Centrala gränsvärdessatsen

Centrala gränsvärdessatsen

Väntevärdet och variansen för en linjär kombination av stokastiska variabler beräknas enligt följande:

S 2.1 Låt c₁,c₂ ,...,c_n vara konstanter, ξ₁,ξ₂ ,...,ξ_n stokastiska variabler, E(ξ_i)=µ_i och ) 2

( _{i i}

V ξ =σ . Då gäller:

1. E(c₁ξ₁ +c₂ ξ₂ +...+c_n ξ_n)=c₁µ₁+c₂ µ₂ +...+c_n µ_n,

2. V(c₁ξ₁ +c₂ ξ₂ +...+c_n ξ_n)=c₁²σ₁² +c₂² σ₂² +...+c_n²σ_n² om ξ₁,ξ₂ ,...,ξ_n är oberoende

En linjär kombination av oberoende normalfördelade s. v. är också normalfördelad s.v:

S 2.2 Låt c₁,c₂ ,...,c_n vara konstanter, ξ₁,ξ₂ ,...,ξ_n oberoende stokastiska variabler och )

, ( _{i i}

i N µ σ

ξ ∈ . Då gäller:

... ( , )

1 2 2 1

2 2 1

1

∑ ∑

=

=

∈ +

+

+ ⁿ

i i i n

i i i n

n N c c

c c

cξ ξ ξ µ σ

S 2.3 Låt ξ₁,ξ₂ ,...,ξ_n vara oberoende stokastiska variabler och )

, (µ σ

ξ_i ∈N . Då gäller:

ξ₁+ξ₂ +...+ξ_n ∈N(n⋅µ,σ n)

S 2.4 Låt ξ₁,ξ₂ ,...,ξ_n vara oberoende stokastiska variabler och )

, (µ σ

ξ_i ∈N . Då gäller:

_{1 2} ... ( , )

n n N

n µ σ

ξ ξ

ξ + + + ∈

Centrala gränsvärdessatsen

Om ξ₁,ξ₂ ,...,ξ_n INTE är normalfördelade då gäller ovanstående formler APPROXIMATIVT ( enligt nedanstående centrala gränsvärdessatsen) .

S 2.5 (Centrala gränsvärdessatsen) Låt ξ₁,ξ₂,...,ξ_n vara oberoende stokastiska

variabler med samma sannolikhetsfördelning med väntevärdet µ och standardavvikelsen σ . Då gäller:

1. ξ₁+ξ₂ +...+ξ_n är approximativt N(n⋅µ,σ n)fördelad då n är stort.

2.

n ξn

ξ

ξ₁ ⁺ ₂ ^+...+

är approximativt ( , ) n

N µ σ fördelad då n är stort.

1 av 6

Uppgift 1. Låt X₁,X₂ ,X₃ vara normalfördelade och oberoende s.v. sådana att 10

) (X₁ =µ₁ =

E , E(X₂)=µ₂ =20, E(X₃)=µ₃ =5; 1

) (X₁ =σ₁=

D , D(X₂)=σ₂ =2, D(X₃)=σ₃ =1; och Y = X₁+2X₂ −2X₃

Beräkna sannolikheten P( Y ≤ 50) Lösning:

a) E(Y)=1E(X₁)+2E(X₂)−2E(X₃)=1⋅10+2⋅20−2⋅5=40 21 1 4 4 4 1 1 ) ( ) 2 ( ) ( 2 ) ( 1 )

(Y = ² σ₁ ² + ² σ₂ ² + − ² σ₃ ² = ⋅ + ⋅ + ⋅ = V

21 ) ( )

(Y = V Y = D

Därför Y∈N(40, 21)=N(40, 4.58)

P( Y ≤ 50) = F(50)= Φ((50-40)/4.58)= Φ(2.18)= 0.985 Svar: 0.985

Uppgift 2.Vid tillverkning av motstånd av en viss typ blir resistansen N(40,2) fördelad (enhet kiloohm). Vad är sannolikheten att 9 seriekopplade sådana motstånd skall få en resistans mellan 354 och 366 kiloohm?

