Tentamen TEN1, HF1012, 23 aug 2019
Matematisk statistik Kurskod HF1012
Skrivtid: 8:00-12:00
Lärare och examinator : Armin Halilovic
Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken typ som helst.
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.
Skriv namn och personnummer på varje blad.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar.
Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen ger maximalt 32 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 30, 24, 20, 16 respektive 12 poäng.
Komplettering: 11 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .
=======================================================
Uppgift 1. (3p) Bara för dem som inte klarat ks1.
En kortlek med 52 kort består av fyra färger ( hjärter, spader, klöver, ruter) och 13 valörer:
ess, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, knekt, dam, kung.
Ur en kortlek på 52 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för att få
a) exakt en trea, två femmor och två nior : {3, 5, 5 , 9, 9}
b) tre åttor och två nior
c) ett par och en triss ( t ex 6,6, 7,7,7 eller 5,5,3,3,3 och liknande).
Uppgift 2. (3p) Bara för dem som inte klarat ks2.
Den stokastiska variabeln X har täthetsfunktionen (= frekvensfunktionen )
< <
= förövrigt x x kx
f
0
2 0
) , (
3
.
Bestäm
Sida 1 av 13
a) parametern k. b) väntevärdet för X. c) sannolikheten P(X ≤1)
Uppgift 3. (3p) Bara för dem som inte klarat ks3.
Ett kösystem med max 3 kunder kan modelleras som en födelse-dödsprocess vars diagram är
a) (2p) Beräkna p , 0 p , 1 p , 2 p b) (1p) Beräkna medelantal kunder i systemet. 3 Uppgift 4. (3p)
Ett nytt test av blod ger positivt utslag i 98% av fallen för smittat blod och negativt utslag i 95% av fallen för osmittat blod. Av erfarenhet vet man att cirka 1% av alla prover som genomförs har smittat blod. Vad är sannolikheten att ett blodprov som har gett positivt utslag verkligen är smittat?
Uppgift 5. (3p)
Vid en automatförpackning av kex placeras dessa intill varandra mellan två stöd, där stödavståndet är 21 cm. Tjockleken hos kexen kan anses N(2, 0.5) Vad är sannolikheten att kexpaketet innehåller åtminstone 10 kex.
Uppgift 6. (3p) Vid tillverkning av kolvar och cylindrar kan diametern för en viss typ av kolv betraktas som en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet 8 mm och standardavvikelsen 0.1 mm. För cylindrarna kan hålets diameter betraktas som en
normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet 8.2 mm och standardavvikelsen 0.15 mm. En cylinder anses passa till en kolv om hålets diameter är större än kolvens diameter och om skillnaden ej överstiger 0.5 mm. Hur stor är sannolikheten att kolven passar till cylindern vid ett slumpmässigt val?
Uppgift 7. (3p) En forskare gjorde 6 mätningar av en variabel X och fick följande resultat X: 250 227 231 232 223 228
Bestäm ett konfidensintervall för medelvärdet med konfidensgrad 95% . (Vi antar att X är normalfördelad.)
0 1 2 3
5 4 1
2 5 10
Sida 2 av 13
Uppgift 8. (7p) Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M/3/1 (3 betjänare och 1 köplats) . Ankomstintensiteten är λ =24 kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ=10 kunder/minut.
Bestäm:
a) (2p) sannolikheterna p0, p1,…,p4.
b) (1p)λeff (den effektiva intensiteten) c) (1p) medelantar kunder i systemet N.
d) (1p) medel väntetid W för en kund i detta system.
e) (1p) belastning per betjänare
f) (1p) sannolikheten att en kund avvisas
Uppgift 9. (4p) Vi betraktar ett könät som består av två M/M/1 kösystem (se Fig. 9).
