Dagens diskussion
Räkneundervisningen
Är enhetlighet i matematikundervisningen nödvändig?
Enligt Elof Å h l i n s a r t i k e l i n r 5 av F o l k s k o l l ä r a r n a s t i d n i n g skulle f ö r u t s ä t t - ningarna för en enhetlighet i m a t e m a t i k - undervisningen vara s t ö r r e nu ä n tidiga- re. E n l i g t m i n mening ä r det snarare t v ä r t o m . Om alla l ä r a r e undervisade p å samma s ä t t och hade samma terminolo- gi, osv., skulle j u m a t e m a t i k e n b l i en utanläxa. Men barnen ska l ä r a sej t ä n k a och t ä n k a p å olika s ä t t .
A t t l ä r o b o k e n skulle p å n å g o t s ä t t bin- da l ä r a r e n , kan j a g inte f ö r s t å . S j ä l v har jag a n v ä n t en r ä k n e b o k i m å n g a å r och har f ö r s t nu, efter a t t ha l ä s t Ahlins ar- tikel, k o m m i t underfund med a t t j a g i n - te a n v ä n t samma princip som l ä r o b o k s - f ö r f a t t a r e n .
A n g å e n d e u p p s t ä l l n i n g e n v i d divisions- r ä k n i n g kommer det v ä l an p å l ä r a r e n , vilken metod han v i l l a n v ä n d a . Den s. k . falumetoden, t r o r j a g ä r mindre lämplig.
S ä t t e t för resonemanget har enligt m i n uppfattning ingen betydelse. Ena g å n g e n kan man v ä l g å f r å n " v ä n s t e r t i l l h ö g e r " , andra g å n g e n t v ä r t o m .
B e t r ä f f a n d e terminologin i de olika r ä k n e s ä t t e n , s å k a n j a g inte finna a t t den har n å g o n betydelse. Det ä r l i k g i l t i g t
om man s ä j e r addera, ö k a , ta. bort, m i n - ska, plus och minus. De t v å sista u t t r y c - ken ä r v ä l a t t f ö r e d r a i folkskolan, eme- dan de ä r n ö d v ä n d i g a n ä r barnen eventu- ellt kommer t i l l h ö g r e r ä k n i n g .
Beteckningen " g å n g r a r " har j a g aldrig
sett, och skulle den finnas, s å t r o r j a g i n - te a t t n å g o n skulle falla för frestelsen a t t a n v ä n d a den.
S ä t t e t a t t lösa uppgiften med m j ö l k e n i Ahlins exempel v e r k a r v ä l v i d l y f t i g t . Jag undrar om inte barnens u p p f a t t n i n g av problemet efter ett s å d a n t l å n g r a n d i g t resonemang ä r l i k a med plus minus noll.
Ä r det s å stor skillnad p å exemplen 2 5 X - - o c h £ . 2 5 ? Tecknet X a n v ä n d s s ä l -
5 5
lan nu, emedan det inte passar i ekva- t i o n s r ä k n i n g . H u r u v i d a det ska vara L .
g å n g e r en sak eller 2. av en sak, f r a m - g å r väl i regel av texten i problemet.
A t t a n v ä n d a o l i k a tecken för i n n e h å l l s - division och delningsdivision t y c k e r j a g verkar barockt. S å l å n g t j a g k a n f ö r s t å , ä r saken k l a r a n g å e n d e innehållsdivision, d å v i har samma sort i b å d e divisor och dividend.
Jag undrar om det inte numera ä r en tendens a t t k r å n g l a t i l l undervisningen bara för a t t komma med n å g o t n y t t . I en facktidning var för n å g o n t i d sedan i n - förd en a r t i k e l , d ä r f ö r f a t t a r e n föreslog en subtraktionsmetod som gick u t p å n å - got slags punktsystem. S j ä l v har j a g i n - te satt mej i n i systemet och k o m m e r i n - te heller a t t g ö r a det.
E l i g t m i n mening har terminologin, s ä t - tet a t t f ö r k l a r a osv. ingen betydelse. H u - vudsaken ä r a t t barnen l ä r sej r ä k n a .