Lösning:

2 ,

40 )

( = =

=E s

m ξ_k

Låt ξ =ξ₁+ξ₂ +...+ξ₉.

Då gäller

ξ

+ ξ

+ ... + ξ

∈ N ( 9 ⋅ m , s n )

6826 . 0 ) 1 ( ) 1 (

6 ) 360 (354

6 ) 360 (366

) 354 ( ) 366 ( ) 366 354

(

=

− Φ

− Φ

=

Φ −

− − Φ

=

−

=

<

< F F

P ξ

Svar: 0.6826

Uppgift 3. I ett kontorshus finns en hiss med anslaget ”max 6 personer eller 500 kg”. Vi vill därför veta hur stor sannolikheten är att hissen överlastas. Anta att vikten av en anställd är normalfördelad med väntevärde 80 kg och standardavvikelse 10 kg. Olika personers vikt är oberoende. Beräkna sannolikheten att vikten av 5 personer överskrider 500 kg.

Lösning:

Låt 𝜉𝜉 beteckna total vikt av 5 personer, då

𝜉𝜉 = 𝜉𝜉₁+ 𝜉𝜉₂ + 𝜉𝜉₃+ 𝜉𝜉₄+ 𝜉𝜉₅ där 𝜉𝜉_𝑘𝑘 ∈ 𝑁𝑁(80, 10) .

Därför 𝜉𝜉 ∈ 𝑁𝑁(5 ∙ 80, 10√5) = 𝑁𝑁(400, 22.36)

𝑃𝑃(𝜉𝜉 > 500) = 1 − 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 500) = 1 − 𝐹𝐹(500) = 1 − 𝛷𝛷(500 − 400

22.36 ) = 1 − 𝛷𝛷(4.47)

≈ 1 − 1 = 0 Svar: Sannolikheten är ≈ 0

Uppgift 4.

2 av 6

Vid tillverkning av kolvar och cylindrar kan diametern för en viss typ av kolv betraktas som en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet 8,10 mm och standardavvikelsen 0,12 mm. För cylindrarna kan hålets diameter betraktas som en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet 8,35 mm och standardavvikelsen 0,16 mm. En cylinder anses passa till en kolv om hålets diameter större än kolvens diameter och om skillnaden ej överstiger 0,6 mm.

Hur stor är sannolikheten att kolven passar till cylindern vid ett slumpmässigt val?

Lösning:

8543 , 0 ) 25 , 1 ( ) 75 , 1 ( 2 )

, 0

25 , 0 (0 2 )

, 0

25 , 0 6 , (0

) 0 ( ) 6 , 0 ( ) 6 , 0 0

(

) 12 , 0 16 , 0

; 25 , 0 (

) 12 , 0

; 10 , 8 ( )

16 , 0

; 35 , 8 (

2 2

=

− Φ

− Φ

− = Φ

− − Φ

=

≤

−

≤

=

≤

≤

+

∈

−

=

∈

∈

Z P Z

P Z

P

N Y X Z

N Y N

X

Svar: 0,8543 Uppgift 5.

En teknolog vet av erfarenhet att hans morgonaktivitet kan struktureras på följande sätt:

Tvättning och påklädning, vilket tar ξ minuter, där . ₁ ξ₁∈N(4,1) Frukost, vilket tar ξ minuter, där ₂ ξ₂ ∈N(15,2).

Promenad till skolan, vilket tar ξ₃minuter, där ξ₃∈N(5,2).

På grund av detta ställer han en kväll väckarklockan på ringning kl 8:00 i förhoppning att hinna till första lektionen kl 8:30. Hur stor är sannolikheten att han lyckas?

Lösning:

Låt ξ=ξ₁ +ξ₂ +ξ₃.

Då gäller ξ N∈ (4+15+5, 1+4+4) dvs ξ∈N(24,3) Teknologen kommer i tid om ξ≤30.