Betjänaren i kösystem1 har betjäningsintensitet µ1 =150 kunder per minut, medan betjänaren i kösystem2 har betjäningsintensitet µ2 =40 kunder per minut. Nya kunder kommer
Poissonfördelade till kösystem1 med intensiteten λ=41 kunder per minut.
80 % av kunder lämnar nätet efter betjäning i kösystem1 men 20% fortsätter till kösystem 2 . 10% av de kunder som hamnar i kösystem2 lämnar systemet medan 90 % går tillbaka till kösystem1 (se Fig. 9). Beräkna medelantal kunder i nätet (d.v.s. kunder i kösystem1+ kunder i kösystem2) .
Fig. 9.
Kösystem 2 Kösystem 1
µ2 λ
µ1
80%
20%
10%
90%
Sida 3 av 13
FACIT
Uppgift 1. (3p) Bara för dem som inte klarat ks1.
En kortlek med 52 kort består av fyra färger ( hjärter, spader, klöver, ruter) och 13 valörer:
ess, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, knekt, dam, kung.
Ur en kortlek på 52 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för att få
a) exakt en trea, två femmor och två nior : {3, 5, 5 , 9, 9}
b) tre åttor och två nior
c) ett par och en triss ( t ex 6,6, 7,7,7 eller 5,5,3,3,3 och liknande).
Lösning:
a) Vi kan välja 1 bland 4 treor på �41� sätt; 2 bland 4 femmor på �42� sätt och 2 bland 4 nior på �42� sätt.
Därmed är antalet alla gynnsamma fall
=
2 4 2 4 1 g 4
Å andra sidan för alla möjliga fall har vi; antalet sätt att välja 5 bland 52 är 𝑁𝑁 = �525� = ( = 2598960 )
Därför är sannolikheten lika med
0.0000554 2598960
144 5
52 2 4 2 4 1 4
=
=
=
= N P g
b) = = =
=
= 108290
1 2598960
24 5
52 2 4 3 4 N
P g 0.000009234463016
c) 0.00144057623
4165 6 2598960
3744 5
52 3 12 4 2 13 4
≈
=
=
= P
Svar: Se ovan.
Rättningsmall: 1p för varje del. Rätt eller fel.
Sida 4 av 13
Uppgift 2. (3p) Bara för dem som inte klarat ks2.
Den stokastiska variabeln X har täthetsfunktionen (= frekvensfunktionen )
< <
= förövrigt x x kx
f 0
2 0
) , (
3
.
Bestäm
a) parametern k. b) väntevärdet för X. c) sannolikheten P(X ≤1) Lösning:
a)
4 1 1
4 0 1
2 1 4
2
0
4
3 = ⇒ = ⇒ =
⇒
∫
kx dx= k x k kb) =
∫
⋅ =∫
2 =0 4 2
0
3
4 1 4
) 1
(X x x dx x dx
E 5
8 20 32 0 2 20
5
=
=
x .
c) P(X ≤1)=
16 1 0 1 1 16
4
1
0
4
3 =
⇒
∫
x dx= xSvar: a) 4
= 1
k b) 5
8 c) 16
1
Rättningsmall: 1p för varje del. Rätt eller fel.
Uppgift 3. (3p) Bara för dem som inte klarat ks3.
Ett kösystem med max 3 kunder kan modelleras som en födelse-dödsprocess vars diagram är
a) (2p) Beräkna p , 0 p , 1 p , 2 p b) (1p) Beräkna medelantal kunder i systemet. 3
Lösning:
0 1 2 3
5 4 1
2 5 10
Sida 5 av 13
Först uttrycker vi p , 1 p , 2 p som funktioner av 3 p : 0
0 0
0 1 0
1 2.5
2
5 p p
p
p = = =
µ
λ (*)
0 0 0
2 1
1 0
2 2
5 2
4
5 p p
p
p =
⋅
= ⋅
= µ µ λ
λ
0 0
0 3 2 1
2 1 0
3 0.2
10 5 2
1 4
5 p p
p
p =
⋅
⋅
⋅
= ⋅
= µ µ µ λ λ λ
För att bestämmap substituerar vi (*) i villkoret 0 p0 +p1+ p2 + p3=1. Vi får p0+2.5p0 +2p0 +0.2p0 =1 .
