SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Operatorer och observabler
En operator är en funktion som avbildar funtioner på nya. T.ex. en derivering Föreläsning 7:
x dxd sin x cos
differentialoperator
En operator är Hermitesk om för alla ψAˆ ψ1Aˆψ2dx Aˆψ1ψ2dx 1, ψ2 Här opererar på ψAˆ 2 och här på ψ1
Postulat
Varje mätbar kvantitet (=observabel) motsvaras i kvantmekaniken av en Hermitesk operator:
) 2 (
Hˆ energi
Total
pˆ gd
Rörelsemän
xˆ Position
2 2
2 dxd U x
m dxd i
x
(Hamiltons operator) osv
pˆ rˆ Lˆ
) 2 (
Hˆ pˆ rˆ
2 2
r m U
i 3-dim: r
rörelsemängdsmoment
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Tidsoberoende S.E. Kan skrivas som egenvärdesproblemet ψ
ψ Hˆ E
egenvärde egenfunktion
Satsom egenvärdesproblemet för Hermiteska operatorer 1. Egenvärdena är reella
2. Egenfunktioner till olika egenvärden är ortogonala:
3. Egenfunktionerna utgör en fullständig bas, så att varje funktion kan skrivas som en superposition
0 ψ ψ ψ ψ Hˆ
ψ ψ Hˆ
2 1 2 1
2 2 2
1 1 1
dx E
E E E
i ci i x x) ψ( ) (
ψ
expansionskoefficient
(“koordinat”) Egenfunktioner till en Hermitesk operator (“basvektor”)
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Bevis
dx E dx dx
dx E
E E
ψ ψ ψ
Hˆ ψ ψ
ψ Hˆ ψ
ψ
ψ ψ Hˆ ψ
ψ 1. Hˆ
=1 (normering) =E ψ =1
Hermitesk, kan flyttas
E E
VSV
ψ ψ 0
ψ ψ ψ
Hˆ ψ ψ
ψ Hˆ ψ
ψ ψ
ψ ψ ψ Hˆ
ψ ψ Hˆ
ψ ψ Hˆ ψ
ψ Hˆ
2 1 2 1
2 1 2 2 1 2
1 2
1 1 2 1 1 2 1
2 2 2
1 1 1 1
1 1
dx E
E
dx E
dx dx
dx E
E E
E E
2.
0
0
VSV
3. Visas i mattekurser. Antas här utan bevis.
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Postulat: En mätning av en observabel som representeras av en Hermitesk operator ger något av egenvärdena till som resultat.
ΔA2 Aˆ2 Aˆ2 Aˆ
Aˆ
i i
i a ψ
ψ Aˆ
Sannolikheten att vid mätning få värdet aiär |ci|2 där ci är expansionskoefficienten till vågfunktionen i egenfunktionsbasen ψi :
i ci i x x) ψ( ) (
ψ
cikan bestämmas genom: j i j
i i
j c c
ψ ψ ψ ψ
δji
sannolikheten är cj2 ψjψ2
Om mätningarna ger resultatet aiså övergår systemet från ψ till ψi(kollapsar).
Osäkerheten i mätningen är ΔA där Aˆ ψAˆψdx , Aˆ2 ψAˆ2ψdx
Om systemets vågfunktion redan är en egenfunktion till operatorn som mäts, dvs ψ=ψi , och där så fås resultatet aimed sannolikheten och i så fall är osäkerheten ΔA=0 .
i i
i a ψ
ψ Aˆ 1
ψ
ψ 2
2 i i ci
Om ΔA > 0 så kallas A osäker och då är vågfunktionen inte en egenfunktion till med egenvärde A Om ΔA = 0 så kallas A bestämd och då är vågfunktionen en egenfunktion till med egenvärde A
Aˆ Aˆ
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Definition: Kommutatorn av två operatorer definieras som Aˆ, Bˆ [Aˆ,Bˆ]AˆBˆ-BˆAˆ
Bestäm
ψ ψ ψ
) ψ ( pˆ - ψ pˆ ψ xˆ pˆ - ψ pˆ xˆ ψ ] pˆ , xˆ [ : ] pˆ , xˆ [
x i x x i
i x
x x
Med hjälp av detta kan man visa Heisenbergs osäkerhetsprincip:
i ] pˆ , xˆ [
Δ 2 Δx p
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Exempel
Rörelsemängdsegenfunktionerna:
bra lika går ψ
) normerad ej
( ψ
-i x pˆ , ψ ψ pˆ
/
ipx ikx
e k
p e
p
Dessa egenfunktioner utgör en komplett bas en godtycklig vågfunktion kan skrivas:
dp e p c x ipx
)
( ) ( ψ
vilket är Fourierserieutvecklingen av ψ
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Exempel: Partikel i oändlig potentiallåda med bredd L
2 2 n
π 2
...
3 , 2 ,1 π ,
2sin ψ
ψ ψ Hˆ
nL E m
Lx n L n
E
n n
n n
Antag att systemets vågfunktion vid t =0 är 1 ψ2
5 ψ 2 5 ψ 1
Då är de två möjliga resultaten av en mätning av energin E1och E2 . Sannolikheten att få dessa är:
5 P 4
5 ,
P1 c121 2c22 (Normering: P1+ P2=1 OK!)
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 1
1 2
π 5 17 5 2 4 5 1 1 2 P π
P E mL mL
E
E
2 2 2 4 2
4 2 2 2 2 22 2 21 2 1
2 13 π 5 2 4 5 1 1 2
P π
P
E E mL mL
E
Väntevärden:
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Osäkerhet: 2 2 22 2 22 2 22
2 π 5 6 2
π 5 17 5 Δ 65
mL E mL
E
E
Systemets vågfunktion vid en senare tidpunkt tges av:
/
/ 2
1 1 ψ ( )e 2
5 e 2
) ( 5ψ ) 1 , (
Ψxt x iEt x iEt
/ 2 / 2
1
2 1 ψ ( )e 2
5 e 2
) ( 5ψ ) 1 , (
Ψxt x iEt x iEt
Sannolikhetstätheten beror av tiden.
Tillståndet är inte stationärt T.ex. för x = L/4 fås
L LL
L L
LL L
2 4 / π sin2 ψ 2
1 , 4 / sinπ
ψ1 2 2
/ 2 2
1
e 2
2 2 5 1 ) 1 4, (
Ψ iE E t
t L
L
vilket beror av t (se exempel på räkneövning)