9772 . 0 ) 2 ( 3 )

24 (30 )

30 ( ) 30

(ξ≤ =F =Φ − =Φ =

P

Svar: 0.9772

Uppgift 6. (Centrala gränsvärdessatsen) Längden hos en viss typ av byggnadselement, mätt i cm, är en s.v (ej normalfördelad) med medelvärdet 25 och standardavvikelsen 0.4. Man lägger 20 slumpmässigt valda element intill varandra. Hur stor är sannolikheten att deras sammanlagda längd överstiger 505 cm?

Lösning:

Kalla längderna ξ₁,...ξ₂₀. Man får

) 8 , 500 ( ) 4 . 0 20 , 25 20 ( ivt approximat är

... ₂₀

2

1 N N

X =ξ +ξ + +ξ ⋅ ⋅ =

038 . 0 ) 77 . 1 ( 1 ) 8

500 (505 1

) 505

(X > = −Φ − = −Φ =

P

Uppgift 7. (Centrala gränsvärdessatsen) Flygpassagerarna från en stor stad har en kroppsvikt som kan betraktas som en s. v. med väntevärdet 80 kg och standardavvikelsen 5 kg. Hur stor är sannolikhet att 49 sådana passagerare väger mer än 4000 kg?

3 av 6

Lösning:

5 ,

80 )

( = =

=E s

m ξ_k

Låt ξ =ξ₁ +ξ₂ +...+ξ₄₉.

Då gäller ξ₁+ξ₂+...+ξ₄₉ är approximativt N(49⋅m,s 49) (formelblad) d v s ξ₁+ξ₂+...+ξ₄₉ är approximativt N(3920,35)

0.0111 0.9889

1 35) (80 1

35 ) 3920 (4000

1 ) 4000 ( 1 ) 4000 (

=

−

≈ Φ

−

− = Φ

−

=

−

=

> F

Pξ

Svar: 0.0111

Uppgift 8.

Livslängden hos en viss komponent är en exponentialfördelad stokastisk variabel med parameter λ =0.02 (tiden räknas i timmar). En sådan komponent ingår i en

radarutrustning på ett fartyg. När en komponent går sönder byts den genast ut mot en ny.

Beräkna en tid T sådan att lagret med 64 sådana komponenter räcker åtminstone denna tid med sannolikhet 0.95

Lösning:

Låt ξ_kbeteckna livslängden hos komponenten k.

Eftersom ξ_k ∈Exp(λ) får vi

1 50

, 1 50 ) (

=

=

=

=

=

λ ξ λ s

E

m _k

Låt ξ =ξ₁ +ξ₂ +...+ξ₆₄.

Då gäller enligt centrala gränsvärdessatsen )

64 , 64 ( m s N ⋅

ξ∈

d v s

) 400 , 3200 (

∈N ξ

Vi får då

2542 6449

. 1 400 3200

6449 . 400 1

3200

05 . 0 400 )

( 3200

05 . 0 ) ( 95 . 0 ) ( 1 95 . 0 ) (

=

⇒

⋅

−

=

⇒

−

− =

⇒

− = Φ

⇒

=

⇒

=

−

⇒

=

≥

T T

T T

T F T

F T

P ξ

Svar: 2542 timmar

Uppgift 9.

Till en betongblandning behövs 2000 kg torrt bruk som levereras i säckar som väger c:a 120 kg.

Varje säcks massa är N(120, 40)-fördelade i enheten kg.

a) Hur stor är sannolikheten att 14 säckar räcker?

b) Hur många säckar behöver man beställa om man vill att sannolikheten för att bruket skall räcka skall vara minst 90 %?

4 av 6

Lösning:

2 14

3 2 1

14 3

2 1

14 3

2 1

40

· 14 ) ...

(

1680 120

· 14 ) ...

(

) 2000 (

:

...