Härav 5.7p0 =1 och därför = = 7 . 5
1
p0 0 .1754385965.
Vi har beräknat p0 =0 .1754385965. Med hjälp av (*) är det nu enkelt att beräkna alla andra sannolikheterp : k
=
= 0
1 2 p.5
p 0.4385964912
=
= 0
2 2 p
p 0.3508771930
=
= 0
3 0 p.2
p 0.03508771930
b) Medelantal kunder i systemet N= 0⋅p0+1⋅p1+2⋅p2+3⋅p3= 1.245614035.
Svar:
a) ( p , 0 p , 1 p , 2 p )=(0 .1754385965, 0.4385964912, 0.3508771930, 0.03508771930) 3 b) N= 1.245614035.
Rättningsmall: a) 1p för p0. 2p om p0, p1, p2, p3 är korrekta b) 1p om b är korrekt
Uppgift 4. (3p)
Ett nytt test av blod ger positivt utslag i 98% av fallen för smittat blod och negativt utslag i 95% av fallen för osmittat blod. Av erfarenhet vet man att cirka 1% av alla prover som genomförs har smittat blod. Vad är sannolikheten att ett blodprov som har gett positivt utslag verkligen är smittat?
Lösning:
Sida 6 av 13
Låt S vara händelsen att blodprovet verkligen är smittat.
Låt O vara händelsen att blodprovet verkligen är osmittat.
Låt POS vara händelsen att blodprovet ger positivt utslag . Låt NEG vara händelsen att blodprovet ger negativt utslag .
Då gäller:
Den totala sannolikheten för positivt utslag är
0.0593.
05 . 0 99 . 0 98 . 0 01 . 0
)
| ( ) ( )
| ( ) ( ) (
=
⋅ +
⋅
=
⋅ +
⋅
=P S P POS S P O P POS O POS
P
Härav 0.1652613828
0593 . 0
98 . 0 01 . 0 )
(
)
| ( ) ( )
(
) ) (
|
( ⋅ =
⋅ =
∩ =
= P POS
S POS P S P POS
P
S POS POS P
S
P
Svar: 0.1652613828
Rättningsmall: 1p för den totala sannolikhetenP(POS)=0.0593. +1p om för korrekta formeln
) (
) ) (
|
( P POS
S POS POS P
S
P = ∩ .
3p om allt är korrekt.
Uppgift 5. (3p)
Vid en automatförpackning av kex placeras dessa intill varandra mellan två stöd, där stödavståndet är 21 cm. Tjockleken hos kexen kan anses N(2, 0.5) Vad är sannolikheten att kexpaketet innehåller åtminstone 10 kex.
Lösning:
Låt X vara längden av kex som står på plats k och k
Blod
smittat 0.01
positivt utslag 0.98
negativt utslag 0.02
osmittat 0.99
positivt utslag 0.05
negativt utslag 0.95
Sida 7 av 13
η= X1+X2 ++X10
Då gäller 𝜂𝜂 ∈ 𝑁𝑁(10 ∙ 2; 0.5√10), d v s 𝜂𝜂 ∈ 𝑁𝑁(20; 0.5√10).
Kexpaketet innehåller åtminstone 10 kex om 𝜂𝜂 ≤ 21 𝑃𝑃( 𝜂𝜂 ≤ 21) = 𝐹𝐹(21) = 𝛷𝛷 �21 − 20
0.5√10� = 𝛷𝛷(0.63) = 0.7357 Rättningsmall: 1p för korrekt till 𝜂𝜂 ∈ 𝑁𝑁(20; 0.5√10).