Sigfrid Andersson
Fem enkla räknesätt som matematikens grundpelare
"Det b ö r j a r ljusna". Så k ä n n e r s ä k e r t var och en som följt r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n i v å r a folkskolor under de sista femtio å r e n och nu t a r del av E l o f Ahlins a r t i k e l i nr 5 av denna t i d n i n g om Enhetlighet i ma- tematikundervisningen.
P å 1890-talet gick den f r a m s t å e n d e r ä k n e m e t o d i k e r n K . P. Nordlund t i l l storms m o t de traditionella r ä k n e m e t o - derna, men utan mera m ä r k b a r a resultat.
A l l t forsatte i de gamla h j u l s p å r e n . M a n hade sina fyra räknesätt. Huvudintresset inriktades p å a t t s ä k e r t i n l ä r a de meka- niska handgrepp som k a r a k t ä r i s e r a d e därtill h ö r a n d e r ä k n e o p e r a t i o n e r . H u r man med h j ä l p av dessa skulle k u n n a be-
m ä s t r a olika sakliga r ä k n e u p p g i f t e r för- blev a l l t j ä m t ett i m å n g a f a l l s v å r b e m ä s t - r a t konststycke, s ä r s k i l t i f r å g a o m de s. k . divisionsexemplen. F ö r m å n g a av de barn som f r å n folkskolan g i c k u t t i l l o l i - k a arbetsplatser k o m s å m a t e m a t i k a t t f r a m s t å som en n ö d v ä n d i g , men i mycket obegriplig mekanism.
I b ö r j a n av detta sekel ( å r 1906) f r a m - las ett f ö r s l a g t i l l o m l ä g g n i n g av den g r u n d l ä g g a n d e r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n , s. k.
n y e l e m e n t ä r r ä k n e m e t o d i k3. Det inne-
* Se tidskriften Manhem 1906: " E t t bidrag t i l l metodiken för r ä k n e u n d e r v i s - ningen i folkskolan".
bar a t t enligt K . P. Nordlunds anvisning i n f ö r a i s t ä l l e t för de l a t i n s k a o f ö r s t å d d a termerna s a k l i g t v ä g l e d a n d e svenska ut- t r y c k samt a t t i s t ä l l e t f ö r det tvetydiga r ä k n e s ä t t e t division h ä n v i s a t i l l s ä r s k i l d a i ö s n i n g s s ä t t för dess olikartade exempel.
E n l i g t detta f ö r s l a g skulle s å l u n d a inom a r i t m e t i k e n a n v ä n d a s "fem enkla räkne- sätt": 1) S a m m a n l ä g g n i n g , 2) f r å n d r a g - ning, 3) m u l t i p l i k a t i o n , 4) i n n e h å l l s b e - r ä k n i n g och 5) d e l b e r ä k n i n g .
D e t t a r e f o r m f ö r s l a g m ö t t e inte n ä m n - v ä r d u p p m ä r k s a m h e t . F ö r k l a r i n g e n h ä r - t i l l ä r l ä t t a t t finna. Som i Ahlins a r t i k e l f r a m h å l l s , var undervisningen d å helt f a s t l å s t v i d de g a m l a f ö r e s t ä l l n i n g a r n a o m de fyra r ä k n e s ä t t e n . M a n ,hade s å v ä x t samman med de vedertagna r ä k n e - metoderna a t t andra r ä k n e v ä g a r var s å g o t t som o t ä n k b a r a . I l ä r o v e r k e n höll man j u o c k s å s t y v t p å a t t det borde an- v ä n d a s samma r ä k n e s y s t e m och termer som i n o m vetenskaplig m a t e m a t i k , och inom de g ä l l a n d e undervisningsplanerna var det a l d r i g t a l om annat ä n de f y r a
r ä k n e s ä t t e n . , Sedan 1919 å r s undervisningsplan u t -
f ä r d a t s , k o m emellertid den r å d a n d e en- hetligheten i l ä r o m e t o d e r n a a t t brytas.
