och v i d r ä n t e b e r ä k n i n g a r s ä t t e r kapitalet sist i teckningen och inte som man f ö r r gjorde, d å m a n arbetade efter den gamla formeln,
100
F ö r d e l a r n a med det n y a t e c k n i n g s s ä t t e t för m u l t i p l i k a t i o n e r ä r uppenbara. Det oak- t a t m å s t e man inför f r å g a n o m detta b ö r f a s t s t ä l l a s som det i v å r a skolor enda t i l l - iarna s t ä l l a sej minst sagt tveksam. Den gamla metoden ä r givetvis fortfarande m a t e m a t i s k t sett r i k t i g och a n v ä n d b a r . Skulle ett s å d a n t dekret u t f ä r d a s , skulle man j u o c k s å p å visst s ä t t g ö r a sej skyldig t i l l samma f e l som den i f ö r e n ä m n d a ar- t i k e l n p å t a l a d e l ä r a r e n gjorde, d å han u n d e r k ä n d e en pojkes r ä k n e p r o v , d ä r f ö r a t t denne hade tecknat sina m u l t i p l i k a - tionsuppgifter med g å n g e r t a l e t sist. Det k a n o c k s å f ö r t j ä n a u p p m ä r k s a m m a s a t t man i Norge och D a n m a r k ä n n u har k v a r det gamla t é e k n i n g s s ä t t e t . D ä r skrivs exempelvis a t t 12 ä p p l e n efter ett pris av 18 ö r e per styck kostar "18 ö r e X 12", a t t "sirkellinjen — diametern X 3 i/?"
och a t t "3 % a f 250 k r = 2,50 k r X 3".
F ö r oss som i Sverige v a n t oss v i d den n y a metoden ter sej detta som b a k v ä n t och onaturligt, men h ä r b ö r d å i h å g k o m - mas a t t det för b e r ö r d a o m l ä g g n i n g v a r i t l y c k l i g t a t t den k u n n a t g e n o m f ö r a s u t a n hinder av n å g o n ukas, som f a s t l å s t e un-
dervisningen v i d det f ö r r mest b r u k l i g a s k r i v s ä t t e t .
I f r å g a om divisionsräkningen visar un- dervisningen i metodiskt h ä n s e e n d e nume- r a s t ö r r e olikheter ä n förr. P å 1880-talet a n v ä n d e s s å gott som ö v e r a l l t den gamla k ä n d a divisionsmetoden, enligt v i l k e n alla d i t h ö r a n d e exempel tecknades p å u n g e f ä r samma s ä t t . Gällde uppgiften a t t b e s t ä m - ma h u r m å n g a 12-öres bullar m a n f å r för
240 ö r e , var teckningen 240 ö r e : 12 öre, och denna l ä s t e s "240 ö r e dividerat med 12 ö r e " . Skulle man b e r ä k n a priset p å 1 l i t e r potatis, d å 20 liter kostade 360 öre, blev teckningen 360 ö r e : 20, och h ä r läs- tes "360 ö r e dividerat med 20". I det sista exemplet i n n e b ä r " a t t dividera" n å g o t helt annat ä n i det f ö r r a , men detta var i regel n å g o t för barnen o k ä n t . F ö l j d e n blev stor v i l l r å d i g h e t , s å f o r t det blev f r å g a om sakliga divisionsexempel. D å barnen, ofta rent gissningsvis, b e s t ä m t sej f ö r r ä k n e - s ä t t e t division, undvek de g ä r n a a t t blotta oklarheten i s i t t t ä n k a n d e genom a t t inte s ä t t a u t n å g r a sorter alls. Det opedago- giska i s å d a n l ä r o m e t o d har alltmer upp- m ä r k s a m m a t s . E n l i g t n ä m n d a artikel l ä g g s undervisningen numera av flertalet l ä r a r e p å annat s ä t t , s å a t t barnen görs v ä l f ö r t r o g n a med v a d som ä r u t m ä r k a n - de f ö r v a r och en av de b å d a divisions- arterna.
A l l m ä n t har man d å funnit l ä m p l i g t att för innehållsberäkning (innehållsdivision) b i b e h å l l a det gamla divisionstecknet.
Teckningen f ö r n ä m n d a exempel o m bul- l a r n a b l i r som f ö r u t 240 ö r e : 12 ö r e , och denna l ä s e s "240 ö r e innehåller 12 öre".