+1p för korrekt till 𝑃𝑃( 𝜂𝜂 ≤ 21) = 𝛷𝛷 �0.5√1021−20� 3p om allt är korrekt.
Uppgift 6. (3p) Vid tillverkning av kolvar och cylindrar kan diametern för en viss typ av kolv betraktas som en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet 8 mm och standardavvikelsen 0.1 mm. För cylindrarna kan hålets diameter betraktas som en
normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet 8.2 mm och standardavvikelsen 0.15 mm. En cylinder anses passa till en kolv om hålets diameter är större än kolvens diameter och om skillnaden ej överstiger 0.5 mm. Hur stor är sannolikheten att kolven passar till cylindern vid ett slumpmässigt val?
Lösning:
Vi inför följande stokastiska variabler:
X= diameter av en cylinder, Y = diametern av en kolv.
Enligt antagandet X∈N(8.2; 0.15) och Y∈N(8; 0.1). Låt Z=X – Y.
Då gäller Z =X −Y∈N(0.2; 0.152+0.12) dvs Z∈N(0.2; 0.18)
) 1 . 1 ( ) 67 . 1 ( 18 )
. 0
2 . 0 (0 18 )
. 0
2 . 0 5 . (0 ) 0 ( ) 5 . 0 ( ) 5 . 0 0
( ≤Z ≤ =F −F =Φ − −Φ − =Φ −Φ −
P
= 0.9525 – 0.1335=0.8190 Svar: 0,85
Rättningsmall: 1p för korrekt till Z∈N(0.2; 0.18).
+1p för korrekt till )
18 . 0
2 . 0 (0 18 )
. 0
2 . 0 5 . (0 ) 5 . 0 0
( −
Φ
− − Φ
=
≤
≤ Z P 3p om allt är korrekt.
Uppgift 7. (3p) En forskare gjorde 6 mätningar av en variabel X och fick följande resultat X: 250 227 231 232 223 228
Sida 8 av 13
Bestäm ett konfidensintervall för medelvärdet med konfidensgrad 95% . (Vi antar att X är normalfördelad.)
Lösning:
n x x
x x + + + n
= 1 2 = 1391/6= 231.8333333
∑
=− −
=
= n
i
i x
n 1 x
2
2 ( )
1
variansen s 1
(
− + + −)
== (250 231.8333333)2 (2288 231.8333333)2 5
1 89.36666666
Variansen
s = = 9.453394452
Från formelsamling (sidan 16 rad n-1= 6-1 =5 har vi
2 =
α/
t 2.570581836 Konfidensintervall:
) ,
( /2 /2
t n n x
t
x
s s
α
α +
− = (221.91, 241.76)
Svar: (221.91, 241.76)
Rättningsmall: a) +1p för x. +1p för s . 3p om allt är korrekt.
Uppgift 8. (7p) Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M/3/1 (3 betjänare och 1 köplats) . Ankomstintensiteten är λ =24 kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ=10 kunder/minut.
Bestäm:
Sida 9 av 13
a) (2p) sannolikheterna p0, p1,…,p4.
b) (1p)λeff (den effektiva intensiteten) c) (1p) medelantar kunder i systemet N.
d) (1p) medel väntetid W för en kund i detta system.
e) (1p) belastning per betjänare
f) (1p) sannolikheten att en kund avvisas
Lösning:
a)
Med hjälp av teorin för födelsedödsprocesser har vi följande relationer mellan de stationära sannolikheterna pk och p0:
Vi har
Sida 10 av 13
0 0
0 1 0
1 2.4
10
24 p p
p
p = = =
µ
λ , 0 0 0
2 1
1 0
2 2.88
20 10
24
24 p p
p
p =
⋅
= ⋅
= µ µ λ
λ
på liknande sätt 0
3 2 1
2 1 0
3 p
p µ µ µ λ λ
= λ =2.304p , och 0 p4 =1.8432 p0.