De nya l ä r o b ö c k e r n a anvisade olika r ä k - n e v ä g a r t i l l p r ö v n i n g . Som i Ahlins a r t i - kel n ä r m a r e belyses, har m a n s å l u n d a enligt o v a n n ä m n d a f ö r s l a g a l l t m e r ö v e r - g å t t t i l l svenska beteckningar och u t - t r y c k s s ä t t och i flertalet modernt omar- betade l ä r o b ö c k e r har man inom heltals- räkningen uppdelat d i v i s i o n s r ä k n i n g e n p å
t v å skilda r ä k n e s ä t t . I det 1925 u t g i v n a arbetet: Den g r u n d l ä g g a n d e m a t e m a t i k - undervisningen av n u framlidne l e k t o r F r i t z W i g f o r s f r a m h å l l s o c k s å a t t dessa anger " t v å v ä s e n t l i g t s k i l d a t a n k e g å n g - ar" och a t t det d ä r f ö r b ö r f ö r dem a n v ä n - das o l i k a namn och beteckning. V a d s å har t i l l k o m m i t m a r k e r a r ett betydelse- f u l l t framsteg. Principiellt har m a n k o m - m i t a t t a l l t m e r s t å p å samma linje. Räk- neundervisningen bör grundas på fem olika räknesätt.
I f r å g a o m nya svenska u t t r y c k s s ä t t har i o l i k a l ä r o b ö c k e r f r a m f ö r t s o l i k a för- slag. E h u r u valet bland dessa p å visst s ä t t k a n s ä j a s v a r a en s m a k f r å g a , ä r det dock v ä r d e f u l l t o m m a n enligt Ahlins ar- t i k e l h ä r u t i n n a n efter hand arbetar sej f r a m t i l l viss l i k f o r m i g h e t . H ä r m å endast g ö r a s ett par a n m ä r k n i n g a r i f r å g a om u t t r y c k e n i n n e h å l l s b e r ä k n i n g och delbe- r ä k n i n g . — N a t u r l i g t v i s k a n m a n i s t ä l l e t för i n n e h å l l s b e r ä k n i n g i n f ö r a det k o r t a r e u t t r y c k e t " i n n e h å l l s r ä k n i n g " . A t t det f ö r s t n ä m n d a b ö r u t m ö n s t r a s , d ä r f ö r a t t
" b e r ä k n i n g avser a t t f å ett m e r a approxi- m a t i v t begrepp" ä r d ä r e m o t inte r i k t i g t . H ä r k a n exempelvis beaktas a t t m a n med u t t r y c k e t y t b e r ä k n i n g anger alla slags b e r ä k n i n g a r av y t o r s storlek. — F o r m e l l t sett finns det d ä r e m o t s k ä l f ö r a t t [under- k ä n n a t e r m e n " i n n e h å l l s r ä k n i n g " . Det skulle j u i det n ä m n d a exemplet motsva- ra u t t r y c k e t y t r ä k n i n g , som inte v u n n i t burskap i v å r t s p r å k .
Samma sak ä r a t t u p p m ä r k s a m m a i f r å g a o m u t t r y c k e t d e l b e r ä k n i n g som be- t e c k n i n g för a t t m a n ska b e r ä k n a delens storlek, d å n å g o t delas i l i k a s t o r a delar.
D ä r m e d m a r k e r a s k l a r t det k a r a k t ä r i s - t i s k a för s å d a n r ä k n e u p p g i f t t i l l s k i l l n a d f r å n i n n e h å l l s b e r ä k n i n g e n , i v i l k e n m a n j u ska b e r ä k n a antalet delar, som det he- l a i n n e h å l l e r , v i d delning i delar av given s t o r l e k .1 M ä r k a s b ö r a t t delning i l i k a delar k ä n n e t e c k n a r inte endast d e l b e r ä k - ningen u t a n o c k s å i n n e h å l l s b e r ä k n i n g e n , och namnet " l i k a delning" l ä m n a r s å l u n - da ingen upplysning o m vad som v i d del- ningen i f r å g a ska b e r ä k n a s . I "nyele- m e n t ä r r ä k n e m e t o d , som i Ahlins a r t i k e l kallas "Falumetoden", har d ä r f ö r valts u t t r y c k e n i n n e h å l l s b e r ä k n i n g och delbe- r ä k n i n g .
