Om vi betraktar en funktion

(1)

i) Om 𝑓𝑓(𝑥𝑥) är växande i [a, b] och h=(b-a)/n då 𝑚𝑚𝑘𝑘 = 𝑦𝑦𝑘𝑘−1 och 𝑀𝑀𝑘𝑘= 𝑦𝑦𝑘𝑘

𝑆𝑆_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚} = 𝑆𝑆_𝑉𝑉= ℎ[𝑦𝑦₀+ 𝑦𝑦₁+ ⋯ + 𝑦𝑦_𝑚𝑚−1] , 𝑆𝑆_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}= 𝑆𝑆_𝐻𝐻 = ℎ[𝑦𝑦₁+ 𝑦𝑦₂… + 𝑦𝑦_𝑚𝑚], och

𝑆𝑆𝑉𝑉 ≤ � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥^𝑏𝑏

𝑚𝑚 ≤ 𝑆𝑆𝐻𝐻

ii) Om 𝑓𝑓(𝑥𝑥) är avtagande i [a, b] och h=(b-a)/n då 𝑀𝑀_𝑘𝑘 = 𝑦𝑦_𝑘𝑘−1 och 𝑚𝑚_𝑘𝑘 = 𝑦𝑦_𝑘𝑘

𝑆𝑆_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}= 𝑆𝑆_𝑉𝑉 = ℎ[𝑦𝑦₀+ 𝑦𝑦₁+ ⋯ + 𝑦𝑦_𝑚𝑚−1] , 𝑆𝑆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑆𝑆𝐻𝐻= ℎ[𝑦𝑦1+ 𝑦𝑦2… + 𝑦𝑦𝑚𝑚], och

𝑆𝑆_𝐻𝐻≤ � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥^𝑏𝑏

𝑚𝑚 ≤ 𝑆𝑆_𝑉𝑉

UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR

Om vi betraktar en funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) som är kontinuerlig i intervallet [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] då antar funktionen sitt minsta värde 𝑚𝑚

_𝑘𝑘

och sin största värde 𝑀𝑀

_𝑘𝑘

i varje sluten intervall [𝑥𝑥

_𝑘𝑘−1

, 𝑥𝑥

_𝑘𝑘

]. Därför kan vi approximera integralen med både en ”undersumma”

𝑆𝑆

_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚}

= � 𝑚𝑚

_𝑘𝑘

(

𝑚𝑚 𝑘𝑘=1

𝑥𝑥

_𝑘𝑘

− 𝑥𝑥

_𝑘𝑘−1

) och en ”översumma”

𝑆𝑆

= � 𝑀𝑀

_𝑘𝑘

(

𝑚𝑚 𝑘𝑘=1

𝑥𝑥

_𝑘𝑘

− 𝑥𝑥

_𝑘𝑘−1

).

Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor 𝑆𝑆

≤ ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥

_𝑚𝑚^𝑏𝑏

≤ 𝑆𝑆

Om f(x) är monoton ( växande eller avtagande) då antar funktionen sina största och minsta värden i

[𝑥𝑥

_𝑘𝑘−1

, 𝑥𝑥

_𝑘𝑘

] i intervallets ändpunkter.

(2)

Exempel 1. Dela intervallet [2, 4] i fyra delintervall och uppskatta integralen ∫

⁴

e

⁻^x

dx

2

med en

undersumma och en översumma.

Lösning. Vi delar [2, 4] i fyra delintervall. Längden av delinterval blir h= (4–2)/4 =1/2=0.5.

Vi betraktar indelningen x

₀

= 2 2 . 5 2 5

1

= =

x ,

x₂ =3

, 3 . 5 2 7

3

= =

x ,

x₄ =4.

Notera att funktionen e

⁻^x²

är avtagande och därmed y

₀

≥ y

₁

≥ y

₂

≥ y

₃

≥ y

₄

.