För att bestämma p substituerar vi ovanstående relationer i ekvationen 0
4 1
3 2 1
0 + p + p + p + p =
p och får 10.4272p0 =1
Härav p = 0.0959030229 (=625/6517 ) 0 Substitutionen i (*) ger
p1= 1500/6517 = 0.2301672549 p2= 1800/6517 = 0.2762007058 p3= 1440/6517 = 0.2209605647 p4= 1152/6517 = 0.1767684517
b) Först λspärr (enligt formelblad för M/M/m/K kösystem)
=
⋅
=
⋅
= 24 0.1767684517
kmax
spärr λ p
λ 4.24244284.
Nu λeff =λ−λspärr= 19.75755716
c) Medelantal kunder i systemet, N bestämmer vi med hjälp av den allmänna formeln för medelvärdet av en diskret stokastisk variabel:
N= 0p0 +1p1+2p2 +3p3 +4p4 =2.152524168 d)
Från Littles formel N =λeff ⋅T har vi
eff
T N
=λ = 0.1089468779 min
10 1 = 1
= µ
x =0.1 min
=
−
=
⇒ +
=W x W T x
T W = 0.0089468779 min
dva: medel väntetid för en kund i detta system är W = 0.0089468779 min e)
Littles formel: Ns =λeff ⋅x=1.975755716 Belastning per betjänare = = =
3
s
s N
m
N 0.6585852387.
f) Sannolikheten att en kund avvisas = p4= 0.1767684517
Sida 11 av 13
Svar: Se ovan
Rättningsmall: a) 1p för p0. b-f rätt eller fel.
Uppgift 9. (4p) Vi betraktar ett könät som består av två M/M/1 kösystem (se Fig. 9).
Betjänaren i kösystem1 har betjäningsintensitet µ1 =150 kunder per minut, medan betjänaren i kösystem2 har betjäningsintensitet µ2 =40 kunder per minut. Nya kunder kommer
Poissonfördelade till kösystem1 med intensiteten λ=41 kunder per minut.
80 % av kunder lämnar nätet efter betjäning i kösystem1 men 20% fortsätter till kösystem 2 . 10% av de kunder som hamnar i kösystem2 lämnar systemet medan 90 % går tillbaka till kösystem1 (se Fig. 9). Beräkna medelantal kunder i nätet (d.v.s. kunder i kösystem1+ kunder i kösystem2) .
Fig. 9.
Lösning:
Låt λ1 och λ2 beteckna de effektiva intensiteterna till första och andra kön.
Då gäller:
1 2
2 1
20 . 0
90 . 0
λ λ
λ λ
λ
= +
= dvs
1 2
2 1
20 . 0
90 . 0 41
λ λ
λ λ
= +
= som ger λ1 =41+0.18λ1.
Härav 0.82λ1 =41 dvs λ1=50 kunder/min. Häravλ2 =0.20λ1=10 kunder/min.
Enligt antagandet har vi µ1=150 kunder/min och µ2 =40. Eftersom
3 1 150
50
1 1
1 = = =
µ
ρ λ har vi
2 1 3 / 2
3 / 1 1 1
1
1 = =
= − ρ
N ρ .
Kösystem 2 Kösystem 1
µ2 λ
µ1
80%
20%
10%
90%
Sida 12 av 13
På samma sätt
4 1 40 10
2 2
2 = = =
µ
ρ λ och
3 1 4 / 3
4 / 1
1 2
2
2 = =
= − ρ
N ρ .
Slutligen
6 5 3 1 2 1
2
1+ = + =
=N N
N .
Svar: N = 6 5.
Rättningsmall: 1p för korrekta systemet
1 2
2 1
20 . 0
90 . 0
λ λ
λ λ
λ
= +
= .
+1p för korrekta λ1 och λ2.
+1p för medelantal kunder i en kö N1 eller N2. Allt korrekt=4p.
Sida 13 av 13