Divisionstecknet h l i r d å för barnen ett slags " i n n e h å l l s t e c k e n " . F ö r a t t k l a r l ä g g a delberäkning (delningsdivision) har man s ö k t sej f r a m p å olika v ä g a r . Det b ö r j u h ä r helst v a r a ett s å d a n t t e c k n i n g s s ä t t a t t det f ö r e b y g g e r f ö r v ä x l i n g med inne- h å l l s b e r ä k n i n g . P å sina h å l l har m a n tagit s. k . divisionsstreck t i l l h j ä l p . I det n ä m n - da exemplet o m potatispriset skulle teck- ningen d å b l i Öre . V i d l ä s n i n g e n av
20
denna har man mestadels ersatt "dividera med 20" med s å d a n a u t t r y c k som: "dela med 20", "dela i 20 l i k a delar" och "20- delen, av".
N ä r man g å r a t t b e s t ä m m a ett för del- b e r ä k n i n g e n l ä m p l i g t u t t r y c k s s ä t t , gäller det a t t f i n n a ett k o r t och dock sakligt k o r r e k t u t t r y c k . L y c k l i g t ä r o m detta då o c k s å passar bra ihop med vad barnen f å r bekantskap med u t a n f ö r skolan, exem- pelvis i hemmet, i sina lekar och v i d olika i n k ö p i a f f ä r e r n a . Delning ä r j u något som inte b a r a f ö r e k o m m e r inom matema- tiken. Det m ö t e r s t ä n d i g t i dagliga livets g ö r o m å l . F ö r h å l l a n d e n a d ä r har o c k s å en underbar f ö r m å g a a t t s t ä l l a skolans räk- nemetoder i skarp belysning och a t t mar- kera vad som ä r n a t u r l i g t och praktiskt enkelt. H u r s ä j e r m a n d å d ä r ? Ä r det en k a k a som ska delas mellan 4 pojkar, och m a n v i l l veta v a d v a r och en av dem ska ha, svarar m a n inte " k a k a n dividerat med 4" eller " k a k a n delat med 4". I n t e heller s ä j e r m a n " k a k a n delad i 4 delar". Varje pojke ska j u inte ha en s å delad kaka, u t a n bara en av bitarna. D ä r b l i r det rik- t i g a svaret: V a r j e pojke ska ha "en fjär-
dedel av kakan". Ä r det i s t ä l l e t 28 ö r e som ska delas m e l l a n dem, b l i r u t t r y c k e t enligt denna p r a k t i s k a livets fingervis- n i n g a t t varje pojke b ö r ha "en fjärdedel av 28 ö r e " , s å e r h å l l s g o t t b e l ä g g för a t t m a n i exemplet om potatisen helst b ö r s ä - j a a t t varje l i t e r bör kosta "en tjugondel av 360 öre".
D e t t a u t t r y c k s s ä t t f ö r d e l b e r ä k n i n g a r leder emellertid o s ö k t t i l l ett annat s k r i v - s ä t t f ö r denna ä n den f ö r u t n ä m n d a an- ordningen med "divisionsstreck". I ä l d r e tiders r ä k n e u n d e r v i s n i n g f i c k barnen v i d b r å k r ä k n i n g e n visserligen l ä r a sej a t t p r i - set p å % k g s m ö r ä 4,20 k r e r h å l l s ge- nom " m u l t i p l i k a t i o n med b r å k " och a t t teckningen skulle v a r a " % gånger 4,20
k r " . I p r a k t i s k a livets r ä k n a n d e har m a n emellertid a l l t j ä m t h a f t k l a r k ä n n i n g av a t t det h ä r ä r f r å g a o m ett slags delbe- r ä k n i n g . D ä r s ä j e r m a n a t t priset ska vara % av 4,20 k r . T i l l s l u t h a r m a n ock- s å i v å r a realskolor funnit sej b ö r a i en- lighet h ä r m e d ä n d r a det gamla r ä k n e - systemets f ö r barnen vidunderliga t e r m i - nologi. E n l i g t B e r g — H a g s t r ö m s r ä k n e l ä r a i n l ä r s n u d ä r a t t teckningen ^4 • 4,20 k r b ö r l ä s a s % aro 4,20 k r . I s ä r s k i l d regel i n s k ä r p s a t t i teckningar som anger b r å k - delar av ett t a l b ö r 'punkttecknet l ä s a s
"av". H ä r m e d har o c k s å e r h å l l i t s e t t ut- m ä r k t s k r i v s ä t t f ö r a l l t v a d d e l b e r ä k n i n g heter. L i k s o m "en fjärdedel av 1 k g "
s k r i v s % k g , blir teckningen f ö r "en fjär- dedel av 28 ö r e " d å % . 28 ö r e . " E n t j u - gondel av ett t j o g " skrivs 1/2o tjog, och i ö v e r e n s s t ä m m e l s e h ä r m e d b l i r teckningen för "en tjugondel av 360 ö r e " d å 1/20 . 360 öre. Med detta s k r i v s ä t t vinns b å d e i y t t r e f o r m , i l ä s n i n g och i i n n e b ö r d f u l ! motsyarighet t i l l vardagslivets a n v ä n d - n i n g av v å r a v a n l i g a b r å k , d å v i exempel- vis s k r i v e r % m , V3 1, i / i o k g . Det b l i r d ä r f ö r enkelt och l ä t t f a t t l i g t och ger å t r ä k n e a r b e t e t en n a t u r l i g a r e p r ä g e l ä n den r ä t t s å konstlade anordningen med d i v i - sionsstreck.