Därför en undersumma för integralen ∫

⁴

e

⁻^x

dx

2

ges av

≈ +

+ +

= + + +

= (

⁻ ⁻ ⁻ ⁻

)

2

1

² ² )² 4²

2 (7 ) 3

2 (5 4

3 2

1

hy hy hy e e e e

hy

S

_u

0.001029 (med miniräknare)

och en översumma är

≈ +

+ +

= + + +

= (

⁻ ⁻ ⁻ ⁻

)

2

1

² )² 3² ⁽₂⁷⁾² 2

(5 2 3

2 1

0

hy hy hy e e e e

hy

S

_ö

0.010187

Alltså 0.001029 ≤ ∫

⁴

^e

⁻^x

^dx ≤

2

0.010187

Svar: 0.010187 ≤ ∫

⁴

^e

⁻^x

^dx ≤

2

0.001029

Anmärkning: Som ett approximativt värde av integralen kan vi ange

0.005608 2

4

2

+ =

∫ ^e

⁻^x

^dx ≈ ^S

^ö

^S

^u

då blir felet vid approximationen 0 .004578

2 =

≤ S

^ö

− S

^u

( Jämför approximationen och värdet

∫

⁴

^e

⁻^x

^dx =

2

2 0.0041455210 med 10 korrekta decimaler)

(3)

===========================================================

SAMBAND MELLAN ÄNDLIGA SUMMOR f ( k ) f ( p ) f ( p 1 ) f ( n )

n

p k

+  + +

∑ =

=

OCH INTEGRALER f x dx

n

p

∫ ⁽ ⁾

Vi jämför summan

S f(k) f(p) f(p 1) f(n)

n

p k

n =

∑

= + + +

=

och integral

f x dx

n

p

∫ ⁽ ⁾

, där p och n än hela tal, p<n.

( Två oftast förekommande fall är

∑

= n

k

k f

0

)

(

och

∑

= n

k

k f

1

) (

)

1. Först betraktar vi fallet där f (x )

är avtagande och kontinuerlig ( därmed integrerbar) på intervallet [p,n].

Vi delar intervallet [p,n] i ( n – p) delintervall med längden h= 1 Eftersom f är antagande har vi

f ( p ) ≥ f ( p + 1 ) ≥  ≥ f ( n ) .

Enligt ovanstående förklaring (uppskattning av integraler med Riemannsummor) gäller ( för h=1)

1 ⋅ ^f ( ^p + 1 ) + + 1 ⋅ ^f ( ⁿ ) ≤ ∫

ⁿ

^f ( ^x ) ^dx ≤ 1 ⋅ ^f ( ^p ) + + 1 ⋅ ^f ( ⁿ − 1 )

p



dvs

) 1 ( )

( )

1 ( ^p + + + ^f ⁿ ≤ ∫ ^f ^x ^dx ≤ ^f ^p + + ^f ⁿ − f

n

p



 (F1) (f är avtagande i

[p,n])

På liknande sätt har vi följande uppskattning för en växande

och kontinuerlig funktion på intervallet [p,n]

) ( )

1 ( )

( )

1 ( )

( p f n f x dx f p f n

f

n

p

+ + +

≤

− +

+ ^ ∫ ^ (F2) (f växande i [p,n])

Exempel 2.

(4)

Visa att

∑ ∑

=

−

=

≤ +

−

≤

ⁿ

k n

k

k n

k n k

2 1

1

) ln(

1 ln

) ln(

Tips: Betrakta integralen f x dx

∫

n 1

) (

Lösning:

METOD1: ( Vi använder formel F2)

Först beräknar vi integralen ∫ ln 𝑥𝑥

₁^𝑚𝑚

𝑑𝑑𝑥𝑥.

� ln 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = [𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑝𝑝𝑝𝑝𝑖𝑖𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖] = 𝑥𝑥 ln 𝑥𝑥 − � 1𝑑𝑑𝑥𝑥 = x ln 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 Härav

∫ ln 𝑥𝑥

₁^𝑚𝑚

𝑑𝑑𝑥𝑥 = n ln 𝑖𝑖 − 𝑖𝑖 + 1

Funktionen 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln 𝑥𝑥 är kontinuerlig, positiv och växande i intervallet [1, n].