I f r å g a o m o l i k a r ä k n e u p p g i f t e r s teck- nande har o c k s å i n ä m n d a a r t i k e l p å v i - sats olika f ö r s l a g . F ö r det enkla exemp- l e t : "Vad kostar h ä l f t e n av en k a k a , som kostar 20 ö r e " n ä m n s a t t m a n i "nyele- m e n t ä r r ä k n e m e t o d " anger som l ö s n i n g
1 J ä m f ö r med K . P. Nordlunds f ö r s l a g i f r å g a den matematiska terminologin.
" h ä l f t e n av 20 ö r e " , och a t t man s k r i v e r detta % . 20 ö r e . (Punkten l ä s e s som
"av".) Detta s k r i v s ä t t har numera i n f ö r t s i flera amerikanska skolor2, men i v å r a skolor a n v ä n d s mestadels " i b r å k s t r e c k " ,
"20 öre*' s å a t t teckningen b l i r ' Uppen-
barligen k a n o c k s å detta gamla b e p r ö v a - de t e c k n i n g s s ä t t b i b e h å l l a s , och j a g f i n - ner mej h ä r endast b ö r a n ä m n a a t t om man f ö r e d r a r a t t a n v ä n d a s å d a n t "ibråk- streck" i n o m h e l t a l s r ä k n i n g e n , s å ä r det- ta inte f ö r e n l i g t med principerna f ö r "Fa- lumetoden". Det rubbar givetvis i n t e vad som i denna ä r det g r u n d v ä s e n t l i g a , n ä m - ligen a t t m a n a n v ä n d e r s å d a n a l ö s n i n g s - s ä t t för de sakliga exemplen a t t de k l a r t anknyter t i l l exemplens sakliga innebörd, och det ä r t y d l i g e n inte endast ett s k r i v - s ä t t , som h ä r v i d k a n ange r ä k n e v ä g e n . — Detsamma g ä l l e r för " u p p s t ä l l n i n g a r n a t i l l u t r ä k n i n g " .
S ä r s k i l t intresse f å n g a r Ahlins a r t i k e l , i vad d ä r f r a m h å l l s o m undervisningen i a l l m ä n n a b r å k . E n l i g t denna har m a n i d i t h ö r a n d e stycken inte lyckats ge barnen k l a r a begrepp. Den vedertagna uppdel- ningen i f y r a r ä k n e s ä t t h a r h ä r u t g j o r t ett b e s v ä r l i g t hinder. R ä k n i n g e n har i m å n g a f a l l b l i v i t ett u n d e r l i g t "hokus- pokus", som m a n inte v å g a r l i t a t i l l och a n v ä n d a v i d l ö s n i n g av p r a k t i s k a livets r ä k n e u p p g i f t e r . — V a d redan K . P. N o r d - lund markerade som pedagogiska oegent- ligheter lever t y d l i g e n fortfarande k v a r i de g ä n g s e b r å k r ä k n i n g s m e t o d e r n a , och h ä r s t å r flertalet av l ä r o b ö c k e r n a ä n n u p å i s t o r t sett obruten m a r k .
S å l ä n g e m a n h å l l e r sej t i l l innehålls- beräkningsuppgifterna, i n n e b ä r en lös- n i n g enligt den metod Å h l i n funnit v a r a den enklaste en m y c k e t l ä t t f a t t l i g och f r a m k o m l i g v ä g . O m exempelvis 6 1 m j ö l k ska h ä l l a s p å flaskor, som r y m m e r % 1, och det f r å g a s , h u r m å n g a flaskor som d å behövs, erhölls svaret l ä t t .
6 1 : % 1 = I8/3 1 : % l = 9.
(Teckningen l ä s e s givetvis; "6 1 inne- håller % 1".)
H e l t annorlunda b l i r emellertid f ö r h å l - landet, d å m a n t a r i t u med den a n d r a stora gruppen av de s. k. divisions- exemplen. Belysande för det l ä g e som d å m ö t e r ä r vad i a r t i k e l n a n f ö r s o m lös- ningen av f ö l j a n d e u p p g i f t : "Om 3/5 av ett band kostar 12 ö r e , vad kostar hela bandet". E n l i g t Ahlins u n d e r s ö k n i n g teck- nas denna u p p g i f t mestadels 12 ö r e : 3 /5, och för l ö s n i n g e n av denna t e c k n i n g i n -