) 40 , 120 ( kg

enheten i

massa äcks s varje

= + + + +

=

= + + + +

≥

+ + + +

=

∈

=

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ

h

ξ ξ

ξ ξ h

ξ ξ

V

kg kg

E P sökt

massa total

N

016 , 0 9838 , 0 1 ) 14 , 2 ( 1 14 )

40 1680 (2000

1 ) 2000 (

1 ) 2000 (

) 14

· 40 , 1680 ( :

14

· 40

=

−

=

−

− =

−

=

≤

−

=

≥

∈

=

φ φ

h h

h σ

P P

N CGS

kg

b) (Svårare delen)

10 , 0 40 )

· 120 (2000

10 , 0 ) 2000 (

90 , 0 ) 2000 (

)

· 40 , 120

· ( :

· 40 40

· ) ( 120

· )

( ²

− =

=

≤

=

≥

∈

=

=

=

n n

P P

n n

N CGS

n n

V n

E

φ

h h

h

σ h

h

Från formelsamlingen har vi

19 : Svar

5 , 18 3 , 4 3 , 4 0

, 08 , 4 213 . 0

0 50 28 , 1

· 3

28 ,

· 1 3 50

: 28

,

· 1 3 50

, 28 , 40 1

· 120 2000

2 2

2

=

=

=

⇒

>

±

=

=

−

−

−

− =

=

−

− =

−

− =

n t

t t

t t

t t

n t on substituti n

n n

n

Uppgift 10.

Vid tillverkning av skruvar och muttrar kan diametern för en viss typ av skruv betraktas som en normalfördelad stokastisk variabel med vänte- värdet 8,10 mm och standardavvikelsen 0,12 mm. För muttrarna kan hålets diameter betraktas som en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet 8,35 mm och standardavvikelsen 0,16 mm. En skruv anses passa till en mutter om hålets diameter är större än skruvens diameter och om skillnaden ej överstiger 0,6 mm. Hur stor är sannolikheten att mutter passar till skruven vid ett slumpmässigt val?

Lösning

) 16 , 0

; 35 , 8 (

∈N

ξ , h∈N(8,10;0,12), X =ξ−h∈N(0,25; 0,16²+0,12²)

=

≤

−

≤

=

≤

≤ 0,6) ( 0,6) ( 0) 0

( X P X P X

P )

2 , 0

25 , 0 (0 2 )

, 0

25 , 0 6 ,

(0 − −Φ −

Φ

5 av 6

) 25 , 1 ( ) 75 , 1

( −Φ − Φ

= =0,9599−0,1056=0,85

Uppgift 11.

En ideell förening planerar en insamling och skickar därför till var och en av de 1000 medlemmarna ett brev, i vilket man ber om ett bidrag på 50 eller 100 kronor. Från tidigare erfarenhet gör man uppskattningen att det är lika vanligt med det större som det mindre bidraget och att 20% av medlemmarna inte ger något bidrag alls.

Beräkna, med en lämplig approximation, sannolikheten att föreningen får in minst 58 000kr.

Lösning:

95 , 0 ) 69 , 1 ( 1 1183 )

) 60000 58000

( 1 ) 58000 (

1 ) 58000 (

) 1183 , 60000 ( :

1183

1400

· 1000 )

( ) (

60000 60

· 1000 )

(

) .

. . (

4 , 37

1400 )

60 100

·(

40 , 0 ) 60 50

·(

40 , 0 ) 60 0

·(

20 , 0 ) (

60 100

· 40 , 0 50

· 40 , 0 0

· 2 , 0 ) (

/

1000 2

1

1000 2

1

2 2

2

=

−

−

− =

−

=

<

Χ

−

=

≥ Χ

∈ Χ

=

= +

⋅⋅

⋅ + +

= Χ

=

= Χ

Χ +

⋅⋅

⋅ + +

= Χ

=

=

− +

− +

−

=

= +

+

=

=

Χ

φ φ

σ

ξ ξ

ξ

ξ ξ

ξ σ

ξ ξ ξ

P P

N CGS

kr V V

kr kr

E

elad normalförd approx

är CGS enligt som v

s en blir Summan

kr V

kr E

person kronor

antal

6 av 6