I folkskolorna har m a n h i t t i l l s vanligen a n v ä n t o l i k a t e c k n i n g s s ä t t f ö r d e l b e r ä k - ningen, e t t p å l å g s t a d i e t (divisionsteck- net) och ett annat p å h ö g s t a d i e t ( " d i v i - sionsstreck"). E n l i g t m å n g a å r s erfaren- heter v i d F a l u folkskolseminarium och i å t s k i l l i g a folkskolor k a n det s i s t n ä m n d a s k r i v s ä t t e t med "av"-tecken l ä m p l i g t i n - l ä r a s redan under tredje skolåret. Givet- vis g å r m a n d å i n t e igenom n å g o n s ä r - s k i l d k u r s i a l l m ä n n a b r å k , u t a n m a n be- h ö v e r bara l ä r a barnen h u r de enkla b r å - ken skrivs. D e t ä r f ö r dem i n t e alls s v å - r a r e a t t l ä r a sej a t t s k r i v a % ä n a t t s k r i - v a 14, och i n t e ä r det f ö r dem n å g o n konst a t t i s t ä l l e t f ö r "av" s ä t t a en punkt.
A t t "en fjärdedel av 28 ö r e " s k r i v s Ii • 28 ö r e b l i r s å f ö r dem en m y c k e t enkel och n a t u r l i g sak. A t t f å svaret p å en s å d a n uppgift v å l l a r dem i n t e heller s ä r s k i l d a s v å r i g h e t e r . Det g å r f ö r dem l i k a l ä t t som att b e s t ä m m a vad "28 delat i 4 delar", ger i varje del. I b å d a fallen i n n e b ä r j u upp- giften a t t finna det t a l som taget 4 ggr b l i r 28, och i b ä g g e fallen ä r det a l l t s å multiplikationstabellerna det hela h ä n g e r p å . P å motsvarande s ä t t blir l ä g e t för l ö s n i n g av andra s å d a n a uppgifter och i fjärde klassen v i d b e r ä k n i n g av mindre delar av o l i k a storheter.
D å barnen p å detta s ä t t l ä r t sej a t t be- handla o l i k a d e l b e r ä k n i n g s u p p g i f t e r , har hos dem lagts en god grund för b r å k r ä k - ningen i de följande klasserna. D ä r m e d g ö r s o c k s å en stor vinst, i det a t t ung- domen d å inte l ä n g r e ska b e h ö v a k ä n n a den o s ä k e r h e t och tvekan som f ö r r ofta i n s t ä l l d e sej n ä r det g ä l l d e a t t b e r ä k n a b r å k d e l e n av n å g o t och som s j ä l v f a l l e t s a m m a n h ö r d e med a t t man i den gamla quattor-species-metoden f ö r s å d a n a upp- gifter h ä n v i s a d e t i l l m u l t i p l i k a t i o n ( m å n g - dubbling) och u t t r y c k e t " g å n g e r " . Med o v a n n ä m n d a sakenliga u t t r y c k s ä t t skapas
hos barnen n u i s t ä l l e t god förståelse för begreppet "av" och f ö r det n a t u r l i g a lös- n i n g s s ä t t som h ö r hemma i p r a k t i s k a l i - vets å s k å d l i g t k l a r a r ä k n a n d e . D å de vant sej v i d a t t h ä r l å t a en punkt (".") vara tecken för "av", finner de det v a r a s å g o t t som s j ä l v k l a r t att, om priset p å 1 k g ost ä r 4,20, ska % k g kosta % . 4,20 k r och a t t exempelvis 3 % av 850 k r ska
3
tecknas . 850 k r och l i k a s å h u r s å d a n a 100
exempel ska lösas.