Vi använder formeln (F2) ( eftersom f(x) = ln x är växande i [p,n]) med p=1 och får direkt

) ( )

2 ( )

( )

1 ( )

1 (

1

n f f

dx x f n

f f

n

+ +

≤

− +

+ ^ ∫ ^

dvs ∑ ∑

=

−

=

≤ +

−

≤

ⁿ

k n

k

k n

k n k

2 1

1

) ln(

1 ln

)

ln(

vad skulle bevisas.

METOD 2: ( Jämförelse mellan areor)

Talet ∫ ln 𝑥𝑥

₁^𝑚𝑚

𝑑𝑑𝑥𝑥 är lika med arean mellan grafen av 𝑓𝑓(𝑥𝑥) och x-axeln för 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑖𝑖.

Alltså

(5)

𝐴𝐴

1

= � ln 𝑥𝑥

^𝑚𝑚

1

𝑑𝑑𝑥𝑥 = n ln 𝑖𝑖 − 𝑖𝑖 + 1

Vi delar intervallet [1, 𝑖𝑖] i (n-1) delintervall av med delningspunkterna 1,2,3,…,n.

Varje delintervall har längden 1.

Arean A

₁

approximerar vi med underarean A

₂

och överarean A

₃

. Då gäller

A

₂

< A

¹

< A

³

Först beräknar vi underarean A

₂

(=summan är sammanlagda arean av de rektanglarna som ligger under grafen )

𝐴𝐴

2

= � 𝑓𝑓(𝑘𝑘) ∙ 1 = 1 ∙ ln 1 + 1 ∙ ln 2 + ⋯

𝑚𝑚−1 𝑘𝑘=1

+ 1 ∙ ln (𝑖𝑖 − 1)

På samma sätt beräknar vi A

3

𝐴𝐴

₃

= 1 ∙ ln 2 + 1 ∙ ln 3 + ⋯ 1 ∙ ln 𝑖𝑖 Nu har vi

A

2

< A

¹

< A

³

⇒

ln 1 + ln 2 + ⋯ + ln (𝑖𝑖 − 1) < n ln 𝑖𝑖 − 𝑖𝑖 + 1 < ln 2 + ln 3 + ⋯ + ln 𝑖𝑖 V.S.B.

Anmärkning: Vi har bevisat den stränga olikheten med tecknet < .

===========================================================

(6)

UPPSKATTNING AV DEN ÄNDLIGA SUMMAN ∑

= n

p k

k f ( )

MED HJÄLP AV INTEGRALEN f x dx

n

p

∫ ⁽ ⁾

Från formeln ( F1) får vi på enkelt sätt följande relationer:

Genom att addera f(p) till

f p f n f x dx

n

p

∫

≤ +

+

+ 1 ) ( ) ( )

( 

(vänstra olikheten i F1) får vi

dx x f p f n

f p

f p f

n

p

∫

+

≤ +

+ +

+ ( 1 ) ( ) ( ) ( )

)

( 

(G1)

Om adderar f(n) till

∫

ⁿ

^f ( ^x ) ^dx ≤ ^f ( ^p ) + + ^f ( ⁿ − 1 )

p



( högra olikheten i F1) får vi

) ( ) 1 ( )

( )

( n f x dx f p f n f n

f

n

p

+

− + +

≤

+ ∫ ^

(G2)

Från G1 och G2 får vi följande formeln för uppskattning av summan

∑

= n

p k

k

f( ) med hjälp av

integralen

f x dx

n

p

∫ ⁽ ⁾

, där f är avtagande och kontinuerlig på intervallet [p,n]:

f n f x dx f p f n f p f x dx

n

p n

p

∫

∫ ^≤ ⁺ ⁺ ^≤ ⁺

+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

)

( 

( F3)

(f är avtagande i [p,n])

På samma sätt får vi uppskattningsformeln om f är växande och kontinuerlig i [p,n])

f p f x dx f p f n f n f x dx

n

p n

p

∫

∫ ^≤ ⁺ ⁺ ^≤ ⁺

+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

)

( 

( F4)

(f är växande i [p,n])

första termen i summan sista termen i summan första termen i summan sista termen i summan

(7)

Anmärkning: Det är enkelt att memorera uppskattningsformler F3 och F4. Vi uppskattar summan med integralen f x dx

n

p

∫ ⁽ ⁾

^plus

^f ^{( p} ⁾

^eller

^f ⁽ⁿ ⁾

, där mindre term ( självklart) ligger till vänster.