2 Se Catherine Stern, "Barnen u p p t ä c - ker bokens v ä r l d " . 1951.
l ä r s regeln a t t man ska multiplicera med inverterade v ä r d e t eller som man vanli- gen s ä j e r : " V ä n d a upp och ned p å divi- sorn". Det ä r förvisso inte n å g o n konst a t t l ä r a barnen g ö r a u t r ä k n i n g e n enligt denna mekaniska " t r o l l f o r m e l " , men ty- v ä r r h j ä l p e r denna l ä r d o m dem inte till n å g o n l ö s n i n g av uppgiften i f r å g a , om de inte f å t t "teckningen av uppgiften", och det ä r j u s t detta att "teckna uppgif- ten", som v å l l a r barnen s ä r s k i l d a svårig- heter. De h a r inte s å d a n a divisionsföre- s t ä l l n i n g a r a t t de f ö r s t å r vad det v i l l säja a t t "dividera med 3/5" . D ä r man grundat r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n p å f y r a r ä k n e s ä t t , f r å g a r sej barnet: "Ska det i detta exem- pel v a r a m u l t i p l i k a t i o n eller division?" I flertalet f a l l ä r d å barnen b e n ä g n a att v ä l j a m u l t i p l i k a t i o n . Helan bandet ska ju kosta m e r a .1 — H a r m a n numera inom h e l t a l s l ä r a n g j o r t barnen f ö r t r o g n a med fem r ä k n e s ä t t och d å l å t i t " : " vara teck- net för i n n e h å l l s b e r ä k n i n g , k a n det inte heller falla barnen i n a t t teckna exemplet p å o v a n n ä m n d a s ä t t . H ä r k a n det j u inte v a r a f r å g a om n å g o t slags innehållsbe- r ä k n i n g . — Ska barnen verkligen förstå s i t t r ä k n a n d e i d y l i k a exempel, erbjuder p r a k t i s k a livets r ä k n e v ä g , som innebär r e g u l a d e t r i t ä n k a n d e , utan t v i v e l den säk- raste h j ä l p e n . M a n h ä n v i s a r s å l u n d a inte t i l l en enda teckning för hela problemet u t a n l å t e r l ö s n i n g e n omfatta t v å olika r ä k n e u p p g i f t e r , som löses var för sej, enligt följande teckningar:
D å 3/5 av bandet k o s t a r 12 öre, kostar a l l t s å i/g av bandet V% . 12 ö r e ( = 4 öre.
D e l b e r ä k n i n g ) och s å l u n d a 5/5 av bandet 5 X 4 ö r e = 20 ö r e ( M u l t i p l i k a t i o n ) .
Genom s å d a n l ö s n i n g k l a r l ä g g s p å ett g o t t s ä t t b å d e den v i k t i g a reguladetri- metoden och b r å k b e g r e p p e t , och det är d ä r f ö r dubbelt v ä r d e f u l l t för barnen att de f å r l ä r a sej a t t s å b e m ä s t r a i f r å g a v a - rande r ä k n e u p p g i f t e r redan i den sex- å r i g a folkskolan.
De inom h ö g r e skolors undervisning traditioneaia metoderna, som i n n e b ä r mul- t i p l i k a t i o n och division med b å d e hela tal och b r å k , ligger ö v e r barnens n i v å och b ö r d ä r f ö r enligt Ahlins f ö r s l a g uppskju- tas, t i l l dess barnen b l i mera mogna för s å r y m l i g a m u l t i p l i k a t i o n s - och divisdons- begrepp.
Ahlins a r t i k e l pekar f r a m å t m o t en i m å n g a stycken f ö r b ä t t r a d r ä k n e u n d e r v i s - ning, grundad p å fem enkla r ä k n e s ä t t . Den synes mej o c k s å m a r k e r a en verklig islossning i f r å g a o m sekelgamla traditio- nella r ä k n e f ö r e s t ä l l n i n g a r och v ä c k e r för- hoppningar om a t t l ä r a r n a i den blivande enhetsskolan ska k o m m a a t t mera f r i - g j o r t och s j ä l v s t ä n d i g t g e n o m f ö r a s å d a n o m l ä g g n i n g av r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n att denna b l i r enligt i den planerade l ä r a r - h ö g s k o l a n vetenskapligt p r ö v a d e metoder pedagogiskt u t f o r m a d och r ä t t avpassad för barnens o l i k a å l d e r s s t a d i e r .
Carl Gustav Hellsten
1 iSe v a d gjorda u n d e r s ö k n i n g a r visat i den f ö r u t n ä m n d a uppsatsen i Manhem.