Procent- och r ä n t e r ä k n i n g a r blir inte l ä n g r e e t t s v å r b e g r i p l i g t kapitel.
I norska och danska skolor ä r m a n nu- mera o c k s å m y c k e t a n g e l ä g e n o m att g ö r a barnen v ä l f ö r t r o g n a med "av"-be- greppet, s å d a n t det s t ä n d i g t m ö t e r i dag- l i g a livets b e r ä k n i n g a r . Redan under tred- j e s k o l å r e t finner barnen d ä r i sin lärobok m å n g a s å d a n a exempel som "14 a f 156 m, 1/7 a f 518 k r , % a f 612 h l " , och i de föl- jande klasserna f å r de a l l t fler r ä k n e - exempel, som s å tecknats med "af". Ännu har m a n dock i n t e d ä r ö v e r g å t t t i l l ovan- n ä m n d a f ö r e n k l a d e s k r i v s ä t t med en p u n k t som tecken för "av", och f ö r lös- ningen av i f r å g a v a r a n d e exempel hänvi- sar m a n barnen d ä r fortfarande t i l l om- s k r i v n i n g med det gamla divisionstecknet som v ä g v i s a r e för u t r ä k n i n g e n .
A v det sagda torde f r a m g å a t t de ut- t r y c k och s k r i v s ä t t som av ö v e r l ä r a r e Mellquist f ö r o r d a t s f ö r divisionsräkningen tvivelsutan m a r k e r a r ett v ä r d e f u l l t r ä k - nemetodiskt framsteg. Å t s k i l l i g t ger dock v i d handen a t t de i n t e i a l l a avseenden ä r de obestritt och a v g j o r t b ä s t a . De olika metodiska anordningar som ovan relate- rats å t e r f i n n s alla i l ä r o b ö c k e r , som bli- v i t av statens l ä r o b o k s n ä m n d g o d k ä n d a . I f ö r s ö k e n a t t f å folkskolans r ä k n e u n d e r - v i s n i n g s å f ö r e n k l a d a t t den b l i r barnsligt enkel, å s k å d l i g t k l a r och p r a k t i s k t lagd å t e r s t å r ä n n u m y c k e t a t t g ö r a . D ä r mö- t e r flera framkomliga, v ä g a r . H e l t s ä k e r t vore det d ä r f ö r i n t e t i l l gagn för vår r ä k n e u n d e r v i s n i n g , om den i dess nuva- rande utvecklingsskede genom terminolo- giska b e s t ä m m e l s e r skulle klavbindas vid ett enda t e c k n i n g s s ä t t i ovan b e r ö r d a av-
m
seenden. Det ä r dock en god sak a t t lä- rarna i v å r a skolor har frihet och möjlig- het att p r ö v a olika metoder och a t t de inte av d e t a l j f ö r e s k r i f t e r hindras i intres- serat arbete för s å d a n o m l ä g g n i n g av r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n a t t den b l i r mera barnpsykologiskt och p r a k t i s k t t i l l r ä t t a - lagd. Det ä r v i k t i g t a t t s å d a n a s t r ä v a n - den p å allt s ä t t s t ö d s och f r ä m j a s , s å a t t många nyskapande insatser b l i r gjorda.
De kan u t å t synas s m å och betydelselösa, men de ä r dock n ö d v ä n d i g a betingelser för god utveckling.
Det ä r j u a t t v ä n t a a t t v å r a skolor i den blivande enhetsskolan f å r b e h å l l a barnen så länge a t t deras u t b i l d n i n g i a r i t m e t i k blir d ä r i s t o r t sett s l u t f ö r d . D å torde i n - te heller h ä n s y n t i l l eventuellt i andra skolor omhuldade metoder k o m m a a t t an- nat ä n i undantagsfall p å k a l l a s t ö r r e l i k - formighet i r ä k n i n g ä n vad som ä r fallet i andra ä m n e n .