Exempel 3. Bestäm en uppskattning av ändliga summan ∑

= 100

10 2

1

k

med hjälp av dx

∫

x

100

10 2

1 .

Lösning: Eftersom

1

₂

) ( x x

f =

är en avtagande och kontinuerlig funktion använder vi formeln F3 med p=10 och n=100.

dx x f f

f f

dx x f

f ⁺ ∫ ^≤ ⁺ ⁺ ^≤ ⁺

¹⁰⁰

∫

10 100

10

) ( ) 10 ( )

100 ( )

10 ( )

( ) 100

( 

100 9 10

1 100

1 1

) 1 (

100

10 100 1

10 2 100

10

= +

−

 =



 





= −

= ∫

⁻

∫ ^f ^x ^dx _x ^dx ^x

Därför ∑

= 100

10 2

1

k

ligger mellan m=

f ⁺

¹⁰⁰

∫ f x dx

10

) ( ) 100

(

=

0 . 0901

10000 901 100

9 10000

1 + = =

och M=

f ⁺¹⁰⁰

∫

f xdx

10

) ( ) 10

( =

0 . 1

10 1 100

9 100

1 + = =

Svar:

1 0 . 1

0901 . 0

100

10 2

≤

≤ ∑

=

k

Exempel 4. Bestäm en uppskattning av ändliga summan ∑

= 100

10 3

1

k

med hjälp av

dx

∫ x

100

10 3

1

.

Lösning:

20000 99

1001

10

3 =

∫

_x ^dx

Summan ligger mellan

m= f ⁺¹⁰⁰

∫

f xdx

10

) ( ) 100

( =

1000000 4951 20000

99 1000000

1 + = ( =0.004951)

och

M=

f ⁺¹⁰⁰

∫

f xdx

10

) ( ) 10

( =

20000 119 20000

99 1000

1 + =

(=0.00595)

(8)

Svar:

20000 119 1

1000000 4951

¹⁰⁰

10 3

≤

≤ ∑

=

k

Exempel 5. Bestäm en uppskattning av ändliga summan ∑

=

+

100

0

2

1

k

med hjälp av dx

∫

x ₊

100

0

2 1

1 .

Lösning:

arctan( 100 ) arctan( 0 ) arctan( 100 ) 1

100

1

0

2

= − =

∫ _x + ^dx

Summan ligger mellan

m=

f ⁺

¹⁰⁰

∫ f x dx

0

) ( ) 100

(

=

arctan( 100 )

10001

1 +

och

M= f ⁺

¹⁰⁰

∫ f x dx

0

) ( ) 0

(

₌

1 + arctan( 100 )

Svar:

1 arctan( 100 )

1 ) 1

100 arctan(

10001

1

¹⁰⁰

0

2

≤ +

+ ∑

=

k

UPPSKATTNING AV OÄNDLIGA SUMMOR (SERIER) ∑

^∞

= p k

k f ( )

MED HJÄLP AV INTEGRALEN f x dx

p

∫

∞

) (

Låt f(x)vara en icke-negativ, kontinuerlig, avtagande funktion för x≥ p. Från formeln F3

dx x f p f n

f p

f dx

x f n f

n

p n

p

∫

∫ ^≤ ⁺ ⁺ ^≤ ⁺

+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

)

( 

( F3)

(f är avtagande i [p,n]),

för

n → ∞

, får vi följande olikhet

dx x f p f k

f dx

x f n f

p p p k

n→∞

( ) +

^∞

∫ ( ) ≤ ∑

^∞₌

( ) ≤ ( ) +

^∞

∫ ( )

lim

( F3b) Om dessutom lim ( )=0

→∞ f n

n kan vi förenkla ovanstående olikhet till

(9)

dx x f p f k

f dx

x f

p p

p k

∑ ∫

∫

^∞ ^∞

=

∞

+

≤

≤ ( ) ( ) ( )

) (

(F5)

som vi använder för uppskattning av serien

∑

^∞

= p k

k

f ( )

med hjälp av integralen

f x dx

p

∫

∞

) (

, där ( vi upprepar)

f (x )

är en icke-negativ, kontinuerlig, avtagande funktion för

x ≥ p

.

Anmärkning 1. Uppskattningsformel F5 gäller även om

lim f ( n )

n→∞ inte går mot 0 eftersom i detta fall är både serien

∑

^∞

= p k

k

f ( )

=+∞ och

f x dx

p

∫

∞

)

(

=+∞.

Anmärkning 2. Enligt F5, ligger

∑

^∞

= p k

k

f ( )

i intervallet

[ f ( x ) dx , f ( p ) f ( x ) dx ]

p

∫

^∞

∞

+

Därför kan vi approximera serien

∑

^∞

= p k

k

f( ) med integralen

f x dx

p

∫

∞

)

(

dvs

∑

^∞ ≈

= p k

k

f( )

f x dx

p

∫

∞

) (

eller med

f k f p f x dx

p p

k

∑

^∞

∫

^∞

=

+

≈ ( ) ( )

)

(

.

I båda fal för felet

ε

gäller 0≤

ε

≤ f(p).

Vi kan (lite) förbättra approximationen om vi använder medelvärdet av intervallets ändpunkter:

dx x p f

f dx x f p f dx x f S

S

p p

p

apr

∫

^∞

∫

^∞

∫

^∞

+

= +

+

=

≈ ( )

2 ) ( 2

) ( ) ( )

(

Om vi alltså approximerar

∑

^∞

=

p k

k f

S ( )

med

f p f x dx

S

p apr

⁼⁼ ⁽ ₂ ⁾ ⁺ ∫

^∞

⁽ ⁾

blir felet

2 )

0 f ( p

≤

≤ ε

.

(10)

Exempel 6. Använd integralen dx

∫ x

∞

1 3

1 för att approximativt beräkna serien

∑

^∞

=

1 3

1

k

S

samt uppskatta resultat och motsvarande fel vid approximationen.

Lösning:

2 1 1 2

1 1

2 1

3

∞ =

 

 −

∫ =

∞

dx x

x

Eftersom

dx x f p f S

dx x f

p

∫

^∞

∞

+

≤

≤ ( ) ( )

)

(

och

f ( p ) = f ( 1 ) = 1

har vi

5 . 1 5

.

0 ≤ S ≤

Vi kan välja intervalets mittpunkt som summans approximation

1 2 / ) 5 . 1 5 . 0

( + =

≈

S

.

För felet

ε

gäller uppskattning

0 ≤ ε ≤ 0 . 5

( relativt stort fel)

( Endast för jämförelse med vårt resultat: Seriens summa är S= 1.202056903, beräknad med hjälp av ett dataprogram)

Exempel 7. Använd integralen dx

∫ x

∞

10 3

1 för att approximativt beräkna serien

∑

^∞

=

10 3

1

k

S

samt uppskatta resultat och motsvarande fel vid approximationen.

Lösning:

200 1 2 10

1 1

2 10

3 ∞=



−

∫

=

∞

dx x x Eftersom

(11)

dx x f p f S

dx x f

p

∫

^∞

∞

+

≤

≤ ( ) ( )

)

(

och

1000 ) 1

10 ( )

( p = f =

f

har vi

500 3 200

1 ≤ S ≤

eller

0 . 005 ≤ S ≤ 0 . 006

Vi kan välja intervalets mittpunkt som summans approximation

0055

. 0 2 / ) 006 . 0 005 . 0

( + =

≈

S

.

med

0 . 0005

2 002 . 0 006 .

0 − =

ε ≤

( hälften av intervallets längd)

För felet

ε

gäller uppskattning

0 ≤ ε ≤ 0 . 0005

( litet fel vid approximationen, den här gången) Anmärkning 3.

Som vi ser i två ovanstående exempel, felet vid approximationen beror av (första) seriens första term f(p) . Låt

f (x )

vara en icke-negativ, kontinuerlig, avtagande funktion för

x ≥ p

. Om vi ska approximativt beräkna serien

∑

^∞

=ko k

k

f ( )

för att få mindre fel kan vi först beräkna summan av några första termer exakt , och approximera resten med integralen.

Alltså viskriver

∑ ∑ ∑

^∞

=

−

=

∞

=

+

=

p k p

ko k ko

k

k f k

f k

f

S ( ) ( ) ( )

1

Därefter beräknar vi exakt

∑

⁻

=

= ¹

1 ( )

p

ko k

k f

S

och approximerar den oändliga resten

∑

^∞

= p k

k f ( )

.

Felet blir mindre en f(p).

Med denna metod kan vi även bestämma p så att felet blir mindre än ett givet tal

ε

0. Det räcker att välja p så att f(p)<

ε

0.

Exempel 8.

(12)

a) Beräkna approximativt summan ∑

^∞

=

1 2

1

k

S genom att först beräkna approximativt första 4

termer ∑

=

⁴

1 1 2

1

k

S

och därefter approximera den oändliga resten

∑

^∞

=

5 2 2

1

k

S

.

Uppskatta felet vid denna approximation.

b) Om vi beräknar summan S

1

med flera än 4 termer, får vi bättre approximation dvs felet blir mindre. Hur många termer ska vi ha i summan S

1

om vi vill att felet blir mindre än 0.01?

Lösning

a) Lägg märke till att

f(n) är en avtagande funktion där f(n) går mot 0 då n går mot

∞

.

S= S

1

+S

2

= ∑

= 4

1 2

1

k

⁺

∑

^∞

=5 2

1

k

Den första summan beräknar vi exakt

144 205 16

1 9 1 4 1 1 1

4

1

= ∑

2

= + + + =

=

k

S

Den andra summan uppskattar vi med integralen

5 1 ) 1

(

5

2

=

= ∫

∫

^∞

∞

x dx dx x f

p

Enligt uppskattningsformeln (F5)

dx x f p f k

f dx

x f

p p p k

∑ ∫

∫

^∞ ^∞

=

∞

+

≤

≤ ( ) ( ) ( )

) (

(F5)

har vi

5 1 25

1 1 5

1

5

2

≤ +

≤ ∑

^∞

=

k

^dvs

25 6 1 5

1

5

∑

^∞ 2

=

≤

k

Väljer vi att uppskatta summan

∑

^∞

=5 2

1

k

med integralen =1/5 blir |felet|

25 ) 1

( =

≤ f p

,

men om vi väljer intervallets mittpunkt för uppskattning

22 . 0 2 25 / 2 11 / 25 )

6 5 ( 1 1

5

2

≈ + = =

∑

^∞

=

k

blir felet ännu mindre: |felet|

50 2 1 / )

( =

≤ f p

(13)

(Alternativ beräkning av felet som hälften av intervallets längd |felet|

0 . 2 50 2 1 / 5 ) 1 25

( 6 − = =

≤

Därmed blir

1.64361

25 6 144

205 + =

≈

S

där |felet|

0 . 02

50 1 =

≤

.

b) Vi har

∑ ∑ ∑

^∞

=

−

=

∞

=

+

=

p k p

k k

k f k

f k

f ( ) ( ) ( )

1

1 1

Enligt uppskattningsformeln (F5)

dx x f p f k

f dx

x f

p p

p k

∑ ∫

∫

^∞₌ ^∞

∞

+

≤

≤ ( ) ( ) ( )

) (

(F5)

Om vi approximerar summan

∑

^∞

= p k

k

f ( )

_med

f p f x dx

p

∫

∞

+ ( ) 2

) (

blir |felet|

| 2

)

| f ( p

≤

_.

Därför, för att bestämma antalet termer som krävs att få felet mindre än

0.01, löser vi olikheten 01

. 0 2 |

)

| f ( p <

eller

50 100 1 2

1

2

< ⇔ p >

p

^dvs

p ≥ 8

.

Alltså, för att få den sökta noggrannhet räcker det att ta p=8 och approximera serien enligt

≈ +

≈ ∑

⁷₌

∫

^∞

1 8

2 2

1 1

k

x dx

S k

1.636797

Anmärkning: Vi kan jämföra vårt resultat med seriens exakta summa

≈ 6 π

2

1.6449 ( Detta kan fås med hjälp av Fourierserie-metoden, som läses i en annan mattekurs)